1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 60, № 8, 2020

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 8, стр. 1339-1350

Проблема идентификации для телеграфных-параболических уравнений

А. Ашыралыев 1, 2, 3, *, М. Ашыралыев 4, **, М. А. Ашыралыева 5, ***

1 Ближневосточный университет, ТРСК
99138 Никосия, Турция

2 РУДН
117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6, Россия

3 Институт математики и математического моделирования
050010 Алматы, Казахстан

4 Бахчешехир университет
34353 Стамбул, Турция

5 Туркменский государственный университет им. Махтумкули
744000 Ашхабад, Туркменистан

* E-mail: aallaberen@gmail.com
** E-mail: maksat.ashyralyyev@eng.bau.edu.tr
*** E-mail: ashyrmaral2010@mail.ru

Поступила в редакцию 15.02.2020
После доработки 15.02.2020
Принята к публикации 09.04.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается задача идентификации для уравнения смешанного телеграфного-параболического типа с неизвестным параметром, зависящим от пространственных переменных. Однозначная разрешимость данной задачи доказана и неравенства устойчивости для ее решения установлены. В качестве приложений получены оценки устойчивости для решений четырех задач идентификации для телеграфных-параболических уравнений с неизвестным источником, зависящим от пространственных переменных. Библ. 41.

Ключевые слова: задача идентификации источника, уравнение телеграфного-параболического типа, устойчивость, гильбертово пространство.

1. ВВЕДЕНИЕ

Теоретические методы и приложения различных локальных и нелокальных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа широко исследованы многими исследователями (см. [1]–[3] и библиографию в них). В частности, были изучены различные нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболически-параболического типа и численные методы для приближенных решений этих задач (см. [4]–[8] и библиографию в них).

Дифференциальные уравнения с неизвестными параметрами играют важную роль в различных областях науки и техники. По этой причине такого рода уравнения были широко изучены в ряде публикаций (см. [9]–[32] и библиографию в них). Однако теория задач идентификации для уравнений смешанного типа еще не получила должного внимания.

Основной целью данной работы является исследование задачи идентификации для уравнения смешанного телеграфного-параболического типа с неизвестным параметром, зависящим от пространственных переменных. Хорошо известно, что различные краевые задачи для телеграфных-параболических уравнений с параметром приводятся к следующей краевой задаче для телеграфного-параболического уравнения с неизвестным параметром $p$ в гильбертовом пространстве $H$ с самосопряженным положительно-определенным оператором $A$:

(1.1)
$\begin{array}{*{20}{c}} {u{\text{''}}(t) + \alpha u{\text{'}}(t) + Au(t) = f(t) + p,\quad 0 < t < 1,} \\ {u{\text{'}}(t) + Au(t) = g(t) + p,\quad - {\kern 1pt} 1 < t < 0,} \\ {u( - 1) = \varphi ,\quad u(\lambda ) = \psi ,\quad - {\kern 1pt} 1 < \lambda \leqslant 1,} \\ {u(0 + ) = u(0 - ),\quad u{\text{'}}(0 + ) = u{\text{'}}(0 - ),} \end{array}$
где $A \geqslant \delta I$, $\delta > 0$ и $\alpha \geqslant 0$. Здесь $u(t)$ и $p$ обозначают
$u(t) = u(t;f(t),g(t),\varphi ,\psi ),\quad p = p(f(t),g(t),\varphi ,\psi ).$
Пара $(u(t),p)$ есть решение обратной задачи (1.1), если выполнены следующие условия:

1) $u(t) \in D$ для $t \in [ - 1,\;1]$, $p \in H$ и функция $Au(t)$ непрерывна на отрезке $[ - 1,\;1]$. Здесь $D = D(A)$ обозначает область определения оператора $A$;

2) $u(t)$ дважды непрерывно дифференцируема на отрезке $[0,\;1]$ и непрерывно дифференцируема на отрезке $[ - 1,\;0]$. Производные в конечных точках отрезков понимаются как соответствующие односторонние производные;

3) $(u(t),p)$ удовлетворяет уравнениям и краевыем условиям (1.1).

Решение задачи (1.1), определенное таким образом, с этого момента будет означать решение задачи (1.1) в пространстве $C(H) \times H$. Здесь $C(H) = C([ - 1,\;1],H)$ обозначает пространство непрерывных на $[ - 1,\;1]$ функций со значением в $H$ и нормой

$\mathop {\left| {\left| u \right|} \right|}\nolimits_{C(H)} = \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {u(t)} \right|} \right|}\nolimits_H .$

Заметим, что задача (1.1) в случае $\alpha = 0$ была ранее рассмотрена авторами. Корректность этой задачи в случае $\alpha = 0$ была установлена в работе [33]. Разностные схемы первого и второго порядка для приближенного решения краевой задачи (1.1) в случае $\alpha = 0$ были построены и изучены в работах [34] и [35] соответственно. Алгоритмы численного решения этих разностных схем были обсуждены в работах [36], [37].

В настоящей работе доказывается основная теорема об устойчивости решения задачи (1.1) в пространстве $C(H) \times H$. Результат этой теоремы в приложениях позволяет получить оценки устойчивости для решений четырех задач идентификации для телеграфных-параболических уравнений с неизвестным источником, зависящим от пространственных переменных.

Чтобы сформулировать результаты, введем оператор $G = A - \tfrac{{{{\alpha }^{2}}}}{4}I$. Нетрудно заметить, что оператор $G$ является самосопряженным положительно-определенным в пространстве $H$, если $\delta > \tfrac{{{{\alpha }^{2}}}}{4}$. В настоящей работе мы предполагаем, что

$\alpha > 0,\quad \delta \geqslant \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{3} + 1.$
Пусть $\left\{ {c(t),\;t \geqslant 0} \right\}$ является косинус оператор-функцией, определенной по формуле:
$c(t) = \frac{{{{e}^{{it{{G}^{{1/2}}}}}} + {{e}^{{ - it{{G}^{{1/2}}}}}}}}{2}.$
Тогда из определения синус оператор-функции $s(t)$
$s(t)u = \int\limits_0^t c (\tau )ud\tau $
следует, что
$s(t) = {{G}^{{ - 1/2}}}\frac{{{{e}^{{it{{G}^{{1/2}}}}}} - {{e}^{{ - it{{G}^{{1/2}}}}}}}}{{2i}}.$
Теорию косинус оператор-функции, см. [38], [39]. Прежде всего приведем леммы, необходимые в дальнейшем.

Лемма 1. Имеют место следующие оценки:

(1.2)
${{\left\| {c(t)} \right\|}_{{H \to H}}} \leqslant 1,\quad {{\left\| {s(t)} \right\|}_{{H \to H}}} \leqslant t,\quad {{\left\| {{{A}^{{1/2}}}s(t)} \right\|}_{{H \to H}}} \leqslant 2,\quad t \geqslant 0,$
(1.3)
${{\left\| {A{{G}^{{ - 1}}}} \right\|}_{{H \to H}}} \leqslant 4,\quad {{\left\| {\alpha {{A}^{{ - 1/2}}}} \right\|}_{{H \to H}}} \leqslant \sqrt 3 ,$
(1.4)
${{\left\| {{{e}^{{ - tA}}}} \right\|}_{{H \to H}}} \leqslant {{e}^{{ - \delta t}}},\quad t \geqslant 0,\quad \mathop {\left\| {{{A}^{{1/2}}}{{e}^{{ - tA}}}} \right\|}\nolimits_{H \to H} \leqslant \frac{1}{{\sqrt {2et} }},\quad t > 0.$

Доказательство этих оценок основывается на спектральном разложении самосопряженного положительно-определенного оператора в гильбертовом пространстве.

