Теплофизика высоких температур, 2021, T. 59, № 3, стр. 411-414

ВВЕДЕНИЕ

В механике однофазных потоков используется целый ряд различных методов диагностики течений: от одноточечных контактных методов [1–3] до широкого класса бесконтактных [4–14]. Класс бесконтактных методов, прежде всего оптических, в свою очередь подразделяется на одноточечные (например, метод лазерной доплеровской анемометрии [4–9]) и различные модификации “полевых” методов [10–14], в частности основанных на стробоскопической трассерной визуализации потоков. Определение поля скорости с помощью принципа анемометрии по изображениям частиц основано на измерении сдвигов частиц-трассеров в потоке за время между импульсами источника излучения, освещающего поток.

Для измерения кинематических характеристик газовой среды в нее вводятся частицы-трассеры (обычно субмикрометровых и микрометровых размеров), массовая и объемная концентрация которых ничтожна. При соблюдении определенных условий (прежде всего, условия малости времени релаксации частиц по сравнению с характерными масштабами несущей среды) мгновенные скорости частиц-трассеров будут практически равны скоростям газа.

Динамическое проскальзывание (разница скоростей частиц-трассеров и несущего газа) может изменяться в очень широком диапазоне в зависимости от режимных параметров: прежде всего скорости сплошной среды, а также геометрии потока и инерционности используемых частиц. Особую актуальность приобретает выбор инерционности частиц-трассеров при экспериментальном изучении высокоскоростных потоков.

Цель данной работы – предложить простую методику оценки инерционности частиц-трассеров, используемых для диагностики высокоскоростных газовых потоков.

ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ВЫСОКОСКОРОСТНОМ ПОТОКЕ ГАЗА

Рассмотрим движение частиц в высокоскоростном потоке газа. Векторное уравнение движения одиночной твердой частицы в газовом потоке записывается как

где ${{m}_{p}}$ – масса частицы; ${\mathbf{V}}$ – вектор скорости частицы; $\tau $ – время; ${{{\mathbf{F}}}_{i}}$ – внешние силы, действующие на частицу.

Для случая одномерного движения и действия только силы аэродинамического сопротивления уравнение (1) приобретает вид

где ${{\rho }_{p}}$ – физическая плотность материала частицы, ${{d}_{p}}$ – диаметр частицы, $V$ – продольная скорость частицы, $U$ – продольная скорость несущего газа, ${{C}_{D}}$ – коэффициент аэродинамического сопротивления частицы, $\rho $ – плотность газа.

После простых упрощений уравнение (2) переписывается как

Решение уравнения (3) может быть легко получено аналитически в случае движения стоксовых частиц (${{\operatorname{Re} }_{p}} \ll 1$), для которых ${{C}_{D}} = {{24} \mathord{\left/ {\vphantom {{24} {{{{\operatorname{Re} }}_{p}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\operatorname{Re} }}_{p}}}}.$ Здесь ${{\operatorname{Re} }_{p}} = {{(\left| {U - V} \right|{{d}_{p}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{(\left| {U - V} \right|{{d}_{p}})} \nu }} \right. \kern-0em} \nu }$ – число Рейнольдса относительного движения частицы ($\nu $ – кинематическая вязкость несущей фазы). Однако в случае высокоскоростного потока движение даже субмикрометровых частиц не подчиняется закону сопротивления Стокса, так как ${{\operatorname{Re} }_{p}} > 1.$ С ростом ${{\operatorname{Re} }_{p}}$ линейная зависимость между ${{C}_{D}}$ и ${{\operatorname{Re} }_{p}}$ пропадает. Это осложняет получение аналитического решения. Более того, для сжимаемого потока коэффициент аэродинамического сопротивления становится также функцией и числа Маха частицы, т.е. C_D = f(Re_p, M_p). Здесь M_p = (|U – V)/a – число Маха относительного движения частицы ($а$ – скорость звука газа). В литературе имеется несколько эмпирических зависимостей для ${{C}_{D}}$ в высокоскоростных потоках, удовлетворительно описывающих экспериментальные данные. Наибольшее распространение получила достаточно громоздкая формула Хендерсона [15], удовлетворяющая имеющимся экспериментам как в дозвуковой области значений относительной скорости движения частиц, так и в сверхзвуковой вплоть до M_p = 1.75. Необходимо отметить, что данные для коэффициента сопротивления частицы при более высоких числах Маха отсутствуют в литературе.

