Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 11, стр. 1140-1145
Роль вспомогательных потенциалов и полей в теореме Шокли–Рамо в случае неоднородных локально анизотропных образцов с поляризацией
С. Г. Дмитриев *
Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН
141190 Фрязино, Московской обл., пл. Введенского, 1, Российская Федерация
* E-mail: sgd@ms.ire.rssi.ru
Поступила в редакцию 16.03.2022
После доработки 16.03.2022
Принята к публикации 25.03.2022
- EDN: LJUGKY
- DOI: 10.31857/S003384942211002X
Аннотация
Рассмотрена роль вспомогательных функций в теореме Шокли–Рамо и в ее обобщениях в случае неоднородных локально анизотропных образцов с поляризацией.
1. ТЕОРЕМА ШОКЛИ–РАМО
Изначально теорема Шокли–Рамо (ТШР) [1, 2] и ее обобщения [3, 4] на случай произвольного числа неподвижных и подвижных зарядов была предназначена для описания токов из внешней цепи на металлические электроды, индуцированных движением зарядов в электровакуумных приборах (в первых работах рассматривалось движение одного точечного заряда в системе без других зарядов). При выводе ТШР использовалась теорема Грина и уравнения Максвелла; соединительные провода (с их неэквипотенциальными поверхностями) не рассматривались. То есть во внимание принималось произвольное число N металлических (эквипотенциальных) электродов и подвижные и неподвижные заряды в вакууме. Формула для общего тока на отдельный α-й электрод имеет вид
(1)
${{I}_{\alpha }} = \int {\int {\int {({{{\overrightarrow E }}^{{(\alpha )}}} \cdot {{{\overrightarrow j }}_{{\text{п}}}})dV} } } ,$(2)
${{\overrightarrow j }_{{\text{п}}}} = \overrightarrow j + \partial{ \overrightarrow D} {\text{/}}\partial t,$(5)
$\Phi _{\beta }^{{(1\alpha )}} = 0\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\beta \ne \alpha ,\,\,\,\,\Phi _{\alpha }^{{(1\alpha )}} = {{\Phi }_{0}} = 1\;{\text{В}}{\text{.}}$Интегрирование проводится по всему пространству без электродов.
В работах [1, 2] рассматривался только вклад в (1) от конвективного тока (соответствующий первому слагаемому в (2)) для случая одиночного точечного заряда q, двигающегося со скоростью $\overrightarrow v $ в точке ${{\overrightarrow r }_{0}}$ и создающего конвективный ток с плотностью
(6)
${{\overrightarrow j }_{0}} = q\overrightarrow v \delta (\overrightarrow r - {{\overrightarrow r }_{0}}),$(7)
${{I}_{{\alpha 0}}} = \int {\int {\int {({{{\overrightarrow E }}^{{(\alpha )}}} \cdot {{{\overrightarrow j }}_{{\text{0}}}})dV = q({{{\vec {E}}}^{{(\alpha )}}} \cdot \overrightarrow v )} } } .$Тогда, в случае двух плоскопараллельных электродов, например, нормированное поле для одного из них (индекс “0”) равно
где d – расстояние между электродами, $\overrightarrow n $ – вектор внешней нормали к поверхности выбранного электрода (направленный в сторону второго электрода), а индуцированный ток равенПри приближении заряда к рассматриваемому электроду получаем $q{{I}_{0}} < 0$, т.е. ток из внешней цепи привносит в электрод заряд другого знака, экранирующий поле заряда q, а при удалении от электрода знаки заряда и тока совпадают.
Формулы (6)–(9) и выражают содержание собственно ТШР, хотя под ТШР иногда понимают и более общие выражения. Одно из таких полезных соотношений имеет вид
(10)
$\sum\limits_{k = 1}^N {\Phi _{k}^{{(1)}}{{I}_{k}} = } \iiint {({{{\vec {E}}}^{{(1)}}} \cdot {{{\vec {j}}}_{{\text{п}}}})dV},$(11)
${{I}_{\alpha }} = {{I}_{{\alpha 1}}} + \iiint {({{{\overrightarrow E }}^{{(\alpha )}}} \cdot \partial{ \overrightarrow D} {\text{/}}\partial t)dV},$(12)
${{I}_{{\alpha 1}}} = \iiint {({{{\overrightarrow E }}^{{(\alpha )}}} \cdot \overrightarrow j )dV}$ТШР и ее обобщения использовались для описания работы вакуумных сверхвысокочастотных (СВЧ) приборов (см., например, [3–8]). В работах [5, 6] рассматривались квазистационарные (достаточно медленные) режимы изменения полей.
