Автоматика и телемеханика, № 9, 2021

(Ростовский-на-Дону научно-исследовательский институт радиосвязи)

УПРАВЛЕНИЕ ПОИСКОМ ОБЪЕКТОВ ИЗ

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО ПУАССОНОВСКОГО ПОТОКА

ПРИ НЕОДНОРОДНОЙ ОБЛАСТИ ОБЗОРА

ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрена задача поиска объектов наблюдения для случая, когда мо-

дель их появления удовлетворяет закономерностям пространственно-вре-

менного пуассоновского потока, а область обзора информационно-изме-

рительной системы является неоднородной. Дано вероятностное описа-

ние подобластей неоднородности, выявлены закономерности их учета при

формировании апостериорной плотности интенсивности случайного пото-

ка. Определена процедура синтеза закона управления поиском для неод-

нородной области обзора. Приведен пример.

Ключевые слова: поиск объектов, неоднородная область обзора, про-

странственно-временной пуассоновский поток.

DOI: 10.31857/S0005231021090051

1. Введение

Поиск объектов наблюдения относится к одному из классов задач управле-

ния измерительными процессами, решаемых информационно-измерительны-

ми системами (ИИС) [1-4]. Рациональное распределение поисковых усилий

актуально для повышения эффективности функционирования ИИС, связан-

ной с сокращением времени поиска, повышением достоверности обнаружения

объектов наблюдения, перераспределением энергетического потенциала ИИС

при реализации различных режимов их работы и т.д.

Одной из разновидностей задач поиска, характерных для систем контро-

ля воздушного и космического пространства, систем контроля транспортных

потоков и т.д., является задача поиска объектов наблюдения, возникающих

в области обзора (ОО) ИИС последовательно, как правило, в соответствии с

закономерностями случайного потока. В [5-8] рассмотрены подходы к синте-

зу управления поиском объектов для пространственно-временной пуассонов-

ской модели их появления при однородной ОО ИИС. Последнее условие часто

оказывается неправомерным, например, из-за необходимости одновременно-

го решения информационно-измерительной системой задачи сопровождения

уже обнаруженных объектов наблюдения (как правило нескольких), находя-

щихся в области обзора. В связи с этим дополнительных исследований требу-

ет вопрос формирования поисковых стратегий в случае, когда ОО ИИС яв-

ляется неоднородной, включающей подобласти неоднородности, характери-

133

стики которых необходимо учитывать при задании плотности интенсивности

пространственно-временного пуассоновского потока объектов наблюдения.

К таким подобластям можно отнести, в частности, подобласти, порождае-

мые апостериорными плотностями распределения векторов состояний объек-

тов наблюдения, уже находящихся в области обзора (сопровождаемых объ-

ектов), параметры траекторий которых измеряются ИИС.

Подходы к решению отдельных разновидностей аналогичных задач без

привязки к модели пространственно-временного пуассоновского потока по-

явления объектов наблюдения рассмотрены, в частности, в [1-3].

Представляется актуальным анализ особенностей управления поиском

объектов для пространственно-временной пуассоновской модели их появле-

ния при неоднородной структуре ОО ИИС.

2. Постановка задачи

Рассмотрим область обзора X ∈ Rⁿ (0 < n ≤ 3) с введенной в ней декар-

товой системой координат {x₁, . . . , x_n}, в которой объекты наблюдения по-

являются в соответствии с закономерностями пространственно-временного

пуассоновского потока ϕ [6-12].

Пусть для непересекающихся измеримых подмножеств X_r области X вы-⋃

полняются условия X = X_r, X_p

⋂X_j = ∅, p = j. Тогда любые два вре-

менных потока, определяемые как ϕ_pΣ(t) = ϕ(X_p, t), ϕ_jΣ(t) = ϕ(X_j , t), будут

независимыми и пуассоновскими, а интегральный временной пуассоновский

поток событий определяется из ϕ в соответствии с соотношением [9]

∑

(2.1)

ϕΣ(t) = ϕ(X, t) =

ϕ(X_r

,t).

Через ν(x, t) обозначим априорную (не учитывающую изменений, проис-

ходящих в ОО в процессе наблюдений) плотность интенсивности потока ϕ

[6-9]. Меры интенсивности или интенсивности временных потоков событий,

порождаемых ϕ, зададим через интеграл по мере Лебега от плотности интен-

сивности ν(x, t) пространственно-временного пуассоновского потока [9, 12]

∫

ξ_p(t) = ν(x,t)dx, ξ_j(t) = ν(x,t)dx,

X_j

(2.2)

∫

∑

ξ(t) = ν(x, t)dx =

ν(x, t)dx,

где ξ_p(t), ξ_j (t) - меры интенсивности независимых временных пуассоновских

потоков соответственно ϕpΣ (t), ϕjΣ (t); ξ(t) - мера интенсивности интеграль-

∏

ного временного потока ϕ_Σ(t); dx = dx_i, 0 < n ≤ 3.

i=1

134

Распределение вероятностей для суммарного потока ϕ_Σ(t) на интер-

вале времени

[0, t] в соответствии с

(2.2) составляет

[13, 14] p_s(t) =

]_s

{

}

[∫_t

∫

=¹

ξ(t)dt

exp -

ξ(t)dt , s = 0,1,2,

Мера интенсивности ξ(t) в (2.2)

определяет среднее количество M объектов наблюдения, появляющихся

∫t

в ОО ИИС на [0, t]: M =

ξ(t)dt.

