Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 4, стр. 676-686

1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящей статье изучается задача Коши о движении в вакууме конечной массы самогравитирующего по закону Ньютона идеального разреженного газа с переменной областью течения, ограниченного свободной поверхностью.

Исследованиями движений сплошной среды с учетом сил самогравитации занимались Дирихле, Дедекинд и Риман. Они изучали фигуры равновесия вращающейся идеальной сжимаемой жидкости. Затем данная теория получила развитие в работах выдающихся ученых А. Пуанкаре, Дж. Дарвина, Дж. Джинса, А.М. Ляпунова, Л. Лихтенштейна и др. [1]–[3]. Движение гравитирующего газового шара рассматривалось как модель звезд в работах и монографиях К.П. Станюковича [4], Л.И. Седова [5]. Движение газа в поле тяжести изучалось в работе А.Ф. Сидорова [6], в которой были построены точные решения установившегося плоскопараллельного изэнтропического течения газа с политропным уравнением состояния. В статье О.И. Богоявленского [7] рассмотрена динамика адиабатических движений гравитирующего идеального газа, при которых скорости являются линейными функциями координат и газ с постоянной плотностью заполняет некоторый эллипсоид. В работе С.Л. Дерябина, Н.П. Чуева [8] исследовались сферически-симметричные течения самогравитирующего идеального газа в вакуум и задача о распаде разрыва, построены точные решения начально-краевой задачи для нелинейной интегродифференциальной системы с частными производными в виде сходящихся степенных рядов. Теория математического моделирования динамики самогравитирующих газовых сред интенсивно развивается [9]–[11]. Данная работа является продолжением исследования автора [12] и разработкой методов доказательства существования и единственности решения задачи Коши для системы газовой динамики, описывающей эволюцию конечной массы самогравитирующего газа.

В связи с развитием космических исследований, особенно астрофизики, учеными стали интенсивно изучаться проблемы динамики разреженных газов. При этом в литературе рассматривались главным образом задачи, требующие кинетического описания [13]. В данной работе задача динамики разреженного газа изучается в рамках феноменологической математической модели газовой динамики [14], исследуется закон эволюции конечной массы газа и свободной границы. Система газовой динамики без давления или разреженного самогравитирующего газа описывает распределение вещества на космологических масштабах, течение сред, эволюцию материи только посредством гравитации. Задачи о движении газа со свободными границами в последние 50 лет стали объектом строгих математических исследований. Основные результаты в этом направлении получены М.А. Лаврентьевым, Л.В. Овсянниковым, В.И. Налимовым, В.В. Пухначевым, В.К. Андреевым и др. [15]–[18].

Система уравнений газовой динамики, описывающая движение разреженной среды в поле тяжести, является системой нелинейных интегродифференциальных уравнений [3]. Разработка теории нелинейных интегродифференциальных уравнений была начата А.М. Ляпуновым, Э. Шмидтом, А. Хаммерштейном, Л. Лихтенштейном. В течение последующего столетия появляется множество работ, посвященных исследованию интегродифференциальных уравнений. Некоторые результаты этих работ изложены в монографиях и обзорах [8]–[11] с приложением обширных библиографий по данной теме.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В работе рассматривается нестационарная задача со свободной поверхностью для системы уравнений газовой динамики, описывающей движение изэнтропического, самогравитирущего и изолированного конечного объема идеального газа. Пусть в момент $t = 0$ в пространстве ${{R}^{3}}$ задана область ${{\Omega }_{0}}$, заполненная идеальным разреженным изэнтропическим газом, частицы которого притягиваются друг к другу по закону Ньютона. Задача о движении газа в силовом поле сводится к определению области ${{\Omega }_{t}} \in {{R}^{4}}$, занимаемой газом в момент времени $t$, вектора скорости ${\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t)$ и плотности $\rho ({\mathbf{x}},t)$, удовлетворяющих в области ${\mathbf{x}} \in {{\Omega }_{t}}$, $t \in \left( {0,Т} \right)$ системе уравнений газовой динамики в форме Л. Эйлера [3]:

