Автоматика и телемеханика, № 6, 2020

Управление в социально-экономических

системах

(Самарский национальный исследовательский университет

имени академика С.П. Королева)

СВОЙСТВА ПРЕДПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ВАРИАЦИЙ

В НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ОЛИГОПОЛИИ ШТАКЕЛЬБЕРГА

Рассматривается теоретико-игровая проблема выбора оптимальных

стратегий агентов рынка олигополии при линейной функции спроса и

нелинейных функциях издержек агентов. Исследуются предположитель-

ные вариации, т.е. предполагаемые агентом изменения действий контр-

агентов, оптимизирующие функции полезности последних. Доказаны

формулы расчета предположительных вариаций каждого агента, суммы

предположительных вариаций всех агентов окружения, исследованы зна-

ки предположительных вариаций для произвольного уровня лидерства

по Штакельбергу. Установлены следующие свойства предположительных

вариаций: 1) вариации отрицательны, если для всех агентов окружения

функции издержек либо выпуклы, либо вогнуты; 2) вариации положи-

тельны, если в окружении агенты с вогнутыми функциями издержек (т.е.

с положительным эффектом расширения масштаба), превалируют над

агентами с выпуклыми функциями издержек (т.е. с отрицательным эф-

фектом). Сумма предположительных вариаций агента: 1) отрицательна и

ограничена по модулю единицей, если агенты окружения преимуществен-

но имеют выпуклые функции издержек; 2) положительна и не ограниче-

на, если среди окружения преобладают агенты с вогнутыми функциями

издержек.

Ключевые слова: олигополия, игра Штакельберга, степенная функция из-

держек, многоуровневое лидерство.

DOI: 10.31857/S0005231020060074

1. Введение

На рынке олигополии действия агентов, максимизирующие их полезно-

сти, приводят к равновесию Нэша [1, 2] как решению соответствующей иг-

ры. Несмотря на то, что функции полезности агентов считаются известными

всем агентам, при моделировании олигополии имеет место фундаменталь-

ная проблема несовершенства информированности агента о действиях других

агентов (окружения). Проблема заключается в априорной неосведомленности

каждого агента о том, на основе какого предположения окружение выбирает

действия: предположения о неизменности действий агента, предположения о

наилучшем ответе агента на действия окружения, предположения о наилуч-

шем ответе агента на наилучший ответ окружения и т.д.

105

В теоретико-игровой модели рынка олигополии предположительные ва-

риации являются классическим инструментом [3] описания информирован-

ности агента о стратегиях других агентов (окружения). Предположительная

вариация характеризует предполагаемое агентом ответное изменение дей-

ствия (объема выпуска) контрагента, оптимизирующее функцию полезности

последнего при выбранном действии первого.

В линейной модели выбора оптимальных действий агентов рынка олигопо-

лии [4-10], в которой обратная функция спроса и функции издержек агентов

являются линейными, вычисление предположительных вариаций не вызы-

вает затруднений. В нелинейной модели [11-14], в которой обратная функ-

ция спроса линейная, а функции издержек агентов нелинейные, предположи-

тельные вариации в аналитическом виде получены только в играх с лидером

(лидерами) по Штакельбергу [15] первого уровня. В случае лидерства более

высоких уровней предположительные вариации находятся из систем нели-

нейных уравнений [16] на каждом уровне и для каждого агента.

В данной статье ставится задача вычисления предположительных вариа-

ций в аналитическом виде для произвольного уровня лидерства по Штакель-

бергу, что позволяет исследовать влияние уровня лидерства на характер по-

ведения игроков.

2. Методология

Рассматривается задача оптимального стратегического выбора олигопо-

листов, относящаяся к классу агрегативных игр [17, 18], в которых функция

полезности игрока зависит не только от его собственной стратегии, но и от

стратегий, выбранных окружением. В этом случае нелинейная модель выбора

оптимальных действий агента рынка олигополии имеет вид

{

}

Q^∗i = arg maxΠi (Q,Qi) = arg max

(a - bQ)Q_i - C_Fi - B_iQβi

Q_i≥0

(1)

∑

i∈N, Q= Q_i,

i∈N

где Q_i, Π_i

действие (объем выпуска) и функция полезности (прибыль)

i-го агента; N

множество агентов рынка; n количество агентов; Q

суммарный объем рынка; C_Fi > 0, B_i > 0, β_i ∈ (0, 2) коэффициенты функ-

ций издержек вида C_i(Q_i) = C_Fi + B_iQβii, CF i интерпретируется как посто-

янные издержки; a > 0, b > 0 коэффициенты обратной функции спроса;

символом ¾^∗¿ обозначены оптимальные значения. В общем случае функции

издержек агентов могут быть как вогнутыми при 0 < β_i < 1, так и выпуклы-

ми при 1 < β_i < 2; первый случай соответствует положительному эффекту

расширения масштаба и наблюдается на стадии становления фирмы, второй

случай, присущий зрелым фирмам, характеризует отрицательный эффект

расширения масштаба [19].

Равновесие Нэша в модели (1) определяется из необходимых условий экс-

тремума:

∂Πi (Q_i,x_ij)

(2)

= 0, i, j ∈ N,

∂Q_i

106

где x_ij = Q^′

предположительная вариация в уравнении реакции i-го аген-

jQ_i

та, т.е. предполагаемое изменение выпуска j-го агента в ответ на единичный

прирост выпуска i-го агента.

Уровень лидерства агента по Штакельбергу определяются следующим

образом. Нулевой уровень, соответствующий ведомому η₀-му агенту, имеет

место, если в η₀-м уравнении системы (2) полагается x0η0j^{=0∀j∈N\η}0^,

где верхний индекс предположительной вариации обозначает уровень ли-

дерства r. Первый уровень лидерства η₁-го агента возникает, если в η₁-м

уравнении системы (2) вариации x1η1j^{вычисляютсядифференцированием}

по Qη1

остальных (N - 1) уравнений (2), в которых полагается x^0ij = 0

∀j ∈ N\i. Произвольный r-й уровень лидерства η_r-го агента возникает, ес-

ли в η_r-м уравнении системы (2) вариации xrηr j^{вычисляютсядифференци-}

рованием по Qηr остальных (N - 1) уравнений (2), в которых полагается

x_ij = x^r-1ij ∀j ∈ N\i.

Подмножество агентов окружения i-го агента, имеющих один и тот же уро-

вень лидерства, обозначено символом M = {l ∈ N\i}, число элементов этого

множества обозначено символом m = n - 1.

Для модели выбора действий (1) i-го агента на r-м уровне лидерства ре-

шения системы (2) удовлетворяют [16] системе уравнений





∑

F^ri = a - bQ - bQ_i 1 +

x^r

-Biβ_iQβi-1i = 0,

(3)

j∈N\i

Q_i > 0, i ∈ N,

при условии

(4)

g^ri = u_i - S^ri

< 0, i ∈ N,

с учетом следующих обозначений

β_i-2

∑

B_iβ_i (β_i - 1) Q

(4а)

u_i = -2 -

< 0, S^ri =

x^ril

i∈N,

l∈N\i

где g^ri (•), i ∈ N непрерывные и дифференцируемые по Q_i функции, харак-

теризующие выполнение достаточного условия максимума (условия унимо-

дальности) функции (1) i-го агента; u_i (•), i ∈ N - функции, характеризую-

щие влияние нелинейности функций издержек агентов на унимодальность

функции полезности i-го агента (при u_i = -2 система (3) является линейной);

S^ri

величина суммы предположительных вариаций i-го агента относитель-

но действий окружения на r-м уровне лидерства; F^ri (•), i ∈ N - непрерыв-

ные и дифференцируемые по Q_i функции. Для последующих содержатель-

ных интерпретаций введем следующую трактовку¹ условий (4): если функ-

ция F^ri характеризует темп (или ¾скорость¿) изменения функции полезности

¹ Здесь используется аналогия с терминологией, принятой в механике при решении за-

дачи о вертикальном равноускоренном движении тела, которое достигает максимальной

высоты подъема в случае, если ускорение гравитации g направлено противоположно на-

чальной скорости, т.е. отрицательно.

