Программирование, 2022, № 5, стр. 27-36

1. ВВЕДЕНИЕ

Распространение света в трехмерной сцене, в которой учитываются множественные отражения и рассеяния света, а также различные виды взаимодействия его с объектами сцены, является сложной проблемой. При синтезе графических сцен необходимо решать двуединую задачу: обеспечение высокой реалистичности воспроизведения графических объектов и достижение приемлемого для конкретной задачи времени формирования изображения. В работе [1] дан обзор методов расчета глобальной освещенности в задачах реалистичной компьютерной графики. Существуют методы как в нереальном времени с высоким реализмом сцен, так и алгоритмы, работающие в режиме реального времени, реализованные на графических процессорах. Например, эффект каустики, реализован в модуле визуализатора Vray для 3DS MAX. Визуализация с помощью Vray может занимать от нескольких минут до часа и больше в зависимости от сложности и качества изображения. Визуализатор Vray базируется на методе [2]. Визуализатор тоже нереального времени Corona основан на методе, описанном в работе [3]. С другой стороны, известны методы, работающие в интерактивном режиме с использованием графических процессоров, например, объемные каустики в однократно рассеивающих средах [4]. В статье [5] предлагается метод рендеринга изображений с глобальным освещением также реализованный на графических процессорах. В методе применяется двунаправленная трассировка пути.

По данному в работе [1] определению в нашей работе рассматриваются каустики второго типа. Как отмечено в [1] такие каустики не могут быть эффективно вычислены с помощью двунаправленной трассировки путей. Из данного обзора, на наш взгляд, следует такой вывод, что создан большой набор специализированных методов, каждый из которых способен отображать определенные типы зеркальных путей. Однако ни один из существующих методов не подходит для общего случая. Каждый подход имеет свой собственный набор ограничений. Например, двунаправленная трассировка путей [5], как уже отмечалось имеет проблемы с бликами и не эффективна для каустик второго типа. Одним из особенно проблемных случаев являются сцены, содержащие каустики или блестящие поверхности, которые имеют случайные узоры бликов из-за зеркальной микрогеометрии. Методы, работающие в терминах светового потока, используют фотонные карты [6] и хорошо решают определенный класс задач, однако они могут привести к нежелательному размытию и не обрабатывают важные случаи, включая каустики на нерассеянных поверхностях и бликах. Так в работе [1] справедливо замечено, что фотонные карты должны применяться с осторожностью на поверхностях с микрорельефом, поскольку могут искажать вид микрорельефа. С другой стороны, методы визуализации точно отображающие шероховатые поверхности с бликами, имеют проблемы с другими типами зеркальных путей [7, 8]. Таким образом, известные методы имеют ограничения, например, в случае бликов и переходов от зеркального к диффузному и обратно к зеркальному пути прохождения света, а также если геометрия сцены имеет высокочастотную детализацию.

В данной работе предлагается общий подход к визуализации каустик второго типа (зеркально-диффузно-зеркальные) [1] и шероховатых поверхностей с бликами. Его суть заключается в следующем: на перовом этапе работы алгоритма не рассматривается карта нормалей, а вычисляются зеркальные пути на исходной гладкой поверхности. Далее возмущение нормалей выбирается случайным образом из распределения нормалей, присутствующих на карте нормалей. Используется гауссова аппроксимация всей карты нормалей, полученная из самого низкого уровня многоуровневой карты [9].

