Автоматика и телемеханика, № 1, 2019

Линейные системы

А.Ю. КУСТОВ, канд. физ.-мат. наук (arkadiykustov@yandex.ru)

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва),

А.П. КУРДЮКОВ , д-р техн. наук (akurd@ipu.ru)

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва,

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва),

Д.А. ГОЛЬДИН, канд. техн. наук (goldind@ipu.ru)

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва),

Ю.А. ВЕРШИНИН (vershy@coventry.ac.uk)

(Университет Ковентри, Великобритания)

СУБОПТИМАЛЬНАЯ АНИЗОТРОПИЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

С НЕЦЕНТРИРОВАННЫМ ВНЕШНИМ ВОЗМУЩЕНИЕМ¹

Рассмотрена задача робастной анизотропийной фильтрации для линей-

ной дискретной нестационарной системы на конечном временном интер-

вале. Предполагается, что внешние возмущения, действующие на объект,

имеют ограниченную сверху анизотропию и дополнительно удовлетво-

ряют двум ограничениям на моменты. Решение задачи фильтрации ос-

новано на критерии ограниченности анизотропийной нормы в обратном

времени и сводится к поиску решения задачи выпуклой оптимизации. На

численном примере проиллюстрирована работа субоптимального анизо-

тропийного оценивателя.

Ключевые слова: анизотропийная фильтрация, нестационарные систе-

мы, нецентрированные случайные возмущения, выпуклая оптимизация,

линейные матричные неравенства.

DOI: 10.1134/S000523101901001X

1. Введение

Одной из фундаментальных задач теории управления и обработки сигна-

лов является задача оценивания выхода системы (в смысле минимизации же-

лаемого критерия качества). К ее решению применялись различные методы

(например, калмановская или H₂-фильтрация и H_∞-фильтрация [1-3]), ко-

торые используют различные предположения о модели процесса и свойствах

возмущающего сигнала. Каждая из этих теорий имеет некоторые недостат-

ки, ввиду чего были предприняты попытки их обобщения, которые привели

в том числе к появлению теории смешанной H₂/H_∞-фильтрации (см., напри-

мер, [4-6]). Решение задач H₂-, H_∞- и смешанной H₂/H_∞-фильтрации осно-

вывается в основном на решении уравнений Риккати (см., например, [7, 8]) и

линейных матричных неравенств (см., например, [9-11]).

¹ Работа частично выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундамен-

тальных исследований (проект РФФИ № 17-08-00185 А) и проекта DIONICOS “Dynamics of

and in Complex System” университета Ковентри, проводимого в рамках программы CORDIS

“Community Research and Development Information Service” (Marie Curie Action) (ID 612707).

Для линейных дискретных стационарных систем в отсутствие знания о

вероятностном распределении внешнего возмущения в 1994 г. был предло-

жен стохастический подход к H_∞-оптимизации, учитывающий возможную

неопределенность в возмущении и позднее названный анизотропийной тео-

рией [12-17].

Задача анизотропийного анализа робастного качества нестационарных си-

стем была решена в [18]. Аналогичный результат в терминах связанных урав-

нений Риккати в прямом и обратном времени для случая нецентрированного

возмущения изложен в [19]. Решение задачи оптимальной анизотропийной

фильтрации для линейных дискретных нестационарных систем на конечном

горизонте было получено И.Г. Владимировым в 2001 г. [20]. Для нахождения

оптимального анизотропийного оценивателя необходимо решить разностное

уравнение Риккати в прямом времени при ограничении в виде алгебраиче-

ского уравнения специального вида.

На основе изложенных в [21] результатов в [22] решена задача субопти-

мальной анизотропийной фильтрации на конечном горизонте в терминах раз-

ностных линейных матричных неравенств в частном случае равенства раз-

мерностей оцениваемого выхода и внешнего возмущения. В [23] в общем слу-

чае сформулированы и доказаны достаточные условия ограниченности ани-

зотропийной нормы в терминах разностных линейных матричных неравенств

в прямом времени. На их основе поставлена и решена задача субоптималь-

ной анизотропийной фильтрации на конечном временном интервале в пря-

мом времени при отсутствии ограничений на первые два момента внешнего

возмущения.

В [24] решены задача анизотропийного анализа и задача синтеза субопти-

мального анизотропийного управления для нестационарной системы с нецен-

трированным возмущением, на первый и второй момент которого были на-

ложены дополнительные условия. Решение задачи анализа было получено в

терминах прямого времени, а затем использовано для синтеза регулятора.

Здесь стоит сразу отметить, что использование полученного решения задачи

анализа (в терминах прямого времени) для решения задачи синтеза оценива-

теля затруднено, в связи с чем необходимо получить аналогичное решение в

обратном времени.

Структура данной работы следующая. В разделе 2 приводятся обозна-

чения и сокращения, кратко излагаются базовые сведения по анизотропий-

ной теории. Критерий ограниченности анизотропийной нормы для линейной

нестационарной системы изложен в разделе 3. Постановка и решение зада-

чи анизотропийной фильтрации излагаются в разделе 4. В разделе 5 на чис-

ленном примере по предложенному алгоритму синтезирован анизотропийный

оцениватель.

2. Предварительные сведения

2.1. Сокращения и обозначения

В статье используются следующие сокращения и обозначения: R^m - мно-

жество векторов длины m с действительными компонентами; R^n×m - множе-

ство матриц размера n × m с действительными компонентами; Lm2 - множе-

ство интегрируемых с квадратом случайных векторов со значениями в R^m;

E[·] - оператор математического ожидания; |x| - евклидова норма вектора x;

X^T - транспонирование матрицы или вектора X; 0_n×m и I_m - нулевая и

единичная матрицы размеров n × m и m × m соответственно (для просто-

ты 0 и I, если размерность ясна из контекста); A ≻ B (A ≽ B) означает,

что A - B - положительно (неотрицательно) определенная матрица; trA -

след квадратной матрицы A; det A - определитель квадратной матрицы A;

∗ - симметричный относительно главной диагонали член матрицы; п.р.в. -

плотность распределения вероятности.

2.2. Анизотропийная норма матрицы

В этом разделе приведены определения анизотропии случайного вектора

и анизотропийной нормы матрицы, а также описан математический инстру-

мент ее вычисления.

Рассмотрим два случайных вектора W ∈ Lm2 и Z ∈ Lp2, которые связа-

ны друг с другом посредством матрицы F ∈ R^p×m как Z = F W . Сред-

неквадратичный коэффициент усиления матрицы F определяется как

√

E|F W |²

Q(F, W ) =

. Если никаких дополнительных ограничений на класс

E|W |²

векторов-входов W ∈ Lm2 нет, то максимальное значение Q(F, W ) равно H_∞-

норме (т.е. наибольшему сингулярному числу) матрицы F :

√

sup

Q(F, W ) = ∥F ∥_∞ = max (λ_i(F^TF )).

W ∈Lm2

i=1,m

С другой стороны, если W принадлежит классу G^m(0; λI_m) гауссовских слу-

чайных векторов с нулевым средним и скаля(ной к)вариационной матрицей

cov(W ) = λI_m с п.р.в. p_λ(w) = (2πλ)-m/2 exp

-|w|2

, где λ > 0, то значение

2λ

Q(F, W ) оказывается равным масштабированной H₂-норме (т.е. масштабиро-

ванной фробениусовой норме) матрицы F :

√

∥F ∥₂

tr(F^TF )

Q(F, W ) =

если W ∼ G^m(0; λI_m)

∀ λ > 0.

√m⁼

Первой работой по анизотропийной теории для линейных дискретных ста-

ционарных систем является статья [13] (версия для конференции появилась

раньше — в 1994 г. [12]). Ее распространение на линейные дискретные неста-

ционарные системы проведено в [18]. В рамках стохастического подхода, ле-

жащего в основе этих работ, предполагается, что случайные векторы W име-

ют абсолютно непрерывные распределения вероятностей (с п.р.в. f) и конеч-

ные вторые моменты, и определенная для них анизотропия

)

⁽ 2πe

A(W ) = minD(f||pλ) =

E|W |²

- h(W )

λ>0

не превосходит заданный пороговый уровень a ≥ 0, где минимум относи-

тельной энтропии D(f||p_λ) (или информационного уклонения Кульбака-

Лейблера) случайного вектора W с п.р.в. f относительно гауссовского слу-

чайного вектора с п.р.в. p_λ достигается при λ_∗ = E|W |²/m. Здесь h(W ) =

= -E [ln f(x)] - дифференциальная энтропия случайного вектора W.

Потребуем дополнительно, что имеют место следующие ограничения на

первый и второй моменты случайного вектора W :

(1)

|EW | ≥ τ, E(|W - EW |²

) ≤ σ,

где τ ≥ 0 и σ > 0 - известные числа. Воспользовавшись свойством масштаб-

ной инвариантности анизотропии, утверждающим, что A(rW ) = A(W ) для

любого неслучайного числа r = 0, без ограничения общности положим, что

τ² + σ = 1. Таким образом, для определения ограничений (1) достаточно

знания значения τ ∈ [0; 1), а значение второго момента (отмасштабирован-

ного оговоренным образом случайного вектора) будет ограничено числом

σ=1-τ².

Максимальное значение функционала Q(F, W ) на множестве случайных

векторов c ограниченной числом a ≥ 0 анизотропией A(W ) и ограниче-

ниями (1) на первый и второй моменты с условием τ² + σ = 1 называется

(a, τ)-анизотропийной нормой матрицы F . Для нее далее используется обо-

значение

(2)

|||F |||a,τ =

sup

Q(F, W ).

W ∈Lm2: (1) ∧ A(W )≤a

Для работы с (a, τ )-анизотропийной нормой матрицы F более удобно поль-

зоваться следующей формулой, эквивалентной определению (2):

{√

|||F |||a,τ = sup

tr(ΛΣ) + ∥F ∥2∞τ² : trΣ = 1 - τ²,

Σ=Σ^T ≻0

}

ln(1 - τ²) ≤ -

ln det (mΣ) ≤ a

где Λ = F^TF .

