Автоматика и телемеханика, № 5, 2022
© 2022 г. И.Б. ЯДЫКИН, д-р техн. наук (Jad@ipu.ru),
И.А. ГАЛЯЕВ (ivan.galyaev@yandex.ru),
Ю.А. ВЕРШИНИН, д-р техн. наук (oo295og@mail.ru)
(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
О РЕШЕНИИ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ЛЯПУНОВА
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕПРЕРЫВНЫХ БИЛИНЕЙНЫХ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ1
Разработан метод и получены алгоритмы решения обобщенного урав-
нения Ляпунова для широкого класса непрерывных нестационарных би-
линейных систем на основе метода грамианов и итеративного метода
построения решения, предложенного ранее для таких уравнений. Пред-
ложенный подход заключается в диагонализации исходной системы, по-
лучении сепарабельного спектрального разложения грамиана стационар-
ной линейной части по комбинационному спектру матрицы динамики ли-
нейной части, применении на каждом шаге итерации спектрального раз-
ложения матрицы ядра решения на предыдущем шаге и последующе-
го агрегирования элементов матриц. Получено спектральное разложение
грамианов управляемости и наблюдаемости нестационарной билинейной
системы в виде суммы матриц субграмианов, соответствующих парным
комбинациям собственных чисел матрицы динамики линейной части. Раз-
работаны новый метод и алгоритм поэлементного вычисления матриц ре-
шения обобщенного уравнения Ляпунова для билинейных систем. Прин-
ципиальная новизна подхода состоит в переносе вычислений с матрицы
решения на вычисление последовательности ее элементов на каждом ша-
ге итерации.
Ключевые слова: спектральные разложения, обобщенное уравнение Ля-
пунова, билинейные системы, нестационарные системы, итеративные ал-
горитмы, матричные уравнения Вольтерра.
DOI: 10.31857/S0005231022050026, EDN: ABGUUO
1. Введение
Исследования в области нелинейных и “слабо нелинейных” систем управ-
ления, описываемых рядами Вольтерра, насчитывают больше полувека
[1-10]. Матричное непрерывное дифференциальное и алгебраическое урав-
нение Ляпунова играет важную роль в современной теории управления
[1, 3-10]. Первые спектральные разложения грамианов для линейных непре-
рывных систем с простым спектром были получены на основе спектрального
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект
№ 19-19-00673).
7
разложения интегрального представления решения уравнений Ляпунова или
Сильвестра [1]. В публикациях [5-6] получены аналитические решения дис-
кретных и непрерывных уравнений Ляпунова на основе приведения матрицы
динамики к форме Жордана. В [11-13] разработана теория реализации и ис-
следованы структурные разложения грамианов для матриц динамики линей-
ных систем с простым спектром, исследованы свойства грамианов билиней-
ных систем, получены явные представления грамиана билинейной системы
в виде ряда Вольтерра и исследованы условия его сходимости [14-16]. Инте-
рес к этим исследованиям стимулировался тем, что появилось их достаточ-
но полное описание на основе частотных методов, основанных на обобщении
преобразования Лапласа на функции многих переменных в форме многомер-
ного преобразования Лапласа [17-19]. В [18] было предложено использовать
многомерное преобразование Лапласа для построения решения в нелинейных
системах с гладкими нелинейностями, к которым относятся и билинейные си-
стемы. В [20] был предложен метод итеративного вычисления многомерной
передаточной функции, в которой на каждой итерации решается уравнение
Ляпунова для линейной подсистемы с изменяющейся матрицей правой части,
в качестве которой используется решение уравнения, полученное на предыду-
щей итерации.
Исследования в области билинейных систем тесно связаны с задачей пони-
жения порядка модели путем построения аппроксимирующей модели мень-
шей размерности. Даже в случае линейных систем большой размерности
применение проекционных методов позволяет существенно уменьшить раз-
мерность аппроксимирующей модели [10, 13, 20]. Среди этих методов отме-
тим сбалансированное отсечение, сингулярную декомпозицию, метод подпро-
странств Крылова, методы синтеза упрощенной модели, оптимальные по кри-
терию H2-нормы грамианов, а также гибридные методы. Для большинства
методов разработаны итеративные алгоритмы их реализации. Введены опре-
деления квадрата H2-нормы грамианов билинейной системы, получены их
спектральные разложения на спектрах линейной подсистемы и сопряженной
антиустойчивой подсистемы [10, 21]. Получены решения обобщенных уравне-
ний Ляпунова с применением произведений Кронекера и метода векториза-
ции. Введены энергетические функционалы и выявлены условия существо-
вания и единственности решения обобщенных уравнений Ляпунова. Получе-
ны формулы для вычисления решения с применением метода произведений
Кронекера и метода векторизации [13, 20, 21]. Билинейные системы являются
частным случаем систем координатно-параметрического управления, иссле-
дованию которых посвящена монография [16]. Работы в области исследова-
ния грамианов билинейных систем теcно связаны с анализом их структурных
свойств управляемости и наблюдаемости [8, 14, 20]. Последние публикации по
решению дифференциальных и алгебраических уравнений Ляпунова и Силь-
вестра во временной и комплексной областях и их приложения к анализу
устойчивости сложных энергетических систем можно найти в [22-26].
8
2. Постановка задачи
Рассмотрим устойчивую непрерывную стационарную билинейную динами-
ческую систему с многими входами и многими выходами
⎧
∑
⎨dx
= Ax(t) + Nγ x(t)uγ (t) + Bu(t),
(2.1)
Σ2 :
dt
γ=1
⎩
y(t) = Cx(t),
где x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm, y(t) ∈ Rm.
