БИОФИЗИКА, 2019, том 64, № 3, с. 515-526

БИОФИЗИКА КЛЕТКИ

УДК 534.6 612.85

ФРАКТАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ФОНОВОЙ ИМПУЛЬСНОЙ

АКТИВНОСТИ НЕЙРОНОВ СЛУХОВОГО ЦЕНТРА

СРЕДНЕГО МОЗГА ЛЯГУШКИ

АО «Акустический институт им. академика Н.Н. Андреева», 117036 Москва, ул. Шверника, 4

E-mail: nbibikov1@yandex.ru

Поступила в редакцию 07.03.2019 г.

После доработки 07.03.2019 г.

Принята к публикации 18.03.2019 г.

Изучены статистические характеристики фоновой импульсной активности, регистрируемой у не-

которых нейронов слухового центра среднего мозга (полукружного торуса) травяной лягушки. При

этом использовались методы, применяемые при анализе временного течения фрактальных точеч-

ных процессов. У большинства нейронов в диапазоне временных интервалов от сотен миллисекунд

до нескольких десятков секунд наблюдался степенной рост отношения дисперсии числа импульсов

к среднему значению этого числа (фактора Фано), хотя наблюдались и клетки, фоновая импульса-

ция которых была близка к случайной. Метод, основанный на регистрации локальных особенно-

стей (зависимость фактора Аллана от того же интервала) подтвердил наличие свойства фрактально-

сти у многих клеток, причем обычно степенной рост этого фактора начинался с больших временных

интервалов. Третий использованный метод фрактального анализа (индекс Херста) также свидетель-

ствовал в пользу хаотичности и фрактальности процесса фоновой импульсации. Осуществлен ана-

лиз взаимосвязи указанных фрактальных характеристик с другими параметрами, используемыми

для описания статистики случайных точечных процессов. Сопоставление с данными, полученными

на нейронах продолговатого мозга, свидетельствует о некотором повышении вариабельности этой

активности по ходу слухового пути.

Ключевые слова: фоновая активность, слуховая система, амфибии, средний мозг, фрактальность.

DOI: 10.1134/S0006302919030128

Спонтанная импульсация слуховых нейронов

только от одного предшествующего события. Ис-

претерпевает существенные изменения по ходу

пользование основных методик фрактального

слухового пути. Хорошо известно, что нейроны

анализа показало также, что у нейронов этой

первого порядка млекопитающих, формирующие

структуры имеется тенденция к хаотическому из-

слуховой нерв, обычно отличаются высокой ча-

менению своих свойств [4].

стотой спайков, генерируемых в отсутствиe

При переходе от нейронов второго порядка,

внешних воздействий [1]. Большинство волокон

расположенных в продолговатом мозге, к нейро-

слухового нерва амфибий также являются спон-

нам более высоких порядков, локализованным в

танно активными, хотя частота их фоновой им-

слуховом центре среднего мозга, как у млекопи-

пульсации заметно ниже [2].

тающих, так и у амфибий выраженность фоновой

Тенденция к существованию спонтанной ак-

импульсации нейронов резко падает. В отсут-

тивности сохраняется и в большинстве слуховых

ствие контролируемых слуховых входов только

нейронов второго порядка, расположенных у бес-

небольшое число клеток полукружного торуса ге-

хвостых амфибий в дорсальном ядре продолгова-

нерируют спайки со средней частотой более

того мозга. Статистический анализ этой активно-

0,5 имп/с [5,6]. Это отражает более общий прин-

сти показал, что ее никак нельзя рассматривать

цип, характерный для слуховой системы различ-

как простой пуассоновский процесс с фиксиро-

ных животных, и заключающийся в переходе от

ванным мертвым временем. Более того, ее не уда-

полного описания сигнала на периферических

ется рассматривать и в качестве точечного про-

уровнях к выделению отдельных характерных

цесса восстановления [3], характерной особенно-

признаков сигнала на более высоких уровнях об-

стью которого является то, что вероятность

работки внешнего сигнала. Такая стратегия, име-

появления очередного события (спайка) зависит

нуемая выборочным кодированием (sparse cod-

515

516

БИБИКОВ и др.

ing), видимо, и определяет резкое снижение фо-

на травяных лягушках (Rana t. temporaria). Мето-

новой активности нейронов среднего мозга у

дика проведения операции и регистрации им-

млекопитающих [7], рыб [8] и амфибий [9].

пульсной активности нейронов головного мозга

амфибий была многократно описана ранее

Несмотря на сравнительно небольшой про-

[6,9,19,20] и будет приведена кратко.

цент спонтанно-активных нейронов полукруж-

ного торуса, нами ранее уже было выявлено зна-

Перед началом опыта животных подвергали

чительное разнообразие свойств импульсации у

холодовому

[21] и/или фармакологическому

разных клеток. Ее основные характеристики бы-

(MS-222) наркозу, регистрацию осуществляли в

ли описаны нами с использованием общеприня-

звукоизолированной камере (коэффициент зату-

тых методик, включая анализ распределений ме-

хания на частоте 1 кГц около 40 дБ) при комнат-

жимпульсных интервалов, автокорреляционных

ной температуре. Во время опыта животное было

функций, взаимозависимости соседних интерва-

обездвижено аллоферином.

лов и других параметров [3,6].

Импульсную активность одиночных нейронов

При этом было замечено, что свойства этой

регистрировали стеклянными электродами, за-

активности претерпевают сравнительно медлен-

полненными 2,5 М раствором NaCl. Электрод пе-

ные хаотические изменения во времени. Извест-

ремещали в дорсовентральном направлении че-

но, что для описания таких процессов вполне

рез оптическую покрышку с помощью микрома-

применимы методы фрактального анализа.