Объекты наблюдения будем рассматривать как распределенные, занимаю-

щие подобласти пространства D_k(x, t) = D_k(t) ∈ Rⁿ, k = 1, K. Очевидно, что

⋂

(2.3)

D_k

(t) = ∅.

Будем полагать, что формы и угловые положения D_k(t), k = 1, K отно-

сительно их центров определены и неизменны, а положение самих центров

меняется в X случайным образом. Предположим, что обнаруживаемые в хо-

де поиска объекты наблюдения берутся ИИС на сопровождение. Наличие в

ОО ИИС сопровождаемых объектов приводит к необходимости корректиров-

ки модели плотности интенсивности случайного потока, используемой для

формирования закона управления поиском. Действительно, с учетом (2.3)

в области пространства, занимаемой сопровождаемым объектом, появление

очередного объекта наблюдения полагается невозможным. Пусть ИИС осу-

ществляет контроль X в течение времени

(2.4)

t ∈ ω, ω = [0,t].

Разобьем (2.4) на подынтервалы поиска

(2.5)

ω_q = [t_q,t_q+1

q = 0,(Q - 1),

где t_q, q = 1, (Q - 1) - моменты обнаружения в области обзора очередных

объектов наблюдения из потока; t₀ = 0; t_Q = t.

Будем полагать, что априорная плотность интенсивности ν(x, t) простран-

ственно-временного пуассоновского потока ϕ и априорная интенсивность ξ(t)

временного потока ϕ_Σ(t), определяемого в соответствии с (2.1), имеют место

при t ∈ ω₀, а неоднородности ОО ИИС порождаются наличием в ней обна-

руженных при t ≥ t₁ объектов наблюдения, взятых ИИС на сопровождение.

Рассмотрим подынтервал ω_q, q > 0. Внутри области обзора может находить-

ся K = K_q сопровождаемых объектов, где K_q ≤ q. Знак неравенства связан

с возможностью выхода некоторых сопровождаемых объектов на [t₀, t_q+1) за

пределы области обзора X и завершением относительно них процесса сопро-

вождения.

Для каждой из подобластей D_k(t), k = 1, K_q (2.3) при t ≥ t_k, k = 1, K_q

поставим в соответствие случайный процесс η_k(t) ∈ X, η_k(t_k) = η_k0, с плот-

ностью распределения w_k(x, t), описывающий координаты центра D_k(t),

k = 1,K_q. Здесь η_k0 ∈ Rⁿ - случайный вектор с плотностью распределения

w_k(x,t_k). С учетом этого будем полагать, что D_k(t) = D_k(x + η_k(t)), t ≥ t_k,

135

k = 1,K_q, D_k(t_k) = D_k(x + η_k0), D_k = D_k(x). Последнее обозначение соответ-

ствует случаю, когда центр объекта наблюдения находится в начале коорди-

нат.

Плотности вероятности w_k(x, t), k = 1, K_q полагаются апостериорными и

могут быть получены в ИИС по результатам динамической фильтрации век-

торов состояния сопровождаемых объектов.

Определение. Под апостериорной плотностью интенсивности ν_q(x,t)

пространственно-временного пуассоновского потока, соответствующей

подынтервалу ω_q, будем понимать плотность интенсивности, учитываю-

щую апостериорные вероятностные характеристики координат местопо-

ложения сопровождаемых объектов, находящихся в ОО ИИС.

Рассмотрим закон управления поиском (стратегию поиска [1]) λ(x, t), для

которого

{

> 0, x ∈ X,

(2.6)

λ(x, t)

= 0, x ∈ X.

Функция λ(x, t)Δt + o(Δt) определяет вероятность наступления события,

связанного с тем, что за интервал времени (t, t + Δt) очередной объект на-

блюдения будет найден при условии, что он находится в точке x ∈ X и до

сих пор не обнаружен [1, 6-8]. Здесь o(Δt) - остаток порядка малости выше,

чем Δt.

Определим на X × ω_q, q = 0, (Q - 1) плотность ненормированной вероят-

ностной меры y(x, t) как функцию, непрерывно дифференцируемую по сово-

купности своих аргументов и определяющую вероятность наличия в X необ-

наруженного объекта [1, 6, 8],

∫

(2.7)

y(x, t)dx = p_1X

(t),

где p_1X (t) - вероятность нахождения в области обзора очередного необнару-

женного объекта наблюдения.

С учетом (2.6), (2.7) рассмотрим критерий качества оптимизации поиска

[6, 8]





∫

(2.8)

Ψ=

αy(x,t)+1β λ2(x,t)dt dx → min

λ(x,t), t∈ωq

где α, β > 0 - весовые коэффициенты; t - τ ≪ 1; t ≤ t_q+1; t - τ ≥ t_q.