Определим линейную стационарную часть системы в виде
⎧
⎨dx
= Ax(t) + Bu(t),
(2.2)
Σ1 :
dt
⎩y(t) = Cx(t).
Определим грамиан управляемости билинейной системы с помощью матрич-
ного ряда Вольтерра вида [10], а именно:
P1(t1) = eAt1 B,
P1(t1,... ,ti) = eAti [N1Pi-1N2Pi-1 ... NmPi-1], i = 2,3,4,... ,
(2.3)
∫
∞
∫
∞
∑
P =
Pi(t1,... ,ti)PTi(t1,... ,ti)dt1 ... ti.
i=1 0
0
Для системы (2.1) можно определить обобщенное уравнение Ляпунова ОУЛ
в виде
∑
(2.4)
AP + P AT + NjP NTj = -BBT
j=1
или в виде
∑
(2.5)
ATQ + QA + NjQNTj = -CTC.
j=1
Ряд Вольтерра (2.3) является решением уравнения (2.4) в том случае, ко-
гда это решение существует. Матрицу решения в этом случае можно назвать
грамианом управляемости билинейной системы [11-13].
Теорема 1 [21]. Если матрица динамики линейной части А устойчи-
ва, а грамиан управляемости билинейной системы является единственным
решением обобщенного уравнения Ляпунова, тогда решение является мат-
рицей, определяемой с помощью итеративной процедуры:
9
AP1 + P1AT = -BBT,
∑
APi + PiAT + NjPiNTj = 0, i = 2, 3, 4, . . . ,
(2.6)
j=1
∑
P =P1 + Pi.
i=2
Грамиан наблюдаемости билинейной системы является предельным реше-
нием, получаемым в результате реализации аналогичной итеративной про-
цедуры.
Следуя [13], рассмотрим задачу вычисления грамиана управляемости для
одного класса билинейных нестационарных систем вида
⎧
⎪
∑
dx
⎨
= Ax(t) + Aγx(t)fγ (t) + Bu(t),
(2.7)
Σ3 :
dt
γ=1
⎪
⎩y(t) = Cx(t),
где x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm, y(t) ∈ Rq, fγ(t) ∈ R1. Матрица динамики билиней-
ной системы является суммой постоянной матрицы A и суммы произведений
постоянных матриц Aγ на переменные параметры fγ(t), которые можно на-
звать параметрическими входами в отличие от координатных входов uγ (t).
Система (2.7) может быть преобразована в систему (2.1) путем расширения
вектора управления и введения новых обозначений [13]
uTη = [u1 u2 ... um f1 ... fH], Bbl = [B 0n×H ],
{
0n×n, η = 1, 2, . . . , m,
(2.8)
Nη =
Aη, η = m + 1,m + 2,... ,m + H;
⎧
⎪
∑
dx
⎨
= Ax(t) +
Nγx(t)uη(t) + Bblu(t),
(2.9)
Σ3 :
dt
⎪
η=1
⎩y(t) = Cx(t).
Грамиан управляемости (2.2) системы (2.8) удовлетворяет расширенному
уравнению Ляпунова вида (2.7) и может быть вычислен с помощью итератив-
ной процедуры (2.6). Цель статьи — получение итеративного спектрального
разложения решения обобщенного уравнения Ляпунова вида (2.7), или, что
то же самое, решения матричного уравнения Вольтерра с ядрами вида инте-
грала свертки.
10
3. Сепарабельные спектральные разложения грамианов управляемости
линейной части билинейной системы
В публикации [14] были получены следующие спектральные разложения
грамианов линейной части билинейной системы по простому спектру мат-
рицы А при предположениях, что матрица устойчива и все ее собственные
числа различны:
∑[
(
)]
Pl = -
(Isr + A∗)-1QRes (Isr - A)-1,sr
r=1
Если все собственные числа sr матрицы A различны, то линейную часть мож-
но привести к диагональному виду с помощью невырожденного преобразо-
вания координат
x=Txd,
xd = Adxd + Bdu, yd = Cdxd,
(3.1)
Ad = T-1AT, Bd = T-1B, Cd = CT, Qd
=T-1BBTT-T
или
⎡
⎤
⎡
⎤
s1
0
0
ν∗1
⎢
⎥
⎢
⎥⎢
⎥
[
]
⎢
0
s2
0
⎥⎢
ν∗2
⎥
Ad =
u1
u2
... un
⎢
⎥⎢
⎥,
⎢
⎥⎣
⎦
⎣
⎦
ν∗
n
0
0
. sn
где матрица T-1 составлена из правых собственных векторов ui, а матрица
T = V — из левых собственных векторов ν∗i , соответствующих собственному
числу si. Грамиан диагонализованной линейной части является решением
уравнения Ляпунова вида
AdPd + PdA∗d = -Qd,
которое определится из формулы [14]:
∑[
(
)]
(3.2)
Pld = -
(Isr + A∗d)-1QdRes (Isr - Ad)-1,sr
r=1
Грамиан управляемости Pcld связан с грамианом Pcl соотношением вида
[23, 24]
(3.3)
Pcl = TPcld TT .
Грамиан наблюдаемости Pold связан с грамианом Pol аналогичным соотноше-
нием
(3.4)
Pol = T-T PoldT-1.
11
Заметим, что в диагонализованной линейной части матрица Qd зависит не
только от матрицы В, как в исходной системе, но и от собственных чисел
матрицы А. Произведение первых двух сомножителей в (3.1) образует мат-
рицу вида
- (Isr + A∗d)-1Qd =
⎡
⎤
(s∗1 + sr)-1qd11 (s∗1 + sr)-1qd12
. (s∗1 + sr)-1qd1n
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
(s∗2 + sr)-1qd21 (s∗2 + sr)-1qd22
. (s∗2 + sr)-1qd2n
⎥
=-⎢
⎥.
