Автоматика и телемеханика, № 8, 2021

Линейные системы

(Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского),

Р.С. БИРЮКОВ, канд. физ.-мат. наук (biryukovrs@gmail.com),

М.М. КОГАН, д-р физ.-мат. наук (mkogan@nngasu.ru)

(Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет)

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ МИНИМАКСНЫЕ ЗАДАЧИ:

ЛОКАЛИЗАЦИЯ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО И СИНТЕЗ

СУБОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ¹

Рассматриваются задачи многокритериальной минимаксной оптимиза-

ции с критериями вида максимумов функционалов, к которым относят-

ся индуцированные нормы линейных операторов, отображающих входы

системы и/или ее начальное состояние в выходы. Показано, что заме-

на трудновыполнимой минимизации линейной свертки таких критери-

ев на минимизацию максимума линейной свертки соответствующих им

функционалов приводит к субоптимальным решениям с оценкой степени

субоптимальности по отношению к оптимальным по Парето решениям.

Этот подход применяется к синтезу субоптимальных по Парето законов

управления линейными нестационарными на конечном горизонте и ста-

ционарными на бесконечном горизонте непрерывными и дискретными си-

стемами при неопределенных начальных состояниях и/или возмущениях.

Приводятся результаты численного моделирования.

Ключевые слова: многокритериальное управление, множество Парето,

обобщенная H_∞ норма, линейные матричные неравенства.

DOI: 10.31857/S000523102108002X

1. Введение

Реальные задачи управления всегда многокритериальны. Нахождение

множества Парето, а следовательно, и оптимальных по Парето решений, т.е.

неулучшаемых одновременно для всех критериев, представляет собой слож-

ную задачу. Известно, что замена многокритериальной задачи на однокри-

териальную с критерием в виде линейной комбинации исходных критериев

обеспечивает в общем случае нахождение некоторого подмножества множе-

ства Парето (Парето-оптимального фронта). Но и такая замена в многокри-

териальных минимаксных задачах, в которых отдельные критерии являют-

ся максимумами некоторых функционалов по неопределенным переменным

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект № 19-01-00289), Министерства науки и высшего образования РФ

(проект № 0729-2020-0055) и Научно-образовательного математического центра “Матема-

тика технологий будущего” (соглашение № 075-02-2021-1394).

или функциям, приводит к трудной задаче оптимизации линейной комбина-

ции максимумов некоторых функционалов. Можно привести лишь несколь-

ко многокритериальных задач управления, в которых удалось описать оп-

тимальные по Парето решения: линейно-квадратичные гауссовские управле-

ния [1] и H₂ оптимальные управления [2] на основе Q-параметризации ста-

билизирующих регуляторов линейных стационарных систем на бесконечном

интервале времени, а также обобщенные H₂ оптимальные управления [3, 4]

для линейных нестационарных систем на конечном горизонте и стационар-

ных систем на бесконечном горизонте.

В [5] для задач многокритериальной оптимизации с критериями в виде H_∞

и γ₀ норм в детерминированной и стохастической постановках были найдены

субоптимальные по Парето законы управления, относительные потери кото-

√

рых по сравнению с оптимальными по Парето не превышают 1 -

N /N , где

N - число критериев. В многокритериальных задачах управления с крите-

риями, включающими H_∞ норму, удавалось синтезировать субоптимальные

управления, как правило, только при дополнительном ограничении типа ра-

венства матриц функций Ляпунова [6-11], которое неявно присутствует и в

концепции так называемого смешанного H₂/H_∞ управления, или типа равен-

ства вспомогательных матричных переменных [12, 13], налагаемых на мат-

ричные уравнения или линейные матричные неравенства, характеризующие

каждый из критериев. В [14] для синтеза двукритериального управления при-

менялся подход, состоящий в получении конечномерных Q-аппроксимаций

оптимальных по Парето регуляторов. При этом до сих пор остается без от-

вета вопрос о том, в какой мере значения отдельных критериев при много-

критериальных законах управления, синтезируемых с учетом дополнитель-

ных ограничений или на основе аппроксимаций, превышают соответствую-

щие значения критериев при оптимальных по Парето законах управления.

Результаты, полученные в данной статье, в каком-то смысле проливают

свет на эту проблему. А именно показано, как в многокритериальных мини-

максных задачах, к которым, в частности, относятся и задачи с критериями

типа обобщенной H_∞ нормы, можно оценивать границы области критериаль-

ного пространства, в которой расположены точки, отвечающие минимумам

линейной свертки критериев и, следовательно, принадлежащие множеству

Парето. При этом определяются субоптимальные по Парето решения много-

критериальной задачи, которым соответствует одна из получаемых границ,

и оценивается степень их субоптимальности. В двукритериальных задачах

эти границы суть верхняя и нижняя кривые, между которыми находится

указанное множество. Наличие этих границ позволяет оценить, в какой мере

значения отдельных критериев при многокритериальных законах управле-

ния, получаемых при дополнительных предположениях и ограничениях, от-

личаются от значений критериев при оптимальных по Парето управлениях.

Далее в статье получены характеризации обобщенной H_∞ нормы в терминах

линейных матричных неравенств для линейных непрерывных и дискретных

нестационарных систем на конечном горизонте и стационарных систем на

бесконечном горизонте и синтезированы субоптимальные по Парето управле-

ния в многокритериальных задачах с обобщенными H_∞ нормами в качестве

критериев. Приводятся иллюстративные примеры, в которых для различных

двукритериальных задач управления находятся субоптимальные решения и

строятся границы области, содержащей точки множества Парето.

2. Двусторонние границы области,

содержащей подмножество Парето-фронта

Задача состоит в нахождении оптимальных по Парето решений в много-

критериальной задаче минимизации с критериями J_i(Θ), i = 1, . . . , N, каж-

дый из которых представляет собой максимум некоторой неотрицательной

функции F_i(Θ, ω) ≥ 0 по отношению к некоторым переменным ω из множе-

ства Ω, т.е.

(2.1)

J_i(Θ) = sup F_i

(Θ, ω), i = 1, . . . , N.

ω∈Ω

Напомним, что решение Θ_P называется оптимальным по Парето, если не

существует такого решения Θ, что выполняются неравенства J_i(Θ) ≤ J_i(Θ_P ),

i = 1,...,N, в которых по меньшей мере одно является строгим. Множество

точек в N-мерном критериальном пространстве, соответствующее всем таким

решениям, называется множеством Парето

P = {J(Θ_P) = (J₁(Θ_P),...,J_N(Θ_P))}.