Целевая функция критерия (2.8) включает две составляющие. Первая из

них связана с вероятностью нахождения в X необнаруженного объекта на-

блюдения, вторая - с энергетическими характеристиками закона поиска.

Поставим задачу для неоднородной области обзора, подобласти неодно-

родности которой порождаются апостериорными плотностями вероятностей

сопровождаемых объектов w_k(x, t), t ≥ t_k, k = 1, K_q, при условии (2.3) опре-

делить закон управления поиском (2.6), удовлетворяющий (2.8).

136

3. Закономерности учета структуры и характеристик подобластей

неоднородности при формировании апостериорной плотности

интенсивности потока объектов наблюдения

Рассмотрим последовательность формирования математической модели

вероятностных характеристик подобластей неоднородности области обзо-

ра X.

Если некоторая точка декартовой системы координат {x₁, . . . , x_n} принад-

лежит подобласти D_k(t), k = 1, K_q с центром в η_k(t), то ей для каждого мо-

мента времени t ≥ t_k может быть поставлена в соответствие случайная вели-

чина

(3.1)

ς_k(t) = η_k(t) + γ_k

(0),

где γ^Tk (0) = γ^Tk = [γ_k1 . . . γ_kn] - координаты точки {x_k1, . . . , x_kn}, в случае, ес-

ли центр объекта перенесен в начало координат, т.е. γ_k ∈ D_k; ς_k(t) ∈ D_k(t),

t≥t_k.

С учетом (3.1) плотность распределения точек k-го сопровождаемого объ-

екта может быть представлена как

(3.2)

w_k(x - γ_k,t), t ≥ t_k, k = 1,K_q.

Вероятностные характеристики (3.2) подобластей неоднородности обла-

сти обзора лежат в основе формирования для t ∈ ω_q апостериорной плот-

ности интенсивности ν_q(x, t) пространственно-временного пуассоновского по-

тока. Определение ν_q(x, t) основано на предположении о том, что очередной

объект наблюдения не может появиться в областях пространства, занятых

сопровождаемыми объектами.

Будем полагать, что ν(x, t) и ν_q(x, t) являются функциями интегрируемы-

ми и непрерывными по совокупности своих аргументов.

Теорема. Для t ∈ ω_q при наличии в области обзора X K_q ≤ q сопровож-⋂

даемых объектов, занимающих подобласти D_k(t), k = 1, K_q, D_k(t) = ∅

с центрами в точках η_k(t), характеризуемых плотностями вероятно-

сти w_k(x,t), апостериорная плотность интенсивности пространственно-

временного пуассоновского потока объектов наблюдения определяется соот-

ношением

(3.3)

νq

(x, t) = ν(x, t) ×









∫

∑

∏





×1 -



w_k(x - γ_k,t)dγ_k

1-

w_m(x - γ_m,t)dγ_m, x ∈ X,

k=1

m=k

D_k

∏

где γ_k рассматривается как векторная переменная; dγ_k = dγ_ki, 0 < n ≤ 3.

i=1

137

Доказательство теоремы приведено в Приложении.

В соответствии с (3.3) определим подобласть неоднородности как под-

область, внутри которой относительное рассогласование между априор-

ной ν(x, t) и апостериорной ν_q(x, t) плотностями интенсивности превышает

[

∑

∫

некоторое заданное значениеν(x,t)-νq (x,t)ν(x,t) ≥ µ, или µ ≤

w_k(x - γ_k,t)×

k=1

D_k

(

)]

∏

∫

×dγ_k

1 - w_m(x - γ_m,t)dγ_m

m=k

4. Пример определения апостериорной плотности интенсивности

Для t ∈ ω₁, K_q = 1 результат (3.3), в частности, приобретает вид





∫

(4.1)

ν₁(x,t) = ν(x,t)1 - w₁(x - γ₁,t)dγ₁.

D₁

Характеристики вариации апостериорной интенсивности и, как следствие,

характеристики подобласти неоднородности зависят от двух факторов - па-

раметров плотности распределения координат местоположения центра сопро-

вождаемого объекта и характеристик подобласти D₁.

Покажем, что в зависимости от характеристик апостериорной плотности

распределения размеры подобласти неоднородности (подобласти, внутри ко-

торой апостериорная плотность интенсивности отличается от априорной) мо-

гут существенно превышать физические размеры сопровождаемого объекта.

[

]

Пусть, X ∈ R¹, D₁ =

-^Δ2,^Δ2

, w₁(x) = N{0,δ²¹}, где N{0,δ²¹} - нормальная

плотность распределения с нулевым математи(еским ожиданием и д)спер-

∫

сией δ²¹, и ν(x, t) = ν = const. Тогда ν₁(x) = ν

w₁(x - γ₁)dγ₁ или

-^Δ

(

[

]

[

])

-x

ν₁(x) = ν

1-Φ

+Φ^-

, где Φ[•] - интеграл вероятности.