Анализ значений коэффициента сопротивления частицы по формуле Хендерсона показывает [15], что величина ${{C}_{D}}$ лежит в диапазоне 0.4–2.0, причем низкие значения (${{C}_{D}} < 1$) реализуются при высоких числах Рейнольдса (Re_p = 200–2000). Высокие числа Рейнольдса не реализуются при разгоне (движении) малоинерционных частиц-трассеров субмикрометровых и микрометровых размеров, поэтому с целью упрощения решения для получения нижней оценки скорости частиц в высокоскоростном потоке было использовано ${{C}_{D}} = 1.$ Необходимо отметить, что ниже рассматривается случай присутствия в потоке сферических частиц одного размера без учета их взаимного влияния.

В результате уравнение (3) приобретает следующий вид:

$B = {{(4{{\rho }_{p}}{{d}_{p}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{(4{{\rho }_{p}}{{d}_{p}})} {(3\rho )}}} \right. \kern-0em} {(3\rho )}}.$ Для упрощения решения примем допущение, что $B = {\text{const}}.$ Найдем скорость ускоряющихся ($U - V > 0$) частиц в потоке газа, движущегося с постоянной скоростью $U = const.$ Решение обыкновенного дифференциального уравнения (4) ищем как где $C$ – постоянная интегрирования.

Общее решение (5) имеет вид

Для нахождения частного решения учтем, что $V = 0$ при $\tau = 0.$ В этом случае из (6) имеем $C = {B \mathord{\left/ {\vphantom {B U}} \right. \kern-0em} U}.$ Итоговое выражение для нахождения скорости частиц, получаемое из (6), запишется как

Комплекс $B$ – размерный параметр, пропорциональный инерционности частиц. Чем меньше инерционность частиц, тем меньше значение этого параметра. Оценим порядок параметра $B$ для частиц разных размеров. Учитывая, что ${{{{\rho }_{p}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\rho }_{p}}} \rho }} \right. \kern-0em} \rho } = O({{10}^{3}}),$ для частиц диаметром d_p = 1, 10, 100 мкм параметр $B$ имеет порядок B = O(10^–3), O(10^–2), O(10^–1) м соответственно.

На рис. 1 приведены рассчитанные с использованием (7) зависимости скорости частиц от времени, скорости несущего газа и параметра $B$. Данные рис. 1 позволяют определять время разгона частиц, т.е. время, за которое скорость частицы достигает (с заданной погрешностью) скорости несущего газа.

Время разгона частиц (для $U = 100$ м/с), при котором скорость частиц отличается не более чем на 5% от скорости несущего газа, равно τ₉₅ ≈ 2 × 10^–4 с для малоинерционных частиц ($B = 0.001$ м). С ростом инерционности время разгона возрастает: τ₉₅ ≈ 2 × 10^–3 и 2 × 10^–2 с для частиц с $B = 0.01$ и $B = 0.1$ м соответственно.

С увеличением скорости несущего газа время разгона частиц снижается. Например, для малоинерционных частиц ($B = 0.001$ м) время разгона уменьшается до значений ${{\tau }_{{95}}} \approx 1 \times {{10}^{{ - 4}}}$ и τ₉₅ ≈ $ \approx 5 \times {{10}^{{ - 5}}}$ с при скоростях $U = 200$ и $U = 500$ м/с.

На практике удобнее пользоваться длиной разгона частиц. Из соотношения (7) можно определить путь, проходимый частицей с момента начала ее разгона:

Интеграл (8) приводит к следующему выражению для длины перемещения частиц в зависимости от времени разгона $\tau {\text{:}}$

Решение (9) удовлетворяет начальному условию $l = 0$ при $\tau = 0.$

На рис. 2 приведены рассчитанные с использованием (9) длины перемещения частиц в зависимости от времени, скорости несущего газа и параметра $B.$ Данные рис. 2 позволяют определять длину разгона частиц, т.е. проходимый частицей путь до сечения, в котором ее скорость достигает (с заданной погрешностью) скорости несущего газа.

Длина разгона (для $U = 100$ м/с), на которой скорость частиц отличается не более чем на 5% от скорости несущего газа, равна ${{l}_{{95}}} \approx 0.017$ м для малоинерционных частиц ($B = 0.001$ м), что соответствует времени разгона τ₉₅ ≈ 2 × 10^–4 с. С ростом инерционности частиц длина разгона возрастает и становится равной 0.17 и 1.7 м для частиц с $B = 0.01$ и $B = 0.1$ м соответственно.