нипулятора с шаговым двигателем. Момент ввода

Среди возможных методов такого анализа для

электрода в полукружный торус легко выявлялся

исследования нейронов активности наиболее

по появлению вызванной нейронной активности

широко использовались оценки зависимости

при действии поискового стимула, которым

фактора Фано [10] от длительности временного

обычно служил шумовой отрезок длительностью

участка регистрации [11-14]. В единичных пуб-

100 мс и уровнем звукового давления 80 дБ.

ликациях [2,15] наряду с фактором Фано исследо-

После обнаружения одиночного нейрона, об-

вали зависимость от того же параметра и фактора

ладающего фоновой активностью, при достаточ-

Аллана [16], который основан на измерении раз-

ном превышении амплитуды спайка над мульти-

ности между двумя соседними интервалами, что

клеточной активностью (обычно более чем в пять

существенно ослабляет влияние на результат по-

раз) с разной степенью подробности оценивали

стоянного тренда данных. Обе эти методики ис-

его реакции на звуковые сигналы. При полном

пользовались нами для описания поведения

отсутствии стимуляции фоновую спайковую ак-

спонтанной импульсации нейронов слухового

тивность с помощью триггера Шмидта преобра-

центра продолговатого мозга [17]. Наряду с этими

зовывали в последовательность стандартных

методиками на том же объекте мы апробировали

электрических импульсов, моменты возникнове-

еще один метод фрактального анализа - оценку

ния которых фиксировались компьютером. В

индекса Херста [18], характеризующего, сколь

процессе регистрации обычно получали распре-

быстро изменяется разность наибольшего и наи-

деление межимпульсных интервалов, а также

меньшего значения исследуемого параметра (в

контролировали зависимость средней плотности

данном случае интервала между спайками) при

импульсации от времени.

увеличении времени наблюдения. Результаты

применения этой методики для изучения нейро-

Последовательные значения межимпульсных

нов продолговатого мозга лягушки [4] показали,

интервалов использовали для вычисления не-

что данный индекс также эффективно характери-

скольких параметров и функций. Оценивали сле-

зует фрактальные свойства исследуемого процес-

дующие параметры:

са и может быть использован наряду с подходами,

1. Среднее значение частоты импульсации.

предложенными Фано и Алланом. В задачу на-

стоящей работы входило применение всех ука-

2. Коэффициент вариации межимпульсных

занных методик для анализа особенностей фоно-

интервалов (CV), как частное от деления стан-

вой импульсации нейронов слухового центра

дартного отклонения на среднее значение. Для

среднего мозга (полукружного торуса) травяной

случайного пуассоновского процесса этот пара-

лягушки. Очевидно, что такой анализ важен для

метр должен быть близок к единице.

понимания общих принципов работы исследуе-

3. Локальный коэффициент вариации, учиты-

мой нейронной структуры.

вающий разброс только соседних интервалов

(CV2) и вычисляемый по следующей формуле:

МЕТОДИКА

2(D

k+1

−

)

Для целей настоящей работы анализировали

CV2

∑

данные, полученные на протяжении 2003-2017 гг.

)

БИОФИЗИКА том 64

№ 3

2019

ФРАКТАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ФОНОВОЙ ИМПУЛЬСНОЙ АКТИВНОСТИ НЕЙРОНОВ

517

где D_k - межспайковый инервал, а N - число ин-

стрирующих фрактальные особенности, его вели-

тервалов [22]. Для пуассоновского процесса этот

чина растет по степенному закону F(t) = T^α. По-

параметр также должен быть близок к единице.

казатель степени определяет, насколько флуктуа-

4. Наклон двумерного распределения следую-

ции в числе спайков на соседних временных

щих друг за другом межимпульсных интервалов.

участках пропорциональны (т.е. статистически

Для любого точечного процесса, не обладающего

самоподобны) флуктуациям числа спайков на бо-

памятью (процесс восстановления), этот пара-

лее продолжительных временных масштабах. За-

метр должен быть близок к нулю.

метим, что, согласно введенному определению,

показатель степени не может превышать единич-

5. Пачковость импульсной последовательно-

сти. Согласно введенному нами определению,

ное значение.

пачкой называется событие, когда после меж-

Другой методикой, позволяющей оценить

спайкового интервала, более чем в полтора раза

фрактальность процесса, является оценка зави-

превышающего средний, следуют два или более

симости от того же параметра значений так назы-

интервалов в два раза короче среднего, после чего

ваемого фактора Аллана. Эти значения вычисля-

вновь возникает межспайковый интервал, более

ются как отношение квадрата разности числа

чем в полтора раза превышающий средний. Для

спайков в соседних интервалах к удвоенному

пуассоновского процесса среднее число пачек,

среднему числу спайков в интервале длительно-

определенных по такому критерию, составляет

стью T:

1,28% от общего числа спайков, среднее число

спайков в пачке - 2,65%, а процент спайков,

[

i+1

N T)

−

N T)]

A T)

включенных в пачки, - 3,37%.

2[N

(T)]

Кроме того, вычисляли распределение ме-

где N_i(T) - число спайков в интервале длительно-

жимпульсных интервалов и автокорреляционную

функцию точечного процесса спонтанной им-

стью T.

пульсации.

Для пуассоновского процесса фактор Аллана,

Указанные параметры и функции, характери-

подобно фактору Фано, представляет собой чис-

зующие особенности спонтанной активности

ло, близкое к единице, независимо от значения Т.

нейронов полукружного торуса, частично уже

Для любых точечных процессов оно имеет то же

были описаны нами в работах [3,6]. На основании

значение при малых Т, когда число событий на

полученных данных мы пришли к заключению о

исследуемом участке может равняться только ну-

том, что фоновая активность нейронов полу-

лю или единице, причем между двумя единичны-

кружного торуса не является пуассоновским про-

ми отрезками всегда существует нулевой [23]. Как

цессом и не может быть описана и в рамках про-

и фактор Фано, фактор Аллана с увеличением ин-

цесса восстановления, которые обычно исполь-

тервала для периодических процессов уменьша-

зуют для моделирования активности нейронов в

ется, а для хаотических - растет по степенному

режимах фоновой импульсации. В данной работе

закону с показателем степени β [14]. Для фрак-

наряду с вышеуказанными параметрами были

тальных процессов (или на тех временных участ-

проанализированы характеристики, позволяю-

ках, на которых процесс приближается к фрак-

щие выявить хаотические, фрактальные особен-

тальному) его рост, как и рост фактора Фано, мо-

ности процесса.

жет быть описан как прямая линия в двойных

логарифмических масштабах. При 0 < β < 1 про-

Как уже указывалось, при электрофизиологи-

цесс описывается как дробный гауссовский шум,

ческих исследованиях наиболее распространен-

а при 1 < β < 3 - как дробное броуновское движе-

ным методом для выполнения данной задачи яв-

ние [15].

ляется оценка зависимости от длительности ана-

лизируемых участков импульсации значений

Для описания динамики функций F(t) и A(t)

фактора Фано, вычисляемого как отношение

использовали следующую методическую проце-

дисперсии числа импульсов в интервале Т к сред-

дуру. В случае отсутствия выраженного миниму-

ма функции вычисляли ее наклон в двойных ло-

(T )

нему значению этого числа:

F T)

гарифмических координатах от первой точки, где

(T )

ее значение было ≥1,5 до точки максимума, не-

Для пуассоновского процесса значение факто-

редко соответствующей наибольшему из интер-

ра должно быть близко к единице при любых зна-

валов. При оценке индексов Фано и Аллана учи-

чениях аргумента. Для периодических процессов

тывали только те случаи, в которых на указанном

при росте интервала значения фактора обычно

интервале насчитывалось не менее пяти точек

уменьшаются, демонстрируя локальный мини-

функции с шагом 1,2 или 1,5. При наличии мини-

мум при интервалах, соответствующих периоду

мума функции начальная точка могла составлять

процесса. Для хаотических процессов, демон-

менее 1,5, но только при условии дальнейшего

БИОФИЗИКА том 64

№ 3

2019

518

БИБИКОВ и др.

устойчивого роста, близкого к линейному в двой-

На рис. 1 треугольниками обозначены зависи-

ных логарифмических координатах. Соответ-

мости фактора Фано от длительности анализиру-

ствующие индексы α и β оценивали методом наи-

емого интервала для двенадцати клеток полу-

кружного торуса. Обращает на себя внимание

меньших квадратов.

значительное разнообразие рассматриваемых за-

Третий подход к анализу точечных процессов с

висимостей. В верхнем ряду (рис. 1а-г) приведе-

целью выделения их фрактальных особенностей

ны примеры таких характеристик, которые, по

состоит в использовании для указанных целей

крайней мере качественно, наблюдались не ме-

индекса Херста. Эта величина вычисляется как

нее чем в половине исследованных клеток полу-

показатель степени в степенной зависимости от

кружного торуса, обладающих спонтанной ак-

времени разности между наибольшим и наимень-

тивностью. На начальном участке до определен-

шим значением интервала между событиями.

ного значения аргумента значения функции

Индекс Херста характеризует персистентность -

близки к единице. После достижения некоторого

склонность процесса к появлению трендов (в от-

интервала, различного для разных клеток, значе-

личие от обычного случайного движения). Значе-

ния функции F(t) начинают расти. При этом у

ния индекса Херста, большие 0,5, означают, что

большинства клеток можно было выделить уча-

направленная в определенную сторону динамика

сток функции длительностью более одного по-

процесса, скорее всего, продолжит движение в

рядка, на котором коэффициент линейной кор-

том же направлении, если же показатель меньше

реляции в двойных логарифмических координа-

0,5, то, скорее всего, направление движения из-

тах превышал значение 0,9. Однако крутизна

менится. Для вычисления индекса Херста ис-

наклона варьировала в широких пределах. Для

пользовались две слабо отличающиеся методики:

многих клеток степенной коэффициент α варьи-

первичная формулировка, предложенная Хер-

ровал в диапазоне 0,5-0,9, а у нескольких нейро-

стом [18], и модифицированная методика Найма-

нов это значение α приближалось к единице, что

на [24], которая несколько снижает значение это-

является максимально возможным наклоном ис-

го индекса, подавляя возможность ложных выво-

следуемой функции.

дов о наличии трендов. Везде, где это не

Примерно у четверти проанализированных

оговорено, мы будем использовать расчеты по

зависимостей наблюдалась характерная немоно-

модифицированной методике.

тонность хода функции F(t) (рис. 1д-з). После

Численные подсчеты значений индексов про-

начальных значений, близких к единице, наблю-

водили стандартными статистическими метода-

дали локальный минимум функции. После этого

ми. Коэффициенты связи рассчитывали по мето-

минимума функция начинала расти по степенно-

дике Кендалла. Достоверность различий и нали-

му закону, который наблюдался и для функций

чие связей обычно оценивали по критерию

F(t) без локального минимума. Среднее значение

p < 0,05.