В работе представлен метод визуализации рассеяния света от зеркальных поверхностей, и сложных каустик, а также многократного преломления света и бликов на зеркальных поверхностях. Разработан алгоритм отбора проб зеркальных путей, включая блики и переходы от зеркального к диффузному и обратно к зеркальному пути прохождения света. Метод позволяет обрабатывать высокочастотную геометрию с отображением карт нормалей, карт смещения и зеркально-диффузные отражения. Метод позволяет визуализировать отражающие и преломляющие каустики. При отображении шероховатых поверхностей обеспечивается лучшее приближение для большинства материалов в сравнении с известными подходами [7, 8]. Реализован алгоритм выборки для поверхностей с отображением карт нормалей. Метод отличается уменьшенной дисперсией, повышенной надежностью и сходимостью. Работа базируется на общей выборке путей в исходной задаче, стохастически выбираются отдельные решения. Добавленная дисперсия, вызванная случайным решением, уменьшается вместе с дополнительными источниками дисперсии. К ним относятся отображение окружающей среды, косвенное освещение и т.д. Предлагаемый метод использует стохастическую инициализацию и эффективную оценку веса выборки. В результате можно находить решения для сложной геометрии. Показано, что стохастическая инициализация для поверхностей с отображением карт нормалей, переходы от зеркального к диффузному и обратно к зеркальному пути прохождения света, напрямую связаны с рендерингом бликов. Использование стохастической выборки решений для глянцевых поверхностей в методе также эффективно, поскольку одновременно уменьшается несколько дополнительных источников дисперсии.

2. ОПИСАНИЕ МЕТОДА

2.2. Зеркальный перенос света

Рассмотрим путь переноса света, содержащий ряд зеркальных точек ${{\vec {x}}_{2}}$, …, ${{\vec {x}}_{{n - 1}}}$ между двумя не зеркальными конечными точками ${{\vec {x}}_{1}}$ и ${{\vec {x}}_{n}}$. Где ${{\vec {x}}_{1}}$ – точка затенения на поверхности, а ${{\vec {x}}_{n}}$ – положение источника света (рис. 1).

Рис. 1.

Зеркальный перенос света.

Заметим, что каждая зеркальная точка накладывает физические ограничения, например, когда в точке происходит преломление, которое описывается законом Снелла. Ограничения описываются с помощью функции ${{\vec {b}}_{i}}$, связанной с каждой точкой ${{\vec {x}}_{i}}$. Полувектор проецируется на локальное касательное пространство [12 ] :

(3)

${{\vec {b}}_{i}}({{\vec {x}}_{{i - 1}}},{{\vec {x}}_{i}},{{\vec {x}}_{{i + 1}}}) = {{M}_{t}}{{({{\vec {x}}_{i}})}^{T}}{{\vec {v}}_{h}}({{\vec {x}}_{i}},{{\vec {x}}_{i}}{{\vec {x}}_{{i - 1}}},{{\vec {x}}_{i}}{{\vec {x}}_{{i + 1}}}),$

где ${{M}_{t}}({{\vec {x}}_{i}})$ – матрица касательных векторов 3 × 2.

Объединенная функция зеркального пути:

(4)

${{\vec {b}}_{c}}({{\bar {x}}_{i}}) = {{[{{\vec {b}}_{2}},...,{{\vec {b}}_{{n - 1}}}]}^{T}}.$

Функция параметризуется с помощью UV-координат зеркальных точек. Решение уравнения ${{\vec {b}}_{c}}(\bar {u}\bar {v}) = 0$ находится с использованием итерации Ньютона:

(5)

$\bar {u}{{\bar {v}}_{{i + 1}}} = {{(\nabla {{\vec {b}}_{c}}(\bar {u}{{\bar {v}}_{i}}))}^{{ - 1}}} \cdot {{\vec {b}}_{c}}(\bar {u}{{\bar {v}}_{i}}),$

где $\nabla {{\vec {b}}_{c}}$ – Якобиан–матрица, состоящая из блоков 2 × 2.

Шаг Ньютона (5) создает точки, после каждой итерации требуется дополнительный шаг пере- проекции. В предлагаемом методе случайным образом выбирается начальное предположение из распределения вероятностей $\rho ({{\bar {x}}_{0}})$. Все решения находятся с ненулевой вероятностью, поскольку метод Ньютона имеет квадратичную сходимость, и начальная точка близка к корню. Однако вероятность успешной сходимости неизвестна. Выбираем два равномерно распределенных случайных числа в виде входных данных и преобразуем их в желаемое распределение. Цель состоит в генерации начальной выборки близкой к решению для сходимости итераций Ньютона (5).

