Автоматика и телемеханика, № 3, 2022

Стохастические системы

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКОГО РЕГУЛЯТОРА

ПО ВЫХОДНОМУ СИГНАЛУ

ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО ТИПА

Важнейшей нерешенной задачей теории управления является задача

оптимизации мультипликативной стохастической системы в классе регу-

ляторов по выходному сигналу, наблюдаемому в шумах. Регулятор в це-

пи обратной связи должен быть допустимым, т.е. обеспечивать устойчи-

вость замкнутой системы и гарантировать требуемый уровень подавления

внешних возмущений, действующих на регулируемый объект. В статье в

рамках стохастической теории H²/H_∞-управления при наличии помех

решается задача анализа, т.е. нахождения условий существования допу-

стимых регуляторов. Полученные результаты могут использоваться да-

лее в задаче синтеза при условной оптимизации мультипликативной сто-

хастической системы в классе допустимых регуляторов динамического

типа.

Ключевые слова: H²/H_∞-теория управления, диффузионное уравнение

Ито, индуцированная норма оператора, мультипликативная стохастиче-

ская система, регулируемый выходной сигнал, динамический регулятор

по выходному сигналу.

DOI: 10.31857/S0005231022030059

1. Введение

Областью исследования в статье являются сложные стохастические систе-

мы, определенные векторными стохастическими дифференциальными урав-

нениями, при априорных ограничениях на класс регуляторов в цепи обратной

связи от наблюдаемого выходного сигнала на вход регулируемого объекта.

Цель статьи получение условий разрешимости задачи о динамическом ре-

гуляторе в условиях действия внешних возмущений и шумов приборов, реги-

стрирующих выходной сигнал объекта. Объект вырабатывает регулируемый

выходной сигнал, и вредное влияние на этот сигнал внешнего возмущения тем

сильнее, чем больше норма оператора передачи возмущения на регулируемый

выход. Любая задача синтеза регулятора для заданного объекта состоит не

только в том, чтобы минимизировать, например, энергетические затраты на

регулирование, но прежде всего в том, чтобы выбором регулятора обеспечить

устойчивость замкнутой им системы и ограничить эффект вредного влияния

внешнего возмущения на полезный регулируемый сигнал, поддерживая этот

эффект в априори заданных пределах. Этим обстоятельством обусловлена

важность задачи анализа условий, при которых такой, называемый допусти-

мым, регулятор существует. Задача анализа, вообще актуальная для теории

и практики управления и достаточно трудная сама по себе, особенно важна

в стохастическом разделе H²/H_∞-теории, где она осложняется стохастиче-

ской природой внешних возмущающих воздействий и шумов измерительных

датчиков.

В рамках теории H²/H_∞-управления задача оптимизации естественно

принимает характер теоретико-игрового взаимодействия природы и кон-

структора регулятора. Плодотворной взаимосвязи теории управления и

теории игр должное внимание уделяется и в оптимизационных задачах

H²/H_∞-управления. В теоретико-игровой постановке внешнее возмущение

оказывается активным игроком, максимизирующим выбранный функционал

потерь.

Классические теории управления LQR и LQG, для детерминизованных

и гауссовских систем соответственно, можно называть теориями безуслов-

ной оптимизации. Современная H²/H_∞-теория является теорией условной

оптимизации, осуществляемой на классе допустимых регуляторов, гаранти-

рующих ограниченность заданным числом γ индуцированной нормы опера-

тора L_zυ передачи случайной функции υ(·) ∈ L²([0, T ); L²(Ω, R^l)) внешнего

возмущения υ на случайную функцию z(·) ∈ L²([0, T ); L²(Ω, R^m)) регулируе-

мого выхода z замкнутой системы. Здесь [0, T )

интервал значений па-

раметра t > 0 на конечном (T < ∞) или бесконечном (T = ∞) горизонте;

L²([0,T);D) пространство квадратично интегрируемых функций перемен-

ной t со значениями в пространстве D; L²(Ω, R^m) пространство m-значных

случайных величин на вероятностном пространстве (Ω, F, P) с σ-алгеброй F

и вероятностной мерой P. Индуцированная норма оператора L_zυ (в данном

случае на горизонте R₊ := [0, ∞)) определяется по формуле

∥z(·)∥_L2(R+;L2(Ω,Rm))

∥L_zυ∥_∞ =

sup

υ∈L²(R₊;L²(Ω,R^l)),υ=0

∥υ(·)∥_L2(R+;L2(Ω,Rl))

Норма же на пространстве L² := L²([0, T ); L²(Ω, R^k)) случайных процессов

∫_T

y(·) = (y(t))_t∈[0,T) определяется интегралом

E(∥y(t)∥²)dt < ∞, где E опе-

ратор вычисления математического ожидания. Не существует аналитическо-

го способа вычисления индуцированной нормы в общем случае, но возможно

компьютерное вычисление ее с заданной точностью.

