Автоматика и телемеханика, № 3, 2020

(Marina.Kleptsyna@univ-lemans.fr),

Д.А. МАРУШКЕВИЧ, канд. физ.-мат. наук

(Dmytro.Marushkevych.etu@univ-lemans.fr)

(Университет Ле-Мана, Франция),

П.Ю. ЧИГАНСКИЙ, канд. техн. наук (Pavel.Chigansky@mail.huji.ac.il)

(Еврейский университет в Иерусалиме, Израиль)

АСИМПТОТИКА ТОЧНОСТИ ОЦЕНКИ ДРОБНОГО СИГНАЛА

В МАЛОМ БЕЛОМ ШУМЕ¹

Рассматривается задача оценки дробного процесса Орнштейна-Улен-

бека, наблюдаемого в линейном канале с белым шумом малой интен-

сивности. Получена точная асимптотика ошибки оценок фильтрации и

интерполяции. Анализ точности основан на приближениях собственных

значений и собственных функций ковариационного оператора сигнала.

Ключевые слова: оптимальная линейная фильтрация, дробный процесс

Орнштейна-Уленбека, асимптотический анализ.

DOI: 10.31857/S0005231020030046

1. Введение

Рассмотрим систему стохастических линейных уравнений

∫^t

X_t =β X_sds + B^Ht,

(1.1)

∫t

√

Y_t =μ X_sds +

εB_t,

где B = (B_t, t ∈ R₊) и B^H = (B^Ht , t ∈ R₊) — независимые стандартнoe и дроб-

нoe броуновские движения, β и μ — постоянные коэффициенты, а ε - поло-

жительный малый параметр.

Напомним, что дробное броуновское движение с показателем Хёрста H ∈

∈ (0, 1) определяется как гауссовский процесс с нулевым средним и ковариа-

ционной функцией

(

)

EB^HtB^Hs =

t2H + s2H - |t - s|2H

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Израильского Научного Фонда (ISF)

(грант № 1383/18).

При H = 1/2 процесс B^H совпадает со стандартным броуновским движением.

При всех же других значениях показателя H дробное броуновское движение

не является ни семимартингалом, ни марковским процессом, а при H > 1/2

его приращения обладают долгосрочной зависимостью:

∑

BH1(BHn+1 - B^Hn) = ∞.

n=1

Благодаря своим разнообразным свойствам (самоподобие, длинная память),

дробное броуновское движение играет важную роль в теории и приложениях

случайных процессов, см., например, [1, 2]. В частности, отметим, что дроб-

ный процесс Орнштейна-Уленбека, определяемый первым уравнением (1.1),

также обладает свойством долгосрочной зависимости, см. [3].

Задача оптимальной оценки сигнала X по наблюдаемой траектории про-

цесса Y заключается в вычислении условного математического ожидания

X_t,T = E(X_t|F^YT ) во время t ∈ [0,T], где F^YT = σ{Y_t,t ≤ T}. Такая оценка ми-

нимизирует среднеквадратичную ошибку по всем функционалам, измеримым

относительно F^YT . При t < T оценка

X_t,T называется интерполяционной, а

при t = T — фильтрационной.

Так как процесс (X, Y ) гауссовский, оптимальный фильтр является ли-

нейным функционалом от наблюдений, а точнее, стохастическим интегралом,

см. [4],

∫

X_t,T =1

h_T (s,t)dY_s.

Весовая функция h_T (s, t) задается единственным решением интегрального

уравнения

∫T

(1.2)

εh_T (s, t) + μ²K(r, s)h_T (r, t)dr = μ²

K(s, t),

0≤s≤t≤T,

где ковариационное ядро K(s, t) = EX_sX_t в случае сигнала из (1.1) имеет вид

∫t

∫

(1.3)

K(s, t) = eβ(t-v)

H|v - u|2H-1sign(v - u)eβ(s-u)

dudv.

При этом наименьшая среднеквадратичная ошибка P_t,T (ε) = E(X_t -Xt,T )²

вычисляется по формуле

P_t,T (ε) =

h_T (t,t).

μ²

Явное решение уравнения (1.2) известно только в случае H = 1/2, т.е.

когда сигнал является классическим процессом Орнштейна-Уленбека. Этот

факт лежит в основе теории оптимального оценивания Калмана-Бьюси [5].

Наилучшая оценка в этом случае может быть вычислена рекурсивно реше-

нием дифференциального стохастического уравнения. При этом наименьшая

ошибка оценивания удовлетворяет дифференциальному уравнению Риккати,

см., например, [6, теорему 12.10 ], простой анализ которого дает следующую

точную асимптотику оценки:

{

√

1/2, t ∈ (0, T )

P_t,T (ε) ≍

ε/μ²

при ε → 0.

t=T

Здесь и далее f(ε) ≍ g(ε) означает, что f(ε)/g(ε) → 1 при ε → 0. Эта формула

показывает, что ошибки фильтрации и интерполяции асимптотически отли-

чаются только на постоянный фактор и убывают как квадратный корень от

интенсивности шума.

2. Основные результаты

В этой работе будет получена более общая асимптотика ошибки, остаю-

щейся верной при всех значениях показателя Хёрста.

Теорема 1. Наименьшая среднеквадратичная ошибка оценки сигнала в

системе (1.1) допускает следующую асимптотику:

(2.1)

P_t,T

(ε) ≍

(

)

⎧

1+2H

⎨

sin(πH)Γ(2H + 1)

t ∈ (0,T)

≍ (ε/μ²)1+2

2H + 1

при ε → 0.

sin^π

⎩

2H+1

t=T

Замечание 1. Порядок ε2H/(1+2H) скорости ошибки в (2.1) совпадает

с оптимальным порядком убывания минимаксного риска в задачах оценки

детерминированного сигнала с показателем Гёльдера H ∈ (0, 1) в белом шуме,

см. [7, 8].

Вывод асимптотики (2.1) использует приближение решений спектральной

задачи

Kϕ = λϕ

для ковариационного оператора

∫T

(Kϕ)(t) = K(s, t)ϕ_sds

дробного процесса Орнштейна-Уленбека с ядром (1.3). Хорошо известно,

что такая задача имеет счетное количество нетривиальных решений (λ_n, ϕ_n),

n ∈ N. Собственные значения λ_n вещественны, положительны и их упорядо-

ченная последовательность сходится к нулю. Собственные функции ϕ_n со-

ставляют полный ортонормальный базис в пространстве L²([0, T ]). Добав-

ляя β в обозначение ядра (1.3), заметим, что оно обладает свойством инва-

риантности

(2.2)

K_β(sT,tT) = T2HK_βT

(s, t), s, t ∈ [0, 1], T > 0,

благодаря которому без ограничения общности можно рассматривать спек-

тральную задачу на единичном отрезке [0, 1].