Дискретная вероятность представляет собой площадь области конвергенции, так как выборки равномерно распределены:

(6)

${{\rho }_{n}} = \int\limits_U {S(\zeta )d\zeta } ,$

где $S$ – форма, зависящая от положения конечных точек пути, $\zeta $ – два равномерно распределенных случайных числа, $U$ – первичная область выборки.

(7)

$\zeta = ({{\zeta }_{1}},{{\zeta }_{2}}) \in {{\left[ {0,1} \right)}^{2}}.$

Вычисление интеграла (6) явно неосуществимо. Применим приближенную оценку:

(8)

$\left\langle {{{\rho }_{n}}} \right\rangle = \frac{1}{K}\sum\limits_{i = 1}^K {S({{\zeta }_{i}})} ,$

где ${{\zeta }_{i}} \in U$ – последовательность однородных переменных.

Вычисление $\left\langle {1{\text{/}}{{\rho }_{n}}} \right\rangle $ осуществляется с использованием итеративного подхода.

(9)

$\frac{1}{{{{\rho }_{n}}}} = \frac{1}{{\int\limits_U^{} {S(\zeta )d\zeta } }} = \frac{1}{{1 - p}} = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{p}^{i}}} ,$

где $p = 1 - \int_U {S(\zeta )d\zeta } $.

Интегрирование функции по единичному квадрату выполняется явно, если $\left| p \right| < 1$.

(10)

$\left\langle {1{\text{/}}{{\rho }_{n}}} \right\rangle = 1 + \sum\limits_{i = 1}^\infty {{\kern 1pt} \prod\limits_{j = 1}^i {{{{\left\langle p \right\rangle }}_{j}}} } ,$

где ${{\left\langle p \right\rangle }_{j}}$ – начальные точки.

Во втором варианте подхода используется компромисс между дисперсией выборки и потерей энергии. Применяется параметр размера пробного набора. Определяется сколько вычислений тратится на оценку излучения от каустик, и контролируется, сколько каустик найдено. Вместо неограниченного количества пробных итераций использует фиксированное число выборок $N$. Выборки группируются в набор решений. Оценка обратной связи определяется по относительному числу вхождений каждого решения. Оценка общей пропускной способности в точке затенения ${{\vec {x}}_{1}}$:

(11)

$\frac{1}{N}\sum\limits_{m = 1}^M {{{n}_{m}}\frac{{f(\vec {x}_{2}^{{(m)}})}}{{p(\vec {x}_{2}^{{(m)}})}}} \approx \frac{1}{N}\sum\limits_{m = 1}^M {{{n}_{m}}f(\vec {x}_{2}^{m})\frac{N}{{{{n}_{m}}}}} = \sum\limits_{m = 1}^M {f(\vec {x}_{2}^{m})} ,$

где $x_{2}^{{(m)}}\;(m = 1,...,M)$ – набор решений.

По сравнению с первым подходом, этот вариант имеет фиксированное количество итераций. А также использует информацию, предоставленную всеми образцами.

Также предлагается функция ограничения, которая решает, как ограничение в уравнении (3) кодирует зеркальные конфигурации с помощью полувекторных проекций. Закон Снелла и закон отражения определяют направление рассеяния:

(12)

${{D}_{s}}({{\vec {d}}_{i}},\vec {n},r) = \left\{ \begin{gathered} D_{s}^{T}({{{\vec {d}}}_{i}},\vec {n}),\quad r = 1, \hfill \\ D_{s}^{T}({{{\vec {d}}}_{i}},\vec {n},r),\quad otherwise, \hfill \\ \end{gathered} \right.$

где ${{\vec {d}}_{i}}$ – направления падения света, $\vec {n}$ – нормали поверхности, $r$ – относительный показатель преломления.

