Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 1, стр. 132-150

1. ВВЕДЕНИЕ

Одним из классических уравнений в частных производных эллиптического типа высокого порядка является полигармоническое уравнение, а классическими задачами для этого уравнения являются задачи Дирихле (см., например, [1], [2]) и Неймана (см., например, [3]–[5]). Условия разрешимости этих задач исследованы в классической теории краевых задач для эллиптических уравнений и систем уравнений, удовлетворяющих так называемому условию дополнительности. Установлено, что все задачи данного типа фредгольмовы и поэтому их разрешимость для неоднородных краевых условий гарантируется ортогональностью правых частей всем решениям однородного сопряженного уравнения. В работе [6] была рассмотрена более общая краевая задача для полигармонического уравнения, содержащая многочлены высокого порядка от нормальных производных в граничных условиях. Была доказана теорема о разрешимости этой краевой задачи и представлении ее решения. В работе [7] также были исследованы условия разрешимости краевых задач для полигармонического уравнения в шаре с нормальными производными в граничных условиях. Условия разрешимости в указанных выше работах имели вид ортогональности некоторых вектор-функций, зависящих от данных задачи, или равенства рангов специальных матриц высокого порядка. Чтобы установить, при каких граничных условиях конкретная задача такого типа разрешима, необходимо выполнить непростые вычисления.

Рассмотренный в настоящей работе класс задач является естественным обобщением классической постановки задачи Неймана для полигармонического уравнения. Поэтому для таких задач хорошо бы иметь условия разрешимости этих задач в легко проверяемом виде. Нахождению множества необходимых условий разрешимости задач типа Неймана и посвящена данная работа. Приведены иллюстративные примеры.

Пусть $S = {\text{\{ }}x \in {{\mathbb{R}}^{n}}:\left| x \right| < 1{\text{\} }}$ – единичный шар в ${{\mathbb{R}}^{n}}$, а $\partial S = {\text{\{ }}x \in {{\mathbb{R}}^{n}}:\left| x \right| = 1{\text{\} }}$ – единичная сфера, где $\left| x \right| = \sqrt {x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{n}^{2}} $. В единичном шаре $S$ рассмотрим следующий класс краевых задач типа Неймана ${{\mathcal{N}}_{k}}$, зависящий от параметра $k \in \mathbb{N}$ для неоднородного полигармонического уравнения

где $\tfrac{\partial }{{\partial \nu }}$ – внешняя нормальная производная к единичной сфере, функции $f(x)$ и ${{\varphi }_{i}}(s)$ при $i = 1,\; \ldots ,\;m$ определены на $S$ и $\partial S$ соответственно. Класс задач ${{\mathcal{N}}_{k}}$ является частным случаем краевых задач для полигармонического уравнения с нормальными производными высокого порядка в граничных условиях, рассмотренных в [6]. Задача ${{\mathcal{N}}_{0}}$ является задачей Дирихле [8], которая безусловно разрешима, а задача ${{\mathcal{N}}_{1}}$ совпадает с задачей Неймана [4]. Исследования разрешимости различных постановок задач типа Неймана и их обобщений в единичном шаре для бигармонического уравнения (в частности, задачи ${{\mathcal{N}}_{1}}$ и ${{\mathcal{N}}_{2}}$) и полигармонического уравнения можно найти в работах [7], [9]–[12]. В работе [13] для краевых задач для полигармонического уравнения с нормальными производными в граничных условиях получено достаточное условие фредгольмовости этих задач и приведена формула их индекса. В [14] исследовались полиномиальные решения задачи Дирихле для полигармонического уравнения при полиномиальных данных и приведены формулы, позволяющие легко построить полиномиальное решение задачи.

2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Пусть ${{P}_{m}}(t) = \sum\nolimits_{i = 0}^m {{{p}_{i}}{{t}^{i}}} $ – некоторый полином степени $m$ с действительными коэффициентами ${{p}_{i}} \in \mathbb{R}$, $i = 0,\; \ldots ,\;m$. Линейное пространство таких полиномов обозначим $\mathcal{P}$. Рассмотрим факториальную степень переменной $t$ порядка $i$ в виде ${{t}^{{[i]}}} = t(t - 1) \ldots (t - i + 1)$, причем ${{t}^{{[0]}}} \equiv 1$. Введем факториальный полином, соответствующий полиному ${{P}_{m}}(t)$, равенством

Рассмотрим линейное отображение $\Phi :\mathcal{P} \to \mathcal{P}$, задаваемое в виде $\Phi [{{P}_{m}}(t)] = {{P}_{{[m]}}}(t)$. В [15, лемма 1] показано, что отображение $\Phi :\mathcal{P} \to \mathcal{P}$ – изоморфизм.

Пусть $l \in {{\mathbb{N}}_{0}} \equiv \mathbb{N} \cup {\text{\{ }}0{\text{\} }}$. Рассмотрим полиномы

при $i \in \mathbb{N}$. Обозначим их прообразы при изоморфизме $\Phi $ как и, значит, $H_{i}^{{(l)}}(t) = P_{{[i]}}^{{(l)}}(t)$. Будем считать, что $P_{i}^{{(0)}}(t) \equiv {{P}_{i}}(t)$. Для полиномов $P_{i}^{{(l)}}(t)$ верно равенство [15, лемма 7] где следует считать, что $P_{0}^{{(l)}}(t) = 1$, $P_{1}^{{(l)}}(t) = t - l$. Кроме того, полиномы ${{P}_{i}}(t)$ и $P_{i}^{{(1)}}(t)$ удовлетворяют рекуррентным равенствам [15, лемма 4 и (36)] и ${{P}_{{i + 1}}}(t) = tP_{i}^{{(1)}}(t)$, $i \in \mathbb{N}$.

Линейную оболочку бесконечной системы полиномов ${\text{\{ }}P_{m}^{{(l)}}(t),P_{{m + 1}}^{{(l)}}(t),P_{{m + 2}}^{{(l)}}(t),\; \ldots {\text{\} }}$, начинающейся с полинома $P_{m}^{{(l)}}(t)$ при $m \in \mathbb{N}$, обозначим через $\mathcal{L}_{m}^{{(l)}}$, т.е.