Стохастическая H²/H_∞-теория имеет дело со стохастическими объектами,

описываемыми стохастическими уравнениями Ито. В уравнении Ито вида

(1.1)

dx(t) = ϕ(t)dt + Φ(t)dW (t), ϕ = Ax + B₁υ + B₂

Φ dW = A₀xdw₀ + B₀₁υdw₁ + B₀₂udw₂,

где x, υ, u векторы состояния, внешнего возмущения и сигнала управле-

ния, диффузионная компонента Φ dW имеет специфическое строение, даю-

щее основание называть уравнение мультипликативным по каждой из этих

трех переменных. Важные результаты по H²/H_∞-теории мультипликатив-

ных систем получены в публикациях [1-9]. C идеями H²/H_∞-теории связаны

и задачи робастного управления. В детерминированном случае эти связи про-

слеживаются в [10-12].

К теме синтеза регуляторов по вектору состояния для мультипликатив-

ных объектов относятся публикации [13, 14]. Важнейшей особенностью при-

нятого в них метода решения является теоретико-игровая формулировка

задачи управления с ее понятием равновесной по Нэшу пары (u^∗, υ^∗) то-

чек, определяющих оптимальное управление u^∗ при наименее благоприят-

ном внешнем возмущении υ^∗ [15]. Нахождение равновесной пары сводится

к решению системы из двух связанных матричных уравнений Риккати, но

не классических, квадратичных по искомым переменным, а скорее дробно-

рациональных по искомым переменным, и потому названных обобщенными

уравнениями Риккати. Настоящая статья, тоже для стохастического объекта,

имеет целью выяснение структуры регулятора, но не вида u(t) = K(t, x(·)|^t0),

как в [13, 14], а регулятора по выходному сигналу u(t) = K(t, y(·)|^t0), t > 0.

Аналогичная задача для менее общего объекта, мультипликативного только

по векторам состояния и внешнего возмущения, рассматривалась в [7]. Для

удобства читателя в п. 1 Приложения приведен пример детерминированной

LQG/H_∞-задачи, решение которой имеет структуру оптимального наблюда-

теляx = A_k x + B_ky, совмещенного с оптимальным регулятором û = C_k x по

вектору состояния x(·) [16]. Структура допустимого регулятора вида u(t) =

= K(t, x(·)|^t0), где x = (x, x) вектор состояния расширенной замкнутой си-

стемы, является более общей. Регулятор по выходу u(t) = K(t, y(·)|^t0), рас-

смотренный в [17], является еще более общим.

Изложим содержание статьи по разделам. В разделе 2 дана постановка

задачи. В разделе 3 получено стохастическое уравнение объекта, замкнутого

динамическим регулятором. В разделах 4 и 5 получено обобщенное уравне-

ние Риккати, коэффициенты которого подсчитаны с помощью применения

формулы Ито замены переменной. Необходимое условие допустимости дина-

мического регулятора получено в разделе 6, в разделе 7 достаточное усло-

вие. Два приложения, краткое заключение и список литературы завершают

статью.

2. Постановка задачи анализа

Задача оптимизации мультипликативных систем является разделом тео-

рии H²/H_∞-управления, обобщающей LQ-теорию синтеза регуляторов для

линейных систем по квадратическому критерию. От внешнего возмущения υ

в уравнении Ито (1.1) зависят как снос, так и диффузионная компонента.

Предполагается, что все винеровские процессы w_i(t), i = 0, 1, 2, скалярные,

что не является ограничением. Не является ограничением и зависимость сно-

са ϕ(t) и диффузии Φ(t)dW (t) от одного и того же возмущения υ(t). Наконец,

процессы w_i(t) статистически зависимые, не обязательно с единичной мат-

рицей интенсивности. Используя общий формализм H²/H_∞-теории и специ-

альные обозначения, введенные в [18], удается свести задачу с несколькими

возмущениями к задаче об объекте с одним мультипликативным векторным

возмущением.

Как уже отмечалось в разделе 1, с задачей оптимизации при требовании

одновременного подавления внешних возмущений ассоциируется дифферен-

циальная теоретико-игровая задача, позволяющая найти пару υ^∗, u^∗ страте-

гий (наихудшее возмущение, наилучшее управление). Для постановки зада-

чи о дифференциальной игре рассмотрим стохастическое дифференциальное

уравнение Ито вида



dx(t) = (Ax(t) + B1υ(t) + B2u(t))dt + A0x(t)dw0(t) +





+ B₀₁υ(t)dw₁(t) + B₀₂u(t)dw₂(t), x₀ ∈ Rⁿ,

(2.1)

Σ:

z(t) = C1x(t) + D11υ(t) + D12u(t),



y(t) = C₂x(t) + D₂₁υ(t), t ∈ [0,T].

Уравнение описывает стохастический объект Σ. В этом объекте векторы

u, υ входные сигналы, представляющие управление и внешнее возмущение;

векторы z, y

сигналы выходные, называемые соответственно регулируе-

мым и наблюдаемым выходом. Регулятором в цепи обратной связи является

детерминированная динамическая система с вектором состояния x, заданная

уравнениями

(2.2)

dx(t) = A_k x(t)dt + B_k y(t)dt, u(t) = C_k x(t) + D_k

y(t)

c матричными коэффициентами, пока не определенными. См. п. 2 Приложе-

ния.

