Теплофизика высоких температур, 2019, T. 57, № 5, стр. 677-684
Математическое моделирование термодинамических свойств жидкости на основе двойного потенциала Юкавы. Аналитические результаты
Донецкий национальный технический университет
Донецк, Украина
* E-mail: likk@telenet.dn.ua
** E-mail: lok_ig@mail.ru
Поступила в редакцию 04.03.2019
После доработки 21.04.2019
Принята к публикации 16.05.2019
Аннотация
Выполнен расчет равновесных термодинамических свойств простой жидкости с межатомным потенциалом в виде суперпозиции двух потенциалов Юкавы. Предложена конструктивная вычислительная схема, следуя которой, трудоемкую задачу определения свободных параметров потенциала удается свести к нахождению одного варьируемого параметра. Показано, что термодинамические функции и потенциал взаимодействия преобразуются к соответствующим однопараметрическим зависимостям, оптимальное значение параметра вычисляется с учетом наилучшего согласия с экспериментом. Результаты расчетов свойств различных модельных систем сопоставляются с данными измерений.
ВВЕДЕНИЕ
В статистической механике задача описания равновесных термодинамических свойств может быть решена в рамках одного из следующих подходов:
– компьютерное моделирование (численный эксперимент) методами молекулярной динамики или Монте-Карло;
– метод интегральных уравнений, связывающий потенциалы взаимодействия с функциями распределения;
– метод Гиббса, в котором поправки к термодинамическим функциям идеального состояния вычисляются с помощью конфигурационного интеграла (КИ).
Для реализации каждого из подходов необходимо задать конкретный вид потенциала межчастичного взаимодействия, определяющего свойства модели вещества.
Результаты расчетов свойств численными методами, представляемые обычно в виде таблиц или графиков, могут быть получены с высокой точностью и использованы, в частности, для проверки предположений, лежащих в основе интегральных уравнений, что может стимулировать развитие теории жидкого состояния.
Метод интегральных уравнений позволяет найти термодинамические соотношения в аналитической форме [1], если помимо потенциала взаимодействия известна и функция распределения.
Если задан только потенциал взаимодействия, то для получения аналитических соотношений, определяющих равновесные свойства, оказывается востребованным метод Гиббса, связанный с проблемой вычисления или оценки КИ. Следует отметить, что эта проблема, оставаясь одной из фундаментальных в статистической механике, имеет точное решение лишь для нескольких, весьма далеких от реальности модельных систем. К числу таких систем относятся модель Изинга и модель решеточного газа, модель Гейзенберга и одномерная модель Каца с бесконечным радиусом действия, приводящая к уравнению Ван-дер-Вальса [2].
Поскольку вид реального потенциала неизвестен, то для последовательного теоретического описания свойств методами статистической механики приходится использовать различные аппроксимации, отвечающие, по крайней мере, общим физическим представлениям о свойствах потенциальных функций.
Одной из таких функций, отражающих основные детали реальных взаимодействий, является линейная комбинация потенциалов Юкавы (или двойной потенциал Юкавы – DY-потенциал)
где a, A, b, B – положительные параметры.Опубликовано немало работ [3–6], посвященных изучению термодинамических и структурных свойств жидкостей, в которых расчеты выполняются методами численного моделирования или интегральных уравнений на основе DY-потенциала, как правило, в сочетании с потенциалом твердых сфер. Приведенные ссылки, конечно, не исчерпывают всей библиографии по этой теме. Однако, несмотря на свою популярность, упрощенная модель (1) и ее модификация, учитывающая твердую сердцевину, не были исследованы в рамках подхода Гиббса (во всяком случае, таких исследований обнаружить не удалось).
В настоящей статье предпринимается попытка восполнить этот пробел и в качестве модели простой жидкости рассматривается система из $N$ одинаковых частиц массой ${{m}_{0}},$ расположенных в объеме $V$ и взаимодействующих посредством парного сферически симметричного потенциала ${v}(r).$
Программа описания свойств модельной системы состоит из следующих этапов:
1) нахождение свободной энергии и термодинамических функций системы с DY-потенциалом как функций параметров a, A, b, B;
2) редукция четырехпараметрической задачи к однопараметрической и определение с помощью нескольких экспериментальных величин значения управляющего параметра, обеспечивающего оптимальное согласование расчетов с экспериментом;
3) сопоставление теоретических зависимостей свойств, построенных с учетом значения управляющего параметра, с известными экспериментальными данными.
Для осуществления этой программы используются результаты работы [7], в которой КИ модельной системы преобразован к интегралу типа Лапласа и вычислен в квадратичном приближении метода перевала. В случае межатомного потенциала общего вида выражение для свободной энергии Гельмгольца определяется равенством [7]
(2)
$\begin{gathered} F = - \frac{1}{\beta }\ln Z = {{F}_{{{\text{id}}}}} + \frac{{{{n}^{2}}V}}{2}{{{{\tilde {v}}}}_{0}} + \frac{V}{{2\beta }}I\left( {n,\beta } \right), \\ I\left( {n,\beta } \right) = \int\limits_\Omega {\left[ {\ln \left( {1 + n\beta {\tilde {v}}(k)} \right) - n\beta {\tilde {v}}(k)} \right]{{{{d}^{3}}k} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{d}^{3}}k} {{{{\left( {2\pi } \right)}}^{3}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\left( {2\pi } \right)}}^{3}}}}} , \\ \end{gathered} $Примеры применения выражения (2), полученного в [8] методом коллективных переменных и в [9] с помощью эргодической теоремы Вейля, можно найти в [10, 11], где для прогнозирования свойств привлекались различные потенциалы, допускающие разложение Фурье.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
При использовании приближения (2) следует учесть условие устойчивости взаимодействия ${\tilde {v}}(k) \geqslant 0$ [12, 13], физическая трактовка которого состоит в том, что в системе невозможно скопление всех ее частиц в ограниченном объеме, другими словами, исключатся коллапс системы. Решение этого неравенства с фурье-образом
потенциала (1) определяет область изменения безразмерных параметров $\delta = {b \mathord{\left/ {\vphantom {b a}} \right. \kern-0em} a}$ и $\varepsilon = {B \mathord{\left/ {\vphantom {B A}} \right. \kern-0em} A},$ состоящую из двух частей: сектора G1 = $ = \left\{ {\left( {\delta ,\varepsilon } \right):0 < \delta < 1,\,\,0 < \varepsilon < {{\delta }^{2}}} \right\}$ и полосы G2 = $ = \left\{ {\left( {\delta ,\varepsilon } \right):\delta \geqslant 1,\,\,0 \leqslant \varepsilon \leqslant 1} \right\},$ представленных на рис. 1. В секторе ${{G}_{1}}$ параметры $\delta $ и $\varepsilon $ принимают такие значения, при которых конкуренция первого слагаемого в (1), отвечающего за отталкивание на малых расстояниях, и второго, создающего притяжение на больших r, приводит к образованию потенциальной ямы. В полосе ${{G}_{2}}$ при $\delta \geqslant 1$ при любых $r$ в (1) доминирует первое слагаемое, поэтому потенциал преобразуется к отталкивательному потенциалу, подобному потенциалу Юкавы. Здесь ограничимся рассмотрением случая, когда параметры $\delta $ и $\varepsilon $ принимают значения из области ${{G}_{1}}.$Интеграл $I\left( {n,\beta } \right),$ устанавливающий связь свободной энергии (2) с параметрами потенциала (1), равен
(3)
$\begin{gathered} I\left( {n,\beta } \right) = \frac{{{{a}^{3}}}}{{6\pi }}\left( {1 + {{\delta }^{{{{3}^{{^{{}}}}}}}}} \right. - \\ \left. { - \,\,\left[ {{{Q}^{3}}(x) - 3\delta q(x)Q(x)} \right]} \right) + \frac{{{{a}^{3}}}}{{4\pi }}\left[ {1 - \varepsilon \delta } \right]x, \\ \end{gathered} $Подстановка (3) в (2) дает выражение для свободной энергии системы с DY-потенциалом, используемое в дальнейших вычислениях. Покажем, что термодинамические величины, получаемые из свободной энергии, содержат только два безразмерных параметра $\delta $ и ε, отвечающих вкладу взаимодействия. Для этого запишем уравнение состояния (УС)