Коэффициенты полиномов ${{P}_{i}}(t)$, $l \in \mathbb{N}$ (у них нет свободных членов) поместим слева направо от 1 до $i$ в порядке возрастания индекса в $i$-ю строку следующего целочисленного треугольника [16], который назовем треугольником Неймана, поскольку он играет важную роль в исследовании задач ${{\mathcal{N}}_{k}}$,

где $p_{j}^{{(i)}}$ при $1 \leqslant j \leqslant i$, $i \in \mathbb{N}$ – элемент $i$-й строки треугольника Неймана $\mathbb{P}$, стоящий на $j$-м месте слева, и $p_{1}^{{(1)}} = 1$ – начальное условие, а $p_{j}^{{(i)}} = 0$ при $j > i$ и $0 \geqslant j$ – граничные условия для приведенного рекуррентного уравнения. Доказано, что верно равенство и установлено, что степень полинома ${{P}_{i}}(t)$ равна $i$, а низшая степень одночленов, входящих в ${{P}_{i}}(t)$, равна 1. В силу определения ${{P}_{i}}(t)$ и факториального многочлена верно равенство где ${{t}^{{[i]}}} = t(t - 1) \ldots (t - i + 1)$ – факториальная степень $t$, а есть обобщенный символом Похгаммера [6] с соглашением ${{(a,b)}_{0}} = 1$. Очевидно, что ${{t}^{{[i]}}} = {{(t, - 1)}_{i}}$. В соответствии с треугольником Неймана $\mathbb{P}$ из (2.5) несколько полиномов ${{P}_{i}}(t)$ можно записать в явном виде

Пусть

тогда для коэффициентов $a_{j}^{{(i,l)}}$ верно следующее рекуррентное равенство [15, лемма 5] где $a_{0}^{{(1,l)}} = - l$, $a_{1}^{{(1,l)}} = 1$ – начальные условия и $a_{j}^{{(i,l)}} = 0$ при $j > i$ и $0 > j$ – граничные условия. Исходя из этого нетрудно написать первые четыре полинома $P_{i}^{{(l)}}(t)$, $l \in {{\mathbb{N}}_{0}}$. Они имеют вид

Полиномы $P_{i}^{{(l)}}(t)$ играют важную роль в полученных ниже результатах. В работе [15, следствие 3] на основании результатов из [17] установлено следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть $m$-гармоническая в $S$ функция $u \in {{C}^{p}}(\bar {S})$ удовлетворяет на $\partial S$ равенствам

где ${{Q}_{i}}(t)$ – некоторые полиномы над $\mathbb{R}$ и $p = ma{{x}_{i}}deg{{Q}_{i}}(t)$. Тогда, еслито функции ${{\varphi }_{1}}(s),\; \ldots ,\;{{\varphi }_{q}}(s)$ должны удовлетворять равенствамгде $r = dim\mathcal{L}_{Q}^{{(l)}}$, числа $\alpha _{i}^{{(j)}}$ таковы, что полиномы ${{S}_{j}}(t) = \sum\nolimits_{i = 1}^q {\alpha _{i}^{{(j)}}} {{Q}_{i}}(t)$ при $j = 1,\; \ldots ,\;r$ образуют базис в $\mathcal{L}_{Q}^{{(l)}}$, а ${{H}_{l}}(x)$ – произвольный однородный гармонический полином степени $l$.

Следствие 1. Если в условиях леммы 1

то для функций ${{\varphi }_{i}}(s)$ должно быть выполнено равенство

Доказательство. Действительно, если полиномы ${{R}_{j}}(t) = \sum\nolimits_{i = 1}^q {\alpha _{i}^{{(j)}}} {{Q}_{i}}(t)$ при $j = 1,\; \ldots ,\;r$ образуют базис в $\mathcal{L}_{Q}^{{(l)}}$ и $R(t) = \sum\nolimits_{j = 1}^r {{{\beta }_{j}}} {{R}_{j}}(t) \in \mathcal{L}_{Q}^{{(l)}}$, то по свойству базиса

и, значит, что доказывает (2.9).

Кроме этого, воспользуемся еще одним утверждением из [15, теорема 5], которое основано на рекуррентных равенствах (2.2) и (2.3).

Лемма 2. Пусть $l \in \mathbb{N}$ и ${{P}_{i}}(t) \equiv P_{i}^{{(0)}}(t)$, тогда имеет место равенство

и с учетом (2.3) имеем

3. ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ

Исследуем необходимые условия разрешимости вида (2.9) для класса задач ${{\mathcal{N}}_{k}}$, $k \in \mathbb{N}$, для однородного полигармонического уравнения.

Теорема 1. Пусть $f(x) = 0$ и функции ${{\varphi }_{i}}(s)$ при $i = 1,2,\; \ldots ,\;m$ такие, что решение $u(x)$ задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ для однородного полигармонического уравнения (1.1) существует и оно такое, что $u \in {{C}^{{k + m - 1}}}(\bar {S})$. Тогда, при всяком $l \in {{\mathbb{N}}_{0}}$ таком, что $l < k$ должны быть выполнены следующие условия ортогональности:

где ${{\lambda }_{0}} = [(k - l){\text{/}}2]$, ${{H}_{l}}(x)$ – произвольный однородный гармонический полином степени $l$, $p_{j}^{{(i)}}$ – коэффициенты полинома ${{P}_{i}}(t)$ из (2.5), имеющие вид (2.6),

Число условий (3.1) при $l < k$ равно

В формулировке теоремы 1 следует иметь в виду следующее общепринятое соглашение для формул с индексами: если в формуле нижняя граница области изменения индекса становится больше верхней границы, то эту формулу не следует принимать в расчет. Например, первая формула в (3.1) действительна при $k > l$ и $[(k - l){\text{/}}2] + 1 \leqslant m$, а вторая при $k > m + l$.

Доказательство. Зафиксируем число $k \in \mathbb{N}$, которое назовем индексом задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ и пусть решение этой задачи существует. Применим к задаче ${{\mathcal{N}}_{k}}$ леммы 1 и 2. Условия (1.2) представим в виде (2.8). Для этого положим ${{Q}_{i}}(t) = {{t}^{{k + i - 1}}}$ при $i = 1,\; \ldots ,\;m$ и $q = m$. Кроме того, обозначим

Поскольку полиномы из ${{\mathcal{D}}_{k}}$ имеют максимальную степень $m + k - 1$, то

${{1}^{0}}$. Пусть $k \leqslant l$. Докажем вспомогательное утверждение.

