Кристаллография, 2019, T. 64, № 2, стр. 270-274

ВВЕДЕНИЕ

Когда акустическая объемная волна в кристалле отражается от его границы с вакуумом, вследствие анизотропии упругих свойств возникают три отраженные волны. Отраженные волны возникают в следующих комбинациях: все три волны могут быть объемными; могут возникнуть две объемные волны вместе с сопутствующей, локализованной у границы; может возникнуть объемная волна в сопровождении двух локализованных.

Однако отраженных волн может быть меньше, чем три, если для этого обеспечить специальную геометрию распространения и подобрать падающую волну соответствующей поляризации. При этом отражение оказывается вырожденным. Такие отражения в кубических кристаллах рассматривались в [1, 2], а в гексагональных – в [3].

Исследованы также варианты отражений, при которых падающая волна порождает объемную волну, близкую к собственной моде, – особой объемной волне. При этом в условиях близости отраженной волны к поверхности кристалла удается сконцентрировать всю энергию падающей волны в узком отраженном пучке, которому сопутствует лишь одна локализованная у поверхности волна. Резонансное отражение становится вырожденным [4–6].

Вне связи с резонансами общая теория отражений в кристаллах произвольной симметрии развита в [7–11].

Для любого кристалла при стремлении упругой анизотропии к нулю возникает один и тот же универсальный предел, отвечающий изотропному телу. Вырожденные отражения в этом пределе сохраняются, их касались, в частности, в [12–15]. Дополняя эти сведения с общих позиций, приведем полное описание и классификацию таких отражений.

СПЕЦИФИКА ОТРАЖЕНИЙ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

Если вместо кристалла выступает изотропное тело, то отраженных волн даже в самом общем случае оказывается две, а не три, как в кристаллах. Это связано с тем, что в изотропном теле поперечные волны двух независимых поляризаций распространяются с одинаковыми скоростями – имеет место вырождение.

В изотропном теле при падении объемной волны на границу с вакуумом возникает несколько возможных вариантов отраженных волн: обе отраженные волны могут быть объемными; одна отраженная волна может быть объемной, а вторая – локализованной у границы; может возникнуть лишь одна отраженная объемная волна. Реализуемость конкретного варианта и его особенности зависят от направления падающей волны и от той акустической ветви, к которой она принадлежит. Варьирование угла падения при этом позволяет выявить все ситуации, при которых отражение оказывается вырожденным – отражается лишь одна объемная волна. Если падающая и отраженная объемные волны принадлежат одной и той же акустической ветви – это случай чистого отражения. Если эти волны принадлежат разным акустическим ветвям, это – конверсионное отражение (иногда, по аналогии с оптикой, подобные отражения называют брюстеровскими [1–3, 14, 15]).

Рассматривая различные варианты отражения, соотношения между падающими и отраженными волнами удобно анализировать, используя понятие поверхности медленностей [7]. В кристаллах это трехполостная поверхность, образованная концами волновых векторов объемных волн трех независимых поляризаций, когда эти векторы сканируют сферу всех возможных направлений распространения. В пределе перехода к изотропному телу эта поверхность становится двуполостной и представляет собой две концентрические сферы. Внешняя сфера отвечает поперечным, а внутренняя – продольным волнам. Сечение такой поверхности плоскостью падения (xy) представлено на рис. 1.

Ориентация границы твердого тела на рис. 1 задана единичным вектором нормали к ней n, а направление распространения совокупного волнового поля вдоль поверхности – единичным вектором m (${\mathbf{m}} \bot {\mathbf{n}}$). На рис. 1 ${\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{i}$ и ${\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{r}$ – волновые векторы падающих и отраженных волн ветвей ${\alpha } = 1{{,}_{{}}}3$. Соотношение между падающей и отраженными волнами зависит от угла падения ${\psi }_{{\alpha }}^{i} = \angle ({\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{i},{\mathbf{m}})$ или, что эквивалентно, от приведенной скорости распространения совокупного волнового поля $v = {\omega /}k$ (здесь ${\omega }$ – частота, $k = {\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{i} \cdot {\mathbf{m}} = {\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{r} \cdot {\mathbf{m}}$). Ветвь ${\alpha } = 1$ отвечает поперечным волнам, распространяющимся со скоростью $v_{1}^{2} = {{c}_{{66}}}{/\rho }$ (здесь ${{c}_{{66}}}$ – модуль упругости, ${\rho }$ – плотность кристалла). При этом волновому вектору ${{{\mathbf{k}}}_{{\mathbf{1}}}}$ отвечают две независимые поляризации ${{{\mathbf{A}}}_{{1||}}}{\text{||}}(xy)$ и ${{{\mathbf{A}}}_{{1 \bot }}} \bot (xy)$. Вектор поляризации ${{{\mathbf{A}}}_{1}} = {{{\mathbf{A}}}_{{1||}}}\cos \varphi + $ $ + \;{{{\mathbf{A}}}_{{1 \bot }}}\sin \varphi $ $({\mathbf{A}}_{{1||}}^{2} = {\mathbf{A}}_{{1 \bot }}^{2} = 1)$ свободно вращается при изменении параметра $\varphi $, оставаясь ортогональным волновому вектору ${{{\mathbf{k}}}_{1}}$: ${{{\mathbf{A}}}_{1}} \bot {{{\mathbf{k}}}_{{\mathbf{1}}}}$. Ветвь ${\alpha } = 3$ отвечает продольным волнам $({{{\mathbf{A}}}_{3}}{\text{||}}{{{\mathbf{k}}}_{3}})$, распространяющимся со скоростью $v_{3}^{2} = {{c}_{{11}}}{/\rho }$.

Рассматривая волны ветвей ${\alpha } = 1{{,}_{{}}}3$, отметим, что падающая объемная волна с параметрами $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{i})$ или $({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{i})$ порождает две отраженные волны с параметрами $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r}{{,}_{{}}}{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{r})$ и $({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{r}{{,}_{{}}}{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{r})$ [7, 12, 13] – рис. 1. При отражениях волн этих ветвей в континуальной области III $(0 < {{v}^{{ - {\text{1}}}}} \leqslant v_{3}^{{ - 1}})$ обе отраженные волны объемные, а в области II $(v_{3}^{{ - 1}} < {{v}^{{ - 1}}} \leqslant v_{1}^{{ - 1}})$ одна из отраженных волн $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{r})$ объемная, а вторая $({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{r})$ – локализованная у границы кристалла. В то же время падающая волна ветви ${\alpha } = 1$ с параметрами $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{1 \bot }}^{i})$ порождает в объединенной области II–II $(0 < {{v}^{{ - 1}}} \leqslant v_{1}^{{ - 1}})$ лишь одну отраженную волну $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{1 \bot }}^{r})$. Этот вариант изначально отвечает чистому отражению при любом угле падения.

Цель дальнейшего рассмотрения – описать условия, при которых объемная волна с параметрами $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i}{{,}_{{}}}{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{i})$ или $({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i}{{,}_{{}}}{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{i})$ порождает лишь одну объемную волну – либо $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{r})$, либо $({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{r})$. Здесь возникают варианты конверсионных отражений $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{i}) \to ({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{r})$ и $({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{i}) \to ({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{r})$, а также варианты чистых отражений $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{i})\; \to $ $ \to \;({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{r})$ и $({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{i}) \to ({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{r})$ – рис. 1. Такие отражения могут быть реализованы при конкретных значениях угла падения. Далее будет рассмотрена реализуемость этих вариантов.

