Радиотехника и электроника, 2023, T. 68, № 5, стр. 482-486

1. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТОКАМИ ВО ВНЕШНЕЙ ЦЕПИ И ПАРАМЕТРАМИ ОБРАЗОВ

Впервые соотношения между токами, поступающими из внешней цепи на металлические электроды, и подвижными зарядами в вакууме были рассмотрены в общем виде для произвольного числа (N) электродов и любого количества подвижных и неподвижных зарядов, в рамках теоремы Шокли–Рамо (ТШР) [1, 2] и ее обобщений [3, 4]. Конвективный ток в вакууме с плотностью $\vec {j} = (t,\vec {r})$ индуцирует, в силу ТШР, во внешней цепи компоненту тока, втекающего в отдельный α-й электрод

где – вспомогательное нормированное электрическое поле, ${{\varphi }^{{(1\alpha )}}}(\vec {r})$ и ${{\vec {E}}^{{(1\alpha )}}} = - {\text{grad}}{{\varphi }^{{(1\alpha )}}}$ – соответственно вспомогательные потенциал и электрическое поле в той же системе, но без пространственных зарядов и с потенциалами электродов где $\delta _{\beta }^{\alpha }$ – символ Кронекера. Интегрирование проводится по всему пространству без электродов.

Случай одного (точечного) заряда $q$ (в системе без других зарядов) анализировался в работах Шокли и Рамо [1, 2]. Этот заряд, двигающийся со скоростью $\vec {v}$ в точке ${{\vec {r}}_{0}}$, создает плотность тока

где $\delta (\vec {r} - {{\vec {r}}_{0}})$ – дельта-функция. При этом индуцированная во внешней цепи компонента тока I_α0, втекающего в α-й электрод, равна

Формулы особенно просты в случае двух плоскопараллельных электродов:

где d – расстояние между электродами, ${{\vec {n}}_{0}}$ – вектор внешней нормали к поверхности одного их этих двух электродов (индекс “0”), направленный в сторону другого электрода. При приближении заряда к выбранному (индекс “0”) электроду имеем, очевидно, $(\vec {v},{{\vec {n}}_{0}}) < 0$, а $q{{I}_{{0\,||}}} < 0$, т.е. ток из внешней цепи привносит в электрод заряд другого знака, экранирующий поле заряда $q$, а при удалении от электрода знаки заряда и тока совпадают. Нормаль ко второму электроду (индекс “1”) имеет другой знак ${{\vec {n}}_{1}} = - {{\vec {n}}_{0}}$, поэтому ток, втекающий в этот электрод, имеет ту же величину, но другой знак а сумма этих токов равна нулю. Это связано с тем, что заряд $q$ индуцирует на электродах экранирующие заряды, а при его движении экранирующие заряды перераспределяются между электродами, но так, что полный экранирующий заряд сохраняется. Закон сохранения заряда должен выполняться, конечно, и в общем случае, что гарантируется уравнениями Максвелла, которые используются при выводе формул и из которых этот закон вытекает (см., например, [5, 6]).

Обобщение ТШР на системы с диэлектриками проводилось в ряде работ [7–15]. При этом анализировалась возможность распространения ТШР на неоднородные локально анизотропные системы с поляризацией, в которых связь между электрической индукцией $\vec {D}(t,\vec {r})$ и полем $\vec {E}(t,\vec {r})$ имеет тот или иной характер. Например (система единиц СИ),

где $\vec {P}(t,\vec {r})$ – поляризация (плотность дипольного момента), которая может быть связана со спонтанной поляризацией в пироэлектриках (см., например, [6]), с различными неоднородностями (включая границы раздела и поверхности), с дефектными образованиями атомного масштаба, с отдельными молекулами и т.п., т.е. с той частью поляризации в образце, которая может существовать и без поля, а слагаемое $\vec {D}{\kern 1pt} '$ призвано описывать остальную, индуцированную полем, часть индукции. Например, где ${{\varepsilon }_{{ik}}}(t,\vec {r})$ – тензор (относительной) диэлектрической проницаемости, а ${{\varepsilon }_{0}}$ – диэлектрическая постоянная вакуума (по повторяющимся тензорным индексам предполагается суммирование). Связь между индукцией и полем может иметь и более общий характер (см., например, [5, 6]), а деление на слагаемые в (9) тоже достаточно условно. Поэтому предпочтительны формулы общего характера, в которых связь между индукцией и полем не конкретизирована.

Итак, выражение для полного тока на отдельный α-й электрод, справедливое и для систем с диэлектриками, имеет вид

где ${{\vec {j}}_{{\text{п}}}}$ – полный ток (СИ) а нормированное поле ${{\vec {E}}^{{(\alpha )}}}$ в этом случае имеет тот же смысл, что и выше. ТШР, очевидно, соответствует вкладу от первого слагаемого в полном токе, т.е. формула (1) сохраняет свой вид и в более общем случае. Соединительные провода не учитываются.

