Автоматика и телемеханика, № 3, 2020
Тематический выпуск
© 2020 г. В.M. АБРАМОВ, канд. физ.-мат. наук (vabramov126@gmail.com)
(Университет им. Монаша, Мельбурн, Австралия),
Б.М. МИЛЛЕР, д-р. физ.-мат.наук (bmiller@iitp.ru)
(Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН, Москва;
Университет им. Монаша, Мельбурн, Австралия),
Е.Я. РУБИНОВИЧ, д-р. техн. наук (rubinvch@ipu.rssi.ru)
(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва),
П.Ю. ЧИГАНСКИЙ, канд. техн. наук (pchiga@mscc.huji.ac.il)
(Еврейский университет в Иерусалиме, Израиль)
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ СТОХАСТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ И
ФИЛЬТРАЦИИ В РАБОТАХ Р.Ш. ЛИПЦЕРА1
2 января 2019 г. от нас ушел дорогой друг и коллега Роберт Шеви-
левич Липцер (1936-2019). Долгие годы он был членом редакционной
коллегии журнала “Автоматика и телемеханика”, и во многом благодаря
его усилиям журнал стал одним из ведущих в России в области теории и
практики управления. В настоящий памятный выпуск включены публи-
кации его учеников и коллег, посвященные основным направлениям рабо-
ты Р.Ш. Липцера в области стохастического управления. Данная статья
1 Данный памятный сборник включает работы коллег и учеников Р.Ш. Липцера, охва-
тывающие основные направления его деятельности в области стохастического анализа и
его приложений в различных областях статистики, управления, теории массового обслу-
живания и финансовой математики. Публикация работ сборника будет продолжена в № 4,
2020.
3
является вводной, и ее цель показать основные этапы творческой биогра-
фии Р.Ш. Липцера, продемонстрировать его вклад в развитие теории сто-
хастического управления и статистики случайных процессов и показать
его влияние на развитие теории стохастического управления в России и
за рубежом.
Ключевые слова: случайные процессы, фильтрация, стохастическое
управление.
DOI: 10.31857/S0005231020030010
1. Основные этапы жизни и творчества
Роберт Шевилевич Липцер родился 20 марта 1936 г. на Украине в горо-
де Кировограде. С 1953 по 1959 гг. он учился в Московском авиационном
институте, где получил квалификацию инженера-электромеханика по специ-
альности “Авиационные прицелы”. После окончания института, до 1962 г.
он работал на заводе Министерства авиационной промышленности в городе
Калининграде Московской области (ныне город Королев). Однако любовь к
математике привела его в 1961 г. на вечернее отделение мехмата МГУ, где его
научным руководителем, а позднее его коллегой и соавтором стал Альберт
Николаевич Ширяев, плодотворное сотрудничество с которым продолжалось
затем долгие годы. Следующим этапом стал переход в 1962 г. на работу в Ин-
ститут проблем управления РАН, называвшийся в те годы Институтом авто-
матики и телемеханики, где он прошел все ступени от старшего инженера до
начальника сектора. В 1990 г. Р.Ш. Липцер был приглашен в Институт проб-
лем передачи информации РАН на должность заведующего лабораторией
стохастических систем, где проработал до 1993 г., и затем переехал с семьей
в Израиль. Там он получил место профессора факультета систем управления
(electrical engineering) Тель-Авивского университета, где и состоял до своей
кончины 2 января 2019 г.
2. Основные направления исследований
На своей странице университетского сайта в середине 90-х гг. Р.Ш. Лип-
цер перечисляет основные направления деятельности и текущие проекты.
Следует отметить, что они включают многие современные направления сто-
хастического анализа. С тех пор область его интересов только расширялась.
Основные направления исследований:
• Аппроксимация в задачах фильтрации.
• Большие уклонения.
• Диффузионная аппроксимация в системах массового обслуживания.
• Аппроксимация в задачах стохастического управления.
• Теория мартингалов.
• Умеренные уклонения в задачах диффузионной аппроксимации.
• Робастная диффузионная аппроксимация в задачах нелинейной фильтра-
ции.
• Умеренные уклонения для случайно возбуждаемых динамических систем.
4
• Нелинейная фильтрация с “загрязнением”.