при условиях, что при $t = 0$ в каждой точке ${\mathbf{x}} = {\text{\{ }}x,y,z{\text{\} }}$ области ${{\Omega }_{0}}$ известны распределения: ${{{\mathbf{u}}}_{0}} = {\text{\{ }}{{u}_{0}},{{{v}}_{0}},{{w}_{0}}{\text{\} }}$, $\rho = {{\rho }_{0}}({\mathbf{x}})$, где ${{u}_{0}}({\mathbf{x}})$ – вектор скорости частиц газа, ${{\rho }_{0}}({\mathbf{x}})$ – плотности газа.

На границе ${{\Gamma }_{t}}$ области ${{\Omega }_{t}}$ выполняется условие $\rho ({\mathbf{x}},t) = 0$ для ${\mathbf{x}} \in {{\Gamma }_{t}}$, при $t \geqslant 0.$

Функции ${{{\mathbf{u}}}_{0}}({\mathbf{x}})$, ${{\rho }_{0}}({\mathbf{x}})$ и замкнутая граница области ${{\Gamma }_{0}}$ задаются в пространстве ${{C}^{\infty }}({{\bar {\Omega }}_{0}})$ – бесконечно-дифференцируемых функций в области ${{\bar {\Omega }}_{0}}$.

Сила ньютоновского притяжения в правой части векторного уравнения системы (1) равна ${\mathbf{F}}({\mathbf{x}},t) = \nabla \Phi ({\mathbf{x}},t)$, где $\nabla \Phi $ – градиент ньютоновского потенциала, который задается тройным интегралом

где G – гравитационная постоянная, $\left| {{\mathbf{x}} - {\mathbf{x}}{\text{'}}} \right|$ – расстояние между точками области.

Гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона [12]–[15]

где $\Delta $ – оператор Лапласа, оператор div – оператор дивергенции.

Отметим следующее: функции u, v, F, x и переменные $\xi $, $\eta $, x всюду в тексте являются векторными величинами.

В настоящем исследовании движение газа будем рассматривать при условии, что свободная граница во все моменты времени состоит из одних и тех же частиц, т.е. исключается возможность переноса массы через свободную поверхность. Это обстоятельство, а также условие разреженности газа делает удобным переход от эйлеровых координат $({\mathbf{x}},t)$ к лагранжевым координатам ($\xi $, $t$), для которых область определения решения задачи о движении конечной массы газа будет заранее фиксированной. При переходе к этим координатам область становится заданной цилиндрической областью ${{{\text{Q}}}_{t}} = {{\Omega }_{0}} \times \left( {0,T} \right)$.

Преобразуем систему газовой динамики (1) и найдем ее вид в лагранжевых координатах ($\xi $, $t$) следующим образом.

Пусть система газовой динамики (1) имеет решение ${\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t)$, $\rho ({\mathbf{x}},t)$. При известном векторе скорости ${\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t)$ закон движения частиц газа определяется решением системы дифференциальных уравнений

с начальным условием в момент времени $t = 0$

Известно, что если векторное поле ${\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t)$ задано в некоторой области ${{\Omega }_{t}} \in {{R}^{4}}$, непрерывно и удовлетворяет условию Липшица по х, то область ${{{\text{Q}}}_{t}}$ однократно покрыта семейством интегральных кривых уравнения (3). Условие Липшица в любом замкнутом ограниченном множестве можно заменить более сильными условиями: дифференцируемости функции и ограниченности частных производных на любой замкнутой ограниченной части ${{\Omega }_{t}}$. Эти условия выполняются тогда, когда частные производные непрерывны на множестве ${{\Omega }_{t}}$. Каждая интегральная кривая однозначно определена условием прохождения через заданную точку $\xi \in {{\Omega }_{0}}$ в момент времени t = 0. Решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений (3) с начальными условиями (4) будет иметь вид

Рассмотрим подробнее свойства решения (5) задачи Коши (3), (4). Вектор-функция ${\mathbf{x}} = {\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right)$ описывает траекторию частицы газа, находящейся в точке $\xi \in {{\Omega }_{0}}$ в момент t = 0, а также задает отображение замкнутой ${{\Omega }_{0}}$ в область ${{\Omega }_{t}}$ при фиксированном t. Непрерывное взаимно однозначное отображение ${\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right)$ обладает достаточной гладкостью, существованием дифференцируемого обратного преобразования и выполнимо при условии, что якобиан отображения

отличен от нуля. Якобиан отображения $J(\xi ,t)$ является решением задачи Коши для уравнения Л. Эйлера [14] при начальном условии

Решением (7), (8) будет функция

Из (9) следует, что

Введем лагранжевы переменные $\xi = {\text{\{ }}\xi ,\eta ,\zeta {\text{\} }}$ как значения координат частиц газа в начальный момент в области ${{\Omega }_{0}}$. Если ${\mathbf{x}} = {\text{\{ }}x,y,z{\text{\} }}$ как функции независимых переменных $\xi $, $\eta $, $\varsigma $, $t$, то в момент $t$ скорость частицы будет

Используем для функций при переходе от эйлеровых к лагранжевым переменным

дифференциальное равенство тогда ускорение можно записать следующим образом: Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа имеет вид [14] после преобразования $\rho \left( {{\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right),t} \right) = \tilde {\rho }(\xi ,t)$ оно примет вид здесь ${{\rho }_{0}}(\xi )$ обозначает первоначальную плотность в точках ${{\Omega }_{0}}$.

Перейдем в векторном уравнении системы (1) к лагранжевым координатам, предварительно продифференцировав потенциал $\Phi (\xi ,t)$. Тогда силовая функция F (2)

Применяя теорему о замене переменной в кратном интеграле и заменяя ${\mathbf{x}}{\text{'}} = {\mathbf{x}}\left( {\eta ,t} \right)$ в предыдущем равенстве, получаем

где $J(\eta ,t) = \tfrac{{\partial (x{\text{'}},y{\text{'}},z{\text{'}})}}{{\partial (\xi {\text{'}},\eta {\text{'}},\zeta {\text{'}})}}$ – якобиан преобразования (6) для $\eta = {\text{\{ }}\xi {\text{'}},\eta {\text{'}},\zeta {\text{'\} }} \in {{\Omega }_{0}}$.

На основании (14)–(17) система (1) в форме Лагранжа примет вид

Приведенные рассуждения позволяют сформулировать следующее утверждение – аналог леммы [16].

Лемма. Для того чтобы гладкое отображение ${\mathbf{x}} = {\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right)$ (5) определяло с помощью равенства $\tfrac{{d{\mathbf{x}}}}{{dt}} = {\mathbf{u}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right)$ (3) и уравнения неразрывности решение системы (1), описывающей движение разреженной массы самогравитирующего газа, необходимо и достаточно, чтобы это отображение удовлетворяло системе уравнений (18), а также следующим начально-краевым условиям:

Функции ${{{\mathbf{u}}}_{0}}(\xi )$, ${{\rho }_{0}}(\xi )$ и замкнутая граница области ${{\Gamma }_{0}}$ принадлежат пространству ${{C}^{\infty }}({{\bar {\Omega }}_{0}})$ – бесконечно-дифференцируемых функций.