Теоретико-игровая формулировка задачи управления предполагает зада-

ние пары функционалов J^T1 (u, υ), J^T2 (u, υ) и нахождение пары функций u^∗, υ^∗

таких, что (i) J^T1 (u^∗, υ^∗) ≤ J^T1 (u, υ^∗) на траекториях x_t = x_t(x₀, u, υ^∗) урав-

нения Σ и (ii) J^T2 (u^∗, υ^∗) ≥ J^T2 (u^∗, υ) на его траекториях x_t = x_t(x₀, u^∗, υ).

Такая пара (u^∗, υ^∗), если она существует, и является равновесной по Нэшу

точкой теоретико-игровой задачи. Можно сказать, выражаясь кратко, что

определение функции υ^∗(·) есть задача анализа, а определение u^∗(·) задача

синтеза. В более подробном изложении задача анализа состоит в нахождении

условий допустимости регулятора и преобразования их к виду, удобному для

получения обобщенного матричного уравнения Риккати, через решение ко-

торого выражается искомое представление возмущения υ^∗. Условие допусти-

мости для задачи на конечном горизонте t ∈ [0, T ] вытекает из требования

∥L_zυ∥_∞ < γ к замкнутой системе, которому должен удовлетворять регуля-

тор. Конечная цель анализа состоит в описании класса допустимых регу-

ляторов. На бесконечном горизонте t ∈ [0, ∞) к требованию ограниченности

∥L_zυ∥_∞ < γ добавляется условие устойчивости замкнутой системы. В этой

статье ограничиваемся случаем конечного горизонта T < ∞.

3. Уравнение объекта, замкнутого динамическим регулятором

Вектор состояния системы, замкнутой регулятором, обозначим через x, по-

лагая x^′ := (x^′, x^′). Стохастическое уравнение для x получается как результат

некоторых громоздких, но элементарных вычислений, и нетрудно убедиться,

что функции t → x(t), t → z(t) должны удовлетворять уравнениям



dx(t) = Aclx(t)dt + Bclυ(t)dt + A0clx(t)dw0(t) +

(3.1)

Σ₂ :

+ B^0clυ(t)dw₁(t) + A^1clx(t)dw₂(t) + B^1clυ(t)dw₂(t),



z(t) = C_cl x(t) + D_clυ(t), t ∈ [0, T ].

Непосредственно устанавливаются формулы, выражающие коэффициенты

уравнений замкнутой системы Σ₂. Прежде всего заметим, что

u(t) = C_k x(t) + D_k(C₂x(t) + D₂₁υ(t)),

z(t) = C₁x(t) + D₁₁υ(t) + D₁₂(D_kC₂x(t) + C_k x(t) + D_kD₂₁υ(t)),

откуда z(t) = C_cl x(t) + D_clυ(t), где

(3.2)

C_cl = [C₁ + D₁₂D_kC₂, D₁₂C_k], D_cl = D₁₁ + D₁₂D_kD₂₁

(здесь C_cl блочная 1 × 2 матрица). Далее получаем, что

)

kC2

(B₀₁)

(D_kD₂₁)

(3.3)

A¹

=B₀₂

B^0cl =

B¹

=B₀₂

O C_k

Блочные матрицы A_cl, A^0cl, B^0cl, B_cl равны:

)

(A + B

2DkC2 B2Ck

(A₀ O)

A_cl =

A^0cl =

B_kC₂

A_k

O O

)

(B₁ + B₂D_kD₂₁)

B^0cl =

B_cl =

B_kD₂₁

Матрицы A_cl, B_cl, C_cl, D_cl получают представление через матрицу

)

M_k =^k B^k

C_k D_k

параметров динамического регулятора. Соответствующие формулы имеют

вид аффинных относительно M_k соотношений

(3.4)

A_cl = A⁰ + B^IM_kC^I, B_cl = B⁰ + B^IM_kD⁰²¹,

(3.5)

C_cl = C⁰ + D⁰¹²M_kC^I, D_cl = D₁₁ + D⁰¹²M_kD⁰²¹

с матричными коэффициентами



(

)

(

)



A O

B₁

A0 =

B⁰ =

C⁰ = (C₁,O), D⁰¹² = (O,D₁₂),



O O

(3.6)

(

)

(

)

(

)



O B₂

O I



B^I

C^I =

D⁰²¹ =

I O

C₂

D₂₁

Стохастический объект Σ₂ является здесь мультипликативным не только по

векторам состояния и внешнего возмущения, но и по вектору управления;

а на вход регулятора подается теперь не вектор состояния объекта, а его

выходной сигнал y(·), см. (2.1), измеряемый в шумах; наконец, регулятор

берется не безынерционным, а динамическим (2.2) с вектором внутреннего

состояния x, определяемым некоторым дифференциальным уравнением.