Оптимальные по Парето решения — это множество неулучшаемых решений

в том смысле, что для каждого из них не существует решения, при котором

значения всех критериев были бы не больше, чем при данном, а значение

хотя бы одного критерия было бы строго меньше.

Самым распространенным методом нахождения оптимальных по Парето

решений многокритериальной задачи является метод скаляризации, т.е. вы-

бора единого критерия в виде, например, линейной свертки этих критериев

{

}

∑

J_α(Θ) = α_iJ_i(Θ), α ∈ S = α = (α₁,... ,α_N ) : α_i > 0,

α_i = 1

i=1

Назовем линейную свертку J_α(Θ) оптимальной целевой функцией. Как из-

вестно [15], параметры Θ_α, для которых выполняется

minJα(Θ) = Jα(Θα) = μ(α),

являются оптимальными по Парето решениями многокритериальной задачи.

Обозначим соответствующее им множество точек в критериальном простран-

стве через

P_L = {J(Θ_α) = (J₁(Θ_α),... ,J_N (Θ_α))

∀α∈S}.

В общем случае ими может не исчерпываться все множество Парето, т.е.

P_L ⊆ P.

Непосредственное нахождение параметров Θ_α для многокритериальных

минимаксных задач представляется затруднительным, так как оптимальная

J₂

)

J₁

Рис. 1. Построение области Σ₀, содержащей точки множества Парето.

целевая функция для таких задач оказывается линейной комбинацией мак-

симумов разных функций. В связи с этим оценим ее снизу, заменяя сумму

максимумов на максимум суммы

∑

(2.2)

J_α(Θ) =

α_i sup

Fi(Θ, ω) ≥ sup

α_iF_i(Θ,ω) = sup F_α(Θ,ω)

J_α

(Θ).

ω∈Ω

i=1

ω∈Ω i=1

∑_N

Назове

J_α(Θ) = supω∈Ωi=1 α_iF_i(Θ,ω) субоптимальной целевой функцией,

а параметрыΘα, оптимальные по отношению

J_α(Θ), при которых

(2.3)

minJα(Θ)

J_α(Θα) = μ_-

(α),

назовем субоптимальными по Парето решениями многокритериальной зада-

чи. Покажем, что для рассматриваемых задач можно указать границы обла-

сти критериального пространства, в которой находится подмножество P_L, и

тем самым оценить степень субоптимальности решенийΘα.

Равенство

∑

J_α(Θ_α) = α_iJ_i(Θ_α) = μ(α)

i=1

означает, что в критериальном пространстве точка J(Θ_α) принадлежит ги-

перплоскости Π_α с вектором нормали nTα = (α₁, . . . , α_N ), уравнение которой

nTαJ = μ(α) (см. рис. 1,a). Это плоскость отстоит от начала координат на рас-

стояние d_α = |n_α|-1μ(α). Так как

∑

(2.4)

μ₊(α) = α_iJ_i(Θα) ≥

α_iJ_i(Θ_α

) = μ(α),

i=1

то субоптимальным по Парето решениямΘα соответствует точка J(Θα),

принадлежащая гиперплоскости Π+α, уравнение которой nTαJ = μ₊(α). Эта

плоскость отстоит от начала координат на расстояние d+α = |n_α|-1μ₊(α) ≥

≥d_α.

Из справедливости неравенств

∑

(2.5)

μ(α) = α_iJ_i(Θ_α)

J_α(Θ_α)

J_α(Θα) = μ_-

(α)

i=1

следует, что точка J(Θ_α) удалена от начала координат не меньше, чем на

d^-α = |n_α|-1μ_-(α) - расстояние от плоскости Π^-α с уравнением nTαJ = μ_-(α) до

начала координат, т.е. d_α ≥ d^-α. Таким образом, точка J(Θ_α) ∈ Π_α находится

между двумя параллельными гиперплоскостями Π^-α и Π+α.

Определим в пространстве критериев для любого набора α ∈ S следующие

множества:

{

}

∑

Σ^-α = (J₁,... ,J_N ) :

α_iJ_i

J_α(Θα), J_i ≥ 0, i = 1,... ,N

i=1

{

}

∑

(2.6)Σ+

= (J₁, . . . , J_N ) :

α_iJ_i ≤

α_iJ_i(Θα), J_i ≥ 0, i = 1,... ,N

i=1

⋃

Σ_- = Σ^-α, Σ₊ = Σ+α, Σ₀ = Σ₊\Σ_-.

α∈S

Докажем, что точки J(Θ_α) ∈ P_L ⊆ P принадлежат множеству Σ₀ (см.

рис. 1,б ).

Действительно, так как

∑

α_iJ_i(Θ_α) ≤

α_iJ_i(Θα) = μ₊(α),

i=1

то J(Θ_α) ∈ Σ₊. Покажем, что для произвольного фиксированного набо-

ра α ∈ S точка J(Θ_α) ∈ Σ_-, т.е. J(Θ_α) ∈ Σ^-α для любого α ∈ S. Из (2.5)

следует, что J(Θ_α) ∈ Σ-̂α. Предположим, что для некоторого α = α выпол-

∑_N

нено J(Θ_α) ∈ Σ^-α, т.е.

α_iJ_i(Θ_α) < μ_-(α). Так как

J_α(Θα)

J_α(Θ_α) ≤

i=1

≤ J_α(Θ_α) = μ(α), то

∑

α_iJ_i(Θ_α) <

α_iJ_i(Θ_α),

i=1

т.е. J_α(Θ_α) < J_α(Θ_α). Это противоречит тому, что Θ_α обеспечивает минимум

линейной свертки J_α(Θ). Таким образом, Θ_α ∈ Σ₀, и можно сформулировать

следующее утверждение.

Теорема 2.1. Множество точек P_L ⊆ P критериального простран-

ства, которые соответствуют оптимальным по Парето парамет-

рам Θ_α, минимизирующим оптимальную целевую функцию J_α(Θ) =

∑_N

α_i supω∈Ω F_i(Θ,ω), принадлежит множеству Σ₀, которое определе-

i=1

но в (2.2), (2.3), (2.6).