• Асимптотическая оптимальность для задач стохастического управления с
использованием диффузионной аппроксимации.
• Принцип усреднения Боголюбова для семимартингалов.
• Умеренные уклонения для семимартингалов.
• Модель Бенеша с зависимостью от состояния с быстрой загрузкой и ско-
ростью отклика.
За время своей работы Р.Ш. Липцер опубликовал 10 монографий и более
100 статей в самых престижных журналах по теории вероятностей и слу-
чайным процессам. Далее остановимся на наиболее значимых результатах
Р.Ш. Липцера в этой области, поскольку описать его вклад во все разделы
теории вероятностей и случайных процессов в рамках короткой заметки не
представляется возможным.
Отметим, что данный выпуск продолжает традицию памятных изданий,
посвященных деятельности ученых, оказавших существенное влияние на раз-
витие математики и ее приложений. Сборник, посвященный 60-летнему юби-
лею Р.Ш. Липцера, был издан в 1997 г. [1].
2.1. Теория условно-гауссовских процессов
Работы по фильтрации условно-гауссовских процессов значительно рас-
ширили теорию оценивания случайных процессов, позволив распространить
принципы калмановской фильтрации на задачи со случайными матричны-
ми коэффициентами, зависящими от наблюдений. Кроме того, они обогати-
ли теорию нелинейной фильтрации диффузионных процессов [2-4], позволив
не только установить теоремы разделения в задачах управления с неполной
информацией, но и открыть новые подходы к решению задач управления
наблюдениями, в частности совместного управления наблюдаемым и нена-
блюдаемым процессами [5].
В 1968 г. Р.Ш. Липцер защитил кандидатскую диссертацию на факультете
радиотехники и кибернетики Московского физико-технического института,
основу которой как раз и составили его результаты по фильтрации условно-
гауссовских диффузионных процессов, а в 1974 г. опубликовал совместно с
А.Н. Ширяевым монографию [6]. Эта книга и ее перевод стали настольными
для российских и зарубежных специалистов в области статистики случайных
процессов и теории стохастического управления.
2.2. Развитие теории мартингалов
Работы в области фильтрации стали базой для перехода к глубокому
изучению теории мартингалов, что позволило перенести идеи калмановской
фильтрации на более широкий класс дискретно-непрерывных случайных про-
цессов [7]. С середины 70-х гг. работы Р.Ш. Липцера посвящены детальному
исследованию процессов этого класса. Были доказаны теоремы, описываю-
щие, в частности, сходимость и свойства предельных процессов [8].
Ряд работ по прикладной теории вероятностей привели к получению клю-
чевых результатов в области статистики случайных процессов. В серии работ,
5
выполненных совместно с Ю.М. Кабановым и А.Н. Ширяевым, были полу-
чены фундаментальные результаты по абсолютной непрерывности и сингу-
лярности вероятностных мер, выведены эффективные формулы для вычис-
ления плотностей Радона-Никодима [9, 10], доказаны теоремы по представле-
нию целочисленных мер и локальных мартингалов [11] с помощью случайных
мер с детерминированными компенсаторами, и найдены условия контигуаль-
ности и полной асимптотической разделимости последовательностей вероят-
ностных мер [12]. Эти результаты вместе с центральной предельной теоремой
для семимартингалов [13, 14] вошли в монографию [15], которая совместно с
упомянутой книгой [6] “образует наивысшее достижение в развитии парадиг-
мы современного стохастического анализа и является стандартом для ссылок
в данной области”, как отмечалось в [1].
Естественным развитием работ по теории мартингалов была теория боль-
ших и “умеренных” уклонений для семимартингалов. В этой области, которая
получила свое развитие во многом благодаря работам Р.Ш. Липцера, была
получена целая серия замечательных и неожиданных результатов. Отметим,
что здесь он работал совместно с коллегами из России, Израиля и Австра-
лии [16-19].
2.3. Приложения теории мартингалов
в задачах статистики и управления
2.3.1. Методы диффузионной аппроксимации
В цикле работ, в которых использовались методы диффузионной аппрок-
симации, Р.Ш. Липцер с коллегами показал, как теория мартингалов мо-
жет эффективно использоваться в различных прикладных задачах. Общая
теория сходимости семимартингалов к процессам диффузионного типа бы-
ла заложена еще в первых работах, посвященных данной тематике [20], в
дальнейшем эти результаты были с успехом применены к различным типам
непрерывных [21] и скачкообразных процессов [22]. Методы диффузионной
аппроксимации были применены и к задачам анализа вычислительных про-
цессов и сетей связи вычислительных машин [23], к методам передачи дан-
ных по каналам связи и системам массового обслуживания [24], к анализу
решения задач оптимального стохастического управления [26], к случайным
процессам с отражением [25] и к задачам разорения [27]. Эти работы де-
монстрируют блестящие способности Р.Ш. Липцера в использовании тонких
математических подходов при решении прикладных проблем.
2.3.2. Приближенные методы в вырожденных задачах управления
и фильтрации
Со времени появления фильтра Калмана в непрерывном времени было из-
вестно, что условие невырожденности матрицы шумов в наблюдениях необ-
ходимо для написания уравнений фильтра в замкнутом виде. Однако в дис-
кретном времени ситуация оказывается проще: все решается заменой обрат-
ной матрицы шумов на псевдообратную. Как впервые показал Р.Ш. Лип-
цер, аналогичное свойство имеет место и в непрерывном времени, но лишь
6
при выполнении специального условия согласованности [28]. В то же время
аналогия между задачей фильтрации и задачей решения системы линейных
уравнений методом наименьших квадратов позволила построить как эффек-
тивные алгоритмы псевдообращения матриц [30], так и алгоритмы решения
плохо обусловленных систем линейных уравнений [29]. Интересное приме-
нение этих методов оказалось возможным и в задачах передачи данных по
каналам с бесшумной обратной связью [31].
2.4. Работа в Тель-Авивском университете
2.4.1. Задачи теории массового обслуживания
В начале 1990-х гг. Роберт Липцер получил приглашение от Якова Когана
из Хайфского Техниона для работы над проектом по вычислительным сетям
массового обслуживания. Работа над проектом успешно завершилась публи-
кациями [32, 33], которые основаны на использовании стохастического исчис-
ления: теории мартингалов и стохастических дифференциальных уравнений.
Среди важных технических элементов здесь следует отметить применение
принципа отражения Скорохода и стохастических уравнений для описания
длин очередей, для которых впоследствии, собственно, и использовались мар-
тингальные методы. Эти уравнения, являющиеся стохастическими аналогами
уравнений Колмогорова-Чепмена, применялись в [32] впервые. Их важность
заключается в том, что они могут использоваться (и в дальнейшем исполь-
зовались) для случайных процессов в случайных средах - новом современ-
ном направлении, пронизывающем все области теории случайных процессов.
В связи с этими результатами Р.Ш. Липцер в дальнейшем имел неоднократ-
ные приглашения в Bell Laboratory для работы со специалистами в области
теории сетей обслуживания.
2.4.2. Оптимальное управление и фильтрация
Узнав, что Роберт Липцер находится в Израиле, им заинтересовались в
Тель-Авивском университете. В результате переговоров и необходимых про-
цедур Роберт получил позицию профессора университета на инженерном фа-
культете в департаменте инженерных систем. В Тель-Авивском университе-
те Роберт работал как со специалистами из инженерного факультета, где он
непосредственно работал, так и со специалистами из математического депар-
тамента. Он также сотрудничал с учеными из Техниона. Среди его соавторов
были З. Шус, В.З. Бобровский, О. Зейтуни и др. В свой израильский пери-
од Роберт продолжал работать преимущественно в двух основных темати-
ках: теория оптимального управления и фильтрации и вероятности больших
уклонений стохастических процессов.
2.4.3. Задачи оценивания детерминированного гладкого сигнала
В ряде публикаций [35-39] Робертом и его коллегами изложены резуль-
таты о задаче оценки детерминированного гладкого сигнала в малом белом
шуме. Это классическая задача непараметрической статистики, для которой
известна точная асимптотика убывания оптимальной минимаксной ошибки.
7
Наилучшая скорость убывания достигается различными оценками, включая
ядерные со специальным образом подобранными параметрами ядра. Основ-
ное новшество этих работ состояло в том, что оптимальная скорость ока-
залась достижима односторонними ядрами, которые могут реализовываться
линейной динамической системой, действующей на входящий поток наблюде-
ний последовательно по мере их поступления. Такое свойство имеет большое
практическое преимущество, например в системах слежения с ограниченны-
ми вычислительными ресурсами за подвижными целями.
2.4.4. Устойчивость уравнений фильтрации
В другой серии публикаций [40-42] изучалась задача устойчивости по на-
чальному условию для уравнений оптимальной нелинейной фильтрации. Оп-
тимальный фильтр в общем случае представляет собой бесконечномерную
нелинейную стохастическую динамическую систему на пространстве вероят-
ностных мер. Ее устойчивость по различным параметрам, включая начальное
распределение сигнала, интересна не только с чисто математической точки
зрения, но и является важным фактором при построении практических си-
стем, таких как многочастичные фильтры. В [40-42] был разработан подход,
опирающийся на вероятностные свойства условных математических ожида-
ний, в то время как в предыдущих публикациях по данной тематике в ос-
новном использовался аппарат функционального анализа. Новый взгляд на
эту задачу позволил лучше понять механизмы устойчивости уравнений филь-
трации. В частности, оказалось, что вопреки устоявшимся представлениям и
некоторым предыдущим ошибочным результатам, устойчивости самого сиг-
нала может быть недостаточно для устойчивости фильтра. С другой стороны,
было доказано, что информативность наблюдений, в некотором смысле, вле-
чет за собой устойчивость без каких-либо дополнительных предположений.
2.4.5. Принцип больших уклонений
В этот же период Роберт Липцер продолжал изучение вероятностей боль-
ших уклонений в функциональных пространствах. Плодами его исследова-
ний, иногда совместных с рядом коллег, стало множество результатов, описа-
ние которых, к сожалению, не представляется возможным в рамках краткого
биографического очерка. Упомянем лишь статью [43], в которой изучается
поведение системы стохастических дифференциальных уравнений с быстрой
и медленной компонентами. В [43] получен совместный Принцип больших
уклонений (ПБУ) для траекторий и оккупационной меры медленной и быст-
рой компонент соответственно. Это один из первых результатов в изучении
ПБУ в динамических системах с различными временными шкалами.
В Тель-Авивском университете под руководством Р.Ш. Липцера были на-
писаны кандидатские и мастерские диссертации, включая работы его аспи-
рантов В. Абрамова [34], П. Чиганского [19] и Л. Голдентайера [38, 39]. При
этом его помощь во многих случаях не ограничивалась только научной сто-
роной дела, но бывало, что и касалась затрудненного личного положения
соискателей. Во всех таких ситуациях студенты все же успешно завершали
свою научную работу с Р.Ш. Липцером и впоследствии с благодарностью его
8
вспоминали. Отметим, что, работая в Тель-Авивском университете, Роберт
продолжал поддерживать тесные контакты с давними коллегами за рубежом,
в том числе, конечно же, и в России.
2.4.6. Работа с зарубежными коллегами
Роберт Липцер не был “сухим” математиком, и к числу его постоянных
увлечений стоит отнести и горные лыжи, и велопоходы, но, как правило, он
проводил свободное от преподавания время в различных университетах по
всему миру, где занимался совместными исследованиями с принимавшими его
учеными или давал специальные курсы по тематике своих научных интере-
сов. Здесь следует упомянуть Университет г. Падуя (Италия), где Р. Липцер
работал с профессором Рунггалдиером, Wain State University в Детройте,
США, где он работал с Р.З. Хасьминским. Однако одним из наиболее при-
мечательных мест, куда Роберт Липцер приезжал почти каждый год, был
университет им. Монаша (Monash University) в штате Виктория в Австралии.
С этим университетом Роберт поддерживал весьма тесные контакты, рабо-
тая совместно с профессором Ф. Клебанером. Отметим, что диссертацион-
ная работа одного из докторантов Роберта из Тель-Авивского университета,
Л. Голдентауэра, выполнялась при тесном сотрудничестве со специалиста-
ми университета им. Монаша и завершилась публикацией [39]. При участии
Роберта в математическом департаменте университета им. Монаша также
выполнялись диссертационные работы. Одна из таких работ, выполненная
докторантом А. Лим, опубликована в [44]. В университете им. Монаша для
сотрудников университета Роберт провел цикл лекций по большим и умерен-
ным уклонениям. Он также проводил семинары и консультировал сотрудни-
ков по многим направлениям работ в области теории случайных процессов.
Семинары под руководством Р. Липцера и в России и за рубежом, пользо-
вались неизменным вниманием. Их посещали как маститые, так и молодые
ученые, для многих из которых это было началом знакомства с теорией стоха-
стического управления, статистики и теории мартингалов. Возможно, именно
это обстоятельство позволило многим из них получить впоследствии профес-
сорские и административные позиции в российских и зарубежных исследо-
вательских центрах. Думается, что влияние Роберта Липцера, его научная
цельность и добросовестность были и остаются для всех примером настояще-
го ученого.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Statistics and Control of Stochastic Processes. The Liptser Festschift / Ed. Kaba-
nov Yu.M., Rozovskii B.L., Shiryaev A.N. World Scientific. Singapore, New Jersey,
London, Hong Kong, 1997.
2. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Нелинейная фильтрация диффузионных марков-
ских процессов // Тр. МИАН СССР. 1968. № 104. С. 135-180.
Liptser R.Sh., Shiryaev A.N. Nonlinear filtration of diffusion Markov processes //
Proc. Steklov Inst. Math. 1968. No. 104. P. 163-218.
3. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Об абсолютной непрерывности мер, соответствую-
щих процессам диффузионного типа, относительно винеровской // Изв. АН
СССР. Сер. матем. 1972. Т. 36. № 4. С. 847-889.
9
Liptser R.Sh., Shiryaev A.N. On the absolute continuity of measures corresponding
to processes of diffusion type relative to a Wiener measure // Math. USSR-Izv. 1072.
V. 36. No. 4. P. 839-882.
4.
Липцер Р.Ш. Условно-гауссовские случайные процессы // Пробл. передачи ин-
форм. 1974. Т. 10. № 2. С. 75-94.
Liptser R.Sh. Conditionally Gaussian Random Processes // Problems Inform.
Transmission. 1974. V. 10. No. 2. P. 151-167.
5.
Кузнецов Н.А., Липцер Р.Ш., Серебровский А.П. Оптимальное управление и об-
работка информации в непрерывном времени (линейная система, квадратичный
функционал) // АиТ. 1980. № 10. С. 47-53.
Kuznetsov N.A., Liptser R.Sh., Serebrovskii A.P. Optimal control and information
processing in continuous time (a linear system and quadratic functional) // Autom.
Remote Control. 1980. V. 41. No. 10. P. 1369-1374.
6.
Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.
Liptser R.Sh., Shiryaev A.N. Statistics of Random Processes. New York: Springer,
1979.
7.
Липцер Р.Ш. Гауссовские мартингалы и обобщение фильтра Калмана-Бьюси //
Теория вероятн. и ее примен. 1975. Т. 20. № 2. С. 292-308.
Liptser R.Sh. Gaussian martingales and a generalization of the Kalman-Bucy filter //
Theory Probab. Appl. 1976. V. 20. No. 2. P. 285-301.
8.
Липцер Р.Ш. О представлении локальных мартингалов // Теория вероятн. и ее
примен. 1976. Т. 21. № 4. С. 718-726.
Lipcer R.Sh. On a representation of local martingales // Theory Probab. Appl. 1977.
V. 21. No. 4. P. 698-705.
9.
Кабанов Ю.М., Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Абсолютная непрерывность и сингу-
лярность локально абсолютно непрерывных вероятностных распределений. I //
Матем. сб. 1978. Т. 107(149). № 3(11). С. 364-415.
Kabanov Yu.M., Liptser R.Sh., Shiryaev A.N. Absolute continuity and singularity of
locally absolutely continuous probability distributions. I // Math. USSR-Sb. 1979.
V. 35. No. 5. P. 631-680.
10.
Кабанов Ю.М., Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Абсолютная непрерывность и сингу-
лярность локально абсолютно непрерывных вероятностных распределений. II //
Матем. сб. 1979. Т. 108(150). № 1. С. 32-61.
Kabanov Yu.M., Liptser R.Sh., Shiryaev A.N. Absolute continuity and singularity of
locally absolutely continuous probability distributions. II // Math. USSR-Sb. 1980.
V. 36. No. 1. P. 31-58.
11.
Кабанов Ю.М., Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. О представлении целочисленных
случайных мер и локальных мартингалов с помощью случайных мер с детерми-
нированными компенсаторами // Матем. сб. 1980. Т. 111(153). № 2. С. 293-307.
Kabanov Yu.M., Liptser R.Sh., Shiryaev A.N. On the representation of integral-
valued random measures and local martingales by means of random measures with
deterministic compensators // Math. USSR-Sb. 1981. V. 39. No. 2. P. 267-280.
12.
Липцер Р.Ш., Пукельшейм Ф., Ширяев А.Н. О необходимых и достаточных
условиях контигуальности и полной асимптотической разделимости вероятност-
ных мер // УМН. 1982. Т. 37. № 6(228). С. 97-124.
Liptser R.Sh., Pukel’sheim F., Shiryaev A.N. Necessary and sufficient conditions
for contiguity and entire asymptotic separation of probability measures // Russian
Math. Surveys. 1982. V. 37. No. 6. P. 107-136.
10
13.
Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Функциональная центральная предельная теоре-
ма для семимартингалов // Теория вероятн. и ее примен. 1980. Т. 25. № 4.
С. 683-703.
Liptser R.Sh., Shiryaev A.N. A functional central limit theorem for
semimartingales // Theory Probab. Appl. 1981. V. 25. No. 4. P. 667-688.
14.
Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. О необходимых и достаточных условиях в функ-
циональной центральной предельной теореме для семимартингалов // Теория
вероятн. и ее примен. 1981. Т. 26. № 1. С. 132-137.
Liptser R.Sh., Shiryaev A.N. Necessary and sufficient conditions for the functional
central limit theorem for semimartingales // Theory Probab. Appl. 1981. V. 26.
No. 1. P. 130-135.
15.
Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986.
Liptser R.Sh., Shiryaev A.N. Theory of Martingales. Amsterdam: Kluwer, 1989.
16.
Липцер Р.Ш. Большие уклонения для эмпирических мер марковских процессов
(дискретное время, некомпактный случай) // Теория вероятн. и ее примен. 1996.
Т. 41. № 1. P. 65-88.
Liptser R.Sh. Large deviations for occupation measures of Markov processes: discrete
time, noncompact case // Theory Probab. Appl. 1997. V. 41. No. 1. P. 35-54.
17.
Клебанер Ф.К., Липцер Р.Ш. Большие уклонения для рекуррентных последо-
вательностей с последействием // Пробл. передачи информ. 1996. Т. 32. № 4.
С. 23-34.
Klebaner F.K., Liptser R.Sh. Large Deviations for Past-Dependent Recursions //
Problems Inform. Transmission. 1996. V. 32. No. 4. P. 320-330.
18.
Gulinsky O.V., Liptser R.Sh. An example of large deviations for a stationary
process // Теория вероятн. и ее примен. 1999. Т. 44. № 1. С. 211-225.
Gulinsky O.V., Liptser R.Sh. An example of large deviations for a stationary
process // Theory Probab. Appl. 2000. V. 44. No. 1. P. 201-217.
19.
Липцер Р.Ш., Чиганский П. Умеренные уклонения для процесса диффузион-
ного типа в случайной среде // Теория вероятн. и ее примен. 2009. Т. 54. № 1.
С. 39-62.
Liptser R.Sh., Chigansky P., Moderate Deviations for a Diffusion-Type Process in a
Random Environment // Theory Probab. Appl. 2010. V. 54. No. 1 P. 29-50.
20.
Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. О слабой сходимости семимартингалов к стохасти-
чески непрерывным процессам с независимыми и условно независимыми прира-
щениями // Матем. сб. 1981. Т. 116(158). № 3(11). С. 331-358.
Liptser R.Sh., Shiryaev A.N. On weak convergence of semimartingales to
stochastically continuous processes with independent and conditionally independent
increments // Math. USSR-Sb. 1983. V. 44. No. 3. P. 299-323.
21.
Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Слабая сходимость последовательности семимар-
тингалов к процессу диффузионного типа // Матем. сб. 1983. Т. 121(163). № 2(6).
С. 176-200.
Liptser R.Sh., Shiryaev A.N. Weak convergence of a sequence of semimartingales to
a process of diffusion type // Math. USSR-Sb. 1984. V. 49. No. 1. P. 171-195.
22.
Кабанов Ю.М., Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Слабая и сильная сходимость рас-
пределений считающих процессов // Теория вероятн. и ее примен. 1983. Т. 28.
№ 2. С. 288-319.
Kabanov Yu.M., Liptser R.Sh., Shiryaev A.N. Weak and strong convergence of
distributions of counting processes // Theory Probab. Appl. 1984. V. 28. No. 2.
P. 303-336.
11
23.
Коган Я.А., Липцер Р.Ш., Смородинский А.В. Гауссовская диффузионная ап-
проксимация марковских замкнутых моделей сетей связи ЭВМ // Пробл. пере-
дачи информ. 1986. Т. 22. № 1. С. 49-65.
Kogan A.Ya., Liptser R.Sh., Smorodinskii A.V. Gaussian Diffusion Approximation
of Closed Markov Models of Computer Networks // Problems Inform. Transmission.
1986. V. 22. No. 1. P. 38-51.
24.
Кричагина Е.В., Липцер Р.Ш., Пухальский А.А. Диффузионная аппроксима-
ция для системы с входным потоком, зависящим от очереди, и произвольным
обслуживанием // Теория вероятн. и ее примен. 1988. Т. 33. № 1. С. 124-135.
Krichagina E.V., Liptser R.Sh., Puhalskii A.A. Diffusion Approximation for Queue
with Inter-Arrive Sequence Depending on Queue and with Arbitrary Service //
Theory Probab. Appl. 1988. V. 33. No. 1. P. 114-124.
25.
Анулова С.В., Липцер Р.Ш. Диффузионная аппроксимация для процессов с
нормальным отражением // Теория вероятн. и ее примен. 1990. Т. 35. № 3.
С. 417-430.
Anulova S.V., Liptser R.Sh. Diffusion approximation for processes with normal
reflection // Theory Probab. Appl. 1990. V. 35. No. 3. P. 411-423.
26.
Липцер Р., Рунггалдиер В., Таксар М. Диффузионная аппроксимация и опти-
мальное стохастическое управление // Теория вероятн. и ее примен. 1999. Т. 44.
№ 4. С. 705-737.
Liptser R., Runggaldier W.J., Taksar M.I. Diffusion approximation and optimal
stochastic control // Theory Probab. Appl. 2000. V. 44. No. 4. P. 669-698.
27.
Клебанер Ф.К., Липцер Р.Ш. Диффузионная модель разорения. Асимптотиче-
ский анализ // Теория вероятн. и ее примен. 2010. Т. 55. № 2. С. 350-357.
Klebaner F.K., Liptser R.Sh. Asymptotic analysis of ruin in CEV model // Theory
Probab. Appl. 2011. V. 55. No. 2. P. 291-297.
28.
Липцер Р.Ш. Уравнения почти оптимального фильтра Калмана при особенной
матрице ковариаций шума в наблюдениях // АиТ. 1974. Т. 1. С. 35-41.
Liptser R.Sh. Equations of near-optimal Kalman filter with a singular matrix of noise
covariations in observations // Autom. Remote Control. 1974. V. 35. No. 1. P. 29-35.
29.
Жуковский Е.Л., Липцер Р.Ш. О рекуррентном способе вычисления нормаль-
ных решений линейных алгебраических уравнений // Журн. вычисл. матем. и
матем. физ. 1972. Т. 12. № 4. С. 843-857.
Zhukovskii E.l., Liptser R.Sh. A recurrence method for computing the normal
solutions of linear algebraic equations // U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys. 1972.
V. 12. No. 4. P. 1-18.
30.
Жуковский Е.Л., Липцер Р.Ш. О вычислении псевдообратных матриц // Журн.
вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т. 15. № 2. С. 489-492.
Zhukovskii E.l., Liptser R.Sh. The computation of pseudoinverse matrices //
U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys. 1975. V. 15. No. 2. P. 198-202.
31.
Липцер Р.Ш. Оптимальное кодирование и декодирование при передаче гауссов-
ского марковского сигнала по каналу с бесшумной обратной связью // Пробл.
передачи информ. 1974. Т. 10. № 4. С. 3-15.
Liptser R.Sh. Optimal Encoding and Decoding for Transmission of a Gaussian
Markov Signal in a Noiseless-Feedback Channel // Problems Inform. Transmission.
1974. V. 10. No. 4. P. 279-288.
32.
Kogan Y., Liptser R.Sh. Limit non-stationary behavior of large closed queueing
networks with bottlenecks // Queueing Systems Theory Appl. 1993. V. 14. P. 33-55.
12
33.
Kogan Y., Liptser R.Sh., Shenfild M. State dependent Benes buffer model with fast
loading and output rates // Ann. Appl. Probab. 1995. No. 5. P. 97-120.
34.
Abramov V., Liptser R. On existence of limiting distribution for time-
nonhomogeneous countable Markov process // Queueing Syst. 2004. V. 46. No. 3-4.
P. 353-361.
35.
Chow P.-L., Khasminskii R., Liptser R. Tracking of signal and its derivatives in
Gaussian white noise // Stochastic Process. Appl. 1997. V. 69. No. 2. P. 259-273.
36.
Chow P.-L., Khasminskii R., Liptser R. On estimation of time dependent spatial
signal in Gaussian white noise // Stochastic Process. Appl. 2001. V. 96. No. 1.
P. 161-175.
37.
Липцер Р.Ш., Хасьминский Р.З. Слежение за гладкой функцией регрессии //
Теория вероятн. и ее примен. 2002. Т. 47. № 3. С. 567-575.
Liptser R.Sh., Khas’minskii R.Z. Online estimation of a smooth regression
function // Theory Probab. Appl. 2003. V. 47. No. 3. P. 541-550.
38.
Goldentayer L., Liptser R. On-line tracking of a smooth regression function // Stat.
Inference Stoch. Process. 2006. V. 9. No. 1. P. 17-30.
39.
Голдентаер Л., Клебанер Ф.К., Липцер Р.Ш. Слежение за функцией волатиль-
ности // Пробл. передачи информ. 2005. Т. 41. № 3. С. 32-50.
Goldentayer L., Klebaner F.K., Liptser R.Sh. Tracking the Volatility Function //
Problems Inform. Transmission. 2005. V. 41. No. 3. P. 212-229.
40.
Baxendale P., Chigansky P., Liptser R. Asymptotic stability of the Wonham filter:
ergodic and nonergodic signals // SIAM J. Control Optim. 2004. V. 43. No. 2.
P. 643-669.
41.
Chigansky P., Liptser R. Stability of nonlinear filters in nonmixing case // Ann.
Appl. Probab. 2004. V. 14. No. 4. P. 2038-2056.
42.
Chigansky P., Liptser R. On a role of predictor in the filtering stability // Electron.
Comm. Probab. 2006. No. 11. P. 129-140.
43.
Liptser R. Large deviations for two scaled diffusions // Probab. Theory Related
Fields. 1996. V. 106. No. 1. P. 71-104.
44.
Klebaner F., Lim A., Liptser R. FCLT and MDP for stochastic Lotka-Volterra
model // Acta Applicandae Mathematicae. 2007. V. 97. No. 1-3. P. 53-68.
45.
Клебанер Ф.К., Липцер Р.Ш. Когда стохастическая экспонента является мар-
тингалом. Развитие метода Бенеша // Теория вероятн. и ее примен. 2013. Т. 58.
№ 1. С. 53-80.
Klebaner F.K., Liptser R.Sh. When a stochastic exponential is a true martingale.
Extension of the Beneŝ method // Theory Probab. Appl. 2014. V. 58. No. 1. P. 38-62.
46.
Liptser R. Beneŝ condition for discontinuous exponential martingale // Зап. научн.
сем. ПОМИ. 2011. Т. 396. С. 144-154.
Liptser R. Beneš condition for discontinuous exponential martingale // J. Math. Sci.
2013. V. 188. No. 6. P. 717-723.
Статья представлена к публикации членом редколлегии А.И. Кибзуном.
Поступила в редакцию 20.06.2019
После доработки 17.07.2019
Принята к публикации 26.09.2019
13