Лемма 2. Оператор

$I - {{e}^{{ - (1 + \lambda )A}}},\quad - {\kern 1pt} 1 < \lambda \leqslant 0,$
имеет ограниченный обратный оператор:
$E = {{(I - {{e}^{{ - (1 + \lambda )A}}})}^{{ - 1}}},$
для которого верна следующая оценка:

(1.5)
$\left\| E \right\|_{{H \to H}}^{{}} \leqslant \frac{1}{{1 - {{e}^{{ - (1 + \lambda )\delta }}}}}.$

Доказательство. Используя свойства положительной определенности и самосопряженности оператора $A$, имеем

(1.6)
${{\left\| {{{e}^{{ - \left( {\lambda + 1} \right)A}}}} \right\|}_{{H \to H}}} \leqslant \mathop {sup}\limits_{\delta \leqslant \rho < \infty } {{e}^{{ - \left( {\lambda + 1} \right)\rho }}} \leqslant {{e}^{{ - \left( {\lambda + 1} \right)\delta }}} < 1.$
Доказательство оценки (1.5) следует из неравенства (1.6). Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Оператор

$I - {{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}\lambda }}}{{e}^{{ - A}}}\left[ {c(\lambda ) + \left( {\frac{\alpha }{2} - A} \right)s(\lambda )} \right],\quad 0 < \lambda \leqslant 1,$
имеет ограниченный обратный оператор:
$Q = {{\left( {I - {{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}\lambda }}}{{e}^{{ - A}}}\left[ {c(\lambda ) + \left( {\frac{\alpha }{2} - A} \right)s(\lambda )} \right]} \right)}^{{ - 1}}},$
для которого имеет место следующая оценка:

(1.7)
${{\left\| Q \right\|}_{{H \to H}}} \leqslant \frac{1}{{1 - {{e}^{{ - \delta }}}\sqrt {{{\delta }^{2}} + \delta } }}.$

Доказательство. Используя $\alpha > 0$, $\delta \geqslant \tfrac{{{{\alpha }^{2}}}}{3} + 1 > 1$, определения для $c(t)$ и $s(t)$, свойства положительной определенности и самосопряженности оператора $A$, имеем

$\mathop {\left\| {{{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}\lambda }}}{{e}^{{ - A}}}\left[ {c(\lambda ) + \left( {\frac{\alpha }{2} - A} \right)s(\lambda )} \right]} \right\|}\nolimits_{H \to H} \leqslant \mathop {sup}\limits_{\delta \leqslant \rho < \infty } {{e}^{{ - \rho }}}\left| {\frac{{{{e}^{{i\lambda \sqrt {\rho - \tfrac{{{{\alpha }^{2}}}}{4}} }}} + {{e}^{{ - i\lambda \sqrt {\rho - \tfrac{{{{\alpha }^{2}}}}{4}} }}}}}{2} + \frac{{\tfrac{\alpha }{2} - \rho }}{{\sqrt {\rho - \tfrac{{{{\alpha }^{2}}}}{4}} }}\frac{{{{e}^{{i\lambda \sqrt {\rho - \tfrac{{{{\alpha }^{2}}}}{4}} }}} - {{e}^{{ - i\lambda \sqrt {\rho - \tfrac{{{{\alpha }^{2}}}}{4}} }}}}}{{2i}}} \right| = $
$ = \;\mathop {sup}\limits_{\delta \leqslant \rho < \infty } {{e}^{{ - \rho }}}\left| {cos\left( {\lambda \sqrt {\rho - \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{4}} } \right) + \frac{{\tfrac{\alpha }{2} - \rho }}{{\sqrt {\rho - \tfrac{{{{\alpha }^{2}}}}{4}} }}sin\left( {\lambda \sqrt {\rho - \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{4}} } \right)} \right| = $
$ = \mathop {sup}\limits_{\delta \leqslant \rho < \infty } {{e}^{{ - \rho }}}\left| {\sqrt {\frac{{{{\rho }^{2}} + \rho - \alpha \rho }}{{\rho - \tfrac{{{{\alpha }^{2}}}}{4}}}} cos\left( {\lambda \sqrt {\rho - \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{4}} - {{\mu }_{0}}} \right)} \right| \leqslant \mathop {sup}\limits_{\delta \leqslant \rho < \infty } {{e}^{{ - \rho }}}\sqrt {\frac{{{{\rho }^{2}} + \rho - \alpha \rho }}{{\rho - \tfrac{{{{\alpha }^{2}}}}{4}}}} \leqslant $
$ \leqslant \;\mathop {sup}\limits_{\delta \leqslant \rho < \infty } {{e}^{{ - \rho }}}\sqrt {{{\rho }^{2}} + \rho - \alpha \rho } \leqslant \mathop {sup}\limits_{\delta \leqslant \rho < \infty } {{e}^{{ - \rho }}}\sqrt {{{\rho }^{2}} + \rho } \leqslant {{e}^{{ - \delta }}}\sqrt {{{\delta }^{2}} + \delta } < 1.$
Этот результат позволяет получить неравенство (1.7). Лемма 3 доказана.

2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

Докажем основную теорему о непрерывной зависимости решения задачи (1.1) от начальных данных.

Теорема 1. Предположим, что $\varphi \in D(A)$, $\psi \in D(A)$, $f(t)$ непрерывно дифференцируема на отрезке [0, 1] и $g(t)$ непрерывно дифференцируема на отрезке [–1, 0]. Тогда для решения $(u(t),p)$ задачи (1.1) в $C(H) \times H$ имеют место следующие неравенства:

(2.1)
$\mathop {\left| {\left| u \right|} \right|}\nolimits_{C(H)} + \mathop {\left| {\left| {{{A}^{{ - 1}}}p} \right|} \right|}\nolimits_H \leqslant M(\delta ,\lambda )\left[ {\mathop {\left| {\left| \varphi \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| \psi \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g(t)} \right|} \right|}\nolimits_H } \right],$
(2.2)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {u{\text{''}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {\alpha u{\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {u{\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| {Au} \right|} \right|}\nolimits_{C(H)} + \mathop {\left| {\left| p \right|} \right|}\nolimits_H \leqslant } \\ { \leqslant \;M(\delta ,\lambda )\left[ {\mathop {\left| {\left| {A\varphi } \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| {A\psi } \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g{\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| {g(0)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| {f(0)} \right|} \right|}\nolimits_H } \right],} \end{array}$
где $M(\delta ,\lambda )$ не зависит от $\varphi $, $\psi $, $f(t)$ и $g(t)$.