4. Применение формулы Ито замены переменной

Дальнейшие преобразования имеют целью получить обобщенное уравне-

ние Риккати, ассоциированное с системой (3.1) и функционалом υ → J^T2 (u^∗, υ),

которое позволит представить наихудшее возмущение υ^∗ через решение урав-

нения Риккати. Эти преобразования связаны с применением формулы Ито

замены переменной (точнее, следствия из формулы Ито) в стохастическом

исчислении. Если

dx(t) = ϕ(t)dt + Φ(t)dw(t)

уравнение состояния и L_s дифференциальный оператор вида

(

)

(L_sf)(t, x) = ∂_tf(t, x)ϕ(s, x) + 1/2 tr

∂^2¯x¯xf(t, x)ν(t)

где ν(t)dt = var(Φ(t, x(t))d w(t)|x(t)), то согласно формуле Ито имеет место

интегральное соотношение [19-21]

∫t

(4.1)

Ef(t, x(t)) - Ef(0, x(0)) = E

(∂/∂s + L_s

)f(s, x(s))ds,

где E - оператор осреднения. В рассматриваемом здесь конкретном случае

функции f в виде квадратичной формы f(t, x) = 〈x, P (t)x〉 и уравнения Ито

(3.1), представленного в интегральном виде

∫^t

(4.2)

x(t) = x(0) + (A_cl x(s) + B_clυ(s))ds +

∫t

∫

(w₀(s))

(w₂(s))

[A^0cl x(s) B^1clυ(s)]d

[A^1cl x(s) B^0clυ(s)]d

t ∈ [0,T],

w₂(s)

w₁(s)

сумму подынтегральных диффузионных компонент в (4.2) запишем в ви-)

(

)

w₀

w₂

де ΦdW := Φ₁dW₁ + Φ₂dW₂, где W₁ =

, W₂ =

. Пусть Q_ijdt =

w₂

w₁

= E[dW_idW^′j], i, j = 1, 2, матрицы 2 × 2 и

[

]

[

]

(4.3)

Φ₁ =

A^0clx B^1clυ

Φ₂ =

A^1clx B^0clυ

Обозначим матрицы интенсивности винеровских процессов через

)

q₀₂

(q22 q12

(q02 q01

q₁ := Q₁₁ =

q₂ := Q₂₂ =

Q₁₂ =

q₀₂

q₂₂

q₁₂

q₁₁

q₂₂

q₁₂

Подынтегральная функция в (4.1) принимает вид

(4.4)

(∂/∂s + L_s)f(s, x(s)) = 〈x(s),P (s)x(s)〉 +

+ 2〈P (s)x(s), Ax(s) + B₁υ(s)〉 + 1/2 tr{2P (s)ν(s)},

где

(

)

∑∑

ν(s)ds = var

Φ₁(s)dW₁(s) + Φ₂(s)dW₂(s)|x(s)

Φ_i(s)Q_ijΦ^′j(s).

i=1 j=1

В правой части (4.4) первое слагаемое есть квадратичная форма перемен-

ной x(s) и

˙P(s)

матрица этой формы; второе слагаемое квадратичная

форма на пространстве значений пары переменных (x(s), υ(s)). Вычислим

третье слагаемое tr{P (s)ν(s)}.

Для первого cлагаемого (при i = j = 1) в двойной сумме имеем

{

}

(4.5) tr

Φ^′1(s)P(s)Φ₁(s)q₁(s)

}

)

{( x′(s)(A0

)^′

[

]

= tr

P (s)

A^0clx B^1clυ(s)

q₁(s)

υ^′(s)(B^1cl)^′

(

)

x(s)

q₀₀(A^0cl)^′P(s)A^0cl q₀₂(A^0cl)^′P(s)B

)(x(s))+

υ(s)

q₀₂(B^1cl)^′P(s)A^0cl q₂₂(B^1cl)^′P(s)B¹

υ(s)

Аналогично

{

}

(4.6) tr

Φ^′2(s)P(s)Φ₂(s)q₂(s)

}

)

{( x′(s)(A1

)^′

[

]

= tr

P (s)

A^1clx B^0clυ(s)

q₂(s)

υ^′(s)(B^0cl)^′

(

)

x(s)

q₂₂(A^1cl)^′P(s)A^1cl q₁₂(A^1cl)^′P(s)B

)(x(s))+

υ(s)

q₁₂(B^0cl)^′P(s)A^1cl q₁₁(B^0cl)^′P(s)B⁰

υ(s)

Продолжая вычисления, имеем (при i = 1, j = 2)

{

}

(4.7) tr

Φ^′2(s)P(s)Φ₁(s)Q₁₂(s)

}

)

{( x′(s)(A1)′

[

]

= tr

P (s)

A^0clx B^1clυ(s)

Q₁₂(s)

υ^′(s)(B^0cl)^′

(

)

x(s)

q₀₂(A^1cl)^′P(s)A^0cl q₂₂(A^1cl)^′P(s)B

)(x(s))+

υ(s)

q₀₁(B^0cl)^′P(s)A^0cl q₁₂(B^0cl)^′P(s)B¹

υ(s)

и аналогично

{

}

(4.8) tr

Φ^′1(s)P(s)Φ₂(s)q₂(s)

}

)

{( x′(s)(A0

)^′

[

]

= tr

P (s)

A^1clx B^0clυ(s)

Q₂₁(s)

υ^′(s)(B^1cl)^′

(

)

x(s)

q₀₂(A^0cl)^′P(s)A^1cl q₂₂(A^0cl)^′P(s)B

)(x(s))+

υ(s)

q₀₁(B^1cl)^′P(s)A^1cl q₁₂(B^1cl)^′P(s)B⁰

υ(s)

