Лёд и Снег · 2022 · Т. 62 · № 1

УДК551.467

doi: 10.31857/S2076673422010121

Стохастическое моделирование полей сплочённости ледяного покрова для оценки

условий плавания по трассе Северного морского пути

¹Крыловский государственный научный центр, Санкт-Петербург, Россия; ²Арктический и Антарктический научно-

исследовательский институт, Санкт-Петербург, Россия; ³Санкт-Петербургский государственный университет,

Санкт-Петербург, Россия; ⁴ООО «Бюро Гиперборея», Санкт-Петербург, Россия

*rimay@mail.ru

Stochastic modeling of sea ice concentration fields for assessment of navigation conditions

along the Northern Sea Route

R.I. May^1,3*, R.B. Guzenko², O.V. Tarovik¹, A.G. Topaj⁴, A.V. Yulin²

¹Krylov State Research Center, St. Petersburg, Russia; ²Arctic and Antarctic Research Institute, St. Petersburg, Russia;

³Saint Petersburg State University, St. Petersburg, Russia; ⁴LLC «Bureau Hyperborea»

*rimay@mail.ru

Received June 29, 2021 / Revised October10, 2021 / Accepted December 23, 2021

Keywords: ice concentration, sea ice generator, stochastic modeling, ice conditions, Markov chain, Arctic navigation.

Summary

Article describes a probabilistic model (stochastic generator) of spatial-temporal variability of sea ice concentration. Values

of the ice concentration are generated at the nodes of the spatial grid with 10 km resolution; the model time step is one

day. The change in ice concentration with time (temporal variability) is modeled on the basis of a matrix of transient prob-

abilities (discrete Markov chain), each row of which is a distribution function of the conditional probability of changes in

the ice concentration. Spatial variability is determined by empirical probability fields, with which the observed changes

in fields of the ice concentration are associated with known conditional probability distribution functions. To identify the

parameters of the stochastic generator, satellite data from the OSI SAF project for the period 1987-2019 were used. The

generator takes into account seasonal, interannual and climatic variability. Interannual and climatic variability are deter-

mined on the basis of a stochastic model of changes in the types of ice coverage. In order to verify the developed stochas-

tic generator, we compared the statistical indicators of observed and calculated ice fields. The results showed that the field-

average absolute error of statistical characteristics of the ice concentration (mean and standard deviation) does not exceed

3.3%. The discrepancy between the correlation intervals of ice coverage calculated from the model and measured ice con-

centration fields does not exceed 2 days. The variograms of the modeled and observed fields have a similar form and close

values. As an example, we determined the duration of navigation of Arc4 ice class ships between the Barents and Kara Seas

using synthetic fields of the ice concentration reproduced by the stochastic generator.

Citation: May R.I., Guzenko R.B., Tarovik O.V., Topaj A.G., Yulin A.V. Stochastic modeling of sea ice concentration fields for assessment of navigation con-

ditions along the Northern Sea Route. Led i Sneg. Ice and Snow. 2022, 62 (1): 125-140. [In Russian]. doi: 10.31857/S2076673422010121.

Поступила 29 июня 2021 г. / После доработки 10 октября 2021 г. / Принята к печати 23 декабря 2021 г.

Ключевые слова: вероятностное моделирование, сплочённость льда, стохастический генератор ледяного покрова, ледовые

условия, цепь Маркова, навигация в Арктике.

Описана созданная вероятностная модель пространственно-временнóй изменчивости сплочённости ледя-

ного покрова. Временнáя связанность обеспечивается за счёт использования цепей Маркова, а простран-

ственная - путём введения эмпирических полей вероятности. Модель учитывает синоптическую, сезонную,

межгодовую и климатическую изменчивости ледяного покрова. Определение параметров стохастического

генератора выполнено на основе архивных данных проекта OSI SAF. Верификация модели показала, что

средняя по полю абсолютная ошибка статистических показателей сплочённости (среднее и стандартное

отклонение) относительно исторических данных не превышает 1/3 балла. Автокорреляционные функции

ледовитости и вариограммы отдельных полей сплочённости по модельным и фактическим данным имеют

схожий вид. На основе результатов расчёта вероятностной модели полей сплочённости рассчитаны даты

начала и окончания навигации судов ледового класса Arc4 между Баренцевым и Карским морями.

Введение

тивном Арктическом регионе. В настоящее время

для наблюдения за льдом и определения его па

От наличия ледяного покрова зависят усло

раметров используется целый комплекс техноло

вия хозяйственной деятельности в большинстве

гий, позволяющих получать спутниковые сним

морей России, особенно - в наиболее перспек

ки различного типа, строить диагностические

 125 

Морские, речные и озёрные льды

ледовые карты, а также прогнозировать динами

пределения как квантиль значений вероятности,

ку льдов на основе численных моделей. Опера

созданный генератором случайных чисел, равно

тивные диагностические и прогностические дан

мерно распределённых от 0 до 1.

ные служат для планирования навигации судов

Подобные вероятностные модели, приме

во льдах, а архивная информация используется

няемые для получения синтетической метео

для статистической оценки режимных характе

рологической информации в точке, получили

ристик ледяного покрова при решении многих

в литературе название одноточечных (single-site)

инженерных и научных задач. В частности, не

генераторов [9, 10]. Для расчёта связанных по

обходимо не только оценивать статистические

пространству полей синтетической метеороло

характеристики льда, но и моделировать различ

гической информации созданы многоточечные

ные процессы, связанные со льдом. К таким сфе

(multisite) погодные генераторы и сеточные гене-

рам относятся: анализ рисков ледового плавания;

раторы [9]. Многоточечные генераторы пред

прогнозирование длительности рейсов судов во

ставляют собой комплекс одноточечных гене

льдах; определение параметров работы морских

раторов, для которых по данным измерений

транспортных систем и многое др. При выпол

определены статистические параметры синхрон

нении таких исследований имеющихся рядов

ного изменения.

наблюдений может оказаться недостаточно для

Простые сеточные генераторы могут быть ос

получения статистически значимых оценок ин

нованы на пространственном интерполирова

тересующих параметров, поэтому необходимо

нии результатов расчёта многоточечных генера

получить дополнительные, искусственные ва

торов в узлы сетки. Однако при таком подходе в

рианты реализации ледовой обстановки. С этой

синтетических реализациях погоды удаётся ото

целью могут использоваться вероятностные мо

бразить только пространственное распределение

дели пространственно-временнóй изменчивости

климатических показателей (например, сезонных

ледяного покрова.

трендов средних значений моделируемых вели

Подобные вероятностные модели, воспро

чин), а не их пространственную связь - корреля

изводящие метеорологические характеристики,

цию случайных вариаций в соседних точках или

получили название «стохастические генераторы

областях [11]. Более сложные погодные генерато-

погоды». Их широко применяют для оценки ко

ры основаны на использовании методов стоха

личества атмосферных осадков [1], снегозапа

стического моделирования, позволяющих одно

сов [2], температуры воздуха [1], облачности [3]

временно учесть временнýю (зависимость между

и др. Некоторые стохастические генераторы до

значениями одного метеоэлемента в одной точке

полнены физическими зависимостями между

в разные моменты времени), пространствен

метеорологическими элементами и воспроизво

ную (зависимость между значениями одного ме-

дят целый комплекс параметров, характеризую

теоэлемента в один момент времени в соседних

щих состояние атмосферы [4]. Реализация гене

точках) и структурную (зависимость между зна

раторов погоды позволяет методом Монте-Карло

чениями разных метеоэлементов в конкретной

оценивать вероятность стихийных бедствий [5],

пространственно-временной локации) корре

метеорологическое воздействие на живые орга

ляцию составляющих погоды как многомерно

низмы и экосистемы [6], сельскохозяйственную

го дискретного случайного процесса. При этом

деятельность [7], потребление электроэнергии

можно показать, что добиться абсолютного соот

и др. Кроме того, генераторы погоды исполь

ветствия эмпирических и модельных показателей

зуют для имитации изменчивости синоптиче

временнóй и пространственной связности можно

ского масштаба при заданных климатических

только в случае одновременной генерации всех

сценариях состояния атмосферы [8]. В большин

точек пространственно-временного дискретного

стве генераторов погоды для воспроизведения

поля [12]. Однако размерность задачи и вычисли

временнόй динамики метеорологических пара

тельная сложность алгоритма для многоточечных

метров дискретной природы часто используется

пространственных сеток - очень большие, по

простая цепь Маркова [9]. В одномерном случае

этому используется следующий распространен

моделируемый параметр на каждом шаге модели

ный подход: последовательное использование на

определяют с помощью условной функции рас

каждом шаге алгоритма статистического моде

 126 

Р.И. Май и др.

лирования метода генерации случайного поля с

Стохастический генератор ледяного покрова

заданными пространственными корреляцион

ными связями [9] и его дальнейшее рекурсивное

Источник исходной информации о сплочённо-

развёртывание во времени отдельно для каждого

сти ледяного покрова. Из нескольких свободно

узла расчётной сетки по авторегрессионным за

распространяемых баз данных характеристик

висимостям, обеспечивающим требуемый уро

ледяного покрова был выбран продукт OSI-409

вень временнóй связности [13].

v.1.2, разработанный Норвежским и Датским

Стохастические генераторы погоды широко

метеорологическими институтами под эгидой

применяют в метеорологии и гидрологии, одна

Европейской организации по использованию

ко в исследованиях ледового режима замерзаю

метеорологических спутников EUMETSAT [18].

щих морей их использование очень ограничено.

Данные OSI-409 охватывают отрезок времени

Вероятностные модели применяли при оцен

с 25.10.1978 г. по 31.12.2019 г. Значения спло

ке условий плавания судов во льдах [14] и опре

чённости размещены в прямоугольной сетке,

делении вероятности аварийных ситуаций [15].

созданной в полярной стереографической про

Последние задачи - ключевые для развития

екции, с пространственным шагом 10 км и дис

арктического судоходства, поскольку именно

кретностью по времени, равной одним суткам.

длительность рейсов и уровень рисков опреде

Данные доступны на портале osisaf.met.no.

ляют эффективность плавания судов в Аркти

Математическое описание стохастическо-

ке. Практически во всех задачах такого типа ле

го генератора ледяного покрова. Результаты ана

довые параметры моделируются вдоль заданных

лиза автокорреляционных функций изменения

маршрутов движения. Это - достаточно услов

ледовитости арктических морей [19] показали,

ный подход, поскольку реальная траектория дви

что для описания изменчивости характеристик

жения судов может изменяться в зависимости от

ледяного покрова может быть применена цепь

ледовых условий как на локальном (выбор марш

Маркова. В настоящей работе для моделирова

рута в заданном регионе), так и на стратегиче

ния изменения сплочённости во времени ис

ском (выбор региона плавания) уровнях. Именно

пользована дискретная цепь Маркова первого

поэтому более точные и соответствующие ре

порядка. В стохастическом генераторе ледяно

альности результаты моделирования движения

го покрова был реализован алгоритм, описывае

судов во льдах (особенно при прогнозировании

мый уравнением

длительности рейсов в будущем, в условиях из

Ct +1, x, y = F -1(Ct +1, x, y |Ct, x, y)(P_{t, x, y}),

(1)

менения климата) могут быть получены при ис

пользовании ансамбля пространственно-времен

где Ct +1, x, y - поле сплочённости в координа

ных полей ледовых параметров и применении

тах сетки x, y на следующем временнóм шаге;

технологии ледовой маршрутизации [16, 17] для

F -1(Ct +1, x, y |Ct, x, y) - обратная условная функция рас

поиска оптимального пути судна.

пределения вероятностей переходов сплоченно

Таким образом, для получения синтети-

сти; C_{t,x,y -}известное значение поля сплочённо

ческой информации о пространственно-вре-

сти на предыдущем временнóм шаге; значение

меннόй изменчивости параметров льда необ

C_t,x,y определяет номер строки матрицы пере

ходимо разработать комплекс вероятностных

ходных вероятностей, по которой формируется

моделей, образующих«стохастический генератор

функция F(Ct +1, x, y |Ct, x, y); P_t,x,y - поле модельных

ледяного покрова». Эта задача - новая и акту

величин вероятности.

альная. Первый шаг в реализации такого генера

Учёт синоптической, сезонной, межгодовой и

тора - моделирование изменчивости сплочён

климатической изменчивости. Ледяному покро

ности льда. Сплочённость характеризует степень

ву свойственны синоптическая, сезонная, меж

покрытия акватории льдом и служит одним из

годовая и климатическая изменчивости. Уравне

важнейших параметров ледяного покрова, по

ние (1) описывает суточную последовательность

этому именно с неё следует начинать разработ

изменения сплочённости, что соответствует си

ку стохастического генератора, дополняя его

ноптической изменчивости, связанной со сме

затем вероятностными моделями изменчивости

ной атмосферных барических образований.

остальных характеристик льда.

Сезонная изменчивость учтена с помощью раз

 127 

Морские, речные и озёрные льды

Рис. 1. Временнóй ряд последовательности изменения типов ледовитости по данным проекта OSI-409 (1) и

на основе стохастического моделирования (2); I - V см. текст

Fig. 1. Time series of the changes in types of ice conditions from the OSI-409 project (1) and according to the sto

chastic model (2); I - V see text

деления временнόго ряда изменения сплочён

временнóй ряд изменения типов ледовитости

ности на месячные отрезки времени с годовой

(рис. 1). Типизация ледовитости проводится для

периодичностью. Для устранения неопределён

каждого дня года, поэтому сезонная изменчивость

ностей, связанных с временнóй интерполяцией

никак не отражается во временных рядах измене

месячных оценок параметров пространственно-

ния типов ледовых условий.