Доказательство. Решение задачи (1.1) имеет вид

(2.3)
$u(t) = {v}(t) + {{A}^{{ - 1}}}p,\quad - {\kern 1pt} 1 \leqslant t \leqslant 1,$
где ${v}(t)$ является решением следующей нелокальной краевой задачи:
(2.4)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{v}{\text{''}}(t) + \alpha {v}{\text{'}}(t) + A{v}(t) = f(t),\quad 0 < t < 1,} \\ {{v}{\text{'}}(t) + A{v}(t) = g(t),\quad - {\kern 1pt} 1 < t < 0,} \\ {{v}(\lambda ) - {v}( - 1) = \psi - \varphi ,} \\ {{v}(0 + ) = {v}(0 - ),\quad {v}{\text{'}}(0 + ) = {v}{\text{'}}(0 - ),} \end{array}$
для дифференциального уравнения с самосопряженным положительно-определенным оператором $A$ в гильбертовом пространстве $H$. Сначала получим решение нелокальной краевой задачи (2.4). Известно, что при гладких начальных данных следующие краевые задачи:
$\begin{array}{*{20}{c}} {{v}{\text{'}}(t) + A{v}(t) = g(t),\quad - {\kern 1pt} 1 < t < 0,} \\ {{v}( - 1) = {{{v}}_{{ - 1}}},} \end{array}$
$\begin{array}{*{20}{c}} {{v}{\text{''}}(t) + \alpha {v}{\text{'}}(t) + A{v}(t) = f(t),\quad 0 < t < 1,} \\ {{v}(0) = {{{v}}_{0}},\quad {v}{\text{'}}(0) = {v}_{0}^{'},} \end{array}$
имеют единственные решения (см. [38], [40])
(2.5)
${v}(t) = {{e}^{{ - (1 + t)A}}}{{{v}}_{{ - 1}}} + \int\limits_{ - 1}^t {{{e}^{{ - (t - \tau )A}}}} g(\tau )d\tau ,\quad - {\kern 1pt} 1 \leqslant t \leqslant 0,$
(2.6)
${v}(t) = {{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}t}}}\left( {c(t) + \frac{\alpha }{2}s(t)} \right){{{v}}_{0}} + {{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}t}}}s(t){v}_{0}^{'} + \int\limits_0^t {{{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}(t - \tau )}}}} s(t - \tau )f(\tau )d\tau ,\quad 0 \leqslant t \leqslant 1,$
соответственно. Используя (2.5), мы получаем ${v}(0)$ и ${v}{\text{'}}(0)$. Тогда подставив эти результаты в (2.6), имеем
(2.7)
$\begin{gathered} {v}(t) = {{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}t}}}\left( {c(t) + \frac{\alpha }{2}s(t)} \right)\left( {{{e}^{{ - A}}}{{{v}}_{{ - 1}}} + - 1\int\limits_{ - 1}^0 {{{e}^{{\tau A}}}} g(\tau )d\tau } \right) + {{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}t}}}s(t)\left( { - A{{e}^{{ - A}}}{{{v}}_{{ - 1}}} + g(0) - A\int\limits_{ - 1}^0 {{{e}^{{\tau A}}}} g(\tau )d\tau } \right) + \\ + \;\int\limits_0^t {{{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}(t - \tau )}}}} s(t - \tau )f(\tau )d\tau ,\quad 0 \leqslant t \leqslant 1. \\ \end{gathered} $
В случае $ - 1 < \lambda \leqslant 0$, используя (2.5) и условие ${v}(\lambda ) - {v}( - 1) = \psi - \varphi $, получаем
${v}( - 1) = {{e}^{{ - (1 + \lambda )A}}}{{{v}}_{{ - 1}}} + \int\limits_{ - 1}^\lambda {{{e}^{{ - (\lambda - \tau )A}}}} g(\tau )d\tau + \varphi - \psi .$
Из леммы 2 следует существование оператора ${{(I - {{e}^{{ - (1 + \lambda )A}}})}^{{ - 1}}}$ и, следовательно, имеет место равенство
(2.8)
${{{v}}_{{ - 1}}} = {{(I - {{e}^{{ - (1 + \lambda )A}}})}^{{ - 1}}}\left( {\int\limits_{ - 1}^\lambda {{{e}^{{ - (\lambda - \tau )A}}}} g(\tau )d\tau + \varphi - \psi } \right),\quad - {\kern 1pt} 1 < \lambda \leqslant 0.$
В случае $0 < \lambda \leqslant 1$, используя (2.7) и условие ${v}(\lambda ) - {v}( - 1) = \psi - \varphi $, имеем
$\begin{array}{*{20}{c}} {{v}( - 1) = {{e}^{{ - \tfrac{{\alpha \lambda }}{2}}}}\left( {c(\lambda ) + \frac{\alpha }{2}s(\lambda )} \right)\left( {{{e}^{{ - A}}}{{{v}}_{{ - 1}}} + \int\limits_{ - 1}^0 {{{e}^{{\tau A}}}} g(\tau )d\tau } \right) + } \\ { + \;{{e}^{{ - \tfrac{{\alpha \lambda }}{2}}}}s(\lambda )\left( { - A{{e}^{{ - A}}}{{{v}}_{{ - 1}}} + g(0) - A\int\limits_{ - 1}^0 {{{e}^{{\tau A}}}} g(\tau )d\tau } \right) + \int\limits_0^\lambda {{{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}(\lambda - \tau )}}}} s(\lambda - \tau )f(\tau )d\tau + \varphi - \psi .} \end{array}$
Из леммы 3 следует существование оператора ${{\left( {I - {{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}\lambda }}}{{e}^{{ - A}}}\left[ {c(\lambda ) + \left( {\frac{\alpha }{2} - A} \right)s(\lambda )} \right]} \right)}^{{ - 1}}}$ и поэтому имеет место следующее равенство:

(2.9)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{{v}}_{{ - 1}}} = {{{\left( {I - {{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}\lambda }}}{{e}^{{ - A}}}\left[ {c(\lambda ) + \left( {\frac{\alpha }{2} - A} \right)s(\lambda )} \right]} \right)}}^{{ - 1}}}\left\{ {\int\limits_0^\lambda {{{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}(\lambda - \tau )}}}} s(\lambda - \tau )f(\tau )d\tau + \varphi - \psi + } \right.} \\ {\left. { + \;{{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}\lambda }}}\left( {s(\lambda )g(0) + \left[ {c(\lambda ) + \left( {\frac{\alpha }{2} - A} \right)s(\lambda )} \right]\int\limits_{ - 1}^0 {{{e}^{{\tau A}}}} g(\tau )d\tau } \right)} \right\},\quad 0 < \lambda \leqslant 1.} \end{array}$

Таким образом, для решения нелокальной краевой задачи (2.4) имеем равенства (2.5) и (2.7), где ${{{v}}_{{ - 1}}}$ определена формулой (2.8), когда $ - 1 < \lambda \leqslant 0$, и формулой (2.9), когда $0 < \lambda \leqslant 1$. Тогда, используя (2.3) и равенство

(2.10)
$p = A\psi - A{v}(\lambda ),$
получаем решение задачи (1.1).

Теперь докажем неравенство (2.1). Если $ - 1 < \lambda \leqslant 0$, используя формулу (2.8) и оценки (1.4), (1.5), получаем

(2.11)
$\mathop {\left\| {{{{v}}_{{ - 1}}}} \right\|}\nolimits_H \leqslant {{M}_{1}}(\delta ,\lambda )\left[ {\mathop {\left\| \varphi \right\|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| \psi \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g(t)} \right|} \right|}\nolimits_H } \right].$
При $0 < \lambda \leqslant 1$, используя равенство (2.9) и оценки (1.2), (1.4), (1.7), имеем
(2.12)
$\mathop {\left\| {{{{v}}_{{ - 1}}}} \right\|}\nolimits_H \leqslant {{M}_{2}}(\delta )\left[ {\mathop {\left\| \varphi \right\|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| \psi \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g(t)} \right|} \right|}\nolimits_H } \right].$
Используя формулу (2.5) и оценки (1.4), получаем следующее неравенство:
(2.13)
$\mathop {\left\| {{v}(t)} \right\|}\nolimits_H \leqslant \mathop {\left\| {{{{v}}_{{ - 1}}}} \right\|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g(t)} \right|} \right|}\nolimits_H ,\quad - {\kern 1pt} 1 \leqslant t \leqslant 0.$
Наконец, используя формулу (2.7) и оценки (1.2), (1.4), имеем
(2.14)
$\mathop {\left| {\left| {{v}(t)} \right|} \right|}\nolimits_H \leqslant 2\mathop {\left\| {{{{v}}_{{ - 1}}}} \right\|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + 5\mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g(t)} \right|} \right|}\nolimits_H ,\quad 0 \leqslant t \leqslant 1.$
Объединяя оценки (2.11)–(2.14), получаем следующую оценку устойчивости:
$\mathop {\left| {\left| {v} \right|} \right|}\nolimits_{C(H)} \leqslant {{M}_{3}}(\delta ,\lambda )\left[ {\mathop {\left| {\left| \varphi \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| \psi \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g(t)} \right|} \right|}\nolimits_H } \right].$
Этот результат позволяет получить оценку (2.1), используя неравенство треугольника и формулы (2.3), (2.10).