В случае классического процесса Орнштейна-Уленбека, т.е. при H = 1/2,

спектральная задача сводится к линейному дифференциальному уравнению

с явным решением, которое позволяет найти простые выражения

√

(2.3)

λ_n =

и ϕ_n(t) ∝

2sin(ν_n

t),

ν2n + β²

где ν_n = πn - π/2 + O(n-1) — возрастающая последовательность корней

уравнения

ν/β = tan ν.

Для всех других значений показателя H ∈ (0, 1) асимптотически точные

приближения собственных значений и функций могут быть получены с ис-

пользованием метода Укаи [9], недавно примененного в [10] к спектральному

анализу дробного броуновского движения.

Следующий результат интересен сам по себе и может быть применен в

различных других приложениях.

Теорема 2.

1. Собственные значения ковариационного оператора с ядром (1.3) на еди-

ничном отрезке [0,1] допускают представление

ν1-2Hn

(2.4)

λ_n = sin(πH)Γ(2H + 1)

n = 1,2,...,

ν2n + β²

где последовательность ν_n имеет ту же асимптотику, что и в случае

дробного броуновского движения, [10, теорема 2.1]:

(

)

(H -¹² )²

ν_n = n -

π-

+ O(n-1), n → ∞.

H+¹

2. Нормированные собственные функции допускают такое же асимп-

тотическое приближение, как и в случае дробного броуновского движения,

[10, теорема 2.1]:

√

(

)

ϕn(x) =

2 sin

ν_nx + η_H

∫∞

(

)

(2.5)

e-xνnuf₀(u) + (-1)ⁿe-(1-x)νnuf₁(u) du + O(n-1),

где функции f_j(·) задаются явными формулами (см. лемму 9) и

1 (H -

)(H -³² )

η_H =

H+¹

3. Имеет место следующее асимптотическое равенство:

√

(

)

ϕn(1) = -(-1)ⁿ

2H + 1

1 + O(n-1)

n → ∞.

3. Доказательство теоремы 1

Используя свойство (2.2), перепишем уравнение (1.2) в виде

∫1

εh(u, v) + μ²T2H+1K_βT (r, u)h(r, v)dr =

(3.1)

= μ²T2HK_βT (u,v),

0 ≤ u ≤ v ≤ 1,

где h(u, v) := h_T (uT, vT ). Очевидно, что

P_uT,T (ε) =

h(u, u), u ∈ [0, 1].

μ²

Разлагая решение (3.1) в ряд по собственным функциям ядра K_βT , полу-

чаем

∑

μ²T2H

h(u, v) =

ϕn(u)ϕn(v),

0 ≤ u ≤ v ≤ 1,

2H+1

ελn1 + μ²T

n=1

где λ_n — его собственные значения. Этот ряд сходится безусловно при любых

ε > 0, и его значение неограниченно возрастает при ε → 0. Первый порядок

асимптотики этого ряда по ε не изменится, если собственные значения и соб-

ственные функции заменить на их приближения из теоремы 2. Обозначим

C := sin(πH)Γ(2H + 1), тогда

∑

εT2H

P_T,T (ε) =

h(1, 1) =

ϕ2n(1) ≍

2H+1

μ²

ελn1 + μ²T

n=1

∑

εT2H

≍

(2H + 1) ≍

ε (πn)² + (βT )

n=1

+μ²T2H+1

C (πn)1-2H

∫∞

εT2H

≍ (2H + 1)

(

)

dx ≍

(πx)2H+1 + (βT )²(πx)2H-1

+μ²T2H+1

)_- 1

∫

∞

⁽ε

2H+1 2H + 1

≍

dy =

μ²T C T2H+1μ²

y2H+1 + 1

)_-

2H+1

⁽ε

= (ε/μ²)2H+1 C

μ²T C T2H+1μ²

sinπ2H+1

sin^π

2H+1

что и дает асимптотическое выражение ошибки фильтрации в (2.1) при t = T .

Для вычисления P_uT,T (ε) при u ∈ (0, 1) воспользуемся приближением соб-

ственных функций (2.5), которое внутри интервала принимает вид

√

(

)

ϕn(u) =

2 sin

ν_nu + η_H

+ O(n-1) при n → ∞.

Имеем

∑

εT2H

P_uT,T (ε) =

h(u, u) =

ϕ2n(u) =

2H+1

μ²

ελn1 + μ²T

n=1

(3.2)

∑

εT2H

∑

εT2H

(

)

cos

2ν_nu + 2η_H

2H+1

ελn1 + μ²T

ελn1 + μ²T2H+1

n=1

:= I₁(ε) + I₂(ε).

Здесь I₁(ε) отличается от предыдущего случая только на множитель 2H + 1,

и для того, чтобы получить асимптотику ошибки интерполяции (2.1) в случае

t ∈ (0,T), остается показать, что I₂(ε) стремится к нулю при ε → 0 быстрее,

чем ε2H/(2H+1). Введем последовательность (S_n)n≥0 :

∑

(

)

S_n = cos

2ν_ku + 2η_H

n ≥ 1,S₀ = 0.

k=1

Для любого u ∈ (0, 1) последовательность (S_n) ограничена и

∑

(

)

εT2H

I₂(ε) =

S_n - Sn-1

ελn1 + μ²T2H+1

n=1

∑

λ-1n+1 - λ-1n

=ε²T2H

S_n(

)(

ελ-1n+1 + μ²T2H+1

ελn1 + μ²T2H+1

n=1

По формуле (2.4) для всех достаточно больших n имеем

|λ-1n+1 - λ-1n| ≤ C₁n2H и λ-1n ≥ C₂n2H+1

с некоторыми постоянными C₁ и C₂. Тогда, поскольку (S_n) ограничена, су-

ществует постоянная C₃, такая что

∞

∫

∑

n2H

x2H

|I₂(ε)| ≤ C₃ε²

(

)₂ ≍ C3ε2

(

)₂ dx ≍

εn2H+1 + 1

εx2H+1 + 1

n=1

∞

∫

y2H

≍C₃ε

(

)₂ dy = O(ε), ε → 0.

y2H+1 + 1

Таким образом, второй член в (3.2) асимптотически пренебрежим, что завер-

шает доказательство теоремы.