⎢
⎥
⎣
⎦
(s∗n + sr)-1qdn1 (s∗n + sr)-1qdn2
. (s∗n + sr)-1qdnn
Введем новое обозначение 1ij для матрицы, все элементы которой равны ну-
лю за исключением элемента “ij ”, который равен единице. Для диагональной
матрицы А справедливы соотношения
∑
(Is - A)-1 =
Ri(s - si)-1 =
i=1
∑
[(
)]
=
1ii (s - si)-1Res (Is - A)-1,si
i=1
Заметим, что матрица Ri обладает замечательным свойством: умножение
любой квадратной матрицы на нее справа вырезает из первой i-й столбец,
а умножение этой матрицы на нее слева вырезает из первой i-ю строку.
При этом все пустые места заполняются нулями. Применим это свойство при
умножении матрицы (Isr + A∗d)-1Qd на матрицу 1ii справа. Введем обозна-
чение
⎡
⎤
0
... (s∗1 + sr)-1qd1i
0
[
]
⎢
⎥
⎢
0
... (s∗2 + sr)-1qd2i ...
0
⎥
pl
=
⎢
⎥
r
0
⎣
0
0
⎦
0
... (s∗n + sr)-1qdni ...
0
Это позволяет записать формулу решения в компактном виде
[
]
[
]
[
]
(3.5)
Pld = pl
+ pl
+...+ pl
1
2
n
0
0
0
Назовем разложение вида (3.2) сепарабельным спектральным разложением
грамиана линейной части билинейной системы в виде суммы субграмианов,
соответствующих разложению грамиана управляемости линейной части по
простому спектру матрицы динамики. Для практических приложений ис-
пользование спектральных разложений означает возможность вычислять от-
дельные субграмианы доминантных мод, не вычисляя весь грамиан. Кроме
12
того, видно, что каждый элемент вектора plr субграмиана обратно пропорцио-
нален комбинации собственного числа “r” матрицы динамики с другими ее
собственными числами. Это наблюдение позволяет предположить, что пар-
ные комбинации собственных чисел играют важную роль в формировании
сепарабельного разложения грамиана. Рассмотрим спектральное разложение
грамиана линейной части билинейной системы по парному комбинационному
спектру матрицы А. В соответствии с [14] оно имеет вид [27]:
∑∑
Pld =
Pldij,
(3.6)
i=1 j=1
(
(
)
)
(
)
Pldij = - (si + sj)-1 Res (Isi - Ad)-1
,si QdRes (Isj - Ad)-1, sj
Формулу (3.6) можно переписать в виде [9]
(3.7)
Pldij = - (si + sj)-11iiQd1jj.
Эта простая и компактная формула сводит вычисление матрицы комбинаци-
онного субграмиана линейной части к вычислению последовательности эле-
ментов. Она проще формулы (3.2) вычисления матрицы субграмиана разло-
жения по простому спектру. Получено сепарабельное спектральное разложе-
ние грамианов линейной части билинейной системы в виде суммы n2 субгра-
мианов, соответствующих разложению грамиана управляемости по парному
комбинационному спектру матрицы динамики.
4. Сепарабельные спектральные разложения грамианов билинейных
нестационарных систем
Перейдем к рассмотрению спектральных разложений грамиана билиней-
ной системы, считая выполненным преобразование линейной части к диа-
гональному виду. На каждом шаге итераций в (2.5) происходит решение
обычного матричного уравнения Ляпунова. Левая часть уравнения совпа-
дает с левой частью такого же уравнения линейной части, а правая часть
∑H
AγPbl(k)ATγ меняется на каждом шаге. Применим к матрице Pbl(k) спек-
γ=1
тральное разложение по парному комбинационному спектру матрицы дина-
мики. Без ограничения общности предположим, что правая часть (2.5) при-
нята равной единственному слагаемому AγPbl(k)ATγ:
Pbl(k)dij = - (si + sj)-11iiPbl(k-1)dij1jj,
⎡
⎤
0
0
0
⎢
⎥
⎢
-(si + sj)-1pbl(k-1)dij . . .
0
⎥
⎥.
Pbl(k)dij = ⎢0
⎢
⎥
⎣ 0
0
⎦
0
0
0
13
Рассмотрим формирование матричного произведения Aγ Pbl(k)dijATγ. При умно-
жении матрицы Aγ на матрицу 1ij справа получим матрицу, все элементы
которой кроме столбца “j ” равны нулю, а столбец “j ” имеет вид
[
]
[ei (Aγ 1ij)]T
= aγ1i aγ2i ... aγni
При этом элемент “ν” столбца равен aγνi. Этот элемент войдет в произведе-
ние, стоящее на месте “νμ” произведения матриц Aγ1ij ATγ. При умножении
матрицы 1ij на матрицу ATγ справа получим матрицу, все элементы которой
кроме строки “i ” равны нулю, а строка “i ” имеет вид
[(
)
]
[
]
1ijAT
eT
= aγ1j aγ2j ... aγnj
γ
j
При этом элемент “μ” строки равен aγμj . Этот элемент войдет в произведение,
стоящее на месте “νμ” произведения матриц Aγ 1ij ATγ. Отсюда следует, что
(4.1)
Aγ1ijATγpbl(k-1)ijd = [ανμ], ανμ = aγνiaγμjpbl(k-1)ijd.
