Автоматика и телемеханика, № 5, 2019

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

О МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ ПЕРИОДИЧЕСКОГО

ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ

С АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВЫМ МНОЖЕСТВОМ

Доказано, что решения периодического однородного дифференциаль-

ного включения с асимптотически устойчивым множеством при малых

возмущениях, не нарушающих периодичности и однородности включе-

ния, обладают свойством сохранения оценки экспоненциального вида.

Ключевые слова: периодическое однородное дифференциальное включе-

ние, асимптотически устойчивое множество, малые возмущения.

DOI: 10.1134/S0005231019050039

1. Введение

Изучение систем управления привело к применению теории дифференци-

альных включений, см., например, [1-7]. Использованию дифференциальных

включений в теории систем управления посвящена публикация [8]. Известно,

что при достаточно общих предположениях система управления с ограниче-

ниями на управление эквивалентна дифференциальному включению

(1)

x ∈ F(t,x),

где F (t, x) - многозначное отображение, т.е. функция, которая каждому мо-

менту времени t и каждой фазовой точке x ∈ Rⁿ ставит в соответствие множе-

ство F (t, x) ∈ Rⁿ. В форме дифференциального включения (1) можно пред-

ставить не только систему управления с заданными ограничениями на управ-

ление, но и другие объекты. К таким объектам, например, относятся систе-

мы дифференциальных неравенств, неявные дифференциальные уравнения,

системы управления с фазовыми ограничениями, дифференциальные урав-

нения с разрывной правой частью.

Теория дифференциальных включений хорошо развита, см. [9, 10], однако

в публикациях, посвященных периодическим по времени дифференциальным

включениям (например, [11-13]), в основном рассматриваются вопросы суще-

ствования периодических решений. Достаточно мало публикаций посвящено

исследованию свойств решений периодических по времени дифференциаль-

ных включений. Так, например, в [14, 15] исследуются свойства слабой асимп-

тотической и слабой экспоненциальной устойчивости положения равновесия

периодического по времени дифференциального включения. Согласно приве-

денным в [14, 15] определениям положение равновесия рассматриваемого пе-

риодического дифференциального включения слабо асимптотически (слабо

экспоненциально) устойчиво, если существует хотя бы одно решение вклю-

чения, удовлетворяющее условиям обычных определений асимптотической

(экспоненциальной) устойчивости положения равновесия дифференциально-

го включения. В [14, 15] разработан метод исследования слабой асимптотиче-

ской и слабой экспоненциальной устойчивости положения равновесия перио-

дического по времени дифференциального включения, состоящий в построе-

нии включения первого приближения и исследовании свойств его решений.

Доказаны теоремы, позволяющие судить о слабой асимптотической (слабой

экспоненциальной) устойчивости положения равновесия исходного включе-

ния по аналогичным свойствам положения равновесия включения первого

приближения.

В [16-19] решены задачи о абсолютной и робастной устойчивости систем

управления с периодически изменяющимися параметрами. В частности, уста-

новлено, что рассматриваемые системы управления с периодическими пара-

метрами эквивалентны, в смысле совпадения множеств абсолютно непрерыв-

ных решений, периодическому по времени дифференциальному включению.

В [20] рассмотрен ряд примеров, приводящих к системам с периодически ме-

няющимися параметрами. К системам подобного вида относятся, например,

следящие системы, элементы которых работают на переменном токе, системы

управления с амплитудно-импульсной модуляцией и системы, используемые

при решении задач, связанных с исследованием вибраций фрезерных стан-

ков. В [21] доказано, что решения периодических дифференциальных включе-

ний с асимптотически устойчивым нулевым решением обладают в ряде слу-

чаев теми же свойствами, что и решения автономных дифференциальных

включений. В [22, 23] изучались периодические дифференциальные включе-

ния с асимптотически устойчивыми множествами, в частности установлен

равномерный характер стремления решений к асимптотически устойчивому

множеству и получена оценка решений экспоненциального вида. Данная ста-

тья является продолжением [22, 23] и посвящена влиянию малых возмущений

на решения периодических дифференциальных включений с асимптотически

устойчивыми множествами, что в [22, 23] не рассматривалось.

2. Постановка задачи

Приведем необходимые определения и теорему, доказанную в [23]. Рас-

смотрим периодическое дифференциальное включение вида

(2)

x∈F(t,x), F(t,x)≡F(t+T,x), t≥0, x∈Rⁿ

T = const, T >0.

Везде далее будем предполагать, что многозначная функция F (t, x) в области

G = {0 ≤ t ≤ T,x ∈ G_R,G_R = {x₀ : ∥x₀∥ ≤ R}} удовлетворяет основным усло-

виям [5, с. 60], т.е. при всех (t, x) ∈ G множество F (t, x) ⊂ Rⁿ является непу-

стым, ограниченным, замкнутым, выпуклым и функция F (t, x) полунепре-

рывна сверху [5, с. 52] по (t, x).

Решением включения (2) будем называть абсолютно непрерывную вектор-

функцию x(t), определенную на интервале (полуинтервале) или отрезке I,

которая почти всюду на I удовлетворяет (2). В силу периодичности по t

многозначной функции F (t, x) при исследовании свойств решений x(t, t₀, x₀)

включения (2) без ограничения общности можно считать, что t₀ ∈ [0, T ]. Из

определения решения и периодичности по t правой части включения (2) сле-

дует, что решения включения обладают следующими двумя свойствами. Если

функция x(t) является решением включения (2) (при α < t < β), то:

1) функция x(t + kT ), где α - kT < t < β - kT , k - любое целое число,

также является решением включения (2), и решения x(t) и x(t + kT ) имеют

одну и ту же траекторию;

2) для любых t₀ ∈ [0, T ], t₁ и t таких, что t₀ ≤ t₁ ≤ t, выполнено равенство

x(t, t₁, x(t₁)) = x(t, t₀, x₀), где x(t₁) = x(t₁, t₀, x₀).

Пусть a ∈ Rⁿ, b ∈ Rⁿ - точки (векторы) с координатами a_i и b_i, i = 1, n,

B ⊂ Rⁿ - множество. Под расстоянием ρ между точками или точкой и мно-

жеством понимаются соответственно следующие неотрицательные числа

(

)1/2

∑

ρ(a, b) = ∥a - b∥ =

(a_i - b_i)2

ρ(a, B) = inf (a, b).

b∈B

i=1

Известно, что функция ϕ(x) = ρ(x, B) равномерно непрерывна для любых

точек x ∈ Rⁿ и y ∈ Rⁿ

|ρ(x, B) - ρ(y, B)| ≤ ρ(x, y). Замкнутой ε-окрест-

ностью M^ε множества M будем называть множество таких точек x, что

ρ(x, M) ≤ ε. Пусть Mε0 ⊂ G, где ε₀ > 0.

Определение 1. Множество M называется асимптотически устой-

чивым для включения (2), если для любого ε > 0 существует такое δ(ε) > 0,

что для каждого x₀, для которого ρ(x₀, M) ≤ δ(ε), существует решение с

начальным условием x(t₀) = x₀ и все решения, обладающие указанным свой-

ством, продолжаются на интервале t₀ ≤ t < ∞ и удовлетворяют условиям

ρ(x(t), M) ≤ ε при t₀ ≤ t < ∞ и ρ(x(t), M) → 0 при t → ∞.

Далее будем рассматривать однородные по x ∈ Rⁿ дифференциальные

включения. Если B - множество в Rⁿ, c - число, то cB обозначает множество

точек вида cx для всех x ∈ B.

Определение 2. Многозначная функция F(t,x) называется однород-

ной (первой степени) по x, если F(t,cx) ≡ cF(t,x) для всех c > 0.

Определение 3. Дифференциальное включение

(3)

x ∈ F(t,x) (F(t,cx) ≡ cF(t,x),c > 0)

называется однородным по x.

Однородное дифференциальное включение (3) совпадает с включением,

полученным при замене x = cx₁ с любым c > 0. Это значит, что если функция

x = ϕ(t) - решение включения (3), то для любого c > 0 функция x = cϕ(t)

тоже является решением.

Рассмотрим периодическое по t и однородное по x дифференциальное

включение

x ∈ F(t,x) (t ≥ 0, x ∈ Rⁿ), F(t,x) ≡ F(t + T,x) (T = const, T > 0),

(4)

F (t, cx) ≡ cF (t, x) (c > 0).

Теорема 1. Если ограниченное множество M асимптотически устой-

чиво для включения (4), то существуют такие числа c₀ > 0 и c₁ > 0, что

для каждого решения x(t, t₀, x₀) включения (4) при любых t₀ и t ≥ t₀ выпол-

нена оценка

(5)

ρ(x(t, t₀, x₀), M) ≤ c₀ ∥x₀∥ e-c1t (t₀

≤ t < ∞).

Доказательство теоремы 1 приведено в [23], в нем используется доказанное

в [22] утверждение, что для включения (4) асимптотическая устойчивость

множества M эквивалентна его равномерной асимптотической устойчивости

по (t₀, x₀). Кроме того, используются однородность включения (4), компакт-

ность множества его решений на любом отрезке и факт, что если x(t) - ре-

шение, то функция x(t + kT ) также является решением включения (4) и ре-

шения x(t) и x(t + kT ) имеют одну и ту же траекторию.

Задача состоит в доказательстве свойства сохранения асимптотической

устойчивости множества M включения (4) при малых возмущениях, не на-

рушающих его однородности и периодичности.

3. Основной результат

Выберем произвольную точку (t, x). Введем обозначения:

⋃

x^η = {x₁ : ∥x₁ - x∥ ≤ η} (η > 0) и F(t,x^η) =

F (t, x₁).

x₁∈x^η

Рассмотрим coF (t, x^η) - выпуклую оболочку множества F (t, x^η). Обозна-

чим через [coF (t, x^η)]^δ замкнутую δ-окрестность множества coF (t, x^η). Пусть

η = p∥x∥, δ = q ∥x∥, где p и q - некоторые положительные параметры. Опре-

делим функцию

[

(

)]_q∥x∥

(6)

Fpq(t, x) = coF t, x^p∥x∥

(p > 0, q > 0).

Функция F_pq, как и функция F, периодическая, однородная (первой степе-

ни) и удовлетворяет основным условиям, которые приведены при постановке

задачи.

В качестве возмущенного будем рассматривать включение

(7)

x∈F_pq

(t, x).

Теорема 2. Если ограниченное множество M асимптотически устой-

чиво для включения (4), то существуют такие p₀ > 0 и q₀ > 0, что при всех

0 < p ≤ p₀ и 0 < q ≤ q₀ оно асимптотически устойчиво для включения (7).

При этом постоянные c₀ и c₁ в оценке (5) для решений включения (7) мож-

но взять сколь угодно мало отличающимися от значения этих постоянных

для включения (4).

Доказательство. Пусть x(t,t₀,x₀)

- решение включения

(4), а

y(t, t₀, y₀) - решение включения (7). Поскольку включения (4) и (7) однород-

ны, то без ограничения общности можно считать, что ∥x₀∥ ≤ 1 и ∥y₀∥ ≤ 1.

Для любого ε > 0 и β ∈ (0, c₁) выберем натуральное число^k такое, что вы-

полняется неравенство

(8)

1 + ε ≤ e(c1-β)s (s = kT ),

где c₁ - постоянная в оценке (5) для решения x(t, t₀, x₀).

В силу следствия 2 теоремы 1 из [5, с. 69] при достаточно малых p и q

и при t₀ ≤ t ≤ t₀ + s все решения включения (7) с начальными условиями

∥y₀∥ ≤ 1 отличаются от некоторых решений включения (4) с ∥x₀∥ ≤ 1 меньше

чем на εe-c1s. Поэтому выполнены неравенства

(9)

∥y(t, t₀, y₀) - x(t, t₀, x₀)∥ ≤ εe-c1s ≤ εe-c1(t-t0) (t₀ ≤ t ≤ t₀

+ s).

Кроме того, выполнены неравенства

ρ(y(t, t₀, y₀), M) - ρ(x(t, t₀, x₀), M) ≤

(10)

≤ |ρ(y(t,t₀,y₀),M) - ρ(x(t,t₀,x₀),M)| ≤

≤ ρ(x(t, t₀, x₀), y(t, t₀, y₀)).

Из (5), (9) и (10), учитывая, что c₀ = ec1t⁰ (это показано в доказательстве

теоремы 1), следуют неравенства

ρ(y(t, t₀, y₀), M) ≤ ∥y(t, t₀, y₀) - x(t, t₀, x₀)∥ + ρ(x(t, t₀, x₀), M) ≤

(11)

≤ εe-c1(t-t0) + c₀e-c1t = εe-c1(t-t0) + ec1t⁰ e-c1t =

= (ε + 1)e-c1(t-t0) (t₀ ≤ t ≤ t₀ + s).

Так как после замены t на t + kT (k - любое целое число) решение вклю-

чения (7) остается решением, то, взяв за начальные условия y(t₀ + s),

y(t₀ + 2s), . . . и применив (11), получим, что

ρ(y(t, t₀ + (i - 1)s, y(t₀ + (i - 1)s)), M) ≤ (ε + 1)ⁱe-c1(t-t0)

(12)

(t₀ + (i - 1)s ≤ t ≤ t₀ + is, i = 1, 2, . . .).

Из (8) следует, что для всякого i = 1, 2, . . . и соответствующего интервала

t₀ + (i - 1)s ≤ t ≤ t₀ + is выполнены неравенства

(1 + ε)ⁱe-c1(t-t0) = (1 + ε)(1 + ε)i-1e-c1(t-t0) ≤

≤ (1 + ε)e(c1-β)s(i-1)e-c1(t-t0) ≤

≤ (1 + ε)e(c1-β)(t-t0)e-c1(t-t0) ≤ (1 + ε)e-β(t-t0 ).

Отсюда и из (12) следует оценка

ρ(y(t, t₀, y₀), M) ≤ (1 + ε)e-β(t-t0 ) (t ≥ t₀, β ∈ (0, c₁)),

что доказывает асимптотическую устойчивость множества M для включе-

ния (7). При ε → 0 и β → c₁ (1 + ε)eβt0 → ec1t⁰ = c₀ и оценка ρ(y(t, t₀, y₀), M)

сколь угодно мало отличается от оценки (5).

Теорема 2 доказана.

4. Пример

Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение теоремы 2 и построе-

ние возмущенного включения. Рассмотрим периодическое однородное (пер-

вой степени) дифференциальное включение вида

x ∈ F(t,x),

{

}

(13)

F (t, x) = y : y = (λ₁a₁(t) + λ₂a₂(t))x, λ₁ ≥ 0, λ₂ ≥ 0, λ₁ + λ₂ = 1 ,

где x, y ∈ R, a₁(t), a₂(t) - непрерывные периодические функции периода

T > 0, a₁(t) ≥ a₂(t), при t ∈ [0,∞], с ограниченным асимптотически устой-

чивым множеством M. В частности, если M = {0}, то включение (13)

имеет асимптотически устойчивое нулевое решение. Полагая η = px > 0 и

δ = qx > 0, построим возмущенное включение. Для простоты будем считать,

что x ≥ 0, тогда

F (t, x) = [a₁(t)x; a₂(t)x], x^η = [x - η; x + η],

F (t, x^η) = [a₁(t)(x - η); a₂(t)(x + η)], coF (t, x^η) ≡ F (t, x^η),

[coF (t, x^η )]^δ = [a₁(t)(x - η) - δ; a₂(t)(x + η) + δ] =

= [(a₁(t)(1 - p) - q)x; (a₂(t)(1 + p) + q)x],

а возмущенное включение будет иметь вид

(14)

x ∈ F_pq(t,x),

{

Fpq(t, x) = y : y = (λ1(a1(t)(1 - p) - q) + λ2(a2(t)(1 + p) + q))x,

}

λ₁ ≥ 0, λ₂ ≥ 0, λ₁ + λ₂ = 1

Включение (14), как и включение (13), является однородным и периодиче-

ским. В соответствии с теоремой 2 если ограниченное множество M асимп-

тотически устойчиво для включения (13), то при достаточно малых p и q

оно асимптотически устойчиво для включения (14). При этом постоян-

ные c₀ и c₁ в оценке (5) для решений включения (14) можно взять сколь

угодно мало отличающимися от значения этих постоянных для включе-

ния (13). Заметим, что вопрос об условиях существования для включения (13)

ограниченного асимптотически устойчивого множества требует отдельного

исследования.

5. Заключение

Доказано, что для однородного периодического включения ограничен-

ное асимптотически устойчивое множество обладает свойством сохранения

асимптотической устойчивости при малых возмущениях включения, не нару-

шающих его периодичности и однородности. Показано также, что коэффи-

циенты в оценке экспоненциального вида для решений возмущенного вклю-

чения сколь угодно мало отличаются от коэффициентов в оценке решений

невозмущенного включения, если возмущения достаточно малы. Получен-

ный результат может найти применение при изучении систем управления с

периодическими параметрами, в частности систем с амплитудно-частотной

модуляцией.

Дальнейшее исследование рассмотренного в данной статье включения мо-

жет быть связано с распространением на него принципа отсутствия ограни-

ченных решений, сформулированного в [3] для автономных включений (с воз-

мущениями и без них), с получением условий слабой асимптотической и сла-

бой экспоненциальной устойчивости. Представляет интерес также вопрос об

условиях существования асимптотически устойчивого множества для част-

ных случаев однородного периодического дифференциального включения,

например при ограничениях на размерность вектора x и на параметры вклю-

чения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Roxin E. On Generalized Dynamical Systems Defined by Contingent Equations //

J. Differ. Equat. 1965. V. 1. No. 2. P. 188-205.

Kikuchi N. On Some Fundamental Theorems of Contingent Equations in Connection

with the Control Problems // Publ. RIMS. Kyoto Univ. Ser. A. 1967. V. 3.

P. 840-844.

Красносельский М.А., Покровский А.В. Принцип отсутствия ограниченных ре-

шений в проблеме абсолютной устойчивости // ДАН СССР. 1977. Т. 233. № 3.

С. 293-296.

Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. Ч. I. М.: Изд-во

МГУ, 1979.

Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.:

Наука, 1985.

Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Критерии устойчивости селекторно-линейных

дифференциальных включений // Докл. АН СССР. 1987. Т. 297. № 1. С. 37-40.

Молчанов А.П., Морозов М.В. Алгоритмы анализа робастной устойчивости ли-

нейных нестационарных систем управления с периодическими ограничения-

ми // АиТ. 1997. № 5. С. 100-111.

Molchanov A.P., Morozov M.V. Algorithms for Robust Stability Analysis of Linear

Time-Varying Control Systems with Periodic Constraints // Autom. Remote

Control. 1997. V. 58. No. 5. Part 2. P. 795-804.

Han Z., Cai X., Huang J. Theory of Control Systems Described by Differential

Inclusions. Springer, 2016.

Благодатских В.И. Некоторые результаты по теории дифференциальных вклю-

чений (обзор) / Summer school on ordinary differential equations. Brno. 1975.

C. 29-67.

10.

Aubin J.-P., Cellina A. Differential inclusions. Paris: Univ. Paris IX Dauphine, 1983.

11.

Поволоцкий А.И., Ганго Е.А. Существование периодических решений диффе-

ренциальных уравнений с многозначной правой частью // Республик. cб. тр.

“Математический анализ и теория функций”. Вып. 8. М.: МОПИ им. Н.К. Круп-

ской, 1977. С. 106-113.

12.

Ирисов А.Е., Тонкова В.С., Тонков Е.Л. Периодические решения дифференци-

ального включения // Сб. тр. “Нелинейные колебания и теория управления”.

Вып. 2. Ижевск: Удмурт. гос. ун-т, 1978. С. 3-15.

13.

Macki J.W., Nistri P., Zecca P. The Existence of Periodic Solutions to Non-

Autonomous Differential Inclusions // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V. 104. No. 3.

P. 840-844.

14.

Smirnov G.V. Weak Asymptotic Stability at First Approximation for Periodic

Differential Inclusions // Nonlinear differential equations and applications. 1995.

V. 2. No. 4. P. 445-461.

15.

Gama R., Smirnov G.V. Weak Exponential Stability for Time-Periodic Differential

Inclusions via First Approximation Averaging // Set-valued and variational analysis.

2013. V. 21. Iss. 2. P. 191-200.

16.

Молчанов А.П., Морозов М.В. Абсолютная устойчивость нелинейных нестацио-

нарных систем управления с периодической линейной частью // АиТ. 1992. № 2.

С. 49-59.

Molchanov A.P., Morozov M.V. Absolute Stability of Nonlinear Nonstationary

Control Systems with Periodic Linear Sections // Autom. Remote Control. 1992.

V. 53. No. 2. Part 1. P. 189-198.

17.

Молчанов А.П., Морозов М.В. Функции Ляпунова для нелинейных нестационар-

ных дискретных систем управления с периодической линейной частью // АиТ.

1992. № 10. С. 37-45.

Molchanov A.P., Morozov M.V. Lyapunov Functions for Nonlinear Nonstationary

Discrete Control Systems with a Periodic Linear Part // Autom. Remote Control.

1992. V. 53. No. 10. Part 1. P. 1505-1513.

18.

Морозов М.В. Критерии робастной абсолютной устойчивости дискретных си-

стем управления с периодическими ограничениями // Тр. ИСА РАН. 2014. Т. 64.

Вып. 2. С. 13-18.

19.

Молчанов А.П., Морозов М.В. Достаточные условия робастной устойчивости ли-

нейных нестационарных систем управления с периодическими интервальными

ограничениями // АиТ. 1997. № 1. С. 100-107.

Molchanov A.P., Morozov M.V. Sufficient Conditions for Robust Stability of Linear

Nonstationary Control Systems with Periodic Interval Constraints // Autom.

Remote Control. 1997. V. 58. No. 1. Part 2. P. 82-87.

20.

Шильман С.В. Метод производящих функций в теории динамических систем.

М.: Наука, 1978.

21.

Морозов М.В. О свойствах периодических дифференциальных включений //

Диф. уравн. 2000. Т. 36. № 5. С. 612-617.

22.

Морозов М.В. О свойствах решений периодических по времени дифференциаль-

ных включений с асимптотически устойчивыми множествами // Тр. ИСА РАН.

2017. Т. 67. Вып. 3. С. 13-19.

23.

Морозов М.В. Оценка решений периодического однородного дифференциаль-

ного включения с асимптотически устойчивым множеством // Тр. ИСА РАН.

2018. Т. 68. Вып. 4. С. 101-103.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.Г. Кушнером.

Поступила в редакцию 10.04.2018

После доработки 30.10.2018

Принята к публикации 08.11.2018