Теперь перейдем к получению оценки (2.2). При $ - 1 < \lambda \leqslant 0$, интегрирование по частям в равенстве (2.8) дает формулу

$A{{{v}}_{{ - 1}}} = {{(I - {{e}^{{ - (1 + \lambda )A}}})}^{{ - 1}}}\left[ {g(\lambda ) - {{e}^{{ - (1 + \lambda )A}}}g( - 1) - \int\limits_{ - 1}^\lambda {{{e}^{{ - (\lambda - \tau )A}}}g{\text{'}}(\tau )d\tau } + A\varphi - A\psi } \right].$
Используя эту формулу и оценки (1.4), (1.5), получаем
(2.15)
$\mathop {\left\| {A{{{v}}_{{ - 1}}}} \right\|}\nolimits_H \leqslant {{M}_{4}}(\delta ,\lambda )\left[ {\mathop {\left| {\left| {A\varphi } \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| {A\psi } \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g{\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| {g(0)} \right|} \right|}\nolimits_H } \right].$
Если $0 < \lambda \leqslant 1$, то интегрирование по частям в равенстве (2.9) позволяет нам получить
$A{{{v}}_{{ - 1}}} = {{\left( {I - {{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}\lambda }}}{{e}^{{ - A}}}\left[ {c(\lambda ) + \left( {\frac{\alpha }{2} - A} \right)s(\lambda )} \right]} \right)}^{{ - 1}}} \times $
$ \times \;\left\{ {A{{G}^{{ - 1}}}\left( {f(\lambda ) - {{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}\lambda }}}c(\lambda )f(0) - \int\limits_0^\lambda {{{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}(\lambda - \tau )}}}} c(\lambda - \tau )\left[ {\frac{\alpha }{2}f(\tau ) + f{\kern 1pt} {\text{'}}(\tau )} \right]d\tau } \right) + A\varphi - A\psi + } \right.$
$\left. { + \;{{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}\lambda }}}\left[ {\left( {c(\lambda ) + \frac{\alpha }{2}s(\lambda )} \right)g(0) - \left( {c(\lambda ) + \left( {\frac{\alpha }{2} - A} \right)s(\lambda )} \right)\left( {{{e}^{{ - A}}}g( - 1) + \int\limits_{ - 1}^0 {{{e}^{{\tau A}}}} g{\kern 1pt} '(\tau )d\tau } \right)} \right]} \right\}.$
Используя эту формулу и оценки (1.2)–(1.4), (1.7), имеем
(2.16)
$\mathop {\left\| {A{{{v}}_{{ - 1}}}} \right\|}\nolimits_H \leqslant {{M}_{5}}(\delta )\left[ {\mathop {\left| {\left| {A\varphi } \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| {A\psi } \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f{\kern 1pt} {\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \left| {\left| {g{\text{'}}(t)} \right|} \right| + \mathop {\left| {\left| {g(0)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| {f(0)} \right|} \right|}\nolimits_H } \right].$
Используя интегрирование по частям в равенстве (2.5), получаем
$A{v}(t) = {{e}^{{ - (t + 1)A}}}A{{{v}}_{{ - 1}}} + g(t) - {{e}^{{ - (t + 1)A}}}g( - 1) - \int\limits_{ - 1}^t {{{e}^{{ - (t - \tau )A}}}} g{\text{'}}(\tau )d\tau ,\quad - {\kern 1pt} 1 \leqslant t \leqslant 0.$
Этот результат и оценки (1.4) дают следующее неравенство:
(2.17)
$\mathop {\left\| {A{v}(t)} \right\|}\nolimits_H \leqslant \mathop {\left\| {A{{{v}}_{{ - 1}}}} \right\|}\nolimits_H + 3\mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g{\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + 2\mathop {\left| {\left| {g(0)} \right|} \right|}\nolimits_H ,\quad - {\kern 1pt} 1 \leqslant t \leqslant 0.$
Аналогичным образом интегрирование по частям в равенстве (2.7) дает равенство
${v}(t) = {{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}t}}}\left( {c(t) + \frac{\alpha }{2}s(t)} \right){{A}^{{ - 1}}}\left[ {A{{e}^{{ - A}}}{{{v}}_{{ - 1}}} + g(0) - {{e}^{{ - A}}}g( - 1) - \int\limits_{ - 1}^0 {{{e}^{{\tau A}}}} g{\text{'}}(\tau )d\tau } \right] + $
(2.18)
$ + \;{{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}t}}}s(t)\left[ { - A{{e}^{{ - A}}}{{{v}}_{{ - 1}}} + {{e}^{{ - A}}}g( - 1) + \int\limits_{ - 1}^0 {{{e}^{{\tau A}}}} g{\text{'}}(\tau )d\tau } \right] + $
$ + \;{{G}^{{ - 1}}}\left[ {f(t) - {{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}t}}}c(t)f(0) - \int\limits_0^t {{{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}(t - \tau )}}}} c(t - \tau )\left( {\frac{\alpha }{2}f(\tau ) + f{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{'}}(\tau )} \right)d\tau } \right],\quad 0 \leqslant t \leqslant 1.$
Используя эту формулу и оценки (1.2)–(1.4), получаем
(2.19)
$\mathop {\left\| {A{v}(t)} \right\|}\nolimits_H \leqslant {{M}_{6}}(\delta )\left[ {\mathop {\left\| {A{{{v}}_{{ - 1}}}} \right\|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f{\kern 1pt} {\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g{\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| {g(0)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| {f(0)} \right|} \right|}\nolimits_H } \right],\quad 0 \leqslant t \leqslant 1.$
Принимая во внимание неравенства (2.15)–(2.17) и (2.19), получаем
(2.20)
$\mathop {\left| {\left| {A{v}} \right|} \right|}\nolimits_{C(H)} \leqslant {{M}_{7}}(\delta ,\lambda )\left[ {\mathop {\left\| {A\varphi } \right\|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| {A\psi } \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f{\kern 1pt} {\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g{\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| {g(0)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| {f(0)} \right|} \right|}\nolimits_H } \right].$
Дифференцируя равенство (2.18), имеем
${v}{\text{'}}(t) = - {{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}t}}}s(t)\left[ {A{{e}^{{ - A}}}{{{v}}_{{ - 1}}} + g(0) - {{e}^{{ - A}}}g( - 1) - \int\limits_{ - 1}^0 {{{e}^{{\tau A}}}} g{\text{'}}(\tau )d\tau } \right] + {{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}t}}}\left( {c(t) - \frac{\alpha }{2}s(t)} \right)\; \times $
$ \times \;\left[ { - A{{e}^{{ - A}}}{{{v}}_{{ - 1}}} + {{e}^{{ - A}}}g( - 1) + \int\limits_{ - 1}^0 {{{e}^{{\tau A}}}} g{\text{'}}(\tau )d\tau } \right] + {{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}t}}}\left( {s(t) + \frac{\alpha }{2}{{G}^{{ - 1}}}c(t)} \right)f(0) - \frac{\alpha }{2}{{G}^{{ - 1}}}f(t) + $
$ + \;\int\limits_0^t {{{e}^{{ - \tfrac{\alpha }{2}(t - \tau )}}}} \left( {s(t - \tau ) + \frac{\alpha }{2}{{G}^{{ - 1}}}c(t - \tau )} \right)\left( {\frac{\alpha }{2}f(\tau ) + f{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{'}}(\tau )} \right)d\tau ,\quad 0 \leqslant t \leqslant 1.$
Используя эту формулу и оценки (1.2)–(1.4), (2.15), (2.16), получаем
(2.21)
$\mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {\alpha {v}{\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_H \leqslant {{M}_{8}}(\delta ,\lambda )\left[ {\mathop {\left| {\left| {A\varphi } \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| {A\psi } \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f{\kern 1pt} {\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g{\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| {g(0)} \right|} \right|}\nolimits_H + \mathop {\left| {\left| {f(0)} \right|} \right|}\nolimits_H } \right].$
Наконец, используя оценки (2.20) и (2.21), формулы (2.3) и (2.10) и неравенство треугольника в (1.1), завершим доказательство оценки (2.2). Теорема 1 доказана.