Анизотропийная норма матрицы количественно отражает ее возможности

к усилению случайных векторов-входов, чьи распределения и статистические

характеристики известны лишь с точностью до ограничений (1) на первые два

момента и ограничения на анизотропию A(W ) ≤ a. Последнее ограничение

выступает своего рода компромиссом между двумя граничными случаями -

когда известно, что вектор-вход является неслучайным (т.е. имеет распреде-

ление вероятностей, полностью “сконцентрированное” в наихудшем направ-

лении; это имеет место в H_∞-теории), и когда известно, что вектор-вход с

одинаковой вероятностью может принять значения в любых направлениях

(т.е. когда с точностью до умножения на ненулевое неслучайное число он

имеет стандартное нормальное распределение; это имеет место в H₂-теории).

Замечание 1. Далее на (a,0)-анизотропийную норму будем ссылаться

посредством обозначения |||F |||_a, где условие τ = 0 для краткости опущено.

2.3. Вычисление анизотропийной нормы нестационарной системы,

представленной в пространстве состояний

Рассмотрим объект, заданный линейной дискретной нестационарной си-

стемой F на временном интервале k = 0, . . . , N,

^{ x

(3)

F ∼k+1 =Akx^k +Bkw^k,

z_k = C_kx_k + D_kw_k

с начальным условием x₀ = 0. Здесь x_k ∈ Rⁿ - вектор состояния, w_k ∈ Rmw -

вектор внешнего возмущения, z_k ∈ Rpz - вектор выхода. Вещественные мат-

рицы A_k, B_k, C_k, D_k, зависящие от дискретного времени k, имеют согласо-

ванные с векторами размерности. Система (3) на каждом шаге дискретного

времени k определяется четверкой матриц F_k = (A_k, B_k, C_k, D_k) и ассоцииру-

ется с блочной нижнетреугольной матрицей

F0:N = block

(f_ij) ∈ Rpz(N+1)×mw (N+1)

0≤i,j≤N

с элементами-блоками

⎧

⎨CiTi,j+1Bj, если i > j,

f_i,j =

D_j,

если i = j,

⎩

если i < j,

где T_i,j = Ai-1Ti-1,j и T_j,j = I_n.

Матрица F0:N задает вход-выходные соотношения системы F в виде

Z0:N = F0:N W0:N, где для краткости записи введены обозначения W0:N =

= (wT0 , . . . , wTN )^T и Z0:N = (zT0 , . . . , zTN )^T. Согласно описанной эквивалентно-

сти в представлениях, под нормой системы F имеется в виду соответствую-

щая норма матрицы F0:N , в частности, ∥F ∥₂ = ∥F0:N ∥₂, |||F |||_a,τ = |||F0:N |||_a,τ

и ∥F ∥_∞ = ∥F0:N ∥_∞. Для гарантированного выполнения строгого неравен-

ства ∥F ∥₂/√m < ∥F∥∞, где m = mw(N + 1), предполагается, что справедли-

во неравенство p_z < m_w.

В следующей теореме приведены формулы вычисления (a, τ)-анизотро-

пийной нормы |||F |||_a,τ нестационарной системы в пространстве состояний.

Теорема 1

[19]. Пусть даны число a ≥ -m2 ln(1 - τ²), где τ ∈ [0; 1),

и система F с представлением в пространстве состояний

(3). Тогда

(a, τ)-анизотропийная норма системы F вычисляется согласно правилу

|||F |||_a,τ = N (A-1(a)), где

(

)1/2

Φ(q) - 1

(4)

N (q) =

N₀(q)(1 - τ²) + ∥F∥2∞τ²

N₀(q) =

qΦ(q)

(5)

A(q) = A₀(q) -

ln(1 - τ²), A₀(q) =

(ln Φ(q) - Ψ(q)) ,

∑

(6)

Φ(q) =

tr(L_kP_kLTk + S_k), Ψ(q) =

ln det S_k.

k=0

Семейства матриц {L_k}Nk=0, {S_k}Nk=0 связаны с решением {P_k}Nk=0 разност-

ного уравнения Ляпунова

Pk+1 = (A_k + B_kL_k)P_k(A_k + B_kL_k)^T + B_kS_kBTk, P₀ = 0

и решением {Q_k}Nk=0 разностного уравнения Риккати

Q_k = ATkQk+1A_k + qCTkC_k + LTkS-1kL_k, QN+1 = 0

выражениями

S_k = (I_m - BTkQk+1B_k - qDTkD_k)-1,

L_k = S_k(BTkQk+1A_k + qDTkC_k),

где q = A-1(a).

Замечание 2. В силу зависимости функции N(q) от ∥F∥_∞ к приведен-

ным в теореме выражениям формально необходимо добавить формулу вы-

числения H_∞-нормы системы F . А в рамках условия ограниченности ани-

зотропийной нормы |||F |||_a, о котором пойдет речь далее, добавить условие

ограниченности ∥F ∥_∞.