δ₁

Графики зависимостей ν₁(x) при различных значениях δ²¹ для ν = 1, Δ = 1

представлены на рис. 1. Кривые 1, 2, 3 соответствуют δ²¹ = 0,1, 1, 10 (здесь

и далее - в безразмерных единицах).

Рассчитать значения нижней x_н и верхней x_в границ подобла-

сти н

[

]

[

]

µ=Φ^x+

-Φ^x-

, где µ - заданное относительное отклонение апосте-

δ₁

риорной плотности интенсивности от априорной (обычно µ ≪ 1). При малых

значениях µ x_н < -^Δ2 , x_в >^Δ2 . Кроме того, из приведенного соотношения

следует, что lim

x_н = -^Δ2, lim

x_в =^Δ2.

δ₁→0

График зависимости χ =ΔµΔ^{,определяемойкакотношениешириныΔ}µ⁼

= x_в - x_н подобласти неоднородности по уровню пятипроцентного отклоне-

138

~₁

1,0

0,95

0,5

-5

-4

-3

-2

-1

Рис. 1.

0,01

0,1

d₁

Рис. 2.

ния ν₁ от ν (µ = 0,05) к размеру сопровождаемого объекта Δ, от δ²¹ представ-

лен на рис. 2. Из рисунка следует, что размеры подобласти неоднородности

могут во много раз превосходить физические размеры сопровождаемого объ-

екта.

Конкретизируем интеграл в (4.1). Для R³, например, получим

∫

(4.2)

w₁(x - γ₁,t)dγ₁ =

D₁





Δв1

∫



w₁(x₁ -γ₁₁,x₂ -γ₁₂,x₃ -γ₁₃,t)dγ₁₃

dγ₁₂

dγ₁₁,





Δ_н1

φ_н1(γ₁₁)

ψ_н1(γ₁₁,γ₁₂)

где {γ₁₁, γ₁₂, γ₁₃} - оси системы декартовых координат с центром в точке η₁;

Δ_н1,Δ_в1 - соответственно нижняя и верхняя границы проекции подобла-

сти D₁ на ось γ₁₁; γ₁₂ = φ_н1(γ₁₁), γ₁₂ = φ_в1(γ₁₁) - уравнения нижней и верхней

частей кривой, ограничивающей площадь проекции подобласти D₁ на плос-

кость {γ₁₁, γ₁₂} при γ₁₁ ∈ [Δ_н1, Δ_в1]; γ₁₃ = ψ_н1(γ₁₁, γ₁₂), γ₁₃ = ψ_в1(γ₁₁, γ₁₂) -

уравнения нижней и верхней частей поверхности, ограничивающих подоб-

ласть D₁.

139

Необходимо отметить, что

∫ ∫

(4.3)

w₁(x - γ₁,t)dγ₁dx = |D₁

X D₁

где |D₁| - мера Лебега множества D₁.

[

]

В частности, для X ∈ R¹, D₁ =

-^Δ2,^Δ





∫

∞

∫





 w1(x - γ1)dγ1 dx = Δ.

−∞

-Δ/2

Иными словами, определенный интеграл в (4.3) инвариантен к параметрам

апостериорной плотности распределения и полностью определяется размера-

ми подобласти D₁.

В дальнейшем будем полагать, что для всех сопровождаемых объектов

размеры и форма занимаемых ими подобластей известны.

5. Синтез закона управления поиском для

неоднородной области обзора

Решение задачи будем искать в условиях следующих ограничений [6]:

ξ(t) < Cλ(x, t),

ξ_q(t) < Cλ(x,t),

(5.1)

C = 10^-2, ∀x,x ∈ X, ∀t, t ∈ ω_q, q = 1,Q - 1,

где

∫

(5.2)

ξ_q(t) =

νq

(x, t)dx

- апостериорная мера интенсивности потока объектов наблюдения в неодно-

родной области обзора.

Указанные ограничения, как показано в [6], позволяют приближенно све-

сти модель эволюции во времени вероятностных характеристик, описываю-

щих процесс поиска и обнаружения объектов наблюдения, к модели дискрет-

ного марковского процесса с двумя состояниями [6, 8]. Условие (5.1) связано с

высоким энергетическим потенциалом ИИС и существенным преобладанием

интенсивности поисковых усилий такой системы над интенсивностью потока

объектов наблюдения в области обзора. Указанное условие характерно для

большого класса систем контроля воздушного и космического пространства,

систем контроля морской поверхности, систем контроля транспортных пото-

ков и т.д.

Рассмотрим вначале интервал времени ω_q, для которого предполагается

присутствие в ОО ИИС K_q сопровождаемых объектов. Уравнение относи-

тельно y(x, t) для этого случая предполагает использование апостериорной

140

плотности интенсивности ν_q(x, t) пространственно-временного пуассоновско-

го потока. В соответствии с [6] такое уравнение имеет вид

∂y(x,t)

(5.3)

= -y(x,t)(λ(x,t)

ξ_q(t)) + ν_q(x,t), y(x,t_q) = y_q0, t ∈ ω_q,

∂t

где ν_q(x, t) определяется из (3.3).

