Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 4, стр. 694-704

Сравнительный анализ градиентных методов определения источника диффузионно-логистической модели

Т. А. Звонарева^1, *, О. И. Криворотько^1, 2, **

¹ Новосибирский государственный университет
630090 Новосибирск, ул. Пирогова, 2, Россия

² Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН
630090 Новосибирск, пр-т Акад. Лаврентьева, 6, Россия

^* E-mail: t.zvonareva@g.nsu.ru
^** E-mail: krivorotko.olya@mail.ru

Поступила в редакцию 10.08.2021
После доработки 10.08.2021
Принята к публикации 16.12.2021

EDN: FTRHQG
DOI: 10.31857/S0044466922040147

Полный текст (PDF)

Аннотация

Проведен сравнительный анализ численного решения задачи определения источника диффузионно-логистической модели по данным о диффузионном процессе в фиксированные моменты времени и точках пространства градиентными методами для случаев непрерывной и дискретной постановок. Получены выражения вычисления градиента целевого функционала для двух постановок, связанных с решением соответствующих сопряженных задач. Показано, что в случае аппроксимации дискретных функций модели кубическими сплайнами точность восстановленного источника совпадает с решением в непрерывной постановке. Численные эксперименты решения задачи об источнике для дискретной модели распространения информации в онлайн социальных сетях показали, что применение дискретного подхода в разы увеличивает вычислительное время по сравнению с использованием непрерывного подхода. Библ. 23. Фиг. 1. Табл. 5.

Ключевые слова: диффузионно-логистическая модель, задача об источнике, обратная задача, градиентные методы, сопряженная задача, сравнительный анализ, регуляризация, оптимизация, социальные процессы.

ВВЕДЕНИЕ

Градиентные методы решения задач об источнике для дифференциальных уравнений применялись в [1]–[7]. Основная их идея состоит в последовательном уменьшении значения целевого функционала $J(q) = {{\left\| {A(q) - f} \right\|}^{2}}$ в виде

(1)

${{q}^{{m + 1}}} = {{q}^{m}} - {{\alpha }_{m}}J{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} ({{q}^{m}}),\quad {{q}^{0}} \in Q,\quad {{\alpha }_{m}} > 0,$

где ${{\alpha }_{m}}$ – параметр спуска, характеризующий тот или иной градиентный метод, $J{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} ({{q}^{m}})$ – градиент целевого функционала $J({{q}^{m}})$, $A:Q \to F$ – оператор обратной задачи.

В зависимости от типа пространства $Q$ (гильбертово, соболевское, евклидово и т.п.) области определения функционала $J(q)$ и его градиента $J{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} (q)$ могут быть интегрируемые, непрерывно-дифференцируемые или дискретные. В связи с этим возможно использование двух подходов: 1) непрерывный, который состоит в формулировке используемых функций в непрерывных пространствах с последующим представлением задачи в конечно-разностном виде и 2) дискретный, в котором сначала переходят к конечно-разностному аналогу, для которого формулируют дискретные функции $J(q)$ и $J{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} (q)$ (см. [8]).

В данной работе для задачи об источнике для диффузионно-логистической модели, возникающей при описании распространения информации в онлайн социальных сетях и сформулированной в непрерывном и дискретном видах, применены оба подхода. Выявлены области их применимости. Получены градиенты целевых функционалов в непрерывной и дискретной постановках, связанных с решениями соответствующих сопряженных задач. Отметим, что дискретный вариант градиента не является следствием дискретизации непрерывного своего аналога, а получен путем минимизации функции Лагранжа (см. [9]–[12]).

Статья организована следующим образом. Формулировки прямой и обратной задач приведены в разд. 1. Вывод градиента целевого функционала в дискретной форме приведен в п. 2.1. Выражение для градиента целевого функционала в непрерывной форме и соответствующая постановка сопряженной задачи приведены в п. 2.2. Алгоритмы градиентных методов для разных параметров спуска, а также сравнительный анализ результатов численных расчетов для решения задачи об источнике для диффузионно-логистической модели приведены в разд. 3.

1. ПОСТАНОВКИ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧ

1.1. Постановка прямой задачи

Под прямой задачей в данной работе понимается задача моделирования процесса распространения информации в онлайн социальных сетях, в которой требуется найти функцию плотности активных пользователей $u({{x}_{j}},{{t}_{n}})$ в каждой точке пространства и в момент времени. За расстояние $x$ принимается целочисленная величина, описывающая минимальное количество дружеских связей между пользователем и источником информации и измеряемая в единицах. Время $t$ измеряется в часах, а плотность активных пользователей $u({{x}_{j}},{{t}_{n}})$ – в количестве человек на единицу расстояния.

Данные, представленные в [13], иллюстрируют, что интерес к информации проявляется у пользователей с расстоянием $x$ в пределах от 1 до 6. Именно в этих границах происходит значительный вклад в изменение плотности активных пользователей $u({{x}_{j}},{{t}_{n}})$. Также для социальных сетей справедлива теория шести рукопожатий, согласно которой большинство агентов находится на расстоянии x ≤ 6. Поэтому в модели рассматриваются граничные условия Неймана, которые описывают отсутствие потока информации через границы при x = 1, 6.

Задача моделирования процесса распространения информации основана на законе сохранения информационного потока

$\int\limits_a^b {\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + \frac{{\partial H}}{{\partial x}} - g(u,x,t)} \right)dx} = 0.$

А именно, для фиксированного участка $[a,b]$ скорость изменения общего количества вовлеченных пользователей $\frac{\partial }{{\partial t}}\int_a^b u (x,t)dx$ на этом участке должна равняться сумме потока $H(a,t) - H(b,t)$, с которой они поступают, и скорости $\int_a^b g (u,x,t)dx$, с которой в пределах $a < x < b$ появляются новые вовлеченные пользователи. Информация в социальной сети распространяется от высокой плотности вовлеченных пользователей к низкой, поэтому поток может быть представлен в виде $H = - d\frac{{\partial u}}{{\partial x}}$. В [13] функция $g(u,x,t)$ выбирается в виде $(1 - u{\text{/}}K)r(t)u$ и описывает динамику изменения численности активных пользователей. Неопределенность построенной модели заключается в том, что распределение плотности активных пользователей в начальный момент времени неизвестно и зависит от структуры социальной сети. Поэтому актуальной становится задача идентификации начального распределения пользователей с целью корректного описания распространения информации в конкретной сети и ее дальнейшего контроля/управления.

Обозначим начальные значения плотности вовлеченных пользователей $u({{x}_{i}},1) = {{q}_{i}}$, $i = 0,\; \ldots ,\;5$. Интерполируя вектор значений $q = ({{q}_{0}},\; \ldots ,\;{{q}_{5}})$ кубическими сплайнами, переходим к непрерывной постановке начально-краевой задачи для диффузионно-логистической модели, описываемой уравнением в частных производных параболического типа (см. [13]):

(2)

$\begin{gathered} {{u}_{t}} = d{{u}_{{xx}}} + \left( {1 - \frac{u}{K}} \right)r(t)u,\quad l \leqslant x \leqslant L,\quad t \geqslant 1, \hfill \\ u(x,1) = Q(x),\quad l \leqslant x \leqslant L, \hfill \\ {{u}_{x}}(l,t) = {{u}_{x}}(L,t) = 0,\quad t \geqslant 1. \hfill \\ \end{gathered} $

Здесь $Q(x) \geqslant 0$ – начальная функция плотности.

Таблица 1.

Параметры модели (2), описывающие распространение информации в онлайн социальной сети

Параметр	Описание	Среднее значение	Единицы измерения
$d$	популярность информации, которая способствует распространению информации через неструктурные действия, такие как целенаправленный поиск пользователем рассматриваемой информации	0.01	расст.²/ч
$K$	пропускная способность, которая является максимально возможным числом активных пользователей	25	чел./расст.
$r(t)$	$ = \frac{{{{\beta }_{2}}}}{{{{\beta }_{1}}}} - {{e}^{{ - {{\beta }_{1}}(t - 1)}}}\left( {\frac{{{{\beta }_{2}}}}{{{{\beta }_{1}}}} - {{\beta }_{2}}} \right)$ скорость роста числа вовлеченных пользователей	–	1/ч
${{\beta }_{1}}$	скорость снижения интереса к информации с течением времени	1.5	–
${{\beta }_{2}}$	остаточная скорость	0.375	–
${{\beta }_{3}}$	начальная скорость роста числа активных пользователей	1.65	–