107

i-го агента на r-м уровне лидерства, то функцию g^ri можно назвать ¾уско-

рением¿ функции полезности агента. Поэтому согласно условию (4) функ-

ция полезности агента является унимодальной в окрестности стационарной

точки, определяемой уравнением (3), если ¾ускорение¿ функции полезности

отрицательно.

По сравнению с линейной моделью, для которой условие (4) имеет вид

g^ri = -2 - S^ri < 0, i ∈ N, в нелинейной модели (1) функция полезности агента

может быть неунимодальной не только вследствие влияния действий окруже-

ния, т.е. ситуаций, когда S^ri < -2, но и в результате положительного эффекта

расширения масштаба функции издержек агента. Поэтому введем предполо-

жение о том, что темп снижения предельных издержек при возрастающей

отдаче от масштаба (т.е., β_i < 1) меньше, чем темп снижения цены при уве-

личении объема предложения



(5)

MC^′iQ

=Biβ_i |β_i - 1| Qβi-2i < b ∀β_i

< 1,

где MC_i = C′iQi = B_iβ_iQβi-1i предельные издержки i-го агента. Предполо-

жение (5) гарантирует выполнение условия (4), если не выполнено условие

|S^ri| < 1.

Поставим за

{

}

i-го агента x^ri = x^rij , j ∈ N в аналитическом виде при произвольном зна-

чении r.

3. Результаты

Способ вычисления предположительных вариаций для различных уров-

ней лидерства сформулирован в виде утверждения, доказательство которого

приведено в Приложении.

Утверждение 1. В системе уравнений (3), соответствующей модели

выбора действий агентов (1) при линейной функции спроса и нелинейных

функциях издержек, предположительные вариации выпуска l-го агента в

уравнении i-го агента

а) на первом уровне лидерства (r = 1) вычисляются по формуле

∑

Δ^r

(6а)

x^ril =

l ∈ M, m = n - 1, если

=1 и z^rj

= 0 ∀j ∈ M,

Δ^r

z^r

j∈M

где

∏

∑

∏

Δ^ri =

z^rj -

z^rj,

j=1\i

γ=1\i j=1\(γ,i)

∏

(

)

Δ^ril =

z^rj, z^rj

=ψ^r u_j -S^r-1

+ 1, ψ¹ = 1, S^0j = 0;

j=1\(l,i)

108

{) на втором }овне лидерства (r = 2) вычисляются как вектор x2i =

x²ⁱ¹,x²ⁱ²,... ,x^2im

, полученный в результате решения следующего мат-

ричного уравнения

(6b)

Ax²ⁱ

= B,

где матрица системы A = {a_lj, l, j ∈ M} и вектор свободных членов B =

= {b_i1, b_i2, . . . , b_im} состоят из элементов

a_lj = u_j - S^1j ∀l = j,

[

]

∑

Q_l u_j + 2

β_j - 2

a_lj = -1 -

(

)₂ Δ^lj Δ^l +

Δ¹

∀l = j,

Q_j u_j + 1

Δ¹

k∈M

[

]

∑

Q_l u_i + 2

β_i - 2

b_il = 1 -

(

)₂ Δ^li Δ^l +

Δ¹

l,j ∈ M;

Q_i u_i + 1

Δ¹

k∈M

в) на r-м уровне лидерства приближенно вычисляются по формуле (6а),

в которой следует положить

(

)

(ũ + 2)

ψ^r =

ϕr = ψ^r

ψ^r > 0,

1+ϕ^r-1

(ψ^r ũ + 1 - m)²

(

)

β-2

β-1

ũ = -2 -

r-1

∂x

iη

если производные предположительных вариаций

, i, η, ζ ∈ N вычислены

∂Q_ζ

при фиксированном значении Q_i =Q, i ∈ N и при таких параметрах функ-

ций издержек, что в ε-окрестности (ε = o

β,B)) чисе

β > 0,B > 0 выпол-

няется условие



(

)



(6c)

F^ri

Q,B

- Fri (Q_i,B_i,β_i) < ε, ε > 0, i ∈ N,

г) на любом уровне лидерства не зависят от действия i-го агента, и

зависимость этих вариаций от действий других агентов ослабляется с ро-

стом их действий

∂x^riη

(6d)

= 0, lim

= 0 ∀i,η,ζ ∈ N.

∂Q_i

Q_ζ→∞ ∂Q_ζ

д) погрешность δx^ri = x^ri - X^ri вычисления предположительных вариа-

ций по формулам (6а) при r > 2 по сравнению с точным решением X^ri ={}

= X^rij,j ∈ N системы Ax^ri = B при Q_i ≥Qi ∀i ∈ N, рассчитанная с при-

∑_m

менением нормы ∥A∥ = max

|a_ij |, ограничена относительной величи-

j=1

1≤i≤m

ной

(



)



∥δx^ri∥

ϕ^r-1 + ε

(6e)

≤

+µ

при µµ < 1,

∥x^ri∥

1-µµ

1-ε

109

где



[

]



∑



Q_l

β_i - 2



ε= max

ψr

(

)₂ Δli-1

Δ^r-1l +

Δ^r-1lk

 ,

i,l∈M



Q_i (ψ^r (ε - 2) + 1)



Δ^r-1

k∈M



) 1

ϕr-1_-ε



2-βi

(m - 1)

(B_iβi |β_i - 1|

µ=



Q_i =



εb

min

u_j - S^r-1j

 + (m - 1)(1 - ε)

1≤j≤m

Δ^r-1l,Δ^r-1li вычислены при u_j = ε - 2,



max

u_j - S^r-1j

+(m-1)(1+ ε)

1≤j≤m

µ=



число обусловленности матрицы A.



min

u_j - S^r-1j

-(m-1)(1+ ε)

1≤j≤m

Формулы (6а) точно определяют в явном виде предположительные ва-

риации агентов на первом уровне лидерства, решение системы (6b) позво-

ляет точно определить эти величины на втором уровне лидерства. На тре-

тьем и последующих уровнях лидерства формулы (6а) позволяют прибли-

женно вычислить предположительные вариации в явном виде. В этом слу-

чае точность расчета предположительных вариаций базируется на выполне-

нии условия (6с), а также на свойстве (6d) слабого влияния действий других

агентов на предположительные вариации данного агента. Относительная по-

грешность приближенного расчета предположительных вариаций при r > 2

оценивается условием (6е).

В (6а) введено обозначение параметра типа i-го агента на r-м уровне ли-

дерства:

(

)

g^r-1i

z^ri = ψ^r

u_i - S^r-1i

+1=ψ^rg^r-1i +1=

+ 1.

1+ϕ^r-1

Поскольку величина ϕ^r приближенно выражает сумму производных пред-

положительных вариаций (как показано в доказательстве утверждения 1),

то содержательное значение параметра типа следующее: если z^ri < 0, то

(

)

g^r-1i < -

1+ϕ^r-1

, т.е. на (r - 1)-м уровне лидерства ¾ускорение¿ функции

полезности агента меньше суммы темпов изменения предположительных ва-

риаций действий агентов окружения, в противном случае z^ri > 0. Поскольку

при прочих равных условиях (т.е. одинаковых значениях B_i, Q_i и S^r-1i) зна-

чение функции g^r-1i определяется согласно (4) вогнутостью (выпуклостью)

функции издержек агента, то g^r-1i больше в случае 0 < β_i < 1, чем в случае

1 < β_i < 2. Следовательно, тип агента z^ri > 0 соответствует положительному

эффекту расширения масштаба, а тип агента z^ri < 0 присущ отрицательному

эффекту.

Согласно (6а), предположительные вариации зависят от значений функ-

ции u_i. Кроме того, формулы (6а) представляют собой рекуррентные соот-

ношения, поскольку предположительные вариации i-го агента на r-м уровне

110

лидерства зависят от сумм предположительных вариаций остальных аген-

тов на предыдущем (r - 1)-м уровне лидерства, т.е. от величины S^r-1j =

∑

фигури-

= l∈N\jxjl1.Посколькусуммапредположительныхвариаций

рует в уравнении i-го агента системы уравнений (3) и влияет на результи-

рующее равновесие Нэша, то эта величина имеет важное практическое и тео-

ретическое значение. Поэтому определим в виде следующего утверждения

способ нахождения суммы предположительных вариаций в уравнении каж-

дого агента.