Запишем решение уравнения (2.5) для каждого шага итерации с учетом фор-
мулы (3.4), в которой матрицу Qd следует заменить матрицей Pbl(k)dij
∑∑
Pbl(k)ijd =
- (sν + sμ)-1 1νμaγνiaγμjpbl(k-1)ijd,
(4.2)
ν=1 μ=1
k = 2,3,...,∞.
Теорема 2 [11, 20]. Рассмотрим MIMO (multiple input multiple output)
непрерывную билинейную стационарную систему вида (2.7). Пусть матри-
ца A - гурвицева, имеет простой спектр, а пара (A,B) управляема. Рас-
смотрим обобщенное уравнение Ляпунова вида
∑
APcbln + PcblnAT +
AγPcblnATγ = -BBT.
γ=1
Преобразуем это уравнение и уравнение линейной части в диагонализован-
ную каноническую форму (3.1). Предположим, что матрица А устойчива,
имеет простой спектр. Пусть справедливы неравенства
1
n2 max
(sν + sμ)-
max
|adγ,νiadγ,μj | < 1
ν,μ
ν,μ,i,j,γ
(4.3)
∀ν,μ,i,j = 1,2,... ,n; ∀γ = 1,2,... ,H.
Тогда решение обобщенного уравнения Ляпунова (2.4) существует и един-
ственно. Элементы матрицы решения могут быть определены с помощью
14
итеративной процедуры вида:
Pcd = Pclnd + Pcblnd,
∑∑
qd,γνμ
Pcln(1)d = -
1νμ
∀ν,μ = 1,2,... ,n,
s
ν + sμ
ν=1 μ=1
∑
[
]
Pcbln(k)ijγd =
r(k)ijγpcbln(k-1)ijγdνμ1νμ, r(k)ijγ = - (sν + sμ)-1adγ,νi adγ,μj
,
ν,μ
k = 2,3,...,∞ ∀ν,μ,i,j = 1,2,... ,n;γ = 1,2,... ,H,
(∑
)[
]
pcbln(k)ijγd = -
pcbln(k-1)ijγ
(sν + sμ)-1
adγ,νi adγ,μj
,
dνμ
ν,μ
)
(∑
cbln(k-1)ijγ
pcbln(k-1)ijγ
=p
dνμ
d
ν,μ
Исходный грамиан управляемости Pcbln билинейной системы связан с мат-
рицей Pсblndуравнением (3.3):
Pcbln = TPcblndTT .
Доказательство теоремы 2. В соответствии с теоремой построение
матрицы решения сводится к построению последовательности элементов “ij ”
и последующему агрегированию элементов в единую матрицу. Все отдель-
ные последовательности в общем случае являются комплекснозначными. Для
доказательства сходимости последовательности частичных сумм применим
признак сравнения и построим мажорирующую последовательность из мо-
дулей членов последовательностей. Для каждого шага “k” и каждой матри-
цы Aγ имеют место итеративные соотношения (4.2). Построим ряд сравнения
для элементов субграмиана “ijγ ” для шага “k”. Из формул (4.2) следует, что
каждый элемент последовательности представляет собой взвешенную сумму
всех еe элементов на предыдущем шаге.
Первый шаг. Рассмотрим формирование правой части обобщенного урав-
нения Ляпунова на первом шаге для случая γ = 1. Для этого потребуется не
сама матрица решения уравнения Ляпунова линейной части, а сепарабельное
спектральное разложение этого решения по парному спектру матрицы
∑
∑
qd,γνμ
Pcln(1)d = -
1νμ,
s
ν + sμ
γ=1 ν=1 μ=1
где qd,γνμ - элемент “νμγ ” матрицы Qd.
Второй шаг. Рассмотрим формирование правой части обобщенного урав-
нения Ляпунова на втором шаге на примере матрицы Aγ 1ij ATγ. Выше было
15
доказано (4.1), что
Aγ1ijATγ = [αdγ,νμ](nxn),
∑∑
[αdγ,νμ](nxn) =
adγ,νiadγ,μj1νμ.
ν=1 μ=1
В соответствии с формулой (3.6) решение уравнения Ляпунова на 2-м шаге
принимает вид
∑
∑
pcln(1)ijd
(4.4)
Pcbln(2)ijd = -
(adγ,νiadγ,μj ) 1νμ.
s
ν + sμ
γ=1 ν=1 μ=1
Формула (4.4) выражает сепарабельное спектральное разложение ядра Воль-
терра 2-го порядка на шаге 2. Для фиксированного элемента “ij ” матрицы
Pbln(2)ijd получаем формулу
∑
∑pcln(1)ij
d
(4.5)
pcbln(2)ijd = -
(adγ,νiadγ,μj
).
sν + sμ
γ=1 ν=1 μ=1
“k”-й шаг. Поступая аналогичным образом и учитывая суммирование суб-
грамианов по индексу “γ ”, получим формулу для вычисления матрицы ядра
грамиана порядка “k ” на шаге “k ”:
∑
Pcbln(k)ijγd =
r(k)ijγpcbln(k-1)ijγdνμ1νμ,
ν,μ
[
]
(4.6)
r(k)ijγ = - (sν + sμ)-1
adγ,νiadγ,μj
,
k = 2,3,...,∞ ∀ν,μ,i,j = 1,2,... ,n;γ = 1,2,... ,H,
(∑
)[
]
pcbln(k)ijγd = -
pcbln(k-1)ijγ
(sν + sμ)-1
adγ,νiadγ,μj
,
dνμ
ν,μ
)
(4.7)
(∑
(k-1)ijγ
pcbln(k-1)ijγ
=p
,
dνμ
d
ν,μ
k = 2,3,...,∞ ∀ν,μ,i,j = 1,2,... ,n;γ = 1,2,... ,H.