временнóй изменчивости сплочённости ис

По временнóму ряду изменения типов ле

пользован скользящий анализ данных с шагом

довитости рассчитана матрица вероятностей

по времени одни сутки и окном 31 сут., т.е. для

переходов из одного типа ледовитости в дру

оценок значений F -1(Ct +1, x, y |Ct, x, y) использовались

гой. Результаты расчёта показали, что за одни

данные за отрезок времени [t - ω … t + ω], где

сутки с вероятностью 0,89-0,96 тип ледовито

ω = 15 сут. Для имитации межгодовой изменчи

сти не изменится, а с вероятностью 0,05-0,06

вости описанный алгоритм был применён для

изменится только на одну градацию. Получен

пяти типов ледовых условий.

ные вероятностные характеристики временнóй

В настоящей работе рассматриваются толь

изменчивости типов ледовитости использова

ко изменения сплочённости, поэтому в качестве

лись для получения модельного временнóго ряда

критерия для типизации использовалась ледови

типов ледовитости заданной длины реализации.

тость рассматриваемой акватории как интеграль

Климатическая изменчивость типов ледовито

ная оценка общей сплочённости. В нашем слу

сти учитывается с помощью рассчитанных па

чае ледовитость привязана не к конкретному

раметров тренда изменения ледовитости. В ка

морю, а к площади, которая охватывается сеточ

честве модели климатической изменчивости

ной областью модели. Поля сплочённости проек

типов ледовитости можно использовать любую

та OSI-409 пересчитывались во временнóй ряд из

выявленную закономерность изменения ледо

менения ледовитости моделируемой акватории с

витости (линейный тренд, полициклические ко

суточной дискретностью. Типизацию ледовитости

лебания, полиномиальные регрессионные урав

проводили для каждого дня года: все значения за

нения и др.). Мы использовали линейный тренд.

32 года, приходящиеся на данный день года, раз

Полученные результаты показали, что по дан

бивались на заданное число типов. В данной ра

ным проекта ОSI-409 с 1987 по 2019 г. линейный

боте квантили для вероятностей рассчитывались

тренд имеет отрицательные значения, т.е. отме

с шагом 0,2. Полученные значения квантилей ис

чается тенденция изменения типов ледовито

пользованы в качестве пороговых значений пяти

сти к более лёгким условиям со скоростью одна

типов ледовитости, которые можно назвать «лёг

градация типа ледовитости за 8,9 лет. Этот тренд

кими» (I), «среднелёгкими» (II), «средними» (III),

прослеживается на рис. 1.

«среднетяжёлыми» (IV) и «тяжёлыми» (V). Каж

Аддитивная модель изменения типов ледови

дому значению ледовитости, попадающему в со

тости основана на использовании цепей Марко

ответствующий диапазон, был присвоен тип ле

ва с добавлением детерминистической составля

довитости. В результате такого расчёта получен

ющей в виде линейного тренда. По модельному

 128 

Р.И. Май и др.

временнóму ряду изменения типов ледовитости,

торые используются в уравнении (1) для стоха

который имитирует межгодовую и климатиче

стического моделирования полей сплочённо

скую изменчивость, происходит выбор условных

сти. В прикладной геостатистике разработано

вероятностей и эмпирических полей вероятно

большое число алгоритмов стохастического мо

сти, рассчитанных для данного типа ледовитости.

делирования случайных полей с заданными ха

Пример смоделированного временнóго ряда по

рактеристиками пространственной коррели

следовательности типов ледовитости представлен

рованности значений в близко расположенных

на рис. 1. На этом рисунке также приведена по

точках или областях [21, 22]. Для их построения

следовательность типов ледовитости, определён

используют подходы скользящего среднего, раз

ная по исходным данным проекта OSI-409.

деления на локальные подобласти по средней

Эмпирические поля вероятности. Характер

величине, разложения Холецкого полной мат-

ные особенности корреляционной структуры

рицы ковариации, дискретного преобразования

полей вероятности P_t,x,y можно оценить по дан

Фурье и др. Многие из этих подходов включе

ным наблюдений. Для этого уравнение (1) пре

ны в стандартные статистические пакеты и ком

образуем так, чтобы, подставив значения спло

плексы программ [23].

чённости на двух соседних шагах по времени

Модели полей случайных вероятностей всег

(C_t и Ct+1) в условную функцию распределения

да будут содержать погрешности, вызванные тем

сплоченности F(Ct +1|Ct), можно будет выполнить

или иным методом аппроксимации, поэтому

обратный расчёт, т.е оценить единственно воз

случайные поля P_t,x,y в уравнении (1) мы пред

можное значение вероятности P, при котором

лагаем заменить массивом эмпирических полей

выполняется переход сплочённости C_t в Ct+1.

вероятности P^{*t, x, y}. Очевидно, что прямая после

Распространяя описанное действие на все ячей

довательность эмпирических полей вероятно

ки сеточной области и на все последовательные

сти (P_t,x,y = P^{*t, x, y}), рассчитанных по данным на

пары шагов по времени, можно оценить эмпи

блюдений, позволяет воспроизвести результаты

рические трёхмерные поля вероятности P^{*t, x, y}:

стохастического генератора на отрезок длиной

N_Y лет. Так как случайные поля P_t,x,y и их эмпи

P^{*t, x, y} = F(Ct +1, x, y |Ct, x, y)(C_{t, x, y},Ct +1, x, y).

(2)

рические оценки P^{*t, x, y} имеют равномерное рас

Знак «*»в уравнении (2) указывает на то, что

пределение, для увеличения длины реализации

поле вероятностей определено по исходным

стохастического генератора последовательность

данным. В нашем случае трёхмерный массив

полей P^{*t, x, y} можно менять местами. Выбор од

P^{*t, x, y} представляет собой временнýю последова

ного поля вероятности для момента времени t из

тельность полей вероятности, которые вызвали

набора P^{*t, x, y}, выполняется по формуле

изменения сплочённости на рассматриваемом

P_t,x,y = P*t + [R1 × NY × ND] + [U -1(R2, μ, σ)], x, y,

(3)

отрезке времени. Отметим, что в этом случае в

качестве источника данных о пространствен

где U ^-1(R₂, μ, σ) - обратная функция нормально

ной связности выступают не исходные поля ге

го распределения с математическим ожиданием

нерируемой характеристики в различные вре

μ = t и стандартным отклонением σ = ω/3; R₁,

менные срезы, а эмпирические поля переходных

R₂ - случайные величины, созданные генерато

вероятностей, вычисленные «обратным счётом»

ром случайных чисел; [] - операция округления

по фактическим наблюдениям смены карти

до целого; N_Y - число годов в рядах; N_D - число

ны сплочённости в соседние моменты време

дней в году; t - порядковый номер дня в году.

ни. При этом проблема «размывания» желатель

В формуле (3) выбран нормальный закон

ной пространственной корреляции при прогоне

распределения для сохранения сезонной измен

через алгоритм цепи Маркова с различными ве

чивости, которая присутствует в рядах эмпи

личинами матриц перехода в соседних точках

рических полей вероятности P^{*t, x, y}. Число непо

пространственной сетки [20] становится более

вторяющихся комбинаций последовательности

не актуальной.

эмпирических полей вероятности для каждого

На основе полученного массива эмпириче

дня года равно (2ω × N_Y)^ND, максимальная длина

ских полей вероятности P^{*t, x, y} можно подобрать

реализации генератора будет равна 10¹⁰⁸⁸ лет при

модель полей вероятности P_t,x,y = f(P^{*t, x, y}), ко

ω = 15 сут. и N_Y = 32 года. Такой длины рядов

 129 

Морские, речные и озёрные льды

синтетической информации о ледяном покрове

На рис. 2 приведены поля средних значений

вполне хватит для оценки параметров навигации

и значений среднеквадратического отклонения

методом Монте-Карло.

(СКО) сплочённости для апреля и июня, рассчи

Реализация стохастического генератора ле-

танные с 1987 по 2019 г. по фактическим данным

дяного покрова. Стохастическое моделирование

и результатам стохастического моделирования.

полей сплочённости ледяного покрова выпол

Видно, что статистические характеристики ре

няется следующим образом. Сначала на основе

зультатов моделирования хорошо согласуются с

аддитивной модели генерируется временнóй ряд

аналогичными параметрами, полученными в ходе

изменения типов ледовитости с суточной дис

анализа исходных данных проекта OSI-409. Гра

кретностью. После этого для каждых суток по

диент значений средней сплочённости и макси

известным типам ледовитости выбирают услов

мальные значения СКО сплочённости указывают

ные функции распределения вероятностей из

на нахождение в этой области кромки ледяного

менения сплочённости, а по формуле (3) - эм

покрова в указанное время года. В апреле кром

пирические поля вероятностей, свойственные

ка льда проходит в Печорском море и по линии,

указанному типу ледовитости и дню года (сезо

соединяющей южную оконечность Шпицберге

ну). Далее с помощью формулы (1) моделирует

на с северной оконечностью Новой Земли. Летом

ся поле сплочённости на следующий временнóй

кромка льда в Карском море поднимается север

шаг. Описанная последовательность действий

нее и проходит по линии Шпицберген - Земля

повторяется на заданную длину реализации. На

Франца-Иосифа - Северная Земля. Такая тен

чальное поле сплочённости может быть выбрано

денция прослеживается на картах статистических

случайно из набора исходных данных или задано

характеристик сплочённости ледяного покрова

в виде случайного поля. В последнем случае не

как по спутниковым данным, так и по результа

обходимо выделить время, чтобы начальные ус

там расчёта стохастического генератора ледяного

ловия не влияли на результаты моделирования.

покрова (см. рис. 2). Совпадение средних значе

Однократная реализация стохастической моде

ний сплочённости по результатам анализа фак

ли воспроизводит один из возможных сценариев

тических данных и результатам моделирования

развития ледовой обстановки. Для получения ан

показывает, что стохастический генератор кор

самбля всевозможных вариантов целесообразно

ректно воспроизводит сезонную изменчивость

повторить расчёт вероятностной модели несколь

кромки льда, а совпадение полей СКО сплочён

ко раз, и по совокупности результатов таких рас

ности за отдельные месяцы свидетельствует о

чётов можно определить точечные и интерваль

правдоподобном воспроизведении синоптиче

ные оценки искомых параметров. Все результаты,

ский изменчивости положения кромки льда.

представленные далее в статье, получены по 20

На рис. 2 видны прибрежные области умень

независимым реализациям генератора.

шения среднего значения и увеличения СКО

сплочённости. Эти локальные особенности поля

среднего значения сплочённости объясняются

Верификация стохастического генератора

продуцированием полыней в прибрежной обла

ледяного покрова

сти за счёт отжимных ветров. Совпадение резуль

татов анализа фактических и модельных данных

Основное требование, предъявляемое к ре

свидетельствует, что модель на качественном

зультатам стохастического моделирования, - ка

уровне воспроизводит образование полыней.

чественное и количественное совпадение ста

Для зимних месяцев такие локальные области

тистических характеристик, получаемых в ходе

уменьшения среднемесячной сплочённости

обработки результатов моделирования и реаль

могут располагаться не у побережья, а у кром

ных наблюдений за природной обстановкой.

ки обширного припая, например, на рис. 2, а, б

Для оценки выполнения этого требования про

такие образования видны северо-западнее Тай

ведено сравнение получаемых расчётных стати

мыра. Совпадение таких элементов в результатах

стических характеристик полей сплочённости с

анализа модельных и наблюдаемых данных ука

аналогичными параметрами исходных данных

зывает, что вероятностная модель также воспро

спутниковых наблюдений.

изводит припай и заприпайные полыньи.

 130 

Морские, речные и озёрные льды

Для количественной оценки сходства полей

Таблица 1. Сравнение статистических характеристик спло-

средних значений и СКО использована средняя

чённости, полученных по исходным спутниковым дан-

ным проекта OSI-409 и по результатам стохастического

абсолютная ошибка (mean absolute error, MAE):

моделирования

MAE = Σ|C_D - C_G| /N,

Средняя абсолютная

MAE полей средне

ошибка (mean absolute

квадратического

где C_D - поле характеристик, рассчитанных по

Месяц

error, MAE) полей средней

отклонения сплочён

исходным данным; C_G - поле характеристик,

сплочённости, баллы

ности, баллы

рассчитанных по результатам вероятностного

0,18±0,05

0,25±0,07

моделирования; N - число сравниваемых пар

0,19±0,06

0,27±0,06

ячеек в полях C_D и C_G.

III

0,16±0,04

0,23±0,05

В табл. 1 приведены значения средней абсо

0,18±0,05

0,23±0,04

лютной ошибки для полей средней сплочённо

0,23±0,04

0,30±0,05

0,29±0,06

0,30±0,06

сти и СКО сплочённости для каждого месяца.

VII

0,23±0,06

0,21±0,04

Приведено среднее значение по 20 реализаци

VIII

0,21±0,05

0,25±0,06

ям генератора с оценкой 95%-го доверительного

0,24±0,06

0,31±0,08

интервала. Как видно из табл. 1, среднее абсо

0,28±0,06

0,24±0,05

лютное отклонение между полями среднего зна

0,19±0,04

0,26±0,07

чения сплочённости не превышает 0,29 балла.

XII

0,17±0,07

0,25±0,07

Максимальное значение МАЕ балла полей СКО

составило 0,31 балла. Выраженного сезонного

изменения значений средней абсолютной ошиб

мы выполнили расчёт вариограмм для 15 числа

ки полей среднего значения и СКО сплочённо

каждого месяца 2010 г. (год выбран случайно).

сти не наблюдается. Корректность временнόй

Результаты показали, что вариограммы, рассчи

связанности результатов моделирования можно

танные по наблюдаемым и модельным полям

оценить сравнением автокорреляционных функ

сплочённости, имеют схожий вид и сопоста

ций результатов моделирования и исходных дан

вимые значения дисперсии на всех простран

ных проекта OSI-409. Так как сеточная область

ственных сдвигах. На рис. 3 для примера пред

имеет размер 305 × 258 (78 690 ячеек), восполь

ставлены эмпирические вариограммы полей

зуемся временным рядом ледовитости акватории

сплочённости для 15 марта и 15 июля: линии 1 -

для получения интегральной оценки временнóй

это вариограммы, рассчитанные для исходных

изменчивости полей сплочённости. Автокорре

спутниковых данных проекта OSI-409, линии

ляционные функции ледовитости пересекают

2 - вариограммы, рассчитанные для каждой

первую нулевую отметку (интервал корреляции

даты по 20 реализациям стохастического гене

при ε = 0) на сдвигах 95 сут. для исходных дан

ратора. Как видно из рис. 3, вариограммы, рас

ных и 93 сут. для данных, воспроизведённых ге

считанные по фактическим данным, находятся

нератором ледяного покрова. Интервал корреля

внутри облака данных, полученных в ходе 20 не

ции при ε = 0,7 составляет 44 сут. для исходных

зависимых реализаций генератора.

