Радиотехника и электроника, 2020, T. 65, № 8, стр. 798-803

ВВЕДЕНИЕ

Вычисление углов прихода сигналов, основанное на измерении разности фаз между отсчетами комплексных колебаний в двух или более разнесенных в пространстве каналах приемника, используется в интерферометрических гидролокаторах бокового обзора (ИГБО) и системах позиционирования [1, 2]. Использование узкополосных зондирующих сигналов с большой базой позволяет снизить влияние аддитивных помех типа белого гауссовского шума путем обработки принятых сигналов с использованием методов согласованной фильтрации. Влияние аддитивных помех также снижается с ростом размера антенной базы, так как точность вычисления угла прихода обратно пропорциональна размеру антенной базы [3]. Однако расширение базы интерферометра, не согласованное с параметрами сигнальной посылки, увеличивает декорреляцию колебаний в каналах приемника, приводящую к ошибкам измерений [4].

Известные исследования в области измерительных интерферометрических систем [4] сориентированы в основном на измерительные системы, удовлетворяющие условию пространственно-временной узкополосности, которое ставит ограничение на размер антенной базы и ширину полосы сигналов. Модели колебаний в каналах приемника и алгоритмы их обработки при выполнении условия пространственно-временной узкополосности наиболее просты и потому привлекательны.

В данной работе на основании общей модели отраженных от шероховатой поверхности сигналов [5] изучаются погрешности измерения разности фаз в каналах ИГБО, вызванные декорреляционными факторами, и рассматриваются возможности корректировки моделей колебаний в каналах приемника и алгоритмов их обработки с целью повышения точности производимых оценок путем снижения влияния аддитивных системных помех, обусловленных моделью распределенного в пространстве объекта зондирования.

1. МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ В КАНАЛАХ ПРИЕМНИКА

Принцип измерения углов прихода сигналов с помощью интерферометрических систем описан в работах [1, 2]. Геометрия измерений представлена на рис. 1.

Рис. 1.

Геометрия измерений интерферометрических систем.

Для вычисления углов прихода сигналов с помощью интерферометрических систем используются, как минимум, две приемные антенны, которые условно будем называть опорной 1 и рабочей 2 (см. рис. 1).

Предполагается, что в качестве зондирующего используется сигнал с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ) с центральной частотой ${{f}_{0}}$, длительностью Т_с и девиацией частоты $\Delta F$. Колебания с выхода каждой из приемных антенн подаются на фильтры, согласованные с ЛЧМ-сигналом.

Источник сигнала описывается дальностью до него $R$ и направлением φ на него. Дальность однозначно связана с запаздыванием $\tau = {{2R} \mathord{\left/ {\vphantom {{2R} V}} \right. \kern-0em} V}$, где $V$ – скорость распространения звука. Таким образом, источник (отражающая поверхность) описывается функцией $\varphi (\tau )$, которая в общем случае может быть многозначной.

Отражающую поверхность будем считать шероховатой. Для такой поверхности в [5] дана в общем виде модель отраженных сигналов. Используя результаты этой работы, для комплексных огибающих ${{Z}_{1}}(t)$ и ${{Z}_{2}}(t)$ на выходе согласованных фильтров в случае однозначной поверхности, находящейся в дальней зоне, можно получить следующие соотношения:

где $\Delta x$ – расстояние между антеннами.

В случае многозначных поверхностей (источников) будем иметь сумму нескольких интегралов. Пределы интегрирования в (1) от ${{\tau }_{0}}$ до $\infty $, где ${{\tau }_{0}}$ – минимальная задержка. Учитывая свойства подынтегральных функций, пределы интегрирования можно сократить.

В соотношении (1) ${{\rho }_{s}}(t)$ есть нормированная автокорреляционная функция (АКФ) комплексной огибающей зондирующего сигнала, т.е. энергия излучаемого колебания полагается равной единице. Ее отличие от единицы учитывается коэффициентом пропорциональности в $h(\tau )$, характеризующего отражающие свойства поверхности и дополнительные эффекты, возникающие при распространении звуковых волн.