коэффициента α для нейронов без локального

минимума составило 0,76 ± 0,18 (N = 52), а с ло-

кальным минимумом - 0,63 ± 0,24 (N = 18). При

РЕЗУЛЬТАТЫ

этом различия не достигли уровня достоверно-

сти, так что при дальнейшем рассмотрении зна-

В данной работе использованы данные, полу-

чения коэффициента показателя степени (α ) для

ченные при регистрации фоновой активности бо-

этих двух групп будут рассмотрены совместно.

лее 100 нейронов полукружного торуса травяной

лягушки (около 6% от общего числа зарегистри-

В нижнем ряду на рис. 1 приведены характери-

рованных клеток).

стики нейронов с выраженными особенностями

поведения функции F(t). При этом важно отме-

Время регистрации активности составляло от

тить, что были выявлены клетки, у которых зна-

100 до 3000 с, число проанализированных им-

чения F(t) на всех регистрируемых временных

пульсов варьировало от 80 до 20187 (среднее зна-

участках были близки к единице и, соответствен-

чение - 2829).

но, наклон функции был весьма близок к нулю

Основные особенности спонтанной активно-

(рис. 1и). Две клетки из числа исследованных

сти одиночных нейронов, расположенных в ос-

продемонстрировали даже достоверно отрица-

новном ядре слухового пути этих животных - по-

тельное значение показателя степени (рис. 1к).

лукружном торусе среднего мозга, уже были

Два последних графика на рис. 1 иллюстрируют

предметом специального рассмотрения в ряде на-

совершенно необычный ход функции Фано с ло-

ших работ [5,6,17]. Здесь мы остановимся на пове-

кальным максимумом при значениях в десятки

дении функций, описывающих фрактальные

(рис. 1л) или сотни (рис. 1м) миллисекунд с по-

(или квазифрактальные) особенности фоновой

следующим вторичным нарастанием (рис. 1м)

импульсации.

или без него (рис. 1л).

БИОФИЗИКА том 64

№ 3

2019

ФРАКТАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ФОНОВОЙ ИМПУЛЬСНОЙ АКТИВНОСТИ НЕЙРОНОВ

519

Рис.

1. Зависимость факторов Фано (треугольники) и Аллана (обратные треугольники) от длительности

регистрируемых временных интервалов для двенадцати одиночных нейронов полукружного торуса. Цифрами

обозначены условные номера исследованных клеток.

Разнообразие хода кривых F(t) у нейронов по-

трендовости. Для оценки хаотичности процесса

лукружного торуса проявлялось не только в раз-

наряду с исследование функции Фано использу-

нообразии крутизны, но и в значении интервала,

ется и поведение фактора Аллана, который в

с которого начинался рост функции. Конечно,

большей степени характеризует локальные вари-

прежде всего, это касалось клеток с локальным

ации процесса, поскольку он основан на сравне-

минимумом функции F(t), поскольку сам интер-

нии соседних интервалов.

вал, соответствующий указанному минимуму, ва-

На рис. 1 вместе с полученными на этих же

рьировал от десятков миллисекунд (рис. 1е, 1з) до

клетках зависимостями от интервала фактора Фа-

значений, соответствующих единицам секунд

но приведены и соответствующие зависимости

(рис. 1ж). Однако и в тех клетках, в которых этот

для фактора Аллана. Как правило, при степенном

минимум отсутствовал, разброс значений начала

росте функции F(t) у этих же клеток отмечали и

роста функции F(t) был весьма значителен. Чаще

участок роста функции А(t) по тому же закону, од-

всего степенной рост с примерно постоянным

нако ход этих функций имел несколько суще-

значением коэффициента начинался уже с ин-

ственных отличий. Рост функции А(t), как прави-

тервалов в несколько сотых или десятых секунды.

ло, начинался при больших значениях временно-

Отмечались, хотя и довольно редко, резкие изме-

го интервала, причем крутизна нарастания этой

нения значений коэффициента α по ходу

функции, характеризуемая показателем степени

функции.

β, как правило, была существенно больше, чем у

Как мы уже указывали во введении, задача на-

функции F(t) и нередко превышала единичное

стоящего исследования состояла в применении к

значение. Наконец, функция А(t) значительно

анализу точечного процесса спонтанной импуль-

больше подвержена случайным флуктуациям,

сации нейронов слухового центра среднего мозга

чем функция F(t). Это, в частности, приводило к

лягушки нескольких различных методов, харак-

трудностям точной оценки параметра, характери-

теризующих хаотичность процесса и оценку его

зующего показатель степени, и в некоторых слу-

БИОФИЗИКА том 64

№ 3

2019

520

БИБИКОВ и др.

чаях оценка осуществлялась только по четырем-

шести значениям последовательных интервалов.

Метод Херста в данной работе использовали

для полного интервала измерения спонтанной

активности, так что в результате для каждой клет-

ки получали одно значение - индекс Херста, ко-

торое легко сопоставлять сo значениями α и β, то

есть индексами Фано и Аллана.

Результаты сопоставления значений трех раз-

ных индексов, характеризующих фрактальные

свойства исследованных нами клеток, приведены

на рис. 2 и в таблице. Индексы Фано и Аллана

весьма тесно связаны между собой (p < 0,0001,

тау-b = 0,62, N = 89). Несколько слабее, хотя и аб-

солютно достоверно, эти индексы связаны с ин-

дексами Херста. Связь индексов Фано и Херста:

тау-b = 0,46, N = 87, p < 0,0001, а индекса Аллана

и Херста - тау-b = 0,39, N = 87, p < 0,0001.