Для критерия качества (2.8) оптимальное управление поиском задается

соотношением [6, 8]

(5.4)

λ_опт(x,t) =

y(x, t).

С учетом (5.4) уравнение (5.3) для эволюции на {ω_q,X} оптимальной плот-

ности ненормированной вероятностной меры приобретает вид

∂y_опт(x,t)

(5.5)

y^2опт(x,t) - y_опт(x,t

ξ_q(t) + ν_q

(x, t),

∂t

y(x, t_q) = y_q0, t ∈ ω_q.

Решение (5.5) полностью определяет на {ω_q, X} закон управления парал-

лельным поиском [6, 8]

(5.6)

λ_опт(x,t) =

y_опт

(x, t).

Таким образом, последовательность формирования λ_опт(t) для неоднород-

ной ОО предполагает:

1) определение по результатам динамической фильтрации апостериорных

плотностей распределения w_k(x, t), t ≥ t_k, k = 1, K_q объектов наблюдения,

обнаруженных на интервале времени [0, t_q-1] и взятых ИИС на сопровожде-

ние;

2) формирование в соответствии с (3.3) апостериорной плотности интен-

сивности ν_q(x, t) пространственно-временного потока объектов наблюдения;

3) определение из (5.2) апостериорной интенсивност

ξ_q(t) потока объектов

наблюдения в неоднородной ОО;

4) решение уравнения (5.5) и формирование на ω_q плотности ненормиро-

ванной вероятностной меры y_опт(x, t);

5) определение в соответствии с (5.6) оптимального плана поиска λ_опт(t).

По своему содержанию рассмотренная процедура может быть интерпре-

тирована как процедура совместного поиска объектов наблюдения и филь-

трации параметров траекторий сопровождаемых объектов.

6. Анализ влияния характеристик неоднородной области обзора на

качественные показатели поиска

Анализ влияния характеристик неоднородной ОО на качественные показа-

тели поиска проведем для случая, когда X ∈ R¹, X = [x, x], где x - нижняя,

141

0,86

0,84

0,82

0,80

0,78

K_q

Рис. 3.

x - верхняя границы области обзора, ν_q(x,t)=ν_q(x)

ξ_q(t)

ξ_q. Предполо-

жим, что до обнаружения очередного объекта наблюдения на ω_q плотность

ненормированной вероятностной меры y_опт(x, t) успевает достичь установив-

шегося значения y_опт(x), описываемого с учетом условия∂yопт(x)∂t = 0 алгеб-

раическим уравнением

(6.1)

y^2опт(x) - y_опт(x

ξ_q + ν_q

(x) = 0.

Анализ влияния характеристик неоднородной ОО на качественные пока-

затели поиска осуществлялся на основании решений (6.1).

Полагалось, что q = 40, K_q = 1 ÷ 40 ≤ q (т.е. на ω_q рассматривалось ко-

личество сопровождаемых объектов от одного до сорока), апостериорные

плотности вероятности для центров сопровождаемых объектов полагались

{

}

гауссовскими w_k(x, t) = w_k(x) = N

m_k,δ^2k

, t ≥ t_k, k = 1,K_q. Решение зада-

чи проводилось при следующих значениях параметров: x = 10 000, x = 20 000,

m_k = x + k · 200, Δ = 30, 60, 90. Априорная плотность интенсивности потока

объектов наблюдения полагалась равной ν = 1,2 · 10^-6.

Для каждого значения K_q в соответствии с (3.3) определялась апостериор-

ная плотность интенсивности пространственно-временного потока объектов

наблюдения, т.е. ν_q(x) = νKq (x), и соответствующая ей мера интенсивности

поток

ξ_q

ξKq . По результатам решения (6.1) формировалась вероятность

нахождения в области обзора очередного необнаруженного объекта наблюде-

ния

∫

(6.2)

y_опт(x)dx = p_1X.

Графики зависимостей p_1X от K_q для различных размеров объектов на-

блюдения представлены на рис. 3. Кривая 1 получена для Δ = 30, кривая 2 -

142

для Δ = 60, кривая 3 - для Δ = 90. Отметим, что качественные характеристи-

ки поиска для случая неучета неоднородности области обзора определялись

для K_q = 0 и соответствовали априорной плотности интенсивности потока

объектов наблюдения ν = 1,2 · 10^-6.

Необходимо отметить, что в соответствии с (4.3) представленные на рис. 3

зависимости инвариантны к значениям δ^2k.

Учет при поиске объектов наблюдения характеристик подобластей неод-

нородности, порождаемых вероятностными характеристиками координат ме-

стоположения сопровождаемых объектов, влечет за собой снижение вероят-

ности p_1X нахождения в области обзора необнаруженного очередного объекта

наблюдения. Уменьшение p_1X тем существеннее, чем больше размеры сопро-

вождаемых объектов и чем больше их находится в X. Это в первую очередь

связано с рациональным перераспределением поисковых усилий ИИС за счет

снижения их интенсивности в подобластях неоднородности и, напротив, уве-

личения интенсивности в подобластях, не занятых сопровождаемыми объек-

тами.