данных и 43 сут. для результатов моделирования.

Для получения количественных оценок срав

Характеристики пространственной корре

нения вариограмм воспользуемся значением рас

ляции случайных полей принято оценивать с

стояния, при котором эмпирическая вариограмма

помощью вариограмм, которые показывают

γ(h) пересекает значение по оси ординат, равное 9.

распределение ковариации значений элемен

Это пороговое значение вариограммы выбрано,

тов поля в зависимости от пространственного

исходя из соображения, что в номенклатуре мор

смещения. Длина исходных данных о сплочён

ских льдов первые две градации льда по сплочён

ности проекта OSI-409 составляет 11 853 сут.,

ности содержат 3 балла (редкий лёд - 1-3 балла,

20 реализаций стохастического генератора дают

разреженный - 4-6 баллов). Радиус вариограм

на каждое поле фактических данных 20 равно

мы h(γ = 9) можно интерпретировать как рассто

ценных альтернативных друг другу вариантов.

яние, которое в среднем покрывает одна града

Сопоставить такое число вариограмм в рамках

ция сплочённости. Вариограмма, рассчитанная

одной статьи технически невозможно, поэтому

по полю сплочённости на 15 марта 2010 г, пересе

 132 

Р.И. Май и др.

Рис. 3. Примеры варио

грамм полей сплочённо

сти для 15 марта и 15 июля

2010 г. по данным проек

та OSI-409 (1) и 20 реали

зациям стохастического

генератора (2)

Fig. 3. Examples of vario

grams of sea ice concentra

tion fields for March 15 and

July 15, 2010 according to

the OSI-409 project (1),

and 20 realizations of the

stochastic generator (2)

кает пороговую отметку на сдвиге 592 км; анало

задач, где требуется неограниченная во времени

гичные показатели h(γ = 9) для 20 реализаций ге

синтетическая информация о ледяном покрове.

нератора находятся в диапазоне от 513 до 741 км,

среднее значение радиуса вариограммы соста

вило 623±141 км (в качестве доверительного ин

Пример использования стохастического

тервала используется удвоенное значение СКО).

генератора ледяного покрова для оценок

Аналогичный радиус вариограммы h(γ = 9) для

навигационных параметров на участке трассы

15 июля 2010 г. равен 776 км по фактическим дан

Северного морского пути между Баренцевым

ным и h(γ = 9) = 730±90 км по 20 реализациям сто

и Карским морями

хастического генератора (минимальное значение

h(γ = 9) = 663 км, максимальное - 824 км).

Описанную в статье вероятностную модель из

Примеры модельных полей сплочённости,

менения полей ледяного покрова можно приме

созданных стохастическим генератором ледяно

нять для краткосрочного прогностического расчё

го покрова для 15 июня, приведены на рис. 4, где

та ансамбля возможных состояний сплочённости

видны такие специфические элементы ледяно

с оценкой вероятности наступления каждого со

го покрова, свойственные данному сезону, как

стояния, восстановления недостающего фрагмен

Ямальская полынья, Новоземельский и Северо

та поля сплочённости, полученного, например,

земельский ледяные массивы. В результатах рас

по спутниковым снимкам. Однако основная зада

чёта для зимних месяцев (в статье не показаны)

ча стохастического генератора - воспроизведение

отмечаются припай и заприпайные полыньи. Вос

неограниченных по времени синтетических полей

произведение моделью таких особых элементов

ледяного покрова, которые можно использовать

ледового режима, как припай, полыньи, ледяные

для оценок параметров, зависящих ото льда, мето

массивы, косвенно свидетельствует об адекватно

дом Монте-Карло. В качестве примера возможно

сти созданного стохастического генератора ледя

стей использования синтетической информации о

ного покрова и о пригодности его использования

ледяном покрове проведём расчёт навигационных

для решения различных научных и прикладных

параметров на трассах Северного морского пути

 133 

Р.И. Май и др.

между Баренцевым и Карским морями. Соглас

гационных параметров выступают: дата начала

но «Правилам классификации и постройки мор

навигации; дата окончания навигации; продол

ских судов» Российского морского регистра су

жительность навигации. Дата начала навигации

доходства [24], для судов класса Arc4, Arc5 и Arc6

определяется как первый возможный в данном

навигация во льдах Баренцева и Карского морей

году оптимальный путь, проведённый между на

допустима в однолетнем разреженном льду (спло

чальной и конечной точками маршрута. Анало

чённость 4-6 баллов). Лёд в проливе Карские Во

гично определяется дата окончания навигации -

рота и севернее Новой Земли тает летом, поэто

это последний день года, в который возможно

му единственным лимитирующим фактором для

провести маршрут между точками пути.

ледового плавания судов класса Arc4, Arc5 и Arc6

На основе описанного стохастического гене

между Баренцевым и Карским морями будет толь

ратора были рассчитаны 20 реализаций на отрезок

ко общая сплочённость льда.

времени с 1980 по 2042 г. Выбранный интервал ре

Для оценки навигационных параметров по

ализации генератора обусловлен линейным трен

набору искусственных полей сплочённости ис

дом типов ледовитости, рассчитанным по дан

пользовался метод автоматического нахождения

ным проекта OSI-409 (1987-2019 гг.). До и после

оптимального пути судна во льдах, детально изло

этого отрезка линейный тренд выдаёт нереали

женный в работе [17]. Данный метод основан на

стичные значения типов ледовитости. Таким об

последовательном расчёте положения виртуаль

разом, 2042 г. - предел реализации генератора при

ных судов, одновременно вышедших из начальной

выбранном климатическом сценарии. Очевид

точки. Рассчитанные с определённой временнóй

но, что при аппроксимации изменчивости типов

дискретностью грани полигонов максимально

ледовитости другой функцией (полиномиальная

го продвижения судов называются изохроной. На

функция, тренды с долгопериодными колебани

чальная точка пути была расположена в незамер

ями) предельная длина реализации и результаты

зающей части Баренцева моря, а конечная - в

расчёта стохастического генератора будут други

районе входа в Обскую губу вне границ припая.

ми. Однако при исследовании климатических из

В зависимости от скорости судна от каждой вер

менений первые оценки такой изменчивости -

шины изохроны рассчитывались новые полиго

параметры линейного тренда. Также очевидно,

ны возможного перемещения судна. Объедине

что сама типизация ледовитости, выполненная по

ние этих полигонов даёт новую линию изохроны

данным 1987-2019 гг., будет терять актуальность

на следующий временнóй шаг. При попадании

на концах временнóго отрезка расчёта стохастиче

конечной точки внутрь полигона максимального

ского генератора с заданным линейным трендом.

продвижения построение новых изохрон прекра

Для каждого дня каждой реализации получе

щается, а от точки, попавшей в полигон, в обрат

но синтетическое поле сплочённости и по каж

ном порядке рассчитывается оптимальный путь

дому полю сплочённости определена возмож

судна, который в методе изохрон представляет

ность соединить начальную и конечную точки

собой линию, соединяющую наиболее близкие

маршрута по чистой воде и льдам сплочённостью

вершины соседних во времени полигонов изохрон.

менее 6 баллов. Для каждого года каждой реали

Чтобы абстрагироваться от характеристик ле

зации были выбраны даты начала и окончания

допроходимости конкретного судна, будем счи

навигации. На рис. 5 приведены даты сроков на

тать, что при сплочённости от 0 до 6 баллов ско

чала навигации по чистой воде, редким льдам

рость судна не меняется, а при сплочённости льда

и разреженным льдам на выбранном маршруте.

более 6 баллов скорость судна равна нулю. Такой

Область, закрашенная голубым цветом, пока

подход позволяет оценить только формальную

зывает среднее значение ± удвоенное значение

возможность или невозможность достижения ко

СКО за 20 реализаций - µ ± 2σ. Если предпо

нечной точки маршрута судном с ледовым клас

ложить, что распределение дат начала и окон

сом Arc4. На рис. 4 приведены примеры полей

чания навигации за 20 реализаций генератора

сплочённости, рассчитанные стохастическим ге

соответствует нормальному распределению, то

нератором, и оптимальные пути плавания судов

закрашенную область можно интерпретировать

класса Arc4, соответствующие данному полю

как область доверительного интервала с вероят

сплочённости. В качестве оцениваемых нави

ностью ≈95,5%. Из рис. 5 видно, что даты начала

 135 

Р.И. Май и др.

Таблица 2. Параметры навигации судов ледового класса Arc4 из Баренцева моря в Обь-Енисейский район Карского моря,

оценённые по результатам расчёта стохастического генератора ледяного покрова и исходным данным проекта OSI-409

Отрезок времени,

Средняя дата навигации, начало/окончание

Средняя продолжительность навигации, сутки

годы

OSI-409

генератор

OSI-409

генератор

1980-1990

04.07/18.10

106

1990-2000

28.06/ 21.10

26.06/23.10

116

119

2000-2010

22.06/ 29.10

21.06/27.10

129

128

2010-2020

07.06/09.11

15.06/02.11

155

140

2020-2030

11.06/06.11

148

2030-2040

09.06/10.11

153

*Прочерки - данные проекта OSI-409 отсутствуют.

и окончания навигации судов ледового класса

ко для 1990-, 2000- и 2010-х годов, стохастиче

Arc4, рассчитанные по исходным данным про

ский генератор воспроизвёл такие же оценки

екта OSI-409 (линии 1), находятся в массиве дат,

для шести десятилетий. Как видно из табл. 2,

рассчитанных по результатам стохастического

для 1990- и 2000-х годов характеристики нача

моделирования (20 линий 2) и имеют схожие тен

ла и окончания навигации, рассчитанные как

денции и масштабы изменчивости. Как прави

по наблюдаемым, так и по смоделированным

ло, функция дат начала навигации, рассчитанных

данным, совпадают: отклонения дат составляют

по спутниковым данным, лежит внутри области

трое суток и менее. Однако за отрезок времени с

95,5%-го доверительного интервала, рассчитан

2010 по 2020 г. средняя продолжительность на

ного по данным стохастического генератора.

вигации, оценённая по данным синтетических

Количественный анализ сроков начала навига

полей сплочённости, меньше почти на две неде

ции между Баренцевом морем и Обь-Енисейским

ли по сравнению с результатами расчёта парамет-

районом показал, что средняя дата начала навига

ров навигации по данным проекта OSI-409.

ции по данным проекта OSI-409 за 1987-2019 гг.

В настоящий момент созданный стохасти

приходится на 21 июня, а конец навигации - на

ческий генератор ледяного покрова может вос

29 октября (средняя продолжительность навига

производить только те ледовые условия, для

ции судов класса Arc4 составила 130 дней). Анало

которых выведены основные вероятностные за

гичные параметры, полученные на основе синте

кономерности, заложенные в модель. В нашем

тических полей сплочённости, составили 22 июня,

случае делается прогноз ледовых условий и свя

27 октября и 127 дней соответственно. Таким обра

занных с ними параметров арктической нави

зом, основные навигационные параметры для судов

гации на несколько десятилетий вперёд, ис

ледового класса Arc4, воспроизведённые моделью и

ходя из следующих допущений: а) существуют

оценённые по спутниковым данным, отличаются

только пять типов ледовитости, выделенных за

всего на несколько суток, что косвенно указывает

1987-2019 гг.; б) только эти пять типов ледо

на качество созданной стохастической модели из

витости будут отмечаться в будущем. При этом

менчивости полей сплочённости. Ещё раз отметим,

оценённый нами параметр линейного тренда об

что полученные результаты учитывают параметры

условливает наличие в результатах моделиро

льда не в какой-либо точке, линии (установленном

вания только I (лёгкий) тип ледовитости после

ранее маршруте) или полигоне (район возможных

2030-х годов. В действительности, на данном от

маршрутов судов), а во всей расчётной области (т.е.

резке времени возможны более лёгкие условия,

полностью Карское и Баренцево моря, западная

чем оценённые нами по данным за 1987-2019 гг.

часть моря Лаптевых с прилегающими акваториями

Поэтому полученные прогностические оценки

Арктического бассейна).

параметров арктической навигации могут да

Подекадные оценки параметров навигации

вать более «суровые» условия, чем они будут на

между Баренцевым морем и Обь-Енисейским

самом деле: а) заниженные оценки для средней

районом Карского моря для судов ледового

даты начала навигации, дисперсии дат начала и

класса Arc4 приведены в табл. 2. Для данных

конца навигации, средней продолжительности

проекта OSI-409 такие оценки доступны толь

навигации; б) увеличенные оценки для средней

 137 

Морские, речные и озёрные льды

даты окончания навигации. До некоторой степе

и он позволит устранить проблему «размывания»

ни этот эффект можно будет сгладить введением

установленной пространственной корреляции,

новых (не существующих в данных наблюдений

которая возникает при моделировании случай

за 1987-2019 гг.) прогнозируемых типов ледови

ных полей по характеристикам метеопараметров.

тости (например, очень лёгкий или нулевой тип

Стохастический генератор ледяного покрова

ледовитости и т.д.). Для прогнозируемых типов

воспроизводит реалистичные изменения полей

ледовитости можно определить условные функ

сплочённости: в результатах моделирования кор

ции распределения вероятности как результат

ректно отражаются положение и динамика кром

экстраполирования функций распределения,

ки ледяного покрова, заприпайных полыней, ле

диагностированных для пяти типов ледовитости.