Мы также рассмотрели корреляционные связи

трех индексов, характеризующих хаотичность

или фрактальность процесса, с другими парамет-

рами, описывающими свойства точечного про-

цесса спонтанной точечной импульсной актив-

ности нейронов: средней частотой импульсации,

коэффициентом вариации межимпульсных ин-

тервалов, локальным коэффициентом вариации

межимпульсных интервалов и процентом спай-

ков, включенных в пачки (таблица). Связь индек-

сов Фано, Аллана и Херста со всеми этими пара-

метрами для полной совокупности исследован-

ных клеток обычно не достигала уровня

достоверности. Достоверной оказалась только

связь между коэффициентом вариации и значе-

нием индекса Херста (тау-b = 0,09, N = 87,

p < 0,003). Связь коэффициента вариации имен-

но с индексом Херста можно объяснить, учиты-

вая, что оценка обоих параметров основана на из-

мерении различий значений межимпульсных ин-

тервалов.

Однако мы позволим себе остановиться на не-

которых связях, не достигающих уровня значи-

мости 0,05. Значения пачковости довольно не-

ожиданно, хотя и слабо, оказались отрицательно

связанными со всеми параметрами, характеризу-

ющими фрактальные свойства процесса (при ис-

пользовании вместо критерия Кендалла обычной

корреляционной зависимости связь пачковости с

фактором Фано все же достигала требуемого

уровня: R² = 0,04, N = 87, p < 0,042). Тенденция к

существованию отрицательной связи пачковости

Рис. 2. Взаимозависимость индексов Фано и Аллана

с факторами Фано и Аллана представляет опреде-

(а), Фано и Херста (б), а также Аллана и Херста (в) для

ленный интерес. Она указывает на то, что локаль-

популяции исследованных клеток. На рисунке (б)

индекс Херста дан в классическом определении, а

ные отклонения от случайности, к которым отно-

прямой линией указана зависимость факторов Фано

сится формирование пачек, нисколько не спо-

и Херста для типичных фрактальных процессов:

собствуют глобальным вариациям, которые

H(t) = 0,5 + 0,5 F(t). На рисунке (в) индекс Херста

отражаются в индексах Фано и Аллана. Об этом

приведен в модификации Неймана.

же свидетельствует и тот факт, что CV и CV2,

БИОФИЗИКА том 64

№ 3

2019

ФРАКТАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ФОНОВОЙ ИМПУЛЬСНОЙ АКТИВНОСТИ НЕЙРОНОВ

521

Таблица 1. Связь некоторых характеристик фоновой активности нейронов полукружного торуса травяной

лягушки

Локальный

Индекс

Число спайков

Частота

Коэффициент

коэффициент

Аллана

Херста

в пачках

импульсации

вариации

тау-b

Индекс Фано

0,62

<0,001

0,46

<0,001

-0,10

0,147

0,06

0,42

0,08

0,263

-0,08

0,287

Индекс Аллана

0,39

<0,001

-0,08

0,234

0,03

0,74

0,08

0,256

-0,05

0,509

Индекс Херста

-0,01

0,910

0,01

0,95

0,23

0,03

0,01

0,948

Число спайков

-0,09

0,23

0,30

<0,001

0,56

<0,001

в пачках

Частота

-0,13

0,87

-0,13

0,83

импульсации

Коэффициент

0,30

<0,001

вариации

Примечание. Для каждой пары характеристик указаны значение тау-b Кендалла и достоверность различий. Достоверные

значения выделены жирным шрифтом.

весьма тесно связанные со значением пачковости

совокупности клеток минимум F(t) был выявлен

(таблица), имеют слабую тенденцию (не достига-

только у 22% клеток, связь этой особенности F(t)

ющую уровня достоверности) быть отрицательно

с продолжительностью постспайкового сниже-

связанными с тремя индексами, характеризую-

ния возбудимости, отражаемого видом автокор-

щими хаотичность процесса.

реляционной функции, представляется оче-

Мы рассчитали также связь между значениями

видной.

индексов Фано, Аллана и Херста и такими пара-

Из рассмотрения зависимостей функций F(t) и

метрами нейрона, как характеристическая часто-

А(t) от значения интервала измерения (рис. 1)

та, его порог ответа на тон характеристической

легко можно было предположить, что рост этих

частоты и средняя частота спонтанной импульса-

функций может продолжиться и за пределами

ции. Во всех этих случаях корреляция не выяв-

максимального интервала, позволяющего произ-

лена.

вести их измерение (обычно около четверти вре-

Исходя из результатов работы [17], выполнен-

мени регистрации), Это побудило нас осуще-

ной на нейронах продолговатого мозга, есте-

ствить регистрацию функций F(t) и А(t) у одного и

ственно было предположить наличие связи меж-

того же нейрона последовательно несколько раз с

ду поведением факторов Фано и Аллана и поведе-

интервалами от десяти минут до получаса. Ре-

нием автокорреляционной функции исследуемой

зультаты такой работы для четырех нейронов

спонтанной импульсации. В данной работе мы не

приведены на рис. 3. Можно сделать вывод, что

осуществляли подробную классификацию ней-

эти функции обычно качественно сохраняют

ронов на основе автокорреляционной функции,

свои особенности, даже если измерения осу-

но выделили те клетки, у которых возрастание

ществлялись в разные интервалы времени. Одна-

значений автокорреляционной функции начина-

ко ясно и другое - у некоторых клеток их пара-

лось при задержках, превышающих 100 мс. Всего

метры могут измениться с течением времени.

таких клеток оказалось 15, и в 67% из них выяв-

Так, у клетки 01108 заметно изменился ход функ-

лялся минимум функции F(t). Поскольку по всей

ции А(t) (рис. 3б), у клетки 40806 возросло значе-

БИОФИЗИКА том 64

№ 3

2019

ФРАКТАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ФОНОВОЙ ИМПУЛЬСНОЙ АКТИВНОСТИ НЕЙРОНОВ

523

ние интервала, с которого начался степенной

Представляется, что медленные хаотические

рост функции А(t) (рис. 3г), а у клетки 70201 суще-

изменения свойств нейронов являются весьма

ственно уменьшился наклон функции F(t)

важной особенностью работы нервной системы.

(рис. 3д). Отметим, что у нейрона 01003, для ко-

Демонстрация фрактальных свойств спонтанной

торого ход интересующих нас функций был заре-

активности (обычно с использованием индекса

гистрирован семь раз, также были выявлены за-

Фано) была осуществлена даже на таких объек-

метные отличия количественных параметров,

тах, как волокна слухового [13] и зрительного [14]

оценивающих вариабельность спонтанной им-

нервов.

пульсации, при измерениях, выполненных в раз-

Отметим, что в значительном большинстве ра-

ное время (рис. 3ж, 3з).

бот, где анализируются медленные хаотические

Мы предполагаем в будущем исследовать ди-

изменения импульсной активности нейронов,

намику изменения факторов, характеризующих

используется фактор Фано и подчеркивается су-

наличие низкочастотных составляющих и фрак-

ществование степенной зависимости этого фак-

тальность процесса спонтанной импульсации, на

тора от длительности интервала [13,14]. Большин-

протяжении длительных периодов времени.

ство исследователей не обращают внимание на

разнообразие таких медленных хаотических из-

менений у разных клеток одной и той же нейрон-

ОБСУЖДЕНИЕ

ной структуры или выделяют только два харак-

Выявление характеристик протекающей во

терных участка: падение значений ниже единицы

времени деятельности нейронов в отсутствиe

с экстремумом, примерно соответствующим пе-

внешних воздействий и ее роль в обработке сен-

риодичности импульсации, и последующего сте-

сорной информации остается серьезной пробле-

пенного роста [30]. Однако согласно нашим дан-

мой для нейробиологии. Были предложены раз-

ным в одном и том же ядре могут встречаться и

личные методы и подходы для того, чтобы

клетки, спонтанная активность которых не про-

выявить, насколько наблюдаемые процессы им-

являет указанных характерных зависимостей

пульсации одиночного нейрона отличаются от

факторов Фано и Аллана от интервала.

ожидаемых случайно.

Это наблюдение подтверждается и рядом ли-

Как уже отмечалось в работе [6], относитель-

тературных данных. Наиболее четко фракталь-

ное число спонтанно активных клеток в полу-

ные особенности реакции нейронов были описа-

кружном торусе, как и в задних холмах млекопи-

ны в супрахиазматическом ядре гипоталамуса,

тающих [25,26], сравнительно невелико. Основ-

ответственном за поддержание циркадных рит-

ные стандартные характеристики спонтанной

мов [31]. Также хаотические изменения возбуди-

импульсации слуховых нейронов полукружного

мости были описаны и в условиях изоляции мозга

торуса амфибий, зарегистрированные в данной

при изучении спонтанной активности нейронов

работе, вполне соответствуют полученным нами

коры мыши [32]. При этом указанные хаотиче-

ранее на обоих исследованных видах амфибий:

ские изменения возбудимости обычно имели

озерной и травяной лягушках [5,27].

противоположные фазы в поверхностных и глу-

боких слоях коры. Даже на одиночных нейронах

В данной работе мы акцентируем внимание

головного мозга человека былo отмечено разно-

только на тех аспектах спонтанной активности,

образие в статистических характеристиках фоно-

которые свидетельствуют о ее хаотичности и не-

вой импульсации. Из 22 изученных клеток гиппо-

возможности описания в рамках чисто случайно-

кампа и миндалины у 17 отмечались медленные

го шумового сигнала.

хаотические изменения частоты импульсации, но

Очевидный вывод, который следует из анализа

в пяти случаях это явление отмечено не было [33].

полученных в этой работе данных, состоит в том,

Физиологические и модельные эксперименты

что спонтанную активность нейронов слухового

довольно убедительно показали, что практически

центра среднего мозга никак нельзя рассматри-

во всех отделах головного мозга наблюдается вы-

вать как стохастический стационарный случай-

раженная кластеризация связей. При регистра-

ный процесс или как процесс восстановления.

ции in vivo фоновой активности нейронов в слухо-

В последние годы накапливается все больше

вой коре крыс именно синхронизированная им-

данных о сложности и хаотичности всех проявле-

пульсация, состоящая из участков пониженной и

ний нейронной активности, начиная от реакции

резко усиленной активности, являлась определя-

волокон слухового нерва до суммарной электро-

ющей [34]. При этом связанные между собой ан-

энцефалограммы, отражающей активность мно-

самбли клеток вовсе не должны были находиться

гих тысяч корковых клеток [28,29].

в анатомической близости друг к другу [35]. По-

БИОФИЗИКА том 64

№ 3

2019

524

БИБИКОВ и др.

видимому, именно эта кластеризация связей ве-

на монотонно возрастали по степенному закону.

дет к появлению медленного хаотического изме-

Также в обоих ядрах отсутствует связь между зна-

нения состояния клеток, включенных в один или

чениями индексов Фано и Аллана и такими стан-

несколько кластеров. Это результат был проде-

дартными характеристиками клетки, как характе-

монстрирован в модельных экспериментах [36].

ристическая частота, порог ответа на тон характе-

Такие медленные изменения могут быть обуслов-

ристической частоты и средняя частота

лены существованием многих аттракторов и тем,

спонтанной импульсации. Участок степенного

что вследствие случайных флуктуаций в режиме

роста значений F(t) и А(t) наблюдался у 74 из

спонтанной активности наблюдаются хаотиче-

87 исследованных нейронов продолговатого моз-

ские переходы от одного аттрактора к другому.

га [17], что примерно соответствует данным, по-

При поступлении на вход системы внешнего сиг-

лученным в настоящей работе на среднем мозге.

нала число аттракторов резко снижается, что

Численные средние значения индексов Фано и

обычно ведет к уменьшению хаотичности реак-

Аллана для совокупности клеток с выраженным

ции, выражающейся в частности в падении зна-

степенным ростом функций F(t) и А(t) были выше

чений фактора Фано [37] и к возрастанию упоря-

в среднем мозге, чем в продолговатом. Соответ-

доченности импульсации.

ственные значения для индекса α составили 0,61 в

Представляет интерес вопрос о стабильности

дорсальном ядре и 0,66 в полукружном торусе, а

того или иного состояния системы нейронов в ре-

для индекса β эти значения составили 0,97 в дор-

жиме спонтанной импульсации. Судя по предва-

сальном ядре и 1,12 в полукружном торусе. Хотя

рительным результатам, полученным в настоя-

различия не достигли уровня достоверности при

щей работе, в том числе при регистрации актив-

критерии p < 0,05, данные можно рассматривать

ности одного нейрона в разное время (рис. 3),

как свидетельство некоторого повышения вариа-

создается впечатление, что переход системы от

бельности по ходу слухового пути. Особенности

одного состояния к другому может осуществлять-

поведения функций F(t) и А(t), заключающиеся в

ся в интервалах от долей секунды до нескольких

задержке момента начала роста А(t) относительно

минут. Представляет определенный интерес со-

F(t) и большей крутизне функции F(t), были

поставление этих данных со сверхмедленными

идентичны и в продолговатом, и в среднем мозге.

колебаниями биоэлектрической активности, ре-

Эти свойства естественно вытекают из определе-

гистрируемыми в различных (в частности, в слу-

ния этих функций [15] и применимы для любых

ховых) отделах головного мозга [38].

точечных процессов. Среднее значение немоди-

фицированного индекса Херста для нейронов

Проведем сопоставление статистических осо-

продолговатого мозга составило 0,73, а среднего

бенностей спонтанной импульсации у нейронов

мозга - 0,75. В целом отмеченная нами тенденция

среднего и продолговатого мозга одного и того же

к некоторому повышению вариабельности спон-

объекта - в данном случае травяной лягушки.

танной импульсации от периферических отделов

При этом мы не будем обсуждать существенное

головного мозга к центральным может являться

различие в процентном отношении числа спон-

общим свойством сенсорных систем [39].

танно активных нейронов в этих двух центрах.

В работе [17] было проведено сопоставление

Как уже отмечалось [6], резкое снижение спон-

характера течения функций F(t) и А(t) с видом ав-

танной активности при переходе от слуховых

токорреляционной функции регистрируемой фо-

центров продолговатого к среднему мозгу типич-

новой активности. Качественно это соответствие

но для большинства позвоночных. Этот факт, по-

было отмечено и в среднем мозге. В частности,

видимому, связан с большей избирательностью

минимум этих функций наблюдался, как прави-

нейронов среднего мозга к характерным особен-

ло, у тех клеток, которые характеризовались

ностям временной структуры сигнала.

большой задержкой момента нарастания авто-

Здесь мы остановимся на сопоставлении тех

корреляционной функции, свидетельствующей о

особенностей, которые характеризуют фракталь-

значительной длительности постспайкового сни-

ность импульсации спонтанно активных клеток

жения возбудимости.

продолговатого мозга и полукружного торуса. В

Здесь мы не затрагивали важного вопроса о

работах [4,17] соответствующие параметры были

том, является ли фоновая активность слуховых

описаны для нейронов дорсального ядра продол-

нейронов процессом восстановления, в котором

говатого мозга травяной лягушки.

вероятность генерации спайка зависит только от

Прежде всего отметим, что в обоих ядрах зна-

интервала времени, прошедшего от предыдущего

чительное большинство клеток обладали времен-

разряда клетки, или этот процесс обладает памя-

ным участком, на котором функции Фано и Алла-

тью. Наши предыдущие результаты [3,6], как и

БИОФИЗИКА том 64

№ 3

2019

ФРАКТАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ФОНОВОЙ ИМПУЛЬСНОЙ АКТИВНОСТИ НЕЙРОНОВ

525

некоторые литературные данные [13] свидетель-

14. M. C. Teich, C. Henengam, S. B. Lowen, et al., J. Opt.

ствуют в пользу второго из этих предположений.

Soc. Am. A 14 (3). 529 (1997).

Отметим в частности тот факт, что наклон дву-

15. S. B. Lowen and M. C. Teich. J. Acoust. Soc. Am. 99

мерного распределения следующих друг за дру-

(6), 3583 (1996).

гом межимпульсных интервалов, полученный по

всей совокупности интервалов, практически все-

16. D. W. Allan, Proc. IEEE 54 (2), 221 (1966).

гда был положительным, достоверно отличаясь

17. Н. Г. Бибиков и А. Б. Дымов, Cенcоpные cиcтемы

от нуля.