(13)

$D_{s}^{T}({{\vec {d}}_{i}},\vec {n}) = 2\langle {{\vec {d}}_{i}},\vec {n}\rangle \vec {n} - {{\vec {d}}_{i}},$

(14)

$\begin{gathered} D_{s}^{T}({{{\vec {d}}}_{i}},\vec {n},r) = \\ \, = - r({{{\vec {d}}}_{i}} - \langle {{{\vec {d}}}_{i}},\vec {n}\rangle \vec {n}) - \vec {n}\sqrt {1 - {{r}^{2}}(1 - {{{\langle {{{\vec {d}}}_{i}},\vec {n}\rangle }}^{2}})} . \\ \end{gathered} $

Падающее и исходящее направления света взаимосвязаны следующим образом:

(15)

${{\vec {d}}_{0}} = D({{\vec {d}}_{i}},\vec {n},r).$

Разница в сферических координатах векторов будет:

(16)

${{\vec {b}}_{i}} = \left( \begin{gathered} \theta (D({{{\vec {x}}}_{i}}{{{\vec {x}}}_{{i - 1}}},{{{\vec {n}}}_{i}},{{r}_{i}})) - \theta ({{{\vec {x}}}_{i}}{{{\vec {x}}}_{{i + 1}}}) \\ \varphi (D({{{\vec {x}}}_{i}}{{{\vec {x}}}_{{i - 1}}},{{{\vec {n}}}_{i}},{{r}_{i}})) - \varphi ({{{\vec {x}}}_{i}}{{{\vec {x}}}_{{i + 1}}}) \\ \end{gathered} \right),$

(17)

$\theta ({{\vec {d}}_{s}}) = {{\cos }^{{ - 1}}}({{\vec {d}}_{{iz}}}),$

(18)

$\varphi ({{\vec {d}}_{s}}) = a\tan 2({{\vec {d}}_{{iy}}},{{\vec {d}}_{{ix}}}).$

Для целенаправленного прогнозирования местоположения решений и определения отправных точек предлагается способ создания целевого начального предположения для особого случая отображенных по нормали поверхностей. Сначала карта нормалей не рассматривается, а находятся зеркальные пути на исходной гладкой поверхности. Данный способ распространяется на карты смещения для представления деталей поверхности.

Метод также позволяет обрабатывать блики, которые представляют собой субпиксельные отражения света на зеркальной поверхности с микрогеометрией. Задача поиска бликов идентична случаю с каустикой. Отличием является то, что поиск ограничен небольшими областями поверхности. Для визуализации бликов используется двулучевая функция распределения света (BRDF) по площади пикселя. Генерируются случайные начальные точки внутри пикселя и происходит поиск решений, с помощью дискретного набора решений для вычисления пути $\bar {x} = {{\vec {x}}_{0}},{{\vec {x}}_{1}},{{\vec {x}}_{2}}$, соединяющего камеру с положением источника света с зеркальным отражением.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

Тестирование производилось на компьютере с процессором Intel Core2 CPU E8400 3.0 GHz, и графическом процессоре GeForce GTX 470. Изображения были визуализированы с разрешением 1024 4 768 пикселей.

Сцена колец (рис. 2) показывает, как прямые, так и косвенные каустики, создаваемые отражением от кольца на зеркальной поверхности с диффузно-зеркальной составляющей α = 0.1. Изображение демонстрирует каустики, созданные при отражении света внутри колец. Диффузно-зеркальная составляющая поверхности изменяется от 1 (диффузная) до 0 (зеркальная). Параметр $\alpha $ определяет, является ли поверхность диффузной или зеркальной. Такая модель была представлена Шликом в [10]. Эта модель проста и обладает полезным свойством, заключающимся в том, что она обеспечивает непрерывный переход от ламбертовского отражения к глянцевому зеркальному отражению.

Рис. 2.

Множественные решения ограничения зеркального пути образуют суперпозицию каустик.