3. ПРИЛОЖЕНИЯ

Обсудим несколько приложений основного результата. Рассмотрим четыре задачи идентификации для телеграфных-параболических уравнений с неизвестным источником, зависящим от пространственных переменных. Результат теоремы 1 позволяет получить оценки устойчивости для решений этих задач.

Во-первых, рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу для телеграфного-параболического уравнения:

(3.1)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{u}_{{tt}}} + \alpha {{u}_{t}} - {{{(a(x){{u}_{x}})}}_{x}} + \delta u = p(x) + f(t,x),\quad 0 < t < 1,\quad 0 < x < 1,} \\ {{{u}_{t}} - {{{(a(x){{u}_{x}})}}_{x}} + \delta u = p(x) + g(t,x),\quad - {\kern 1pt} 1 < t < 0,\quad 0 < x < 1,} \\ {u( - 1,x) = \varphi (x),\quad u(\lambda ,x) = \psi (x),\quad 0 \leqslant x \leqslant 1,\quad - {\kern 1pt} 1 < \lambda \leqslant 1,} \\ {u(t,0) = u(t,1),\quad {{u}_{x}}(t,0) = {{u}_{x}}(t,1),\quad - {\kern 1pt} 1 \leqslant t \leqslant 1,} \\ {u(0 + ,x) = u(0 - ,x),\quad {{u}_{t}}(0 + ,x) = {{u}_{t}}(0 - ,x),\quad 0 \leqslant x \leqslant 1.} \end{array}$
При соответствующих условиях согласования задача (3.1) имеет единственное гладкое решение $(u(t,x),p(x))$ для заданных гладких функций $a(x) \geqslant a > 0$, $x \in (0,\;1)$, $a(1) = a(0)$, $\varphi (x)$, $\psi (x)$, $x \in [0,\;1]$, $f(t,x)$, $t \in [0,\;1]$, $x \in [0,\;1]$, $g(t,x)$, $t \in [ - 1,\;0]$, $x \in [0,\;1]$ и положительных постоянных $\delta $, $\alpha $. Это позволяет привести нелокальную краевую задачу (3.1) к абстрактой краевой задаче (1.1) в гильбертовом пространстве $H = {{L}_{2}}[0,\;1]$ с самосопряженным положительно-определенным оператором ${{A}^{x}}$, определенным по формуле
(3.2)
${{A}^{x}}u(x) = - {{(a(x){{u}_{x}})}_{x}} + \delta u(x)$
с областью определения

$D({{A}^{x}}) = {\text{\{ }}u(x)\,|\,u(x),{{u}_{x}}(x),{{(a(x){{u}_{x}})}_{x}} \in {{L}_{2}}[0,\;1],\;u(1) = u(0),\;{{u}_{x}}(1) = {{u}_{x}}(0){\text{\} }}.$

Теорема 2. Для решения задачи (3.1) имеют место следующие оценки устойчивости:

$\mathop {\left| {\left| u \right|} \right|}\nolimits_{C({{L}_{2}}[0,1])} + \mathop {\left| {\left| {{{{({{A}^{x}})}}^{{ - 1}}}p} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[0,1]} \leqslant M(\delta ,\lambda )\left[ {\mathop {\left| {\left| \varphi \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[0,1]} + \mathop {\left| {\left| \psi \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[0,1]} + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f(t)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[0,1]} + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g(t)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[0,1]} } \right],$
$\begin{gathered} \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left\| {{{u}_{{tt}}}} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}[0,1]} + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left\| {\alpha {{u}_{t}}} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}[0,1]} + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left\| {{{u}_{t}}} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}[0,1]} + \mathop {\left| {\left| u \right|} \right|}\nolimits_{C(W_{2}^{2}[0,1])} + \mathop {\left| {\left| p \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[0,1]} \leqslant \\ \leqslant \;M(\delta ,\lambda )\left[ {\mathop {\left| {\left| \varphi \right|} \right|}\nolimits_{W_{2}^{2}[0,1]} + \mathop {\left| {\left| \psi \right|} \right|}\nolimits_{W_{2}^{2}[0,1]} + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f{\kern 1pt} '(t)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[0,1]} + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g{\kern 1pt} '(t)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[0,1]} + \mathop {\left| {\left| {g(0)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[0,1]} + \mathop {\left| {\left| {f(0)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[0,1]} } \right], \\ \end{gathered} $
где $M(\delta ,\lambda )$ не зависит от $\varphi (x)$, $\psi (x)$, $f(t,x)$ и $g(t,x)$.

Здесь $W_{2}^{2}[0,\;1]$ обозначает пространство Соболева, состоящее из всех функций  f, определенных на отрезке $[0,\;1]$, так что $f$ и $f{\kern 1pt} ''$ из ${{L}_{2}}[0,\;1]$, с нормой

$\mathop {\left| {\left| f \right|} \right|}\nolimits_{W_{2}^{2}[0,1]} = \mathop {\left( {\int\limits_0^1 {\left[ {{{{(f(x))}}^{2}} + {{{(f{\kern 1pt} ''(x))}}^{2}}} \right]} dx} \right)}\nolimits^{1/2} .$

Доказательство теоремы 2 основывается на теореме 1 и свойствах пространственного оператора ${{A}^{x}}$, определенного по формуле (3.2).

Во-вторых, рассмотрим следующую краевую задачу для одномерного линейного дифференциального уравнения гиперболически-параболического типа с инволюцией:

$\begin{gathered} {{u}_{{tt}}}(t,x) + \alpha {{u}_{t}}(t,x) - {{(a(x){{u}_{x}}(t,x))}_{x}} - \beta {{(a( - x){{u}_{x}}(t, - x))}_{x}} + \delta u(t,x) = \\ = \;p(x) + f(t,x),\quad 0 < t < 1,\quad - {\kern 1pt} l < x < l, \\ \end{gathered} $
(3.3)
$\begin{gathered} {{u}_{t}}(t,x) - {{(a(x){{u}_{x}}(t,x))}_{x}} - \beta {{(a( - x){{u}_{x}}(t, - x))}_{x}} + \delta u(t,x) = \\ = \;p(x) + g(t,x),\quad - {\kern 1pt} 1 < t < 0,\quad - {\kern 1pt} l < x < l, \\ u( - 1,x) = \varphi (x),\quad u(\lambda ,x) = \psi (x),\quad - {\kern 1pt} l \leqslant x \leqslant l,\quad - {\kern 1pt} 1 < \lambda \leqslant 1, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} u(t, - l) = u(t,l) = 0,\quad - {\kern 1pt} 1 \leqslant t \leqslant 1, \\ u(0 + ,x) = u(0 - ,x),\quad {{u}_{t}}(0 + ,x) = {{u}_{t}}(0 - ,x),\quad - {\kern 1pt} l \leqslant x \leqslant l. \\ \end{gathered} $
Предположим, что $0 < \underline a \leqslant a( - x) = a(x) \leqslant \bar {a}$, $x \in ( - l,l)$ и $\underline a - \bar {a}\left| \beta \right| \geqslant 0$. При соответствующих условиях согласования задача (3.3) имеет единственное гладкое решение $(u(t,x),p(x))$ для заданных гладких функций $a(x)$, $x \in ( - l,l)$, $\varphi (x)$, $\psi (x)$, $x \in [ - l,l]$, $f(t,x)$, $t \in [0,\;1]$, $x \in [ - l,l]$, $g(t,x)$, $t \in [ - 1,\;0]$, $x \in [ - l,l]$ и постоянных $\delta \geqslant 0$, $\alpha > 0$. Это позволяет привести краевую задачу (3.3) к абстрактной краевой задаче (1.1) в гильбертовом пространстве $H = {{L}_{2}}[ - l,l]$ с самосопряженным положительно-определенным оператором ${{A}^{x}}$, определенным по формуле
(3.4)
${{A}^{x}}u(x) = - {{(a(x){{u}_{x}}(x))}_{x}} - \beta {{(a( - x){{u}_{x}}( - x))}_{x}} + \delta u(x)$
с областью определения