В двукритериальных задачах нижней и верхней границами области, кото-

рой принадлежит множество P_L в пространстве критериев (J₁, J₂), являются

“огибающие” семейства прямых

αJ₁ + (1 - α)J₂

J_α(Θα),

αJ₁ + (1 - α)J₂ = αJ₁(Θα) + (1 - α)J₂(Θα)

∀α ∈ (0,1).

Заметим, что значениям α = 1 и α = 0 отвечают прямые J₁ = min_Θ J₁(Θ) и

J₂ = min_Θ J₂(Θ) соответственно.

Для количественной оценки близости значений функционалов при найден-

ных субоптимальных решенияхΘα и неизвестных оптимальных решениях Θ_α

введем показатель субоптимальности

d+α - d^-α

μ₊(α) - μ_-(α)

η = max

= max

α∈S d^α

α∈S

μ₊(α)

определяемый по относительной величине максимального “расстояния” меж-

ду границами множества Σ₀. Чем ближе η к нулю, тем точнее оценка множе-

ства Парето и тем ближе друг к другу значения соответствующих критериев

при субоптимальных и оптимальных решениях.

Заметим, что приведенный в данном разделе анализ и полученный резуль-

тат без всяких изменений переносятся на случай, когда критериями являются

функционалы, а “переменными” ω и решениями Θ - функции.

3. Обобщенная H_∞ норма

В этом разделе рассматриваются характеристики системы, которые далее

будут выбираться в качестве отдельных критериев при синтезе управления.

Пусть линейная нестационарная система описывается уравнениями

∂x = A(t)x(t) + B(t)v(t), x(t₀) = x₀,

(3.1)

z(t) = C(t)x(t) + D(t)v(t), t ∈ [t₀, t_f ],

в которых ∂ обозначает оператор дифференцирования для системы в непре-

рывном времени или оператор сдвига, т.е. ∂x(t) = x(t + 1), для системы в

дискретном времени; x ∈ Rnx - состояние, v ∈ Rnv - возмущение и z ∈ Rnz -

целевой выход. Обобщенной H_∞ нормой системы (3.1) на конечном интервале

[t₀, t_f ] от входа v к выходу z при неопределенном начальном состоянии для

заданных весовых матриц начального состояния R = R^T > 0 и терминально-

го состояния S = S^T ≥ 0 называется квадратный корень из максимального

значения интегрального показателя выхода с учетом терминального состоя-

ния системы, нормированного суммой квадратичной формы начального со-

стояния и квадрата L₂-нормы возмущения для непрерывной системы или

l₂-нормы возмущения для дискретной системы, т.е.

)1/2

⁽ ∥z∥²

+ x^T(t_f)Sx(t_f)

[t₀, t_f ]

(3.2)

γ∞,0 = sup

x₀, v

x^T0R-1x₀ + ∥v∥²

[t₀, t_f ]

где супремум берется по всем начальным состояниям x(t₀) = x₀ и всем v ∈ L₂

или v ∈ l₂, одновременно не обращающимся в ноль. Здесь для систем в непре-

рывном или дискретном времени используются обозначения

∫

tf∑-1

∥ξ∥2[t

|ξ(t)|²dt,

∥ξ∥2[t

|ξ(t)|².

0,tf]

0, tf

]

t=t₀

t₀

При S = 0 в обобщенной H_∞ норме терминальное состояние не учитывается.

Эта характеристика, которая для систем в непрерывном времени была вве-

дена в [16] под названием “H_∞ norm with transients”, а для систем в дискрет-

ном времени - в [17], содержит в себе как частные случаи многие критерии,

применяемые при синтезе управления. Так, при отсутствии внешнего возму-

щения, т.е. при v(t) ≡ 0, этот показатель принимает вид так называемой γ₀

нормы

∥z∥[t0, t_f )

γ₀ = sup

(

)1/2

x₀=0

x^T0R-1x₀

и характеризует “наихудшее” значение квадратичного функционала на тра-

екториях системы при начальном состоянии, принадлежащем эллипсоиду

x^TR-1x ≤ 1. Когда начальное состояние нулевое, обобщенная H_∞ норма пе-

реходит в стандартную H_∞ норму

(

)1/2

+ x^T(t_f)Sx(t_f)

∥z∥2[t0, t_f

)

γ_∞ = sup

v=0

∥v∥[t0, t_f )

В частном случае при C(t) ≡ 0, D(t) ≡ 0 в (3.1) обобщенная H_∞ норма харак-

теризует так называемое максимальное уклонение выхода S1/2x(t) в конеч-

ный момент времени, определяемое как

|S1/2x(t_f )|

(3.3)

γv,0 = sup

(

)1/2 .

x₀, v

x^T0R-1x₀ + ∥v∥²

[t₀, t_f ]

Все эти показатели являются индуцированными нормами соответствующих

линейных операторов, порождаемых системой и отображающих начальное

состояние и/или возмущение в выход и/или терминальное состояние, и с со-

ответствующими скалярными произведениями в линейных пространствах.

В [16] было установлено, что для нахождения обобщенной H_∞ нормы ли-

нейной непрерывной нестационарной системы на конечном горизонте тре-

буется найти решение дифференциального матричного уравнения Риккати,

удовлетворяющее определенным начальным и конечным условиям. В следую-

щей теореме, доказательство которой приведено в Приложении, показано, что

обобщенная H_∞ норма на конечном горизонте в непрерывном и дискретном

случаях может быть вычислена как решение задачи оптимизации линейной

функции при ограничениях, заданных дифференциальными или разностны-

ми линейными матричными неравенствами.

Теорема 3.1. Пусть выполняется неравенство

(3.4)

γ²I - D^T(t)D(t) > 0

∀t ∈ [t₀,t_f

Обобщенная H_∞ норма системы (3.1) удовлетворяет неравенству γ∞,0 < γ

тогда и только тогда, когда дифференциальные линейные матричные нера-

венства

⎛

⎞

-˙(t) + Y (t)AT(t) + A(t)Y (t)

∗

⎜

⎟

⎜

⎟

(3.5)

B^T(t)

-I

∗

0, t ∈ [t₀, t_f

⎝

⎠≤

C(t)Y (t)

D(t)

-γ²I

для непрерывной системы или линейные матричные неравенства

⎞

^⎛ -Y (t + 1)

∗

⎜

⎟

⎜

Y (t)A^T(t)

-Y (t)

∗

⎟

⎜

⎟

(3.6)

⎜

⎟ ≤ 0, t = t₀,...,t_f

− 1,

⎜

^T(t)

-I

∗

⎟

⎝ B

⎠

C(t)Y (t) D(t)

-γ²I

для дискретной системы, а также равенство

(3.7)

Y (t₀

)=R

и линейное матричное неравенство

(

)

Y (t_f )

∗

(3.8)

S1/2Y (t_f) γ²I

имеют решения относительно неизвестных Y (t) > 0 и γ².

Для вычисления обобщенной H_∞ нормы предварительно проводится дис-

кретизация соответствующего дифференциального линейного матричного

неравенства, а затем решается стандартная задача полуопределенного про-

граммирования.

Для устойчивого стационарного объекта вида (3.1), в котором A(t) = A,

B(t) = B, C(t) = C, D(t) = D - заданные постоянные матрицы и все соб-

ственные значения матрицы A расположены для системы в непрерывном

времени строго слева от мнимой оси, а для системы в дискретном време-

ни — строго внутри единичного круга комплексной плоскости, обобщенная

H_∞ норма, стандартная H_∞ норма (т.е. при нулевых начальных условиях) и

γ₀ норма на бесконечном интервале определяются как

∥z∥[0,∞)

γs∞,0 = sup

(

)1/2 , γ^∞ = sup

x₀, v

v=0 ∥v∥[0,∞)

x^T0R-1x₀ + ∥v∥²

[0,∞)

∥z∥[0,∞)

γs0 = sup

(

)1/2 ,

x₀=0

x^T0R-1x₀

где верхний индекс s указывает на стационарность системы.

Теорема 3.2. Обобщенная H_∞ норма устойчивой стационарной систе-

мы (3.1) на бесконечном интервале времени удовлетворяет неравенству

γs∞,0 < γ тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства

⎞

^⎛ Y A^T + AY

∗

⎜

⎟

(3.9)

⎝ B^T

−I

∗

⎠ < 0, Y > R,

D -γ²I

для системы в непрерывном времени [18] или

⎛

⎞

-Y

∗

⎜

⎟

⎜

Y A^T -Y

∗

⎟

(3.10)

⎜

⎟

< 0, Y > R,

⎝ B^T

-I

∗

⎠

CY D

-γ²I

для системы в дискретном времени [17] имеют решения относительно

неизвестных Y и γ².

В отличие от теоремы 3.1 линейные матричные неравенства в теореме 3.2

являются строгими, так как на бесконечном горизонте дополнительно тре-

буется обеспечить асимптотическую устойчивость системы при наихудшем

возмущении. Из теоремы 3.2 следует, что уровень гашения начального воз-

мущения для системы в непрерывном времени удовлетворяет неравенству

γs0 < γ тогда и только тогда, когда разрешимы неравенства (3.9), в первом из

которых следует вычеркнуть вторые блочные строку и столбец, а для систе-

мы в дискретном времени, когда разрешимы неравенства (3.10), в первом из

которых следует вычеркнуть третьи блочные строку и столбец. В свою оче-

редь H_∞ норма передаточной матрицы от v к z меньше γ тогда и только то-

гда, когда разрешимо первое неравенство в (3.9) для системы в непрерывном

времени или первое неравенство в (3.10) для системы в дискретном време-

ни. Каждый из показателей находится путем минимизации γ² на множестве,

определяемом соответствующими линейными матричными неравенствами.

4. Синтез субоптимальных по Парето управлений

в задачах с обобщенными H_∞ нормами

Рассмотрим многокритериальную задачу управления системой c N целе-

выми выходами

∂x = A(t)x(t) + B_v(t)v(t) + B_u(t)u(t),

(4.1)

z_i(t) = C_i(t)x(t) + D_vi(t)v(t) + D_ui(t)u(t), i = 1,... ,N,

с обратной связью u = Θ(t)x, критериями в которой являются квадраты обоб-

щенных H_∞ норм выходов z_i

+ x^T(t_f)S_ix(t_f)

∥z_i∥2[t0,t_f ]

J_i[Θ(t)] = sup

i = 1,...,N,

x₀,v

x^T0R-1x₀ + ∥v∥²

[t₀,t_f ]

рассматриваемых как функционалы от матрично-значных функций Θ(t),

t ∈ [t₀,t_f]. Для этой задачи субоптимальный целевой функциионал имеет вид

∥z_α∥2[t0, t_f ]+xT(^tf)Sαx(tf),

J_α[Θ(t)] = sup

x₀, v

x^T0R-1x₀ + ∥v∥2[t0, t_f ]

где

∑

z_α(t) = [C_α(t) + D_uα(t)Θ(t)]x(t) + D_vα(t)v(t), S_α =

α_iS_i,

i=1

⎛

⎞

⎛

⎞

α1/21C1(t)

α1/21Du1(t)

(4.2)

C_α(t) =^⎝

···

⎠,Duα(t) = ⎝

···

⎠_,

α1/2NC_N(t)

α1/2ND_uN(t)

⎛

⎞

α1/21Dv1(t)

D_vα(t) =^⎝

···

⎠_.

α1/2ND_vN(t)

Это значит, чт

J_α[Θ(t)] является обобщенной H_∞ нормой комбинированного

выхода z_α системы (4.1) с матрицей терминального состояния S_α, а субоп-

тимальными по Парето решениями являются обобщенные H_∞ оптимальные

управления по отношению к этой норме для всех α ∈ S. Матрицы параметров

этих законов управления вычисляются какΘα(t) = Z(t)Y-1(t) при решении

линейных матричных неравенств, получаемых из (3.5) и (3.8) для системы в

непрерывном времени (из (3.6) и (3.8) для системы в дискретном времени)

с начальным условием Y (t₀) = R и с матрицей терминального состояния S_α

при замене в них соответствующих матриц на матрицы A(t) + B_u(t)Θ(t),

B_v(t), C_α(t) + D_uα(t)Θ(t), D_vα(t) и при введении вспомогательных перемен-

ных Z(t) = Θ(t)Y (t). Заметим, что для приближенного вычисления матриц

параметров обратной связи Θ(t) в системах с непрерывным временем предва-

рительно проводится дискретизация дифференциального линейного матрич-

ного неравенства.

В частном случае для системы с нулевыми начальными условиями при

критериях вида стандартных H_∞ норм и максимальных уклонений субопти-

мальные по Парето управления находятся при решении линейных матричных

неравенств (3.5) и (3.8) (или (3.6) и (3.8)) с соответствующими системными

матрицами и при Y (t₀) = 0. В другом частном случае, когда отсутствуют

возмущения, т.е. v(t) ≡ 0, субоптимальные по Парето управления в многокри-

териальной задаче с критериями вида γ₀ норм и максимальных уклонений

выходов в конечный момент времени при неопределенных начальных усло-

виях находятся в результате решения линейных матричных неравенств, по-

лученных из (3.5) и (3.8) (или (3.6) и (3.8)) с соответствующими системными

матрицами при B(t) ≡ 0 и Y (t₀) = R.

Когда все критерии являются максимальными уклонениями в конечный

момент времени N выходов z_i(t_f ) системы (4.1) при D_vi(t) ≡ 0, i = 1, . . . , N,

возможен синтез оптимальных по Парето управлений. Действительно, выбе-

рем в этом случае в качестве единого критерия свертку Гермейера [15]

{

}

J^Gα[Θ(t)] = max

α-1jJ_j[Θ(t)]

∀α_j > 0.

j=1,...,N

Представим ее в виде

|z_j (t_f )|

J^Gα[Θ(t)] = max

α-1j sup

j=1,...,N

x₀, v x^T0R-1x0 + ∥v∥²

[t₀, t_f ]

max

|α-1/2jz_j (t_f )|²

j=1,...,N

|z_α(t_f )|2g∞

= sup

x₀, v x^T0R-1x₀ + ∥v∥²

[t₀, t_f]

[t₀, t_f ]

где

z_α = col(α-1/21z₁,... ,α-1/2Nz_N ),

|z_α|_g∞ = max

|α-1/2jz_j |.

j=1,...,N

Таким образом, свертка Гермейера для этой задачи представляет собой квад-

рат максимального уклонения в конечный момент времени комбинированного

выхода z_α, состоящего из взвешенных выходов системы (4.1), где под мак-

симальным уклонением комбинированного вектора принимается величина,

равная максимуму из евклидовых норм составляющих его векторов. Следо-

вательно, оптимальные по отношению к J^Gα[Θ(t)] матрицы Θ_α(t), которые яв-

ляются оптимальными по Парето решениями рассматриваемой многокрите-

риальной задачи, находятся как Θ_α(t) = Z(t)Y-1(t) в результате решения за-

дачи inf γ² при ограничениях в форме дифференциальных матричных нера-

венств

(4.3)

- Y (t)+Y (t)A^T(t)+A(t)Y (t)+Z^T(t)BTu (t)+B_u(t)Z(t)+B_v(t)BTv

(t) ≤ 0

при t = [t₀, t_f ] для системы в непрерывном времени,

(

)

-Y (t + 1) + B_v(t)BTv(t)

∗

(4.4)

≤0

Y (t)A^T(t) + Z^T(t)BTu (t) -Y (t)

при t = t₀, . . . , t_f - 1 для системы в дискретном времени, а также

(

)

Y (t

∗

(4.5)

Y (t₀) = R,

> 0, i = 1, . . . , N.

C_iY (t_f ) + D_uiZ(t_f) α_iγ²I

Теперь покажем, как синтезировать субоптимальные по Парето стацио-

нарные обратные связи u = Θx в задачах многокритериальной оптимизации

для стационарных систем вида (4.1), критериями в которых являются обоб-

щенные H_∞ нормы на бесконечном интервале

∥z_i∥2[0,∞)

J_i(Θ) = sup

i = 1,...,N.

x₀, v x^T0R-1x0 + ∥v∥²

[0, ∞)

В этом случае субоптимальная целевая функция имеет вид

∥z_α∥2[0,∞)

J_α(Θ) = sup

x₀, v x^T0R-1x0 + ∥v∥²

[0, ∞)

где комбинированный выход z_α(t) определен как в (4.2) при всех стацио-

нарных матрицах. Субоптимальными по Парето решениями данной задачи

являются оптимальные управления по отношению к обобщенной H_∞ норме

выхода z_α стационарной системы (4.1) для всех α ∈ S. ПараметрыΘα этих

законов управления находятся при решении линейных матричных неравенств

(3.9) или (3.10), в которых соответствующие матрицы следует заменить на

A + B_uΘ, B_v, C_α + D_uαΘ и D_vα.

5. Примеры

5.1. Система первого порядка

Начнем с простого примера для системы первого порядка

x = -x + v + u, x(0) = 0,

(5.1)

z₁ = x, z₂ = u,

рассматриваемого аналитически. Зададим управление в виде u = -θx и вы-

берем два критерия

∥z_i∥2[0,∞)

(5.2)

J_i(θ) = sup

i = 1,2.

v=0 ∥v∥²

[0, ∞)

В данном случае субоптимальная целевая функци

J_α(θ) - квадрат H_∞ нор-

мы передаточной функции H(s) замкнутой системы от v к комбинированному

выходу

(

z_α(t) = α1/2

- (1 - α)1/2θ

)^T x(t), α ∈ (0, 1).

Так как

α + (1 - α)θ

|H(jω)|² =

ω² + (1 + θ)²

то

α + (1 - α)θ

J_α(θ) = max

|H(jω)|² =

ω∈[0,∞)

(1 + θ)²

Проводя минимизаци

J_α(θ), получаем

θα =^α

J_α(θα) = α(1 - α).

1-α

Cогласно (2.3) и (2.4) имеем

μ_-(α) = μ₊(α) = α(1 - α).

Таким образом, нижняя и верхняя границы области, в которой находится

искомое множество решений двукритериальной задачи, совпадают, а само

это множество определяется как огибающая на плоскости (J₁, J₂) семейства

прямых

αJ₁ + (1 - α)J₂ = α(1 - α).

Решение этой несложной задачи о нахождении огибающей семейства прямых

дает при J₁ ∈ [0, 1] и J₂ ∈ [0, 1] кривую в неявной форме

2J₁ + 2J₂ - (J₁ - J₂)² = 1

или в явной форме

√

J₂ = (

J₁ - 1)², J₁ ∈ (0, 1).

Наконец, заметим, что в данном примере

J₁(θ) =

J₂(θ) =

(1 + θ)²

и, следовательно

J_α(Θ) = J_α(Θ).