СОВОКУПНОЕ ВОЛНОВОЕ ПОЛЕ ПРИ ОТРАЖЕНИЯХ

Выпишем основные характеристики парциальных волн, участвующих в рассматриваемых отражениях. Волновые векторы $({\mathbf{k}}_{{{\text{1,3}}}}^{{i,r}})$, нормированные амплитуды $({\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{{i,r}},{\mathbf{A}}_{{{\text{1}} \bot }}^{{i,r}},{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{{i,r}})$, векторы механических сил $({\mathbf{L}}_{{{\text{1||}}}}^{{i,r}},{\mathbf{L}}_{{{\text{1}} \bot }}^{{i,r}},{\mathbf{L}}_{{\text{3}}}^{{i,r}})$, создаваемых данными волнами, а также углы падения и отражения ${\psi }_{{{\text{1,3}}}}^{{i,r}}$ – функции модулей упругости и приведенной скорости $v$ записываются в виде:

В этих соотношениях предполагается, что все парциальные волны объемные. Это справедливо для области III, в которой параметры ${{p}_{1}}$ и ${{p}_{3}}$ вещественны – рис. 1. В областях II и I параметр ${{p}_{3}}$ становится мнимым $({{p}_{3}} = i{{q}_{3}}{{,}_{{}}}{{q}_{3}} > 0)$, а в области I мнимым оказывается и параметр ${{p}_{1}}$ $({{p}_{1}} = i{{q}_{1}},$ ${{q}_{1}} > 0)$. Во всех этих случаях, очевидно, в (1), (2) следует провести замену ${\mathbf{k}}_{{{\text{1,3}}}}^{r} \to {{{\mathbf{k}}}_{{1,3}}} = (1{{,}_{{}}}i{{q}_{{1,3}}}{{,}_{{}}}0)k$ и сделать соответствующие изменения в остальных параметрах: $ + {{p}_{{1,3}}} \to i{{q}_{{1,3}}}$.

Падающая и отраженные волны формируют совокупное волновое поле, зависящее от координат и времени t:

Здесь $y \geqslant 0,\; - {\kern 1pt} \infty \leqslant x \leqslant \infty $, а векторная амплитуда общего волнового поля определяется амплитудами отдельных парциальных волн: Здесь $C_{\alpha }^{{i,r}}$ – амплитудные коэффициенты, соотношения между которыми определяются из граничных условий.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ

Условия механической свободы границы среды при падении на нее объемных волн различных поляризаций можно представить в следующей форме:

Конкретизируя эти соотношения, имеем

Отсюда вытекают следующие выражения для коэффициентов отражения:

В этих выражениях введены функции

Здесь параметры ${{p}_{{1,3}}}({{v}^{{\text{2}}}})$ определены в (1), (2).

Знание коэффициентов отражения (7) упрощает дальнейший анализ отражений различных типов.

КОНВЕРСИОННЫЕ ОТРАЖЕНИЯ

При конверсионных отражениях падающая и отраженная волны принадлежат разным акустическим ветвям, так что в (7) $R_{{13}}^{{||}},\;R_{{31}}^{{||}} \ne 0$, в то время как $R_{{11}}^{{||}} = R_{{33}}^{{||}} = 0$. Отсюда следует