4. Доказательство теоремы 2

Основная идея доказательства заключается в сведении спектральной зада-

чи к решению некоторой вспомогательной системы интегральных и алгебраи-

ческих уравнений, которая оказывается более удобной для асимптотического

анализа. Подробное описание метода можно найти в [10, секция 4], а исполь-

зуемые понятия и результаты из комплексного анализа — в монографии [11].

4.1. Случай H >¹²

В этом случае выражение (1.3) можно упростить, поменяв порядок инте-

грирования и производной:

∫t

∫s

K(s, t) =

eβ(t-v)eβ(s-u)c_α|u - v|^-αdudv,

где введен новый параметр α := 2-2H∈ (0, 1) и постоянная c_α = (1-α2 )(1-α).

В этих обозначениях спектральная задача имеет вид

⎛

⎞

∫

⎝

(4.1)

eβ(x-u)eβ(y-v)c_α|u - v|^-αdvdu⎠

ϕ(y)dy = λϕ(x), x ∈ [0, 1].

4.1.1. Преобразование Лапласа. Рассмотрим преобразование Лапласа от

решения уравнения (4.1)

∫1

(4.2)

ϕ(z) = e^-zxϕ(x)dx, z ∈ C,

которое является аналитической функцией. В следующей лемме, используя

особую структуру ядра, получим выражение для

ϕ(z), которое играет клю-

чевую роль в реализации метода.

Лемма 1. Пусть (λ,ϕ) решают спектральную задачу (4.1), тогда пре-

образование Лапласа (4.2) допускает представление

(

)

z+β

(4.3)

ϕ(z) =

ϕ(-β) -

Φ₀(z) + e^-zΦ₁(-z) ,

Λ(z)

где

∫∞

Γ(α)λ

2t^α

(4.4)

Λ(z) =

(z² - β²) +

dt,

c_α

t² - z²

а функции Φ₀(z) и Φ₁(z), определенные ниже в (4.17), кусочно-голоморфны

на разрезанной плоскости C \ R₊.

Доказательство леммы 1. Продифференцируем обе части уравне-

ния (4.1). Получим

⎛

⎞

∫

(4.5)

⎝ e^-βvc_α|x - v|^-αdv⎠e^βyϕ(y)dy + βλϕ(x) = λϕ^′

(x), x ∈ [0, 1].

Далее, введем функцию

∫1

(4.6)

ψ(x) := e^-βx e^βr

ϕ(r)dr

и, интегрируя по частям, получим

⎛

⎞

∫

⎝ e^-βvc_α|x - v|^-αdv⎠e^βyϕ(y)dy = c_α|x - y|^-αψ(y)dy.

Теперь уравнение (4.5) эквивалентно обобщенной спектральной задаче

∫

(

)

c_α|x - y|^-αψ(y)dy = λ β²ψ(x) - ψ^′′(x) , x ∈ [0,1],

(4.7)

ψ(1) = 0, ψ^′(0) + βψ(0) = 0,

где краевые условия следуют из определения (4.6), так как

(4.8)

ψ^′

(x) + βψ(x) = -ϕ(x).

Подстановка тождества

∞

∫

|x - y|^-α =

tα-1e^-t|x-y|dt, α ∈ (0,1),

Γ(α)

в (4.7) дает

∞

∫

)

Γ(α)λ⁽

(4.9)

tα-1u(x,t)dt =

β²ψ(x) - ψ^′′(x) ,

c_α

где была определена функция

∫1

(4.10)

u(x, t) := ψ(y)e^-t|x-y|

dy.

С другой стороны, дважды интегрируя по частям и используя краевые

условия задачи (4.7), имеем

∫¹

(4.11)

ψ^′′(z) = ψ^′′(x)e^-zxdx = ψ^′(1)e^-z + (β - z)ψ(0) + z²ψ(z).

Применяя преобразование Лапласа к (4.9) и подставляя (4.11), получим

∞

∫

)

Γ(α)λ⁽

(4.12)

tα-1u(z,t)dt =

(β² - z²

ψ(z) - ψ^′(1)e^-z - (β - z)ψ(0) .

c_α

Другое выражение для

u(z, t) можно вывести, используя определе-

ние (4.10). Продифференцировав два раза, получаем уравнение

(4.13)

u^′′(x,t) = t²

u(x, t) - 2tψ(x)

и граничные условия

u^′(0,t) = tu(0,t),

(4.14)

u^′(1,t) = -tu(1,t).

Теперь дважды интегрируя по частям, имеем

∫1

u′′(z, t) =

u^′′(x,t)e^-zxdx = u^′(1,t)e^-z - u^′(0,t) + zu^′(z,t) =

(4.15)

= (z - t)e^-z u(1, t) - (z + t)u(0, t) + z²u(z, t),

где использовано (4.14). Преобразование Лапласа от (4.13) и подстановка вы-

ражения (4.15) дают

(4.16)

u(z, t) =

u(0, t) -

u(1, t)e^-z -

(z).

z-t

z+t

z² - t²

Подставляя (4.16) в (4.12) и упрощая, получаем

(

)

ψ(z) =

Φ₀(z) + e^-zΦ₁(-z) ,

Λ(z)

где функция Λ(z) определена в (4.4) и

∫∞

Γ(α)λ

tα-1

Φ₀(z) := -

(β - z)ψ(0) +

u(0, t)dt,

c_α

t-z

(4.17)

∫∞

Γ(α)λ

tα-1

Φ₁(z) := -

ψ^′(1) +

u(1, t)dt.

c_α

t-z

Так ка

ψ^′(z) = -ψ(0) +

ψ(z)

ψ^′(z) +

ψ(z) = -ϕ(z) (см.(4.8)), получаем

ϕ(z) = ψ(0) - (z + β

ψ(z),

что и дает (4.3).

Следующая лемма описывает структуру функции Λ(z) и доказывает ряд

ее свойств, которые будут использоваться далее.