2. ОБОБЩЕНИЯ ТШР И УСЛОВИЯ ЕЕ ПРИМЕНИМОСТИ
Доказывать ТШР и ее обобщения можно разными способами. Удобно, например, использовать (производящий) функционал
преобразования которого с помощью теоремы Остроградского–Гаусса и уравнений Максвелла (в их интегральной форме), вполне аналогичные соответствующим преобразованиям в работах [1, 2], приводят к левой части уравнения (10). Вместе с тем дифференцирование в (13) с учетом равенства дает правую часть в (10) (${{\vec {E}}^{{(1)}}} = - {\text{grad}}{{\varphi }^{{(1)}}}$) и завершает вывод.Отметим, что такое доказательство не требует никаких дополнительных ограничений, так как в нем кроме математики используются только уравнения Максвелла в самой общей их форме. В частности, связь между электрической индукцией и электрическим полем не конкретизируется, а потенциальность электрического поля не предполагается (в отличие от теоремы Грина, которая использовалась в первых работах), что обеспечивает применимость ТШР к описанию систем с высокочастотными, в том числе СВЧ-полями. Кроме того, от функции ${{\varphi }^{{(1)}}}$ требуется лишь постоянство вдоль поверхностей металлических электродов (что обеспечивает возможность выделения формул для зарядов электродов и токов на них). Применение вспомогательных функций для вывода ТШР и (других соотношений) было предложено в [9] и развито в [10] на случай произвольных функций (но с требуемыми граничными условиями, конечно) с целью применения ТШР к высокочастотным (т.е. в том числе и непотенциальным) полям. Использование в качестве вспомогательных функций потенциалов (т.е. функций, являющихся решением соответствующих краевых задач для потенциалов) безусловно удобно и ближе к практике. Однако краевые задачи для них можно выбирать, из соображений полезности, с отличными от основной задачи зарядами, параметрами образцов, граничными условиями и т.п.
С формальной точки зрения расширения ТШР на образцы с диэлектриками связаны с усложнениями вакуумной формулы (3) для электрической индукции, которая фигурирует в выражениях для полного тока (2), токов на электроды (1), (10), (11) и функционала (13). Так, в работах [9‒15] было развито обобщение ТШР вплоть до случая неоднородного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ${{\varepsilon (}}\vec {r}{\text{,}}\;t{\text{)}}$ и индукцией
Вид формул при этом сохраняется. ТШР для диэлектриков применялась для описания датчиков ионизирующего излучения в работах [11, 12, 15, 16]. Весьма интересны также применения ТШР в биологии для изучения транспорта зарядов в протеинах [17].Выделим теперь влияние поляризации. Представим с этой целью электрическую индукцию в виде
где $\overrightarrow P {\text{(}}\vec {r}{\text{,}}\;t{\text{)}}$ – плотность дипольного момента, которая может быть связана со спонтанной поляризацией в пироэлектриках (см., например, [18]), с различными неоднородностями (включая границы раздела и поверхности), с дефектными образованиями атомного масштаба, с отдельными молекулами и т.п. Тогда вместо (11), (12) можно записать следующие формулы:(17)
${{I}_{\alpha }} = {{I}_{{\alpha 1}}} + \iiint {({{{\overrightarrow E }}^{{(\alpha )}}} \cdot \partial {{{\overrightarrow D }}_{0}}{\text{/}}\partial t)dV},$(18)