Формула (4.7) выражает алгоритм поэлементного вычисления матрицы гра-
миана билинейной системы. На каждом шаге алгоритм дает возможность
вычислить матрицу ядра грамиана порядка “k ”. Анализ формулы (4.7) поз-
воляет разбить множество элементов матрицы субграмиана pcbln(k-1)νμdγνμ на три
подмножества:
adγ,ννadγ,μμ
подмножество ведущих элементов:
pcbln(k-1)νμdγνμ, k = 2,3,... ,∞,
sν + sμ
16
adγ,νiadγ,μj
подмножество ведомых элементов:
pcbln(k-1)ijdνμ, ν = i, μ = j,
sν + sμ
k = 2,3,...,∞,
подмножество элементов: pcbln(k-1)νμdγνμ = 0.
Справедливы тождества вида
)
( (si + sj) )(aνiγ )(aμjγ
Pcbln(k)ijνμγ =
Pcbln(k)ijγ,
(sν + sμ)
aiiγ
ajjγ
aiiγ = 0, ajjγ = 0,
которые определяют связь ведущих и ведомых элементов. Для ведущих эле-
ментов справедливы формулы:
[
]
p(k)ijγd = -p(k-1)ijγd (si + sj)-1adγ,iiadγ,jj
,
(4.8)
k = 2,3,...,∞;
∀ν,μ,i,j = 1,2,... ,n;γ = 1,2,... ,H.
Отсюда следует, что
“ ijγ ” ведущие элементы образуют геометриче-
[кие прогрессии с начальными членами pdbln(1)ijγ]изнаменателями
(si + sj)-1adγ,iiadγ,jj . В [20] доказано, что итеративный алгоритм решения
обобщенного уравнения Ляпунова гарантирует существование и единствен-
ность матрицы решения при сходимости последовательности ядер Вольтерра.
Если линейная часть устойчива и все собственные числа ее матрицы динами-
ки различны, то на каждом шаге алгоритм (4.6) гарантирует существование
и единственность решения. Очевидно, что необходимым и достаточным усло-
вием сходимости матриц решения является поэлементная сходимость матриц,
что обеспечивают алгоритмы (4.6)-(4.7), сходимость которых неочевидна. По-
кажем, что при выполнении условий теоремы 2 сходимость последовательно-
стей (4.6)-(4.7) является абсолютной и равномерной.
Для каждого шага “k ” и каждой матрицы Aγ имеют место итеративные
соотношения (4.6)-(4.7). Построим ряд сравнения для элементов субграмиана
“ijγ” для шага “k ”. Из формул (4.6)-(4.7) следует, что каждый элемент после-
довательности представляет собой взвешенную сумму всех ведущих элемен-
тов на предыдущем шаге. Из формулы (4.5) для шага 2 получаем неравенство
bln(2)
bln(1)
1
(4.9)
pc
≤n2
pc
max(sν + sμ)-
max
|adγ,νiadγ,μj
|,
dijγ
dijγ
ν,μ
ν,μ
которое дает оценку модуля члена последовательности “ijγ ” для шага 2. Вве-
дем обозначение
bln(1)
maxpc
=Mmax.
dijγ
i,j
Тогда неравенство (4.9) приобретает вид
bln(2)
1
pc
≤ n2Mmax max(sν + sμ)-
max
|adγ,νiadγ,μj |
∀γ,i,j,ν,μ.
dijγ
ν,μ
ν,μ
17
Проводя аналогичные преобразования для той же числовой последователь-
ности на шаге “k ”, получим неравенство
∑∑
bln(k)
1
pc
≤
pcbln(k-1)dνμγ max(sν + sμ)-
max
|adγ,νiadγ,μj| ≤
dijγ
ν,μ
ν,μ
ν=1 μ=1
bln(k-1)
1
≤n2
pc
max(sν + sμ)-
max
|adγ,νiadγ,μj | .
dνμγ
ν,μ
ν,μ
Отсюда следует оценка
bln(k)
pc
dijγ
1
(4.10)
≤ n2 max(sν + sμ)-
max
|adγ,νiadγ,μj
|.
bln(k-1)
ν,μ
ν,μ
pc
dijγ
Полученные неравенства позволяют сформировать Mijγ локальных и одну
M глобальную мажоранты:
bln(1)
2)
bln(2)
k)
bln(k)
M(k)ijγ : M(1)ijγ =
pc
,M(
=
pc
,...,M(
=
pc
,
dijγ
ijγ
dijγ
ijγ
dijγ
bln(2)
bln(k)
M(k) : M(1) = Mmax,M(2) = max
pc
,...,M(k) = max
pc
.
dijγ
dijγ
i,j,γ
i,j,γ
В соответствии с оценкой (4.10) локальные Mijγ мажоранты сходятся при
выполнении условий
1
n2 max(sν + sμ)-
max
|adγ,νiadγ,μj | < 1
ν,μ
ν,μ
(4.11)
∀ν,μ = 1,2,... ,n;∀γ = 1,2,... ,H.
Глобальная мажоранта M(k) сходится, если выполнено условие
1
n2 max
(sν + sμ)-
max
|adγ,νiadγ,μj| < 1
ν,μ
ν,μ,i,j,γ
(4.12)
∀ν,μ,i,j = 1,2,... ,n; ∀γ = 1,2,... ,H.
Поскольку линейная часть устойчива, то существует точная верхняя грань
для обратной величины модулей суммы любых собственных чисел ее матри-
цы, равная
1
max(sν + sμ)-
.
ν,μ
Для любых элементов матриц Аγ существует точная верхняя грань произве-
дений модулей ее элементов, равная
max
|adγ,νiadγ,μj| .