Наибольший относительный выигрыш по сравнению с поиском, осуществ-

ляемым по закону, сформированному с использованием априорной плотно-

сти интенсивности (без учета характеристик подобластей неоднородности),

(

)∕

в условиях примера составил ε =

ppr1X - p^ps1X

p^pr1X = 0,104, где p^pr1X - веро-

ятность нахождения в ОО очередного необнаруженного объекта наблюде-

ния, полученная для априорной плотности интенсивности потока объектов

наблюдения; p^ps1X - аналогичная вероятность, соответствующая апостериор-

ной плотности интенсивности потока. Наибольший относительный выигрыш

имеет место при K_q = 40, Δ = 90.

7. Заключение

Рассмотренные особенности решения задачи поиска объектов наблюде-

ния основаны на учете свойств неоднородной структуры ОО ИИС. Такая

область включает подобласти неоднородности, порождаемые апостериорны-

ми плотностями распределения, формируемыми по результатам решения

задачи фильтрации параметров траекторий, уже обнаруженных и взятых

информационно-измерительной системой на сопровождение объектов наблю-

дения. Показано, что размеры подобластей неоднородности могут во много

раз превосходить физические размеры сопровождаемых объектов.

Выявленные закономерности влияния апостериорных вероятностных ха-

рактеристик координат местоположения сопровождаемых объектов на плот-

ность интенсивности потока объектов наблюдения позволяют определять эво-

люцию во времени вероятностных характеристик поиска и формировать на

их основе закон управления наблюдениями.

Синтез стратегии поиска проводился в условиях ограничений (5.1). Они

дают возможность приближенно интерпретировать процедуру поиска в тер-

минах дискретного марковского процесса с двумя состояниями [6, 8].

143

Проведенный анализ влияния характеристик неоднородной области обзо-

ра на качество поиска показал, что увеличение в ней количества обнаружен-

ных и взятых на сопровождение объектов наблюдения и учет апостериорных

вероятностных характеристик их местоположения (вероятностных характе-

ристик подобластей неоднородностей) влечет за собой снижение вероятно-

сти нахождения в ОО очередного необнаруженного объекта наблюдения. Это

обусловлено рациональным перераспределением поисковых усилий ИИС, на-

правленным на их уменьшение в подобластях неоднородности и увеличение в

подобластях, не связанных с сопровождаемыми объектами. В условиях при-

мера максимальный относительный выигрыш составил более десяти процен-

тов.

Рассмотренный подход предполагает использование апостериорных плот-

ностей распределения векторов состояний сопровождаемых объектов, фор-

мируемых на основании решения задачи динамической фильтрации. В силу

этого его можно рассматривать как базу для решения комплексной задачи

совместного поиска и сопровождения объектов наблюдения.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы. Рассмотрим подобласть области обзора

(Π.1)

X_Э

(x) ∈ X,

где X_Э(x) - малая окрестность точки x с мерой Лебега |X_Э|≪ 1, и определим

для нее две гипотезы

⋃

H₀ : X_Э(x) ∈ D_k(t), H₁ : X_Э(x) ∈ D_k(t),

(Π.2)

t ∈ [t,t + Δt], Δt ≪ 1,

для которых P {H₀} = P₀, P {H₁} = P₁, P₀ + P₁ = 1.

Обозначим через A событие, связанное с появлением в X_Э(x) последую-

щих объектов наблюдения из потока на интервале времени [t, t + Δt]. Ему

соответствуют две условные вероятности P (A/H₀), P (A/H₁). Тогда [13]

(Π.3)

P (A) = P (A/H₀)P₀ + P (A/H₁)P₁.

В рамках допущения о невозможности появления очередного объекта на-

блюдения в областях пространства, занимаемых сопровождаемыми объекта-

ми, полагается, что P (A/H₁) = 0, тогда

(Π.4)

P (A) = P (A/H₀)(1 - P₁

Определим значения P (A), P (A/H₀):

{

}

P (A) = P ϕ_qЭ(x, t + Δt) - ϕ_qЭ(x, t) = 1, 2, 3, . . .





(Π.5)

∫



= 1 - exp

ξ_qЭ(x,t)dt





144

{

}

P (A/H₀) = P

ϕЭ(x, t + Δt) - ϕЭ(x, t) = 1, 2, 3, . . .





(Π.6)

∫



= 1 - exp

- ξ_Э(x,t)dt





где ϕ_qЭ(x, t) = ϕ_q(X_Э(x), t); ϕ_Э(x, t) = ϕ(X_Э(x), t)

ξ_qЭ(x,t), ξ_Э(x,t) - апосте-

риорная и априорная меры интенсивности случайного потока в X_Э(x) соот-

ветственно для P {H₁} = P₁ и P {H₀} = 1.

С учетом малости |X_Э| получим

∫

ξ_Э(x,t) =

ν(x, t)dx = ν(x, t) |X_Э| + o(|X_Э|),

X_Э(x)

(Π.7)

∫

ξ_qЭ(x,t) =

νq(x, t)dx = νq(x, t) |XЭ| + o(|XЭ|),

X_Э(x)

где o(|X_Э|) - остаток порядка малости выше, чем |X_Э|.

