ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2019, том 45, № 10, с. 741-748

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАНЗИТНЫХ ЭКЗОПЛАНЕТ ПО МАССАМ

С УЧЕТОМ ФАКТОРОВ НАБЛЮДАТЕЛЬНОЙ СЕЛЕКЦИИ

И. А. Шашкова², А. В. Юдаев³, А. В. Тавров^2,3, О. И. Кораблев², Ж.-Л. Берто^2,4

¹Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия

²Институт космических исследований РАН, Москва, Россия

³Московский физико-технический институт ГУ, Москва, Россия

⁴Лаборатория атмосферных и космических исследований, Гюйанкур, Франция

Поступила в редакцию 18.02.2019 г.; после доработки 31.07.2019 г.; принята к публикации 13.08.2019 г.

Распределение транзитных экзопланет по массам было скорректировано с учетом факторов наблю-

дательной селекции, а именно: с учетом вероятности определения массы (для планет, обнаруженных

космическим телескоп “Кеплер”) и с учетом вероятности транзитной конфигурации. Скорректиро-

ванное распределение экзопланет по массам может быть аппроксимированно степенным законом

с показателем степени -2+0.1-0.16:^dNdm ∝ m-2−0.16 . Выявлены два минимума, соответствующие 0.3-

0.7 массам Юпитера и 4-7 массам Юпитера.

Ключевые слова: экзопланеты, распределение планет по массам, наблюдательная селекция.

DOI: 10.1134/S0320010819100048

ВВЕДЕНИЕ

лучевых скоростей родительской звезды Перри-

ман (2011). Наблюдения космического телескопа

Исследование распределения экзопланет по

“Кеплер” проводились за пределами земной атмо-

массам важно, например, для оценки распростра-

сферы, и его высокая фотометрическая точность

ненности каких-либо типов планет в Галактике,

а также для уточнения моделей формирования

позволяла обнаруживать транзитные планеты, ра-

планет. Для получения распределения экзопланет

диус которых составляет один радиус Земли (и

по массам важно учитывать факторы наблюда-

даже меньше). При наземных наблюдениях сложно

тельной селекции. Эти факторы различаются для

обнаружить экзопланеты с радиусом меньше 6-

разных методов обнаружения экзопланет, а также

7 земных радиусов. Измеренные массы планет, от-

для данных наблюдений, полученных наземными

крытых космическим телескопом “Кеплер”, лежат

транзитными наблюдательными программами и

в диапазоне от 0.011 до 13 масс Юпитера. Мас-

космическим телескопом "Кеплер". Для построе-

сы планет, обнаруженные наземными транзитными

ния распределения транзитных планет по массам,

наблюдательными программами, находятся в диа-

экзопланеты, открытые космическим телескопом

пазоне от 0.02 до 13 масс Юпитера. Для настояще-

“Кеплер” и наземными наблюдательными про-

го анализа мы объединяем транзитные экзоплане-

граммами (SuperWASP, HATNet, KELT, XO, TrES

ты, обнаруженные европейским космическим теле-

и др.), были рассмотрены раздельно. Данные об

скопом CoRoT (COnvection ROtation and planetary

экзопланетах были взяты из NASA Exoplanet

Transits), с экзопланетами, найденными наземными

Archive (2018)¹ .

средствами, поскольку малое количество планет

Транзитная экзопланета проходит по диску сво-

размером с Нептун или меньше, найденное этим те-

ей родительской звезды, что позволяет определить

лескопом, указывает на его низкую эффективность

угол наклона i ее орбиты. Таким образом, возмож-

в поиске планет за пределами размерного класса

но определить истинную массу m планеты, из про-

гигантов.

изведения m*sin i, полученного методом измерений

В предыдущие годы уже проводились исследо-

вания распределения масс экзопланет. Например,

^*Электронный адрес: ae.ivanova@students.cosmos.

msu.ru

в ходе анализа 167 планет, обнаруженных методом

¹ https://exoplanetarchive.ipac.caltech.edu/

лучевых скоростей, Батлер и др. (2006) показали,

741

742

ИВАНОВА и др.