ν,μ
18
Следовательно, при выполнении условий теоремы 2 выполняются нера-
венства (4.3) и признаки сходимости рядов с положительными членами. Сле-
довательно, комплекснозначные последовательности (4.6)-(4.7) сходятся рав-
номерно и абсолютно по признаку Вейерштрасса. Теорема 2 доказана.
Если выполнено хотя бы одно из условий
∃i, j, γ : |qijγ| ≥ 1,
то матричный ряд Вольтерра (2.3) расходится и обобщенное уравнение Ля-
пунова не имеет решения.
Теорема 3 [11, 20]. Рассмотрим MIMO непрерывную билинейную ста-
ционарную систему (2.7). Пусть матрица A - гурвицева, имеет простой
спектр, а пара (A, C) наблюдаема. Рассмотрим обобщенное уравнение Ля-
пунова вида
∑
ATPobln + PoblnA +
AγPoblnATγ = -CTC.
γ=1
Преобразуем это уравнение и уравнение линейной части в диагонализован-
ную каноническую форму (3.1). Предположим, что матрица А устойчива,
имеет простой спектр. Пусть справедливы неравенства
1
n2 max(sν + sμ)-
max
|adγ,νiadγ,μj | < 1
ν,μ
ν,μ,i,j,γ
(4.13)
∀ν,μ,i,j = 1,2,... ,n;∀γ = 1,2,... ,H.
Тогда решение обобщенного уравнения Ляпунова (2.5) существует и един-
ственно. Элементы матрицы решения могут быть определены с помощью
итеративной процедуры вида:
Pod = Polnd + Poblnd,
∑∑
qd,γνμ
Poln(1)d = -
1νμ
∀ν,μ = 1,2,... ,n,
s
ν + sμ
ν=1 μ=1
∑
(4.14)
Pobln(k)ijγd =
r(k)ijγpobln(k-1)ijγdνμ1νμ,
ν,μ
[
]
r(k)ijγ = - (sν + sμ)-1
adγ,νiadγ,μj
,
k = 2,3,...,∞ ∀ν,μ,i,j = 1,2,... ,n;γ = 1,2,... ,H,
(∑
)[
]
pobln(k)ijγd = -
pobln(k-1)ijγ
(sν + sμ)-1
adγ,νiadγ,μj
,
dνμ
ν,μ
(4.15)
)
(∑
obln(k-1)ijγ
pobln(k-1)ijγ
=p
dνμ
d
ν,μ
19
Исходный грамиан наблюдаемости Pobln билинейной системы связан с
матрицей Poblnd уравнением (3.4)
Pobln = T-T PoblndT-1.
Доказательство теоремы 3 почти полностью повторяет доказательство тео-
ремы 2, поэтому из-за ограниченности объема статьи не приводится.
5. Достаточные условия BIBO устойчивости
билинейных нестационарных систем
Лемма 1 (следствия теорем 2 и 3). Пусть выполнены условия теоремы 2
и 3 и выполнены условия [11-13, 20]:
1. Вектор u(t) ограничен по норме
∑
∥u(t)∥ =√
|ui(t)|2 < Mu, Mu > 0;
i=1
2. Найдутся такие положительные числа α, β, что справедливо неравен-
ство
(5.1)
eAt≤ βe-αt;
3. Если кроме того выполнены неравенства
√
∑
2α
(5.2)
Γ<
, Γ=√
AγATγ
;
β
γ=1
4. Если либо пара (А, B) управляема, либо пара (А, С ) наблюдаема.
Тогда нестационарная билинейная система (2.7) BIBO (bounded-input
bounded-output) устойчива при выполнении условий (4.3). Грамианы управ-
ляемости и наблюдаемости существуют и единственны, определяются
формулами (4.6)-(4.7), (4.14)-(4.15) и являются положительно определен-
ными матрицами.
Доказательство леммы 1. Утверждения следствий для обобщенных
уравнений Ляпунова, заданных в векторно-матричной форме (2.7), доказаны
в [10-13, 20, 21]. Осталось доказать, что на каждом шаге итераций сепара-
бельные алгоритмы теорем 2 и 3 дают решение, совпадающее с итеративной
процедурой (2.6).
Первый шаг. Решение обычного уравнения Ляпунова для линейной части
на основе предлагаемых сепарабельных спектральных алгоритмов предло-
жено и доказано в [9]. В силу условий теорем это решение единственно и не
может отличаться от решений уравнений (2.7) на первом шаге.
20
“k”-й шаг. Решение обычного уравнения Ляпунова с измененной правой
частью остается единственным вследствие устойчивости и простого спектра
матрицы Ad, а также симметричности правой части уравнения на шаге “k”.
Это дает возможность применить сепарабельный алгоритм [9] и доказать
тождество (4.2) между элементами (ij) матрицы решения на шагах “k” и
“k-1”, что является основой алгоритма поэлементного вычисления матрицы
решения уравнения Ляпунова с измененной правой частью. Алгоритм агре-
гирования самих матриц решения на каждом шаге доказан в [20]. Лемма
доказана.
Как известно [1], необходимые и достаточные условия устойчивости линей-
ных систем в терминах ограниченности квадрата H2-нормы ее передаточной
функции G (s) имеют вид
(
)
(
)
(5.3)
∥G(s)∥22 = tr
CPcCT
= tr
BTPoB
< +∞.
Таким же образом определим функционал риска потери устойчивости били-
нейной системы в форме
(
)
(
)
(5.4)
J (s1, s2, . . . , sn) = tr CPcblnCT
= tr BTPoblnB
Если корни характеристического уравнения приближаются к мнимой оси,
функционал риска потери устойчивости (5.4) стремится к бесконечности.