С учетом (П.5), (П.6) соотношение (П.4) приобретает вид









∫







(Π.8)

1-exp

ξqЭ(x,t)dt =1-exp-

ξ_Э(x,t)dt

(1 - P₁





Разложим левую и правую части (П.8) в ряд в окрестности t. С учетом

условия Δt ≪ 1 получим

(Π.9)

ξ_qЭ(x,t)Δt + o(Δt) = (ξ_Э(x,t)Δt + o(Δt))(1 - P₁

Разделим левую и правую части (П.9) на Δt и перейдем к пределу при

Δt → 0. Учитывая, что lim^o(Δt)

= 0, из (П.9) следует, что

Δt

Δt→0

(Π.10)

ξ_qЭ(x,t) = ξ_Э(x,t)(1 - P₁

Подставляя в (П.10) значения из (П.7), получим

(Π.11)

νq(x, t) |XЭ| + o(|XЭ|) = (ν(x, t) |XЭ| + o(|XЭ|))(1 - P1).

Разделив левую и правую части (П.10) на |X_Э|, переходя к пределу при

|X_Э| → 0 и учитывая, что limo(|XЭ|)

= 0, придем к соотношению, связы-

|X_Э|

|X_Э|→0

вающему априорную и апостериорную плотности интенсивности простран-

ственно-временного пуассоновского потока,

(Π.12)

νq(x, t) = ν(x, t)(1 - P1).

145

Необходимо отметить, что соотношение (П.10) по своей структуре анало-

гично соотношению, определяющему интенсивность пуассоновского потока,

получаемого при случайном разряжении [14].

Определим значение P₁. Для этого для составляющих векторной пере-

менной γ_k, соответственно {γ_k1 . . . γ_kn}

0 < n ≤ 3, введем дискретизацию

{

}

{

= -l_knΔγ_k, ...

}

= L_kΔγ_k с ша-

гом Δγ_k, где

[l_k1 . . . l_kn] = lTk - вектор индексов, lk1 = -Lk, Lk, . . . , lkn =

= -L_k,L_k.

Значения L_k и Δγ_k для всех n полагаются одинаковыми. Мера Лебега

n-мерного куба Δ_γk со сторонами Δγ_k, определяемая как |Δ_γk| = (Δγ_k)ⁿ, су-

щественно меньше единицы |Δ_γk| ≪ 1.

Значения L_k и Δγ_k выбираются таким образом, чтобы область D_k, соот-

ветствующая положению объекта наблюдения в начале координат, полностью

попадала в n-мерный куб со сторонами [-L_kΔγ_k, L_kΔγ_k].

Поставим в соответствие k-му сопровождаемому объекту в момент вре-

мени t ∈ ω_q случайные величины, порождаемые векторами индексов l^T

D_k

= [l1Dk . . . lnDk ], такими что lDk Δγ_k ∈ D_k

(Π.13)

ςlkk^(t)=ηk^(t)+lDk^Δγk^.





l1Dk Δγ_k





Условие lDk Δγ_k =



 ∈ Dk определяет точки, принадлежащие

lnDk Δγ_k

области D_k, когда центр объекта наблюдения находится в начале коорди-

нат. Очевидно, что M(lDk ) ∈ M(l_k), где M(l_k) - множество точек, соответст-

вующих векторам индексов l_k, M(lDk ) - множество точек, соответствующих

векторам индексов lDk .

Плотности распределения случайных величин (П.13) представим в виде

{

wk(x - lkΔγk, t), lk ∈ M(lDk ),

wlkk^(x-lk^Δγk^,t)=

lk ∈ M(lDk ).

Вероятность попадания ςlkk^{(t)вмоментвремениtвX}Э^{(x)принекоторомl}k

определяется соотношением

{

}

(

)

(Π.14)

=P^Δ

x - l_kΔγ_k,t

|X_Э| + o(|X_Э

|).

P ςlkk^(t)∈XЭ^(x)

1kl_k

(x, t) = wlkk

Положим, что

(Π.15)

|Δ_γk| = |X_Э

146

События, связанные с попаданием случайных величин из совокупности

(П.13), соответствующей k-му сопровождаемому объекту, в X_Э(x), являют-

ся несовместными. Действительно, два различных элемента одного и того же

сопровождаемого объекта из дискретной совокупности элементов, определяе-

мых в соответствии с (П.13), в силу (П.15) не могут одновременно находиться

в одной элементарной области пространства X_Э(x). Для несовместных собы-

тий имеет место соотношение

∑

(Π.16)

P^Δ1k(x,t) =

|),

0<n≤3.

wlkk^(x-lk^Δγk^,t)|XЭ^|+o(|XЭ

l_k1=-L_k l_kn=-L_k

Учитывая (П.15) и переходя в (П.16) к пределу, получим вероятность на-

хождения в точке x какого-либо из элементов k-го сопровождаемого объекта

P_1k(x,t) = lim

P^Δ1k(x,t) =

|Δγ|→0

L_k→∞

∑

(

)

= lim

x - l_kΔγ_k,t

|Δ_γk| + o(|Δ_γk|) =

(Π.17)

wlkk

|Δγk |→0

l_k1=-L_k

l_kn=-L_k

L_k→∞

∫

= w_k(x - γ_k,t)dγ_k.