(4)
$P = - {{\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial V}}} \right)}_{T}} = \frac{n}{\beta } + \frac{{{{n}^{2}}w}}{2}D - \frac{{{{a}^{3}}}}{{12\pi \beta }}J\left( x \right),$В критической точке (КТ) выполняются условия
(5)
$\left\{ \begin{gathered} {{\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial n}}} \right)}_{c}} = \frac{1}{{{{\beta }_{c}}}}\left( {{{q}^{2}}\left( {{{x}_{c}}} \right) + \frac{{{{a}^{3}}x_{c}^{2}}}{{12\pi {{n}_{c}}}}{{J}_{1}}\left( {{{x}_{c}}} \right)} \right) = 0 \hfill \\ {{\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}P}}{{\partial {{n}^{2}}}}} \right)}_{c}} = w\left( {D + \frac{{{{a}^{3}}{{x}_{c}}}}{{12\pi {{n}_{c}}}}\left( {{{J}_{1}}\left( {{{x}_{c}}} \right) + {{x}_{c}}{{J}_{2}}\left( {{{x}_{c}}} \right)} \right)} \right) = 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.$Исключая отношение
(6)
$\frac{{{{a}^{3}}}}{{12\pi {{n}_{c}}}} = - \frac{{{{q}^{2}}\left( {{{x}_{c}}} \right)}}{{x_{c}^{2}{{J}_{1}}\left( {{{x}_{c}}} \right)}}$(8)
$\Pi \left( {\omega ,\tau } \right) = \frac{1}{{{{Z}_{c}}}}\left[ {\omega \tau + \frac{{{{x}_{c}}D{{\omega }^{2}}}}{2} + \frac{{q_{c}^{2}\tau }}{{x_{c}^{2}{{J}_{1}}\left( {{{x}_{c}}} \right)}}J(\omega ,\tau )} \right],$(9)
${{Z}_{c}} = \frac{{{{P}_{c}}{{V}_{c}}}}{{R{{T}_{c}}}} = 1 + \frac{{{{x}_{c}}D}}{2} + \frac{{q_{c}^{2}}}{{x_{c}^{2}{{J}_{1}}\left( {{{x}_{c}}} \right)}}J\left( {{{x}_{c}}} \right),$С целью демонстрации предсказательных возможностей приближения (2) приведем несколько формул, получаемых из хорошо известных соотношений и используемых далее для расчета термодинамических свойств, о которых имеется соответствующая экспериментальная информация:
– молярная изобарная теплоемкость
(10)
${{C}_{P}}\left( \tau \right) = {{C}_{V}}\left( \tau \right) - \frac{{\tau R}}{{{{Z}_{c}}}}\frac{{\left( {{{\partial \Pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \Pi } {\partial \tau }}} \right. \kern-0em} {\partial \tau }}} \right)_{\varphi }^{2}}}{{{{{\left( {{{\partial \Pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \Pi } {\partial \varphi }}} \right. \kern-0em} {\partial \varphi }}} \right)}}_{\tau }}}},$(11)
${{\alpha }_{P}}\left( \tau \right) = \frac{{ - {{V}_{c}}}}{{\omega {{C}_{P}}\left( \tau \right)}}\left[ {\omega \tau \frac{{{{{\left( {{{\partial \Pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \Pi } {\partial \tau }}} \right. \kern-0em} {\partial \tau }}} \right)}}_{\varphi }}}}{{{{{\left( {{{\partial \Pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \Pi } {\partial \varphi }}} \right. \kern-0em} {\partial \varphi }}} \right)}}_{\tau }}}} + 1} \right],$(12)
$u\left( \tau \right) = \frac{1}{\omega }\sqrt {\frac{{{{P}_{c}}{{V}_{c}}}}{M}} {{\left( {\frac{{{{Z}_{c}}\tau R}}{{{{C}_{V}}\left( \tau \right)}}\left( {\frac{{\partial \Pi }}{{\partial \tau }}} \right)_{\varphi }^{2} - {{{\left( {\frac{{\partial \Pi }}{{\partial \varphi }}} \right)}}_{\tau }}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},$Функции (8)–(12) содержат только два параметра $\delta $ и ε, значения которых в секторе ${{G}_{1}}$ следует определить из условия наилучшего согласия с данными измерений.