Определим приемлемый функционал риска потери устойчивости билинейной
системы в виде
(5.5)
J(γ)(s1,s,... ,sn,γ) = Mγperm
,
γ = 1,2,...,m.
Будем считать систему как условно неустойчивую, если все корни ее харак-
теристического уравнения линейной части лежат в левой полуплоскости, но
функционал риска потери устойчивости (5.4) превышает установленное при-
емлемое значение. Подобным образом будем считать данную систему условно
устойчивой, если функционал риска потери устойчивости (5.4) не превышает
установленного приемлемого значения
(5.6)
J(γ)(s1,s2,... ,sn,γ) < Mγperm
, γ = 1,2,...,m.
Подстановка в формулы (5.3)-(5.4) спектральных разложений соответствую-
щих грамианов дает спектральные разложения соответствующих энергети-
ческих функционалов. Неравенства (5.6) определяют набор энергетических
функционалов, ограниченность которых гарантирует BIBO устойчивость би-
линейной системы. Условия 1-4 леммы являются достаточными условиями
BIBO устойчивости билинейной системы и одновременно достаточными усло-
виями ограниченности энергетических функционалов J(γ). Анализ выраже-
ний (5.4), (5.5) показывает, что элементы числовых последовательностей гра-
миана билинейной системы сходятся с различной скоростью, гарантирующая
оценка которой дается выражениями (4.11)-(4.12).
21
Сходимость числовых последовательностей является необходимым усло-
вием применения методов линейной теории управления на область слабо-
нелинейных режимов функционирования, которая может быть описана би-
линейными моделями вида (2.7). “Маркером” расходимости последовательно-
стей является расходимость последовательностей ведущих элементов матриц
решений обобщенных уравнений Ляпунова (2.4)-(2.5). При подсчете на каж-
дом шаге вычисления n2 числовых последовательностей pcbln(k-1)ijγdγνμ только
одна последовательность pcbln(k-1)ijγdγij, как было показано выше, оказывается
геометрической прогрессией. Достаточное условие расходимости прогрессий
имеет вид
[
]
(si + sj)-
1adγ,iiadγ,jj
≥ 1,
(5.7)
∃i = 1,2,... ,n;∃j = 1,2,... n;∃γ = 1,2,... ,H.
Это условие является достаточным условием BIBO неустойчивости нестаци-
онарных билинейных систем (2.7).
6. Заключение
В статье разработан метод и получены алгоритмы решения обобщенно-
го уравнения Ляпунова для широкого класса непрерывных нестационарных
билинейных систем на основе метода грамианов и итеративного метода по-
строения решения, предложенного ранее в [10-14, 20]. Предложенный подход
заключается в диагонализации исходной системы, получении сепарабельного
спектрального разложения грамиана стационарной линейной части по ком-
бинационному спектру матрицы динамики линейной части, применении на
каждом шаге итерации спектрального разложения матрицы ядра решения
на предыдущем шаге и последующего агрегирования элементов матриц ре-
шения. Получены спектральное разложение грамианов управляемости и на-
блюдаемости нестационарной билинейной системы в виде суммы матриц суб-
грамианов, соответствующих парным комбинациям собственных чисел мат-
рицы динамики линейной части. Разработаны новый метод и алгоритм по-
элементного вычисления матриц решения обобщенного уравнения Ляпуно-
ва для билинейных систем. Принципиальная новизна подхода состоит в пе-
реносе вычислений с матрицы решения на вычисление последовательности
ее элементов на каждом шаге итерации. Это позволило упростить вычисле-
ния и получить компактное аналитическое выражение для матрицы решения
обобщенного уравнения Ляпунова. Алгоритмы вычисления последовательно-
стей включают операции сложения, умножения и деления на отличное от
нуля число. Установлены новые достаточные условия абсолютной и равно-
мерной сходимости элементов матриц решений для широкого класса билиней-
ных нестационарных систем. Эти условия являются достаточными условиями
BIBO устойчивости непрерывной билинейной системы. Полученные резуль-
таты можно использовать для решения следующих задач управления [26-30]:
22
• для построения наблюдателя пониженного порядка в задачах модального
управления,
• для проектирования систем энергосберегающего управления,
• для выбора управляющих входов и мест размещения датчиков на выходах
для систем управления многомерных объектов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Antoulas A.C. Approximation of Large-Scale Dynamical Systems // SIAM J. Control
2.
Васильев С.Н., Косов А.А. Анализ динамики гибридных систем с помощью об-
щих функций Ляпунова и множественных гомоморфизмов // АиТ. 2011. № 6.
С. 27-47.
Vasiliev S.N., Kosov A.A. Analysis of the Dynamics of Hybrid Systems Using General
Lyapunov Functions and Multiple Homomorphisms // Autom. Remote Control.
3.
Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука,
1976.
4.
Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Рапопорт Л.Б. Математическая теория автома-
тического управления. М.: ЛЕНАНД, 2019.
5.
Зубов Н.Е., Зыбин Е.Ю., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Об-
щие аналитические формы решения уравнений Сильвестра и Ляпунова для
непрерывных и дискретных динамических систем // Изв. РАН. Теория и си-
стемы управления. 2017. № 1. С. 3-20.
6.
Буков В.Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу мат-
ричных систем. Калуга: Изд-во Н.Ф. Бочкаревой, 2006.
7.
Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория кон-
струирования систем управления. М.: Высш. шк., 1989.
8.
Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с
неопределенностью. М.: Физматлит, 2007.
9.
Ядыкин И.Б., Галяев А.А. О методах вычисления граммианов и их использова-
ние в анализе линейных динамических систем // АиТ. 2013. № 2. С. 53-74.