Доказательство. Если система (1) имеет решение ${\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t)$, $\rho ({\mathbf{x}},t)$, то предыдущие рассуждения доказывают необходимость утверждения. Докажем достаточность. Пусть система (18) с учетом (19) определяет решение ${\mathbf{x}} = {\mathbf{x}}(\xi ,t)$ и $\rho = \tilde {\rho }(\xi ,t)$. Рассмотрим уравнение неразрывности системы (18). Дифференцируя это уравнение по t, получаем

На основании (10) для ${\mathbf{x}} = {\mathbf{x}}(\xi ,t)$ существует дифференцируемое обратное преобразование при этом из равенства (5) следует с помощью которого определяем

Используя правила дифференцирования функций (13) с лагранжевыми переменными, получаем

На основании последнего равенства и производной якобиана (7) получим

Окончательно выполнив преобразование (23) и сократив на $J(\xi ,t) > 0$ при $t \geqslant 0$, получим, что $\rho = \tilde {\rho }(\xi ,t)$ удовлетворяет уравнению неразрывности системы (1). При этом выполняются начальные и краевые условия для $\rho ({\mathbf{x}},t)$ в силу условий (16) и равенства (22). Аналогично решение ${\mathbf{x}} = {\mathbf{x}}(\xi ,t)$ системы (18) на основании равенств (11), а также (14), (21), (22) и замены переменной интегрирования в кратном интеграле системы (18) $\eta $ на ${\mathbf{x}}{\text{'}} \in {{\Omega }_{t}}$ удовлетворяет уравнению Эйлера системы (1)

При этом выполняются начальные условия

Рассмотрим граничные условия. Граница ${{\Gamma }_{t}}$ при $t \geqslant 0$ отделяет газ от вакуума, и в качестве уравнения поверхности можно взять ${{\Gamma }_{t}}:\rho \left( {{\mathbf{x}},t} \right) = 0$ при $t \geqslant 0$. Условие, что поверхность ${{\Gamma }_{t}}:\rho \left( {x,t) = 0} \right.$ все время состоит из одних и тех же частиц, определяется равенством

при ${{\left. \rho \right|}_{{{{\Gamma }_{t}}}}} = 0$.

Это равенство также является кинематическим условием, которое следует из уравнения неразрывности системы (1) при ${{\left. \rho \right|}_{{{{\Gamma }_{t}}}}} = 0$.

Решение системы (18), (19) будет обеспечивать выполнение кинематического условия при

Так как ${{\left. {{{\rho }_{0}}(\xi )} \right|}_{{{{\Gamma }_{0}}}}} = 0$ и $J \ne 0$, то с учетом (23), (24) $\rho ({\mathbf{x}}(\xi ,t)) = 0$, после дифференцирования которого по $t$ получим выполнение кинематического условия ${{\rho }_{t}} + \nabla \rho {{{\mathbf{x}}}_{t}} = 0$ или ${{\rho }_{t}} + \nabla \rho {\mathbf{u}} = 0$.

Подробное изучение вопросов непрерывности и дифференцируемости искомых функций в системах (1) и (18) проведем в разд. 3.

Продолжим преобразование системы (18), (19). Задача Коши для интегродифференциальной системы уравнений (18), (19) эквивалентна системе интегральных уравнений типа Вольтерра:

где функции ${{{\mathbf{u}}}_{0}}(\xi )$ – начальная скорость, ${{\rho }_{0}}(\xi )$ – начальная плотность и замкнутая граница данной области ${{\Gamma }_{0}}$ задаются начально-краевыми значениями (19) и дополнительными условиями, для $\forall \xi \in {{\Omega }_{0}}$ имеем: Эквивалентность уравнений (18) и (25) легко проверяется дифференцированием и 2-кратным интегрированием.

Решение системы интегральных уравнений (25) ${\mathbf{x}} = {\mathbf{x}}(\xi ,t)$ по заданному начальному значению плотности позволит определить плотность газа для $t \geqslant 0$:

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ВОЛЬТЕРРА

Рассмотрим систему (25) с условиями (19), (26). Докажем теорему.