10²

10¹

10⁰

10¹

10⁰

10¹

Масса планет, масс Юпитера

Рис. 1. Точечная линия (зеленая) показывает распределение планет “Кеплера”, с измеренной массой, сплошная линия

(красная) — сглаженное распределение с учетом погрешностей измерения масс методом KDE с гауссовым окном.

Пунктирная линия (синяя) показывает распределение транзитных планет, открытых наземными наблюдательными

программами и миссией CoRoT, сплошная линия (черная) — то же, но сглажено с учетом погрешностей в определении

масс.

что распределение проективных масс аппрокси-

наблюдательными программами и CoRoT — синей

мируется степенным законом^dNdm ∝ m-1.1. Говард

(пунктирной) линией. Также мы учли погрешно-

сти измерения масс экзопланет (был использован

и др. (2010) обнаружили другой степенной закон

стандартный KDE метод (см. Приложение) с Гаус-

с показателем степени m-0.48, проанализировав

совским профилем), сглаженные распределения

166 звезд с точностью измерений лучевых скоро-

показаны красной (сплошной) и черной (сплош-

стей порядка 1 м/с. Для этого анализа авторы учли

ной) линиями соответственно. Очевидно, что оба

фактор наблюдательной селекции completeness of

распределения должны иметь похожую форму, од-

the survey, аналогичный Ананьева и др. (2019).

нако это не так. Одной из причин этого расхож-

Камминг и др. (2008) аппроксимировали массо-

дения является то, что оба распределения подвер-

вое распределение в зависимости от орбитального

жены факторам наблюдательной селекции. Цель

периода P . Авторы рассмотрели 182 экзопланеты

данной статьи — показать, что оба распределения

и сослались на фактор наблюдательной селекции

сближаются, когда учтены факторы наблюдатель-

completeness of the survey, аналогичного Говард и

ной селекции.

др. (2010). Говард (2013) согласился с результа-

тами Камминг и др. (2008). Марси и др. (2005)

ФАКТОР ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАССЫ ДЛЯ

рассмотрели 104 экзопланеты (из 152 открытых к

ЭКЗОПЛАНЕТ, ОБНАРУЖЕННЫХ

тому моменту), найденных наблюдательными про-

“КЕПЛЕРОМ”

граммами на обсерваториях Lick и Keck и имеющих

примерно постоянную RV точность, равную 3 м/с,

Распределение по массам экзопланет, найден-

по которой авторы избежали наблюдательной се-

ных космическим телескопом “Кеплер”, искаже-

лекции, используя однородные данные. Результат

но факторами наблюдательной селекции. Мас-

сы планет-гигантов измерить проще, чем массы

данного анализа:^dNdm N ∝ m-1.0.

небольших планет (нептуны и суперземели). Доля

На рис. 1 показаны два распределения по мас-

планет с измеренной массой относительно общего

сам транзитных экзопланет, известных на данный

числа планет, найденных “Кеплером”, близка к

момент (данные о планетах были взяты из NASA

единице в области планет гигантов, однако эта доля

Exoplanet Archive, 2018), оба распределения бы-

резко падает до 2-3% для планет радиусами 0.1-

ли построены без учета факторов наблюдатель-

0.3 радиуса Юпитера. Мы разделили полный диа-

ной селекции. Массовое распределение экзопла-

пазон радиусов планет “Кеплер” простирающийся

нет, открытых Кеплером, показано зеленой (точеч-

от 0.08 до 2 радиусов Юпитера, на 25 интервалов,

ной) линией, а открытых наземными транзитными

равных в логарифмическом масштабе, причем для

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

2019

№ 10

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАНЗИТНЫХ ЭКЗОПЛАНЕТ

743

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

10^-1

10⁰

Радиус, радиусов Юпитера

Рис. 2. Коэффициент измеренности массы k планет “Кеплера” в зависимости от радиуса планеты.

каждого интервала был введен коэффициент из-

вывод о том, что полученное распределение удо-

меренности массы, обозначенный буквой k. Этот

влетворяет степенному закону.

коэффициент описывает отношение числа планет

“Кеплера” с измеренной массой к общему числу

планет, обнаруженных “Кеплером”, в зависимости

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛАНЕТ “КЕПЛЕРА” ПО

от радиуса. Зависимость k от радиуса показана на

МАССАМ, СКОРРЕКТИРОВАННОЕ С

рис. 2.