Для шероховатой поверхности функция $h(\tau )$ полагается [5] реализацией комплексного нормального случайного процесса с нулевым средним и со следующими корреляционными свойствами:

где усреднение производится по ансамблю.

Функция $\sigma _{h}^{2}(\tau )$ полагается медленно изменяющейся. Функция $\beta (\tau )$ в соответствии с рис. 1 равна

При сделанных предположениях относительно функции $h(\tau )$ колебания ${{Z}_{1}}(t)$ и ${{Z}_{2}}(t)$ будут реализациями гауссовского случайного процесса с нулевым средним и дисперсиями:

где знак приближения отражает предположение о постоянстве $\sigma _{h}^{2}(\tau )$ на длительности главного лепестка автокорреляционной функции зондирующего сигнала. При этом учтено, что функция ${{\left| {{{\rho }_{S}}(\nu )} \right|}^{2}}$ за пределами главного лепестка $(\left| \nu \right| \leqslant {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\Delta F}}} \right. \kern-0em} {\Delta F}})$ много меньше единицы.

Для дальнейшего важны соотношения, вытекающие из принятой модели отраженного сигнала:

где

– декорреляционный коэффициент.

При $\operatorname{Re} \{ p({{t}_{1}},{{t}_{2}})\} = 1$ и $\operatorname{Im} \{ p({{t}_{1}},{{t}_{2}})\} = 0$ в отсутствие помех измеренная разность фаз между $Z({{t}_{1}})$ и $Z({{t}_{2}})$ соответствовала бы точному значению

где $\lambda $ – длина волны, соответствующая центральной частоте ${{f}_{0}}$. Отличие от единицы приводит к погрешности измерений.

Целью обработки является оценка величины $\varphi ({{t}_{1}})$. Для этого сначала с помощью измерения разности фаз оцениваем величину $\varepsilon ({{t}_{1}})$, затем путем деления на $2\pi \frac{{\Delta x}}{\lambda }$ – величина $\beta ({{t}_{1}})$, и, наконец, с помощью преобразования обратного (3) оцениваем величину $\varphi ({{t}_{1}})$. При переходе от $\varepsilon ({{t}_{1}})$ к $\beta ({{t}_{1}})$ возникает неоднозначность, которая может быть устранена разными способами, один из которых был представлен в работе [6]. Если $\varepsilon ({{t}_{1}})$ оценена со среднеквадратической ошибкой ${{\sigma }_{\varepsilon }}$, то для среднеквадратической ошибки ${{\sigma }_{\beta }}$ и ${{\sigma }_{\varphi }}$ будем иметь

На входе приемника кроме отраженных колебаний присутствуют аддитивные помехи, которые предполагаются независимыми реализациями белого гауссова шума. На выходе согласованных фильтров с переносом частоты будем иметь комплексные колебания ${{n}_{1}}(t)$ и ${{n}_{2}}(t)$ с автокорреляционными свойствами, соответствующими спектральной плотности зондирующего сигнала. Согласно [7] нетрудно показать, что

2. ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ РАЗНОСТИ ФАЗ

При выполнении условий (4), (5), (8) и $\sigma _{h}^{2}({{t}_{1}}) = \sigma _{h}^{2}({{t}_{2}})$ два отсчета, ${{Y}_{1}}({{t}_{1}}) = {{Z}_{1}}({{t}_{1}}) + {{n}_{1}}({{t}_{1}})$ и ${{Y}_{2}}({{t}_{2}}) = {{Z}_{2}}({{t}_{2}}) + {{n}_{2}}({{t}_{2}})$, эквивалентны двум отсчетам ${{Y}_{1}}$ и ${{Y}_{2}}$ из стационарного нормального случайного процесса, взятым в разные моменты времени. Свойства этих отсчетов изучены в [7], в частности, получено одномерное распределение разности фаз $\varepsilon $ в виде

где $y = {{\rho }_{0}}\cos (\varepsilon - {{\theta }_{0}}),$ $\left| \varepsilon \right| \leqslant \pi ,$ ${{\rho }_{0}} = \sqrt {{{{\operatorname{Re} }}^{2}}\{ \rho \} + {{{\operatorname{Im} }}^{2}}\{ \rho \} } ,$ ${{\theta }_{0}} = {\text{arctg}}\left( {\frac{{\operatorname{Im} \{ \rho \} }}{{\operatorname{Re} \{ \rho \} }}} \right),$