5.2. Виброизоляция упругого объекта

Рассмотрим механическую систему с двумя степенями свободы, показан-

ную на рис. 2 и представляющую собой упругий объект, который модели-

руется двумя материальными точками 2 и 3, связанными между собой ли-

нейными упругим и диссипативным элементами; этот упругий объект связан

такими же линейными упругим и диссипативным элементами и управляемым

элементом (называемым далее виброизолятором) с другим телом 1, который

моделирует подвижное основание. Динамика данной механической системы

(в безразмерных переменных и параметрах) описывается дифференциальны-

ми уравнениями

x₁ = -2β x₁ + β x₂ - 2x₁ + x₂ + v + u, x₁(0) = x₁₀,

x₁(0) = x₃₀,

x₂ = -β( x₂ - x₁) - x₂ + x₁ + v,

x₂(0) = x₂₀,

x₂(0) = x₄₀,

где x₁ и x₂ - координаты материальных точек 2 и 3 относительно подвижно-

го основания, u - усилие, создаваемое виброизолятором при его деформации

(т.е. при смещении точки 2 относительно точки 1), v - с точностью до знака

ускорение основания (материальной точки 1), β = 0,1 - заданный положи-

тельный параметр демпфирования. Задача виброизоляции состоит в поиске

управления u = θ₁x₁ + θ₂x₂ + θ₃ x₁ + θ₄ x₂, обеспечивающего как наименьшую

возможную деформацию механической системы, так и минимальную силу,

найдем множество Σ₀ (см. рис. 3). В этом случае показатель субоптималь-

ности равен η = 0,2768. На верхней границе множества Σ₀ указана точка

A(4,256; 5,582), отвечающая значению α = 0,64.

Для сравнения были вычислены регуляторы на основе линейных матрич-

ных неравенств, характеризующих каждую из указанных обобщенных H_∞

норм при дополнительном предположении, что функции Ляпунова для каж-

дой из этих норм равны между собой. А именно матрицы обратных свя-

зей определялись при решении задачи inf J₂(Θ) при условии, что J₁(Θ) < γ²

с параметром γ. Они находились какΘγ = Z_γ Y-1γ, где Y_γ и Z_γ - решения

задачи inf γ² при ограничениях, определяемых парой линейных матричных

неравенств вида (3.9), в одном из которых матрицы A, B, C, D заменены

матрицами A + B_uΘ, B_v, C₁ + Du1Θ, Dv1 соответственно, а в другом — мат-

рицами A + B_uΘ, B_v, C₂ + Du2Θ, Dv2 и Z_γ = ΘY_γ. Точка B(4,959; 5,913) на

рис. 3 соответствует одному из найденных регуляторов с параметрами Θ =

= (-0,472; 0,252; -1,745; -1,385)^T.

5.3. Гашение параметрических колебаний линейного осциллятора

Рассмотрим уравнение Матьё

x₁ = x₂,

(5.3)

x₂ = -δ²(1 + εsin t)x₁ + u + v

с параметрами δ = 0,5 и ε = 0,3, описывающее параметрические колеба-

ния линейного осциллятора. Зададим на интервале времени длительностью

T = 10 равномерную сетку с шагом h = 0,05 и дискретизируем систему (5.3),

заменяя производные конечно-разностными отношениями. Выберем в каче-

стве первого критерия обобщенную H_∞ норму этой системы с целевым вы-

ходом z = x₁ + u, т.е. с матрицами C₁ = (1 0), D₁ = 1, и весовой матрицей

терминального состояния S₁ = 0. В качестве второго критерия возьмем мак-

симальное уклонение вектора (1/2)col (x₁, x₂) в конечный момент времени,

т.е. C₂ = (0 0), D₂ = 0 и S₂ = 0,25I. Таким образом, функционалы имеют вид:

∥z∥2[0,T]

xTfS₂x_f

(5.4) J₁[Θ(t)] = sup

J₂[Θ(t)] = sup

x₀,v x^T0R-1x₀ + ∥v∥2[0,T]

x₀,v x^T0R-1x₀ + ∥v∥²

[0,T ]

В дальнейших численных экспериментах R = 0,5I. Применим подход,

изложенный в разделе 2, для построения границ области Σ₀, содержащей

множество Парето. На рис. 4 серым цветом изображено множество Σ₀. Видно,

что оно получилось достаточно “узким” и значение показателя субоптималь-

ности η = 0,125 подтверждает этот вывод. Отметим, что точки верхней грани-

цы множества Σ₀ соответствуют субоптимальным по Парето решениямΘα,

которые находятся с использованием описанного в разделе 4 подхода. В част-

ности, при α = 0,18 были найдены коэффициенты обратной связиΘα и для

них вычислены значения функционалов. Точка, отвечающая этим значени-

ям, на рис. 4 обозначена через A, ее координаты — (0,898; 0,249). Значения

функционалов в случае, когда управление в системе (5.3) отсутствует, рав-

ны J₁ = 185,259 и J₂ = 0,966. Таким образом, использование управления поз-

воляет уменьшить обобщенную H_∞ норму системы практически в 200 раз!

На рис. 5 приведены графики зависимости от времени субоптимальных

по Парето коэффициентов обратной связиΘTα(t) = (θ1(t)θ2(t)), отвечающих

точке A. Заметим, что практически все время функционирования системы

коэффициенты обратной связи сохраняют “постоянные” значения. Значения

функционалов при стационарном регуляторе, отвечающим этим “постоян-

ным” значениям θ₁(t) ≡ -0,13 и θ₂(t) ≡ -1,0, равны J₁ = 0,900 и J₂ = 0,249,

т.е. отличия в значениях критериев при использовании такого стационар-

ного регулятора вместо нестационарного субоптимального регулятораΘα(t)

незначительны.

6. Заключение

Рассмотрены многокритериальные задачи минимаксной оптимизации,

критериями в которых являются максимумы некоторых функционалов.