Одним из индикаторов, дающих представление о качестве описания совокупности экспериментальных данных, служит функция
(13)
$\Phi \left( {\delta ,\varepsilon } \right) = \sum\limits_{i = 1}^k {{{{\left( {{{\left( {X_{i}^{{\exp }} - X_{i}^{{{\text{theor}}}}\left( {\delta ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \varepsilon } \right)} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {X_{i}^{{\exp }} - X_{i}^{{{\text{theor}}}}\left( {\delta ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \varepsilon } \right)} \right)} {X_{i}^{{\exp }}}}} \right. \kern-0em} {X_{i}^{{\exp }}}}} \right)}}^{2}}} ,$Нахождение экстремума функции двух переменных сводится к решению системы нелинейных уравнений, вид которой зависит от свойств, входящих в (13). При этом неизвестно, какая из возможных систем имеет решение. Кроме того, для реализации какого-либо из численных методов требуется знание начального приближения. В общем случае ввиду перечисленных сложностей конкретных результатов на пути решения нелинейных систем достигнуто не было. Однако аналитическое решение задачи минимизации $\Phi \left( {\delta ,\,\varepsilon } \right)$ удается найти в асимптотическом случае при $\delta \to 1 - 0,$ если параметры $\delta $ и $\varepsilon $ связаны уравнением $\varepsilon = {{\delta }^{m}},$ $m > 2$ (далее предельный переход при $\delta \to 1 - 0$ вдоль кривых $\varepsilon = {{\delta }^{m}},$ $m > 2$ – единичный предел – Е-предел).
При анализе результатов численного решения уравнения (7) установлено, что его корни ${{x}_{c}}$ в Е-пределе неограниченно возрастают, однако произведения ${{x}_{c}}D$ и ${{x}_{c}}d,$ входящие во все вспомогательные функции $J\left( x \right),$ ${{J}_{1}}\left( x \right)$ и др. (см. экспликации к формулам (4), (5)), принимают конечные значения, зависящие только от m. Поэтому в Е-пределе вместо корня ${{x}_{c}}$ естественно использовать одну из двух величин ${{c}_{1}}\left( m \right) = {{x}_{c}}D$ или ${{c}_{2}}\left( m \right) = {{x}_{c}}d,$ связанных предельным соотношением $\mathop {\lim }\limits_{\delta \to 1 - 0} \frac{{{{c}_{2}}(m)}}{{{{c}_{1}}(m)}} = \mathop {\lim }\limits_{\delta \to 1 - 0} \frac{d}{D} = \frac{m}{{m - 2}} = {{L}_{m}},$ с помощью которого уравнение (7) преобразуется к уравнению относительно ${{c}_{1}}\left( m \right)$
(14)
$J_{1}^{{(E)}}\left( {{{c}_{1}}} \right) + {{c}_{1}}\left( m \right){{\left( {{{q}^{{(E)}}}\left( {{{c}_{1}}} \right)} \right)}^{2}}J_{2}^{{(E)}}\left( {{{c}_{1}}} \right) = 0.$Трудности, возникающие при поиске точного аналитического решения уравнения (14), оказались непреодолимыми, однако по результатам численных расчетов возможно построение аппроксимант для ${{c}_{1}}\left( m \right)$ (или ${{c}_{2}}\left( m \right)$) различной точности. Так, при $2 < m < 15$ относительная погрешность формулы
Для расчетов свойств в Е-пределе подобным изменениям с учетом равенства
(15)
$\frac{{{{a}^{3}}}}{{{{n}_{c}}}} = - \frac{{12\pi {\kern 1pt} {{{\left( {{{q}^{{(E)}}}\left( {{{c}_{1}}} \right)} \right)}}^{2}}}}{{c_{1}^{2}\left( m \right)J_{1}^{{(E)}}\left( {{{c}_{1}}} \right)}},$Выбор “управляющего” параметра $m$ связан с требованием наилучшего согласия свойств модельной системы с данными измерений, а температура Бойля TB, как показали расчеты, весьма чувствительна к изменениям m. Поэтому при установлении оптимального значения $m$ в сумме (13) целесообразно учесть слагаемое, соответствующее температуре Бойля.
Извлекая из разложения УС (8) по степеням обратного объема множитель при 1/V 2, получим второй вириальный коэффициент
СОПОСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА С ЭКСПЕРИМЕНТОМ
Значение управляющего параметра $m = 4.2186,$ минимизирующее функцию-индикатор $\Phi \left( m \right),$ установлено с учетом следующих экспериментальных величин для аргона: ${{Z}_{c}} = 0.292,$ ${{{{T}_{B}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{B}}} {{{T}_{c}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{c}}}} = 2.740$ [14], ${{\left( {{{\partial \Pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \Pi } {\partial \tau }}} \right. \kern-0em} {\partial \tau }}} \right)}_{c}} = 6.0$ [15]. Расчет зависимостей термодинамических свойств от температуры $\tau = {T \mathord{\left/ {\vphantom {T {{{T}_{c}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{c}}}}$ выполняется при постоянном давлении $\Pi = {P \mathord{\left/ {\vphantom {P {{{P}_{c}}}}} \right. \kern-0em} {{{P}_{c}}}}$ с привлечением значений плотности $\omega = {n \mathord{\left/ {\vphantom {n {{{n}_{c}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{c}}}},$ вычисляемых с помощью УС (8).
Представленные на рис. 2 результаты расчета ${{C}_{P}}\left( T \right)$ при P = 10 МПа показывают, что теоретические кривые 1, 3, в отличие от экспериментальной кривой 4, имеют минимумы при низких температурах. Немонотонное поведение теоретической зависимости 1 связано с тем, что УС (8) и выражение (10) содержат члены, пропорциональные ${{\left( {{{\omega \left( \tau \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega \left( \tau \right)} \tau }} \right. \kern-0em} \tau }} \right)}^{S}},$ влияние которых оказывается доминирующим при уменьшении температуры.
Расчеты плотности $\omega \left( \tau \right)$ по уравнениям (8), Редлиха–Квонга и Бертло, показанные на фрагменте рис. 2, качественно согласуются с данными измерений. Однако зависимость $\omega \left( T \right),$ полученная по УС (8), отличается значительно более резким возрастанием при понижении температуры T, следствием чего является неверное поведение изобарной теплоемкости. Слабо выраженный минимум существует и на кривой 2. Интересно отметить, что подобная картина поведения ${{C}_{P}}\left( T \right)$ наблюдается в ксеноне при P ≥ 10 МПа [16].
Из рис. 3 видно, что все теоретические кривые 1–3 качественно согласуются с данными эксперимента [17]. При низких температурах результаты расчетов коэффициента Джоуля–Томсона ${{\alpha }_{P}}\left( T \right)$ хорошо описывают реальную ситуацию. Это обусловлено тем, что влияние упомянутых выше членов вида ${{\left( {{{\omega \left( \tau \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega \left( \tau \right)} \tau }} \right. \kern-0em} \tau }} \right)}^{S}},$ отвечающих за аномальное поведение изобарной теплоемкости и входящих в (11), компенсируется вкладом ${{C}_{P}}\left( T \right)$ в знаменателе формулы (11). Относительная погрешность значения $\alpha _{P}^{{\max }}$ для кривой 1 составляет ~18%.
На рис. 4 показаны данные измерений [14] и результаты расчетов скорости звука в аргоне при постоянном давлении P = 10 МПа. Видно, что отклонения кривой 1, построенной по формуле (12, от экспериментальной 4 возрастают при понижении температуры. Количественные расхождения при качественно верном воспроизведении зависимости ${{u}_{P}}\left( T \right)$ можно объяснить конкуренцией сомножителей ${{C}_{V}}\left( T \right)$ и $\left( {{{\partial \Pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \Pi } {\partial \tau }}} \right. \kern-0em} {\partial \tau }}} \right)_{\varphi }^{2}$ и наличием множителя ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\omega \left( \tau \right)}}} \right. \kern-0em} {\omega \left( \tau \right)}}$ в (12). Относительная погрешность $u_{P}^{{\min }}$ для кривой 1 составляет ~15%.
Для расчета свойств модельной системы, в частности скорости звука, на бинодали необходимо определить плотности ${{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}}$ сосуществующих фаз, которые являются решениями системы нелинейных уравнений, отвечающих условиям равновесия фаз:
(16)
$\left\{ \begin{gathered} \Pi \left( {{{\omega }_{1}},\tau } \right) = \Pi \left( {{{\omega }_{2}},\tau } \right) \hfill \\ \mu \left( {{{\omega }_{1}},\tau } \right) = \mu \left( {{{\omega }_{2}},\tau } \right), \hfill \\ \end{gathered} \right.$Результаты расчета скорости звука на линии равновесия фаз в аргоне приведены на рис. 5 в сопоставлении с данными наблюдений [14]. Видно, что теоретическая кривая 1 для скорости звука в модельной системе демонстрирует не только качественные особенности эксперимента почти всюду в расчетном диапазоне температур, но и неплохое количественное согласие с экспериментом с погрешностью не более 10% для газовой ветви (нижняя часть кривой 1), исключая узкую окрестность КТ, где можно заметить участок, на котором функция $u\left( T \right)$ возрастает. Подобное возрастание, но в более широком температурном интервале, наблюдается для газовых ветвей кривых 2 и 3, построенных по уравнениям Редлиха–Квонга и Бертло, что не соответствует данным измерений.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для описания равновесных термодинамических свойств системы, моделирующей простую жидкость с DY-потенциалом, применяется один из распространенных статистических способов учета взаимодействия, основанный на вычислении КИ.
Определение значений четырех параметров потенциала взаимодействия, обеспечивающих воспроизведение данных измерений с минимально возможными для рассматриваемой модели погрешностями, удается свести к нахождению одного управляющего параметра, что позволяет обойти известные трудности, возникающие при решении систем нелинейных уравнений. Оптимальное значение этого параметра установлено с учетом трех экспериментальных величин ${{Z}_{c}},$ ${{T}_{{\text{B}}}},$ ${{\left( {{{\partial \Pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \Pi } {\partial \tau }}} \right. \kern-0em} {\partial \tau }}} \right)}_{c}}$ и использовано для расчета зависимостей ${{C}_{P}}\left( T \right),$ ${{\alpha }_{P}}\left( T \right),$ ${{u}_{P}}\left( T \right).$
Как видно из приведенных результатов, в надкритической области наилучшее согласие с экспериментом имеет зависимость ${{\alpha }_{P}}\left( T \right),$ для скорости звука ${{u}_{P}}\left( T \right)$ расхождение с экспериментом увеличивается с уменьшением температуры и ростом плотности, поведение ${{C}_{P}}\left( T \right)$ при низких температурах не соответствует экспериментальной картине.
Теоретическая зависимость скорости звука $u\left( T \right)$ на газовой ветви бинодали воспроизводит данные измерений с погрешностью не более 10%, однако расхождения возрастают на ветви жидкой фазы при понижении температуры.
Сопоставление полученных результатов с экспериментом и более точными решениями [6, 10] позволяет установить область, в которой приближение (2) в сочетании с DY-потенциалом становится неприменимым. Расчеты модели в рамках рассмотренного формализма не дают адекватного описания жидкого состояния, что, по-видимому, является следствием влияния многочастичных сил, которые проявляются и в области высоких давлений. Кроме того, можно ожидать, что модель окажется непригодной в области чрезвычайно высоких температур, где происходит ионизация нейтральных частиц. Поэтому, возможно, для корректировки результатов с целью улучшения их согласия с экспериментом необходимо рассмотрение более сложной модели потенциала, учитывающей зависимости его параметров от плотности и температуры.
Автор выражает искреннюю благодарность проф. А.Ю. Захарову за полезные дискуссии и обсуждение результатов.
Список литературы
Byung Chan Eu, Young Gie Ohr. Thermodynamically Consistent Equation of State of Hard Sphere Fluids // J. Chem. Phys. 2003. V. 118. № 5. P. 2264.
Kac M., Uhlenbeck G.E., Hemmer P.C. On the van der Waals Theory of the Vapor-Liquid equilibrium // J. Math. Phys. 1963. V. 4. P. 216.
Lin Y.-Z., Li Y.-G., Lu J.-F., Wu W. Monte-Carlo Simulation for the Hard-core two-Yukawa Fluids and Test of the two-Yukawa Equation of State // J. Chem. Phys. 2002. V. 117. № 22. P. 10165.
Krejci Jan, Nezbeda Ivo, Melnyk R., Trokhymchuk A. EXP6 Fluids at Extreme Conditions Modeled by two-Yukawa Potentials // J. Chem. Phys. 2010. V. 133. 094503.
Guerin H. Analytical Equation of State for Double Yukawa and Hard Core Double Yukawa Fluids: Application to Simple and Colloidal Fluids // Physica A. 2002. V. 304. P. 327.
Bahaa Khedr M., Osman S.M., Al Busaidi M.S. New Equation of State for Double Yukawa Potential with Application to Lennard-Jones Fluids // Phys. Chem. Liquids. 2009. V. 47. № 3. P. 237.
Захаров А.Ю., Локтионов И.К. Классическая статистика однокомпонентных систем с модельными потенциалами // ТМФ. 1999. Т. 119. № 1. С. 167.
Зубарев Д.Н. Вычисление конфигурационных интегралов для системы частиц с кулоновским взаимодействием // ДАН СССР. 1954. Т. 35. № 4. С. 757.
Zakharov A.Yu. Exact Calculation Method of the Partition Function for One-component Classical Systems with Two-body Interactions // Phys. Lett. A. 1990. V. 147. № 7–8. P. 442.
Локтионов И.К. Исследование температурных зависимостей термодинамических свойств паров цезия в модели с парным трехпараметрическим потенциалом взаимодействия // ТВТ. 2012. Т. 50. № 3. С. 384.
Локтионов И.К. Исследование равновесных теплофизических свойств простых жидкостей на основе четырехпараметрического осциллирующего потенциала взаимодействия // ТВТ. 2014. Т. 52. № 6. С. 402.
Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты / Под ред. Минлоса Р.А. Пер. с англ. Новикова И.Д., Герцика В.М. М.: Мир, 1971. С. 367.
Baus M., Tejero C.F. Equilibrium Statistical Physics: Phases of Matter and Phase Transitions. Brussels–Madrid: Springer, 2008. 374 p.
Stewart R.B., Jacobsen R.T. Thermodynamic Properties of Argon from the Triple Point to 1200 K with Pressures to 1000 MPa // J. Phys. Chem. Ref. Data. 1989. V. 18. № 2. P. 639.
Каганер М.Г. Максимумы термодинамических свойств и переход газа к жидкости в надкритической области // ЖФХ. 1958. Т. 32. № 2. С. 332.
Sifner O., Klomfar J. Thermodynamic Properties of Xenon from the Triple Point to 800 K with Pressures up to 350 MPa // J. Phys. Chem. Ref. Data. 1994. V. 23. № 1. P. 63.
Landolt-Bornstein. Zahlenwerte und Funktionen aus Physik, Chemie, Astronomie, Geophysik und Technik, Aufl. 6, Bd.2, Teil 4. Berlin–Hedelberg: Springer, 2013. P. 757.
Уленбек Г. Фундаментальные проблемы статистической механики // УФН. 1971. Т. 103. Вып. 2. С. 275.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Теплофизика высоких температур