УЧЕТОМ ВЕРОЯТНОСТИ ТРАНЗИТНОЙ

Чтобы учесть фактор наблюдательной селек-

КОНФИГУРАЦИИ

ции, связанный с неравномерностью в измерении

Для построения статистики распределения пла-

масс планет (с различной массой и размером), мы

нет по массам, согласно Петигура и др. (2013),

взяли каждую планету с измеренной массой со

мы рассмотрели еще один фактор наблюдательной

статистическим весом, обратно пропорциональным

селекции, а именно: геометрическую вероятность

k. В результате начальное массовое распределение

транзитной конфигурации. Очевидно, что транзит-

планет “Кеплер”, показанное красной сплошной

ный метод обнаруживает только планеты, кото-

линией на рис. 1, значительно изменяется, перехо-

рые для земного наблюдателя проходят по диску

дя в зависимость, показанную красной сплошной

родительской звезды, т.е. планеты, наклон орбит

линией на рис. 3. Скорректированное с учетом на-

которых находится в узком диапазоне около 90^◦.

блюдательной селекции распределение имеет вид

Подавляющее большинство планет не обнаружи-

прямой линии в логарифмическом масштабе. Эту

ваются этим методом. Пусть геометрическая ве-

зависимость можно аппроксимировать степенным

роятность транзитной конфигурации какой-либо

законом. Методом наименьших квадратов был вы-

транзитной экзопланеты равна p (p ≪ 1). Это озна-

числен показатель степени, который имеет зна-

чение -1.9(^dNdm ∝ m-1.9). Мы исключили из рас-

чает, что количество таких планет равно 1/p, при

этом подавляющее большинство планет не явля-

смотрения крайнюю левую точку (см. рис. 3, рас-

ются транзитными и еще не обнаружены. Согласно

пределение планет “Кеплера” — красная сплош-

Винн (2014), геометрическая вероятность транзит-

ная и розовая пунктирная линии), так как она

ной конфигурации:

принадлежит области, в которой данные “Кеплера”

становятся неполными (Петигура и др., 2013).

⁽r_∗ ± r⁾⁽1 + esinω⁾

(1)

Здесь и далее для статистической оценки схо-

1-e²

жести полученного распределения и прямой, за-

данной степенным законом, был применен крите-

где r_∗, r — радиус родительской звезды и ради-

рий Колмогорова-Смирнова с уровнем значимости

ус планеты соответственно, a — большая полу-

α = 0.05. Критерий показал, что при выбранном

ось орбиты планеты, e — эксцентриситет орбиты

уровне значимости полученное распределение и

планеты, ω — угол перицентра восходящего узла,

прямая, заданная степенным законом, относятся

“±” описывает случай скользящего транзиента

к одному распределению. Из чего можно сделать

“+”, или игнорирует его “-”.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№ 10

2019

744

ИВАНОВА и др.

dN/dm ~ m^-1.9

dN/dm ~ m^-2

dN/dm ~ m^-2.1

dN/dm ~ m^-2.16

10²

10¹

50 100 150 200

250 300 350

1/p

10^-1

10⁰

10¹

Масса планет, масс Юпитера

Рис. 3. Распределение транзитных планет по массам с учетом факторов наблюдательной селекции. Красной сплошной

линией показано распределение планет “Кеплер”, скорректированное с учетом коэффициента измеренности массы k.

Черной сплошной линией показано распределение транзитных планет, обнаруженных наземными наблюдательными

программами и миссией CoRoT (для них k = 1). Розовой штриховой линией показано массовое распределение

планет “Кеплера” как с учетом коэффициента определения массы k, так и с учетом геометрической вероятности

транзитной конфигурацииk1 (см. раздел 3). Синей штрихпунктирнойлинией показано распределениетранзитных планет,

обнаруженных наземными наблюдательными программами и миссией CoRoT с учетом геометрической вероятности

транзитной конфигурации. Вкладка в правом верхнем углу показывает показатели степи приведенных распределений

по массам, если их аппроксимировать степенным законом. На вкладке в левом нижнем углу показана гистограмма

планет “Кеплера” с измеренноймассой в зависимостиот обратнойвероятноститранзитнойконфигурации:Kepler-1647 b,

Kepler-16 b, Kepler-34 b имеют непропорционально большие обратные вероятности.

Если радиус планеты намного меньше радиуса

рации:

звезды r ≪ r_∗ , а эксцентриситет орбиты близок к

нулю e ≈ 0, то уравнение (1) сводится к

k₁ =

(3)

∗

r_∗

(2)

Распределение планет “Кеплера” по массам, скор-

ректированное с учетом обоих факторов наблю-

Вероятность транзитной конфигурации p для из-

дательной селекции — вероятности определения

вестных транзитных планет может сильно раз-

массы посредством коэффициента k и геомет-

личаться. Например, для планеты Kepler-91 b с

рической вероятности транзитной конфигурации

большой полуосью орбиты, равной 2.49 r_∗, веро-

посредством коэффициента k₁ — показано на

ятность достигает p = 0.42, а для планеты Kepler-

рис. 3 розовой штриховой линией. Для сравнения

1647 b, большая полуось орбиты которой состав-

полученных зависимостей мы нормировали второе

ляет 2.721AU = 325.74 r_∗, только 0.003.

распределение таким образом, чтобы общее коли-

чество планет не изменилось. В следующем разделе

Связанный с этим фактор наблюдательной се-

обсуждается распределение по массам планет,

лекции может искажать массовое распределение

открытых наземными наблюдениями и CoRoT, им

транзитных планет, если это распределение за-

соответствует синяя (штрихпунктирная) линия на

висит от среднего расстояния между планетой и

рис. 3.

звездой, так что наблюдаемое распределение тран-

зитных планет будет отличаться от истинного ста-

Скорректированное с учетом k и k₁, распре-

тистического распределения. Чтобы учесть этот

деление по массам планет “Кеплера” может быть

аппроксимировано степенной функцией с показа-

фактор, для каждой из транзитных планет был

определен ее статистический вес k₁, обратно про-

телем -2 :^dNdm ∝ m-2. Распределение по массам

порциональный вероятности транзитной конфигу-

имеет два минимума: первый — в диапазоне масс

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№ 10

2019

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАНЗИТНЫХ ЭКЗОПЛАНЕТ

745

0.3-0.7 масс Юпитера (смещен относительно так

статистической оценки значимости минимумов был

называемой пустыни субсатурнов в сторону боль-

применен критерий Колмогорова-Смирнова. Для

ших масс Ида, Лин (2010), Мордасини и др. (2009),

применения критерия была искусственно созда-

второй минимум в диапазоне 4-7 масс Юпитера.

на прямая, совпадающая с исходной (см. рис. 3,

Обсуждение этих минимумов выходит за рамки

розовая пунктирная линия), но без минимума в

данной статьи.

областях 0.3-0.7 масс Юпитера и 4-7 масс Юпи-

Из итогового распределения планет “Кеплер”,

тера. Значение критерия показало, что полученные

полученного с учетом геометрической вероятно-

минимумы не являются статистически значимыми

сти транзитной конфигурации, описываемой ко-

при α = 0.05.

эффициентом k₁, были исключены три планеты

“Кеплер”, отмеченные на вкладке к рис. 3: Kepler-

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО МАССАМ

1647 b, Kepler-16 b и Kepler-34 b из-за их боль-

ТРАНЗИТНЫХ ЭКЗОПЛАНЕТ,

ших обратных вероятностей 1/p: 325.74, 232.71,

ОБНАРУЖЕННЫХ НАЗЕМНЫМИ

и 200.93 соответственно. Для большинства пла-

НАБЛЮДЕНИЯМИ И CoRoT

нет “Кеплера” значение 1/p < 130. На вкладке

Больше 300 транзитных экзопланет гигантов с

рис. 3 представлена гистограмма планет “Кеплера”

измеренными массами были обнаружены наземны-

с измеренной массой в зависимости от обратной

ми транзитными наблюдательными программами

вероятности транзитной конфигурации 1/p.

(SuperWASP, HATNet, KELT, XO, TrES, и другие),

Несмотря на то что в полученной статисти-

которые выполняли фотометрию звезд, исполь-

ке видно, что пустыня суб-сатурнов в области

зуя автоматические (роботизированные) телескопы

0.1-0.2 масс Юпитера отсутствует, для допол-

малой апертуры (10-25 см).

нительной проверки был использован критерий

Наблюдения через турбулентную земную атмо-

Колмогорова-Смирнова. Для проведения провер-

сферу и использование относительно небольшой

ки была создана прямая с искусственным 1.7-

апертуры ограничивают точность единичного фо-

кратным минимумом в области 0.1-0.2 масс Юпи-

тометрического измерения величиной 0.1-0.3% (от

тера (Мордасини и др., 2009). Критерий показал,

величины светового потока звезды), что делает эти

что присутствие данного минимума изменит рас-

измерения менее чувствительными к планетам с

пределение настолько, что при уровне значимости

r < 0.7 радиуса Юпитера (обращающимся вокруг

α = 0.05 полученное и исходные распределения

звезд солнечного типа). Наземные транзитные на-

будут статистически различными.

блюдательные программы в основном оптимизи-

Также критерий Колмогорова-Смирнова был

рованы для поиска горячих юпитеров. Наблюда-

применен для оценки статистической схожести по-

емое распределение транзитных планет по истин-

лученного распределения (см. рис. 3 розовая пунк-

ным массам N(m) мало искажено наблюдательной

тирная линия) и степенного закона, полученного

селекцией для планет с радиусами больше 0.7

для распределения без учета вероятности транзит-

радиуса Юпитера. Планеты с массами m > 0.5

ной конфигурации. Критерий показал, что получен-

массы Юпитера имеют r > 0.7 радиуса Юпитера.

ное распределение не соответствует ранее получен-

Для таких планет коэффициент определения масс

ному степенному закону, т.е. учет геометрической

близок к k = 1-0.02. Транзитные планеты с массами

вероятности транзита важен и может отражать

m > 0.5 массы Юпитера, обнаруженные наземны-

более сложные зависимости от радиуса орбиты,

ми наблюдениями, имеют распределение по мас-

но явно эта зависимость не видна из-за неполной

сам, показанное на рис. 3 сплошной (черной) ли-

статистики.

нией, которая аппроксимируется степенным зако-

После была проведена проверка статистической

ном с показателем -2.1(^dNdm ∝ m-2.1), показатель

схожести для распределений, также полученных

степени был определен методом наименьших квад-

после учета одного фактора наблюдательной се-

ратов. После учета геометрической вероятности

лекции и после учета обоих факторов наблюда-

тельной селекции (см. рис. 3, красная сплошная и

транзитной конфигурации с помощью коэффици-

розовая пунктирная линии соответственно). Кри-

ента k₁ (см. раздел 3), итоговое распределение (на

рис. 3 показано синей пунктирно-точечной лини-

терий показал, что учет вероятности транзитной

конфигурации вносит статистически значимые из-

ей) аппроксимируется степенным законом с по-

менения и распределения не являются статисти-

казателем степени -2.16(^dNdm ∝ m-2.16). Для ста-

чески схожими. Также критерий Колмогорова-

тистической оценки схожести полученных распре-

Смирнова был применен для распределения полу-

делений и прямой, заданной степенным законом,

ченного после учета обоих факторов наблюдатель-

был применен критерий Колмогорова-Смирнова.

ной селекции и полученного для него степенного

Критерий показал, что при выбранном уровне зна-

закона. Критерий показал статистическое соот-

чимости полученные распределения и прямая, за-

ветствие распределения степенному закону. Для

данная степенным законом, относятся к одному

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№ 10

2019

746

ИВАНОВА и др.

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

Projective mass, M_j

Рис. 4. Визуализация вклада экзопланеты в распределение без учета погрешностей.

распределению. Из чего можно сделать вывод о

Юпитера — степенным законом с показателем -2,

том, что полученное распределение удовлетворяет

от 0.1 до 5 массы Юпитера — степенным законом

степенному закону.

с показателем степени -1, и от 5 масс Юпите-

ра — степенным законом с показателем степени

-2. Таким образом, понятно, почему показатель

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

степени различается с ранними публикациями по

Исследовано распределение по массам тран-

зависимости N(m). Отсутствие минимума пустыни

зитных экзопланет, обнаруженных как косми-

суб-сатурнов, предсказанного Мордасини (2018),

ческим телескопом “Кеплер”, так и наземными

объясняет тот факт, что зафиксированные транзит-

наблюдательными программами. Учтены эффекты

ные планеты пока не содержат долгопериодических

наблюдательной селекции. В частности, были

планет, таких как планеты-гиганты в Солнечной

предложены простые алгоритмы, которые скоррек-

системе, и тем самым имеют неполноту анализа.

тировали наблюдаемые распределения экзопланет

После учета геометрической вероятности транзит-

с учетом факторов вероятности определения массы

ной конфигурации зависимость числа экзопланет

и вероятности транзитной конфигурации.

от массы показывает два минимума в отклонении

Неучет факторов наблюдательной селекции

от степенного закона, обсуждение которых авто-

приводит к завышению числа массивных планет и

ры выносят за рамки данной статьи. Указанные

уменьшению числа маломассивных планет.

минимумы соответствуют областям 0.3-0.7 масс

В первом приближении распределение масс эк-

Юпитера и 4-7 масс Юпитера. Второй минимум

зопланет хорошо описывается степенным зако-

соответствует границе, на которой механизм фор-

ном с показателем степени -2+0.1-0.16:^dNdm ∝ m-2−0.16 .

мирования планет-гигантов путем аккреции на яд-

ро сменяется на формирование в результате грави-

Степенной закон соблюдается как в области от 0.02

до 13 масс Юпитера для планет “Кеплер”, так и в

тационной неустойчивости в протопланетном дис-

ке Засов, Постнов (2011). Аналогичный результат

области от 0.68 до 13 масс Юпитера для планет,

получили Сантос и др. (2017), которые строили

обнаруженных наземными наблюдениями и CoRoT.

массовое распределение экзопланет на основе ба-

Показатели степени были найдены методом наи-

меньших квадратов. Результат -2+0.1-0.16 различает-

зы данных SWEET-Cat database² , и нашли, что

распределение имеет две ветви с минимумом около

ся с результатом, полученным Марси и др. (2005),

4 масс Юпитера.

Батлер и др. (2006). Это связано с тем, что на мо-

мент написания данной статьи были открыты новые

Авторы признательны Министерству высшего

планеты в области малых масс, тем самым допол-

образования и науки РФ за поддержку по гранту

нив статистику. Также Мордасини (2018) аппрок-

симирует ветвь зависимости от масс: до 0.1 масс

² https://www.astro.up.pt/resources/sweet-cat/

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№ 10

2019

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАНЗИТНЫХ ЭКЗОПЛАНЕТ

747

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

Projective mass, M_j

Рис. 5. Визуализация вклада экзопланеты в распределение с учетом погрешностей (скошенная гауссиана).

N14.W03.31.0017 и Российскому научному фонду

Если необходимо учитывать погрешности, и они

за поддержку по гранту N18-19-00452.

равны, то планету удобно представлять в виде

симметричной гауссианы с единичной площадью

под кривой.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Если же погрешности различаются, то возмож-

но применение скошенной гауссианы с единичной

KDE (Kernel Density Estimation) или Ядерная

оценка плотности — это непараметрический спо-

площадью под кривой. В таком случае экзопланета

будет представлена в распределении, как показано

соб оценки плотности случайной величины. Ядер-

на рис. 5. Погрешности равны: σ₊ = 3.9, σ_- =

ная оценка плотности является задачей сглажи-

= -1.1.

вания данных, когда делается заключение о со-

вокупности, основываясь на конечных выборках

данных. Применение данного способа сглаживания

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

для нашей статистики обосновано тем, что каждая

1. Ананьева и др. (V.I. Ananyeva, A.A. Venkstern,

планета имеет погрешности в измерении масс, и та-

D.V. Churbanov, I.A. Shashkova, A.V. Tavrov,

кой способ сглаживания позволяет нам учитывать

O.I. Korablev, and J.-L. Bertaux), Solar System Res.

данные погрешности. Использование же заключа-

53, 124137 (2019).