Yadykin I.B., Galyaev A.A. On the Methods for Calculation of Grammians and Their
Use in Analysis of Linear Dynamic Systems // Autom. Remote Control. 2013. V. 74.
10.
Al-Baiyat S.A., Bettayeb M. A New Model Reduction Scheme for k-power Bilinear
Systems // Proc. 32nd IEEE Conf. on Decision and Control. 1993. P. 22-27.
11.
Siu T., Schetzen M. Convergence of Volterra Series Representation and BIBO
Stability of Bilinear Systems // Int. J. Systems Science. V. 22. No. 12. P. 2679-
12.
D’Alessandro P., Isidori A., Ruberti A. Realization and Structure Theory of Bilinear
Dynamic Systems // SIAM J. Control Optim. 1974. V. 12. P. 517-535.
13.
Benner P., Cao X., Schilders W. A Bilinear H2 Model Order Reduction Approach
to Linear Parameter-Varying Systems // Advances in Computational Mathematics.
23
14.
Ядыкин И.Б., Искаков А.Б. Спектральные разложения решений уравнений Ля-
пунова для билинейных динамических систем // ДАН. 2019. Т. 488. № 6.
15.
Тимин В.Н., Кустов А.Ю., Курдюков А.П., Гольдин Д.А., Вершинин Ю.А. Суб-
оптимальная анизотропийная фильтрация для линейных дискретных нестацио-
нарных систем с нецентрированным внешним возмущением // АиТ. 2019. № 1.
Timin V.N., Kustov A.Y., Kurdyukov A.P., Goldin D.A., Vershinin Y.A.
Suboptimal Anisotropic Filtering for Linear Discrete Nonstationary Systems with
Uncentered External Disturbance // Autom. Remote Control. 2019. V. 80. No. 1.
16.
Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Земляков С.Д. Адаптивное координатно-па-
раметрическое управление нестационарными объектами. М.: Наука, 1980.
17.
Lubbock J., Bansal V. Multidimensional Laplace Transforms for Solution of Nonlinear
Equation // Proc. IEEE. 1969. V. 116. No. 12. P. 2075-2082.
18.
Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко А.С. Функциональные ряды в теории
нелинейных систем. М.: Наука, 1976.
19.
Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Техническая кибернетика.
Теория автоматического управления. Кн. 3. Ч. II. Гл. XVIII. Анализ и синтез
нелинейных систем автоматического регулирования при помощи рядов Вольтер-
ра и ортогональных спектров. М.: Машиностроение, 1969. С. 223-256.
20.
Zhang L., Lam J. On H2 Model Order Reduction of Bilinear Systems // Automatica.
21.
Benner P., Damm T. Lyapunov Equations, Energy Functionals and Model Order
Reduction of Bilinear and Stochastic Systems // SIAM J. Control Optim. 2011.
22.
Мироновский Л.А., Соловьева Т.Н. Анализ и синтез модально-сбалансирован-
ных систем // АиТ. 2013. № 4. С. 59-79.
Mironovsky L.A., Solovyeva T.N. Analysis and Synthesis of Modally Balanced
Systems // Autom. Remote Control. 2013. V. 74. No. 4. P. 588-603.
23.
Hauksdottir A.S., Sigurdsson S.P. The Continuous Closed Form Controllability
Gramian and Its Inverse // Amer. Control Conf. Hyatt Regency St. Louis Riverfront.
St. Louis, MO, USA, June 10-12, 2009. P. 5345-5351.
24.
Xiao C.S., Feng Z.M., Shan X.M. On the Solution of the Continuous-Time Lyapunov
Matrix Equation in Two Canonical Forms // IEE Proc.-D. 1992. V. 139. No. 3.
P. 286-290.
25.
Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.:
Физматгиз, 1963.
26.
Воропай Н.И., Голуб И.И., Ефимов Д.Н., Искаков А.Б., Ядыкин И.Б. Спек-
тральный и модальный методы в исследованиях устойчивости электроэнергети-
ческих систем и управлении ими // АиТ. 2020. № 10. С. 3-34.
Voropai N.I., Golub I.I., Efimov D.N., Iskakov A.B., Yadykin I.B. Spectral and
Modal Methods for Studying Stability and Control of Electric Power Systems //
Autom. Remote Control. 2020. V. 81. No. 10. P. 1751-1774.
24
27. Искаков А.Б., Ядыкин И.Б. Lyapunov Modal Analysis and Participation Factors
Applied to Small-Signal Stability of Power Systems // Automatica. 2021. V. 132.
28. Бойченко В.А., Курдюков А.П., Тимин В.Н., Чайковский М.М., Ядыкин И.Б.
Некоторые методы синтеза регуляторов пониженного порядка и заданной струк-
туры // Управление большими системами. 2007. Вып. 19. С. 23-126.
29. Yadikin I., Galyaev I. On the Solution of Matrix Generalized Lyapunov Equations for
a Class of Bilinear and Linear Dynamical Systems with Variable Parameters // 13th
Int. Conf. “Management of large-scale system development” (MLSD). 2020. P. 1-5.
30. Дударенко Н.А., Нуйя О.С., Сержантова М.В., Слита О.В., Ушаков А.В. Ма-
тематические основы теории систем: лекционный курс и практикум. Учебное
пособие для высших учебных заведений / Под ред. А.В. Ушакова. Изд. 2-е, рас-
ширенное и дополненное. СПб.: НИУ ИТМО, 2014.
Статья представлена к публикации членом редколлегии М.В. Хлебниковым.
Поступила в редакцию 16.09.2021
После доработки 05.11.2021
Принята к публикации 26.01.2022
25