Утверждение 2. Сумма предположительных вариаций действий

агентов окружения, принадлежащих подмножеству M, в

уравнении

реакции i-го агента системы уравнений (3) на уровне лидерства r

а) вычисляется по формуле

∑

(7а)

S^ri =

x^ril =

s^ri =

∑

S⁰ⁱ

= 0, i ∈ N,

s^ri - 1

l∈M

zrj

j∈M

б) имеет следующие знаки:

S¹ⁱ < 0 ∀m ≥ 1,





< 0 ∀z^rj < 0, i,j = 1,2,(

)





Sr-1

<0 ∀ z^rj >0∧

<|uj| ,

S^r

при m = 1,

(

)





(7b)

 >0 ∀ z^rj >0∧

S^r-1i

>|uj|





< 0 ∀s^ri < 0,

S^ri

< 0 ∀(s^ri > 0 ∧ υ^r < υ_max),

при m > 1;



> 0 ∀(s^ri > 0 ∧ υ^r > υ_max)

в) ограничена



<1∀m≥1,

S¹ⁱ

{

1 ∀z^r

< 0,

(



|S^ri| <



) при m = 1,

max i-1

(7c)

S_maxi∀ z^rj > 0 ∧

S^r

 < |u_j|

{

1∀s^ri < 0,

|S^ri| <

при m > 1;

∀s^ri > 0

m-1-υ^r

причем при m > 1, r > 1, если S^ri < 0, то

(7d)

υ^r ∈ (0,υ_max) ,

|S^ri| <

;

m-1-υ_max

г) не зависит от действия i-го агента, и зависимость S^ri от действий

других агентов ослабляется с увеличением их действий:

∂S^ri

(s^ri)²

ψ^r

= 0,

(

)₂ βj (βj - 1) (βj - 2) Qjj-3,

∂Q_i

∂Q_j

(s^ri

- 1)²

b z^r

(7e)

∂S^ri

lim

= 0, i, j ∈ N,

Q_j→∞ ∂Q_j

111

где

(

√

)₂

ψ_max

υ^r =

υ² = 0, υ_max =

√

-1

ψ_max

1+υ^r-1

ψ_max = arg maxψr, rmaxi = arg max r,

r>1

|S^r-1i|<|uj |

S_maxi =



.



max i-1



ψ^rmax i

u_j - S^r



Из утверждения

следует, что сумма предположительных вариа-

ций в уравнении реакции агента отрицательна за исключением случаев

z^rj > 0 ∧

Sr-1

>|uj| при m = 1, а также s^ri > 0 ∧ υ^r > υ_max при m > 1, возни-

кающих на высоких уровнях лидерства агента (при r > r_maxi или υ^r > υ_max

соответственно) и при положительных эффектах расширения масштаба у

агента (агентов) окружения. Кроме того, из утверждения 2 вытекают сле-

дующие выводы о величине суммы предположительных вариаций: 1) вели-

чина S^ri по модулю не превышает единицы при r = 1, а также если s^ri < 0,

что выполняется, когда значения всех (или большинства, если эти значения

незначительно отличаются) параметров z^rj отрицательны; 2) если s^ri > 0, то

при r > 1 величина S^ri по модулю может превышать единицу; 3) если s^ri > 0,

то с увеличением m верхняя граница модуля величины S^ri уменьшается.

Таким образом, в дуополии (m = 1) и триполии (m = 2) при положитель-

ном для всех фирм эффекте расширения масштаба, т.е. |u_j | < 2, возможны

случаи, когда на высоких уровнях лидерства модуль величины S^ri больше

единицы.

Сумма предположительных вариаций i-го агента согласно (7а) зависит от

знака параметра s^ri, который есть функция параметров типа агентов z^rj, зави-

сящих, в свою очередь, от суммы предположительных вариаций в уравнении

реакции агента на предыдущем уровне лидерства. Сумма предположитель-

ных вариаций i-го агента согласно (7b), как правило, отрицательна, а ее наи-

большее абсолютное значение по (7с) также зависит от знака параметра s^ri и

от параметра нелинейности ψ^r через υ^r согласно (7d), что будет исследовано

ниже при моделировании. Согласно (7е) изменение суммы предположитель-

ных вариаций с увеличением действия агента окружения зависит от типа

эффекта расширения масштаба последнего, т.е.

∂S^ri

{ < 0, если β_j > 1,

∂Q_j

> 0, если β_j < 1.

Положительность (отрицательность) предположительной вариации вы-

пуска агента окружения в уравнении (3) i-го агента означает, что окружение

увеличивает (уменьшает) свое действие в ответ на прирост действия данного

агента. Поэтому знак предположительной вариации определяет тип агента

окружения, который, как вытекает из следующего утверждения, может быть

различным.

112

Утверждение 3. Предположительные вариации выпуска l-го агента в

уравнении (3) i-го агента имеют следующие знаки:

(8а)

x^1il

< 0, l ∈ M,

(

)

(

)

x^ril < 0, если

z^rj < 0∀j ∈ M

∨

z^rj > 0∀j ∈ M

∨





(8b)

∨z^rθ|_θ∈Θ > 0 ∧ z^rθ|_θ∈¯Θ < 0 ∧ 1

>1+



,

s^rΘ



s^r¯





x^ril > 0, если z^rθ|_θ∈Θ > 0 ∧ z^rθ|_θ∈¯Θ < 0 ∧ 1

<1+



,



s^rΘ

(8с)

s^r¯

l ∈ M, r > 1,

где

{

}

{

}

Θ=θ∈M:zr

Θ= θ∈M :z^rθ >0 ,

и введены обозначения

s^rΘ =

∑

s^r¯Θ =

∑

z^r

θ∈Θ

Согласно (8а), (8b) предположительные вариации, как правило, отрица-

тельны, т.е. на увеличение действия окружения типичный агент реагирует

уменьшением своего действия. Однако из условия (8с) следует, что могут су-

ществовать агенты противоположного типа, отвечающие на увеличение дей-

ствия окружения симметрично, которых назовем атипичными. Атипичным

согласно (8с) является агент, в окружении которого агенты, имеющие z^rj < 0,

преобладают над агентами, имеющими z^rj > 0. Отметим, что в линейной мо-

дели олигополии, в которой u_j = -2 и все z^rj < 0, атипичные агенты невоз-

можны.

4. Моделирование

На выполнение достаточных условий оптимальности (4), а также на пред-

положительные вариации согласно (6а) существенное влияние оказывает

функция

β_i-2

B_iβ_i (β_i - 1) Q

u_i (Q_i) = -2 -

Q_i > 0,

зависящая от параметров функций издержек агентов B_i > 0, β_i ∈ (0, 2) и от

параметра функции рыночного спроса b > 0. Анализ [20] телекоммуникаци-

онных компаний РФ (табл. 1) показал, что коэффициент издержек B_i ∈ (1, 3),

113

Таблица 1. Коэффициенты функции спроса на голосовой трафик и

функций издержек телекоммуникационных компаний РФ, C_Fi = 0,

i = 1,2,3

Статистическая модель

B_i β_i

Функция спроса

1,77

0,0009

Функция издержек ПАО ¾МТС¿

2,41

0,76

Функция издержек ПАО ¾МегаФон¿

1,36

0,85

Функция издержек ПАО ¾ВымпелКом¿

2,46

0,81

если Q_i ∈ (0, 500) млрд. мин., параметр b = 0,0009 руб./мин., т.е. имеет место

соотношение σ =Bib^≈1000.