Здесь функция ${{f}_{ - }}{\text{(}}{{v}^{2}})$ задана в (8). После освобождения от иррациональностей соотношение (9) сводится к бикубическому уравнению Это выражение совпадает с классическим уравнением, один из корней которого отвечает скорости рэлеевской волны [7, 12, 13]. Данный корень удовлетворяет уравнению в котором ${{p}_{{1,3}}} = i{{q}_{{1,3}}},\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{{q}_{{1,3}}} > 0$, что реализуется в области I. Существенно, что, несмотря на отличие от уравнения (9), соотношение (11) после освобождения от иррациональностей также сводится к (10). Таким образом, уравнение (10) одновременно описывает как конверсионные отражения, так и рэлеевские волны. Положительные корни ${\xi }_{I}^{2},\;{\xi }_{{II}}^{2} > 1$ отвечают конверсионным отражениям, а корень ${\text{0}} < {\xi }_{R}^{2} < 1$ – рэлеевской волне (рис. 1, 2). Корни ${\xi }_{I}^{{\text{2}}}$ и ${\xi }_{{II}}^{{\text{2}}}$ при этом попадают в область III. Конверсионные отражения возникают, если модули упругости кристалла удовлетворяют условию ${\kappa } = {{с }_{{66}}}{\text{/}}{{с }_{{11}}} \geqslant {{{\kappa }}_{d}} \approx 0.321$. Каждому значению величины ${\kappa }$ ${(\kappa } > {{{\kappa }}_{d}})$ отвечают два различных значения ${\xi }_{I}^{{\text{2}}}$ и ${\xi }_{{II}}^{{\text{2}}}$ (при ${\kappa } < {{{\kappa }}_{d}}$ эти параметры комплексно-сопряженные). В свою очередь каждому из параметров ${\xi }_{I}^{{\text{2}}}$ и ${\xi }_{{II}}^{{\text{2}}}$ соответствуют два конверсионных отражения – $({\mathbf{k}}_{1}^{i},{\mathbf{A}}_{{1||}}^{i})\, \to \,({\mathbf{k}}_{3}^{r},{\mathbf{A}}_{3}^{r})$ и $({\mathbf{k}}_{3}^{i},{\mathbf{A}}_{3}^{i})\, \to $ $ \to \,({\mathbf{k}}_{1}^{r},{\mathbf{A}}_{{1||}}^{r})$ – рис. 1. В точке вырождения $({{{\kappa }}_{d}}{,\xi }_{d}^{2})$ корни ${\xi }_{I}^{{\text{2}}}$ и ${\xi }_{{II}}^{{\text{2}}}$ оказываются совпадающими: ${\xi }_{d}^{2} = {\xi }_{I}^{2} = {\xi }_{{II}}^{2} \approx 3.6$.

ЧИСТЫЕ ОТРАЖЕНИЯ

При чистых отражениях падающая и отраженная волны принадлежат одной и той же акустической ветви. Так, падающая волна ветви ${\alpha } = 1$ с параметрами $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{1 \bot }}^{i})$ порождает в объединенной области III–II лишь одну отраженную волну $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{1 \bot }}^{r})$ той же ветви ${\alpha } = 1$. Для волн ветвей ${\alpha } = 1{{,}_{{}}}3$ с параметрами $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{1||}}^{i})$, $({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{3|}}^{i})$ возникает несколько вариантов, которые и рассмотрим далее.

Наклонное падение. Чистым отражениям отвечают соотношения $R_{{11}}^{{||}}{{,}_{{}}}R_{{33}}^{{||}} \ne 0$, $R_{{13}}^{{||}} = R_{{31}}^{{||}} = 0$, которые, согласно (7), будут удовлетворены при условии

где функция $g({{v}^{{\text{2}}}})$ определена в (8). Условие (12) будет удовлетворено, когда Следовательно, при одной и той же скорости $v_{{\text{0}}}^{{\text{2}}} = 2{{c}_{{66}}}{/\rho }$ чистые отражения должны одновременно реализоваться как в ветви ${\alpha } = 1$, так и в ветви ${\alpha } = 3$, когда соответственно Параметры поперечных волн, участвующих в чистом отражении, в соответствии с (14) задаются выражениями Как видим, имеют место наклонное падение и отражение объемных поперечных волн. Соответствующая точка на дисперсионных кривых, представленная на рис. 2 символом $ \otimes $, отвечает частному случаю ${\rho }v_{{\text{0}}}^{{\text{2}}} = 2{{c}_{{66}}} = {{с }_{{11}}}$. Это специальное соотношение между модулями упругости соответствует модельной среде, в которой ${{с }_{{12}}} = с {}_{{11}} - 2{{с }_{{66}}} = 0$.

Что касается чистых отражений продольных волн, то выражение ${{p}_{3}}\,{\text{|}}\,{{v}_{0}}$ (15) может иметь смысл лишь при ${{с }_{{12}}} < 0$. Это не противоречит условиям устойчивости $(0 < {\kappa } < {\text{3/4)}}$, хотя выглядит достаточно экзотичным, а при ${{с }_{{12}}} > 0$ параметр ${{p}_{3}}{\text{|}}{{v}_{0}}$ оказывается мнимым, что отвечает нефизическому решению.