Формулы (4)–(8) (или (1)) и выражают содержание собственно ТШР, хотя не меньшую ценность представляют и более общие выражения, одно из которых имеет вид (см., например, [3, 4]):

где $\Phi _{\alpha }^{{(1)}}(t)$ – потенциал α-го электрода из вспомогательной задачи (α = 1, 2, …, N), ${{\vec {E}}^{{(1)}}}$ – вспомогательное поле в этом случае. Формула (1), очевидно, представляет собой частный случай равенства (13) при условиях (3).

Отметим, что в работе [2] вывод формул ТШР основан на применении второй формулы Грина к потенциальным полям; автор ссылается на монографию [16] (по поводу формул Грина см. также [17] и, в более современной постановке, включая и обобщенные функции, [18]). В работе [1] была использована теорема взаимности Грина, которая также следует из второй формулы Грина (см., например, [17]). Формулы Грина были опубликованы в 1828 г. в его знаменитом эссе о применении математического анализа к электричеству и магнетизму [19] (историю вопроса см. в [20]), т.е. задолго до открытия уравнений Максвелла. В этой работе автор, вслед за Лапласом и Пуассоном, развивает теорию потенциала (“потенциальная функция” у Грина). Однако вторая формула Грина имеет вид (см. [16–20])

(где Δ – лапласиан), она связывает объемные интегралы с поверхностными и справедлива не только для потенциалов (которые должны удовлетворять уравнениям Лапласа или Пуассона), но, очевидно, и для любых достаточно гладких функций u и v. Авторы [1, 2] выводили свою теорему для потенциальных полей, но формула (14) в их выводах оставляет надежду на перспективы более общего характера.

И действительно, в работе [7] отмечено, что вспомогательные потенциалы в ТШР могут и не иметь прямого отношения к полям основной задачи (но должны удовлетворять, конечно, граничным условиям (3)). Более того, в работе [8] показано, что в качестве вспомогательных можно использовать произвольные функции с теми же граничными условиями. Рассмотрим это утверждение подробнее. Заметим, что вторую формулу Грина можно доказать с помощью теоремы Остроградского–Гаусса, используя интегралы с дивергенцией (см., например, [18, 20]). Этот прием удобно применить и для вывода формул ТШР. Равенство (13), в частности, можно получить, производя дифференцирование под знаком интеграла в функционале (15)

с учетом равенства и приравнивая результат к поверхностному интегралу, полученному из (15) с помощью теоремы Остроградского–Гаусса. При этом поверхностные интегралы с ${{\partial{ \vec {D}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial{ \vec {D}}} {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}$ и $\vec {j}$ для α-го электрода дают разность где ${{Q}_{\alpha }}$ – заряд α-го электрода, ${{I}_{{s\alpha }}}$ – ток, втекающий в него из образца через поверхность, а $\Phi _{\alpha }^{{(1)}}$ – потенциал α-го электрода во вспомогательной задаче. Как видно из вывода, вспомогательные функции действительно могут быть не связаны с основной задачей и вообще быть произвольными, но с теми же граничными условиями. То есть требуется только, чтобы они были постоянны вдоль поверхностей электродов (в каждый момент времени). Именно это условие обеспечивает вывод и вид формул ТШР. Обсуждаемое обобщение полезно в том отношении, например, что формулы ТШР остаются справедливыми (и сохраняют свой вид) и для непотенциальных полей, включая высокочастотные поля, например, сверхвысокочастотные (СВЧ) поля.

Сделаем теперь несколько уточняющих замечаний. Отметим, что если в границу области интегрирования включена вся поверхность α-го электрода, то разность в правой части (17) равна нулю в силу закона сохранения заряда. Ток ${{I}_{\alpha }}$ приобретает смысл втекающего из внешней цепи в электрод (через соединительные провода) тока, если в границу не включены участки поверхности, соответствующие контактам проводов с электродом. Нужно, следовательно, чтобы область интегрирования не включала в себя не только металлические электроды (с постоянными потенциалами на своих поверхностях), но и провода (с их непотенциальными, вообще говоря, поверхностями). Затем придется также уточнить определение заряда ${{Q}_{\alpha }}$, что приводит к появлению в ТШР дополнительных, связанных с проводами, слагаемых, усложняющих (вследствие непотенциальности их поверхностей) формулы ТШР (см. обсуждение этого вопроса в [21]). А вот в качестве вспомогательной можно (формально) выбрать задачу без проводов, но с тем же образцом (без зарядов и поляризации) и, разумеется, с теми же электродами и граничными условиями.

В работах по ТШР соединительные провода не учитывались, а в первых статьях [1, 2] их влияние, на первый взгляд, удалось вообще исключить. Но нет, просто авторы в своем анализе изящно обошли процесс подвода заряда к электродам, рассматривая (без проводов) заряды в них в отдельные, предельно близкие моменты времени. Интересно, что вопрос о влиянии соединительных проводов возник уже на заре изучения электричества, когда сами понятия емкости и потенциала только еще формировались (см., например, легендарные работы Г. Кавендиша [22, 23], в которых особо отмечено, что соединительные провода слабо влияют на распределение зарядов на массивных проводниках). Вспомним также и классическую работу У. Томсона (впоследствии – лорд Кельвин) [24], в которой в 1853 г. (т.е. еще до уравнений Максвелла), было получено (из энергетических, правда, соображений) классическое уравнение для токов в электрических цепях с емкостями и индуктивностями, а выведено оно было для того, чтобы получить не менее известную формулу для периода электрических колебаний в контуре. Так вот, в этой же работе, по ходу вывода формул, предполагалось, что влияние соединительных проводов пренебрежимо мало в силу малости их емкости. Это не удивительно: вспомогательные элементы и не должны ощутимо влиять на процессы в цепях (хотя паразитные эффекты, в качестве платы за их использование, тоже неизбежны). Так что используемое в ТШР приближение – пренебрежение влиянием проводов – можно считать классическим (и обоснованным).

Отметим, что при доказательстве ТШР и ее обобщений использовались различные подходы с разными функционалами, которые могут иметь разные же подынтегральные выражения и области интегрирования. В наиболее простом случае с плоскопараллельными электродами (см. формулы (4)–(8)) формула (7) была приведена в [25] еще до того, как была доказана ТШР, она может быть доказана и более простым, чем формулы в ТШР, способом.

Теорема Шокли–Рамо и ее обобщения использовались для описания работы электровакуумных приборов, в особенности приборов СВЧ [1–4, 25–29]. После распространения теоремы на диэлектрики [7–15], она применялась в работах по датчикам ионизирующего излучения [9, 10, 13, 30], а также при диагностике структур металл–диэлектрик–полупроводник (МДП) и интегральных схем [14, 15, 31, 32]. Весьма привлекательны применения ТШР в биологии для изучения транспорта зарядов в протеинах [33].

2. ЗАКОНЫ КИРХГОФА

Эти же методы, т.е. подбор подходящих функционалов и их преобразование с помощью математических теорем и уравнений Максвелла, можно использовать и для обобщения законов Кирхгофа для электрических цепей [5], которые (законы) призваны обеспечивать полное их описание. ТШР можно рассматривать как первый шаг в этом направлении. Действительно, если элемент цепи нельзя однозначно охарактеризовать вольт-амперной характеристикой (а тем более, сопротивлением), то ТШР дает нам формулу, описывающую и в общем случае соотношение между токами внутри элемента и током, втекающим в него из внешней цепи. Также теорема помогает выявлять те параметры образцов, которые влияют на токи во внешней цепи. Типичным примеров являются электровакуумные приборы: для стационарных режимов выведены вольт-амперные характеристики (например, закон трех вторых для режима ТОПЗ (токов ограниченных пространственным зарядом) [34]), но в общем, нестационарном случае вольт-амперные характеристики получить нельзя (так как ток определяется не одним только напряжением, но зависит и от предыстории). Так что применять можно только формулы ТШР. С аналогичной ситуацией мы сталкиваемся и при описании полупроводниковых приборов (см. монографии [35–37]). И здесь вольт-амперные характеристики получены только в частных случаях. Типичным контрпримером могут служить датчики ионизирующего излучения, при описания которых требуются формулы ТШР (см., например, работу [13] и цитированную там литературу).

Однако ТШР описывает не весь ток во внешней цепи, а только одну его компоненту (см. формулы (1) и (11)), кроме которой в (11) присутствует еще одно слагаемое

связанное с токами смещения. Для полноты описания цепей надо разобраться и с ним. Казалось бы, это не трудно, ведь токи смещения традиционно связывают с емкостными (в теории полупроводниковых приборов, например). А если так, то полные токи в (11) должны состоять из индуцированных и емкостных токов. Эта идея, в качестве очевидной, и была принята в первых (вакуумных) работах по ТШР [1, 2, 26–29] (в случае квазистационарных режимов и потенциальных электрических полей). Применялась она и в случае диэлектриков [7, 12]. Но что можно сказать в общем случае?

В работах [14, 15] была предпринята попытка вывести соответствующие формулы для ТШР с учетом и наведенных, и емкостных токов с помощью функционалов более общего вида. Если переписать формулу (11), с учетом (9), в виде

где то вопрос о емкостных токах относится ко второму слагаемому, а формула (20) служит обобщением ТШР с учетом поляризации (плотности дипольного момента). При этом выражение ${{\partial{ \vec {P}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial{ \vec {P}}} {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}$ описывает плотность тока связанных зарядов (более подробно см. обсуждение связанных с поляризацией вопросов в [38]). Оказалось, что токи во внешней цепи (в формулах (19), (20)), кроме емкостных, содержат дополнительные слагаемые, которые могут быть описаны различными способами. Природа этих слагаемых и вид соответствующих формул рассматривались в работах [14, 15, 21, 38, 39]. Предполагаем продолжить их обсуждение и вывод заключительных формул на основе функционала более общего вида в следующей работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрены различные способы вывода ТШР и ее обобщений на случай произвольных сред и непотенциальных полей, включая СВЧ-поля. Сделаны замечания относительно влияния соединительных проводов. Приведена история вопроса. Отмечено, что более полное описание современных электрических цепей в развитие законов Кирхгофа может быть получено путем последовательного усложнения используемых функционалов.