Лемма 3. При $k \leqslant l$ верно равенство $\mathcal{L}_{{{{N}_{k}}}}^{{(l)}} = {\text{\{ }}0{\text{\} }}$.

Доказательство. Пусть при некоторых ${{\alpha }_{m}},\; \ldots ,\;{{\alpha }_{{k + m - 1}}} \in \mathbb{R}$

Применим к полиному ${{\hat {P}}_{{k + m - 1}}}(t)$ преобразование $\Phi $ из (2.1). Тогда получим

и, значит, полином ${{\hat {P}}_{{[k + m - 1]}}}(t)$ должен иметь корни $0,1,\; \ldots ,\;k - 1$. В силу равенства $P_{{[i]}}^{{(l)}}(t) = H_{i}^{{(l)}}(t) = {{(t - l, - 2)}_{i}}$ будем иметь

Отсюда следует, что коэффициенты ${{\alpha }_{m}},\; \ldots ,\;{{\alpha }_{{k + m - 1}}}$ должны удовлетворять следующей системе однородных уравнений:

Обозначим определитель этой системы ${{\Delta }_{k}}$ и вычислим его. Тогда поскольку ${{(a,b)}_{{i + j}}} = {{(a,b)}_{i}}{{(a + ib)}_{j}}$ будем иметь

Пусть $\lambda = - l - 2k$ и ${{C}_{k}} = {{( - l, - 2)}_{m}}{{(1 - l, - 2)}_{m}} \ldots {{(k - 1 - l, - 2)}_{m}} \ne 0$. Тогда

Умножим $(k - 1)$-й столбец определителя на $\lambda - 2(k - 2)$ и вычтем его из k-го столбца, затем $(k - 2)$-й столбец определителя умножим на $\lambda - 2(k - 3)$ и вычтем его из $(k - 1)$-го столбца и т.д. и наконец умножим первый столбец на $\lambda $ и вычтем его из $2$-го столбца, затем разложим полученный определитель по первой строке и вынесем из $i$-й строки полученного определителя $i$

Полученный определитель отличается от предыдущего заменой $\lambda + 1$ на $\lambda $ и уменьшением размерности на 1, а поэтому по индукции

Поэтому при $k \leqslant l$ система (3.3) имеет только нулевое решение ${{\alpha }_{m}} = \ldots = {{\alpha }_{{k + m - 1}}} = 0$, а значит, ${{\hat {P}}_{{k + m - 1}}}(t) = 0$ и лемма доказана.

Из леммы 3 следует, что задача ${{\mathcal{N}}_{k}}$ при $k \leqslant l$ не имеет необходимых условий разрешимости вида (2.9).

${{2}^{0}}$. Пусть $l + 1 \leqslant k \leqslant m + l$ или $1 \leqslant k - l \leqslant m$. Рассмотрим сначала случай $k = l + 1$. Заметим, что множество $\mathcal{L}_{m}^{{(l)}}$ из (2.4), в силу леммы 2, можно находить также по формулам (2.10) и (2.11), которые, как нетрудно видеть, можно единообразно записать в виде

где ${{\theta }_{l}} = 0$, если $l$ четное и ${{\theta }_{l}} = 1$, если $l$ нечетное.

Следствие 2. Нетривиальная линейная комбинация $l$ полиномов вида

при четном $l$ и полиномов вида при нечетном $l$ не может иметь $t = 0$ нулем $l$-го порядка.

Действительно, из рекуррентных равенств (2.2), (2.3) и леммы 3 при $k = 2[l{\text{/}}2] = l$, когда $l$ четное следует, что если

то $\mathop {\hat {\alpha }}\nolimits_0 = \ldots = {{\hat {\alpha }}_{{2[l/2] - 1}}} = 0 \Rightarrow {{\alpha }_{0}} = \ldots = {{\alpha }_{{2[l/2] - 1}}} = 0$. Аналогичное утверждение верно, когда $l$ нечетное. В этом случае $k = 2[l{\text{/}}2] + 1 = l$. Следствие доказано.

Пусть $l$ четное. Поскольку полиномы из ${{\mathcal{D}}_{k}}$ имеют максимальную степень $m + k - 1$, то из (3.4) найдем

Далее, нетрудно заметить, что

поскольку, как отмечалось в разд. 2, степень полинома ${{P}_{m}}(t)$ равна $m$, а низшая степень одночленов, входящих в ${{P}_{m}}(t)$, равна 1. Теперь воспользуемся следствием 2. Так как линейные комбинации первых $l$ полиномов из (3.5) не могут входить в ${{\mathcal{D}}_{{l + 1}}}$, то будем иметь

Если $l$ нечетное, тогда аналогично случаю четного $l$ имеем

В силу того, что по следствию 2 линейные комбинации первых $l$ полиномов выше не могут входить в ${{\mathcal{D}}_{{l + 1}}}$ и поскольку

то будем иметь равенство, аналогичное случаю четного $l$

В силу полученного равенства по следствию 1 должно выполняться условие

где $p_{i}^{{(m)}}$ – коэффициенты полинома ${{P}_{m}}(t)$, имеющие вид (2.6).

Пусть $1 \leqslant k - l \leqslant m$. Как показано выше, в цепочке полиномов из (3.4) при любом $l$ встретится полином вида ${{t}^{l}}{{P}_{m}}(t)$. Поэтому, учитывая структуру полиномов из (3.4), в силу следствия 2, и, учитывая, что $k + m - 1 \leqslant 2m + l - 1$, запишем