Поэтому исследуем следующую двухпараметрическую функцию u_i (Q_i) ≈

≈ - 2 - σβi (β_i - 1)Qβi-2i в диапазоне Q_i ∈ (100,500) млрд. мин. при различ-

ных значениях параметров σ, β_i. Из анализа графиков функции u_i (Q_i), пред-

ставленных на рис. 1, следует, во-первых, что условие (4) не выполняется при

малых значениях Q_i в случае высоких значений коэффициента издержек (при

σ = 5000), но даже в этом случае условие (4) выполняется при Q_i ≥ 150. Во-

вторых, условие (5) в виде |u_j| ≥ 1∀β_j ∈ (0, 2) может не выполняться также

при малых значениях Q_i в случае высоких значений коэффициента издер-

жек (при σ = 5000) и если β_j < 1, но выполняется при достаточно больших

значениях Q_i ≥ 250. В-третьих, в определенном диапазоне значений Q_i аген-

ты в зависимости от значения параметра β_j делятся на два типа агенты

с положительным эффектом расширения масштаба при β_j < 1 и агенты с

отрицательным эффектом расширения масштаба при β_j > 1:

{

≥ 2 ∀βj ≥ 1,

|u_j|

∈ [1, 2) ∀β_j < 1.

В-четвертых, при достаточно высоких значениях выпусков, т.е. Q_i ≥ 250, и ес-

ли коэффициенты издержек близки к соотношению σ = 1000, функция u_i (Q_i)

принадлежит диапазону -2,76 ≤ u_i (Q_i) ≤ -1,76.

Исследуем характер функции

ψ^r (ũ,β,m) =

(ũ+2)(2-β)

1+ϕ^r-1

1+ψ^r-1

(ψ^r-1 ũ+1-m)²

в более широком по сравнению с вышеопределенным диапазоне значений

-5 ≤ ũ ≤ -1. Значение r практически не влияет на величину ψ^r (отклоне-

ние ψ^r от ψ^r-1 не превышает 1%), поэтому на рис. 2 показаны виды функции

ψ^r (ũ,β,m) при r = 1. Анализ рис. 2 показывает, что ψ^r ≈ 1, т.е. ϕ^r ≈ 0, что

подтверждает несущественное влияние производных предположительных ва-

риаций (6d) на точность формул (6а) в случаях r > 2, поскольку (как пока-

зано в доказательстве утверждения 1) параметр ϕ^r приближенно выражает

сумму производных предположительных вариаций; причем чем больше m,

тем меньше проявляется это влияние.

114

Таблица 2. Анализ предположительных вариаций

Параметры окружения 4-го агента

Тип ситуации

x₄₃

z₁

z₂

z₃

0,8

0,6

0,5

-0,511

-0,8

-0,6

-0,5

-0,338

-0,8

0,6

0,5

-1,412

-0,8

-0,6

0,5

1,043

-1,8

-0,6

0,5

1,636

На рис. 3, 4 проведен анализ формулы (7а) суммы предположительных ва-

риаций агента и ограничения (7с) в зависимости от уровня лидерства и коли-

чества агентов для двух характерных случаев: 1) случай |u_j | ∈ [1, 2) ∀β_j < 1

рассмотрен на рис. 3 на примере u_j = -1,8 ∀j ∈ N при ψ^r = 0,98; 2) случай

|u_j| ≥ 2 ∀β_j ≥ 1 показан на рис. 4 на примере u_j = -3 ∀j ∈ N, поскольку при

u_j < -3 зависимость S^ri от r не проявляется, при ψ^r = 1,05. Предельная ве-

личина суммы предположительных вариаций в (7с) обозначена символом S^∼.

Графики (рис. 3, 4) показывают, что с увеличением уровня лидерства r мо-

дуль суммы предположительных вариаций растет, а величина S^ri имеет отри-

цательный знак согласно (7b), и подтверждают, что в случае |u_j| ∈ [1, 2) огра-

ничение |S^ri| < S^∼ =mm-1-υr выполняется при m ≥ 2, а для случая |u_j | ≥ 2

ограничение |S^ri| ≤ 1 ∀r выполняется при m ≥ 1.

Пример типичного и атипичного агентов представлен в табл. 2 для систе-

мы четырех агентов: в ситуациях 1-3 четвертый агент является типичным,

т.е. x₄₃ < 0, поскольку в ситуации 1 z_j > 0, j = 1, 2, 3, в ситуации 2 z_j < 0,

j = 1,2,3, в ситуации 3 сумма положительных z₂,z₃ больше модуля z₁; в

ситуациях 4, 5 четвертый агент является атипичным, т.е. x₄₃ > 0, так как

модуль суммы отрицательных z₁, z₂ больше z₃, причем с ростом этого превы-

шения значение x₄₃ увеличивается.

Проанализируем погрешность вычислений предположительных вариа-

ций по формулам (6а) при r > 2 на основе модели (6е). С целью ана-

лиза влияния на погрешность ключевых факторов рассмотрим упрощен-

Q≥ Q_i

ную ситуацию при одинаковых значениях действий всех агентов

∀i ∈ N, т.е. при равных значениях u_i = u ∀i ∈ N, при одинаковых значени-

ях сумм предположительных вариаций, равных S, т.е. S^r-1i = S ∀i ∈ N, а

также при ψ^r = 1, т.е. ϕ^r-1 = 0. Рассчитаем определители Δ^r-1l, Δ^r-1li при

u_j = ε - 2, в этом случае z^rj = ε - S - 1, поэтому Δ^ril = (ε - S - 1)^m-1, Δ^ri =



(β_i-2)

ε-S-1



= (ε - S - 1)^m-1 (ε - S - 1 - m), тогда ε = maxε

, где мак-

ε-1

(ε-S-1-m)²

i∈M

симум имеет место пр

β = minβi. Число обусловленности матрицы A при

i∈N

одинаковых значениях u, S составляет µ =^{|u-S|+(m-1)(1+ε)|u-S|-(m-1)(1+¯ε)} соответственно,

(m-1)ε

µ=

. Норма относительной погрешности (6е) в этом случае

|u-S|+(m-1)(1-ε)

(

)

ограничена величиной δ_max =^µ

+µ . Пр

β = 0,7 и ε = 0,01 моде-

1-µµ

1-ε

лирование зависимости δ_max от числа агентов окружения m, величины u и

суммы предположительных вариаций S представлено на рис. 5.

117

d_max

0,008

0,007

0,006

0,005

0,004

0,003

0,002

0,001

S = -0,5, u = -3

S = -0,8, u = -4

S = -0,5, u = -4

S = -0,5, u = -5

Рис. 5. Зависимость точности приближенного вычисления предположитель-

ных вариаций от числа агентов m, величины u и суммы предположительных

вариаций S.

Анализ рис. 5 показывает, во-первых, удовлетворительную точность (по-

грешность менее 1%) приближенных вычислений предположительных вариа-

ций по формулам (6а) при r > 2; во-вторых, рост погрешности начиная с

некоторого значения m, снижение погрешности при увеличении модуля u и

модуля S; в-третьих, границы применимости формулы числа обусловленно-

сти в зависимости от модуля u (на рисунке линии прерваны начиная с такого

значения m, при котором формула некорректна, так как матрица системы

теряет свойство строгого диагонального преобладания [23]).

5. Заключение

В нелинейной модели олигополии нахождение предположительных вариа-

ций представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу, поэто-

му первым результатом статьи является устранение этой технической слож-

ности. Наряду с этим получение явной формулы предположительных вариа-

ций позволяет анализировать характер их изменения при вариациях действий

агентов, что необходимо для вычисления равновесий при наличии лидеров по

Штакельбергу второго и более высоких уровней.

Аналитическая формула суммы предположительных вариаций позволяет

выявить синтетическое влияние действий окружения каждого агента на па-

раметры возможного равновесия в игре при вариациях его действий. Кроме

того, определено ограничение на модуль суммы предположительных вариа-

ций, которое позволяет оценить диапазоны возможных равновесий.

118

Анализ знаков предположительных вариаций показал возможность суще-

ствования в нелинейной игре олигополии агентов, проявляющих нетипичные

свойства: на увеличение действия окружения такие агенты реагируют увели-

чением своего действия. Обобщая результаты статьи, отметим, что предполо-

жительные вариации широко используются [18, 24] в анализе агрегативных

игр, однако отсутствие надежных методов вычисления этих величин и их

производных в случае нелинейных функций полезности агентов препятство-

вало исследованию проблемы многоуровневого лидерства по Штакельбергу.