Нормальное падение. При нормальном падении объемной волны на границу среды приведенная скорость $v$ стремится к бесконечности: $v = $ $ = \;{{({\omega /}k)}_{{k \to 0}}} \to \infty $. При этом, как вытекает из соотношений (7) и (8), в соответствии с [12] имеем

Отражение поперечных и продольных волн происходит совершенно независимо. Для параметров волн, участвующих в данных отражениях, справедливы выражения Как в случае поперечных, так и в случае продольных волн падающая и отраженная волны идут навстречу друг другу вдоль одного и того же направления. При этом возникают стоячие волны: Особые объемные волны. При ${{v}^{2}} = v_{1}^{2} = {{с }_{{66}}}{/\rho }$, когда в формулах (1) ${{p}_{1}} = 0$, происходит вырождение: ${\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i} = {\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r} = k{\mathbf{m}}$. При этом ${\mathbf{L}}_{{{\text{1}} \bot }}^{i} = {\mathbf{L}}_{{{\text{1}} \bot }}^{r} = 0$, хотя $С _{{{\text{1}} \bot }}^{i} = С _{{{\text{1}} \bot }}^{r} \ne 0$. В этом случае возникает собственное решение, описывающее особую объемную волну, поперечную, распространяющуюся строго вдоль поверхности со скоростью ${{v}_{1}}$:

На рис. 1 точка, отвечающая этой волне, выделена крестом.

Кроме такой особой объемной волны может существовать вторая подобная волна – продольная [16]. Действительно, из соотношения (15) следует, что при ${{с }_{{12}}} = 0$, когда ${\rho }v_{{\text{0}}}^{{\text{2}}} = 2{{с }_{{66}}} = {{c}_{{11}}}$,

Тогда из (2) вытекает ${\mathbf{L}}_{{\text{3}}}^{i} = {\mathbf{L}}_{{\text{3}}}^{r} = 0$, хотя при этом $С _{3}^{i} = С _{3}^{r} \ne 0$. Таким образом, в данном случае граничным условиям удовлетворяет собственное решение, имеющее вид Соответствующая решению точка на дисперсионной кривой отмечена на рис. 2. Такая волна существует в модельном кристалле, в котором ${{с }_{{12}}} = 0$.

ОБСУЖДЕНИЕ

Отметим, что в изотропном теле вектор поляризации поперечных волн ${{{\mathbf{A}}}_{1}} = {{{\mathbf{A}}}_{{1||}}}\cos \varphi + $ ${{{\mathbf{A}}}_{{1 \bot }}}\sin \varphi $ при изменении параметра $\varphi $ может иметь различную ориентацию. Рассмотренные чистые отражения волны с поляризацией ${{{\mathbf{A}}}_{{1||}}}$ при наклонном падении характеризуются приведенной скоростью $v_{{\text{0}}}^{{\text{2}}} = 2{{c}_{{66}}}{/\rho }$ (13). Такое чистое отражение сохраняется и в более общем случае, когда вместо вектора ${{{\mathbf{A}}}_{{1||}}}$ выступает полный вектор ${{{\mathbf{A}}}_{1}} = {{{\mathbf{A}}}_{{1||}}}\cos \varphi + {{{\mathbf{A}}}_{{1 \bot }}}\sin \varphi $, поскольку отражение поперечной волны с вектором поляризации ${{{\mathbf{A}}}_{{1 \bot }}}$ при любом угле падения является чистым: $R_{{11}}^{ \bot } \equiv 1$ (7).

С другой стороны, конверсионное отражение поперечной волны с вектором поляризации ${{{\mathbf{A}}}_{1}} = {{{\mathbf{A}}}_{{1||}}}\cos \varphi + {{{\mathbf{A}}}_{{1 \bot }}}\sin \varphi $ оказывается невозможным, поскольку при отражении обязательно возникает отраженная компонента с вектором поляризации ${{{\mathbf{A}}}_{{1 \bot }}}$.

Автор выражает благодарность В.И. Альшицу за ряд ценных замечаний.

Работа выполнена при поддержке Федерального агентства научных организаций (соглашение № 007-ГЗ/Ч3363/26).