1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Теория и системы управления
  4. № 6, 2023

Известия РАН. Теория и системы управления, 2023, № 6, стр. 93-109

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОДОЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ С ПОМОЩЬЮ ПЕРИОДИЧЕСКИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИЛ

А. А. Гавриков a, Г. В. Костин a, *

a ИПМех РАН
Москва, Россия

* E-mail: kostin@ipmnet.ru

Поступила в редакцию 30.03.2023
После доработки 25.04.2023
Принята к публикации 05.06.2023

Аннотация

Изучаются продольные колебания упругого стержня, управляемого посредством распределенной силы, которая приложена к отдельным участкам стержня. Полагается, что сила изменяется в пространстве кусочно-постоянным образом. Подобная механическая система может быть реализована с помощью пьезоактюаторов, прикрепленных вдоль стержня. Динамика системы определяется из решения вариационной задачи в соответствии с методом интегродифференциальных соотношений. Вариационная задача разрешается аналитически. Для этого на пространственно-временной сетке вводятся бегущие волны Даламберовского типа, задающие непрерывные перемещения и динамический потенциал. Последний связывает плотность импульса и напряжения. Ставится задача управления при условии взвешенной минимизации механической энергии колебаний, запасаемой стержнем в конечный момент времени, и средней потенциальной энергии, порождаемой управляющими воздействиями. Экстремальное движение и соответствующий закон управления находятся явным образом посредством решения уравнений Эйлера–Лагранжа. В качестве примера исследуются возможности управления для определенных конфигураций пьезоэлектрических элементов.

Список литературы

  1. Lions J.L. Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations. N.Y.: Springer-Verlag, 1971. 400 p.

  2. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 474 с.

  3. Романов И.В., Шамаев А.С. О задаче граничного управления для системы, описываемой двумерным волновым уравнением // Изв. РАН. ТиСУ. 2019. № 1. С. 109–116.

  4. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006. 328 с.

  5. Chen G. Control and Stabilization for the Wave Equation in a Bounded Domain. II // SIAM J. Control Optim. 1981. V. 19. № 1. P. 114–122.

  6. Kucuk I., Sadek I., Yilmaz Y. Optimal Control of a Distributed Parameter System with Applications to Beam Vibrations Using Piezoelectric Actuators // J. Franklin Inst. 2014. V. 351. № 2. P. 656–666.

  7. Kostin G.V., Saurin V.V. Dynamics of Solid Structures. Methods Using Integrodifferential Relations. Berlin: De Gruyter, 2018.

  8. Гавриков А.А., Костин Г.В. Оптимальное управление продольным движением упругого стержня с помощью граничных сил // Изв. РАН. ТиСУ. 2021. № 5. С. 74–90.

  9. Kostin G., Gavrikov A. Energy-Optimal Control by Boundary Forces for Longitudinal Vibrations of an Elastic Rod // Lecture Notes in Mechanical Engineering Advanced Problems in Mechanics III. Springer, 2023.

  10. Kostin G., Gavrikov A. Controllability and Optimal Control Design for an Elastic Rod Actuated by Piezoelements // IFAC-PapersOnLine. 2022. V. 55. № 16. P. 350–355. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2022.09.049

  11. Kostin G., Gavrikov A. Optimal Motions of an Elastic Structure Under Finite-dimensional Distributed Control // ArXiv. 2023. arXiv:2304.05765. P. 1–17. https://doi.org/10.48550/arXiv.2304.05765.

  12. Kostin G., Gavrikov A. Optimal Motion of an Elastic Rod Controlled by Piezoelectric Actuators and Boundary Forces // 16th Intern. Conf. “Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems” (Pyatnitskiy’s Conference) (STAB). M.: IEEE, 2022. P. 1–4. https://doi.org/10.1109/STAB54858.2022.9807484.

  13. Kostin G., Gavrikov A. Modeling and Optimal Control of Longitudinal Motions for an Elastic Rod with Distributed Forces // ArXiv. 2022. arXiv:2206.06139 5. P. 1–11. https://doi.org/10.48550/arXiv.2206.06139.

  14. Gavrikov A., Kostin G. Optimal LQR Control for Longitudinal Vibrations of an Elastic Rod Actuated by Distributed and Boundary Forces // Mechanisms and Machine Science. V. 125. Berlin: Springer, 2023. P. 285–295. https://doi.org/10.1007/978-3-031-15758-5_28

  15. Ho L.F. Exact Controllability of the One-dimensional Wave Equation with Locally Distributed Control // SIAM J Control Optim. 1990. V. 28. № 3. P. 733–748.

  16. Bruant I., Coffignal G., Lene F., Verge M. A Methodology for Determination of Piezoelectric Actuator and Sensor Location on Beam Structures // J. Sound and Vibration. 2001. V. 243. № 5. P. 861–882. https://doi.org/10.1006/jsvi.2000.3448

  17. Gupta V., Sharma M., Thakur N. Optimization Criteria for Optimal Placement of Piezoelectric Sensors and Actuators on a Smart Structure: A Technical Review // J. Intelligent Material Systems and Structures. 2010. V. 21. № 12. P. 1227–1243. https://doi.org/10.1177/1045389X10381659

  18. Botta F., Rossi A., Belfiore N.P. A Novel Method to Fully Suppress Single and Bi-modal Excitations Due to the Support Vibration by Means of Piezoelectric Actuators // J. Sound and Vibration. 2021. V. 510. № 13. P. 116260.https://doi.org/10.1016/j.jsv.2021.116260

  19. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 735 с.

  20. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 576 с.

  21. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1968. 624 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Теория и системы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал