Приборы и техника эксперимента, 2019, № 5, стр. 119-124

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы приложены большие усилия для разработки и производства рентгенооптических элементов с высокой разрешающей способностью, используемых в таких отраслях науки, как рентгеновская астрономия [1–4], медицина, материаловедение, а также при изучении биологических объектов, в микро- и наноэлектронике, в наземных объектах, таких как синхротроны и рентгеновские лазеры на свободных электронах (free-electron laser, FEL). Основной характеристикой таких оптических элементов является размер фокального пятна.

В настоящее время для управления параметрами сходимости рентгеновского излучения применяются зонные пластины Френеля, многослойные зеркала, конические капилляры, а также изогнутые кристаллы. Наиболее используемыми являются изогнутые кристаллы/зеркала, принцип действия которых основан на полном внешнем отражении рентгеновских лучей от изогнутой поверхности, в частности эллиптической (для фокусировки точка-точка) и параболической (в случае коллимации пучка). В идеальном случае геометрии фокусировки точка-точка профиль поверхности оптического элемента представляет собой короткую секцию эллипсоида с источником и его изображением, находящимся в фокусах эллипса. Обычно меридиональный (параллельный плоскости падения) радиус кривизны R_m больше сагиттального (перпендикулярного плоскости падения) радиуса кривизны R_s, что следует из следующих выражений [5]:

где θ_с – угол падения, а r и r' – расстояния от источника до зеркала и от зеркала до изображения соответственно. В предельном случае, когда r' стремится в бесконечность в уравнении (1), мы переходим от фокусировки излучения к коллимации, а форма зеркала стремится к параболической.

Наиболее распространенными методами придания рентгенооптическим элементам заданного профиля является их упругий изгиб [6, 7] и шлифование заданных поверхностей, в частности, с помощью электролитической обработки поверхности (ELID-шлифовка) [8]. Одним из недостатков данных методов является сложность их применения для создания двумерных профилей поверхности. Для формирования последних было предложено использовать пластически деформированные кристаллы [9]. В связи с задачей повышения точности контроля оптических поверхностей популярность набирают адаптивные рентгенооптические элементы [1–3, 10], управляемые с помощью механических или пьезоэлектрических приводов. Для подобных систем в литературе [11] приведены данные по влиянию прилагаемого к электродам напряжения на радиус кривизны верхней отражающей пластины. Показано, что на кривизну ее поверхности в основном влияет величина пьезомодуля d₃₁; вид зависимости описывается следующим образом:

где h – общая толщина системы; U – прилагаемое напряжение к биморфу; α – постоянная для конкретной системы, определяемая физическими параметрами каждого слоя и его толщиной. Однако в случае сложных форм зеркал на биморфных подложках и при учете влияния анизотропии отражающей пластины необходимо проводить численные расчеты.

В данной работе исследуется влияние форм составных частей регуляторов изгиба (р.и.), приведены расчетные и экспериментальные данные по влиянию электрического поля, приложенного к пьезоэлектрическому биморфу, на кривизну и профиль поверхности монокристаллической пластины SiO₂(011).

РАСЧЕТ ИЗМЕНЕНИЙ ПРОФИЛЯ

Расчет изменений профиля и радиуса кривизны поверхности монокристаллической пластины SiO₂ в составе р.и. проводился с использованием уравнения пьезодеформации совместно с уравнением упругого равновесия с учетом упругих и электрических характеристик системы:

где ε_ij, σ_kl – компоненты тензоров механического напряжения и деформаций составных частей дифракционного блока; D_i, E_j – компоненты векторов электрической индукции, напряженности электрического поля; $c_{{ijkl}}^{E}$ – компоненты тензора упругости составных частей дифракционного блока; d_ijk, k_ijk – пьезоэлектрические постоянные.

Для численного решения системы (3) нами использовался программный пакет COMSOL Multiphysics, позволяющий решать дифференциальные уравнения методом конечных элементов.

В качестве модельного образца был выбран р.и., представляющий собой многослойную структуру, состоящую из основания – пьезокерамического биморфа с пьезокерамикой PZT-5H, заключенной между алюминиевыми электродами, слоя клея (парафина) толщиной 30 мкм и пластины SiO₂(011) толщиной 300 мкм. Пьезоэлектрический биморф состоит из пьезокерамики PZT-5H (d₃₁ = 7.41 ⋅ 10^–10 Кл/Н, модуль Юнга E = 1.27 ⋅ 10¹¹ Па, диэлектрическая проницаемость ε = 3400) толщиной 190 мкм, среднего латунного электрода толщиной 212 мкм и внешних алюминиевых электродов толщиной 14 мкм. Форма р.и. имела вид прямоугольника (рис. 1а) размером 28 × 15 мм, толщиной 0.95 мм.

Начальным условием являлась нулевая кривизна р.и. и пластины SiO₂. Возможность создания р.и. с нулевой кривизной нами была показана в работах [12, 13]. Модельный образец жестко фиксировался с двух противоположных сторон. На средний электрод подавался потенциал +U, внешние электроды имели нулевой потенциал. Указанные профили строились по смещению ΔZ точек поверхности исходного профиля пластины SiO₂ вдоль координаты Y, проходящей через середину образца.