${{I}_{{\alpha 1}}} = \iiint {({{{\overrightarrow E }}^{{(\alpha )}}} \cdot (\overrightarrow j + \partial{ \overrightarrow P} {\text{/}}\partial t))dV}.$(19)
$\frac{{\partial ( - {\text{div}}\overrightarrow P )}}{{\partial t}} + {\text{div}}\left( {\frac{{\partial{ \overrightarrow P} }}{{\partial t}}} \right) = 0.$В случае точечного диполя с дипольным моментом $\vec {p}$ плотность поляризации равна
(20)
${{\overrightarrow P }_{{\text{д}}}} = \vec {p}\delta (\overrightarrow r - {{\overrightarrow r }_{0}}),$(21)
${{I}_{{\alpha {\text{д}}}}} = \iiint {({{{\vec {E}}}^{{(\alpha )}}} \cdot \partial {{{\overrightarrow P }}_{{\text{д}}}}{\text{/}}\partial t)dV = {{{\vec {E}}}^{{(\alpha )}}}({{{\overrightarrow r }}_{0}}) \cdot \partial{ \vec {p}}{\text{/}}\partial t}.$Если токи малы, то удобнее измерять изменение заряда на электроде. При диагностике пленок (плоскопараллельный случай (7)) из (21) следует
(22)
$\Delta Q = \int {{{I}_{{\alpha {\text{д}}}}}} dt = (\vec {n} \cdot {{\vec {p}}_{0}}){\text{/}}d,$Разумеется, ТШР остается справедливой и в локально анизотропном случае c тензором диэлектрической проницаемости ${{\varepsilon }_{{ik}}}{\text{(}}\vec {r}{\text{,}}\;t{\text{)}}$
(по повторяющимся тензорным индексам предполагается суммирование) [22, 23].В работах [19, 21–23] ТШР использовалась в задачах диагностики дефектов в кремниевых структурах МОП (металл–окисел–полупроводник) и в интегральных схемах.
3. ЕМКОСТНЫЕ И НЕЕМКОСТНЫЕ ТОКИ
В реальных условиях вклад в токи из внешней цепи на металлические электроды может быть связан не только с индуцированными токами (из ТШР), но и с токами иной природы. В случае потенциальных электрических полей это емкостные токи, которые обсуждались уже в работах [5, 6] и рассматривались в прямой связи с ТШР в [9, 14]. Отметим по этому поводу, что ТШР можно рассматривать как развитие законов Кирхгофа [24, 25] для электрических цепей (в работе [25] сделано важное замечание относительно роли потенциала в законе Ома [26], а сами законы кратко сформулированы в приложении к работе [24]). Емкость в качестве элемента электрической цепи и соответствующие ей токи рассматривал исходя из энергетических соображений, У. Томсон (впоследствии лорд Кельвин) в своей знаменитой работе по электрическим колебаниям, где получена формула для их периода [27]. Эти работы были опубликованы до открытия уравнений Максвелла, хотя их результаты могут быть, конечно, получены и из самих уравнений (см., например, [28]). И всe же именно ТШР, и в особенности ее обобщения, открывают широкие возможности для вывода законов электрических цепей непосредственно из уравнений Максвелла. С этим, очевидно, и связан рост интереса к обсуждаемой тематике.
Отметим далее, что емкостные токи хорошо известны в теории не только электровакуумных, но также и полупроводниковых приборов (см., например, [29–31]), включая в этом случае и токи, связанные с изменением самих емкостей. Естественно поэтому ожидать, что токи указанной природы (т.е. индуцированные и емкостные) полностью исчерпывают токи в правой части формулы (17), т.е. второе слагаемое в этой формуле соответствует чисто емкостным токам (в случае достаточно медленных (квазистационарных) режимов, конечно, когда электрическое поле потенциально $\overrightarrow E = - \overrightarrow \nabla \varphi $).