По сравнению с известными результатами, проведенные исследования позво-

лили сделать следующие выводы.

Предположительные вариации агента олигополии относительно действий

окружения на некотором уровне лидерства зависят от предположительных

вариаций остальных агентов на предыдущем уровне лидерства. Это озна-

чает, что повышение информированности агента является фундаментальной

причиной роста его уровня лидерства.

Реакция агента на действия окружения выражается в увеличении или

уменьшении своего действия (объема выпуска), что количественно характе-

ризуется величиной и знаком суммы предположительных вариаций. Показа-

но, что сумма предположительных вариаций агента олигополии при отрица-

тельном эффекте расширения масштаба агентов окружения отрицательна, а

абсолютная величина ограничена единицей; при положительном эффекте и

высоких уровнях лидерства этот параметр может быть положительным и не

ограниченным в дуополии и триполии.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство утверждения 1. Вектор предположительных ва-

риаций в уравнении реакции i-го агента (далее, i-й вектор вариаций) вычис-

ляется из решения следующей системы [20], записанной по уравнениям (3)

остальных m = n - 1 агентов:

∑

∂F_k ∂Q_j

∂F_k

(Π.1)

= 0, i ∈ N\k,

∂Q_j ∂Q_i

∂Q

j∈N\i

которая при r = 1 (т.е. если в уравнениях (3) положить x^0ij = 0) имеет вид

u₁x¹ⁱ¹ - x¹ⁱ² - ... - x^1im = 1,

-x¹ⁱ¹ + u₂x¹ⁱ² - ... - x^1im = 1,

-x¹ⁱ¹ - x¹ⁱ² - ... + u_mx^1im = 1,

или

(Π.2)

(

)

ψ¹

u₁ - S⁰¹

x¹ⁱ¹ - x¹ⁱ² - ... - x^1im = 1,

(

)

−x¹ⁱ¹ + ψ¹

u₂ - S⁰²

x¹ⁱ² - ... - x^1im = 1,

(

)

-x¹ⁱ¹ - x¹ⁱ² - ... + ψ¹

u_m - S^0m

x^1im = 1,

119

где

∑

ψ¹ = 1, S⁰ⁱ =

x^0il = 0,

l∈M

верхний индекс обозначает r.

Отметим следующее свойство функций u_i (•), i ∈ N: из (4) и (5) следует,

что

{

≥ 2 ∀βj ≥ 1,

(Π.3)

u_j < 0,

|u_j|

⇒ |u_j | ≥ 1 ∀β_j

∈ (0,2) .

∈ [1, 2) ∀β_j < 1

Доказательство формулы (6а) при r = 1 приводится аналогично доказа-

тельству формулы (11) в статье [16], но для системы вида (П.2), в которой

знаки коэффициентов перед членами x^1ij, i = j, а также знаки свободных

членов изменены на противоположные, поскольку в отличие от цитируемой

статьи в формуле (1) параметр b > 0. Поэтому при r = 1 получим формулу

(u_j + 1)

j=1\(l,i)

x^1il =

∏

∑

∏

(u_m-1u_m - 1)

(u_j + 1) -

(u_j + 1)

j=1\i

γ=1\i j=1\(γ,i)

в которой знаменатель (главный определитель системы (П.2) для i-го вектора

вариаций) обозначим символом Δ¹ⁱ и представим в виде

∏

∑

∏

Δ¹ⁱ =

(u_j + 1) -

(u_j + 1) =

j=1\i

γ=1\i j=1\(γ,i)

∏

(

)

∑

∏ (

(

)

ψ¹

u_j - S^0j

ψ¹

u_j - S^0j

j=1\i

γ=1\i j=1\(γ,i)

а числитель (l-й вспомогательный определитель) обозначим

∏

(

)

Δ^1il =

(u_j + 1) =

ψ¹

u_j - S^0j

j=1\(i,l)

где верхний индекс r, т.е.

Δ^1il

x^1il =

Δ¹

120

При r = 2 система (П.1) имеет вид









∑

∂x^11j

∑

∂x^11j

u₁ - S¹

-Q₁

x2

-1 + Q₁

x2

-...

∂Q₁

∂Q₂

j∈N\1





∑

∂x^11j

∑

∂x^11j

x2

... - 1 + Q₁

=1+Q₁

∂Q_m

∂Q_i

j∈N\1









∑

∂x^12j

∑

∂x^12j

-1 + Q₂

x2

+u₂ - S¹

-Q₂

x2

-...

∂Q₁

∂Q₂

j∈N\2





(Π.4)

∑

∂x^12j

∑

∂x^12j

x2

... - 1 + Q₂

=1+Q₂

∂Q_m

∂Q_i

j∈N\2









∑

∂x^1mj

∑

∂x^1mj

x2

-1 + Q_m

-...

∂Q₁

∂Q₂

j∈N\m





∑

∂x^1mj

∑

∂x¹

x2

... - u_m - S^1m - Q_m

=1+Q_m

^mj .

∂Q_m

∂Q_i

j∈N\m

На главной диагонали матрицы системы (П.4) под знаком суммы стоят

производные типа∂Qil∂_i = 0, i = l, так как в этом случае Δil, Δⁱ не зависят

от Q_i. Вне главной диагонали матрицы системы (П.4), а также в столбце

∂x^1iη

свободных членов под знаком суммы стоят производные двух типов: а)

∂Q_ζ

∂x^1iη

η = ζ, б)

, вычисление которых с учетом (6а) дает:

∂Qη

∂x^1iη

Δ^1iηΔ^1iζ

u_ζ + 2

(

)

(β_ζ - 2) ,

∂Q_ζ

Q_ζ

(u_ζ + 1)

Δ¹ⁱ

(

)

(Π.5)

Δ^1iη Δ¹ⁱ + Δ¹

∂x^1iη

iη

u_η + 2

(

)

(β_η - 2) ,

∂Q_η

Q_η

(u_η + 1)

Δ¹ⁱ

так как

∂Δ^1iη

Δ^1iη

∂Δ¹ⁱ

Δ¹ⁱ + Δ^1iζ

u^′ζQ

η=ζ,

u^′

ζQ_ζ

∂Q_ζ

u_ζ + 1

∂Q_ζ

u_ζ + 1

β_ζ-3

B_ζβ_ζ (β_ζ - 1) (β_ζ - 2) Q_ζ

u_ζ + 2

u^′ζQ

(β_ζ - 2) .

Q_ζ

121

Введем вектор-столбец переменных системы (П.4) x^ri = {x^ri1, x^ri2, . . . , x^rim},

вектор-столбец свободных членов B^r = {b^ri1, b^ri2, . . . , b^rim} и матрицу системы{}

A^r = a^rlj,l,j ∈ M

, где верхний индекс r обозначает уровень лидерства. Из

(П.5) следует, что система (П.4) при r = 2 имеет вид матричного уравнения

(Π.6)

A²x^ri = B²,

коэффициенты которого вычисляются по формулам

(

)

a^2lj = u_j - S^1j ∀l = j, a^2lj = -

1 + ϕ^1lj (Q)

∀l = j,

(Π.7)

b^2l = 1 + ϕ^1li (Q), l,j ∈ M,

где

[

]

Q_l u_j + 2

β_j - 2

∑

ϕ^1lj (Q) = -

(

)₂ Δ^lj Δ^l +

Δ¹

Q_j u_j + 1

Δ¹

k∈M

[

]

∑

Q_l u_i + 2

β_i - 2

ϕ^1li (Q) = -

(

)₂ Δ^li Δ^l +

Δ¹

Q_i u_i + 1

Δ¹

k∈M

Например, при m = 2 эта система имеет вид

[

]

(

)

Q₁ u₂ + 2

β₂ - 2

(

)

u₁ - S¹¹

x²ⁱ¹ - 1-

(

)₂ Δ¹²

Δ¹¹ + Δ¹¹² + Δ¹¹³

x²ⁱ² =

Q₂ u₂ + 1

Δ¹

Q₁ u₃ + 2

β₃ - 2

(

)

=1-

(

)₂ Δ¹³

Δ¹¹ + Δ¹¹² + Δ¹¹³

Q₃ u₃ + 1

Δ¹

[

]

Q₂ u₁ + 2

β₁ - 2

(

)

(

)

- 1-

(

)₂ Δ²¹

Δ¹² + Δ¹²¹ + Δ¹²³

x²ⁱ¹ +

u₂ - S¹²

x²ⁱ² =

Q₁ u₁ + 1

Δ¹

Q₂ u₃ + 2

β₃ - 2

(

)

=1-

(

)₂ Δ²³

Δ¹² + Δ¹²¹ + Δ¹²³

Q₃ u₃ + 1

Δ¹

При условии (6с) в точке Q_i =Q, i ∈ N можно записать u_i = ũ (где ũ =

β-2

β-1)^Q

= -2 -

), значит, в коэффициентах (П.7) параметр ϕ^1lj (Q) одина-

ковый для всех уравнений системы (П.6) и равен

(

)

(ũ + 2)

β-2

ϕ^1lj (Q) = ϕ¹ = -

l,j ∈ M,

(ũ + 1 - m)²

поскольку в этом случае Δ^1il = (ũ + 1)^m-1, Δ¹ⁱ = (ũ + 1)^m-1 (ũ + 1 - m). По-

этому формулы коэффициентов (П.7) можно записать в виде

(

)

a^2lj = ψ²

u_j -S^1j

∀l = j, a^2lj = -1 ∀l = j, b^2l = 1, l,j ∈ M, ψ² =

1+ϕ¹

122

Система (П.6) с этими коэффициентами аналогична (П.2), поэтому решение

имеет вид

Δ^2il

x^2il =

l,j ∈ M,

Δ²

где

∏

(

)

∑

∏ (

(

)

Δ²ⁱ =

ψ²

u_j - S^1j

ψ²

u_j - S^1j

j=1/i

γ=1\i j=1\(γ,i)

∏

(

)

Δ^2il =

ψ²

u_j - S^1j

j=1\(i,l)

Применим формализм математической индукции. При (r - 1) производ-

ные вида (П.5), вычисленные от предположительных вариаций на (r - 2)-м

уровне лидерства, имеют вид



(

)

(

)

∂ψ^r-2

(

)

∂x^r-2iη

Δ^r-2iηΔ^r-2iζ

∂u_ζ

∂S^r-3ζ



u_ζ - S^r-3

+ψ^r-2

,

(

)₂

∂Q_ζ

Δ^r-2i

(

)

∂x^r-2iη

Δ^r-2iη Δ^r-2i + Δ^r-2

iη

(

)₂

∂Q_η

Δ^r-2



(

)

(

)

∂ψ^r-2

(

)

∂u_η

∂S^r-3η

.

×

u_η - S^r-3η

+ψ^r-2

∂Q_η

Поскольку∂ψr-2(^Q) = 0, ζ ∈ M, так как производные вычислены в точке_∂Q

r-3

Q_i =Q, i ∈ N, и∂Sζ

= 0, так как при вычислении вариаций на (r - 2)-м

∂Q_ζ

уровне величина S^r-3ζ является константой, из этих формул следует, что

∂x^r-2iη

Δ^r-2iηΔ^r-2iζ

u_ζ + 2

(

)

(β_ζ - 2) ψ^r-2,

∂Q_ζ

Q_ζ

(ψ^r-2u_ζ + 1)

Δ^r-2i

(Π.8)

(

)

Δ^r-2iη Δ^r-2i + Δ^r-2

∂x^r-2iη

iη

u_η + 2

(

)

(β_η - 2) ψ^r-2.

∂Q_η

Q_η

(ψ^r-2u_η + 1)

Δ^r-2i

Следовательно, для матричного уравнения

(Π.9)

A^r-1x^r-1i = B^r-1

коэффициенты вычисляются по формулам, аналогичным формулам (П.7),

(

)

a^r-1lj = u_j - S^r-2j ∀l = j, a^r-1lj = -

1 + ϕ^r-2lj(Q)

∀l = j,

b^r-1l = 1 + ϕ^r-2li (Q) , l,j ∈ M,

123

и параметр ϕ^r-2lj (Q) равен

(

)

(ũ + 2)

β-2

(Π.10)

ϕr-2lj (Q) = ϕ^r-2 = -ψ^r-2

l,j ∈ M.

(ψ^r-2ũ + 1 - m)²

Поэтому коэффициенты системы (П.9) можно записать в виде

(

)

a^r-1lj = ψ^r-1 u_j - S^r-2

∀l = j, a^r-1lj = -1 ∀l = j,

(Π.11)

b^r-1l = 1, l,j ∈ M, ψ^r-1 =

1+ϕ^r-2

По индукции из формул (П.9), (П.11) следует, что для произвольного зна-

чения r система (П.1) имеет вид A^rx^ri = B^r с коэффициентами, аналогичны-

ми (П.11), т.е.

(

)

a^rlj = ψ^r u_j - S^r-1

∀l = j, a^rlj = -1 ∀l = j,

(П.11а)

b^rl = 1, l,j ∈ M, ψ^r =

1+ϕ^r-1

Поэтому решение этой системы имеет такую же форму, как решение систе-

мы (П.2), но параметр ψ^r по индукции из формул (П.10), (П.11), вычисляется

по формуле

(

)

(ũ + 2)

(Π.12)

ψ^r =

ϕr = ψ^r

1+ϕ^r-1

(ψ^r ũ + 1 - m)²

(

)

Поскольку (ũ + 2)

≪(ũ+1-m)² ∀m ≥ 2 ∧ |ũ| ≥ 1, то ϕr ≈0, ψr ≈1,

что является основанием слабого влияния производных предположительных

вариаций (6d) на точность формул (6а) при r > 2.

Существование решения системы A^rx^ri = B^r не зависит от существования

решения системы (3) и определяется по теореме Крамера [21]: система име-

ет единственное решение, если главный определитель Δ^ri = 0. Из формулы

главного определителя следует, что

∑

Δ^ri

∑

=1-

при z^rj = 0 ∀j ∈ M,

z^r

j∈M

поэтому условие существования решения системы A^rx^ri = B^r имеет вид

∑

= 1 ∧ z^rj = 0 ∀j ∈ M.

z^rj

j∈M

Докажем условие (6d): из формул (6а) следует, что∂xil = 0, i = l, так как_∂Q

в этом случае Δ^ril, Δ^ri не зависят от Q_i. Вторая часть условия (6d) дока-

зывается следующим образом. При больших значениях действий, т.е. при

124

Q_ζ → ∞, когда lim

u_ζ = -2, определители Δ^ri, Δ^riζ

суть конечные чис-

Q_ζ→∞

ла, вычисляемые по формулам Δ^ri = (λ^r)^m-1 (λ^r - m), Δ^riζ = (λ^r)^m-1, где

(

)

r-1

λ^r = ψ^r

-2 - S^r-1

+ 1, поскольку модуль величины S_ζ

ограничен неко-

торым конечным числом, как будет показано в утверждении 2. В этом случае

согласно формулам (П.8) производные предположительных вариаций по дей-

∂x^riη

ψ^rΔ^riηΔ^riζ

u_ζ+2

ствиям других агентов

(β_ζ - 2) имеют вид

∂Q_ζ

Q_ζ

(ψ^ruζ+1)(Δ^ri

)²

m-1

∂x^riη

ψ^r (λ^r)^m-1 (λ^r)

u_ζ + 2

lim

[

]

(β_ζ - 2) .

Q_ζ→∞ ∂Q_ζ

Q_ζ

(ψ^ru_ζ + 1) (λ^r)^m-1 (λ^r - m)

При конечных значениях ψ^r и Q_ζ → ∞ (т.е. u_ζ → -2) этот предел равен нулю.