$D({{A}^{x}}) = \{ u \in W_{2}^{2}[ - l,l]\,|\,u( - l) = u(l) = 0\} .$

Теорема 3. Для решения задачи (3.3) имеют место следующие оценки устойчивости:

$\mathop {\left| {\left| u \right|} \right|}\nolimits_{C({{L}_{2}}[ - l,l])} + \mathop {\left| {\left| {{{{({{A}^{x}})}}^{{ - 1}}}p} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - l,l]} \leqslant M(\delta ,\lambda )\left[ {\mathop {\left| {\left| \varphi \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - l,l]} + \mathop {\left| {\left| \psi \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - l,l]} + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f(t)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - l,l]} + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g(t)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - l,l]} } \right],$
$\begin{gathered} \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left\| {{{u}_{{tt}}}} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - l,l]} + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left\| {\alpha {{u}_{t}}} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - l,l]} + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left\| {{{u}_{t}}} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - l,l]} + \mathop {\left| {\left| u \right|} \right|}\nolimits_{C(W_{2}^{2}[ - l,l])} + \mathop {\left| {\left| p \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - l,l]} \leqslant \\ \leqslant \;M(\delta ,\lambda )\left[ {\mathop {\left| {\left| \varphi \right|} \right|}\nolimits_{W_{2}^{2}[ - l,l]} + \mathop {\left| {\left| \psi \right|} \right|}\nolimits_{W_{2}^{2}[ - l,l]} + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f{\kern 1pt} {\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - l,l]} + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g{\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - l,l]} + \mathop {\left| {\left| {g(0)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - l,l]} + \mathop {\left| {\left| {f(0)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - l,l]} } \right], \\ \end{gathered} $
где $M(\delta ,\lambda )$ не зависит от $\varphi (x)$, $\psi (x)$, $f(t,x)$ и $g(t,x)$.

Здесь $W_{2}^{2}[ - l,l]$ обозначает пространство Соболева, состоящее из всех функций  f, определенных на отрезке $[ - l,l]$ так, что $f$ и $f{\kern 1pt} {\text{''}}$ из ${{L}_{2}}[ - l,l]$, с нормой

$\mathop {\left\| f \right\|}\nolimits_{W_{2}^{2}[ - l,l]} = \mathop {\left( {\int\limits_{ - l}^l {[{{{(f(x))}}^{2}} + {{{(f{\kern 1pt} ''(x))}}^{2}}]dx} } \right)}\nolimits^{1/2} .$

Доказательство теоремы 3 основывается на теореме 1 и свойствах пространственного оператора ${{A}^{x}}$, определенного по формуле (3.4).

В-третьих, пусть

$\Omega = \left\{ {x = ({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}})\,|\,0 < {{x}_{k}} < 1,\;k = 1, \ldots ,n} \right\} \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$
есть ограниченная открытая область с границей $S$. Пусть $\bar {\Omega } = \Omega \cup S$. В области $[ - 1,\;1] \times \Omega $ рассмотрим следующую краевую задачу для многомерного телеграфного-параболического уравнения:
(3.5)
$\begin{gathered} {{u}_{{tt}}} + \alpha {{u}_{t}} - \sum\limits_{r = 1}^n {{{{({{a}_{r}}(x){{u}_{{{{x}_{r}}}}})}}_{{{{x}_{r}}}}}} + \delta u = p(x) + f(t,x),\quad 0 < t < 1,\quad x \in \Omega , \\ {{u}_{t}} - \sum\limits_{r = 1}^n {{{{({{a}_{r}}(x){{u}_{{{{x}_{r}}}}})}}_{{{{x}_{r}}}}}} + \delta u = p(x) + g(t,x),\quad - {\kern 1pt} 1 < t < 0,\quad x \in \Omega , \\ u( - 1,x) = \varphi (x),\quad u(\lambda ,x) = \psi (x),\quad x \in \bar {\Omega },\quad - {\kern 1pt} 1 < \lambda \leqslant 1, \\ u(t,x) = 0,\quad x \in S,\quad - {\kern 1pt} 1 \leqslant t \leqslant 1, \\ u(0 + ,x) = u(0 - ,x),\quad {{u}_{t}}(0 + ,x) = {{u}_{t}}(0 - ,x),\quad x \in \bar {\Omega }, \\ \end{gathered} $
с граничным условием Дирихле. Обозначим через ${{L}_{2}}(\bar {\Omega })$ гильбертово пространство квадратично-интегрируемых функций $f$ на $\bar {\Omega }$ с нормой
$\mathop {\left| {\left| f \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} = {{\left( {\int\limits_{x \in \bar {\Omega }} { \cdots \int {{{{(f(x))}}^{2}}d{{x}_{1}} \cdots d{{x}_{n}}} } } \right)}^{{1/2}}}.$
При соответствующих условиях согласования задача (3.5) имеет единственное гладкое решение $(u(t,x),p(x))$ для заданных гладких функций $\varphi (x)$, $\psi (x)$, ${{a}_{r}}(x) \geqslant a > 0$, $f(t,x)$, $g(t,x)$ и постоянных $\delta \geqslant 0$, $\alpha > 0$. Это позволяет привести задачу (3.5) к абстрактной краевой задаче (1.1) в гильбертовом пространстве $H = {{L}_{2}}(\bar {\Omega })$ с самосопряженным положительно-определенным оператором ${{A}^{x}}$, определенным по формуле
(3.6)
${{A}^{x}}u(x) = - \sum\limits_{r = 1}^n {{{{({{a}_{r}}(x){{u}_{{{{x}_{r}}}}})}}_{{{{x}_{r}}}}}} + \delta u(x)$
с областью определения

$D({{A}^{x}}) = \left\{ {u(x)\,|\,u(x),\;{{u}_{{{{x}_{r}}}}}(x),\;{{{({{a}_{r}}(x){{u}_{{{{x}_{r}}}}})}}_{{{{x}_{r}}}}} \in {{L}_{2}}(\bar {\Omega }),\;1 \leqslant r \leqslant n,\;u(x) = 0,\;x \in S} \right\}.$

Теорема 4. Для решения задачи (3.5) имеют место следующие оценки устойчивости:

$\mathop {\left| {\left| u \right|} \right|}\nolimits_{C({{L}_{2}}(\bar {\Omega }))} + \mathop {\left| {\left| {{{{({{A}^{x}})}}^{{ - 1}}}p} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} \leqslant M(\delta ,\lambda )\left[ {\mathop {\left| {\left| \varphi \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {\left| {\left| \psi \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f(t)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g(t)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} } \right],$
$\begin{gathered} \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left\| {{{u}_{{tt}}}} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left\| {\alpha {{u}_{t}}} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left\| {{{u}_{t}}} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {\left| {\left| u \right|} \right|}\nolimits_{C(W_{2}^{2}(\bar {\Omega }))} + \mathop {\left| {\left| p \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} \leqslant \\ \leqslant \;M(\delta ,\lambda )\left[ {\mathop {\left| {\left| \varphi \right|} \right|}\nolimits_{W_{2}^{2}(\bar {\Omega })} + \mathop {\left| {\left| \psi \right|} \right|}\nolimits_{W_{2}^{2}(\bar {\Omega })} + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f{\kern 1pt} {\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g{\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {\left| {\left| {g(0)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {\left| {\left| {f(0)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} } \right], \\ \end{gathered} $
где $M(\delta ,\lambda )$ не зависит от $\varphi (x)$, $\psi (x)$, $f(t,x)$ и $g(t,x)$.