В статье показано, что при минимизации единого критерия в виде максиму-

ма линейной свертки функционалов (вместо линейной свертки максимумов)

находятся субоптимальные по Парето решения и оцениваются их потери по

сравнению с минимальными. В критериальном пространстве строятся гра-

ницы области, содержащей точки множества Парето, в которых линейная

свертка критериев принимает манимальные значения. Тем самым появляет-

ся возможность сравнивать значения отдельных критериев при выбираемых

тем или иным способом решениях многокритериальных задач и при опти-

мальных по Парето решениях. Этот подход в сочетании с аппаратом ли-

нейных матричных неравенств применяется для решения новых многокри-

териальных линейно-квадратичных задач управления при неопределенных

начальных условиях и возмущениях с критериями вида обобщенной H_∞ нор-

мы или γ₀ нормы для непрерывных и дискретных нестационарных систем на

конечном горизонте и стационарных систем на бесконечном горизонте. При-

водятся примеры двукритериальных задач управления, в которых находятся

субоптимальные по Парето решения и строятся области, содержащие точки

множества Парето.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 3.1. Покажем, что выполнение неравен-

ства γ∞,0 < γ влечет выполнение неравенств (3.5) (или (3.6)), (3.8) и равен-

ства (3.7). На траекториях системы (3.1) определим функционал

[

]

(Π.1)

J (v) = γ²

∥v∥2[t

+x^T0R-1

x₀

- ∥z∥2[t

0,tf]

Заметим, что неравенство γ∞,0 < γ эквивалентно неравенству

(Π.2)

J (v) > x^T(t_f )Sx(t_f )

∀x₀ ∈ Rnx, ∀v ∈ L₂ : x^T0R-1x₀ + ∥v∥2[t

= 0.

0,tf]

Поставим задачу минимизации этого функционала относительно v, которую

будем решать методом динамического программирования.

С этой целью введем вдоль траектории системы функцию Беллмана

{

[

]

}

(Π.3)

V (t, x) = min

γ²

∥v∥2[t

+x^T0R-1

x₀

- ∥z∥²

0,t]

[t₀, t]

v(τ), τ∈[t₀,t]

где x = x(t) - состояние системы в момент времени t. Запишем соответствую-

щее уравнение Беллмана

(

)

(Π.4)

min

-∂V - |z|² + γ²|v|²

= 0, V (t₀, x) = γ²x^TR-1

v(t)

которое в непрерывном случае приводит к следующему уравнению в частных

производных

V_t + V_x[A(t)x + B(t)v_∗] + [C(t)x + D(t)v_∗]^T[C(t)x + D(t)v_∗] - γ²|v_∗|² = 0,

где

v_∗(t) = [γ²I - D^T(t)D(t)]-1[2-1B^T(t)VTx + D^T(t)C(t)x]

и нижние индексы t и x обозначают частные производные от функции Белл-

мана по соответствующим переменным. Решением этого уравнения в част-

ных производных является функция в виде квадратичной формы V (t, x) =

= x^TQ-1(t)x, где матрица Q удовлетворяет дифференциальному уравнению

Риккати

Q=AQ+QAT+QCTCQ+(BT+DTCQ)T(γ2_I-DTD)-1(BT+DTCQ),

(Π.5)

Q(t₀) = γ-2R,

в котором для сокращения записи у всех матриц опущен аргумент t. Заме-

тим, что из положительной полуопределенности квадратичных слагаемых в

правой части дифференциального уравнения (Π.5) и положительной опре-

деленности матрицы Q(t₀) следует положительная определенность решения,

т.е. Q(t) > 0, t ∈ [t₀, t_f ], и, следовательно, матрица Q(t) обратима на всем рас-

сматриваемом отрезке.

Обратимся опять к уравнению Беллмана (Π.4), из которого следует, что

вдоль траектории системы (3.1) при любых возмущениях v(t) для найденной

функции Беллмана V (t, x) = x^TQ-1(t)x выполняется неравенство

(Π.6)

+ |z|² - γ²|v|²

≤ 0,

которое принимает вид квадратичного неравенства ξ^TMξ ≤ 0, ξ^T = (x^T v^T)

с отрицательно полуопределенной матрицей

(

)

-Q-1Q˙ Q-1 + A^TQ-1 + Q-1A + C^TC

∗

M =

B^TQ-1 + D^TC

-(γ²I - D^TD)

Умножая матрицу M слева и справа на положительно определенную матрицу

L = diag(Q I), получим

(

)

-Q˙ + QA^T + AQ + QC^TCQ

∗

LML =

≤ 0.

B^T + D^TCQ

-(γ²I - D^TD)

Применяя к последнему неравенству лемму Шура и делая замену Q = γ-2Y ,

получаем матричное неравенство

- Y + AY + Y A^T + γ-2Y C^TCY +

(Π.7)

+ (B^T + γ-2D^TCY )^T(I - γ-2D^TD)-1(B^T + γ-2D^TCY ) ≤ 0,

которое повторным применением леммы Шура приводится к линейному мат-

ричному неравенству (3.5). Заметим далее, что согласно (Π.5) Y (t₀) = R. На-

конец, используя неравенство (Π.2), получаем квадратичное неравенство

J (v_∗) = γ²x^T(t_f )Y-1(t_f )x(t_f ) > x^T(t_f )Sx(t_f )

или матричное неравенство

(Π.8)

γ²Y-1(t_f

) > S,

которое с применением леммы Шура приводится к линейному матричному

неравенству (3.8). Необходимое условие теоремы 3.1 для системы в непрерыв-

ном времени доказано.

Для системы в дискретном времени покажем, что функцией Беллмана

является квадратичная форма V (t, x) = x^TQ-1(t)x, где матрица Q(t) удов-

летворяет уравнению

)

(

]-1 (

)

(

)

)(

)

^[(Q(t + 1) ∗

(Π.9)

A^T C^T

-γ-2

B^T D^T

-Q-1

(t) = 0

с начальным условием Q(t₀) = γ-2R. Действительно, уравнение (Π.9) полу-

чено из (Π.4), где минимум достигается при наихудшем возмущении

(

)

(

)

v_∗(t) = Γ-1(t + 1)

B^T D^T

Q-1(t + 1)

x(t).

Здесь введены обозначения

(

)

(

)

Γ(t + 1) = γ²I -

B^T D^T

Q-1(t + 1)

> 0,

)

⁽ Q-1(t + 1) ∗

Q-1(t + 1) =

Так как Q(t₀) > 0, то матрица, стоящая в квадратных скобках в (Π.9) при

t = t₀, является положительно определенной. Следовательно, в силу усло-

вия (3.4) имеем Q(t₀ + 1) > 0. Продолжая этот процесс, получим Q(t) > 0

для всех t ≥ t₀. Далее, поскольку для любого v(t) = v_∗(t) выполняется нера-

венство ΔV + |z|² - γ²|v|² ≥ 0, то с учетом известной формулы обращения

блочной матрицы приходим к следующему неравенству:

(

)

(

)

A^T C^T

Q-1(t + 1)

- Q-1(t) +

(Π.10)

(

)

(

)

(

)

(

)

A^T C^T

Q-1(t+1)

Γ-1(t+1)

B^T D^T

Q-1(t+1)

≤ 0.