Лемма 2.

a. Функция Λ(z) допускает явное выражение

⎧

⎪

1-α

⎪

Γ(α)λ

^πi,

arg(z) ∈ (0, π)

(4.18) Λ(z) =

(z² - β²) + zα-1

c_α

cosπ2 α ⎪

1-α

^⎩e

^πi, arg(z) ∈ (-π,0)

и имеет нули в точках ±z₀ = ±iν, где ν > 0 — вещественный корень урав-

нения

α-1

c_α

π ν

(4.19)

λ=

Γ(α) cosπ2 α β² + ν²

b. Пределы Λ^±(t) = lim_z→t± Λ(z), когда z стремится к t ∈ R в верхней и

нижней полуплоскостях, задаются выражениями

⎧

1-α

⎪

^πi,

t>0

Γ(α)λ

Λ^±(t) =

(t² - β²) + |t|α-1

c_α

cosπ2 α ⎪

1-α

∓

^⎩e

^πi,

t<0

и удовлетворяют равенствам

(4.20)

Λ⁺(t) = Λ^-

(t),

Λ⁺(t)

Λ^-(-t)

(4.21)

Λ^-(t)

Λ⁺(-t)



(4.22)

^Λ⁺(t)=

^Λ⁺(-t).

c. Аргумент θ(t) := arg{Λ⁺(t)} ∈ (-π, π] — нечетная функция, θ(-t) =

= -θ(t), задаваемая формулой

1-α

sin

(4.23)

θ(t) = arctan

t > 0,

(t/ν)² -(β/ν)²

(t/ν)1-α + cos1-α2 π

1+(β/ν)²

непрерывная на (0,∞), имеющая пределы

1-α

θ(0+) :=

π>0

и θ(∞) := lim θ(t) = 0.

t→∞

При всех достаточно больших ν функция θ(u; ν) := θ(uν) удовлетворяет

неравенству



(4.24)

θ(u; ν) - θ₀(u) ≤ g(u)(β/ν)2,

где g(u) не зависит от ν, непрерывна на [0, ∞), растет, как g(u) ∼ u1-α при

u → 0 и g(u) ∼ uα-3 при u → ∞, а

1-α

sin

(4.25)

θ₀(u) := lim

θ(uν) = arctan

ν→∞

u3-α + cos1-α2π

При любом β ∈ R

∞

∫

1-α

sin (^π

)

3-α

(4.26)

b_α(β,ν) :=

θ(u; ν)du ---→

θ₀(u)du =

=: b_α

ν→∞ π

sin^π

3-α



≤C(β/ν)2

(4.27)

^b_α(β, ν) - b_α

с некоторой постоянной C.

Доказательство леммы 2.

a. Интегрируя по подходящему контуру, легко получить тождество

⎧

1-α

⎪

∫

∞

⎨

^πi,

arg(z) ∈ (0, π)

t^α

dt = zα-1

t² - z²

2 cos

α⎪

1-α

^⎩e

^πi, arg(z) ∈ (-π,0),

которое и дает выражение (4.18). Для того чтобы найти все нули Λ(z) в верх-

ней полуплоскости, положим z = νe^iω, где ν > 0 и ω ∈ (0, π). Тогда уравнение

Λ(z) = 0 принимает вид

κ(ν²e2iω - β²) + να-1ei(ω-2 )(α-1) = 0,

где введена постоянная

λΓ(α) cos

κ :=

c_α

Мнимая часть этого уравнения дает

κν² sin 2ω + να-1 sin(ω -π2 )(α - 1) = 0.

При всех ω ∈ (0,π2 ) и ω ∈ (π2 , π) оба синуса здесь имеют один и тот же знак

и поэтому равенство возможно только при ω =π2 . Таким образом, в верхней

полуплоскости Λ(z) обнуляется только в точке iν, где ν удовлетворяет урав-

нению (4.19). По определению (4.4) функция Λ(z) имеет только комплексно

сопряженные нули и поэтому единственный ноль в нижней полуплоскости —

это -iν.

b. Все утверждения проверяются непосредственно с использованием явно-

го выражения (4.18).

c. Зaметим, что функция f(u) := (u² - (β/ν)²)u1-α, u ∈ R₊ обнуляется в

u = 0 и u = β/ν и имеет единственный минимум minu≥0 f(u) = -(β/ν)3-α×

(

)

1-α

×²

. Поэтому при фиксированном β и всех достаточно больших ν

3-α

знаменатель (4.23) отделен от нуля равномерно по u. Это свойство позволяет

легко проверить все дальнейшие утверждения (значение β_α получено в [10]).

4.1.2. Устранение особенностей. Согласно п. (a) леммы

выражение

в (4.3) претерпевает разрыв на вещественной оси и имеет два чисто мнимых

полюса. Так как преобразование Лапласа является целой функцией, обе эти

особенности должны быть устранимыми, т.е. функции Φ₀(z) и Φ₁(z) должны

удовлетворять условиям

(4.28)

Φ₀(±z₀) + e∓z0 Φ₁(∓z₀

)=0

(

)

(

)

lim

e^-zΦ₁(-z) + Φ₀(z)

= lim

e^-zΦ₁(-z) + Φ₀(z)

t ∈ R.

z→t⁺ Λ(z)

z→t^- Λ(z)

Последнее условие может быть переписано как

(

)

(

)

Φ⁺⁰(t) + e^-tΦ₁(-t)

Φ-0(t) + e^-tΦ₁(-t) , t > 0,

Λ⁺(t)

Λ^-(t)

(

)

(

)

Φ₀(t) + e^-tΦ-1(-t)

Φ₀(t) + e^-tΦ⁺¹(-t) , t < 0

Λ⁺(t)

Λ^-(t)

или (см.(4.21))

)

Λ⁺(t)

⁽Λ⁺(t)

Φ⁺⁰(t) -

Φ-0(t) = e^-tΦ₁(-t)

-1

Λ^-(t)

(4.29)

)

t > 0.

Λ⁺(t)

⁽Λ⁺(t)

Φ⁺¹(t) -

Φ-1(t) = e^-tΦ₀(-t)

-1

Λ^-(t)

Поскольку Λ^-(t) = Λ⁺(t) и θ(t) = arg{Λ⁺(t)}, имеем

Λ⁺(t)

- 1 = e2iθ(t) - 1 = 2ieiθ(t) sinθ(t).

Λ^-(t)

Значит, (4.29) можно переписать как

Φ⁺⁰(t) - e2iθ(t)Φ-0(t) = 2ie^-teiθ(t) sinθ(t)Φ₁(-t),

(4.30)

t > 0.

Φ⁺¹(t) - e2iθ(t)Φ-1(t) = 2ie^-teiθ(t) sinθ(t)Φ₀(-t),

Из определения (4.10) следует, что tu(0, t) и tu(1, t) ограничены, и поэто-

му функции, определенные в (4.17), удовлетворяют следующим априорным

оценкам:

(4.31)

Φ₁(z) ∼ zα-1 и Φ₀(z) ∼ zα-1

при z → 0,

а также

(4.32)

Φ₀(z) = 2c₂(β - z) + O(z-1) и Φ₁(z) = 2c₁ + O(z-1

) при z → ∞,

где были введены постоянные

1 Γ(α)λ

(4.33)

c₁ = -

ψ^′(1) и c₂ = -

ψ(0).

c_α

4.1.3. Сведение к эквивалентной задаче. Преобразование Лапласа любого

решения спектральной задачи (4.1) задается формулой (4.3), где кусочно-го-

ломорфные функции Φ₀(z) и Φ₁(z) удовлетворяют оценкам (4.32) и (4.31),

краевым условиям (4.30) и алгебраическим ограничениям (4.28). Установим

взаимно однозначное соответствие между всеми такими функциями и ре-

шениями некоторой системы интегральных уравнений на вещественной по-

лупрямой. Для этой цели воспользуемся техникой решения краевой задачи

Гильберта.