Сумму четырех блочных 2 × 2 матриц в формулах (4.5)-(4.8) обозначим

через S(P ). Блочные элементы S_ij этой суммарной матрицы равны

S₁₁ = q₀₀(A^0cl)^′P(s)A^0cl + q₀₂(A^0cl)^′P(s)A^1cl + q₀₂(A^1cl)^′P(s)A^0cl +

(4.9)

+ q₂₂(A^1cl)^′P(s)A^1cl,

S₁₂ = q₀₁(A^0cl)^′P(s)B^0cl + q₁₂(A^1cl)^′P(s)B^0cl + q₀₂(A^0cl)^′P(s)B^1cl +

+ q₂₂(A^1cl)^′P(s)B^1cl,

S₂₂ = q₁₁(B^0cl)^′P(s)B^0cl + q₁₂(B^0cl)^′P(s)B^1cl + q₁₂(B^1cl)^′P(s)B^0cl +

+ q₂₂(B^1cl)^′P(s)B^1cl

и, разумеется, S₂₁ = S^′12.

В правой части (4.4) последний член, как и второй, тоже есть квадратич-

ная форма на пространстве переменных (x, υ), и их сумма задана матрицей

D(P ) + S(P ), где D(P ) - матрица второй квадратичной формы в (4.4). Полу-

ченные формулы используются при выводе обобщенного уравнения Риккати

в разделе 6.

5. Функционал потерь в задаче анализа

Проверка условия ∥L_zυ∥_∞ < γ в требовании допустимости решения была

бы простой, если бы существовал явный способ вычисления индуцирован-

ной нормы оператора L_zυ. Однако такого способа не существует. Проверку

условия ∥L_zυ∥_∞ < γ без вычисления нормы ∥L_zυ∥_∞ можно осуществить, при-

влекая к рассмотрению функционал

∫T

(5.1)

J^T2 (u^∗,υ) = E (γ²υ^′(t)υ(t) - z^′

(t)z(t))dt

при фиксированном u = u^∗. Этот функционал квадратичный, но не знако-

определенный, и для него существует представление, удобное для последую-

щего анализа:

(5.2) J^T2 (u^∗, υ) = E〈x(0), P (0)x(0)〉 - E〈x(T ), P (T )x(T )〉 +

∫T

(

)

(x(t))

〈x(t),P

(t)x(t)〉 +

, M(γ, P (t))

dt,

υ(t)

где M(γ, P ) := S(P ) + D(P ) + C. Здесь

(

)

(

)

PAcl + AclP PBcl

-C^′clC_cl

-C^′clD_cl

(5.3)

D(P ) =

C =

B^′clP

−D^′clC_cl γ²I - D^′clD_cl

а матрица S(P ) определена своими блоками (4.9) в разделе 4.

Важность функционала J^T2 в H_∞-теории состоит в том, что с его помо-

щью можно дать необходимое условие допустимости регулятора. Согласно

лемме 2.10 из публикации [7] из условия ∥L_zυ∥_∞ < γ (и требования внутрен-

ней устойчивости системы, если последняя рассматривается на бесконечном

горизонте) вытекает неравенство J^T2 (υ) ≥ -c|x(0)|² для некоторого регуля-

тора K и некоторого числа c > 0 при любых υ ∈ L²[0, T ] (x(0) - произволь-

ное начальное условие для уравнения состояния системы). Это неравенство

в случае стационарной системы используется в [7] при доказательстве важ-

ного характеристического свойства индуцированной нормы оператора L_zυ.

Именно: для любого числа γ > 0 равносильны утверждения (i) ∥Lzυ∥∞ < γ и

(ii) существует матричная функция P (·) < 0 такая, что M(P ) > 0. Матрич-

ное обобщенное уравнение Риккати, которому удовлетворяет функция P (t),

выводится далее в разделе 6.

6. Обобщенное уравнение Риккати

Из исходной системы Σ, см.(2.1), в разделе 3 была получена система (3.1),

обозначенная через Σ₂. В системе Σ₂ нет в явном виде сигнала u(t), но есть

внешнее возмущение υ(t). Для систем такого вида в H₂-теории cтандартным

является критерий J^T2 (u, υ) в (5.1), неявно зависящий от u, где в формуле

для z(t), приведенной в (2.1), полагают D₁₂ = 0. Заметим, что система Σ₂

в (3.1)

такого именно вида. Таким образом, для системы Σ₂ можно в си-

лу (3.2) принять, что

∫T

(

)

(6.1)

J^T2 (u^∗,υ) = E

γ²I - (C_clx(t) + D_clυ(t))^′(C_clx(t) + D_clυ(t))

dt.

Функционал J^T2 (u, υ), квадратичный по исходным переменным x, υ, остается

квадратичным и по новым переменным x, υ. Далее, решая LQ-задачу вычис-

ления экстремального значения υ^∗ переменной υ, воспользуемся одним про-

стым тождеством, применявшимся в [14]. Приведем его здесь. Рассмотрим

представление критерия J^T2 (u^∗, υ) в виде (5.1), считая, что x(t) в подынте-

гральном выражении есть решение уравнения (3.1), полученное при фикси-

рованном u = u^∗.

Лемма. Квадратичная форма с матрицей M(γ,P(t)), т.е. сумма

〈x,M₁₁x〉 + 〈x,M₁₂υ〉 + 〈υ,M₂₁x〉 + 〈υ,M₂₂υ〉,

записывается в виде

(6.2)

〈x,(M₁₁ + M₁₂F)x〉 + 〈υ - F x,M₂₂

(υ - F x)〉,

где матрица F определяется соотношением M₂₁ + M₂₂F = 0. Если M₂₂ -

неособенная матрица, то F = -M^-122M₂₁ и υ^∗ = F x - экстремальная точка

функционала J^T2 (u^∗, υ).

Утверждение леммы относительно υ^∗(t) справедливо при фиксированном

u = u^∗, но оно верно при любом допустимом управлении u(·), обеспечиваю-

щем устойчивость замкнутой системы и ограниченность заданным числом γ

индуцированной нормы оператора L_zυ на классе функций υ(·) с интегрируе-

мым квадратом. Обозначения M(γ, P ), M^γij , введенные выше, естественны,

поскольку от γ зависит матрица M^γ22 = γ²I + S₂₂(P ) - D^′clD_cl. Из леммы сле-

дует, что

(

)_-1 (

)

(6.3)

υ^∗ = -

γ²I + S₂₂(P) - D^′clD_cl

B^′clP + S₂₁(P) - D^′clC_cl

если матрица M^γ22(P ) обратима. Согласно лемме при υ = F x в (6.2) матрич-

ная функция P (t) определяется как решение матричного дифференциального

уравнения

+ M ^γ11(P) - M ^γ12(P)(M ^γ22)^-1(P)M ^γ21

(6.4)

(P ) = 0, P (T ) = 0, t ∈ [0, T ].

В подробной записи имеем

(6.5)

-P˙ = PA_cl + A^′clP + S^γ11(P) - C^′clC_cl -

- (P B_cl + S₁₂(P )- C^′clD_cl)(γ²I + S₂₂(P )- D^′clD_cl)^-1(B^′clP + S₂₁(P )- D^′clC_cl).

Начальным условием является P (T ) = 0. Функции S_ij(P ), определенные

в (4.9), линейно зависят от P .

Полученными результатами исчерпывается формальная проблема анали-

за, если решение обобщенного матричного дифференциального уравнения

Риккати (6.5) для P (t) существует. Следующий этап это проблема суще-

ствования решения уравнения (6.5), т.е. определения условий допустимости

динамического регулятора вида (2.2).

7. Условия допустимости регулятора

В теории управления с безынерционным регулятором по вектору состоя-

ния задача определения структуры оптимального регулятора ставится как

оптимизационная с применением критерия J^T1 (u, υ) при фиксированном зна-

чении υ^∗ наименее благоприятного возмущения υ. В рассматриваемом случае

структура регулятора уже предопределена уравнениями в (2.2), и только зна-

чения матричных параметров следует определить исходя из условия допусти-

мости регулятора такой структуры. Критерий допустимости сформулируем

как условие существования точки минимума функционала (-1)J^T2 (υ), квад-

ратичного, но не знакоположительного. Предполагаем заданным значение

параметра γ > 0, а функционал J^T2 (υ) - представленным в виде (4.2) с мат-

рицей M(γ, P ) = S(P ) + D(P ) + C подынтегральной квадратичной формы.

Как уже отмечалось в разделе 5, условие допустимости ∥L_zυ∥_∞ < γ равно-

сильно существованию отрицательно определенной функции P (t) < 0 такой,

что M(γ, P (t)) > 0 для всех t ∈ [0, T ]. Для последующего удобно записать

условие M(γ, P ) > 0 в эквивалентной форме, заменив блочно-диагональную

матрицу diag{M(P ), I} блочной 3 × 3 матрицей T N (P )T^′ > 0, где









PA_cl +A^′clP +S₁₁ PB_cl +S₁₂ C^′cl

I O

-C^′cl









N (P ) =

 B^′clP + S21

γ²I + S₂₂ D^′cl, T =

O I

-D^′cl.

C_cl

D_cl

O O I

Подставим в матрицу N (P ) выражения для коэффициентов A_cl, B_cl, . . ., по-

лученные в (3.4). Тогда для блоков-подматриц N_ij неотрицательно опреде-

ленной матрицы N (P ) получим формулы:

(

)

(

(7.1) N₁₁ = P

A⁰ + B^IM_kC^I

)^′ P + S₁₁,

(

)

(

)_′

N₁₂ = P

B⁰ + B^IM_kD⁰²¹ + S₁₂

N₁₃ =

C⁰ + D⁰¹²M_kC^I

(

)_′

N₂₂ = γ²I + S₂₂, N₂₃ =

D₁₁ + D⁰¹²M_kD⁰²¹

N₃₃ = I.

Представим матрицу N(P ) в виде суммы матрицы H, от M_k не зависящей,

и двух матриц, линейно зависящих от M_k. Получим сумму H + Q^′M^′kR +

+R^′M_kQ с некоторыми матрицами Q и R и неотрицательно определенной

матрицей H. Согласно полученному в [7] стохастическому обобщению леммы

о проекции из теории линейных матричных неравенств (см., например, [6])

линейное матричное неравенство

(7.2)

H+Q^′M^′kR+R^′M_k

Q>O

имеет решение M_k тогда и только тогда, когда матрица H является поло-

жительно определенной на нулевых подпространствах kerQ и kerR мат-

риц Q, R.