После введения новых переменных Y (t) = γ²Q(t), для которых Y (t₀) = R, и

применения леммы Шура неравенство (Π.10) преобразуется в (3.6). Необхо-

димое условие теоремы 3.1 в дискретном случае доказано.

Докажем достаточное условие. Пусть линейные матричные неравенства

(3.5) (или (3.6)), (3.8), а также равенство (3.7) разрешимы относительно

Y (t) > 0 при t ∈ [t₀, t_f ] и γ² > 0. Тогда непосредственно проверяется, что для

квадратичной формы V = γ²x^TY-1(t)x на траекториях системы (3.1) выпол-

няется неравенство

(Π.11)

∂V + |z|² - γ²|v|²

≤ 0.

Интегрируя или суммируя неравенства (Π.11) на отрезке [t₀, t_f ] и учитывая

(Π.8), получаем, что

[

]

∥z∥2[t

+ x^T(t_f)Sx(t_f) < γ²

∥v∥2[t

+x^T0R-1

x₀

0,tf]

для любых допустимых возмущений v и начальных условий системы x₀. От-

сюда следует γ∞,0 < γ, и это завершает доказательство теоремы 3.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Mäkilä P.M. On Muptiple Criteria Stationary Linear Quadratic Control // IEEE

Trans. Autom. Control. 1989. V. 34. No. 12. P. 1311-1313.

Khargonekar P.P., Rotea M.A. Muptiple Objective Optimal Control of Linear

Systems: the Quadratic Norm Case // IEEE Trans. Autom. Control. 1991. V. 36.

No. 1. P. 14-24.

Баландин Д.В., Бирюков Р.С., Коган М.М. Оптимальное управление макси-

мальными уклонениями выходов линейной нестационарной системы на конеч-

ном интервале времени // АиТ. 2019. № 10. C. 37-61.

Balandin D.V., Biryukov R.S., Kogan M.M. Optimal Control of Maximum Output

Deviations of a Linear Time-Varying System on a Finite Horizon // Autom. Remote

Control. 2019. V. 80. No. 10. P. 1783-1802.

Balandin D.V., Biryukov R.S., Kogan M.M. Finite-Horizon Multi-Objective

Generalized H₂ Control with Transients // Automatica. 2019. V. 106. No. 8. P. 27-34.

Баландин Д.В., Коган М.М. Субоптимальные по Парето регуляторы против коа-

лиций возмущений // АиТ. 2017. № 2. С. 3-26.

Balandin D.V., Kogan M.M. Pareto Suboptimal Controllers Versus Coallitions of

Disturbances // Autom. Remote Control. 2017. V. 78. No. 2. P. 197-216.

Bernstein D.S., Haddad W.M. LQG Control with an H_∞ Performance Bound: a

Riccati Equation Approach // IEEE Trans. Autom. Control. 1989. V. 34. No. 3.

P. 293-305.

Khargonekar P.P., Rotea M.A. Mixed H₂/H_∞ Control: a Convex Optimization

Approach // IEEE Trans. Autom. Control. 1991. V. 36. No. 7. P. 824-831.

Zhou K., Glover K., Bodenheimer B., Doyle J. Mixed H₂ and H_∞ Performance

Objectives I: Robust Performance Analysis // IEEE Trans. Autom. Control. 1994.

V. 39. No. 8. P. 1564-1574.

Doyle J., Zhou K., Glover K., Bodenheimer B. Mixed H₂ and H_∞ Performance

Objectives II: Optimal Control // IEEE Trans. Autom. Control. 1994. V. 39. No. 8.

P. 1575-1587.

10.

Scherer C., Gahinet P., Chilali M. Multiobjective Output-Feedback Control via LMI

Optimization // IEEE Trans. Autom. Control. 1997. V. 42. No. 7. P. 896-911.

11.

Chen X., Zhou K. Multiobjective H₂/H_∞ Control Design // SIAM J. Control Optim.

2001. V. 40. No. 2. P. 628-660.

12.

Oliveira M.C., Bernussou J., Geromel J.C. A New Discrete-time Robust Stability

Condition // System Control Lett. 1999. V. 37. P. 261-265.

13.

Ebihara Y., Hagiwara T. New Dilated LMI Characterisations for Continuous-

time Control Multi-objective Controller Synthesis // Automatica. 2004. V.

40.

P. 2003-2009.

14.

Hindi H.A., Hassibi B., Boyd S.P. Multi-objective H₂/H_∞-Optimal Control via

Finite Dimensional Q-Parametrization and Linear Matrix Inequalities // Proc. 1998

Amer. Control Conf., Philadelphia, USA. 1998. P. 3244-3249.

15.

Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.

16.

Khargonekar P.P., Nagpal K.M., Poolla K.R. H_∞ Control with Transients // SIAM

J. Control Optim. 1991. V. 29. No. 6. P. 1373-1393.

17.

Баландин Д.В., Коган М.М., Кривдина Л.Н., Федюков А.А. Синтез обобщенного

H_∞-оптимального управления в дискретном времени на конечном и бесконечном

интервалах // АиТ. 2014. № 1. С. 3-22.

Balandin D.V., Kogan M.M., Krivdina L.N., Fedyukov A.A. Design of generalized

discrete-time H_∞-optimal control over finite and infinite intervals // Autom. Remote

Control. 2019. V. 75. No. 1. P. 1-17.

18.

Баландин Д.В., Коган М.М. Обобщенное H_∞-оптимальное управление как ком-

промисс между H_∞-оптимальным и γ-оптимальным управлениями // АиТ. 2010.

№ 6. С. 20-38.

Balandin D.V., Kogan M.M. Generalized H_∞-optimal Control as a Trade-off between

the H_∞-optimal and γ-optimal Controls // Autom. Remote Control. 2010. V. 71.

No. 6. P. 993-1010.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.В. Хлебниковым.

Поступила в редакцию 27.08.2020

После доработки 15.02.2021

Принята к публикации 16.03.2021