Теорема. Интегральное уравнение (25) в области ${{Q}_{t}} = {{\bar {\Omega }}_{0}} \times [0,{{t}_{1}}]$ при $0 \leqslant t \leqslant {{t}_{1}}$ имеет единственное решение, удовлетворяющее начально-краевым условиям (19), (26), принадлежащее пространству ${{{\mathbf{C}}}^{\infty }}({{\bar {\Omega }}_{0}})$, в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда. Общий член ряда может быть вычислен по рекуррентной формуле

и решение $x\left( {\xi ,t} \right)$ удовлетворяет неравенствугде D – фиксированное число.

Доказательство. Применяя метод последовательных приближений [28], [29], построим первое приближение, полагая ${{{\mathbf{x}}}_{0}}(\xi ,t) = \xi $, ${{{\mathbf{x}}}_{0}}(\eta ,t) = \eta = \left\{ {\xi {\text{'}},\eta {\text{'}},\zeta {\text{'}}} \right\}$:

Продолжим построение последовательности функции, получим для $n + 1$-й итерации:

Докажем методом математической индукции непрерывность функций ${{{\mathbf{x}}}_{n}}(\xi ,t)$ и принадлежность пространству ${{C}^{\infty }}({{\bar {\Omega }}_{0}})$. Для ${{{\mathbf{x}}}_{0}}$ и ${{{\mathbf{x}}}_{1}}$ это следует из начальных условий (19), (26) на основании теорем о дифференцируемости ньютоновского потенциала [23]–[27]. Пусть ${{{\mathbf{x}}}_{n}}(\xi ,t) \in {{C}^{\infty }}({{\bar {\Omega }}_{0}})$ в области ${{Q}_{t}} = {{\bar {\Omega }}_{0}} \times [0,{{t}_{1}}]$, причем время ${{t}_{1}}$ в дальнейшем будет определено. Докажем справедливость утверждения для ${{{\mathbf{x}}}_{{n + 1}}}(\xi ,t)$. Для доказательства рассмотрим (31). Преобразуем тройной интеграл в равенстве (31), представляющий вектор-функцию объемной силы притяжения ${\mathbf{F}}({\mathbf{x}}(\xi ,t),t)$. Итерации ${{{\mathbf{x}}}_{n}}(\xi ,t)$ задают последовательность отображений ${{\Omega }_{0}} \cup {{\Gamma }_{0}}$ в области ${{\Omega }_{n}} \cup {{\Gamma }_{n}}$ для $n \in N$, где $N$ – множество натуральных чисел. Обратное отображение ${{\Omega }_{n}} \cup {{\Gamma }_{n}} \to {{\Omega }_{0}} \cup {{\Gamma }_{0}}$ с помощью функций

где точки ${{{\mathbf{x}}}_{n}} \in {{\Omega }_{n}} \cup {{\Gamma }_{n}}$ и ${\mathbf{x}}_{n}^{'} \in {{\Omega }_{n}} \cup {{\Gamma }_{n}}$, преобразует функцию ${\mathbf{F}}\left( {{{{\mathbf{x}}}_{n}}\left( {\xi ,t} \right),t} \right)$ следующим образом.

Пусть

после преобразования интеграла, используя (32), получим На основании закона сохранения массы для произвольной области справедливо равенство где – якобиан обратного преобразования, и тогда сила притяжения $F$ примет вид для $n \in N$.

Функция ${\mathbf{F}}\left( {{{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}},t} \right)$ в области ${{\bar {\Omega }}_{n}}$ имеет классический вид

где $\Phi \left( {{{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}},t} \right)$ – потенциал объемных масс в области ${{\bar {\Omega }}_{n}}$. На основании теорем о непрерывности, дифференцируемости потенциала, существования несобственного интеграла, зависящего от параметров $\xi $, $\eta $, $\zeta $, $t$ [23]–[27], теорем о непрерывности, дифференцируемости сложной и обратной функций [30] следует, что $\rho \left( {{{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}},t} \right) \in {{C}^{\infty }}$ в области ${{Q}_{{{{n}_{t}}}}} = {{\bar {\Omega }}_{n}} \times [0,{{t}_{1}}]$, граница ${{\Gamma }_{n}}$ области ${{\Omega }_{n}}$, уравнение которой можно взять $\rho \left( {{{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}},t} \right) = 0$, принадлежит пространству ${{C}^{\infty }}$, и окончательно вектор-функция ${\mathbf{F}}\left( {{{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}},t} \right) \in {{C}^{\infty }}$ в области ${{Q}_{{{{n}_{t}}}}}$.