ется в том, что каждая планета из выборки пред-

2. Батлер и др. (R.P. Butler, J.T. Wright, G.W. Marcy,

ставляется в виде гауссианы, и, таким образом,

D.A. Fischer, S.S. Vogt, C.G. Tinney, H.R.A. Jones,

B.D. Carter, J.A. Johnson, C. McCarthy, and

она отображается в некотором количестве бинов

A.J. Penny), Catalog of Nearby Exoplanets,

гистограммы, в каждом из которых она имеет массу

от 0 до 1, не включая правую границу. Похожие

https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0607493.pdf(2006).

способы сглаживания были использованы в работе

3. Винн (J.N. Winn), Transits and Occultations in

Exoplanets (Ed. S. Seager, Univer. Arizona Press,

Джорисен и др. (2001) и в работе Ананьева и

2014), p. 526.

др. (2019).

4. Говард (A.W. Howard), Science 340(6132), 572;

Рассмотрим применение данного метода на при-

doi:10.1126/science.1233545 (2013).

мере конкретной экзопланеты HD 196067 b, она

5. Говард и др. (A.W. Howard, G.W. Marcy,

имеет массу mp+σ+-_- = 6.9−1.1. Если не учитывать

J.A. Johnson, D.A. Fischer, J.T. Wright,

погрешности в измерении массы, то можно ви-

H. Isaacson, J.A. Valenti, J. Anderson,

зуализировать вклад экзопланеты в общее рас-

D.N.C. Lin, and S. Ida), Science

330(6004),

пределение, как показано на рис. 4. Экзопланета

653; doi:10.1126/science.1194854 (2010).

представляет собой “столбик” единичной площади

6. Джориссен и др. (A. Jorissen et al.) Astron.

в интервале масс, соответствующем массе экзо-

Astrophys.

379,

992: DOI:

10.1051/0004-

планеты без погрешностей.

6361:20011373 (2001).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№ 10

2019

748

ИВАНОВА и др.

7. Засов А.В., Постнов К.А. (A.V. Zasov

13. Перриман (M. Perryman), The Exoplanet

and K.A. Postnov), General Astrophysics.

Handbook (Cambridge Univer. Press,

2011),

2nd ed. (Fryazino: Century

576, ISBN

p. 103.

978-5-85099-188-3, 2011).

14. Петигура и др. (E.A. Petigura, A.W. Howard, and

8. Ида, Лин (S. Ida and D.N.C. Lin), Astrophys. J.

G.W. Marcy), Proc. Natl. Acad. Sci. USA 110(48),

604(1), 388; doi:10.1086/381724 (2013).

19273; doi:10.1073/pnas.1319909110 (2013).

9. Камминг и др. (A. Cumming, R.P. Butler,

15. Сантос и др. (N.C. Santos, V. Adibekyan, P. Figueira,

G.W. Marcy, S.S. Vogt, J.T. Wright, and

D.T. Andreasen, S.C.C. Barros, E. Delgado-Mena,

D.A. Fischer), Proceed. Astron. Soc. Pacific

O. Demangeon, J.P. Faria, M. Oshagh, S.G. Sousa,

120(867), 531; doi:10.1086/588487 (2008).

P.T.P. Viana, and A.C.S. Ferreira), Astron. Astrophys.

10. Марси и др. (G. Marcy, R.P. Butler, D. Fischer,

S. Vogt, J.T. Wright, C.G. Tinney, and H.R.A. Jones),

603, A30;

doi:10.1051/0004-6361/201730761

Progress Theoretic. Phys. Suppl.

158,

24;

(2017).

doi.org/10.1143/PTPS.158.24 (2005).

16. Ядерная оценка плотности (англ. Kernel Density

11. Мордасини

(C.

Mordasini),

Planetary

Estimation, KDE)), KDE.

Population

Synthesis,

Handbook

17. NASA

Exoplanet

Archive,

Exoplanets (Ed. H.J. Deeg, J.A. Belmonte);

https://exoplanetarchive.ipac.caltech.edu/ (2018).

https://doi.org/10.1007/978-3-319-30648-3_143-

18. SWEET-Cat:

catalog

stellar

1 (2018).

parameters

for

stars

with

planets,

12. Мордасини и др. (C. Mordasini, Y. Alibert, W. Benz,

H. Klahr, and T. Henning), Astron. Astrphys. 501(3),

https://www.astro.up.pt/resources/sweet-cat/

1161; doi:10.1051/0004-6361/200810697 (2009).

(2018).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№ 10

2019