Выделим для проверки емкостное слагаемое в формуле (17) для токов из ТШР в явном виде (см. также [19, 23]). Рассмотрим с этой целью функционал с потенциальными полями
(24)
${{F}_{2}} = - \iiint {{\text{div}}\left[ {{{\varphi }^{{(1)}}}{{{\vec {j}}}_{{\text{п}}}} - \frac{\partial }{{\partial t}}({{{\vec {D}}}^{{(1)}}}\varphi )} \right]dV},$(25)
${\text{div}}\overrightarrow D = \rho ,\,\,\,\,\vec {D} = {{\vec {D}}_{0}} + \vec {P},\,\,\,\,{\text{div}}{{\vec {D}}^{{(1)}}} = 0,$(26)
$\begin{gathered} \sum\limits_{\beta = 1}^N {\Phi _{\beta }^{{(1)}}{{I}_{\beta }} - \sum\limits_{\beta = 1}^N {\frac{\partial }{{\partial t}}} } (Q_{\beta }^{{(1)}}{{\Phi }_{\beta }}) = \iiint {\left\{ {{{{\vec {E}}}^{{(1)}}} \cdot \left( {\overrightarrow j + \frac{{\partial{ \overrightarrow P} }}{{\partial t}}} \right) + } \right.} \\ \left. { + \,\,{{{\vec {E}}}^{{(1)}}} \cdot \frac{\partial }{{\partial t}}{{{\overrightarrow D }}_{0}} - \frac{\partial }{{\partial t}}({{{\vec {D}}}^{{(1)}}} \cdot \overrightarrow E )} \right\}dV, \\ \end{gathered} $(27)
$\begin{gathered} {{{\vec {E}}}^{{(1)}}} \cdot \frac{\partial }{{\partial t}}{{\overrightarrow D }_{0}} - \frac{\partial }{{\partial t}}({{{\vec {D}}}^{{(1)}}} \cdot \overrightarrow E ) = \\ = - \frac{{\partial {{{\vec {E}}}^{{(1)}}}}}{{\partial t}} \cdot {{\overrightarrow D }_{0}} + \frac{\partial }{{\partial t}}({{{\vec {E}}}^{{(1)}}} \cdot {{\overrightarrow D }_{0}} - {{{\vec {D}}}^{{(1)}}} \cdot \overrightarrow E ). \\ \end{gathered} $Теперь для случая (5) формула (26) приобретает следующий вид:
(28)
$\begin{gathered} {{\Phi }_{0}}{{I}_{\alpha }} = \sum\limits_{\beta = 1}^N {\frac{\partial }{{\partial t}}} (Q_{\beta }^{{(1\alpha )}}{{\Phi }_{\beta }}) + \iiint {\left\{ {{{{\vec {E}}}^{{(1\alpha )}}} \cdot \left( {\overrightarrow j + \frac{{\partial{ \overrightarrow P} }}{{\partial t}}} \right) - } \right.} \\ \left. { - \,\,\left( {\frac{{\partial {{{\vec {E}}}^{{(1\alpha )}}}}}{{\partial t}} \cdot {{{\overrightarrow D }}_{0}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial t}}({{{\vec {E}}}^{{(1\alpha )}}} \cdot {{{\overrightarrow D }}_{0}} - {{{\vec {D}}}^{{(1)}}} \cdot \overrightarrow E )} \right\}dV, \\ \end{gathered} $(29)
$\begin{gathered} {{I}_{\alpha }} = \iiint {\left\{ {{{{\overrightarrow E }}^{{(\alpha )}}} \cdot \left( {\overrightarrow j + \frac{{\partial{ \overrightarrow P} }}{{\partial t}}} \right) + \sum\limits_{\beta = 1}^N {\frac{\partial }{{\partial t}}} (C_{\beta }^{\alpha }{{\Phi }_{\beta }}) - } \right.} \\ \left. { - \,\,\left( {\frac{{\partial {{{\vec {E}}}^{{{{{(\alpha )}}^{{}}}}}}}}{{\partial t}} \cdot {{{\overrightarrow D }}_{0}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial t}}({{{\vec {E}}}^{{(\alpha )}}} \cdot {{{\overrightarrow D }}_{0}} - {{{\vec {D}}}^{{(\alpha )}}} \cdot \overrightarrow E )} \right\}dV, \\ \end{gathered} $(31)
${{\vec {E}}^{{(\alpha )}}} = {{\vec {E}}^{{(1\alpha )}}}/{{\Phi }_{0}}\;\;{\text{и}}\;\;{{\vec {D}}^{{(\alpha )}}} = {{\vec {D}}^{{(1\alpha )}}}{\text{/}}{{\Phi }_{0}}$(32)
${{I}_{{\alpha 2}}} = \sum\limits_{\beta = 1}^N {\frac{\partial }{{\partial t}}} (C_{\beta }^{\alpha }{{\Phi }_{\beta }})$Итак, кроме привычных слагаемых (индуцированных и емкостных токов) в формуле (16) для полного тока на электрод присутствуют и другие слагаемые, которые можно записывать в разном виде. Природа дополнительных токов рассматривалась в [20, 32, 33]. В работе [32] приведен простой иллюстрирующий пример с неоднородно заполненным конденсатором, диэлектрическая проницаемость в котором (неоднородно же) изменяется таким образом, что емкость остается постоянной. Кроме того, в конденсаторе присутствует неподвижный заряд. В таком случае, при постоянных потенциалах на обкладках, индуцированные и емкостные токи отсутствуют, но общий ток все же не равен нулю и связан с перераспределением между электродами зарядов, обеспечивающих экранирование поля, создаваемого зарядами образца.