С ростом скорости несущего газа длина разгона частиц увеличивается. Для малоинерционных частиц ($B = 0.001$ м) она достигает значения ${{l}_{{95}}} \approx 0.022$ м при $U = 500$ м/с.

ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ЧАСТИЦ-ТРАССЕРОВ

Для выбора параметров частиц-трассеров необходимо учитывать не только скорость несущего потока, но и его геометрию. Условие полноты разгона частиц в потоке газа, движущегося с постоянной скоростью ($U = {\text{const}}$), можно представить в виде

где ${{\tau }_{{95}}}$ – рассчитанное с использованием (7) время разгона частиц, ${{l}_{{95}}}$ – рассчитанная с использованием (9) длина разгона частиц, ${{T}_{f}}$ – характерное время несущего газа, $L$ – характерная длина рассматриваемого потока.

Например, при изучении течения высокоскоростного газа в канале в качестве характерной длины $L$ можно опираться на расстояние от места ввода частиц в поток до исследуемого сечения канала, а в качестве характерного времени ${{T}_{f}}$ время движения газа до данного сечения.

Так, при $L = 1$ м и $U = 100$ м/с получим ${{T}_{f}} = 10{}^{{ - 2}}$ с. Можно сделать вывод (см. рис. 1, кривые 1 и 2), что хорошо будут следовать за газом не только самые малоинерционные частицы (${{d}_{p}} = 1$ мкм, $B = O({{10}^{{ - 3}}}\,\,{\text{м}})$), но также и более инерционные (${{d}_{p}} = 10$ мкм, $B = O({{10}^{{ - 2}}}\,\,{\text{м}})$), величина динамического проскальзывания (около 1 м/с или 1% от скорости газа) которых позволит использовать их в качестве частиц-трассеров.

Для меньшей геометрии и более высокой скорости потока ($L = 0.1$ м, $U = 500$ м/с) получим T_f = 2 × 10^–4 с. Можно сделать вывод (рис. 1, кривые 7 и 8), что только самые малоинерционные частицы (${{d}_{p}} = 1$ мкм, $B = O({{10}^{{ - 3}}}\,\,{\text{м}})$) будут следовать за газом (величина проскальзывания около 5 м/с или 1% от скорости газа). Что касается более инерционных частиц (${{d}_{p}} = 10$ мкм, $B = O({{10}^{{ - 2}}}\,\,{\text{м}})$), то величина их динамического проскальзывания (около 50 м/с или 10% от скорости газа) не позволит использовать их в качестве частиц-трассеров.

В случае, когда скорость газа претерпевает изменения ($U \ne {\text{const}}$), выбор инерционности частиц-трассеров несколько осложняется. Примерами таких потоков являются высокоскоростные течения вблизи обтекаемых тел [16] и в пограничном слое [17], а также вихревые течения [18–20].

Наличие градиента скорости в продольном направлении ведет к резкому сокращению характерных времен ${{T}_{f}}$ и длин $L$ несущего потока. Например, при обтекании тел в качестве характерной длины можно использовать расстояние от критической точки обтекаемого тела вверх по потоку до места, на котором начинается торможение газа ($L \approx R,$ $R$ – радиус обтекаемого тела). В этом случае ${{T}_{f}} \approx {R \mathord{\left/ {\vphantom {R U}} \right. \kern-0em} U},$ где $U$ – скорость газа в невозмущенном потоке. Задаваясь $R = 0.005$ м и $U = 500$ м/с, получаем ${{T}_{f}} \approx 10{}^{{ - 5}}$ с. Из этого следует вывод (рис. 1, кривая 7), что даже самые малоинерционные из рассмотренных частиц (${{d}_{p}} = 1$ мкм, B = = O(10^–3) м) не будут следовать за газом и величина динамического проскальзывания (около 100 м/с) не позволит использовать их в качестве частиц-трассеров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрен вопрос о выборе инерционности частиц-трассеров, используемых для оптической диагностики высокоскоростных газовых потоков. На основе сделанного допущения о близости к единице значения коэффициента аэродинамического сопротивления найдено выражение для определения скорости частиц в зависимости от времени. Выполнены оценки характерных времен и длин разгона частиц различной инерционности в газовом потоке с постоянной скоростью. Сформулированы условия полноты разгона частиц в потоках газа, имеющих различную скорость и геометрию.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (грант № 20-19-00551).