Лемма о проекции дает необходимое и достаточное условие выполнимо-

сти условия ∥L_zυ∥_∞ < γ. Условие формулируется не на языке теории мат-

ричных дифференциальных уравнений, а на языке нелинейных матричных

неравенств. Лемма не только решает вопрос об условиях допустимости ре-

гулятора M_k, но и позволяет вычислить значения A_k, B_k, C_k, D_k параметров

регулятора, если они неизвестны. Далее в п. 2 Приложения приводится част-

ное решение задачи идентификации параметров регулятора, допустимого в

рамках представлений H_∞-теории управления.

8. Заключение

Областью исследований в статье явилась H_∞-теория управления стоха-

стическими системами, определенными стохастическими дифференциальны-

ми уравнениями Ито, диффузионная компонента каждого из которых за-

дана суммой A₀xdw₀ + B₀₁υdw₁ + B₀₂udw₂, в которой матрицы A₀, B₀₁, B₀₂

известны, а интенсивности винеровских процессов xw₀, υw₁, uw₂ определены

соответственно вектором состояния x, внешним возмущением υ и управлени-

ем u. Векторы x, υ неизвестны, вектор u поступает с выхода H_∞-регулятора

и обеспечивает поддержание в заданных пределах вредного действия воз-

мущения на регулируемый выходной сигнал объекта управления. Взаимные

интенсивности q_ij, i = j, винеровских процессов w_i, i = 0, 1, 2, удобно считать

ненулевыми, если из общей модели желательно исключить некоторые из про-

цессов w_i(t) для получения частных стохастических моделей. Таким образом,

рассмотренная в статье модель мультипликативного стохастического объекта

является довольно общей, чего нельзя, к сожалению, утверждать о принятой

здесь модели регулятора по выходному сигналу. Действительно, в детерми-

нированном варианте H_∞-теории регулятор по выходному сигналу получа-

ется представленным в виде регулятора по cостоянию x некоторой вспомо-

гательной системы, осуществляющей фильтрацию ненаблюдаемого вектора

состояния x исходной системы по измеряемому выходному сигналу. См. п. 1

Приложения. С другой стороны, в представленной статье искомому регулято-

ру по выходному сигналу a priori навязывается (см. п. 2 Приложения) такая

же, как и в детерминированном случае, структура фильтра, вырабатывающе-

го оценку x неизвестного сигнала x, подаваемую затем на регулятор частно-

го вида, а именно на регулятор по состоянию. Структура же общего вида

регулятора по выходному сигналу для мультипликативной стохастической

системы остается, по существу, неизвестной.

Несмотря на отмеченную особенность постановки задачи об H_∞-регуля-

торе, принятую в статье, эта задача представляется важной и интересной.

Эта задача важна для поиска общей структуры допустимого регулятора и

представляет самостоятельный интерес в качестве необходимого этапа при

решении последующей более трудной задачи синтеза cубоптимального регу-

лятора.

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. В H²/H_∞-теории оптимального регулятора по выходному сигналу рас-

сматривается линейный объект x = Ax + Bυ₁ + Bu c регулируемым сигналом

z = (z₁,z₂), z₁ = Cx, z₂ = u и наблюдаемым выходным сигналом y = Cx + υ₂.

Возмущение υ = (υ₁, υ₂) является гауссовским белым шумом с нулевым сред-

ним и единичной спектральной плотностью (для простоты употребляем обо-

значение υ = (υ₁, υ₂) вместо более сложного υ = [υ^′1, υ^′2]^′; то же для z). Кри-

терий для регулятора - квадратический,

∫

J (u, υ) = lim

(〈x(t), C^′Cx(t)〉 + 〈u(t), u(t)〉)dt.

T→∞

Существуют неотрицательно определенные решения P₁, P₂ уравнений регу-

лятора и фильтра соответственно:

(

)

A^′P₁ + P₁A -

1-γ^-2

P₁BB^′P₁ + C^′C = 0,

(

)

AP₂ + P₂A^′ -

1-γ^-2

P₂C^′CP₂ + BB^′ = 0.

(

)_-1

Определим Z :=

I-γ^-2P₂P₁

. Регулятор M_k = (A_k, B_k, C_k) (с коэффици-

ентом D_k = 0) в цепи обратной связи имеет структуру регулятора по состоя-

нию u = C_k x = -B^′P₁Z x, где x есть вектор состояния оптимального наблю-

дателя

(

)

x=Ak x + B_ky =

A - (1 - γ^-2)P₂C^′C - BB^′P₁Z

x+P₂C^′y.

Решение, приведенное в п. 1 Приложения, получено в [15]. Оно является след-

ствием изложенной в статье теории, если применить ее к детерминированно-

му объекту и рассмотреть предельный случай γ → ∞.

2. Задача о регуляторе по измеряемому в шумах выходному сигналу объ-

екта, мультипликативного по вектору состояния и вектору внешнего возму-

щения, завершается идентификацией параметров регулятора. В [7] для объ-

екта, который не предполагался мультипликативным по вектору управления,

значения M_k параметров регулятора вычислялись с помощью решения мат-

ричного неравенства (7.2). Без ограничения общности принимались предпо-

ложения так называемого регулярного случая [5]

D₁₁ = 0, D^′12D₁₂ = I, D₂₁D^′21 = I, D^′12C₁ = 0, D₂₁B^′1 = 0.