Рассмотрим сначала однородную задачу Гильберта, состоящую в нахож-

дении функции X(z), кусочно-голоморфной на разрезанной плоскости C\R₊

и удовлетворяющей краевым условиям

(4.34)

X⁺(t) - e2iθ(t)X^-(t) = 0, t ∈ R₊.

Все такие функции могут быть найдены с помощью формулы Сохоцкого-

Племеля:

⎛

⎞

∞

∫

θ(t)

(4.35)

X(z) = z^kX_c(z) = z^k exp ⎝¹

dt^⎠ , z ∈ C \ R₊,

π t-z

где k — любое целое число, которое будет выбрано позже. Каноническая

часть X_c(z) этого выражения удовлетворяет оценкам

(4.36)

X_c(z) = 1 - z-1νb_α(β,ν) + O(z-2

) при z → ∞,

где b_α(β, ν) определено в (4.26), и

(4.37)

X_c(z) ∼ zα21

при z → 0.

Введем функции

Φ₀(z) + Φ₁(z)

S(z) :=

2X(z)

(4.38)

Φ₀(z) - Φ₁(z)

D(z) :=

2X(z)

которые, благодаря (4.30) и (4.34), удовлетворяют независимым краевым

условиям

S⁺(t) - S^-(t) =

2ih(t)e^-tS(-t),

(4.39)

t > 0,

D⁺(t) - D^-(t) = -2ih(t)e^-tD(-t),

где

X(-t)

h(t) := eiθ(t) sin θ(t)

X⁺(t)

Вычисления, подобные уравнению (5.37) в [10], показывают, что эта функция

допускает представление

⎛

⎞

∫

∞



t+s

(4.40)

h(t) = exp^⎝-¹

θ^′(s)log



s^⎠

sin θ(t)

^d

^t-s

и поэтому вещественна, удовлетворяет условию Гёльдера на R₊ и имеет пре-

дел

1-α

h(0) := sin θ(0+) = sin

π.

Применяя формулу Сохоцкого-Племеля к (4.39), получаем следующее

представление для функций из (4.38):

∞

∫

h(t)e^-t

S(z) =

S(-t)dt + P_S (z),

t-z

(4.41)

∫

∞

h(t)e^-t

D(z) = -

D(-t)dt + P_D(z),

t-z

где полиномы P_S (z) и P_D(z) выбираются в соответствии с априорной оценкой

роста S(z) и D(z) при z → ∞. Заметим, что интегралы в правой части (4.41)

хорошо определены, только если S(-t) и D(-t) интегрируемы в нуле. Вви-

ду оценок (4.31) и (4.37), это ограничивает выбор целого числа k в выра-

жении (4.35) неравенством k < (α + 1)/2. Далее, понадобится, чтобы S(-t)

и D(-t) были так же квадратично интегрируемы, что сужает ограничение

до k < α/2. Удобным выбором, который удовлетворяет всем этим условиям,

будет k = 0, что соответствует определению X(z) := X_c(z).

Так как для любых вещественных чисел a, b и c верно

az + b + O(z-1)

= a(z + c) + b + O(z-1) при z → ∞,

1 - cz-1 + O(z-2)

априорные оценки (4.32) и (4.36) дают

(

)

S(z) = c₂

- z + β - νb_α(β,ν)

+ c₁ + O(z-1),

(

)

D(z) = c₂

- z + β - νb_α(β,ν)

- c₁ + O(z-1).

Эта асимптотика определяет выбор полиномов в (4.41):

P_S(z) := c₂(-z + β - νb_α(β,ν)) + c₁,

P_D(z) := c₂(-z + β - νb_α(β,ν)) - c₁,

где постоянные c₁ и c₂ определяются (4.33). Теперь, подставляя z := -t

в (4.41), где t ∈ R₊, получаем интегральные уравнения для сужений S(-t)

и D(-t):

∞

∫

h(s)e^-s

(

)

S(-t) =

S(-s)ds + c₂

t + β - νb_α(β,ν)

+c₁,

s+t

∫

∞

h(s)e^-s

(

)

D(-t) = -

D(-s)ds + c₂

t + β - νb_α(β,ν)

-c₁.

s+t

Рассмотрим вспомогательные интегральные уравнения

∫

∞

h_β(s;ν)e^-νs

(4.42)

p^±j(t) = ±

p^±j(s)ds + t^j

j ∈ {0,1},

s+t

где h_β (u; ν) := h(uν), u > 0. Ниже покажем, что для всех достаточно боль-

ших ν эти уравнения имеют единственные решения в классе функций, таких

что p^±j (t) - t^j принадлежит пространству L²(R₊). Продолжим определение

решений p^±j(z) на разрезанную плоскость, заменив t в правой части уравне-

ния (4.42) на z ∈ C \ R₊.

Так как по построению S(-t) и D(-t) квадратично интегрируемы в нуле,

по линейности имеем

(

)

(

)

S(zν) = c₂νp⁺¹(-z) + c₂

β - νb_α(β,ν)

+ c₁ p⁺⁰(-z),

(

)

(

)

D(zν) = c₂νp-1(-z) + c₂

β - νb_α(β,ν)

- c₁ p-0(-z).

Поэтому, положив

a_±(z) := p⁺⁰(z) ± p-0(z),

b_±(z) := p⁺¹(z) ± p-1(z)

и используя определение (4.38), получим

)

Φ₀(zν) = c₂νX(zν)(b₊(-z)+(β/ν -b_α(β,ν)

a₊(-z))+c₁X(zν)a_-(-z),

(4.43)

Φ₁(zν) = c₂νX(zν)(b_-(-z)+(β/ν -b_α(β,ν))a_-(-z))+c₁X(zν)a₊(-z).