В случае, когда сигнальные составляющие отсчетов ${{Y}_{1}}$ и ${{Y}_{2}}$ отличаются только фазовым сдвигом (${{Y}_{1}} = Z + {{n}_{1}},$ ${{Y}_{2}} = Z\exp \left( {j\varphi } \right) + {{n}_{2}}$), погрешность измерения обусловлена только аддитивными помехами и параметры распределения (9б) имеют вид

Распределение имеет максимум при $\varepsilon = {{\theta }_{0}}$ и симметрично относительно этого значения [7]. Поэтому оценка будет не смещенной с дисперсией $\sigma _{\varepsilon }^{2} = \langle {{(\varepsilon - {{\theta }_{0}})}^{2}}\rangle .$

На рис. 2 представлена полученная расчетным путем (9а) зависимость ошибки измерения разности фаз от соотношения сигнал помеха (кривая 1).

Рис. 2.

Зависимость ошибки измерения разности фаз от соотношения сигнал помеха.

Для $1 \leqslant q \leqslant {{10}^{6}}$ хорошей аппроксимацией этой зависимости является кривая 2. Эта аппроксимация соответствует зависимости

Для качественных выводов удобной является более грубая аппроксимация, (см. рис. 2, кривая 3):

В случае отсутствия аддитивных помех погрешность измерения обусловлена только декорреляцией отсчетов. Пусть ${{Y}_{1}} = {{Z}_{1}}$ и ${{Y}_{2}} = {{Z}_{2}}\exp (j\varphi ),$ где φ – истинный угол. Тогда параметры распределения будут иметь вид

То есть оценка в этом случае будет смещенной на величину ${{\theta }_{0}}$, а случайная составляющая погрешности измерений будет эквивалентна погрешности за счет аддитивных помех с эквивалентным отношением сигнал-помеха:

Эквивалентное представление отсчетов ${{Y}_{1}}$ и ${{Y}_{2}}$ имеет вид

Из рассмотренного следует, что погрешность измерения глубины интерферометрическим ГБО в отсутствие аддитивных помех определяется коэффициентом (6б), характеризующим декорреляцию отсчетов ${{Z}_{1}}({{t}_{1}})$ и ${{Z}_{2}}({{t}_{2}})$. Декорреляция зависит от выбора момента взятия отсчета ${{t}_{2}}$ в рабочем канале относительно момента ${{t}_{1}}$ взятия отсчета в опорном канале и от поведения разности $\beta ({{t}_{1}} - \nu ) - \beta ({{t}_{1}})$ в зависимости от $\nu $ в показателе экспоненты. Декорреляцию за счет первого фактора будем условно называть временной декорреляцией, а за счет второго фактора – фазовой. Проанализируем по отдельности влияние этих факторов на погрешность измерений.

3. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ИЗ-ЗА ВРЕМЕННОЙ ДЕКОРРЕЛЯЦИИ

В чистом виде временная декорреляция имеет место при $\beta ({{t}_{1}} - \nu ) = \beta ({{t}_{1}})$ для $\nu $, по крайней мере, на длительности главного лепестка автокорреляционной функции ($\left| \nu \right| \leqslant {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\Delta F}}} \right. \kern-0em} {\Delta F}}$). Функция $p({{t}_{1}},{{t}_{2}})$ при этом равна

где ${{\rho }_{{ss}}}(\Delta t)$ – нормированная АКФ зондирующего сигнала, а $\Delta t = {{t}_{1}} - {{t}_{2}} - \frac{{\Delta x}}{V}\beta ({{t}_{1}}).$ Функция ${{\rho }_{{ss}}}(\tau )$ пропорциональна обратному преобразованию Фурье от четвертой степени спектральной плотности зондирующего сигнала. Для ЛЧМ-сигнала с достаточно большой базой энергетический спектр близок к прямоугольному, и тогда имеем

где $u = \Delta F\Delta t$.