Рассмотрим проблему оценки точности вычисления предположительных

вариаций по формулам (6а) при r > 2. Пусть решение точной системы{}

α^rX^ri = β^r обозначено вектором X^ri = X^rij,j ∈ N , решение приближенной

{

}

системы (α^r + δα^r) x^ri = β^r + δβ^r

вектором x^ri = x^rij, j ∈ N

, отклоне-

ние матрицы точной системы от матрицы приближенной системы симво-

лом δα^r, отклонение вектора свободных членов символом δβ^r. Например,

при m = 2, i = 3 точная система (как следует из (П.4) с учетом∂xil = 0, i = l)_∂Q

и приближенная система имеют вид





[

]

∑

∂x^r-11j

∑

∂x^r-11j

u₁ - S^r-11

x^r

-1 + Q₁

xr

=1+Q₁

∂Q₂

∂Q₃

j∈N\1





∑

∂x^r-12j

[

]

∑

∂x^r-12j

-1 + Q₂

xr

u₂ - S^r-12

x^r

=1+Q₂

∂Q₁

∂Q₃

j∈N\2

(

)

(

)

u₁ - S^r-11

x^ri1 -

1+ϕ^r-1

x^ri2 = 1 + ϕ^r-1,

(

)

(

)

−

1+ϕ^r-1

x^ri1 +

u₂ - S^r-12

x^ri2 = 1 + ϕ^r-1.

Поэтому матрица δα^r и вектор δβ^rв данном случае следующие:





∑

∂x^r-11j

ϕr-1 - Q₁

∂Q₂





j∈N\1





δα^r =



∑

∂x^r-12j

,

ϕr-1 - Q₂

∂Q₁

j∈N\2





∑

∂x^r-11j

ϕr-1 - Q₁

∂Q₃





j∈N\1





δβ^r =



∑

∂x^r-12j

.

ϕr-1 - Q₂

∂Q₃

j∈N\2

125

Погрешность приближения δx^ri = x^ri - X^ri оценивается по норме вектора, и

относительная погрешность вычисляется по следующей формуле [22]:

)

∥δx^ri∥

µ (α^r)

( ∥δβ^r∥

∥δα^r∥

≤

∥x^ri∥

∥β^r∥

∥α^r∥

1 - µ(α^r) ∥δαr∥

∥α^r ∥

∥δα^r∥

при µ (α^r)

∥α^r∥ = 0,

∥α^r∥



где символом ∥•∥ обозначена норма, символом µ (α^r) = ∥α^r∥(αr)-

 обо-

значено число обусловленности матрицы α^r. Для вычисления нормы матри-

∑m

цы α = {α_ij , i, j = 1, . . . , m} используем формулу ∥α∥ = max

|α_ij|. При

j=1

1≤i≤m

больших действиях в силу свойства (6d) матрица α^r имеет строгое диагональ-

ное преобладание, т.е. для каждой строки диагональный элемент u_i - S^r-1i по

∑_m

модулю больше суммы модулей остальных элементов, или |α_ii| >

|α_ij|,

j=1\i

∀i = 1,... ,m. В этом случае число обусловленности матрицы α^r имеет [23]

∑

max|αii|+

|α_ij |

j=1\i

следующую оценку: µ (α^r) <

∑m

min|αii|-

|α_ij |

j=1\i

Пусть при Q_i ≥ Q_i в элементах вне главной диагонали матрицы α^r и

в элементах вектора β^r второе слагаемое не превышает по модулю мало-

го числа

ε∈ (0,1), т.е. эти элементы не превышают величины 1 + ε, где

(

)

B_iβ_i|β_i-1|

2-βi

Q_i ≥

определено из условия |u_i + 2| ≤ ε, и на базе форму-

εb

лы ϕ^rli (Q) в (П.7) с учетом обобщения в (П.8) получим



[

]



∑



Q_l

β_i - 2



ε≥

ψr

(

)₂ Δ^r-1

Δ^r-1l +

Δ^r-1lk



∀i, l ∈ M.



Q_i (ψ^r (ε - 2) + 1)



Δ^r-1

k∈M

В этом случае



max

u_j - S^r-1j

 + (m - 1)(1 + ε)



1≤j≤m

∥δβ^r∥ ≤

ϕ^r-1 + ε,

µ (α^r) <



min

u_j - S^r-1j

 - (m - 1)(1 + ε)

1≤j≤m



ϕr-1_+ε



∥δβ^r∥

∥β^r∥ ≥ 1 - ε,

≤

∥δα^r∥ ≤ (m - 1)ϕr-1 + ε,

∥β^r∥

1-ε



∥α^r∥ ≥ min

u_j - S^r-1j

 + (m - 1)(1 - ε),

1≤j≤m



∥δα^r∥

(m - 1)ϕr-1 - ε

≤ µ=



∥α^r∥



min

u_j - S^r-1j

 + (m - 1)(1 - ε)

1≤j≤m

Тогда погрешность соответствует (6е).

■

(

)

Доказательство утверждения 2. Обозначим z^rj

=ψ^r u_j-S^r-1

+ 1.

Вначале рассмотрим частный случай m = 1, когда, как следует из (П.2), S^ri =

126

=x^r

, i, j = 1, 2. При r = 1 по (6а) ψ¹ = 1, S^0j = 0, зна-

= zrj

−1

ψ^r(uj-S^r-1j)

чит z^1j = u_j + 1, поэтому S¹ⁱ =^1u

< 0, так как согласно (П.3) u_j < -2 при



<1.Приr>1возможны

β_j ≥ 1 и -2 < u_j < -1 при β_j < 1. Значит,

S¹ⁱ

два случая: 1) z^rj < 0, тогда S^ri < 0, |S^ri| < 1; 2) z^rj > 0, тогда из неравен-

(

)

(

)

ства z^rj

=ψ^r u_j -S^r-1

+ 1 > 0 следует, что ψ^r u_j - S^r-1

> -1, значит,



|S^ri| > 1; условие S^ri < 0 выполняется в случае, если

S^r-1j < |uj|, т.е. при



max i-1



таких r < r_maxi, что

S^r

 < |u_j|, при этом условии имеется ограничение



|S^ri| <

. Неравенства являются строгими, так как по усло-



max i-1



ψrmax i

uj-S^r



виям (6а) z^rj = 0.

В общем случае суммирование формул (6а) по всем агентам окружения

i-го агента приводит к формуле

∑

∏

z^rj

∑

γ=1\i j=1\(γ,i)

S^ri =

x^ril

∏

∑

∏

s^ri - 1

l∈M

z^rj -

z^r

j=1\i

γ=1\i j=1\(γ,i)

где

s^ri =

∑

i∈N.

z^r

j∈M

При r = 1 из (П.3) следует, что z^1j = u_j + 1 < 0 ∀j ∈ M, поэтому s¹ⁱ < 0, i ∈ N,



<1,i∈N.

значит, S¹ⁱ < 0,

S¹ⁱ

При r = 2 возможны два случая:

1) все z^2j < 0 ∀j ∈ M, тогда, аналогично случаю r = 1, имеем: s2i < 0,



S2

<1,i∈N;

S²ⁱ < 0,

2) существует несколько значений z^2j > 0, так что s²ⁱ > 0; тогда z^2j < 1, по-



<1;следовательно,наибольшеезначениеs2

скольку |u_i| ≥ 1,

S¹ⁱ

> 0 огра-

ничено величиной s²ⁱ <^1m (равенство имеет место, если все z^2j = 1, но по усло-

∑



< m

виям (6а)_j∈Mz

= 1), поэтому при m > 1, S²ⁱ < 0,

S²ⁱ

,i∈N.

m-1

При r = 3 во втором случ(, при ана)гичных рассуждениях, имеет место

ограничение 0 < z^3j

<1+ψ³

-1 +^m

, сле-

m-1

−1

дователно наибольшее значение s3i > 0 ограничено величиной1+υ3m,поэтому

< m

S³ⁱ < 0,

S³ⁱ

. При r = 4 во втором случае, имеет место ограничение

m(-1-υ3

)

0<z^4j

<1+ψ⁴

-1 +^m

=1+υ⁴,υ⁴

поэтому

m-1-υ³

-1

1+υ3



S4

< m

< 0,

. При про-

s⁴ⁱ > 0 ограничено величиной1+υ4m^{,значит,}

m-1-υ⁴

извольном r, аналогично рассуждая, получим наибольшее по модулю значе-

ние S^rimax =

1+υr

> 0, поэтому |Sri | <mm-1-υr .