Например, полином из (3.4), следующий в цепочке за ${{t}^{l}}{{P}_{m}}(t)$, в случае четного $l$ будет ${{t}^{{l + 2}}}{{P}_{{m - 1}}}(t)$, а в случае нечетного $l$ имеет такой же вид ${{t}^{{2[l/2] + 4}}}P_{{m - 2}}^{{({{\theta }_{l}})}}(t) = {{t}^{{l + 3}}}P_{{m - 2}}^{{(1)}}(t) = {{t}^{{l + 2}}}{{P}_{{m - 1}}}(t)$. Поэтому найдем все полиномы вида ${{t}^{{l + 2\lambda }}}{{P}_{{m - \lambda }}}(t)$, где $0 \leqslant \lambda \leqslant m - 1$ из линейной оболочки выше, которые входят также и в ${{\mathcal{D}}_{k}}$. Низшая степень одночленов, входящих в ${{t}^{{l + 2\lambda }}}{{P}_{{m - \lambda }}}(t)$ равна $l + 2\lambda + 1$, а старшая степень этих одночленов равна $l + 2\lambda + m - \lambda = l + \lambda + m$. Поэтому, если выполнены неравенства $l + 2\lambda + 1 < k$ или $k + m - 1 < l + \lambda + m$, что эквивалентно $k - 1 < l + \lambda $, то полином ${{t}^{{l + 2\lambda }}}{{P}_{{m - \lambda }}}(t)$ не может быть линейной комбинацией одночленов из ${{\mathcal{D}}_{k}}$, а значит, не может входить в ${{\mathcal{D}}_{k}}$. Поэтому условие принадлежности полинома ${{t}^{{l + 2\lambda }}}{{P}_{{m - \lambda }}}(t)$ множеству ${{\mathcal{D}}_{k}}$ имеет вид $l + 2\lambda + 1 \geqslant k$ и $k + m - 1 \geqslant l + \lambda + m$ или $l + \lambda \leqslant k - 1 \leqslant l + 2\lambda $, где $0 \leqslant \lambda \leqslant m - 1$, т.е.

${{2.1}^{0}}$. Пусть индекс $k$ еще такой, что $[(k - l){\text{/}}2] \leqslant m - 1$, где $[a]$ – целая часть числа $a$. Тогда обозначим ${{\lambda }_{0}} = [(k - l){\text{/}}2]$. При таком $\lambda = {{\lambda }_{0}}$ верно неравенство $k - l - 1 \leqslant 2{{\lambda }_{0}} = 2[(k - l){\text{/}}2]$ (при нечетном $k - l$ имеем равенство, а при четном $k - l$ – неравенство), а также справедливо другое неравенство ${{\lambda }_{0}} = [(k - l){\text{/}}2] \leqslant k - l - 1$. Следовательно, условия из (3.7) выполнены. Поэтому при ${{\lambda }_{0}} = [(k - l){\text{/}}2]$ полином

входит в ${{\mathcal{D}}_{k}}$. Если рассмотреть значение $\lambda = {{\lambda }_{0}} - 1 = [(k - l)/2] - 1$, то верно неравенство $k - l - 1 > 2\lambda = 2[(k - l){\text{/}}2] - 2$, или эквивалентное ему неравенство $k - l + 1 > 2[(k - l){\text{/}}2]$, т.е. условия (3.7) не выполнены, а значит, полином ${{t}^{{l + 2{{\lambda }_{0}} - 2}}}{{P}_{{m - {{\lambda }_{0}} + 1}}}(t)$ не входит в ${{\mathcal{D}}_{k}}$. Таким образом, если двигаться по системе полиномов из (3.6) слева направо, то полином будет первым полиномом из этой системы, принадлежащим ${{\mathcal{D}}_{k}}$. Полином ${{t}^{{l + 2{{\lambda }_{0}}}}}{{P}_{{m - {{\lambda }_{0}}}}}(t)$ возьмем первым полиномом для базиса в $\mathcal{L}_{{{{\mathcal{N}}_{k}}}}^{{(l)}}$. При $k = l$ получаем ${{\lambda }_{0}} = 0$. Найдем коэффициенты $\alpha _{i}^{{(l)}}$ из (2.9) для полинома ${{t}^{{l + 2{{\lambda }_{0}}}}}{{P}_{{m - {{\lambda }_{0}}}}}(t)$. Поскольку ${{Q}_{i}}(t) = {{t}^{{k + i - 1}}}$ при $i = 1,\; \ldots ,\;m$, то рассмотрим равенство где $p_{i}^{{(m - {{\lambda }_{0}})}}$ – коэффициенты полинома ${{P}_{{m - {{\lambda }_{0}}}}}(t)$. По построению ${{t}^{{i + l + 2{{\lambda }_{0}}}}} \in {{\mathcal{D}}_{k}}$ при $i = 1,\; \ldots ,\;m - {{\lambda }_{0}}$. Поэтому (3.8) и есть представление первого базисного полинома из $\mathcal{L}_{{{{\mathcal{N}}_{k}}}}^{{(l)}}$. Если обозначить $\delta = 2{{\lambda }_{0}} - k + l + 1$ и $\sigma = k - l - {{\lambda }_{0}} - 1$, то, полагая $j = i + 2{{\lambda }_{0}} - k + l + 1$ в (3.8), получaeм

Поэтому, согласно следствию 1, первое условие вида (2.9) можно записать в виде

Построим другие линейно независимые полиномы, входящие во множество $\mathcal{L}_{{{{\mathcal{N}}_{k}}}}^{{(l)}}$. Рассмотрим полиномы вида ${{t}^{{l + 2\lambda }}}{{P}_{{m - \lambda }}}(t)$ при ${{\lambda }_{0}} \leqslant \lambda \leqslant m - 1$. Согласно (3.7) такие полиномы будут принадлежать множеству ${{\mathcal{D}}_{k}}$, если $\lambda \leqslant k - l - 1 \leqslant 2\lambda $. Поскольку правое неравенство выполнено при ${{\lambda }_{0}} \leqslant \lambda $, то остается условие $\lambda \leqslant k - l - 1$. Очевидно, что справедливо равенство, аналогичное (3.8)

где $p_{i}^{{(m - \lambda )}}$ – коэффициенты полинома ${{P}_{{m - \lambda }}}(t)$. Аналогично предыдущему случаю, если воспользоваться обозначениями (3.2) ${{\delta }_{\lambda }} = 2\lambda - k + l + 1$ и ${{\sigma }_{\lambda }} = k - l - \lambda - 1$, то получим

Следовательно, в соответствии с замечанием 1, условие вида (2.9) с номером $\lambda $, в предположении, что $\lambda \leqslant k - l - 1$ и ${{\lambda }_{0}} \leqslant \lambda \leqslant m - 1$ или в эквивалентном виде ${{\lambda }_{0}} \leqslant \lambda \leqslant min{\text{\{ }}k - l,m{\text{\} }} - 1$ можно записать в виде

Наконец, так как в рассматриваемом случае $min{\text{\{ }}k - l,m{\text{\} }} = k - l$, то при $\lambda \leqslant k - l - 1$ неравенство $\lambda \leqslant m - 1$ тоже выполнено и мы имеем $k - l - {{\lambda }_{0}}$ условий вида (3.9) при $\lambda = {{\lambda }_{0}},\; \ldots ,\;k - l - 1$.

${{3}^{0}}$. Пусть $m < k - l$ и, значит, $min{\text{\{ }}k - l,m{\text{\} }} = m$. Тогда мы имеем $m - {{\lambda }_{0}}$ условий вида (3.9) при $\lambda = {{\lambda }_{0}},\; \ldots ,\;m - 1$, но будут еще и другие условия такого же вида. Вернемся к условию (3.7) и рассмотрим случай, когда $\lambda \leqslant k - l - 1$ (это обязательное условие для включения полинома ${{t}^{{l + 2\lambda }}}{{P}_{{m - \lambda }}}(t)$ в $\mathcal{L}_{{{{\mathcal{N}}_{k}}}}^{{(l)}}$), но когда неравенство $0 \leqslant \lambda \leqslant m - 1$ не выполнено, т.е. $m \leqslant \lambda \leqslant k - l - 1$. В этом случае полином ${{P}_{{m - \lambda }}}(t)$ не определен, но, как нетрудно заметить, из (3.4) следует

и, значит, при $m \leqslant \lambda $ вместо полинома ${{t}^{{l + 2\lambda }}}{{P}_{{m - \lambda }}}(t)$ в $\mathcal{L}_{m}^{{(l)}}$ входит одночлен вида ${{t}^{{l + m + \lambda }}}$, который также принадлежит ${{\mathcal{D}}_{k}}$ при $\lambda \leqslant k - l - 1$. Следовательно, этот одночлен принадлежит $\mathcal{L}_{{{{\mathcal{N}}_{k}}}}^{{(l)}}$, когда $m \leqslant \lambda \leqslant k - l - 1$. Поэтому условие ортогональности вида (2.9) при $\lambda $, удовлетворяющем условию $m \leqslant \lambda \leqslant k - l - 1$, можно записать в виде или при $i = m + \lambda - k + l + 1$ в виде

Таких условий будет $k - l - m$. В итоге, если $m < k - l$, то будем иметь также $(m - {{\lambda }_{0}}) + (k - l - m) = k - l - {{\lambda }_{0}}$ условий ортогональности вида (3.1).

${{4}^{0}}$. Наконец, рассмотрим случай, когда ${{\lambda }_{0}} = [(k - l){\text{/}}2] \geqslant m$. В этом случае $k - l \geqslant 2[(k - l){\text{/}}2] \geqslant 2m$ и, значит, любой полином вида ${{t}^{{l + 2\lambda }}}{{P}_{{m - \lambda }}}(t)$ при $0 \leqslant \lambda \leqslant m - 1$ не имеет одночленов, входящих в ${{\mathcal{D}}_{k}} = lin\{ {{t}^{k}},\;{{t}^{{k + 1}}},\; \ldots ,\;{{t}^{{m + k - 1}}}\} $, а значит, в силу (3.4) имеем ${{\mathcal{D}}_{k}} \subset \mathcal{L}_{m}^{{(l)}}$. Поэтому будем иметь только условия ортогональности вида (3.11)

Обе полученные формулы (3.9) и (3.11) можно объединить в форме (3.1) и общее число найденных условий при $l < k$ равно ${{N}_{{m,k,l}}} = min{\text{\{ }}k - l - {{\lambda }_{0}},m{\text{\} }}$.

Теперь заметим, что при $k - l < m$, согласно (6.4), полиномы вида

являются образующими полиномами из $\mathcal{L}_{m}^{{(l)}}$, принадлежащими также ${{\mathcal{D}}_{k}}$. Они являются линейно независимыми полиномами, поскольку имеют возрастающие степени по $\lambda $. Более того, никакой другой образующий полином из $\mathcal{L}_{m}^{{(l)}}$ не может входить в ${{\mathcal{D}}_{k}}$: либо его степень выше $m + k - 1$, либо наименьшая степень его одночленов меньше $k$. Поэтому полиномы из (3.12) являются базисом в $\mathcal{L}_{{{{\mathcal{N}}_{k}}}}^{{(l)}}$, а значит, формула (3.1) описывает все интегральные условия для данных задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$, вытекающие из леммы 1. Теорема доказана.

Замечание 1. В краевых задачах для полигармонического уравнения на порядок производных в граничных условиях накладывается ограничение (порядок производных на границе меньше порядка уравнения) [2], которое для задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ можно записать в виде $k + m - 1 \leqslant 2m - 1$ или $k \leqslant m$. В теореме 1 таких ограничений нет.

Замечание 2. Если из элементов $k$-й строки треугольника Неймана $\mathbb{P}$ составить следующий вектор ${{\mathbb{P}}_{k}} = (p_{1}^{{(k)}},\; \ldots ,\;p_{k}^{{(k)}})$, в котором опущен свободный член, равный нулю, и обозначить

где верхний индекс последнего вектора указывает сдвиг начального индекса вектора $\mathbb{F}(s)$ на ${{\delta }_{\lambda }}$ позиций вправо, а нижний индекс последнего вектора указывает сдвиг конечного индекса вектора $\mathbb{F}(s)$ на ${{\sigma }_{\lambda }}$ позиций влево, то равенство (3.9) можно переписать в виде

Замечание 3. Нетрудно заметить, что при $f = 0$ условия ортогональности (3.1) для задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ совпадают с условиями ортогональности (3.1) для задачи ${{\mathcal{N}}_{{k - l}}}$, но при $l = 0$ за исключением полиномиального множителя и верно равенство ${{N}_{{m,k,l}}} = {{N}_{{m,k - l,0}}}$.

Предположение 1. Набор из

необходимых условий (3.1) разрешимости задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$, полученных из теоремы 1 при $l = 0,\; \ldots ,\;k - 1$, является и достаточным условием разрешимости задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$. Более компактная формула для ${{N}_{{m,k}}}$ приведена в теореме 4.