Замечание 3. При τ = 0 формулы (4)-(6) задают правило вычис-

ления (a, 0)-анизотропийной нормы системы F , при этом N (q) = N₀(q),

A(q) = A₀(q) и |||F |||_a = N₀(A-10(a)).

3. Критерий ограниченности анизотропийной нормы

В данном разделе сформулирован критерий ограниченности анизотропий-

ной нормы нестационарной системы в терминах обратного времени. Перво-

начально критерий ограниченности анизотропийной нормы нестационарной

системы был сформулирован и доказан Максимовым Е.А., а чуть позже пере-

формулирован Владимировым И.Г. в терминах прямого времени [21]. Однако

результаты проделанной Максимовым Е.А. работы так и не были опублико-

ваны в связи с его безвременной кончиной, поэтому кратко и без доказатель-

ства приводятся (с некоторыми изменениями) в данном разделе. Для начала

сформулируем вспомогательное утверждение, вытекающее из теоремы 1 и

замечания 3.

Теорема 2

[24]. Пусть задана линейная дискретная нестационарная

система F с моделью в пространстве состояний (3). Пусть также заданы

числа τ ∈ [0; 1), a ≥ -m2 ln(1 - τ²) и γ > 0. Следующие утверждения эквива-

лентны:

• (a, τ)-анизотропийная норма |||F |||_a,τ системы F ограничена числом γ, т.е.

|||F |||_a,τ ≤ γ;

• существуют такие числа γ₁ > 0 и γ₂ > 0, что |||F |||_b ≤ γ₁, ∥F ∥_∞ ≤ γ₂ и

γ²¹(1 - τ²) + γ²²τ² ≤ γ², где b = a +m2 ln(1 - τ²).

Из этой теоремы, в частности, следует, что критерий ограниченности

нестационарной системы с нецентрированным возмущением связан с крите-

рием ограниченности той же системы с центрированным возмущением (вер-

нее, с возмущением, удовлетворяющим условию τ = 0 и соответствующим об-

разом измененным ограничением на анизотропию) и его предельным случаем

lim

|||F |||_a = ∥F ∥_∞.

a→∞

В теореме ниже приведен критерий ограниченности анизотропийной нор-

мы для нестационарной системы вида (3) с центрированным возмущени-

ем в терминах обратного времени. Принимая во внимание обозначение

Fk = (Ak, Bk, Ck, Dk) для четверки матриц системы (3), для краткости из-

ложения введем функцию

Φ(F_k, q, R) = ATkRA_k + qCTkC_k +

+ (ATk RB_k + qCTk D_k)(I_m - BTk RB_k - qDTk D_k)-1(BTk RA_k + qDTk C_k).

Еще раз отметим, что основа этого утверждения принадлежит Е.А. Макси-

мову.

Теорема 3. Пусть задана линейная дискретная нестационарная систе-

ма F с моделью в пространстве состояний (3). Пусть также заданы числа

a ≥ 0 и γ > 0. Следующие утверждения эквивалентны:

• a-анизотропийная норма системы F ограничена числом γ, т.е. |||F |||_a ≤ γ;

• существует такое число q ≥ 0, что разностное уравнение Риккати R_k =

= Φ(F_k,q,Rk+1), RN+1 = 0, имеет симметричное положительно опреде-

ленное решение R_k = RTk ≻ 0, удовлетворяющее неравенствам

S_k = I_m - BTkRk+1B_k - qDTkD_k ≻ 0,

∑

ln det S_k ≥ m ln(1 - qγ²) + 2a.

k=0

Доказательство. Доказательство данной теоремы включает в себя

часть результатов работ [18, 21], которые не дублируются здесь, но к которым

даются соответствующие отсылки. Все доказательство формально состоит из

четырех частей. Во-первых, в [21] получены условия ограниченности анизо-

тропийной нормы нестационарной системы в терминах прямого времени, но

ход доказательства (до формулы (32)) сохраняет силу и в рассматриваемом

здесь случае. Это в том числе приведет к тому, что решение задачи напрямую

будет связано с матрицей Σ(q) = (I - qFT0:N F0:N )-1, характеризующей “наи-

худшее” входное возмущение. Во-вторых, матрицу Σ(q) = (I - qFT0:N F0:N )-1

можно факторизовать как Σ(q) = G0:N GT0:N , что приводит к матричному

уравнению qFT0:N F0:N + G-T0:N G-10:N = I, представимому в более компактном

виде

[_√

]

0:N

Θ^TΘ = I, Θ =

G-¹

0:N

Матрица Θ отождествима с системой с (A, B, C, D)-представлением

⎡

⎤

A_k

√

⎢

qC_k

√qD

⎥

Θ∼

⎣

⎦.

-S-1/2kL_k S-1/2

В-третьих, если воспользоваться леммой 7 работы [18], то для выполнения

условия Θ^TΘ = I достаточно потребовать существования решения уравне-

ния Риккати R_k = Φ(F_k, q, Rk+1), RN+1 = 0, причем использованные выше

вспомогательные матрицы L_k и S_k имеют вид

L_k = S-1k(BTkRk+1A_k + qDTkC_k),

S_k = (I_m - BTkRk+1B_k - qDTkD_k).