-1

= m1+υr-mприυr

-1

1+υr-1

127

Ограничение S^ri < 0 выполняется в случае m - 1 - υ^r > 0, откуда следует,

(

)

что m > 1

, (m - 1)

-1

> ψ^r; так как υ^r > 0, то послед-

-1

1+υ^r-1

1+υr-1

(

)₂

нее неравенство выполняется, если

-1

> ψ^r, откуда вытекает, что

1+υ^r-1

υ^r-1 <^√

- 1; подставим это выражение в формулу υ^r, получим мак-

1+ ψ^r

симальное значение υ_max, при котором S^ri < 0: υ_max =ψmax(√√ψmax)

, где

ψmax

ψ_max = arg maxψr. Следовательно, |Sri| <

r>1

m-1-υmax

Условие (7е) следует из дифференцирования выражения (7а): поскольку

-1

s^ri =

∑

∂z^rj ,

не зависит от Q_i, то∂Qi∂_i =0;∂Qij =-

(∑

j∈M zr

(s^ri -1)²

)₂ (z^rj)2 ∂Qj

j∈M zr

∂z^rj

где производная

∂Q_j

= ψr ∂Qj∂_j ; поскольку из (7с) следует, что si, а значит, и zj,

(s^ri)

ψ^r

суть конечные величины, то lim

β_j (β_j - 1) (β_j - 2) Qβj-3j = 0.

Q_j→∞ (s^ri-1)2 b(zrj)2

■

Доказательство утверждения 3. Из формулы (6а) следует, что

z^rj

j=1\(l,i)

x^ril =

∏

∑

∏

∑

z^rl

z^rj

z^r

z^rl - 1 -

z^r

(Π.13)

j=1\i

γ=1\i j=1\(γ,i)

j=1\(l,i)

(

)

∑

z^r

-1

z^r

j=1\(l,i)

Например, для случая m = 3, i = 4, l = 3 это выражение имеет вид x^r43 =

(

)

. При r = 1 z^rj < 0 ∀j ∈ M, тогда из (П.13) следует, что

z^r

1-_z

-¹

-1

x^1il < 0. При r > 1 возможны следующие случаи:

1) все z^rj < 0 ∀j ∈ M, тогда из (П.13) следует, что x^ril < 0 ∀r ≥ 1;

2) все z^rj > 0 ∀j ∈ M, r > 1, тогда из (П.13) следует, что x^ril < 0 ∀r > 1,

(

)

∑

так как z^r

- 1 < 0, поскольку это равносильно следующем

j=1\(l,i) z^r

∑_m

неравенствам: 1 -

<1zr

⇒1<

⇒1sr > 1, а из доказа-

j=1\(l,i) z^rj

j=1\i z^rj

тельства 2 следует, что s^ri < 1 при m > 2;

3) существуют z^rθ|_θ∈Θ > 0 ∧ z^rθ|_θ∈¯Θ < 0, θ ∈ M, r > 1, тогда из предыду-

(

)

∑

щего рассуждения следует, что для выполнения z^r

-1<0

j=1\(l,i) z^r

∑

необходимо, чтобы выполнялось 1 <_j∈Θz

, т.е.

>1+

; в

+ j∈Θ z

s^rΘ

|s^r¯Θ|

противном случае будет (8с).

■

128

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Nash J. Non-cooperative Games // Ann. Math. 1951. No. 54. P. 286-295.

Cournot A.A. Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth.

London: Hafner, 1960. (Original 1838).

Bowley A.L. The Mathematical Groundwork of Economics. Oxford: Oxford Univers.

Press, 1924.

Karmarkar U.S., Rajaram K. Aggregate Production Planning for Process Indus-

tries under Oligopolistic Competition // Eur. J. Oper. Res. 2012. V. 223. No. (3).

P. 680-689.

Ledvina A., Sigar R. Oligopoly Games under Asymmetric Costs and an Application

to Energy Production // Math. Financ. Econom. 2012. V. 6 (4). P. 261-293.

Currarini S., Marini M.A. Sequential Play and Cartel Stability in Сournot

Oligopoly // Appl. Math. Scie. 2013. No. 7 (1-4). Р. 197-200.

Vasin A. Game-theoretic Study of Electricity Market Mechanisms // Procedia Com-

put. Sci. 2014. No. 31. Р. 124-132.

Sun F., Liu B., Hou F., Gui L., Chen J. Cournot Equilibrium in the Mobile Vir-

tual Network Operator Oriented Oligopoly Offloading Market // IEEE Int. Conf.

Commun., ICC 2016. No. 7511340.

Geraskin M. Game-theoretic analysis of Stackelberg oligopoly with arbitrary rank

reflexive behavior of agents // Kybernetes. 2017. V. 46(6). Р. 1052-1067.

10.

Geraskin M. Equilibria in the Stackelberg Oligopoly Reflexive Games with Different

Marginal Costs of Agents // Int. Game Theory Rev. 2019. V. 21. No. 2. Р. 1950002

(1-22).

11.

Naimzada A.K., Sbragia L. Oligopoly Games with Nonlinear Demand and Cost Func-

tions: Two Boundedly Rational Adjustment Processes // Chaos, Solit. Fractal. 2006.

V. 29 (3). P. 707-722.

12.

Askar S., Alnowibet K. Nonlinear Oligopolistic Game with Isoelastic Demand Func-

tion: Rationality and Local Monopolistic Approximation // Chaos, Solit. Fractal.

2016. No. 84. P. 15-22.

13.

Naimzada A., Tramontana F. Two Different Routes to Complex Dynamics in an

Heterogeneous Triopoly Game // J. Differ. Equat. Appl. 2015. V. 21. No. 7. P. 553-

563.

14.

Cavalli F., Naimzada A., Tramontana F. Nonlinear Dynamics and Global Analysis

of a Geterogeneous Cournot Duopoly with a Local Monopolistic Approach Versus a

Gradient Rule with Endogenous Reactivity // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simu-

lat. 2015. No. 23 (1-3). P. 245-262.

15.

Stackelberg H. Market Structure and Equilibrium: 1st Edition. Translation into En-

glish, Bazin, Urch & Hill, Springer, 2011. (Original 1934)

16.

Гераськин М.И., Чхартишвили А.Г. Теоретико-игровые модели рынка олигопо-

лии с нелинейными функциями издержек агентов // АиТ. 2017. № 9. С. 106-130.

Geraskin M.I., Chkhartishvili A.G. Game-Theoretic Models of an Oligopoly Mar-

ket with Nonlinear Agent Cost Functions // Autom. Remote Control. 2017. V. 78.

No. (9). P. 1631-1650.

17.

Corchуn L.C. Comparative statics for aggregative games the strong concavity case //

Math. Social Sci. 1994. V. 28 (3). Р. 151-165.

18.

Possajennikov A. Conjectural variations in aggregative games: An evolutionary per-

spective // Math. Social Sci. 2015. No. 77. Р. 55-61.

129

19. Walters A.A. Production and cost functions: and econometric survey // Economet-

rica. 1963. V. 31. No. 1. Р. 23-44.

20. Гераськин М.И. Моделирование рефлексии в нелинейной модели трехагентной

олигополии Штакельберга для телекоммуникационного рынка России // АиТ.

2018. № 5. С. 83-106.

Geraskin M.I. Modeling Reflexion in the Non-Linear Model of the Stakelberg Three-

Agent Oligopoly for the Russian Telecommunication Market // Autom. Remote Con-

trol. 2018. V. 79. No. 5. Р. 841-859.

21. Korn G., Korn T. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Defini-

tions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. N.Y.: McGraw-Hill Book

Company, 1968.

22. Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике. М.:

Интернет-университет Информационных Технологий: БИНОМ 2006. 523 c.

23. Varah J.M. A lower bound for the smallest singular value of a matrix // Linear

Algebra Its Appl. 1975. V. 11(1). P. 3-5.

24. Reddy Rachapalli S., Kulshreshtha P. Evolutionarily stable conjectures and social

optimality in oligopolies // Theoret. Econ. Lett. 2013. V. 3. No. 1. P. 12-18.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.В. Губко.

Поступила в редакцию 23.09.2019

После доработки 25.12.2019

Принята к публикации 30.01.2020

130