4. ПРИМЕРЫ

Выпишем динамику возникновения необходимых условий разрешимости задач ${{\mathcal{N}}_{k}}$ для однородного $7$-гармонического уравнения при различных $k \in \mathbb{N}$

В нашем  случае $m = 7$.  Учитывая  замечание 3  рассмотрим  случай $l = 0$. В соответствии с (3.2) имеем ${{N}_{{7,k,0}}} = min{\text{\{ }}k - {{\lambda }_{0}},7{\text{\} }}$ условий (3.1)  с  коэффициентами полиномов ${{P}_{{7 - \lambda }}}(t)$ из  (2.6) при ${{\lambda }_{0}} \leqslant \lambda \leqslant min{\text{\{ }}k,7{\text{\} }} - 1$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda - k + 2$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = 8 + \lambda - k$, ${{\lambda }_{0}} = [k{\text{/}}2]$ и $max{\text{\{ }}2m + l - k,0{\text{\} }} + 1 \leqslant i \leqslant m$, когда $k > m$.

При $k = 1$ получаем ${{\lambda }_{0}} = 0$ и ${{N}_{{7,1,0}}} = 1$ условие при $0 \leqslant \lambda \leqslant 0$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda + 1$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = 7 + \lambda $,

При $k = 2$ получаем ${{\lambda }_{0}} = 1$ и ${{N}_{{7,2,0}}} = 1$ условие при $1 \leqslant \lambda \leqslant 1$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda $, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = 6 + \lambda $,

При $k = 3$ получаем ${{\lambda }_{0}} = 1$ и ${{N}_{{7,3,0}}} = 2$ условия при $1 \leqslant \lambda \leqslant 2$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda - 1$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = 5 + \lambda $,

При $k = 4$ получаем ${{\lambda }_{0}} = 2$ и ${{N}_{{7,4,0}}} = 2$ условия при $2 \leqslant \lambda \leqslant 3$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda - 2$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = 4 + \lambda $,

При $k = 5$ получаем ${{\lambda }_{0}} = 2$ и ${{N}_{{7,5,0}}} = 3$ условия при $2 \leqslant \lambda \leqslant 4$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda - 3$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = 3 + \lambda $,

При $k = 6$ получаем ${{\lambda }_{0}} = 3$ и ${{N}_{{7,6,0}}} = 3$ условия при $3 \leqslant \lambda \leqslant 5$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda - 4$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = 2 + \lambda $,

При $k = 7$ получаем ${{\lambda }_{0}} = 3$ и ${{N}_{{7,7,0}}} = 4$ условия при $3 \leqslant \lambda \leqslant 6$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda - 5$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = 1 + \lambda $,

При $k = 8$ получаем ${{\lambda }_{0}} = 4$ и ${{N}_{{7,8,0}}} = 4$ условия при $4 \leqslant \lambda \leqslant 6$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda - 6$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = \lambda $ и $7 \leqslant i \leqslant 7$

При $k = 9$ получаем ${{\lambda }_{0}} = 4$ и ${{N}_{{7,9,0}}} = 5$ условий при $4 \leqslant \lambda \leqslant 6$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda - 7$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = \lambda - 1$ и $6 \leqslant i \leqslant 7$

При $k = 10$ получаем ${{\lambda }_{0}} = 5$ и ${{N}_{{7,10,0}}} = 5$ условий при $5 \leqslant \lambda \leqslant 6$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda - 8$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = \lambda - 2$ и $5 \leqslant i \leqslant 7$

При $k = 11$ получаем ${{\lambda }_{0}} = 5$ и ${{N}_{{7,11,0}}} = 6$ условий при $5 \leqslant \lambda \leqslant 6$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda - 9$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = \lambda - 3$ и $4 \leqslant i \leqslant 7$

При $k = 12$ получаем ${{\lambda }_{0}} = 6$ и ${{N}_{{7,12,0}}} = 6$ условий при $6 \leqslant \lambda \leqslant 6$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda - 10$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = \lambda - 4$ и $3 \leqslant i \leqslant 7$

При $k = 13$ получаем ${{\lambda }_{0}} = 6$ и ${{N}_{{7,13,0}}} = 7$ условий при $6 \leqslant \lambda \leqslant 6$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda - 11$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = \lambda - 5$ и $2 \leqslant i \leqslant 7$

При $k \geqslant 14$, согласно замечанию после теоремы 1, поскольку условие $[k{\text{/}}2] + 1 \leqslant 7$ не выполнено, то необходимые условия задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ нужно брать только из второй формулы (3.1) и их будет ${{N}_{{7,k,0}}} = 7$

Наконец, из приведенного выше анализа, учитывая замечание 3, нетрудно получить все необходимые условия разрешимости, например, задачи ${{\mathcal{N}}_{3}}$ для однородного $7$-гармонического уравнения, даваемые теоремой 1: ${{\mathcal{N}}_{3}}$ при $l = 0$, ${{\mathcal{N}}_{3}}$ при $l = 1$ $ \sim {{\mathcal{N}}_{2}}$ при $l = 0$ и ${{\mathcal{N}}_{3}}$ при $l = 2$ $ \sim {{\mathcal{N}}_{1}}$ при $l = 0$

где коэффициенты $p_{j}^{{(i)}}$ находятся из (2.6), а ${{H}_{l}}(x)$ – произвольный однородный гармонический полином степени $l$.

5. НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ

Рассмотрим задачу ${{\mathcal{N}}_{k}}$ для неоднородного уравнения (1).

Пусть $f \in {{C}^{1}}(\bar {S})$ и $f(x) \ne 0$. Рассмотрим объемный потенциал $V[f](x)$ с плотностью $f(x)$

где $E(x,\xi ) = {{(n - 2)}^{{ - 1}}}{{\left| {\xi - x} \right|}^{{2 - n}}}$ ($n > 2$) – элементарное решение уравнения Лапласа, а ${{\omega }_{n}}$ – площадь единичной сферы в ${{\mathbb{R}}^{n}}$. Пусть Известно, что $f \in {{C}^{1}}(\bar {S}) \Rightarrow V[f] \in {{C}^{1}}(\bar {S}) \cap {{C}^{2}}(S)$ и $\Delta V[f] = f$ в $S$ [3], а поэтому ${{V}_{m}}[f] \in {{C}^{1}}(\bar {\Omega })$ и ${{\Delta }^{m}}{{V}_{m}}[f] = f$. Предположим, что решение $u(x)$ задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ существует. Представим это решение задачи (1.1), (1.2) в виде суммы $u(x) = {{V}_{m}}[f] + w(x)$. Тогда будем иметь и, значит, относительно $w(x)$ получаем следующую задачу: где обозначено при $i = 1,\; \ldots ,\;m$. Условия разрешимости полученной задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ для однородного уравнения, согласно теореме 1, при $l < k$ имеют вид где ${{\lambda }_{0}} \leqslant \lambda \leqslant min{\text{\{ }}k - l,m{\text{\} }} - 1$ и где $max{\text{\{ }}2m + l - k,0{\text{\} }} + 1 \leqslant i \leqslant m$.