Здесь и далее $W_{2}^{2}(\bar {\Omega })$ будет обозначать пространство Соболева, состоящее из всех функций  f, определенных на $\bar {\Omega }$, так что $f$ и все производные второго порядка ${{f}_{{{{x}_{r}}{{x}_{r}}}}}$, $r = 1,\; \ldots ,\;n$, интегрируемы в ${{L}_{2}}(\bar {\Omega })$, с нормой

$\mathop {\left| {\left| f \right|} \right|}\nolimits_{W_{2}^{2}(\bar {\Omega })} = \mathop {\left( {\int\limits_{_{{x \in \bar {\Omega }}}} { \cdots \int {\left[ {{{{(f(x))}}^{2}} + \sum\limits_{r = 1}^n {{{{({{f}_{{{{x}_{r}}{{x}_{r}}}}})}}^{2}}} } \right]d{{x}_{1}} \cdots d{{x}_{n}}} } } \right)}\nolimits^{1/2} .$

Доказательство теоремы 4 основывается на теореме 1, свойствах пространственного оператора ${{A}^{x}}$, определенного по формуле (3.6) и следующей теореме о неравенстве коэрцитивности для решения эллиптической задачи в ${{L}_{2}}(\bar {\Omega })$.

Теорема 5. Для решения эллиптической задачи (см. [41])

$\begin{gathered} {{A}^{x}}u(x) = \omega (x),\quad x \in \Omega , \\ u(x) = 0,\quad x \in S, \\ \end{gathered} $
выполняется следующее неравенство коэрцитивности:
$\sum\limits_{r = 1}^n {\mathop {\left\| {{{u}_{{{{x}_{r}}{{x}_{r}}}}}} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} } \leqslant {{M}_{1}}\mathop {\left| {\left| \omega \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} ,$
где ${{M}_{1}}$ не зависит от $\omega (x)$.

В-четвертых, в области $[ - 1,\;1] \times \Omega $ рассмотрим следующую краевую задачу для многомерного телеграфного-параболического уравнения:

${{u}_{{tt}}} + \alpha {{u}_{t}} - \sum\limits_{r = 1}^n {{{{({{a}_{r}}(x){{u}_{{{{x}_{r}}}}})}}_{{{{x}_{r}}}}}} + \delta u = p(x) + f(t,x),\quad 0 < t < 1,\quad x \in \Omega ,$
${{u}_{t}} - \sum\limits_{r = 1}^n {{{{({{a}_{r}}(x){{u}_{{{{x}_{r}}}}})}}_{{{{x}_{r}}}}}} + \delta u = p(x) + g(t,x),\quad - {\kern 1pt} 1 < t < 0,\quad x \in \Omega ,$
(3.7)
$u( - 1,x) = \varphi (x),\quad u(\lambda ,x) = \psi (x),\quad x \in \bar {\Omega },\quad - {\kern 1pt} 1 < \lambda \leqslant 1,$
$\frac{{\partial u(t,x)}}{{\partial{ \vec {m}}}} = 0,\quad x \in S,\quad - {\kern 1pt} 1 \leqslant t \leqslant 1,$
$u(0 + ,x) = u(0 - ,x),\quad {{u}_{t}}(0 + ,x) = {{u}_{t}}(0 - ,x),\quad x \in \bar {\Omega },$
с граничным условием Неймана. Здесь $\vec {m}$ обозначает вектор нормали к $S$. При соответствующих условиях согласования задача (3.7) имеет единственное гладкое решение $(u(t,x),p(x))$ для заданных гладких функций $\varphi (x)$, $\psi (x)$, ${{a}_{r}}(x) \geqslant a > 0$, $f(t,x)$, $g(t,x)$ и постоянных $\delta > 0$, $\alpha > 0$. Это позволяет привести задачу (3.7) к абстрактной краевой задаче (1.1) в гильбертовом пространстве $H = {{L}_{2}}(\bar {\Omega })$ с самосопряженным положительно-определенным оператором ${{A}^{x}}$, определенным по формуле (3.6) с областью определения:

$D({{A}^{x}}) = \left\{ {u(x)\,|\,u(x),\;{{u}_{{{{x}_{r}}}}}(x),\;{{{({{a}_{r}}(x){{u}_{{{{x}_{r}}}}})}}_{{{{x}_{r}}}}} \in {{L}_{2}}(\bar {\Omega }),\;1 \leqslant r \leqslant n,\;\frac{{\partial u(x)}}{{\partial{ \vec {m}}}} = 0,\;x \in S} \right\}.$

Теорема 6. Для решения задачи (3.7) имеют место следующие оценки устойчивости:

$\mathop {\left| {\left| u \right|} \right|}\nolimits_{C({{L}_{2}}(\bar {\Omega }))} + \mathop {\left| {\left| {{{{({{A}^{x}})}}^{{ - 1}}}p} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} \leqslant M(\delta ,\lambda )\left[ {\mathop {\left| {\left| \varphi \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {\left| {\left| \psi \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f(t)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g(t)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} } \right],$
$\begin{gathered} \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left\| {{{u}_{{tt}}}} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left\| {\alpha {{u}_{t}}} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left\| {{{u}_{t}}} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {\left| {\left| u \right|} \right|}\nolimits_{C(W_{2}^{2}(\bar {\Omega }))} + \mathop {\left| {\left| p \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} \leqslant \\ \leqslant \;M(\delta ,\lambda )\left[ {\mathop {\left| {\left| \varphi \right|} \right|}\nolimits_{W_{2}^{2}(\bar {\Omega })} + \mathop {\left| {\left| \psi \right|} \right|}\nolimits_{W_{2}^{2}(\bar {\Omega })} + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \mathop {\left| {\left| {f{\kern 1pt} {\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 0} \mathop {\left| {\left| {g{\text{'}}(t)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {\left| {\left| {g(0)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} + \mathop {\left| {\left| {f(0)} \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} } \right], \\ \end{gathered} $
где $M(\delta ,\lambda )$ не зависит от $\varphi (x)$, $\psi (x)$, $f(t,x)$ и $g(t,x)$.

Доказательство теоремы 6 основывается на теореме 1, свойствах пространственного оператора ${{A}^{x}}$, определенного по формуле (3.6), и следующей теореме о неравенстве коэрцитивности для решения эллиптической задачи в ${{L}_{2}}(\bar {\Omega })$.

Теорема 7. Для решения эллиптической задачи (см. [41])

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{A}^{x}}u(x) = \omega (x),\quad x \in \Omega ,} \\ {\frac{{\partial u(x)}}{{\partial{ \vec {m}}}} = 0,\quad x \in S,} \end{array}$
выполняется следующее неравенство коэрцитивности:
$\sum\limits_{r = 1}^n {\mathop {\left\| {{{u}_{{{{x}_{r}}{{x}_{r}}}}}} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} } \leqslant {{M}_{1}}(\delta )\mathop {\left| {\left| \omega \right|} \right|}\nolimits_{{{L}_{2}}(\bar {\Omega })} ,$
где ${{M}_{1}}(\delta )$ не зависит от $\omega (x)$.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе установлена корректность краевой задачи (1.1). В приложениях были получены оценки устойчивости для решений четырех задач идентификации для телеграфных-параболических уравнений с неизвестным источником, зависящим от пространственных переменных.