Наконец, возвращаясь снова к [21] (к заключительной части доказательства),

получаем, что условие ограниченности анизотропии вектора W0:N входных

сигналов может быть переписано в виде

∑

ln det S_k ≥ m ln(1 - qγ²) + 2a,

k=0

что завершает доказательство.

В [24, теорема 3] был приведен похожий результат, но, поскольку в ней

решалась задача управления, его формулировка дана в терминах решения

уравнений Риккати в прямом (а не обратном) времени.

Следующая теорема устанавливает достаточные условия ограниченно-

сти анизотропийной нормы нестационарной системы в терминах разностных

неравенств Риккати в обратном времени.

Теорема 4. Пусть задана линейная дискретная нестационарная систе-

ма F с моделью в пространстве состояний (3). Пусть также заданы числа

τ ∈ [0;1), a ≥ -m2 ln(1 - τ²) и γ > 0. Следующие утверждения эквивалент-

ны:

• (a, τ)-анизотропийная норма |||F |||_a,τ системы F ограничена числом γ, т.е.

|||F |||_a,τ ≤ γ;

• существуют такие числа γ₁ > 0 и γ₂ > 0, связанные условием γ²¹(1 - τ²) +

+γ²²τ² ≤ γ², и такое число q ≥ 0, что разностные неравенства Рикка-

ти P_k ≻ Φ(F_k,q,Pk+1), PN+1 = 0

P_k ≻ Φ(F_k,q

Pk+1),

PN+1 = 0 имеют

положительно определенные решения P_k ≻ 0

P_k ≻ 0, удовлетворяющие

неравенствам

Q_k = I_m - BTkPk+1B_k - qDTkD_k ≻ 0,

∑

ln det Q_k ≥ m ln(1 - τ²) + 2b,

k=0

где b = a +m2 ln(1 - τ²).

Доказательство теоремы основано на хорошо известных свойствах моно-

тонности решения разностных уравнений Риккати.

Следующим стандартным в рамках анизотропийной теории шагом являет-

ся переход от строгих формул вычисления анизотропийной нормы с исполь-

зованием решения уравнений Риккати к условию ее ограниченности, опираю-

щемуся на матричные неравенства Риккати, полученные из соответствующих

уравнений в силу свойства монотонности их решения. К полученным неравен-

ствам применяется лемма Шура, в результате чего имеем достаточные усло-

вия ограниченности анизотропийной нормы в терминах линейных матричных

неравенств. Данные выкладки достаточно громоздки и потому опущены, но

их аналоги, связанные с решением задачи управления, можно проследить

в [24]. Таким образом, достаточные условия ограниченности анизотропийной

нормы нестационарной системы имеют следующий вид.

Теорема 5. Пусть задана линейная дискретная нестационарная си-

стема F с моделью в пространстве состояний (3). Пусть также зада-

ны b = a +m2 ln(1 - τ²) ≥ 0 и γ > 0. Анизотропийная норма системы удо-

влетворяет ограничению |||F |||_b ≤ γ, если существуют число η ≥ 0 и такие

положительно определенные матрицы M_k и Ψ_k, что линейные матричные

неравенства

⎡

⎤

M_k

∗

⎡

⎤

⎢

⎥

M_N

∗

⎢

ηI_m

∗

∗⎥

⎢

⎥

⎢

^⎥≻0

при k < N,

⎣ 0

ηI_m

∗⎦ ≻ 0,

⎢

⎥

⎣Mk+1Ak Mk+1Bk Mk+1

∗⎦

C_N D_N I_p

C_k

D_k

I_p

⎤

^⎡ηI_m - Ψ_k

∗

[

]

ηI_m - Ψ_N

∗

⎢

⎥

⎣ Mk+1Bk Mk+1

∗⎦≻0

при k < N,

≻0

D_N I_p

D_k

I_p

разрешимы, а их решения дополнительно удовлетворяют условию

(

)

exp

(det Ψ_k)1/mw ≥ η - γ².

На основе сформулированной выше теоремы найдем коэффициенты суб-

оптимального анизотропийного оценивателя для нестационарной системы.

4. Постановка и решение задачи фильтрации

Постановка и решение задачи субоптимальной анизотропийной фильтра-

ции на конечном горизонте в прямом времени для случая τ = 0 была пред-

ставлена с доказательствами, рассмотрением предельных случаев и анализом

численного примера в [23].

Рассмотрим линейную дискретную нестационарную систему F , заданную

на конечном интервале времени k = 0, . . . , N, следующего вида:

xk+1 = A_kx_k + B_kw_k,

(7)

y_k = C_y,kx_k + D_y,kw_k,

z_k = C_z,kx_k + D_z,kw_k,

где x_k ∈ Rⁿ - вектор состояния, w_k ∈ Rmw - вектор внешнего возмущения,

y_k ∈ Rpy - измеряемый выход, z_k ∈ Rpz - оцениваемый выход. Вещественные

матрицы A_k, B_k, C_y,k, D_y,k, C_z,k, D_z,k имеют согласованные с векторами раз-

мерности. На множество сигналов внешнего возмущения наложено ограни-

чение в виде уровня анизотропии A(W ) ≤ a и задано число τ ∈ (0; 1).

Систему-оцениватель векторов z_k будем искать в виде

(8)

xk+1 = (Ak - KkCy,k)xk + Kkyk,

zk = (Cz_k - LkCy,k)xk + Lkyk,

где x_k - состояние оценивателя, а K_k и L_k - матрицы, подлежащие нахожде-

нию.

Система T_zw, связывающая на интервале времени k = 0, . . . , N векторы w_k

внешнего возмущения системы (7) и векторы ошибки z_k = z_k - z_k, имеет вид

xk+1 = (Ak - KkCy,k)xk + (Bk - KkDy,k)wk,

zk = (Cz,k - LkCy,k)xk + (Dz,k - LkDy,k)wk,

где x_k = x_k - x_k - вектор ошибки состояния.

Задача 1. Для заданной системы F с моделью в пространстве состоя-

ний (7), числа τ ∈ (0;1) и уровня анизотропии a ≥ -m2 ln(1 - τ²) найти па-

раметры оценивателя с моделью в пространстве состояний (8), миними-

зирующие значение γ, где

|||T_zw|||_a,τ ≤ γ.

Применим к системе T_zw утверждение теоремы 5. Тогда для ограниченно-

сти анизотропийной нормы системы в ошибках должны существовать число

η ≥ 0 и положительно определенные матрицы M_k и Ψ_k, удовлетворяющие

линейным матричным неравенствам

⎡

⎤

M_k

∗

⎢

⎥

⎢

ηI_m

∗

∗⎥

⎢

^⎥≻0

при k < N,

⎢

⎥

⎣Mk+1(Ak - KkCy,k) Mk+1(Bk - KkDy,k) Mk+1

∗⎦

C_z,k - L_kC_y,k

D_z,k - L_kD_y,k

I_p

⎡

⎤

M_N

∗

⎢

⎥

⎣

ηI_m

∗⎦ ≻ 0,

C_z,N - L_N C_y,N D_z,N - L_ND_y,N I_p

⎡

⎤

M_k

∗

⎢

⎥

⎢

γ²²I_m

∗

∗⎥

⎢

^⎥≻0

при k < N,

⎢

⎥

⎣Mk+1(Ak - KkCy,k) Mk+1(Bk - KkDy,k) Mk+1

∗⎦

C_z,k - L_kC_y,k

D_z,k - L_kD_y,k

I_p

⎡

⎤

M_N

∗

⎢

⎥

⎣

γ²²I_m

∗⎦ ≻ 0,

C_z,N - L_N C_y,N D_z,N - L_ND_y,N I_p

⎡

⎤

ηI_m - Ψ_k

∗

⎢

⎥

⎣Mk+1(Bk - KkDy,k) Mk+1

∗⎦≻0

при k < N,

(D_z,k - L_kD_y,k)

I_p

[

]

ηI_m - Ψ_N

∗

≻ 0,

D_z,N - L_ND_y,N I_p

причем их решения должны удовлетворять условиям

(

)

γ²¹(1 - τ²) + γ²²τ² ≤ γ², exp

(det Ψ_k)1/mw ≥ η - γ²¹.

Проведем замену Mk+1K_k = Yk+1, в результате чего получим следующую

задачу выпуклой оптимизациии, в соответствии с решением которой опреде-

ляются матрицы K_k и L_k оценивателя:

γ² →

min

M_k,Y_k,Ψ_k,η,γ₁,γ₂

при ограничениях

M_k = MTk ≻ 0, Ψ_k = ΨTk ≻ 0, η ≥ 0,

⎡

⎤

M_k

∗

⎢

⎥

⎢

ξImw

∗

⎥

⎢

^⎥≻0

при k < N,

⎢

⎥

⎣Mk+1Ak - Yk+1Cy,k Mk+1Bk - Yk+1Dy,k Mk+1

∗

⎦

C_z,k - L_kC_y,k

D_z,k - L_kD_y,k

Ipz

⎡

⎤

M_N

∗

⎢

⎥

⎣

ξImw

∗

⎦ ≻ 0,

C_z,N - L_NC_y,N D_z,N - L_ND_y,N Ipz

где в последних двух семействах матричных неравенств должны быть сдела-

ны подстановки ξ = η и ξ = γ²²,

⎡

⎤

ηImw - Ψ_k

∗

⎢

⎥

⎣Mk+1Bk - Yk+1Dy,k Mk+1

⎦≻0

при k < N,

D_z,k - L_kD_y,k

Ipz

[

]

ηImw - Ψ_N

∗

≻0,

D_z,N - L_ND_y,N Ipz

(

)

γ²¹(1 - τ²) + γ²²τ² ≤ γ², exp

-2bm

(det Ψ_k)1/mw ≥ η - γ²¹.

Если решение этой задачи найдено, то матрицы K_k оценивателя находятся

как K_k = M-1k+1Yk+1.