Каустика формируется путем размещения источника света на краях колец, которые имеют отражающие внутренние стороны. Входящее направление света на краю каустики касательно к ней. Эта информация полезна, когда удаляем ламбертовское допущение с приемной поверхности. Это позволяет предсказать, как должна выглядеть каустика по мере того, как поверхность становится более глянцевой. Интенсивность каустики снижается в тех частях, где поступающее направление света отличается от направления входящего луча обзора. Время рендеринга увеличивается по мере того, как поверхность становится более глянцевой, так как алгоритм выборки изображения требует большего количества путей для рендеринга каустики на глянцевой поверхности. Использование фиксированного количества выборок на пиксель делает время рендеринга одинаковым для всех изображений.

Другой тестовый пример (рис. 3) представляет собой более сложную сцену, в которой использована не ламбертовская модель отражения. Изображен стеклянный сосуд с водой с каустикой. Образуется каустика, когда свет проходит через стекло и воду. На рис. 4 графики показывают дисперсию внутри каустики и снаружи как функцию от числа выборок. Диффузно-зеркальная составляющая – α = 0.1. Выполняется оценка яркости в пикселях снаружи и внутри каустики. Дисперсия пикселей эквивалентна дисперсии оценки яркости. Графики показывают, что асимптотическое приближение хорошо предсказывает дисперсию.

Рис. 3.

Объемная каустика.

Рис. 4.

Зависимости дисперсии от числа выборок.

Метод также эффективен при визуализации бликов со сложной микроструктурой, заданной с использованием карт нормалей (металлическая поверхность с очень сильной анизотропией (рис. 5)). Измеренные данные коэффициента отражения металлической поверхности в зависимости от угла между нормалью и полувектором, перенормированные по значению в начале координат, показаны на рисунке 6. Модель BRDF Кука–Торренса показана на рис. 7.

Рис. 5.

Зеркальная металлическая поверхность.

Рис. 6.

Данные коэффициента отражения металлической поверхности в зависимости от угла между нормалью и полувектором модели BRDF.

Рис. 7.

Модель BRDF.

В работе рассмотрены количественные показатели (корень из средней квадратичной ошибки). Наша модель обеспечивает очень хорошее представление для глянцевых, шероховатых и зеркальных материалов. Модель имеет меньший показатель корня из средней квадратичной ошибки, чем другие тестируемые модели для нескольких материалов (см. рис. 8).

Рис. 8.

Количественные показатели (корень из средней квадратичной ошибки) в BRDF для нескольких материалов.

Мы сравнили нашу модель с двумя эталонными моделями: распределением гамма-излучения со смещением [7] и моделью плавного отражения [8] (табл. 1).

На рисунке 9 показана комбинированная сцена каустики и шероховатой поверхности, видно, что каустика от стеклянного сосуда не размывает шероховатый узор металлической поверхности (количество выборок на пиксель – 10).

Рис. 9.

Комбинированная сцена каустики и шероховатой поверхности.

Модели, основанные только на дифракции, обеспечивают хорошее описание диффузных и глянцевых материалов. Модели, основанные на модели освещения, как правило, лучше смотрятся на блестящих и зеркальных материалах.

Представленные в работе изображения визуализированы в нереальном времени с разрешением экрана 1024 × 768. Время визуализации зависит от многих факторов, главным образом от числа выборок и количества вершин зеркальных путей (рис. 1). В таблице 2 показано время визуализации для тестовых сцен.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представлен комбинированный метод визуализации каустик и шероховатых поверхностей. Рассмотрены рассеяние света на поверхностях, сложные каустики, многократное преломление света и блики на зеркальных поверхностях. Реализована эффективная техника выборки зеркального пути, которая сочетает в себе детерминированный поиск корней со стохастической выборкой. Базовый метод реализован в двух вариантах. Для первого варианта алгоритма представлено несколько дополнительных расширений и оптимизаций. Например, отбор проб путей улучшает сходимость. Введение ограничений многообразия увеличивают размер областей конвергенции в пространстве первичной выборки. Для генерации зеркальных бликов применяется простой итеративный алгоритм, для которого нет необходимости в использовании операций трассировки лучей.