D_k

Если в точку x попал какой-либо элемент k-го сопровождаемого объек-

та, то ей не может принадлежать никакой элемент других сопровождаемых

объектов.

Вероятность события, связанного с тем, что никакой элемент m-го сопро-

вождаемого объекта (m = 1, K_q, m = k) не принадлежит x, может быть опре-

делена в соответствии с (П.17)

∫

(Π.18)

1 - P_1m(x,t) = 1 - w_m(x - γ_m,t)dγ_m.

Рассмотрим событие B, состоящее в попадании в момент времени t в эле-

ментарную область пространства X_Э(x) одной из случайных величин из сово-

купностей {ςlkk^(t),lk^∈M(lDk^),k=1,Kq^{},соответствующихвсемсопровож-}

даемым объектам. Это событие может осуществляться несколькими способа-

ми, т.е. распадается на несколько несовместных вариантов:

- в момент времени t в X_Э(x) попадает одна из случайных величин пер-

вой группы {ςl11 (t), l1 ∈ M(lD1 )} (событие B1), а случайные величины осталь-

ных групп {ςlmm (t), lm ∈ M(lDm ), m = 2, Kq} в XЭ(x) не попадают (события

B₂,B₃,... ,BKq );

147

- в момент времени t в X_Э(x) попадает одна из случайных величин вто-

рой группы {ςl22 (t), l2 ∈ M(lD2 )} (событие B2), а случайные величины осталь-

ных групп {ςlmm(t), lm ∈ M(lDm ), m = 1, 3, . . . , Kq} в XЭ не попадают (собы-

тия B₁, B₃, . . . , BKq ); и т.д.

Следовательно,

B = B₁B₂B3 ...BKq + B₂B₁B3 ...BKq + ... + BKqB₁B2 ... BKq-1.

(Π.19)

Применяя теоремы сложения и умножения вероятностей и используя свой-

ство противоположных событий, получим

P₁ = P(B) = P(B₁)P(B₂)... P(BKq ) +

(Π.20)

+ P(B₂)P(B₁)P(B₃)...P(BKq) + ... + P(BKq)P(B₁)...P(BKq-1).

С учетом (П.17), (П.18) для (П.20) получим







∫

∑ ∫

∏



P₁(x,t) =



w_k(x - γ_k,t)dγ_k

1-

w_m(x - γ_m,t)dγ_m ,

(Π.21)

k=1

m=k

D_k

x∈X.

Из (П.12), (П.21) следует утверждение теоремы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хеллман О. Введение в теорию оптимального поиска. М.: Наука, 1985.

2. Альведе Р., Вегснер И. Задачи поиска. М.: Мир, 1985.

3. Абчук В.А., Суздаль В.Г. Поиск объектов. М.: Сов. радио, 1977.

4. Аркин В.И. Задача оптимального распределения поисковых усилий // Теория

вероятностей и ее применения. 1964. Т. 9. № 1. С. 179-180.

5. Болдырихин Н.В., Хуторцев В.В. Управление наблюдениями за потоками слу-

чайных процессов // АиТ. 2006. № 12. С. 43-55.

Boldyrikhin N.V., Khutortsev V.V. Control of observations over random processes

fluxes // Autom. Remote Control. 2006. V. 67. No. 12. P. 1900-1912.

6. Баранов И.В., Хуторцев В.В. Текущая оптимизация поиска объектов для мо-

дели распределенного пуассоновского потока их появления // Изв. РАН. ТиСУ.

2011. № 6. С. 24-34.

7. Хуторцев В.В., Баранов И.В. Оптимальное управление наблюдениями в задаче

дискретного поиска для пуассоновской модели потока объектов наблюдения //

Радиотехника. 2010. № 3. С. 20-24.

8. Хуторцев В.В. Оптимизация последовательно-параллельного поиска объектов

для модели распределенного пуассоновского потока их появления // Изв. РАН.

ТиСУ. 2019. № 1. С. 31-41.

9. Кингман Дж. Пуассоновские процессы. М.: МЦНМО, 2007, 136 с.

10. Last G. Stochastic analysis for Poisson processes // Peccati G. and Reitzner M. (eds.)

Stochastic Analysis for Poisson Point Processes. Springer, Milan. 2016. P. 1-36.

148

11. Daley D.J., Vere-Jones D. An introduction to the theory of point processes. New

York: Springer, 2013. 702 p.

12. Хуторцев В.В. Плотность интенсивности пространственно-временного пуассо-

новского потока с нулевой вероятностью наступления событий на стохастиче-

ских подмножествах его пространственной области определения // Математика

и математическое моделирование. 2020. № 3. С. 15-28.

13. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1964.

14. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Е.Я. Рубиновичем.

Поступила в редакцию 20.11.2020

После доработки 15.04.2021

Принята к публикации 29.04.2021

149