В предположении P_cl > 0 вводятся обозначения

)

(S N)

(R M

(Π11 Π12

P_cl =

P^-1

M₁₁(γ,P_cl) =

N^′ Q

M^′ T

Π^′12

Π₂₂

Матрицы S и R эрмитовы, являются матрицами квадратичных форм в

пространстве состояний вектора x(t). Матрица S удовлетворяет матричному

линейному неравенству Риккати (неравенству наблюдателя, или фильтра),

матрица R квадратичному неравенству регулятора. Неравенство для S -

автономное, неравенство для R зависит от S. В итоге анализа, проведенного

в [7], выясняется, что условию допустимости регулятора M_k удовлетворя-

ют следующие значения его параметров (при выборе N = R^-1 - S = -Q для

матрицы P_cl):

(

)_-1

B_k = γ²

R^-1 - S

C^′2, C_k = B^′2R^-1, D_k = 0,

[

A_k = - N^-1 SB₂B^′2R^-1 + A^′N -

]

(

)(

SB₁ + q₁₂A^′0SB₀

γ²I + q₂₂B^′0SB₀

)^-1 B^′1N + Π₁₁

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

McLane P.J. Optimal Stochastic Control of Linear Systems with State and Control-

Dependent Disturbances // IEEE Trans. Automat. Control.

1971. V. AC-16.

P. 292-299.

Willems J.L., Willems J.S. Feedback Stabilizability for Stochastic Systems with

State and Control Dependent Noise // Automatica. 1976. V. 12. P. 277-283.

Krylov N.V. Introduction to the Theory of Diffusion Processes // Providence. 1995.

RI. Amer. Math. Soc.

Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Изд-во Наука,

1977.

Doyle J., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B. State Space Solutions to Standard

H₂ and H^∞ Control Problems // IEEE Trans. Automat. Control. 1989. V. AC-34.

P. 831-847.

Gahinet P., Apkarian P. A Linear Matrix Inequality Approach to H^∞ Control //

Int. J. Robust Nonlin. Control. 1994. V. 4. P. 421-448.

Hinrichsen D., Pritchard A.J. Stochastic H_∞ // SIAM J. Control Optim.

1998.

V. 36. No. 5. P. 1504-1538.

Petersen I.R., Ugrinovsky V.A., Savkin F.V. Robust Control Design Using H_∞-

methods. London: Springer, 2006.

Gershon E., Shaked U., Yaesh I. H_∞-control and Estimation of State-multiplicative

Linear Systems // Lect. Notes in Control and Information Sciences. 2005. V. 318.

London.

10.

Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных

матричных неравенств. М.: Физматлит, 2007.

11.

Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Щербаков П.С. Управление линейными система-

ми при внешних возмущениях. Техника линейных матричных неравенств. М.:

ЛЕНАРД, 2014.

12.

Dragan V., Morozan T., Stoica A.M. Mathematical methods in robust control of

linear stochastic systems / Mathematical concepts and methods in science and en-

gineering. SPRINGER, 2006.

13.

Шайкин М.Е. Синтез оптимального по состоянию регулятора, робастного к

внешним возмущениям для одного класса нестационарных стохастических си-

стем // АиТ. 2015. № 7. С. 122-134.

Shaikin M.E. Design of optimal state controller robust to external disturbance for

one class of nonstationary stochastic systems // Autom. Remote Control.

2015.

V. 76. No. 7. P. 1242-1251.

14. Шайкин М.Е. Мультипликативные стохастические системы. Оптимизация и

анализ // Дифференциальные уравнения. 2017. Т. 53. № 3. С. 391-406.

Shaikin M.E. Multiplicative Stochastic Systems: Optimization and Analysis // Dif-

ferential Equations. 2017. V. 53. No. 3. P. 1-16.

15. Limebeer D.J.N., Anderson B.D.O., Khargonekar, Green M. A Game Theretic Ap-

proach to H_∞ Control for Time-Varying Systems // SIAM J. Control Optim. 1992.

V. 30. P. 262-283.

16. Mustafa D., Glover K. Minimum entropy H_∞ control. Berlin: Springer-Verlag, 1990.

17. Ugrinovskii V.A. Robust H_∞-Control in the Presense of Stochastic Unsertainty //

Int. J. Control. 1998. V. 71. No. 2. P. 219-237.

18. Шайкин M.E. Мультипликативные стохастические системы с несколькими

внешними возмущениями // АиT. 2018. № 2. С. 122-134.

Shaikin M.E. Multiplicative Stochastic Systems with Multiple External Distur-

bances // Autom. Remote Control. 2018. V. 79. No. 2. P. 300-310.

19. Kallianpur G. Stochastic Filtering Theory. N.Y.-Heidelberg-Berlin: Springer-

Verlag, 1980.

20. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит,

2003.

21. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.В. Хлебниковым.

Поступила в редакцию 22.02.2021

После доработки 29.10.2021

Принята к публикации 20.11.2021