23 (3), 246 (2009).

Изменчивость мозга не удивительна с точки

18. H. E. Hurst, Trans. Am. Soc. Civ. Eng. 116 (1), 770

зрения экологической или эволюционной. В са-

(1951).

мом деле, мозг эволюционировал в нестационар-

ной среде, в которой предсказуемость может ока-

19. Н. Г. Бибиков и А. Б. Дымов, Биофизика 52 (6),

заться недостатком, а слабость изменчивости мо-

1073 (2007).

жет помешать найти оптимальные решения. Тот

20. Н. Г. Бибиков, Биофизика 60 (3), 506 (2015).

факт, что вариабельность имеет тенденцию расти

21. H. M. Kaplan, Fed.Proc. 28 (4), 1541 (1969).

в центральных отделах слухового пути, где набор

выделяемых признаков существенно расширяет-

22. A. Ponce-Alvarez, B. E. Kilavik, and A. Riehle, J.

ся и усложняется [20], также представляется есте-

Comput. Neurosci. 29 (1-2), 351 (2010).

ственным.

23. J. A. Barnes and D. W. Allan, Proc. IEEE 54 (2), 176

Программное обеспечение работы осуществ-

(1966).

лялось С.В. Низамовым.

24. Э. Найман, Економiст 10, 18 (2009).

Работа выполнена при финансовой поддержке

Российского фонда фундаментальных исследова-

25. J. Wang, R. J. Salvi, and N. Powers, J. Neurophysiol.

ний (грант № 16-04-01066).

75 (1), 171 (1996).

26. W. H. A. M. Mulders and D. Robertson, Neuroscience

164 (2), 733 (2009).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. N. Y. S. Kiang, Acta Otolaryngol. 59 (2-6), 186 (1965).

27. Н. Г. Бибиков и Г. А. Иваницкий, Сенсорные

системы 6, 194 (1992).

2. T. M. Elliott, J. Christensen-Dalsgaard, and D. B. Kel-

ley, J. Comp. Physiol. A 193 (12), 1243 (2007).

28. F. Freyer, K. Aquino, P. A. Robinson, et al., J. Neuro-

3. Н. Г. Бибиков и А. Б. Дымов, в сб. Труды 9-й

sci. 29 (26), 8512 (2009).

Всероссийской конференции «Нейроинформатика-

29. A. Arieli, A. Sterkin, A. Grinvald, and A. Aertsen, Sci-

2007» (Москва, 2007), сс. 19-25.

ence 273 (5283), 1868 (1996).

4. N. G. Bibikov and I. V. Makushevich, in Advances in

Neural Computation, Machine Learning, and Cognitive

30. C. D. Lewis, G. L. Gerber, P. D. Larsen, and

Research (NEUROINFORMATICS 2017. Studies in

S. M. Barman, J. Neurophysiol. 85 (4), 1614 (2001).

Computational Intelligence, vol. 736), Ed. by B. Kry-

31. S. I. Kim, J. Jeong, Y. Kwak, et al., J. Comput. Neuro-

zhanovsky, W. Dunin-Barkowski, and V. Redko

sci. 19 (1), 39 (2005).

(Springer, Cham, 2018), pp. 180-185.

5. Н. Г. Бибиков, в сб. Статистическая электрофи-

32. N. X. Kodama, T. Feng, J. J. Ullett, et al., Sci. Rep. 8

зиология, под ред. Э. В. Нарушевичус и

(666), 1 (2018).

А. Д. Смильгевичус (Вильнюс, 1968), сс. 70-80.

33. J. Bhattacharya, J. Edwards, A. N. Mamelak, and

6. N. G. Bibikov, IBRO Reports 2, 54 (2017).

E. M. Schuman, Neuroscience 131 (2), 547 (2005).

7. B. A. Olshausen and D. J. Field, Curr. Opin. Neurobi-

34. A. Luczak, P. Bartho, S. L. Marguet, et al., Proc. Natl.

ol. 14 (4), 481 (2004).

Acad. Sci. USA 104 (1), 347 (2007).

8. K. Vonderschen and M. J. Chacron, J. Neurophysiol.

35. M. Tsodyks, T. Kenet, A. Grinvald, and A. Arieli, Sci-

106 (6), 3102 (2011).

ence 286 (5446), 1943 (1999).

9. Н. Г. Бибиков и С. В. Низамов, Биофизика 62 (6),

1153 (2017).

36. A. Litwin-Kumar and B. Doiron, Nature Neuroscience

15 (11), 1498 (2012).

10. U. Fano, Phys. Rev. 72 (1), 26 (1947).

37. G. Deco and E. Hugues, PLoS Comput. Biol. 8 (3),

11. H. S. Orer, D. Mahasweta, S. M. Barman, and

e1002395 (2012).

G. L. Gebber, J. Neurophysiol. 90 (1), 47 (2003).

12. G. L. Gebber, S. O. Hakan, and M. B. Susan, J. Neu-

38. И. В. Филиппов, A. A. Кребс и К. С. Пугачев,

rophysiol. 95 (2), 1176 (2006).

Сенсорные системы 21 (3), 237 (2007).

13. S. B. Lowen and M. C. Teich, J. Acoust. Soc. Am. 92

39. A. Vogel, R. M. Hennig, and B. Ronacher, J. Neuro-

(2), 803 (1992).

physiol. 93 (6), 3548 (2005).

БИОФИЗИКА том 64

№ 3

2019