При $|\Delta t| < {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\Delta F}}} \right. \kern-0em} {\Delta F}}$ оценка $\varepsilon ({{t}_{1}})$ будет не смещенной, а случайная погрешность будет равна погрешности при аддитивной помехе с эквивалентным отношением сигнал-помеха (12). Для получения качественных выводов функцию (13) для $\left| u \right| < {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$ можно аппроксимировать выражением $1 - \frac{{{{{(\pi u)}}^{2}}}}{6},$ и ${{q}_{э}} \cong \frac{6}{{{{{(\pi u)}}^{2}}}} - 1.$

На рис. 3 представлена зависимость погрешности измерения разности фаз, рассчитанная по соотношениям (10), (12), (13) (кривой 1) и с использованием указанной аппроксимации (кривая 2). Из рис. 3 видно, что обе кривые близки до значений $u \leqslant {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$ и, соответственно, ${{\sigma }_{\varepsilon }} \leqslant {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}.$ Кроме того, можно отметить, что обе зависимости до этих значений близки к линейной (кривая 3).

Рис. 3.

Зависимость стандартного отклонения ${{\sigma }_{\varepsilon }}$ погрешности измерения разности фаз из-за временной декорреляции.

Заданная точность измерения угла прихода отраженного сигнала может быть обеспечена, если $\left| u \right|$ не превосходит некоторую величину ${{u}_{{\max }}}$:

В предположении пространственно временной узкополосности членом $\frac{{\Delta x}}{V}\beta (t - \nu )$ в аргументе функции ${{\rho }_{s}}$пренебрегают и для измерения разности фаз используют синхронные отсчеты в каналах приемника (${{t}_{1}} = {{t}_{2}}$). Реально $\frac{{\Delta x}}{V}\beta (t)$ отлично от нуля, что обусловливает погрешности измерений, соответствующие значению

При этом условие (14) с учетом того, что $\left| {\beta (t)} \right|$ может достигать единицы, переходит в ограничение на размер антенной базы или полосу сигнала (база сигнала):

4. ПОГРЕШНОСТИ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ФАЗОВОЙ ДЕКОРРЕЛЯЦИЕЙ

Положим в выражении (6б)

Тогда разность $\beta ({{t}_{1}} - \nu ) - \beta ({{t}_{1}})$ будет иметь место как в показателе экспоненты, так и в аргументе функции ${{\rho }_{s}}$ под интегралом. Предположим, что $\frac{{\Delta x}}{V}\left| {\beta (t - \nu ) - \beta (t)} \right|$ при $\left| \nu \right| \leqslant {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\Delta F}}} \right. \kern-0em} {\Delta F}}$ – малая по сравнению с ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\Delta F}}} \right. \kern-0em} {\Delta F}}$ величина и ей можно пренебречь в аргументе функции ${{\rho }_{s}}$ под интегралом. Тогда

То есть декорреляционный эффект будет связан лишь с вариацией показателя экспоненты.

При анализе разности $\beta (t - \nu ) - \beta (t)$ каждой точке отсчета $t$ будем сопоставлять плоский отражающий участок (см. рис. 1) размером, соответствующим разрешающей способности сигнала ($\left| \nu \right| \leqslant {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\Delta F}}} \right. \kern-0em} {\Delta F}}$). Отражающий участок находится на расстоянии R от антенн, под углом $\xi $ к горизонтали и характеризуется угловым $\Delta \varphi $ и линейным $\Delta y$ размерами, которые для $\left| {\xi - \varphi } \right| \geqslant 2\sqrt {{{\lambda {{f}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\lambda {{f}_{0}}} {R\Delta F}}} \right. \kern-0em} {R\Delta F}}} $ имеют вид

а при φ = ξ –

Поведение разности $\beta (t - \nu ) - \beta (t)$ зависит от разности $\xi - \varphi $.

Для углов

можно получить

где знак приближения связан с условием (18) и предположением малости величины ${{{{f}_{0}}\lambda } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{f}_{0}}\lambda } {2\Delta FR}}} \right. \kern-0em} {2\Delta FR}}$ по сравнению с единицей.