Список литературы

  1. Rassias J.M. Lecture notes on mixed type partial differential equations. World Scientific, 1990.

  2. Bitsadze A.V. Equations of mixed type. Pergamon Press, 1964.

  3. Smirnov M.M. Equations of mixed type. American Mathematical Society, 1978.

  4. Ashyralyev A., Yurtsever A. On a nonlocal boundary value problem for semilinear hyperbolic-parabolic equations // Nonlinear Anal. 2001. V. 47. № 5. P. 3585–3592.

  5. Ashyralyev A., Ozdemir Y. On nonlocal boundary value problems for hyperbolic-parabolic equations // Taiwanese J. Math. 2007. V. 11. № 4. P. 1075–1089.

  6. Berdyshev A.S., Cabada A., Karimov E.T., Akhtaeva N.S. On the Volterra property of a boundary problem with integral gluing condition for a mixed parabolic-hyperbolic equation // Bound. Value Probl. 2013. V. 2013. № 94.

  7. Ashyralyev A., Ozdemir Y. Stability of difference schemes for hyperbolic-parabolic equations // Comput. Math. Appl. 2005. V. 50. № 8. P. 1443–1476.

  8. Ivanauskas F.F., Novitski Y.A., Sapagovas M.P. On the stability of an explicit difference scheme for hyperbolic equations with nonlocal boundary conditions // Differ. Equ. 2013. V. 49. № 7. P. 849–856.

  9. Dehghan M. Determination of a control parameter in the two-dimensional diffusion equation // Appl. Numer. Math. 2001. V. 37. № 4. P. 489–502.

  10. Kimura T., Suzuki T. A parabolic inverse problem arising in a mathematical model for chromatography // SIAM J. Appl. Math. 1993. V. 53. № 6. P. 1747–1761.

  11. Gryazin Y.A., Klibanov M.V., Lucas T.R. Imaging the diffusion coefficient in a parabolic inverse problem in optical tomography // Inverse Problems. 1999. V. 15. № 2. P. 373–397.

  12. Эйдельман Ю.С. Краевая задача для дифференциального уравнения с параметром // Дифференц. ур-ния. 1978. Т. 14. № 7. С. 1335–1337.

  13. Ashyralyev A., Emharab F. Source identification problems for hyperbolic differential and difference equations // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2018. V. 27. № 3. P. 301–315.

  14. Sadybekov M.A. Stable difference scheme for a nonlocal boundary value heat conduction problem // e-Journal of Analysis and Applied Mathematics. 2018. V. 2018. № 1. P. 1–10.

  15. Orlovsky D., Piskarev S. On approximation of inverse problems for abstract elliptic problems // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2009. V. 17. № 8. P. 765–782.

  16. Ashyralyev A., Ashyralyyev C. On the problem of determining the parameter of an elliptic equation in a Banach space // Nonlinear Anal. Model. Control. 2014. V. 19. № 3. P. 350–366.

  17. Ashyralyyev C. High order of accuracy difference schemes for the inverse elliptic problem with Dirichlet condition // Bound. Value Probl. 2014. V. 2014. № 5.

  18. Ashyralyev A. On a problem of determining the parameter of a parabolic equation // Ukrainian Math. J. 2010. V. 62. № 9. P. 1200–1210.

  19. Shakhmurov V.B., Sahmurova A. Abstract parabolic problems with parameter and application // Appl. Math. Comput. 2013. V. 219. № 17. P. 9561–9571.

  20. Safari A.R., Mekhtiyev M.F., Sharifov Y.A. Maximum principle in the optimal control problems for systems with integral boundary conditions and its extension // Abstr. Appl. Anal. 2013. V. 2013. 946910.

  21. Emharab F. Source identification problems for hyperbolic differential and difference equations. PhD thesis. Near East University, 2019.

  22. Ashyralyev A., Agirseven D. On source identification problem for a delay parabolic equation // Nonlinear Anal. Model. Control. 2014. V. 19. № 3. P. 335–349.

  23. Ozbilge E., Demir A. Semigroup approach for identification of the unknown diffusion coefficient in a linear parabolic equation with mixed output data // Bound. Value Probl. 2013. V. 2013. № 43.

  24. Ashyralyev A., Erdogan A.S., Demirdag O. On the determination of the right-hand side in a parabolic equation // Appl. Numer. Math. 2012. V. 62. № 11. P. 1672–1683.

  25. Ashyralyyev C. Well-posedness of boundary value problems for reverse parabolic equation with integral condition // e-Journal of Analysis and Applied Mathematics. 2018. V. 2018. № 1. P. 11–21.

  26. Kabanikhin S.I., Krivorotko O.I. Identification of biological models described by systems of nonlinear differential equations // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2015. V. 23. № 5. P. 519–527.

  27. Ashyralyev A., Erdogan A.S. Well-posedness of the right-hand side identification problem for a parabolic equation // Ukrainian Math. J. 2014. V. 66. № 2. P. 165–177.

  28. Sazaklioglu A.U., Erdogan A.S., Ashyralyev A. Existence and uniqueness results for an inverse problem for a semilinear equation with final overdetermination // Filomat. 2018. V. 32. № 3. P. 847–858.

  29. Erdogan A.S. A note on the right-hand side identification problem arising in biofluid mechanics // Abstr. Appl. Anal. 2012. V. 2012. 548508.

  30. Ivanchov N.I. On the determination of unknown source in the heat equation with nonlocal boundary conditions // Ukrainian Math. J. 1995. V. 47. № 10. P. 1647–1652.

  31. Wu B., Wu S. Existence and uniqueness of an inverse source problem for a fractional integrodifferential equation // Comput. Math. Appl. 2014. V. 68. № 10. P. 1123–1136.

  32. Blasio G.D., Lorenzi A. Identification problems for parabolic delay differential equations with measurement on the boundary // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2007. V. 15. № 7. P. 709–734.

  33. Ashyralyev A., Ashyralyyeva M.A. On source identification problem for a hyperbolic-parabolic equation // Contemp. Anal. Appl. Math. 2015. V. 3. № 1. P. 88–103.

  34. Ashyralyyeva M.A., Ashyralyyev A. Stable difference scheme for the solution of the source identification problem for hyperbolic-parabolic equations // AIP Conference Proceedings. 2015. V. 1676. 020024.

  35. Ashyralyyeva M.A., Ashyraliyev M. On a second order of accuracy stable difference scheme for the solution of a source identification problem for hyperbolic-parabolic equations // AIP Conference Proceedings. 2016. V. 1759. 020023.

  36. Ashyralyyeva M.A., Ashyraliyev M. Numerical solutions of source identification problem for hyperbolic-parabolic equations // AIP Conference Proceedings. 2018. V. 1997. 020048.

  37. Ashyralyyeva M.A., Ashyraliyev M. On the numerical solution of identification hyperbolic-parabolic problems with the Neumann boundary condition // Bulletin of the Karaganda University-Mathematics. 2018. V. 3. P. 69–74.

  38. Fattorini H.O. Second Order Linear Differential Equations in Banach Spaces. Notas de Matematica, North-Holland, 1985.

  39. Piskarev S., Shaw S.Y. On certain operator families related to cosine operator function // Taiwanese J. Math. 1997. V. 1. № 4. P. 3585–3592.

  40. Ashyralyev A., Sobolevskii P.E. New Difference Schemes for Partial Differential Equations. Operator Theory Advances and Applications, Birkhauser Verlag, 2004.

  41. Соболевский П.Е. Разностные методы решения дифференциальных уравнений. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1975.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал