Письма в ЖЭТФ, том 113, вып. 10, с. 655 - 660

Спектр генерации длиноимпульсных лазеров на свободных

электронах терагерцового диапазона: квазилинейная теория

Н.С.Гинзбург^+∗, Е.Р.Кочаровская^+∗1), А.С.Сергеев⁺, С.Е.Фильченков⁺

⁺Федеральный исследовательский центр институт прикладной физики РАН, 603950 Н. Новгород, Россия

^∗Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, 603950 Н. Новгород, Россия

Поступила в редакцию 13 апреля 2021 г.

После переработки 13 апреля 2021 г.

Принята к публикации 15 апреля 2021 г.

Построена квазилинейная теория лазеров на свободных электронах (ЛСЭ), в которых в результате

использования интенсивных электронных пучков, обладающих значительным скоростным разбросом,

реализуется кинетический режим электронно-волнового взаимодействия. В предположении о накопле-

нии поля в высокодобротном резонаторе найдены стационарные распределения спектральной плотности

возбуждаемых резонаторных мод при различных уровнях превышения тока пучка над порогом. Показа-

но, что при значительных превышениях на функции распределения электронов по энергиям на выходе из

резонатора возникает плато, ширина которого пропорциональна ширине спектра генерации. Проведены

оценки параметров применительно к длинно-импульсным ЛСЭ, которые могут быть реализованы на ба-

зе линейных индукционных ускорителей. Показана возможность эффективного преобразования энергии

электронных пучков с большим разбросом в широкополосное излучение терагерцового диапазона.

DOI: 10.31857/S1234567821100049

В настоящее время в ИЯФ СО РАН (Новоси-

Как известно, для обеспечения гидродинамиче-

бирск) создаются линейные индукционные ускорите-

ского режима взаимодействия разброс по энергиям

ли (ЛИУ) нового поколения, которые способны фор-

E = mc²γ и продольным скоростям V_z должен быть

мировать релятивистские электронные пучки с энер-

ограничен условиями:

гией от 5 до 20 МэВ, килоамперным уровнем тока и

Δγ

ΔV_z

длительностью до 200 нс [1, 2]. Очевидна привлека-

≪

(1)

V_z

Nγ²

тельность использования таких пучков в лазерах на

где N - число периодов ондуляторного поля. Вме-

свободных электронах (ЛСЭ) терагерцового диапа-

сте с тем интенсивные электронные пучки облада-

зона. В данный момент подобный проект разраба-

ют достаточно большими разбросами, которые мо-

тывается в сотрудничестве с ИПФ РАН [3, 4]. Необ-

гут не удовлетворять условию (1). В одномодовом

ходимо отметить, что в отличие от существующих

режиме генерации это должно приводить к значи-

терагерцовых ЛСЭ на основе линейных высокочас-

тельному снижению эффективности энергообмена. В

тотных ускорителей [5,6] и микротронов [7], пучки

таких условиях для более эффективного преобразо-

которых представляют собой последовательность ко-

вания энергии электронов в терагерцовое излучение

ротких (пикосекундных) импульсов, ЛСЭ на осно-

целесообразно допустить возможность многочастот-

ве ЛИУ позволяет обеспечить генерацию длиноим-

ной генерации. Возбуждение большого числа мод с

пульсного излучения с мощностью до 100 МВт и

различными частотами и продольными индексами

рекордным уровнем энергии ∼ 10-100 Дж в единич-

при одновременном присутствии ондуляторного по-

ном импульсе. Базовый вариант таких ЛСЭ должен

ля обеспечивает возникновение спектра синхронных

обеспечить реализацию одномодового одночастотно-

комбинационных волн, воздействие которых на элек-

го режима генерации. Это требует, с одной сторо-

тронный поток ведет к диффузии частиц в область

ны, разработки высокоселективных электродинами-

малых энергий.

ческих систем, а с другой формирования электрон-

Очевидно, что для описания электронно-

ных пучков с малым скоростным и энергетическим

волнового взаимодействия в таких условиях эф-

разбросом.

фективен квазилинейный подход [8-16], который в

настоящей работе модифицирован применительно к

¹⁾e-mail: katya@appl.sci-nnov.ru

возбуждению излучения в высокодобротном резо-

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 9 - 10

2021

655

656

Н.С.Гинзбург, Е.Р.Кочаровская, А.С.Сергеев, С.Е.Фильченков

наторе, когда различные спектральные компоненты

где

h= 2π/d, d - период ондулятора. Поле излуче-

представляют собой моды с различным числом

ния внутри двухзеркального резонатора представим

продольных вариаций поля. При этом движение

в виде набора собственных мод, отличающихся про-

электронов описывается уравнением диффузии для

дольным индексом n и имеющих поперечную струк-

усредненной функции распределения.

туру TE₀₁ волны планарного волновода

В высокодобротном резонаторе длины l время

]

[∑

пролета релятивистского электрона T = l/V_z суще-

A_s = Re

x₀A_n(t)sin(πy/b)exp(iθ_sn)

(4)

ственно меньше времени изменения амплитуд мод

Здесь A_n(t) - комплексные амплитуды мод, фазы

T_Q =

(2)

ω_s

V_gr(1 - R²)

которых полагаем случайными, θ_sn = ω_nt - h_snz,

ω_n = nπc/l - собственные частоты мод.

где Q = ω_sl/V_gr(1 - R²) - добротность резонатора,

Усредненное движение релятивистских электро-

R - коэффициент отражения зеркал, который близок

нов в электромагнитном поле (4) и поле ондулятора

к единице, ω_s - центральная частота генерации. В та-

(3) определяется пондеромоторной силой, представ-

ких условиях интегральную интенсивность поля, как

ляющей набор продольных комбинационных волн,

и его спектральное распределение за время пролета

[

]

электронов можно считать фиксированным и опи-

∑

e²

сывать движение частиц при заданном коэффици-

F_z =

(-ih_cn)A_snA^∗w exp(iθ_cn)

(5)

n=1

енте диффузии. Далее находится высокочастотный

ток, создаваемый электронами, который будет опре-

и может быть описано с помощью кинетического

делять динамику спектральной плотности поля и со-

уравнения для функции распределения электронов

ответствующий коэффициент диффузии на времен-

f (t, z, p_z) [10, 11, 16]:

ных масштабах порядка T_Q. Подобный подход поз-

∂f

воляет описать установление стационарного распре-

+V_z

+F_z

= 0.

(6)

∂t

∂z

∂p_z

деления спектральной плотности возбуждаемых ре-

зонаторных мод. При этом на выходе из резонатора

Здесь p_z

= mV_zγ - продольный импульс, θ_cn

у функции распределения электронов по энергиям

= ω_nt - h_cnz - фазы электронов в полях комбина-

возникает плато, ширина которого пропорциональна

ционных волн, h_cn = h_sn +h.

ширине спектра генерации и, соответственно, увели-

Амплитуды мод могут быть найдены из уравне-

чивается по мере превышения тока инжекции над по-

ния возбуждения резонатора [17]

роговым значением.

dA_sn

ω_n

Рассмотрим двумерную модель ЛСЭ, изображен-

A_sn =

(7)

2Q_n

ную на рис. 1. Предположим, что интенсивный лен-

∫

2πβ_gr

= -i

j_ωnδ(y - b/2)sin(πy/b)eihsnzdS_⊥dz,

snS⊥

0 S_⊥

∫

где j_ωn

= 1/π

j_x exp(-iω_nt)dω_nt

- амплитуда

∫_∞

Фурье-гармоники тока j_x = -n_0-∞ V_xfdp_z, V_x =

= (e/mcγ)Re[A_w exp(ihz)] - осцилляторная скорость,

Рис. 1. (Цветной онлайн) Схема ЛСЭ. 1 - ондулятор с

приобретаемая электроном в ондуляторном поле,

периодом d; 2 - планарный волновод; 3 - электронный

n₀ - плотность электронного пучка, S_⊥ - попереч-

пучок; 4 - зеркала с коэффициентами отражения R

ное сечение волновода.

В квазилинейном приближении представим

точный релятивистский электронный пучок движет-

функцию распределения в виде

ся в планарном волноводе c расстоянием между пла-

[

]

∑

стинами b. На краях волновода имеются два зер-

f =

f + Re

f_n exp(iθ_cn)

(8)

кала с коэффициентами отражения R. Электроны

n=0

осциллируют в поле ондулятора, заданного вектор-

где первое слагаемое

f отвечает за диффузию элек-

потенциалом

тронов по энергии, а второе описывает сумму откли-

A_w = Re[x₀A_w exp(ihz)],

(3)

ков на воздействие ансамбля комбинационных волн,

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 9 - 10

2021

Спектр генерации длиноимпульсных лазеров на свободных электронах. . .

657

которые согласно уравнениям (5), (6) могут быть

Уравнения (10) и (12) составляют самосогласо-

представлены в виде:

ванную систему квазилинейных уравнений многомо-

дового ЛСЭ-генератора с высокодобротным резона-

e²

h_cnA_snA^∗w

тором. Эти уравнения должны быть дополнены на-

f_n =

(9)

2E (ω_n - h_cnV_z) ∂p_z

чальными и граничными условиями:

Используем (8), (9) для вычисления амплитуды ВЧ

f (z = 0, p_z) = f₀, P_s(t = 0, ω_s) = P^0s,

(15)

тока j_ωn в правой части уравнения (7). При этом ин-

тегрирование по импульсам p_z заменим на интегри-

где f₀

- невозмущенная функция распределения

рование по скоростям V_z , используя правило Ландау

электронов по энергиям на входе в пространство вза-

для обхода полюсов V_z = V_cn = ω_n/h_cn (см., напри-

имодействия, P^0s - начальный уровень электромаг-

мер, [10]), получим уравнение для интенсивности мод

нитных шумов.

Перейдем далее к безразмерным переменным,

d|A_sn|²

ω_n |A_sn|² =

считая электронный пучок ультрарелятивистским,

Q_n

≫ 1. В результате самосогласованная система

∫

(

)

уравнений (10), (12) преобразуется к виду:



2πβ_grIK

f (z, p_z)



|A_sn|2

p_z

dz,

(

)



blω_nI_a

∂p_z

∂F(u,Z)

∂

∂F(u,Z)

Vz =Vcn

ρ(u, τ)u

(16)

∂Z

∂u

(10)

где K = e|A_w|/(mc²) - параметр ондуляторности, I -

∫

ток пучка, I_a = mc³/e = 1.7 kA - альфвеновский ток.

dρ(u, τ)

∂F(u,Z)

+ ρ(u, τ) = ρ(u, τ)u

dZ.

(17)

В рамках квазилинейного приближения эво-

dτ

∂u

люция усредненной части функции распределения

f (z, p_z) с учетом обратного воздействия волн на

Здесь F = m

f - функция распределения электронов

частицы опишется диффузионным уравнением:

по энергиям, удовлетворяющая условиям нормиров-

∫_∞

ки

F (u)du = 1, τ = tω_s/Q, Z = IK²λ_sz/(S_⊥I_a(1-

∑

e²

f_n

V_z

h_cnA^∗

A_w

(11)

R²)) - безразмерные время и координата, L

∂z

∂p_z

= IK²λ_sl/(S_⊥I_a(1 - R²)) - безразмерная длина ре-

Ia(1-R²)hsnS⊥

e²|Asn|²

зонатора, ρ =

- нормированная

Здесь угловые скобки означают операцию усредне-

Iγ²⁰λs

m²c⁴

спектральная плотность мощности. С учетом соот-

ния по ансамблю комбинационных волн. В уравне-

ношения (14) мы перешли от интегрирования по ча-

нии (11) производная ∂f/∂t исключена, поскольку в

стотам ω_s к интегрированию по относительным из-

высокодобротном резонаторе характерное время из-

менениям энергии электронов u = γ/γ₀.

менения амплитуд мод (2) существенно превышает

Для системы уравнений (16) запишем закон со-

время пролета электронов через резонатор.

хранения энергии

Перейдем в (11) от суммирования по индексам

продольных мод n к интегрированию по спектру,

dS_p

принимая во внимание, что в интервале Δω_s содер-

+S_p =η,

(18)

dτ

жится Δn = Δω_s/δω_s мод резонатора, где δω_s =

∫_∞

= cπ/l - межмодовое расстояние. Используя соот-

где S_p =

ρ(u)du - полная мощность излучения,

∫_∞

ношение (9), преобразуем уравнение (11) к виду

η=

(1 - u)F du - электронный КПД.

(

)

На начальной линейной стадии взаимодействия

∂

можно пренебречь деформацией функции распре-

V_z

(12)

∂z

∂p_z

деления электронов по энергиям, тогда спектраль-

ную мощность можно представить в виде ρ(τ, u) =

где коэффициент диффузии

= ρ0 exp(Γ(u)τ), где Γ - временной инкремент кине-



πe²K

|A_sn|²ω²ⁿ



тической стадии неустойчивости. Используя уравне-



(13)

4γ₀c² γ(1 - β_z)δω

ние (17) и полагая Γ = 0, получим стартовые условия

hs=2γ²h

для нормированной длины L_st = (u∂F₀/∂u)^-1, кото-

пропорционален спектральной мощности электро-

рая определяет стартовый ток генератора

магнитного поля в резонансной точке спектра

Ia(1 - R²)S⊥

Ist =

L_st.

(19)

ω_s/c = h_s = 2γ²h.

(14)

K²lλs

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 9 - 10

2021

658

Н.С.Гинзбург, Е.Р.Кочаровская, А.С.Сергеев, С.Е.Фильченков

Очевидно, наибольшим временным инкрементом и

наименьшим стартовым током обладают моды, час-

тоты которых соответствуют резонансным скоро-

стям электронов, находящимся вблизи точки переги-

ба функции F₀(u) [15,16]. Пусть распределение элек-

тронов по энергиям при влете в резонатор задается

гауссовой функцией:

exp(-(1 - u)²/δ²)

F₀(u) =

(20)

√πδ

c относительным разбросом Δγ/γ₀ = δ. Нормирован-

ная стартовая длина резонатора как функция пара-

метра δ показана на рис. 2. Очевидно, что указанная

длина растет при увеличении разброса.

Рис. 2. Зависимость стартовой длины Lst от начально-

го энергетического разброса δ

Рис. 3. (Цветной онлайн) Установление стационарного

режима генерации. (a) - Эволюция функции распреде-

По мере накопления поля в резонаторе, а, сле-

ления электронов по энергиям Fout(u, τ ). (b) - Динами-

довательно, роста амплитуд волн возникает дефор-

ческий спектр генерации ρ(u, τ ). Нормированная длина

мация функции распределения (см. рис. 3a). В ре-

области взаимодействия L = 0.03, начальный разброс

зультате на ней устанавливается стационарный про-

электронов по энергиям δ = 0.03

филь, фактически определяющий уровень возбуж-

дения различных мод. Соответствующий спектр вы-

ходного излучения изображен на рис. 3b. На рисун-

который может достигать 20 % и более. При этом

ке 4 представлены начальное F₀(u, Z = 0) и конечное

начальный энергетический разброс практически не

F_out(u, Z = L) распределения электронов по энер-

влияет на КПД. Таким образом, использование кине-

гиям, а также спектр стационарной генерации для

тического режима электронно-волнового взаимодей-

различных уровней превышения над порогом, регу-

ствия позволяет с высокой эффективностью приме-

лируемых параметром L. Очевидно, по мере увели-

нять пучки со значительным скоростным разбросом

чения надкритичности происходит расширение спек-

для генерации широкополосного излучения.

тра возбуждающихся мод и, одновременно, в выход-

Сделаем в заключение оценки параметров при-

ной функции распределения F_out, вследствие диффу-

менительно к разрабатываемому в ИЯФ СО РАН

зии электронов в область низких энергий, увеличива-

длинно-импульсному терагерцовому ЛСЭ. Выберем

ется область плато. Как ширина плато, так и ширина

ондуляторный параметр K = 0.4, коэффициент от-

спектра возбуждающихся мод тем больше, чем боль-

ражения от зеркал R = 0.8. Пусть период ондулято-

ше превышение параметра L над порогом генерации

ра d = 4 см, энергия электронов 4.5 МэВ (γ = 10),

L_st. Соответственно с увеличением L растет полная

центральная частота излучения 1.5 ТГц. При рас-

мощность излучения и электронный КПД (рис. 5),

стоянии между пластинами 0.4 см, ширине пластин

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 9 - 10

2021

Спектр генерации длиноимпульсных лазеров на свободных электронах. . .

659

Рис. 5. Зависимость КПД от нормированной длины ре-

зонатора для электронных пучков с различными на-

чальными разбросами по энергиям δ

Работа выполнена при поддержке Российского

научного фонда (проект 19-12-00212).

П. В. Логачев, Г. И. Кузнецов, А. А. Корепанов,

А. В. Акимов, С. В. Шиянков, О. А. Павлов,

Д. А. Старостенко, Г.А. Фатькин, Приборы и

техника эксперимента 6, 42 (2013).

D. A. Nikiforov, M. F. Blinov, V. V. Fedorov et al.

(Collaboration), Phys. of Particles and Nuclei Letters

17, 197 (2020).

N. Ginzburg, N. Peskov, A. Savilov, A. Sergeev,

V. Zaslavsky, A. Arzhannikov, E. Sandalov, S. Sinitsky,

D. Skovorodin, and A. Starostenko, Programm e-booklet

of The 2020 IEEE Intern. Conf. on Plasma Science

(ICOPS), TA2-S2-008 (2020).

Yu. S. Oparina, N. Yu. Peskov, and A. V. Savilov, Phys.

Rev. Appl. 12, 044070 (2019).

G. R. Neil, C. L. Bohn, S. V. Benson et al.

(Collaboration), Phys. Rev. Lett. 84, 662 (2000).

M. A. Dem’yanenko, D. G. Esaev, B. A. Knyazev,

Рис. 4. (Цветной онлайн) Спектр стационарной гене-

G. N. Kulipanov, and N. A. Vinokurov, Appl. Phys.

рации ρ(u) и функция распределения электронов по

Lett. 92, 131116 (2008).

энергиям на выходе из резонатора Fout(u) при различ-

ных уровнях превышения над порогом параметра L.

G. M. Kazakevich, V. M. Pavlov, Y. U. Jeong, and

B. C. Lee, Phys. Rev. ST Accel. Beams. 12, 040701

Начальная функция распределения F0(u) соответству-

ет относительному разбросу электронов δ = 0.03

(2009).

W. E. Drummond and D. Pines, Nuclear Fusion, Suppl.

3, 1049 (1962).

A. A. Vedenov, Sov. At. Energy 13, 591 (1963).

2 см, длине ондулятора 200 см и начальном энерге-

10.

A. M. Dimos and R. C. Davidson, Phys. Fluids 28, 677

тическом разбросе 3 % стартовый ток генератора со-

(1985).

ставляет 40 А. В случае с нормированной длиной ре-

11.

W. P. Marable and P. A. Sprangle, J. Appl. Phys. 67,

зонатора L = 0.03, представленном на рис.3 и 4b,

3576 (1990).

для достижения КПД 7.5 % необходим рабочий ток

12.

N. A. Vinokurov, Z. Huang, O. A. Shevchenko, and

240 А, тогда в соответствии с выражением (14) от-

K. J. Kim, Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. A 475,

носительная ширина спектра излучения по полувы-

74 (2001).

соте составит 15 % при полной мощности излучения

13.

О. А. Шевченко, Н. А. Винокуров, Известия вузов.

80 МВт.

Радиофизика 60, 41 (2017).

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 9 - 10

2021

6^∗