дяных массивов. Верификация вероятностной

модели выполнялась сравнением статистических

характеристик (среднее значение и СКО) полей

Заключение

сплочённости, автокорреляционных функций

временных рядов ледовитости, вариограмм полей

Разработка вероятностных моделей про-

сплочённости на отдельные календарные даты.

странственно-временнóй изменчивости гидроме

Во всех случаях результаты стохастического мо

теорологических полей - важная задача, подоб

делирования качественно и количественно были

ные модели применяют в различных научных и

близки к измеренным полям сплочённости.

прикладных сферах. Стохастические модели, вос

Объединение стохастического генератора и

производящие пространственно-временнýю из

технологии ледового роутинга (поиска оптималь

менчивость параметров ледяного покрова, также

ного пути судна во льдах) позволяет перейти к

востребованы и могут быть использованы для оцен

моделированию параметров арктической нави

ки параметров навигации в Арктике, при страте

гации методом Монте-Карло, где стохастическо

гическом планировании работы морских транс

му генератору отводится роль неограниченного

портных систем, а также при решении прикладных

источника синтетической информации о ледя

задач из совершенно разных областей знаний.

ном покрове. В данной статье с использованием

Здесь описана созданная вероятностная мо

стохастического генератора проведён расчёт дат

дель сплочённости льда, в которой для имита

начала и конца навигации судов ледового клас

ции временнόй связанности изменчивости па

са Arc4 между Мурманском и Обь-Енисейским

раметров ледяного покрова использованы цепи

районом. Полученные результаты показывают,

Маркова. Для придания случайным полям про

что создание стохастического генератора ледяно

странственной связанности предварительно были

го покрова принципиально возможно, а выбран

рассчитаны эмпирические поля переходных ве

ное направление исследований следует развивать.

роятностей, вычисленные по условной функции

распределения вероятностей переходов из одной

Благодарности. Исследование выполнено при

градации сплочённости в другую и исходными

поддержке Российского научного фонда (проект

значениями сплочённости в узлах сеточной об

№ 17-79-20162).

ласти. Такой подход, на наш взгляд, может быть

Acknowledgments. The study is supported by the Rus

применён в стохастических генераторах погоды,

sian Science Foundation (Project № 17-79-20162).

Литература

References

1. Richardson C.W. Stochastic simulation of daily pre

1. Richardson C.W. Stochastic simulation of daily precip

cipitation, temperature and solar radiation // Water

itation, temperature and solar radiation. Water Re

Resources Research. 1981. № 17. P. 182-190. doi:

sources Research. 1981, 17: 182-190. doi: 10.1029/

10.1029/WR017i001p00182.

WR017i001p00182.

2. Гельфан А.Н., Морейдо В.М. Динамико-стохастиче

2. Gelfan A.N., Moreido V.M. Dynamic-stochastic mod

ское моделирование формирования снежного по

eling of snow cover formation on the European terri

крова на Европейской территории России // Лёд и

tory of Russia. Led i Sneg. Ice and Snow. 2014, 2 (126):

Снег. 2014. № 2 (126). C. 44-52.

44-52. [In Russian].

 138 

Р.И. Май и др.

3. Laslett D., Creagh C., Jennings P. A method for gen

3. Laslett D., Creagh C., Jennings P. A method for generat

erating synthetic hourly solar radiation data for any

ing synthetic hourly solar radiation data for any loca

location in the south west of Western Australia, in a

tion in the south west of Western Australia, in a world

world wide web page // Renewable Energy. 2014. V. 68.

wide web page. Renewable Energy. 2014, 68: 87-102.

P. 87-102. doi: 10.1016/j.renene.2014.01.015.

doi: 10.1016/j.renene.2014.01.015.

4. Peleg N., Fatichi S., Paschalis A., Molnar P., Burlando P.

An advanced stochastic weather generator for simu

An advanced stochastic weather generator for simulat

lating 2-D high resolution climate variables // Journ.

ing 2-D high resolution climate variables. Journ. of

of Advances in Modeling Earth Systems. 2017. V. 9.

Advances in Modeling Earth Systems. 2017, 9: 1-33.

P. 1-33. doi: 10.1002/2016MS000854.

doi: 10.1002/2016MS000854.

5. Youngman B.D., Stephenson D.B. A geostatistical ex

treme-value framework for fast simulation of natural

hazard events // Proc. of the Royal Society A: Math

hazard events. Proc. of the Royal Society A: Math

ematical, Physical and Engineering Science. 2016.

ematical, Physical and Engineering Science. 2016, 472

№ 472 (2189). 20150855. doi: 10.1098/rspa.2015.0855.

(2189): 20150855. doi: 10.1098/rspa.2015.0855.

6. Schlabing D. Frassl M.A., Eder M.M., Rinke K., Bardos-

6. Schlabing D. Frassl M.A., Eder M.M., Rinke K., Bar-

sy A. Use of a weather generator for simulating climate

dossy A. Use of a weather generator for simulating cli

change effects on ecosystems: A case study on Lake

mate change effects on ecosystems: A case study on

Constance // Environmental Modelling & Software.

Lake Constance. Environmental Modelling & Soft

2014. V. 61. P. 326-338. http://dx.doi.org/10.1016/j.

ware. 2014, 61: 326-338. http://dx.doi.org/10.1016/j.

envsoft.2014.06.028.

7. Dubrovsky M., Buchtele J., Zalud Z. High-frequency and

low-frequency variability in stochastic daily weather gen

low-frequency variability in stochastic daily weather

erator and its effect on agricultural and hydrologic mod

generator and its effect on agricultural and hydrologic

elling // Climatic Change. 2004. V. 63 (1-2). P. 145-179.

modelling. Climatic Change. 2004, 63 (1-2): 145-179.

doi: 10.1023/B:CLIM.0000018504.99914.60.

8. Keller D.E., Fischer A.M., Liniger M.A., Appernzeller C.,

Knutti R. Testing a weather generator for downscaling

Knutti R. Testing a weather generator for downscal

climate change projections over Switzerland // Intern.

ing climate change projections over Switzerland. In

Journ. of Climatology. 2016. V. 37 (2). P. 928-942. doi:

tern. Journ. of Climatology. 2016, 37 (2): 928-942.

10.1002/joc.4750.

doi: 10.1002/joc.4750.

9. Ailliot P., Allard D., Monbet V., Naveau P. Stochastic

weather generators: an overview of weather type mod

els // Journ. de la Société Française de Statistique.

els. Journ. de la Société Française de Statistique. 2015,

2015. V. 156 (1). P. 101-113.

156 (1): 101-113.

10. Май Р.И., Таровик О.В., Топаж А.Г. Модели

10. May R.I., Tarovik O.V., Topazh A.G. Maritime weather

рование морской погоды как входного сигнала

as an input data of simulation models of transporta

имитационных моделей транспортных и эколо

tion and ecological systems in Arctic regions. Prob-

гических систем в арктическом регионе // Про

lemy ekologicheskogo monitoring i modelirovaniye eko-

блемы экологического мониторинга и моделиро

sistem. Problems of ecological monitoring and mod

вание экосистем. 2018. Т. XXIX. № 3. C. 20-38. doi:

eling of ecosystems. 2018, XXIX (3): 20-38. doi:

10.21513/0207-2564-2018-3-20-38.