На основании индуктивного предположения, что ${{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}} = {{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}}\left( {\xi ,t} \right) \in {{C}^{\infty }}\left( {{{{\bar {\Omega }}}_{0}}} \right)$, принадлежности ${{{\mathbf{u}}}_{0}}(\xi ) \in {{C}^{\infty }}\left( {{{{\bar {\Omega }}}_{0}}} \right)$, интегрирования бесконечно дифференцируемой функции по $t$ следует, что ${{{\mathbf{x}}}_{{{\mathbf{n}} + 1}}}(\xi ,t) \in {{C}^{\infty }}$ в области ${{Q}_{t}} = {{\bar {\Omega }}_{0}} \times [0,{{t}_{1}}]$.

Таким образом, ${{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}}(\xi ,t) \in {{C}^{\infty }}$ при всех n, принадлежащих N.

Из равенства (11) следует, что

и функции ${{{\mathbf{v}}}_{{\mathbf{n}}}}(\xi ,t)$ и ${{{\mathbf{u}}}_{{\mathbf{n}}}}({\mathbf{x}},t)$ принадлежат пространству ${{C}^{\infty }}$ по всем переменным.

Рассмотрим и оценим разность $\left| {{{{\mathbf{x}}}_{{{\mathbf{n}} + 1}}}(\xi ,t) - {{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}}(\xi ,t)} \right|$ для $n \in N$. Из равенства (28) имеем

Для произвольной точки $(\xi ,t) \in {{Q}_{t}}$ разность функций в подынтегральном выражении запишем с применением леммы Адамара [31], [32] в виде

или в матричной форме

где в последнем равенстве произведение есть скалярное произведение матрицы $\Phi $ на вектор ${{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}} - {{{\mathbf{x}}}_{{{\mathbf{n}} - 1}}}$, ${\mathbf{X}} = r{{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}} + (1 - r){{{\mathbf{x}}}_{{{\mathbf{n}} - 1}}}$ и Так как производные элементов матрицы $\tfrac{{\partial {\mathbf{F}}}}{{\partial {\mathbf{X}}}}$ ограничены в замкнутой области ${{Q}_{t}}$ некоторой величиной $M$, применяя оценку к матрице $\Phi (\xi ,t)$ [32], получаем Из равенств (35), (36) и оценки (37) следует, что Последнее неравенство имеет место для любых $\left( {\xi ,t} \right) \in {{Q}_{t}}$, поэтому его можно переписать в виде что будет справедливо для $n \in N$. Выбирая $0 < t < \sqrt {\tfrac{2}{{3M}}} = T$ и обозначая $3M\tfrac{{{{t}^{2}}}}{2} = q$ при $t < {{t}_{1}} < T$, получаем неравенство справедливое для $n \in N$. Полученное рекуррентное неравенство последовательно и далее имеем Величина $max\left| {{{{\mathbf{x}}}_{1}} - {{{\mathbf{x}}}_{0}}} \right|$ имеет определенное фиксированное значение в силу (30) и условий (26)

Последнее неравенство показывает, что для $n > {{N}_{1}}$ максимум разности $\left| {{{{\mathbf{x}}}_{{{\mathbf{n}} + {\mathbf{p}}}}} - {{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}}} \right|$ может быть сколь угодно малым при любом $p > 0$. Это доказывают неравенства

Таким образом, для $q < 1$ последовательность ${\text{\{ }}{{{\mathbf{x}}}_{n}}{\text{\} }}$ является фундаментальной. Неравенства (38), (39) справедливы для $n \in N$, что приводит к утверждению об абсолютной и равномерной сходимости ряда относительно $\xi \in {{\bar {\Omega }}_{0}}$ и $t \in [0,{{t}_{1}})$

и доказывает равномерную сходимость последовательности ${\text{\{ }}{{{\mathbf{x}}}_{n}}(\xi ,t){\text{\} }}$к некоторой функции ${\mathbf{x}}(\xi ,t)$, которая принадлежит пространству ${{C}^{\infty }}$ в области ${{Q}_{t}} = {{\bar {\Omega }}_{0}} \times [0,{{t}_{1}})$.

Предельный переход при $n \to \infty $ в равенствах (28), (31) дает соотношение (25). Отсюда следуют дифференцируемость ${\mathbf{x}}(\xi ,t)$ и обращение в тождество векторного уравнения системы (18).

Используем полученные результаты для оценки верхней границы решения ${\mathbf{x}}(\xi ,t)$ в области ${{\bar {\Omega }}_{0}} \times [0,{{t}_{1}})$. Рассмотрим неравенство (40), тогда имеем

Используя неравенство (38), получаем оценку в виде Переходя к пределу при $n \to \infty $, при $0 < q < 1$, получаем и после подстановки в это неравенство (30) получаем: Окончательно имеем оценку с использованием $q = \tfrac{3}{2}M{{t}^{2}}$: Неравенство (29) теоремы доказано при $(\xi ,t) \in {{Q}_{t}} = {{\bar {\Omega }}_{0}} \times [0,t1)$, $D = \tfrac{3}{2}M$.

Доказательство единственности решения. Допустим, что ${\mathbf{y}}(\xi ,t)$ является другим решением интегрального уравнения (25), и составим разность двух решений (25):

Используя лемму Адамара и полученные преобразования (36), заменяя ${{{\mathbf{x}}}_{n}}$ и ${{{\mathbf{x}}}_{{n - 1}}}$ в правой части равенства на ${\mathbf{x}}(\xi ,t)$ и ${\mathbf{y}}(\xi ,t)$, получаем

или

Согласно неравенству Гронуолла [33], в интегральной форме для $\xi \in {{\bar {\Omega }}_{0}}$, $t \in [0,{{t}_{1}})$ из (41) следует $\left| {{\mathbf{x}}(\xi ,t) - {\mathbf{y}}(\xi ,t)} \right| = 0$, т.е. ${\mathbf{x}}(\xi ,t) = {\mathbf{y}}(\xi ,t)$.

Таким образом, не существует другой функции ${\mathbf{y}}(\xi ,t)$, отличной от ${\mathbf{x}}(\xi ,t)$ и удовлетворяющей уравнению (25), начальным условиям (19) и условиям (26).

Доказательство теоремы полностью завершено.

Решение интегрального уравнения (25) ${\mathbf{x}} = {\mathbf{x}}(\xi ,t)$ определено при $\xi \in {{\bar {\Omega }}_{0}}$, $t \geqslant 0$. Тогда свободная граница является образом точек ${{\Gamma }_{0}}$ при отображении $\xi \in {{\Gamma }_{0}}$ в точки ${\mathbf{x}} \in {{\Gamma }_{t}}$. Тем самым задача по определению закона движения свободной границы является также задачей об отыскании отображения ${\mathbf{x}} = {\mathbf{x}}(\xi ,t)$.

Таким образом, задача Коши о движении разреженной конечной массы самогравитирующего газа решена полностью.

Замечание. Задача Коши о движении разреженной конечной массы самогравитирующего газа может быть рассмотрена без серьезных изменений данного текста в пространстве $A$ – аналитических функций – на основании теорем об аналитичности потенциала [23]–[27].

Данную задачу можно изучать в пространстве ${{C}^{{k,\alpha }}}\left( {\bar {\Omega }} \right)$, состоящем из функций, все $k$-е производные которых равномерно непрерывны по Гёльдеру с показателем $\alpha $.