Рассмотрим однородный оператор $\Lambda = \sum\nolimits_{i = 1}^n {{{x}_{i}}} \tfrac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}$. В силу справедливости на $\partial S$ равенства [19]

с учетом (3.2), полученные выше условия при ${{\lambda }_{0}} \equiv [(k - l){\text{/}}2] \leqslant \lambda \leqslant min{\text{\{ }}k - l,m{\text{\} }} - 1$ можно переписать в виде а если $k > m + l$, то к этим условиям добавляются еще условия вида где $max{\text{\{ }}2m + l - k,0{\text{\} }} + 1 \leqslant i \leqslant m$. Если рассмотреть многочлен который, как показано выше, принадлежит $\mathcal{L}_{{{{\mathcal{N}}_{k}}}}^{{(l)}}$ и отображение $\Phi $ из (2.1), то условие (5.1) можно переписать в виде

Поэтому целесообразно ввести следующий функционал:

очевидно являющийся линейным по $f$.

Лемма 4. Пусть $0 \leqslant \lambda \leqslant m - 1$ и $l \in {{\mathbb{N}}_{0}}$, тогда

где отображение $\Phi $ определено в (2.1), а ${{(a,b)}_{m}}$ – обобщенный символ Похгаммера.

Доказательство. Докажем сначала формулу

Пусть $l = 0$. Проведем индукцию по $\lambda $. При $\lambda = 0$ согласно (2.7) имеем $\Phi [{{P}_{m}}(t)] = {{(t, - 2)}_{m}}$. В предположении верности (5.5) при $0 \leqslant \lambda < m - 1$ с помощью (2.3) и (2.7) найдем

Шаг индукции доказан, а вместе с ним случай $l = 0$. Пусть $l = 1$. Опять воспользуемся индукцией по $\lambda $. При $\lambda = 0$ согласно (2.3) имеем

что совпадает с (5.5) при $l = 1$ и $\lambda = 0$. В предположении верности (5.5) при $0 \leqslant \lambda < m - 1$ с помощью (2.3) найдем

Пусть теперь $l = 2l{\text{'}}$, $l{\text{'}} \in {{\mathbb{N}}_{0}}$. Тогда нетрудно получить (5.5) в четном случае

Аналогично при $l = 2l{\text{'}} + 1$ будем иметь (5.5) в нечетном случае

Формула (5.5) доказана. Преобразуем ее. Нетрудно видеть, что (5.5) можно переписать в едином виде:

где ${{\theta }_{l}} = 0$, если $l$ четное и ${{\theta }_{l}} = 1$, если $l$ нечетное. Теперь докажем, что а значит, учитывая предыдущее равенство, (5.4) будет доказано. Действительно, если $l = 2l{\text{'}}$, то имеем а если $l = 2l{\text{'}} + 1$, то

Лемма доказана.

Используя лемму 4, функционал ${{I}_{\lambda }}(f)$ можно переписать в виде

где обозначено а условие (5.3) примет вид

Это условие действительно, когда ${{\lambda }_{0}} \equiv [(k - l){\text{/}}2] \leqslant \lambda \leqslant m - 1$.

Замечание 4. Пусть $k > m + l$. В этом случае в условиях ортогональности (5.2) возникает полином ${{t}^{{[k + i - 1]}}}$, где $i = max{\text{\{ }}2m - k + l,0{\text{\} }} + 1,\; \ldots ,\;m$. Тогда поскольку

где обозначено то условия ортогональности (5.2) можно записать в виде при $i = max{\text{\{ }}2m - k + l,0{\text{\} }} + 1,\; \ldots ,\;m$. Из формул выше видно, что

6. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ПРАВАЯ ЧАСТЬ

Пусть функция $f(x)$ из уравнения (1.1) – полином. Согласно формуле Альманси полином $f(x)$ всегда можно записать в виде

где $H_{s}^{{(r)}}(x)$ – однородные гармонические полиномы степени $s$. В качестве таких полиномов можно взять ортонормальную систему гармонических полиномов из [18]. Для вычисления потенциала $V[f](x)$ воспользуемся теоремой 13 из [19].

Теорема 2. Пусть полином $f(x)$ записан в виде (6.1), тогда справедливо равенство

На основании этой теоремы докажем следующее утверждение.

Теорема 3. Если полином $f(x)$ записан в виде (6.1) и $[(k - l){\text{/}}2] + 1 \leqslant m$, то функционал ${{I}_{\lambda }}(f)$ имеет вид

где $\left[ {(k - l){\text{/}}2} \right] \leqslant \lambda \leqslant m - 1$ и $({{H}_{l}},{{H}_{s}}) = \int_{\partial S} {{{H}_{l}}(x)} {{H}_{s}}(x)d{{s}_{x}}$.

Доказательство. Предположим сначала, что $f(x)$ – полином специального вида $f(x) = {{H}_{{r,s}}}(x) = {{\left| x \right|}^{{2r}}}H_{s}^{{(r)}}(x)$, где $H_{s}^{{(r)}}(x)$ – однородный гармонический полином степени $s$. Из формулы (6.2) теоремы 2 вытекает, что для ${{H}_{{r,s}}}(x) = {{\left| x \right|}^{{2r}}}H_{s}^{{(r)}}(x)$ имеет место равенство

где ${{Q}_{{m - 1}}}({{\left| x \right|}^{2}})$ – некоторый полином степени $m - 1$ от ${{\left| x \right|}^{2}}$, конкретный вид которого не имеет значения. Для сокращения записей обозначим $R(t) = {{S}_{{l,\lambda }}}(t){{(t - l, - 2)}_{m}}$. Пусть $\alpha \in \mathbb{R}$. Поскольку для оператора $\Lambda $ верны равенства а $R(t)$ представляет собой произведение простых множителей, то и аналогично

Поэтому, используя (6.4), будем иметь

Следовательно, из (5.6) следует, что

Отсюда, при $s \ne l$, в силу ортогональности на $\partial S$ гармонических полиномов различной степени, получим ${{I}_{\lambda }}({{H}_{{r,s}}})(x) = 0$. Если $s = l$, то рассмотрим полином $R(\Lambda + s){{Q}_{{m - 1}}}({{\left| x \right|}^{2}})$. Пусть одночлен ${{q}_{i}}{{\left| x \right|}^{{2i}}}$, $0 \leqslant i \leqslant m - 1$, входит в ${{Q}_{{m - 1}}}({{\left| x \right|}^{2}})$. В соответствии с определением $R(t) = {{S}_{{l,\lambda }}}(t){{(t - l, - 2)}_{m}}$ будем иметь

поскольку $0 \leqslant i \leqslant m - 1$. Поэтому $R(\Lambda + s){{Q}_{{m - 1}}}({{\left| x \right|}^{2}}) = 0$, а значит, из (6.5) при $s = l$, аналогично предыдущему равенству, находим

Поскольку полином $f(x)$ из (6.1) является суммой полиномов вида ${{\left| x \right|}^{{2r}}}{{H}_{s}}(x)$ и функционал ${{I}_{\lambda }}(f)$ линеен, то суммируя функционалы ${{I}_{\lambda }}({{H}_{{r,s}}})$ по $r$ и $s$, получаем (6.3).

На основании этой теоремы установим необходимые условия существования решения задач Неймана ${{N}_{k}}$ для неоднородного полигармонического уравнения при полиномиальной правой части.

Теорема 4. Пусть $f(x)$ – полином и функции ${{\varphi }_{i}}(s)$ при $i = 1,2,\; \ldots ,\;m$ такие, что решение $u(x)$ задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ для уравнения (1.1) существует и $u \in {{C}^{{k + m - 1}}}(\bar {S})$. Тогда, при всяком $l \in {{\mathbb{N}}_{0}}$ таком, что $l < k$ должны быть выполнены следующие условия ортогональности:

где $p_{i}^{{(j)}}$ из треугольника $\mathbb{P}$, ${{\lambda }_{0}} = [(k - l){\text{/}}2]$, ${{\delta }_{\lambda }} = 2\lambda - k + l + 1$, ${{\sigma }_{\lambda }} = k - l - \lambda - 1$ и

Число условий (6.6) при $l < k$ равно

Доказательство. Пусть $u \in {{C}^{{k + m - 1}}}(\bar {S})$. Представим полином $f(x)$ в виде (6.1).

Рассмотрим случай ${{\lambda }_{0}} = [(k - l){\text{/}}2] \leqslant m - 1$. В силу теоремы 1 необходимые условия разрешимости задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ имеют вид (5.8). По теореме 3 функционал ${{I}_{\lambda }}(f)$ можно преобразовать к виду (6.3)

где для краткости обозначено ${{b}_{r}} = {{S}_{{l,\lambda }}}(2r + 2m + l)$. По лемме 2 из [15] имеем а значит, используя ортогональность на $\partial S$ гармонических полиномов различной степени, нетрудно получить

Подставляя в правую часть формулы (5.8) значение полученного функционала ${{I}_{\lambda }}(f)$, будем иметь первую формулу из (6.6)

где $\lambda = {{\lambda }_{0}},\; \ldots ,\;min{\text{\{ }}k - l,m{\text{\} }} - 1$ и ${{S}_{{l,\lambda }}}(t)$ находится из (5.7).

Далее, при $k > m$, согласно замечанию 4, возникают условия ортогональности (5.9)

где $i = max{\text{\{ }}2m - k + l,0{\text{\} }} + 1,\; \ldots ,\;m$ и $S_{{i + k - m - 1}}^{'}(t)$ находится из (5.10). Действуя с интегралом справа аналогично предыдущему случаю с заменой многочлена ${{S}_{{l,\lambda }}}(t)$ на многочлен $S_{{i + k - m - 1}}^{'}(t)$ (при выкладках конкретный вид ${{S}_{{l,a}}}(t)$ нигде не был использован) получаем где $i = max{\text{\{ }}2m - k + l,0{\text{\} }} + 1,\; \ldots ,\;m$.

Общее число условий ортогональности для заданного $k$ будет (см. теорему 1)

где было использовано равенство $k - l - {{\lambda }_{0}} = [(k - l + 1){\text{/}}2]$ и замена индекса суммирования $k - l \to l$. Если $k \leqslant 2m$, то нетрудно проверить, что а при $k \geqslant 2m$, что ${{N}_{{m,k}}} = {{N}_{{m,2m}}} + m(k - 2m) = m(k - m + 1)$. Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим задачу ${{\mathcal{N}}_{3}}$, исследованную в разд. 4, но для неоднородного $7$-гармонического уравнения, в котором $f(x)$ – полином

Очевидно, что $m = 7$, $k = 3$ и $l = 0,1,2$. Воспользуемся результатами вычислений из разд. 4 с учетом замечания 3. Число условий будет ${{N}_{{7,3}}} = [(3 + 1){\text{/}}2][(3 + 2){\text{/}}2] = 4$.

При $l = 0$ имеем ${{\lambda }_{0}} = 1$ и ${{N}_{{7,3,0}}} = 2$ условий при $1 \leqslant \lambda \leqslant 2$, где ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda - 1$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = 5 + \lambda $, ${{S}_{{0,1}}}(t) = {{(t, - 1)}_{0}}{{(t - 1, - 2)}_{1}} = t - 1$, ${{S}_{{0,2}}}(t) = {{(t - 1, - 2)}_{2}} = (t - 1)(t - 3)$

При $l = 1$ имеем ${{\lambda }_{0}} = 1$ и ${{N}_{{7,3,1}}} = 1$ условия при $1 \leqslant \lambda \leqslant 1$, где ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda $, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = 6 + \lambda $, ${{S}_{{1,1}}}(t) = {{(t, - 1)}_{1}}{{(t - 2, - 2)}_{1}} = t(t - 2)$

При $l = 2$ получаем ${{\lambda }_{0}} = 0$ и ${{N}_{{7,3,2}}} = 1$ условий при $0 \leqslant \lambda \leqslant 0$, где ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda + 1$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = 7 + \lambda $, ${{S}_{{2,0}}}(t) = {{(t, - 1)}_{2}}{{(t - 2, - 2)}_{0}} = t(t - 1)$

Итак, для разрешимости задачи (6.7) необходимо выполнение условий (6.8)–(6.11).