10.21513/0207-2564-2018-3-20-38. [In Russian].

11. Semenov M.A., Brooks R.J. Spatial interpolation of the

11. Semenov M.A., Brooks R.J. Spatial interpolation of

LARS-WG stochastic weather generator in Great Brit

the LARS-WG stochastic weather generator in Great

ain // Climate Research. 1999. V. 11. P. 137-148. doi:

Britain. Climate Research. 1999, 11: 137-148. doi:

10.3354/cr011137.

12. Iwanski S., Kuchar L. Spatial generation of daily mete

12. Iwanski S., Kuchar L. Spatial generation of daily me

orological data // Acta Scientiarum Polonorum - For

teorological data. Acta Scientiarum Polonorum - For

matio Circumiectus. 2003. V. 2 (1). P. 113-121.

matio Circumiectus. 2003, 2 (1): 113-121.

13. Khalili M., Brissette F., Leconte R. Stochastic multi-site

generation of daily weather data // Stochastic Envi

generation of daily weather data. Stochastic Environ

ronmental Research and Risk Assessment. 2009. V. 23.

mental Research and Risk Assessment. 2009, 23 (6):

№ 6. P. 837-849. doi: 10.1007/s00477-008-0275-x.

837-849. doi: 10.1007/s00477-008-0275-x.

14. Bergström M., Erikstad S.O., Ehlers S. A simulation-

based probabilistic design method for arctic sea trans

 139 

Морские, речные и озёрные льды

port systems // Journ. of Marine Science and Appli

port systems. Journ. of Marine Science and Appli

cation. 2016. № 15. Р. 349-369. doi: 10.1007/s11804-

cation. 2016, 15: 349-369. doi: 10.1007/s11804-016-

016-1379-1.

1379-1.

15. Третьяков В.Ю., Фролов С.В., Сарафанов М.И. Ре

15. Tretyakov V.Yu., Frolov S.V., Sarafanov M.I. Results of

зультаты компьютерного моделирования веро

computer modeling of the probability of emergency sit

ятности аварийных ситуаций из-за сжатий судов

uations due to the compression of ships by drifting ice

дрейфующими льдами на участке Северного мор

on the section of the Northern Sea Route. Rossiyskaya

ского пути // Российская Арктика. 2019. № 5.

Arktika. Russian Arctic. 2019, 5: 4-11. doi: 10.24411/

С. 4-11. doi: 10.24411/2658-4255-2019-10051.

2658-4255-2019-10051.

16. Topaj A., Tarovik O., Bakharev A.A. Modification

16. Topaj A., Tarovik O., Bakharev A.A. Modification of

of ship routing algorithms for the case of navigation

ship routing algorithms for the case of navigation in

in ice // Proc. of the 25th Intern. Conf. on Port and

ice. Proc. of POAC-2019, Delft. The Netherlands.

Ocean Engineering under Arctic Conditions (POAC-

June 9-13. 2019: 12 p.

2019), Delft, The Netherlands. June 9-13. 2019. 12 p.

17. May R.I., Fedyakov V.E., Frolov S.V., Tarovik O.V.,

17. May R.I., Fedyakov V.E., Frolov S.V.,Tarovik O.V.,

Topaj A.G. Method for finding the optimal ship route

in ice based on vector geo-algorithms. Intern. Journ. of

in ice based on vector geo-algorithms // Intern. Journ.

Offshore and Polar Engineering. 2020, 30 (1): 78-85.

of Offshore and Polar Engineering. 2020. № 30 (1).

18. Lavergne T., Tonboe R., Lavelle J., Eastwood S. Algorithm

Р. 78-85.

Theoretical Basis Document for the OSI SAF Global

18. Lavergne T., Tonboe R., Lavelle J., Eastwood S. Al

Sea Ice Concentration Climate Data Record. OSI-450,

gorithm Theoretical Basis Document for the OSI

OSI-430-b. Ver. 1.2. EUMETSAT Ocean and Sea Ice

SAFGlobal Sea Ice Concentration Climate Data Re

SAF High Latitude Processing Centre. 2019: 33 p.

cord.OSI-450, OSI-430-b. Version 1.2. EUMETSAT

19. Trapeznikov Yu.A., Chepurina M.A. Probabilistic model

Ocean and Sea Ice SAF High Latitude Processing

of ice coverage of the Arctic seas.Veroyatnostny analiz

Centre. 2019. 33 p.

i modelirovaniye okeanologicheskikh protsessov. Proba

19. Трапезников Ю.А., Чепурина М.А. Вероятностная

bilistic analysis and modeling of oceanological pro

модель ледовитости арктических морей // Вероят

cesses. Leningrad: Gidrometeoizdat, 1984: 39-42. [In

ностный анализ и моделирование океанологических

Russian].

процессов. Л.: Гидрометеоиздат, 1984. C. 39-42.

20. Wilks D. Multisite generalization of a daily stochas

20. Wilks D. Multisite generalization of a daily stochastic

tic precipitation generation model. Journ.of Hydrol

precipitation generation model // Journ. of Hydrol

ogy. 1998, 210 (1): 178-191. doi: 10.1016/S0022-

ogy. 1998. № 210 (1). P. 178-191. doi: 10.1016/S0022-

1694(98)00186-3.

21. Prigarin S.M. Metody chislennogo modelirovaniya

21. Пригарин С.М. Методы численного моделирова

sluchaynykh protsessov i poley. Numerical Modeling of

ния случайных процессов и полей. Новосибирск:

Random Processes and Fields. Novosibirsk: ICMiMG

ИВМиМГ СО РАН, 2005. 259 с.

SB RAS, 2005: 259 p. [In Russian].

22. DolloffJ., Doucette P. The Sequential Generation of

22. Dolloff J., Doucette P. The Sequential Generation of

Gaussian Random Fields for Applications in the Geo

spatial Sciences // ISPRS. Intern. Journ. of Geo-Infor

spatial Sciences. ISPRS. Intern. Journ. of Geo-Infor

mation. 2014. V. 3. P. 817-852. doi: 10.3390/ijgi3020817.

mation. 2014, 3: 817-852. doi: 10.3390/ijgi3020817.

23. Schlather M., Malinowski A., Menck P.J., Oesting M.,

23. Schlather M., Malinowski A., Menck P.J., Oest-

Strokorb K. Analysis, simulation and prediction of

ing M., Strokorb K. Analysis, simulation and predic

multivariate random fields with package Random

tion of multivariate random fields with package Ran

Fields // Journ. of Statistical Software. 2015. V. 63.

dom Fields. Journ.of Statistical Software. 2015, 63 (8):

№ 8. P. 1-25. doi: 10.18637/jss.v063.i08.

1-25. doi: 10.18637/jss.v063.i08.

24. Правила классификации и постройки морских

24. Rules for the classification and construction of sea-

судов. Ч. I. Классификация. СПб.: Российский

going ships. Part I. Classification. SPb.: Russian Mari

морской регистр судоходства, 2017. 60 с.

time Register of Shipping, 2017: 48 р.

 140 