Исходя из этого наблюдения в работах [20, 33] предложено представление дополнительных токов в виде двух слагаемых, как в уравнении (16), т.е.
(33)
${{I}_{\alpha }} = {{I}_{{\alpha 1}}} + {{I}_{{\alpha 2}}} + {{I}_{{\alpha 3}}} + {{I}_{{\alpha 4}}},$(34)
${{I}_{{\alpha 3}}} = - \iiint {\left( {\frac{{\partial {{{\vec {E}}}^{{(\alpha )}}}}}{{\partial t}} \cdot {{{\overrightarrow D }}_{0}}} \right)dV}$(35)
${{I}_{{\alpha 4}}} = \iiint {\frac{\partial }{{\partial t}}({{{\vec {E}}}^{{(\alpha )}}} \cdot {{{\overrightarrow D }}_{0}} - {{{\vec {D}}}^{{(\alpha )}}} \cdot \overrightarrow E )}dV$(36)
${{I}_{{\alpha 3}}} = - \iiint {\frac{{\partial {{\varphi }^{{{\text{(}}\alpha {\text{)}}}}}}}{{\partial t}}{{\rho }_{0}}dV},$(37)
${{\varphi }^{{{\text{(}}\alpha {\text{)}}}}} = {{\varphi }^{{{\text{(1}}\alpha {\text{)}}}}}{\text{/}}{{\Phi }_{0}},$(38)
${{\rho }_{0}} = \rho - {\text{div}}\overrightarrow P = {\text{div}}{{\overrightarrow D }_{0}}.$Кроме того, формула (35) для случая (23), когда тензоры диэлектрической проницаемости в обеих задачах одинаковы, имеет вид
(39)
${{I}_{{\alpha 4}}} = \iiint {\frac{\partial }{{\partial t}}}(E_{i}^{{(\alpha )}}{{\varepsilon }_{{ij}}}{{E}_{j}} - {{E}_{i}}{{\varepsilon }_{{ij}}}E_{j}^{{(\alpha )}})dV,$(40)
${{I}_{{\alpha 4}}} = \iiint {\frac{\partial }{{\partial t}}}\{ E_{i}^{{(\alpha )}}{{E}_{j}}({{\varepsilon }_{{ij}}} - {{\varepsilon }_{{ji}}})\} dV.$Отсюда видно, что природа четвертой компоненты тока связана с асимметрией тензора ${{\varepsilon }_{{ij}}}$. В термодинамически равновесном случае тензор симметричен, и в низкочастотных процессах его асимметрия мала [18]. На достаточно высоких частотах ω (когда процессы поляризации неравновесны) симметрия тензора ${{\varepsilon }_{{ij}}}(\omega )$ определяется (см. [18]) обобщенным принципом симметрии кинетических коэффициентов (см., например, [18, 34]). Обычно тензор симметричен ${{\varepsilon }_{{ij}}} = {{\varepsilon }_{{ji}}}$ (и тогда ${{I}_{{\alpha 4}}} = 0$), но в некоторых случаях (при наличии магнитного поля, например) симметрия может нарушаться.
Итак, в обычной ситуации, когда параметры образца не меняются со временем, а ${{I}_{{\alpha 4}}}\; = 0$, полные токи на электроды определяются только первыми двумя слагаемыми, т.е емкостными токами (с постоянными емкостными коэффициентами) и индуцированными токами.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теорема Шокли–Рамо [1, 2] и ее обобщения описывают только ту часть токов из внешней цепи на металлические электроды, которая индуцирована конвективными токами в образце (включая и случай, когда единственный точечный заряд двигается в образце или в вакууме). Теорему можно доказывать разными способами. При доказательстве применение таких функций, которые формально не связаны с основной задачей (или связаны лишь частично), в качестве вспомогательных функций расширяет область применимости теоремы и открывает новые возможности для развития законов Кирхгофа при описании современных электрических цепей. В общем случае, без уточнения вида связи между электрической индукцией и полем, полные токи на металлические электроды (см. формулы (29), (33)) состоят из четырех компонент разной природы (см. (18), (32), (34)–(36)), включая, конечно, индуцированные токи из ТШР (18) и токи емкостной природы (32). При этом поляризация (плотность дипольного момента) участвует в формулах (18), (36).