5. Пример

В рамках примера рассмотрим систему

x1,k+1 = -0,3x2,k + sin(3k)w_k,

x2,k+1 = 0,2(1 + sin(3k))x1,k - 0,3x2,k - 0,03w_k,

z_k = 0,5x1,k + 0,5sin(3k)x2,k,

y1,k = (-2 + 0,3sin(5k))x1,k + 0,5x2,k + 0,1sin(3k)w_k,

y2,k = x2,k + 0,2w_k

с начальным состоянием x₁(0) = 0,26, x₂(0) = -0,2.

0,25

0,1

x₁

0,2

0,05

0,15

-0,05

0,1

-0,1

0,05

-0,15

-0,2

0,2

0,4

0,6

0,8

0,2

0,4

0,6

0,8

Рис. 1. Динамика переменных x₁ и x₂ в отсутствие внешнего возмущения

(представлена только первая секунда времени).

w (τ = 0,03)

w (τ = 0,7)

2,5

1,5

0,5

-0,5

-1

-1,5

Рис. 2. Внешнее возмущение w. Случаи τ = 0,03, a = 10 и τ = 0,7, a = 40.

x₁

-1

-2

-3

Рис. 3. Динамика переменной x₁. Случаи τ = 0,03, a = 10.

Для расчета были выбраны следующие данные: интервал времени

T = 10 с, шаг дискретизации Δt = 0,1 с, значения анизотропии возмущения

при τ = 0,03 выбираются равными a = 0,05, a = 10 и a = 100 соответственно,

значения анизотропии возмущения при τ = 0,7 выбираются равными a = 35,

a = 40 и a = 100 соответственно. Расчеты произведены в среде программиро-

вания MATLAB с использованием пакетов Yalmip и Sedumi [25, 26].

x₂

0,5

-0,5

-1

Рис. 4. Динамика переменной x₂. Случаи τ = 0,03, a = 10.

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

Рис. 5. Динамика переменной z. Случаи τ = 0,03, a = 10.

На рис. 1 показаны переменные x₁ и x₂ системы (в первую секунду вре-

мени) в отсутствие внешних возмущений. На рис. 2 показаны используемые

при моделировании возмущения w для случаев τ = 0,03, a = 10 и τ = 0,7,

a = 40. На рис. 3 показаны переменная x₁, ее оценка и ошибка оценивания;

на рис. 4 - переменная x₂, ее оценка и ошибка оценивания; на рис. 5 - выход z,

а также его оценка и ошибка оценивания. Все графики приведены для случая

τ = 0,03, a = 10. На рис. 6-8 приведены аналогичные переменные для случая

x₁

-1

-2

-3

Рис. 6. Динамика переменной x₁. Случаи τ = 0,7, a = 40.

x₂

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

Рис. 7. Динамика переменной x₂. Случаи τ = 0,7, a = 40.

τ = 0,7, a = 40. Из рисунков следует, что анизотропийный оцениватель адек-

ватно оценивает выход системы как при наличии (почти) центрированного

возмущения, так и в случае нецентрированного.

Для сравнения значений анизотропийной нормы системы для разных слу-

чаев с ее границами (∥T_zw∥₂/√m = 0,0511, ∥T˜zw∥∞ = 0,0970) приведена таб-

лица, из которой наглядно видно, что анизотропийная норма занимает про-

межуточное положение между масштабированной H₂- и H_∞-нормами.

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

Рис. 8. Динамика переменной z. Случаи τ = 0,7, a = 40.

Значения анизотропийной нормы для различных пар (a, τ)

0,03

0,7

0,05

100

|||T_zw|||_a,τ

0,0513

0,0683

0,0931

0,0791

0,0818

0,0930

6. Заключение

В работе кратко приводятся результаты, касающиеся вычисления и кри-

терия ограниченности анизотропийной нормы нестационарной системы. На

их основе приводится решение задачи синтеза субоптимального анизотро-

пийного оценивателя в обратном времени. Показано, что решение этой за-

дачи соответствует решению некоторой задачи выпуклой оптимизации. Для

демонстрации качества работы оценивателя для простой системы приведен

численный пример.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Anderson B.D.O., Moore J.B. Optimal filtering. Englewood Cliffs. N.J.: Prentice

Hall, 1979.

2. Hassibi B., Sayed A., Kailath T. Indefinite Quadratic Estimation and Control:

A Unified Approach to H₂ and H_∞ Theories. SIAM, Philadelphia, 1999.

3. Simon D. Optimal State Estimation: Kalman, H_∞, and Nonlinear Approaches. New

Jersey: John Wiley and Sons, 2006.

4. Zhou K., Glover K., Bodenheimer B., Doyle J. Mixed H₂ and H_∞ performance

objectives I: Robust performance analysis // IEEE Trans. Automat. Control. 1994.

V. 39. P. 1564-1574.

5. Haddad W.M., Bernstein D.S., Mustafa D. Mixed-norm H₂/H_∞ regulation and

estimation: the discrete-time case // Syst. Control Lett. 1991. V. 16. No.

P. 235-247.

Khargonekar P.P., Rotea M.A., Baeyens E. Mixed H₂/H_∞ filtering // Int. J. Robust

Nonlinear Control. 1996. V. 6. P. 313-330.

Bernstein D.S., Haddad W.M. Steady-state Kalman filtering with an H_∞ error

bound // Syst. Control Lett. 1989. V. 12. P. 9-16.

Limebeer D.J.N., Anderson B.D.O., Hendel B. Mixed H₂/H_∞ filtering by the theory

of Nash games/ Proc. Workshop Robust Control. Tokyo. Japan. 1992. P. 9-15.

Huaizhong Li., Minyue Fu. A Linear Matrix Inequality Approach to Robust H_∞

Filtering // IEEE Trans. Signal Proc. 1997. V. 45. No. 9. P. 2338-2350.

10.

Wang Z., Unbehauen H. Robust H₂/H_∞ state estimation for systems with error

variance constraints: The continuous-time case // IEEE Trans. Automat. Control

1999. V. 44. P. 1061-1065.

11.

Palhares R.M., Peres P.L.D. LMI approach to the mixed H₂/H_∞ filtering design

for discrete-time uncertain systems // IEEE Trans. Aerospace Electron. Syst. 2001.

V. 37. No. 1. P. 292-296.

12.

Semyonov A.V., Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P. Stochastic approach to H_∞-op-

timization

// Proc.

IEEE Conf. Decision Control. Florida(USA).

1994.

P. 2249-2250.

13.

Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов А.В. Стохастическая проблема

H_∞-оптимизации // Докл. РАН. 1995. Т. 343. № 5. C. 607-609.

14.

Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов А.В. Анизотропия сигналов и энтро-

пия линейных стационарных систем // Докл. АН. 1995. Т. 342. № 5. С. 583-585.

15.

Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P. Semyonov A.V. On computing the anisotropic

norm of linear discrete-time-invariant systems // Proc. 13 IFAC World Congr., San-

Francisco, California, USA, June 30-July 5. 1996.

16.

Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. State-space solution to anisotropy-

based stochastic H_∞-optimization problem // Proc. 13 IFAC World Congr. San-

Francisco(USA). 1996. P. 427-432.

17.

Vladimirov I.G. Anisotropy-based optimal filtering in linear discrete time invariant

systems // CADSMAP Res. Report 01-03, 2001, arXiv: 1412.3010 [completed in

2001].

18.

Владимиров И.Г., Даймонд Ф., Клоеден П. Анизотропийный анализ робастного

качества линейных нестационарных дискретных систем на конечном временном

интервале // АиТ. 2006. № 8. C. 92-111.

Vladimirov I.G., Diamond P., Kloeden P. Anisotropy-based Robust Performance

Analysis of Finite Horizon Linear Discrete Time Varying Systems // Autom. Remote

Control. 2006. V. 67. No 8. P. 1265-1282.

19.

Кустов А.Ю., Тимин В.Н. Анизотропийный анализ нестационарных систем на

конечном интервале времени при нецентрированном возмущении // АиТ. 2017.

№ 6. С. 18-35.

Kustov A.Yu., Timin V.N. Anisotropy-based Analysis for Finite Horizon Time-

varying Systems with Non-centered Disturbances // Autom. Remote Control. 2017.

V. 78. No. 6. P. 974-988.

20.

Vladimirov I., Diamond P. Robust filtering in finite horizon linear discrete time

varying systems by minim um anisotropic norm criterion // CADSMAP Res. Report

01-05, 2001. [completed in 2001].

21.

Maximov E.,A., Kurdyukov A.P., Vladimirov I.G. Anisotropic Norm Bounded Real

Lemma for Linear Time-Varying System // Preprint 18-th IFAC World Congr.

Milano. 2011. P. 4701-4706.

22. Yaesh I., Stoica A.-M. Linear Time-Varying Anisotropic Filtering its Application to

Nonlinear Systems State Estimation // Proc. Eur. Control Conf. Strasburg. 2014.

June 24-27. P. 975-980.

23. Тимин В.Н., Курдюков А.П. Субоптимальная анизотропийная фильтрация на

конечном горизонте // АиТ. 2016. № 1. С. 5-29.

Timin V.N., Kurdyukov A.P. Suboptimal Anisotropic Filtering in a Finite Horizon //

Autom. Remote Control. 2016. V. 77. No. 1. P. 1-20.

24. Kustov A.Yu., Timin V.N. Suboptimal Anisotropy-based Control for Linear Discrete

Time Varying Systems with Noncentered Disturbances // Proc. 13th IFAC World

Congr., Toulouse, France, July 9-14. 2017. P. 6296-6301.

25. Lofberg J. YALMIP: A Toolbox for Modeling and Optimization in MATLAB // Proc.

CACSD Conf. Taipei, Taiwan. 2004.

Available from http://users.isy.liu.se/johanl/yalmip/

26. Sturm J.F. Using SeDuMi 1.02, a MATLAB Toolbox for Optimization Over

Symmetric Cones // Optim. Methods Software. 1999. V. 11. P. 625-653.

Статья представлена к публикации членом редколлегии П.С. Щербаковым.

Поступила в редакцию 29.12.2017

После доработки 26.04.2018

Принята к публикации 08.11.2018