На рис. 1 приведен рассчитанный профиль поверхности монокристаллической пластины SiO₂, сформированный под воздействием на пьезокерамический биморф электрического поля разной напряженности. Поверхность пластины SiO₂ в составе р.и. (рис. 1а) представляет собой параболоид с рассчитанными в центре пластины локальными радиусами кривизны: вдоль большей ее стороны (ось OX, рис. 1б) R_m = 2.25 м (E = 52 В/мм), 1.93 м (E = 104 В/мм), 1.37 м (E = 261 В/мм); вдоль оси OY (рис. 1в) R_s = 1.5 м (E = 52 В/мм), 1.36 м (E = = 104 В/мм), 0.98 м (E = 261 В/мм).

Аналогичные расчеты были выполнены для образца, составные части которого имели форму равнобедренной трапеции с размерами оснований 15 и 5 мм. Профиль поверхности пластины SiO₂ трапециевидного р.и. и ее сечения показаны на рис. 2. При приложении к биморфу электрического поля напряженностью 52 В/мм профиль поверхности пластины SiO₂ описывается параболоидом с локальными радиусами кривизны в центре образца вдоль оси OX 2.13 м (рис. 2б, сечение I), а вдоль оси OY 1.35 м (рис. 2в, сечение II).

На форму и кривизну профиля поверхности пластины SiO₂ влияет способ крепления р.и. На рис. 3б показано изменение профиля сечения (положение сечения показано штриховой линией на рис. 3а) поверхности пластины SiO₂ в зависимости от положений точек крепления р.и. при приложении к биморфу электрического поля E = = 52 В/мм. Величина отступа точки крепления от края образца составляла: 0 (случай консольного крепления), 4, 10 и 14.5 мм (середина образца). Сечения профиля поверхности описываются дугами парабол с радиусами кривизны в центре от 1.1 до 5.3 м.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Исследовалось влияние напряжения, приложенного к пьезоэлектрическому биморфу, на радиус кривизны поверхности пластины SiO₂(011) в составе прямоугольного и трапециевидного р.и. Пластина SiO₂(011) толщиной 315 мкм крепилась с помощью парафина на пьезоэлектрический биморф. Кривизну профиля поверхности пластины измеряли на дифрактометре Bruker D8 Discover (CuKα₁-излучение, диаметр падающего рентгеновского пучка 1 мм). Сечение профиля поверхности определяли по смещению центра тяжести серии кривых качания SiO₂(011), полученных при последовательном перемещении области засветки по поверхности пластины вдоль оси OX, проходящей через середину пластины (на вставках к рис. 1–3 показана выбранная система координат). Полученные профили аппроксимировались методом наименьших квадратов с коэффициентами корреляции не ниже 0.999. Напряжение на подложке изменяли программируемым источником постоянного тока.

Гистерезис и ползучесть (крип) пьезокерамики могут оказывать влияние на зависимость углового положения кривых качания пластины SiO₂(011) от приложенного к пьезоэлектрическому биморфу напряжения. Для уменьшения этого влияния съемка кривых качания проводилась с интервалом времени не менее 15 мин после изменения напряженности электрического поля.

Образцы, параметры которых соответствовали параметрам расчетных образцов, крепились консольно, трапециевидный образец крепился со стороны большего основания. На рис. 4 показаны изменения сечения исходного профиля поверхности пластины SiO₂, полученные для трапециевидного (кривая 1) и прямоугольного (кривая 2) образцов в случае их консольного крепления при приложении к биморфу электрического поля 104 В/мм (сплошными линиями обозначены экспериментальные данные, штриховыми – расчетные). Сечения профилей поверхности на рис. 4 описываются параболами с радиусами кривизны и фокусами, указанными в табл. 1.

Расчет локального радиуса кривизны проводился в вершине параболы по формуле [14]:

где y – аппроксимирующая функция полученных сечений; y' и y'' – ее производные первого и второго порядка соответственно.

Полученные значения радиусов кривизны соответствовали значениям, рассчитанным по формуле (5) [15]:

где s – расстояния между точками съемки кривых качания; Δθ – угловой сдвиг кривых качания.

При используемых в экспериментах небольших напряженностях гистерезис практически отсутствовал, на что указывало восстановление кривизны поверхности кристаллической пластинки и, следовательно, самого биморфа после снятия с него напряжения.

ВЫВОДЫ

На примере р.и. прямоугольной и трапециевидной форм, активным элементом в которых служил пьезоэлектрический биморф из пьезокерамики PZT, показана возможность управления кривизной профилей поверхности рентгенооптических элементов, что может быть использовано для коллимации рентгеновских пучков.

В ходе расчетов было показано, что на форму и кривизну профиля поверхности рентгенооптических элементов в составе р.и., кроме толщины слоев и величины пьезомодуля d₃₁ [11], оказывает влияние форма слоев р.и., а также способ его крепления. В частности, показано, что при использовании р.и. прямоугольной и трапециевидной форм можно получить параболические профили с радиусами кривизны от ∞ до 1 м и фокусами до 0.95 м.

Отличие экспериментальных данных от расчетных можно объяснить неоднородностью толщины слоя клея при наклеивании пластины SiO₂ на биморф. Также отличие может быть связано с неточным соответствием положений линий на исследуемых образцах, вдоль которых проходила съемка кривых качания, и линий, вдоль которых проводился расчет по смещению ΔZ точек поверхности образца. В работе показано, что при использовании р.и. трапециевидной формы можно получить меньший радиус кривизны поверхности пластины по сравнению р.и. прямоугольной формы. Минимальный радиус кривизны пластины достигается в случае консольного крепления р.и. и составляет 1.1 м при подаче на биморф электрического поля напряженностью 52 В/мм (рис. 3б, сечение 1).

ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ

Работа выполнялась в рамках государственного задания № 16.7443.2017/БЧ Министерства образования и науки РФ.