Отметим, что с увеличением дальности (глубины) условие (18) ослабляется, допуская меньшую разность углов. Кроме того, уменьшается разность (20), т.е. исключение этой разности из аргумента функции ${{\rho }_{s}}$ под интегралом (6б) становится более оправданным.

Для получения качественных выводов при вычислении декорреляционного коэффициента $p$ (19) функцию $\rho _{s}^{2}(\nu )$ аппроксимируем прямоугольником шириной $\left| \nu \right| \leqslant {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\Delta F}}} \right. \kern-0em} {\Delta F}}$. Тогда коэффициент $p$ будет иметь вид (13) при

Оценка разности фаз $\varepsilon $ при $\left| u \right| < 1$ будет не смещенной, а случайная погрешность будет равна погрешности измерения в аддитивном шуме с эквивалентным отношением сигнал–помеха, примерно равным ${6 \mathord{\left/ {\vphantom {6 {{{u}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{u}^{2}}}} - 1.$

Заданное качество батиметрии достигается при выполнении условия (14). Величина $u$ зависит от угла φ и разности $\xi - \varphi $, и ее модуль достигает максимума, когда в (18) выполняется равенство $\varphi = \theta $. С учетом этого (14) переходит в ограничение

Сопоставление соотношений (20) и (15) показывает, что при одновременном взятии отсчетов в опорном и рабочем каналах допустимый размер антенной базы не зависит от дальности и сокращается с увеличением полосы сигнала $\Delta F$. Коррекция момента взятия отсчета в рабочем канале, в соответствии с (16), позволяет увеличить допустимый размер антенной базы как с ростом $\Delta F$, так и с ростом дальности (глубины).

Для отражающего участка, перпендикулярного направлению на антенны ($\xi = \varphi $), когда условие (18) не выполняется, имеет место неоднозначность, так как положительным и отрицательным угловым приращениям φ соответствуют положительные приращения по дальности. Возникает сумма двух интегралов по $\nu $ от 0 до ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\Delta F}}} \right. \kern-0em} {\Delta F}}$ с разностью в показателе экспоненты:

При этом один знак соответствует положительному угловому приращению, другой – отрицательному.

Аппроксимируя функцию $\rho _{s}^{2}(\nu )$ прямоугольником, получаем

где ${{a}_{1}} = \pi \frac{{\Delta x}}{R}\frac{{{{f}_{0}}}}{{\Delta F}}\sin (\theta - \varphi ),$ ${{a}_{2}} = 2\pi \frac{{\Delta x}}{\lambda } \times $ $ \times \,\,\sqrt {\frac{{{{f}_{0}}}}{{\Delta F}}\frac{\lambda }{R}} \cos (\theta - \varphi ).$

При выполнении условия (20) и достаточно большой дальности величина ${{a}_{1}} \ll 1$ и экспоненту под интегралом можно разложить в ряд Тейлора с удержанием только первых двух членов. В этом случае интегрирование (21) легко осуществляется. При этом $\operatorname{Im} \{ p\} $ имеет тот же порядок, что и величина ${{a}_{1}}$, а для $\operatorname{Re} \{ p\} $ можно получить простое соотношение:

Величина $\left| {{{a}_{2}}} \right|$ при выполнении условия (20) может изменяться от 0 до $8\pi {{u}_{{\max }}}$. При этом $\operatorname{Re} \{ p\} $ может принимать как положительные, так и отрицательные значения, что обусловливает большие погрешности вычисления дальности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе общей модели отраженных от шероховатой поверхности сигналов [4] разработаны простые соотношения, позволяющие производить оценку погрешностей измерения разности фаз в каналах интерферометрических систем, обусловленных декорреляцией колебаний в опорном и рабочем каналах. Уточнена верхняя граница на полосу зондирующего сигнала и базу антенн, при которой допустимо измерение разности фаз одновременно взятых отсчетов из колебаний в опорном и рабочем каналах. Показано, что в пределах этой границы, погрешности вычисления углов прихода сигналов практически не зависят от размера антенной базы в отсутствие аддитивных помех.

Полученные оценки позволяют проводить дальнейшее совершенствование алгоритмов обработки сигналов в интерферометрических системах с целью повышения точности измерения углов прихода отраженных сигналов.