Теперь, определив X_β (z; ν) := X(zν), подставим эти выражения в усло-

вие (4.28) и получим

(4.44)

c₂νξ + c₁

η = 0,

где

(

)

(

)

ξ := eiν/2X_β (i; ν) b₊(-i) +

β/ν - b_α(β, ν)

a₊(-i) +

(

)

(

)

(4.45)

+ e-iν/2X_β(-i;ν) b_-(i) +

β/ν - b_α(β, ν)

a_-(i) ,

η := eiν/2X_β (i; ν)a_-(-i) + e-iν/2X_β(-i; ν)a₊(i).

Так как постоянные c₁ и c₂ вещественны, нетривиальные решения линейной

алгебраической системы (4.44) существуют тогда и только тогда, когда вы-

полняется условие

(4.46)

Im{ξη} = 0,

при этом c₁ = -c₂νξ/η. Подставляя это равенство в (4.43), получим

(

)

( (

(

z⁾

z⁾⁾

z⁾

Φ₀(z)/c₂ν =X(z) b₊ -

-b_α(β,ν) a₊ -

X(z)a_- -

(4.47)

(

)

( (

(

z⁾

z⁾⁾

z⁾

Φ₁(z)/c₂ν =X(z) b_- -

-b_α(β,ν) a_- -

X(z)a₊ -

Итак, получена задача, эквивалентная уравнению (4.1).

Лемма 3. Пусть (p±0,p±1,ν) — решение системы, состоящей из ин-

тегральных уравнений (4.42) и алгебраических условий (4.46). Определим ϕ

преобразованием Лапласа, задающимся выражением (4.3), где Φ₀(z) и Φ₁(z)

определены формулами (4.47), а число λ ∈ R₊ — формулой (4.19). Тогда па-

ра (λ, ϕ) решает спектральную задачу (4.1). Верно и обратное: по любому

решению (λ,ϕ) задачи (4.1) можно построить решение вышеупомянутой

интегрально-алгебраической системы.

В следующей лемме получена точная асимптотика X_β(i; ν) при ν → ∞,

которая понадобится в дальнейшем для асимптотического анализа.

Лемма 4.

√

{

}

1-α



3-α

₌

arg

X_β(i;ν)

π+O(ν-2) и

^X_β (i; ν)

+O(ν-2) ν → ∞.

Доказательство леммы 4. Постоянные в правой части — аргумент

и абсолютное значение предела, см. (4.25),

⎛

⎞

∫

∞

θ₀(u)

X₀(i) := lim

X_β(i;ν) = exp⎝1

du^⎠ ,

ν→∞

π u-i

вычисленные в [10, лемма 5.5]. Оценки остатков следуют из неравенств (4.24).

4.1.4. Свойства интегрально-алгебраической системы. Разрешимость си-

стемы, введенной в лемме 3, обеспечивается сжатием оператора

∞

∫

h_β(s;ν)e^-νs

(Af)(t) :=

f (s)ds,

s+t

где h_β(u; ν) := h(uν) (см. (4.40)):

⎛

⎞

∫

∞



u+v



(4.48)

h_β(u;ν) = exp^⎝-¹

θ^′(v;ν)log

v^⎠

sin θ(u; ν).

^d

^u-v

Лемма 5. Оператор A является сжимающим на пространстве функ-

ций L²(R₊) для всех достаточно больших ν, а именно, для каждого

α₀ ∈ (0,1] существует ε > 0 и постоянная ν^′ > 0, такие что ∥A∥ ≤ 1 - ε

для всех ν ≥ ν^′ и α ∈ [α₀, 1].

Доказательство леммы 5. Непосредственное вычисление показы-

вает, что для всех достаточно больших ν и всех α ∈ [α₀, 1] показатель экспо-

ненты в (4.48) ограничен непрерывной функцией f(u), не зависимой от α и

ν, пределы которой при u → 0 и u → ∞ равны 1. В частности,

h_β(u,ν) ≤ f(u)sin θ(u;ν) ≤ ∥f∥_∞.

Далее, так как θ₀(0+) =1-α2 π, благодаря оценке (4.24), существует окрест-

ность нуля, где при всех достаточно больших ν справедлива верхняя оценка

1-α₀

sin θ(u; ν) ≤

sin

π =: 1 - 3ε.

Так как f(0) = 1, это так же гарантирует, что h_β(u, ν) < 1 - 2ε в некоторой

окрестности нуля. Тогда, поскольку supν>0 ∥h_β ∥_∞ ≤ ∥f∥_∞, можно выбрать

постоянную ν^′ такую что h_β (u, ν)e^-νu < 1 - ε при всех u > 0 и всех ν ≥ ν^′.

Далее доказательство проводится точно так же, как в [10, лемма 5.6].

Следующие оценки играют ключевую роль в асимптотическом анализе

интегрально-алгебраической системы леммы 3.

Лемма 6. Для любого α₀ ∈ (0,1] существуют постоянные ν ^′ и C, такие

что при всех ν ≥ ν^′ и α ∈ [α₀, 1]



≤Cν-1_,

^a_-(±i)

^a₊(±i) - 2



^b_-(±i)

≤Cν-2_,

^b₊(±i) ∓ 2i

≤Cν-2_,

а также при любых τ > 0



≤Cν-1_τ-1_,

^a_-(τ)

^a₊(τ) - 2



^b_-(τ)

≤Cν-2_τ-1_,

^b₊(τ) ∓ 2τ

≤Cν-2_τ-1_.

Доказательство леммы 6. Как показано в доказательстве предыду-

щей леммы, функция h_β (u; ν) может быть ограничена постоянной, зависящей

только от α₀, при всех достаточно больших ν. Эта оценка позволяет провести

доказательство точно так же, как в [10, лемма 5.7].

4.1.5. Обращение преобразования Лапласа. В следующей лемме собствен-

ные функции выражаются в терминах решений интегрально-алгебраической

системы уравнений леммы 3.

Лемма 7. Пусть (Φ₀,Φ₁,ν) являются решениями интегрально-алгеб-

раической системы леммы 3. Тогда функция ϕ, определяемая преобразова-

нием Лапласа (4.3), задается равенством

{

}

cos

1 - i(β/ν)

cosπ2 α 1

(4.49) ϕ(x) = -ν3-α

2Re e^iνxΦ₀(iν)

+ν3-α

-α+1

π π

(β/ν)² +1

∫∞

(

)

(

)

sin θ_β(u; ν)

e-(1-x)uν u+

Φ₁(-uν)-e-uνx u-

Φ₀(-uν) du,

γ_β(u;ν)

где γ_β(u; ν) определена формулой (4.51) ниже. Также имеют место равен-

ства

∫

cosπ2 α

(

)

e^βxϕ(x)dx = -ν3-α

2c₂

1 + (β/ν)²

(4.50)

cos

(

)

ϕ(1) = -ν3-α

2c₂ν

1 + (β/ν)²

Доказательство леммы 7. Поскольку

ϕ(z) — аналитическая функ-

ция, обращение преобразования Лапласа (4.3) может производиться интегри-

рованием по мнимой оси:

∫

(

)

z+β

ϕ(x) = -

lim

Φ₀(z) +

e^-zΦ₁(-z) - ψ(0) e^zxdz =

2πi

R→∞

Λ(z)

−iR

∫

(

)

lim

f₀(z) + f₁(z)

dz,

2πi

R→∞

−iR

где были введены функции

(

)

Φ₀(z)

Φ₁(-z)

f₀(z) = e^zx (z + β)

- ψ(0) и f₁(z) = e(x-1)z(z + β)

Λ(z)

Интегрируя по подходящему контуру, как в доказательстве леммы 5.8 в [10],

получаем

∫

(

)

(

)

f₁(z) + f₀(z)

dz = 2πi Res(f₀, z₀) + Res(f₀, -z₀) +

−i∞

∫∞

∫

∞

(

)

(

)

f⁺¹(t) - f-1(t)

dt +

f-0(-t) - f⁺⁰(-t)

dt.

Используя симметрии (4.20) и (4.22), а также определение θ(t), имеем

2i sin θ(t)

f⁺¹(t) - f-1(t) = -e(x-1)t(t + β)Φ₁(-t)

γ(t)

2i sin θ(t)

f-0(-t) - f⁺⁰(-t) = -e^-tx(-t + β)Φ₀(-t)

γ(t)

где γ(t) = |Λ⁺(t)|, а значит и

(

)

(

)

ϕ(x) = -Res

f₀,z₀

- Res

f₀,-z₀

∫

∞

)

sin θ(t)⁽

e-(1-x)t(t + β)Φ₁(-t) - e^-tx(t - β)Φ₀(-t) dt.

γ(t)

Вычеты здесь легко считаются

(

)

Φ₀(iν)

cos

1 - i(β/ν)

Res

f₀,z₀

= e^iνx(iν + β)

= e^iνxΦ₀(iν)

ν3-α

Λ^′(iν)

-α+1

(β/ν)²+1

(

)

Φ₀(-iν)

Res

f₀,-z₀

= e^-iνx(-iν + β)

Λ^′(-iν)

cos

1 + i(β/ν)

= e^-iνxΦ₀(-iν)

ν3-α

-α+1

(β/ν)²+1

и, таким образом,

{

}

(

)

(

)

cos

1 - i(β/ν)

Res

f₀,z₀

+ Res

f₀,-z₀

= 2ν3-α

Re e^iνxΦ₀(iν)

-α+1

(β/ν)² +1

Подставляя это выражение, получаем (4.49), где



cos

α



_u2-(β/ν)2



₌



πi



(4.51)

γ_β(u;ν) = ν1-α

_Λ+(uν)

+uα-1e¹

.

 (β/ν)² + 1

Формулы (4.50) следуют из (4.33), (4.19) и (4.44).

4.1.6. Асимптотический анализ. По лемме 3 спектральная задача (4.1)

сводится к решению инегрально-алгебраической системы уравнений. В сле-

дующей лемме получена точная асимптотика его алгебраической части.

Лемма 8. Интегрально-алгебраическая система леммы 3 имеет счет-

ное множество решений, которые могут быть пронумерованы таким обра-

зом, что

(

)

1-α

b_α

(4.52)

ν_n = π n +

π + arcsin

√

+n-1r_n

(α), n → ∞,

1+b2α

где остаток r_n(α) ограничен равномерно по n ∈ N и α ∈ [α₀, 1] при всех

α₀ ∈ (0,1].

Доказательство леммы 8. Доказательство проводится так же, как

и в [10, лемма 5.9]. Подставляя оценки, полученные в леммах 6 и 4, а также

неравенство (4.27) в определение (4.45), можем записать

{

√

(

{

})} (

)

3-α

1-α

ξη = 4

1 + b2α exp i ν +

π - π + arg

i+b_α

1 + R(ν)

где функция R(ν) удовлетворяет неравенству |R(ν)| ≤ C₁ν-1 для некоторой

постоянной C₁, зависящей только от α₀. Поэтому уравнение (4.46) принимает

вид

1-α

{

}

Im{R(ν}

(4.53)

ν+

π-π+arg

i+b_α

-πn+arctan

= 0, n ∈ Z.

1+Re{R(ν)}

Это фиксирует нумерацию всех решений интегрально-алгебраической систе-

мы леммы 3. Понятно, что ν положительно для всех n, превосходящих неко-

торое целое число. Однако на этом этапе существование решения для каж-

дого такого n все еще не очевидно. Оно может быть установлено следующим

образом.

Согласно лемме 5 интегральный оператор в правой части уравнений (4.42)

является сжимающим на L₂(R₊) для всех достаточно больших ν. Непосред-

ственное вычисление показывает, что |R^′(ν)| ≤ C₂ν-1 с некоторой постоян-

ной C₂. Поэтому для всех достаточно больших n система, состоящая из инте-

гральных и алгебраических уравнений (4.42) и (4.53) соответственно, имеет

единственное решение, которое может быть получено как неподвижная точ-

ка, путем итерирования интегрально-алгебраического оператора. Асимпто-

тика (4.52) следует из (4.53), так как arg{i + b_α} =π2 - arcsi

√

1+b2α

Соответствующее асимптотическое приближение собственных функций

может быть получено с помощью следующей леммы.

Лемма 9. Собственные функции, пронумерованные как в лемме 8, до-

пускают приближение

(

)

√

1-α

b_α

(4.54) ϕ_n(x) =

2 cos ν_nx +

π+

- arcsin

√

1+b2α

(

)

∫

u-b

ρ₀(u)

-e-uνnx√

− (-1)ⁿe-(1-x)uνn du + n-1r_n(x),

1+b2α

где остаток r_n(x) равномерно ограничен по n ∈ N и x ∈ [0, 1], а

sin θ₀(u)

ρ₀(u) =

X₀(-u).

γ₀(u)

Кроме того,

√

∫

√

(

)

3-α

(4.55)

ϕn(1) ∝ -(-1)ⁿ

3-α

1+O(n-1)

и e^βxϕ_n(x)dx ∝ -

ν-1n

1+b2α

√

∫

3-α

(4.56)

ϕn(x)dx ∝ -

ν-1n.

1+b2α

Доказательство леммы 9.



πi

Положим γ₀(u) :=

^u + uα-2e¹

^, тогда согласно (4.51)



≤2(β/ν)2(u2+1).

^γ_β(u; ν) - uγ₀(u)

Вместе с (4.24) выражение (4.49) дает

{

}

ϕn(x) ∝ -

Re eiνnxΦ₀(iν_n)

3-α

∞

∫

)

sin θ₀(u)⁽

e-(1-x)uνn Φ₁(-uν_n) - e-uνnxΦ₀(-uν_n) du + n-1r_n(x)

γ₀(u)

где остаток r_n(x) равномерно ограничен по n ∈ N и x ∈ [0, 1]. Приближе-

ние (4.54) получается подстановкой оценок из леммы 6 и леммы 4, а также

неравенства (4.27) в выражение (4.47) и приведением к единичной L²([0, 1])

норме, так же, как и в (5.52) [10]. Формулы (4.50) дают асимптотики (4.55) с

помощью той же нормировки.

Асимптотика (4.56) получается интегрированием (4.49): непосредственное

вычисление показывает, что

∫

(

)

ϕn(x)dx = Cνn1

1 + O(ν-1n)

n → ∞,

где Cν-1n совпадает с интегралом выражения (4.54) без остатка. Так как это

выражение не зависит от β, постоянный множитель C должен совпадать со

значением, которое получается при β = 0. Другими словами, последователь-

∫₁

ности интегралов

ϕn(x)dx для дробного процесса Орнштейна-Уленбека и

дробного броуновского движения имеют одну и ту же асимптотику первого

порядка. Поэтому постоянная в (4.56) совпадает с (5.53) в [10].

4.1.7. Переход к естественной нумерации. Нумерация, введенная в лем-

ме 8, может не совпадать с естественной , при которой последовательность

собственных значений убывает. Заметим, что подстановка выражения (4.52)

в формулу (4.19) дает последовательность λ_n, убывающую в уже выбранной

нумерации. Поэтому начиная с некоторого индекса обе нумерации отлича-

ются только на конечный сдвиг. Для определения этого сдвига можно вос-

пользоваться процедурой калибровки, использующей непрерывность спектра

по параметру α и уже известную асимптотику (2.3) для стандартного про-

цесса Орнштейна-Уленбека, соответствующего значению α = 1. Калибровка

проводится точно так же, как и в случае дробного броуновского движения,

см. [10, гл. 5.1.7], которая показывает, что формулы (4.52) и (4.54)-(4.55) сдви-

гаются на единицу: заменив n на n - 1, а α на 2 - 2H, получим равенство (2.5)

из теоремы 2.

4.2. Случай H <¹²

В этом случае ковариационная функция задается формулой (1.3) и спек-

тральная задача имеет вид

⎛

⎞

∫

⎝ eβ(x-u) d

eβ(y-v)C_α|u - v|1-αsign(u - v)dvdu⎠ ϕ(y)dy = λϕ(x),

где C_α := 1 -α2 . Дважды дифференцируя, получаем

⎛

⎞

∫

⎝ d

eβ(y-v)C_α|x - v|1-αsign(x - v)dv⎠ ϕ(y)dy + βλϕ(x) = λϕ^′(x),

что может быть переписано как

⎛

⎞

∫

⎝ e^-βvC_α|x - v|1-αsign(x - v)dv⎠^d

e^βrϕ(r)drdy + βλϕ(x) =

= λϕ^′(x).

Интегрирование по частям дает

∫

C_α|x - y|1-αsign(x - y)ψ(y)dy + βλϕ(x) = λϕ^′(x),

где ψ(x) определяется так же, как в (4.6). Используя тождество (4.8) прихо-

дим к обобщенной спектральной задаче (см. (4.7)):

∫

(

)

C_α|x - y|1-αsign(x - y)ψ(y)dy = λ β²ψ(x) - ψ^′′(x) , x ∈ [0,1],

ψ(1) = 0, ψ^′(0) + βψ(0) = 0.

Далее доказательство проводится так же, как и в предыдущем случае H >¹² .

5. Заключение

В этой работе получена точная асимптотика ошибки в задаче оценки дроб-

ного процесса Орнштейна-Уленбека, наблюдаемого в белом шуме малой ин-

тенсивности ε → 0. Благодаря свойству инвариантности (2.2) результат оста-

ется верным на произвольном конечном интервале времени, и при этом глав-

ный член асимптотики не зависит от длины интервала T . Другой интересной

задачей является нахождение предела ошибки, когда T → ∞ при фиксиро-

ванной интенсивности шума. Такой асимптотический анализ в рамках пред-

ложенного метода требует, чтобы спектральные оценки, полученные в теоре-

ме 2, были равномерны по T . Из доказательства теоремы подобное свойство

равномерности не следует, и изучение асимптотики больших времен, возмож-

но, потребует другого подхода.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Mishura Y.S. Stochastic calculus for fractional Brownian motion and related

processes. Volume 1929 of Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag,

2008.

Pipiras V., Taqqu M.S. Long-range dependence and self-similarity. Cambridge Series

in Statistical and Probabilistic Mathematics, [45]. Cambridge: Cambridge University

Press, 2017.

Cheridito P., Kawaguchi H., Maejima M. Fractional Ornstein

— Uhlenbeck

processes // Electron. J. Probab. 2003. V. 8. No. 3. P. 14.

Liptser R.S., Shiryaev A.N. Statistics of random processes I. Volume

Applications of Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2001.

Kalman R., Bucy R. New results in linear filtering and prediction theory // J. Basic

Engineer. 1961. V. 83. No. 1. P. 95-108.

Liptser R.S., Shiryaev A.N. Statistics of random processes II. Volume

Applications of Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2001.

Ibragimov I.A., Has’minskii, R.Z. Statistical Estimation. Asymptotic Theory.

Volume 16 of Applications of Mathematics. Springer, 1981.

Tsybakov A. B. Introduction to nonparametric estimation. Springer Series in

Statistics. N.Y.: Springer, 2009.

Ukai S. Asymptotic distribution of eigenvalues of the kernel in the Kirkwood-Riseman

integral equation. // J. Math. Phys. 1971. V. 12. P. 83-92.

10.

Chigansky P., Kleptsyna M. Exact asymptotics in eigenproblems for fractional

Brownian covariance operators // Stochast. Process. Appl. 2018. V. 128. No. 6.

P. 2007-2059.

11.

Gakhov F.D. Boundary value problems. N.Y.: Dover Publicat., Inc., 1990.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Б.М. Миллером.

Поступила в редакцию 20.06.2019

После доработки 15.08.2019

Принята к публикации 26.09.2019