В обычной ситуации, когда параметры образца постоянны, а ${{I}_{{\alpha 4}}} = 0$, полные токи на электроды определяются, как и следовало ожидать, только первыми двумя слагаемыми, т.е емкостными токами (с постоянными емкостными коэффициентами) и индуцированными токами.
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ
Работа выполнена в рамках государственного задания.
Список литературы
Shockley W. // J. Appl. Phys. 1938. V. 9. № 10. P. 635.
Ramo S. // Proc. IRE. 1939. V. 27. № 9. P. 584.
Beck A.H.W. Thermionic Valves: Their Theory and Design. Cambridge: Univ. Press, 1953.
Jen C.K. // Proc. IRE. 1941. V. 29. № 6. P. 345.
Гвоздовер С., Лопухин В. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1946. Т. 10. № 1. С. 29.
Лопухин В. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1946. Т. 10. № 1. С. 111.
Коваленко В.Ф. Введение в электронику сверхвысоких частот. М.: Сов. радио, 1955.
Лопухин В.М. Возбуждение электромагнитных колебаний и волн электронными потоками. М.: Гостехиздат, 1953.
Pellegrini B. // Phys. Rev. B. 1986. V. 34. № 8. P. 5921.
Yoder P.D., Gärtner K., Fichtner W. // J. Appl. Phys. 1996. V. 79. № 4. P. 1951.
Cavalleri G., Fabri G., Gatti E., Svelto V. // Nucl. Instr. Meth. 1963. V. 21. P. 177.
Cavalleri G., Gatti E., Fabri G., Svelto V. // Nucl. Instr. Meth. 1971. V. 92. № 1. P. 137.
Visschere P. De. // Sol. State Electronics. 1990. V. 33. № 4. P. 455.
Kim H., Min H.S., Tang T.W., Park Y.J. // Sol. State Electronics. 1991. V. 34. № 11. P. 1251.
He Z. // Nucl. Instr. Meth. 2001. V. A463. № 1–2. P. 250.
Tavernier S. Experimental Techniques in Nuclear and Particle Physics. L.: Springer, 2010.
Eisenberg B., Nonner W. // J. Comput. Electron. 2007. V. 6. № 1–3. P. 363.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2005.
Дмитpиeв C.Г. // PЭ. 2019. T. 64. № 9. C. 926.
Дмитpиeв C.Г. // PЭ. 2022. T. 67. № 4. C. 411.
Дмитриев С.Г. // ФТП. 2009. Т. 43. № 6. С. 854.
Дмитpиeв C.Г. // PЭ. 2012. T. 57. № 11. C. 1229.
Дмитpиeв C.Г. // PЭ. 2018. T. 63. № 10. C. 1115.
Kirchhoff G. // Ann. Phys. 1845. B. 140. H. 4. S. 497.
Kirchhoff G. // Ann. Phys. 1849. B. 154. H. 12. S. 506.
Ohm G.S. // J. Chem. Phys. 1826. B. 46. H. 2. S. 137.
Thomson W. // Phil. Mag. 1853. V. 5. № 34. P. 393.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 3. Электричество. М.: Физматлит, 2002.
Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М.: Наука, 1990.
Зи С. Физика полупроводниковых приборов. М.: Мир, 1984.
Nicollian E.R., Brews J.R. MOS (Metal-Oxide-Semiconductor) Physics and Technology. N.Y.: J. Wiley & Sons, 1982.
Дмитpиeв C.Г. // PЭ. 2020. T. 65. № 7. C. 725.
Дмитpиeв C.Г. // PЭ. 2022. T. 67. № 2. C. 181.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1. М.: Физматлит, 2002.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Радиотехника и электроника