Согласно [13], если

и удовлетворяет следующим условиям корректности: 1) $Q(x) \in {{C}^{2}}(l,L)$, 2) $Q{\text{'}}{\kern 1pt} (l) = Q{\text{'}}{\kern 1pt} (L) = 0$, 3) $dQ{\text{''}} + \left( {1 - Q{\text{/}}K} \right)rQ \geqslant 0$, то по принципу максимума существует единственное положительное решение $u(x,t) \in {{C}^{{2,1}}}((l,L) \times (1, + \infty )) \cap {{C}^{{1,0}}}([l,L] \times [1, + \infty ))$ прямой задачи (2).

Средние значения и описания параметров модели представлены в табл. 1. Параметры ${{\beta }_{1}}$, ${{\beta }_{2}}$ и ${{\beta }_{3}}$ в рассматриваемой модели соответствуют представленным в [13].

1.2. Постановка обратной задачи

Предположим, что известна дополнительная информация следующего вида:

(3)

$u({{x}_{i}},{{t}_{k}};q) = {{f}_{{ik}}},\quad i = 1,\; \ldots ,\;{{N}_{1}},\quad k = 1, \ldots ,\;{{N}_{2}},$

где $u(x,t;q)$ – решение прямой задачи для начальной функции плотности $Q(x)$, определяемой из набора параметров $q$, ${{N}_{1}} \leqslant 6$. Обратная задача (2)–(3) состоит в определении набора параметров $q$ по данным ${{f}_{{ik}}}$ вида (3). Обратная задача может быть записана в виде $Aq = f$, где $f = ({{f}_{{11}}},\; \ldots ,\;{{f}_{{1{{N}_{2}}}}},{{f}_{{21}}},\; \ldots ,\;{{f}_{{2{{N}_{2}}}}},{{f}_{{{{N}_{1}}1}}},\; \ldots ,\;{{f}_{{{{N}_{1}}{{N}_{2}}}}}) \in {{\mathbb{R}}^{{{{N}_{1}}{{N}_{2}}}}}$, $A$ – оператор обратной задачи.

Отметим, что в линейном приближении при ${{N}_{1}}{{N}_{2}} = 6$ и $\det A \ne 0$ существует единственное решение системы $Aq = f$. В случае ${{N}_{1}}{{N}_{2}} > 6$ вводится понятие нормального псевдорешения, т.е. решения, реализующего минимум нормы невязки

$J(q) = {{\left\| {Aq - f} \right\|}^{2}}.$

В [14] в линейном приближении решение обратной задачи (2)–(3) исследовано на устойчивость, и показано, что число обусловленности матрицы $A$ имеет порядок ${{10}^{{16}}}$, что свидетельствует о неустойчивости решения обратной задачи.

В данной работе невязка имеет вид

(4)

$J(q) = w\sum\limits_{i = 1}^{{{N}_{1}}} {\sum\limits_{k = 1}^{{{N}_{2}}} {\int\limits_l^L {\int\limits_1^T {{{{\left| {u(x,t;q) - f(x,t)} \right|}}^{2}}\delta (x - {{x}_{i}})\delta (t - {{t}_{k}})dtdx} } } } ,$

здесь $w = (L - l)(T - 1){\text{/}}({{N}_{1}}{{N}_{2}})$.

По аналогии сформулируем дискретную постановку целевого функционала

(5)

$I(q) = w\sum\limits_{i = 1}^{{{N}_{1}}} {\sum\limits_{k = 1}^{{{N}_{2}}} {{{{\left| {{v}_{i}^{k} - {{f}_{{ik}}}} \right|}}^{2}}} } ,$

где ${v}_{i}^{k}: = u({{x}_{i}},{{t}_{k}};q)$.

2. НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ ПОСТАНОВКИ ГРАДИЕНТОВ ФУНКЦИОНАЛА

Исследование непрерывной и дискретной постановок прямой и обратной задач для диффузионно-логистической модели было навеяно работой А.Л. Карчевского [8], в которой похожий анализ был проделан для решения обратной задачи для гиперболического уравнения.

Существуют два подхода к численному решению поставленной обратной задачи (2)–(3). Первый состоит из следующих шагов:

• перейти от непрерывной постановки прямой задачи ${{L}_{q}}u = 0$ (${{L}_{q}}$ – оператор прямой задачи) к дискретной ${{\Lambda }_{p}}{v} = 0$ (${{\Lambda }_{p}}$ – конечно-разностный аналог оператора прямой задачи, а функция $p$ является некоторым приближением функции $Q$ и ${{p}_{j}} = {{q}_{{s - 1}}}$ при ${{x}_{j}} = s$, $s = 1,\; \ldots ,\;6$);

• выписать целевой функционал в дискретной постановке $I(q)$;

• получить постановку сопряженной задачи $\Lambda _{p}^{*}\phi = 0$ и градиент целевого функционала в дискретной форме $I{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} (q)$;

• решить задачу минимизации функционала $I(q)$.

Второй подход подразумевает следующую схему действий:

• выписать целевой функционал в непрерывной постановке $J(q)$;

• получить постановку сопряженной задачи $L_{q}^{*}\psi = 0$ и выражение градиента целевого функционала в непрерывной форме $J{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} (q)$;

• перейти к задаче ${{\Lambda }_{p}}{v} = 0$;

• выписать целевой функционал $I(q)$, аппроксимирующий $J(q)$;

• от постановки сопряженной задачи $L_{q}^{*}\psi = 0$ перейти к задаче $\Lambda _{p}^{*}\phi = 0$;

• получить соотношение $I{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} (q)$, которое аппроксимирует градиент целевого функционала $J{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} (q)$;

• решить задачу минимизации функционала $J(q)$.

Особенность постановки обратной задачи (2)–(3) состоит в дискретном задании дополнительных измерений, а также в определении набора параметров $q = ({{q}_{0}},\; \ldots ,\;{{q}_{5}})$ вместо функции $Q(x)$.

2.1. Градиент функционала в дискретной постановке

Дискретный градиент, полученный с помощью подхода из работ Ю.Г. Евтушенко и Ф.Л. Черноусько [9]–[12], формулируется для дискретной постановки рассматриваемой модели, т.е. для задачи

(6)

$\begin{gathered} \frac{{{v}_{j}^{{n + 1}} - {v}_{j}^{n}}}{\tau } = d\frac{{{v}_{{j + 1}}^{n} - 2{v}_{j}^{n} + {v}_{{j - 1}}^{n}}}{{{{h}^{2}}}} + \left( {1 - \frac{{{v}_{j}^{n}}}{K}} \right){{r}^{n}}{v}_{j}^{n},\quad j = 1,\; \ldots ,\;{{N}_{x}} - 1,\quad n = 0,\; \ldots ,\;{{N}_{t}} - 1, \hfill \\ {v}_{j}^{0} = {{p}_{j}},\quad j = 0,\; \ldots ,\;{{N}_{x}}, \hfill \\ {v}_{0}^{{n + 1}} = \frac{{4{v}_{1}^{{n + 1}} - {v}_{2}^{{n + 1}}}}{3},\quad n = 0,\; \ldots ,\;{{N}_{t}} - 1, \hfill \\ {v}_{{{{N}_{x}}}}^{{n + 1}} = \frac{{4{v}_{{{{N}_{x}} - 1}}^{{n + 1}} - {v}_{{{{N}_{x}} - 2}}^{{n + 1}}}}{3},\quad n = 0,\; \ldots ,\;{{N}_{t}} - 1. \hfill \\ \end{gathered} $

Преобразуем ее в условие связи

(7)

$\Phi (n,{{{v}}^{n}};q) = 0,\quad n = 0,\; \ldots ,\;{{N}_{t}},$

где ${{{v}}^{n}}$ – набор векторов ${{{v}}_{j}}$, $j = 0,\; \ldots ,\;{{N}_{x}}$.

Каждому условию в (7) ставится в соответствие вектор ${{\phi }^{n}} \in {{R}^{{{{N}_{x}} + 1}}}$, их объединение есть вектор ${{\phi }^{{\text{т}}}} = (\phi _{0}^{{\text{т}}},\; \ldots ,\;\phi _{{{{N}_{t}}}}^{{\text{т}}})$, $\phi \in {{R}^{{({{N}_{t}} + 1) \times ({{N}_{x}} + 1)}}}$. И рассматривается аналог функции Лагранжа для многошагового процесса (7):

(8)

$E({v},\phi ;q) = I(q) - \sum\limits_{n = 0}^{{{N}_{t}}} {{{\Phi }^{{\text{т}}}}} (n,{{{v}}^{n}};q){{\phi }^{n}}.$

Тогда (см. [9])

(9)

${{\phi }^{{{{i}_{n}}}}} = {{E}_{{{{{v}}^{{{{i}_{n}}}}}}}}({v},\phi ;q) = {{I}_{{{{{v}}^{{{{i}_{n}}}}}}}}(q) - \sum\limits_{n = 0}^{{{N}_{t}}} {\Phi _{{{{v}^{{{{i}_{n}}}}}}}^{{\text{т}}}} (n,{{{v}}^{n}};q){{\phi }^{n}},\quad {{i}_{n}} = 0,\; \ldots ,\;{{N}_{t}},$

(10)

$\frac{{\partial I(q)}}{{\partial {{q}_{{{{i}_{s}}}}}}} = {{E}_{{{{q}_{{{{i}_{s}}}}}}}}({v},\phi ;q) = {{I}_{{{{q}_{{{{i}_{s}}}}}}}}(q) - \sum\limits_{n = 0}^{{{N}_{t}}} \Phi _{{{{q}_{{{{i}_{s}}}}}}}^{{\text{т}}}(n,{{{v}}^{n}};q){{\phi }^{n}},\quad {{i}_{s}} = 0, \ldots ,5.$

И справедлива следующая лемма.

Лемма. Градиент функционала $(5)$ имеет вид

(11)

$\begin{gathered} I{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} (q)[0] = - \frac{d}{{{{h}^{2}}}}\phi _{1}^{0}, \hfill \\ I{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} (q)[s] = - \frac{{\phi _{{{{j}_{s}}}}^{0}}}{\tau } - d\frac{{\phi _{{{{j}_{{(s - 1)}}}}}^{0} - 2\phi _{{{{j}_{s}}}}^{0} + \phi _{{{{j}_{{(s + 1)}}}}}^{0}}}{{{{h}^{2}}}} - {{r}^{0}}\phi _{{{{j}_{s}}}}^{0} + \frac{{2{{r}^{0}}{{q}_{s}}}}{K}\phi _{{{{j}_{s}}}}^{0},\quad s = 1,\;2,\;3,\;4, \hfill \\ I{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} (q)[5] = - \frac{d}{{{{h}^{2}}}}\phi _{{{{N}_{x}} - 1}}^{0}, \hfill \\ \end{gathered} $

где $\phi _{{{{j}_{s}}}}^{0}$ соответствует значению $\phi $ в точке $({{x}_{j}} = s + 1,{{t}_{0}})$ и функция $\phi _{j}^{n}$ удовлетворяет сопряженной задаче

(12)

$\begin{gathered} \frac{{\phi _{j}^{{n - 1}} - \phi _{j}^{n}}}{\tau } = d\frac{{\phi _{{j - 1}}^{n} - 2\phi _{j}^{n} + \phi _{{j + 1}}^{n}}}{{{{h}^{2}}}} + {{r}^{n}}\phi _{j}^{n} - \frac{{2{{r}^{n}}{v}_{j}^{n}}}{K}\phi _{j}^{n} - \frac{{[\phi ]}}{{\tau h}},\quad j = 1,\; \ldots ,\;{{N}_{x}} - 1,\quad n = 1,\; \ldots ,\;{{N}_{t}}, \hfill \\ \phi _{j}^{{{{N}_{t}}}} = 0,\quad j = 0\; \ldots ,\;{{N}_{x}}, \hfill \\ \phi _{0}^{n} = \frac{d}{{{{h}^{2}}}}\phi _{1}^{n},\quad n = 0\; \ldots ,\;{{N}_{t}} - 1, \hfill \\ \phi _{{{{N}_{x}}}}^{n} = \frac{d}{{{{h}^{2}}}}\phi _{{{{N}_{x}} - 1}}^{n},\quad n = 0\; \ldots ,\;{{N}_{t}} - 1, \hfill \\ \end{gathered} $

где $[\phi ] = 2w({v}_{i}^{k} - {{f}_{{ik}}})$ при $({{x}_{j}},{{t}_{n}}) = ({{x}_{i}},{{t}_{k}})$ и $[\phi ] = 0$ при $({{x}_{j}},{{t}_{n}}) \ne ({{x}_{i}},{{t}_{k}})$.

Доказательство. Функция $E$, определенная по формуле (8), имеет вид

$\begin{gathered} \frac{{E({v},q,\phi )}}{{\tau h}} = \frac{{I(q)}}{{\tau h}} + \sum\limits_{j = 1}^{{{N}_{x}} - 1} {\sum\limits_{n = 1}^{{{N}_{t}} - 1} {\left[ {\frac{{{v}_{j}^{{n + 1}} - {v}_{j}^{n}}}{\tau } - d\frac{{{v}_{{j + 1}}^{n} - 2{v}_{j}^{n} + {v}_{{j - 1}}^{n}}}{{{{h}^{2}}}} - {{r}^{n}}{v}_{j}^{n} + \frac{{{{r}^{n}}{{{({v}_{j}^{n})}}^{2}}}}{K}} \right]} } {\kern 1pt} \phi _{j}^{n} + \\ + \;\sum\limits_{j = 1}^{{{N}_{x}} - 1} {\left[ {\frac{{{v}_{j}^{1} - {{p}_{j}}}}{\tau } - d\frac{{{{p}_{{j + 1}}} - 2{{p}_{j}} + {{p}_{{j - 1}}}}}{{{{h}^{2}}}} - {{r}^{0}}{{p}_{j}} + \frac{{{{r}^{0}}{{{({{p}_{j}})}}^{2}}}}{K}} \right]} {\kern 1pt} \phi _{j}^{0} + \\ + \;\sum\limits_{n = 0}^{{{N}_{t}} - 1} {\left[ {{v}_{0}^{{n + 1}} - \frac{1}{3}(4{v}_{1}^{{n + 1}} - {v}_{2}^{{n + 1}})} \right]} {\kern 1pt} \phi _{0}^{n} + \sum\limits_{n = 0}^{{{N}_{t}} - 1} {\left[ {{v}_{{{{N}_{x}}}}^{{n + 1}} - \frac{1}{3}(4{v}_{{{{N}_{x}} - 1}}^{{n + 1}} - {v}_{{{{N}_{x}} - 2}}^{{n + 1}})} \right]{\kern 1pt} } \phi _{{{{N}_{x}}}}^{n} = 0. \\ \end{gathered} $

Находим производную функции $E$ по ${v}_{j}^{n}$, что из (9) есть формула для определения функции $\phi _{j}^{n}$:

$\frac{{[\phi ]}}{{\tau h}} + \frac{{\phi _{j}^{{n - 1}} - \phi _{j}^{n}}}{\tau } - d\frac{{\phi _{{j - 1}}^{n} - 2\phi _{j}^{n} + \phi _{{j + 1}}^{n}}}{{{{h}^{2}}}} - {{r}^{n}}\phi _{j}^{n} + \frac{{2{{r}^{n}}u_{j}^{n}}}{K}\phi _{j}^{n} = 0,$

при $j = 1,\; \ldots ,\;{{N}_{x}} - 1$, $n = 1,\; \ldots ,\;{{N}_{t}}$. В случаях $j = 0$ и $j = {{N}_{x}}$ для всех $0 \leqslant n \leqslant {{N}_{t}}$

$\phi _{0}^{{n - 1}} = \frac{d}{{{{h}^{2}}}}\phi _{1}^{n},\quad \phi _{{{{N}_{x}}}}^{{n - 1}} = \frac{d}{{{{h}^{2}}}}\phi _{{{{N}_{x}} - 1}}^{n}.$

При всех $0 \leqslant j \leqslant {{N}_{x}}$ составляющая ${v}_{j}^{0}$ не входит в выражение для функции $E$, поэтому можно положить

$\phi _{j}^{{{{N}_{t}}}} = 0,\quad j = 0,\; \ldots ,\;{{N}_{x}}.$

Таким образом, получили постановку сопряженной задачи (12).

Так как ${{p}_{j}} = {{q}_{{s - 1}}}$ при ${{x}_{j}} = s$, находим производные функции $E$ по ${{q}_{s}}$:

$ - \frac{{\phi _{{{{j}_{s}}}}^{0}}}{\tau } - d\frac{{\phi _{{{{j}_{{(s - 1)}}}}}^{0} - 2\phi _{{{{j}_{s}}}}^{0} + \phi _{{{{j}_{{(s + 1)}}}}}^{0}}}{{{{h}^{2}}}} - {{r}^{0}}\phi _{{{{j}_{s}}}}^{0} + \frac{{2{{r}^{0}}{{q}_{s}}}}{K}\phi _{{{{j}_{s}}}}^{0},$

при $s = 2,\;3,\;4,\;5$, где $\phi _{{{{j}_{s}}}}^{0}$ соответствует значению $\phi $ в точке (${{x}_{j}} = s,{{t}_{0}}$). При $s = 1$ и $s = 6$ производные соответственно

${{E}_{{{{q}_{0}}}}} = - \frac{d}{{{{h}^{2}}}}\phi _{1}^{0},\quad {{E}_{{{{q}_{5}}}}} = - \frac{d}{{{{h}^{2}}}}\phi _{{{{N}_{x}} - 1}}^{0}.$

Тогда из (10) следует (11), что завершает доказательство леммы.

2.2. Градиент функционала в непрерывной постановке

Градиент функционала (4) имеет вид

(13)

$J{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} (q) = - \psi (x,1),$

где функция $\psi (x,t)$ удовлетворяет решению сопряженной задачи

$\begin{gathered} {{\psi }_{t}} = - d{{\psi }_{{xx}}} - r(t)\psi + \frac{{2r(t)u}}{K}\psi + \xi ,\quad 1 \leqslant t \leqslant T,\quad l \leqslant x \leqslant L, \hfill \\ \psi (x,T) = 0,\quad l \leqslant x \leqslant L, \hfill \\ {{\psi }_{x}}(l,t) = {{\psi }_{x}}(L,t) = 0,\quad 1 \leqslant t \leqslant T, \hfill \\ \end{gathered} $

где $\xi = 2w\sum\nolimits_{i = 1}^{{{N}_{1}}} {\sum\nolimits_{k = 1}^{{{N}_{2}}} {\int_l^L {\int_1^T {{{{\left| {u(x,t;q) - f(x,t)} \right|}}^{2}}\delta (x - {{x}_{i}})\delta (t - {{t}_{k}})dtdx} } } } $.

В [15] приведен вывод формулы (13) для более общей постановки задачи (2) с произвольной правой частью.

Отметим, что в силу свойств дельта-функции сопряженная задача может быть записана в виде (см. [16])

$\begin{gathered} {{\psi }_{t}} = - d{{\psi }_{{xx}}} - r(t)\psi + \frac{{2r(t)u}}{K}\psi ,\quad 1 \leqslant t \leqslant T,\quad l \leqslant x \leqslant L, \hfill \\ \psi (x,T) = 0,\quad l \leqslant x \leqslant L, \hfill \\ {{\psi }_{x}}(l,t) = {{\psi }_{x}}(L,t) = 0,\quad 1 \leqslant t \leqslant T, \hfill \\ {{[\psi ]}_{{\begin{array}{*{20}{c}} {x = {{x}_{i}}} \\ {t = {{t}_{k}}} \end{array}}}} = 2w\left( {u({{x}_{i}},{{t}_{k}};q) - {{f}_{{ik}}}} \right),\quad i = 1,\; \ldots ,\;{{N}_{1}},\quad k = 1,\; \ldots ,\;{{N}_{2}}. \hfill \\ \end{gathered} $

3. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

Для решения обратной задачи (2)–(3) в качестве синтетических данных ${{f}_{{ik}}}$ были взяты значения решения прямой задачи при значениях параметров, представленных в табл. 1 и 2 , в каждой десятой точке по $x < {{N}_{x}}$ и в каждой двадцать пятой точке по $t \geqslant 50$, т.е. ${{N}_{1}} = 5$ и ${{N}_{2}} = 22$. Значения параметров в табл. 2 эмитируют реальные данные новостного сайта Digg.com, представленные в [13].

Таблица 2.

Дискретизованная функция начальной плотности $Q(x)$, используемая как точное решение ${{q}_{{{\text{e}}x}}}$ обратной задачи

Параметр	${{q}_{0}}$	${{q}_{1}}$	${{q}_{2}}$	${{q}_{3}}$	${{q}_{4}}$	${{q}_{5}}$
Значение	5.8	1.7	1.9	1	0.95	0.7

Кроме значения функционала также измерялась относительная ошибка

$\delta = \frac{{{{{\left\| {{{q}_{{{\text{ex}}}}} - \tilde {q}} \right\|}}^{2}}}}{{{{{\left\| {{{q}_{{{\text{ex}}}}}} \right\|}}^{2}}}}.$

Здесь ${{q}_{{{\text{e}}x}}}$ – точные значения дискретизованной функции $Q(x)$, а $\tilde {q}$ – найденное решение обратной задачи, которое соответствует минимуму функционала $J(q)$ (5).

3.1. Градиентные методы

Решение задачи минимизации целевых функционалов $J(q)$ и $I(q)$ было получено с использованием двух градиентных методов:

1. Метод градиентного спуска (МГС) (см. [17], [18]) – классический одношаговый градиентный метод (1) с постоянным параметром спуска ${{\alpha }_{k}} = \alpha $. Скорость сходимости по функционалу (см. [18])

$J({{q}^{m}}) \leqslant \frac{{{{{\left\| {{{q}^{0}} - {{q}_{{{\text{e}}x}}}} \right\|}}^{2}}}}{{m\alpha \left( {1 - \alpha {{{\left\| A \right\|}}^{2}}} \right)}}.$

2. Многоуровневый градиентный метод (МГМ) (см. [19], [20]) – это метод локальной оптимизации функции от нескольких переменных. Он является модификацией метода градиентного спуска, что позволяет значительно увеличить скорость сходимости. Алгоритм метода имеет следующий вид:

${{q}^{{m + 1}}} = {{\theta }_{{m + 1}}}{{z}^{m}} + (1 - {{\theta }_{{m + 1}}}){{y}^{m}},\quad {{\theta }_{{m + 1}}} \in \arg \mathop {\min }\limits_{\theta \in [0;1]} J(\theta {{z}^{m}} + (1 - \theta ){{y}^{m}}),$

${{y}^{{m + 1}}} = {{q}^{{m + 1}}} - {{\zeta }_{{m + 1}}}J{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} {\text{(}}{{q}^{{m + 1}}}{\text{)}},\quad {{\zeta }_{{m + 1}}} \in \arg \mathop {\min }\limits_{\zeta \geqslant 0} J({{q}^{{m + 1}}} - \zeta J{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} ({{q}^{{m + 1}}})),$

${{z}^{{m + 1}}} = {{z}^{m}} - {{\eta }_{{m + 1}}}J{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} ({{q}^{{m + 1}}}),\quad {{\eta }_{{m + 1}}} = \frac{1}{{2{{L}_{{m + 1}}}}} + \sqrt {\frac{1}{{4L_{{m + 1}}^{2}}} + \eta _{m}^{2}} ,\quad {{\eta }_{0}} = 0.$

В случае МГМ скорость сходимости по функционалу оценивается следующим образом (см. [21]):

$J({{q}^{m}}) \leqslant \frac{{4L{{{\left\| {{{q}^{0}} - {{q}_{{{\text{ex}}}}}} \right\|}}^{2}}}}{{{{{(m + 1)}}^{2}}}},$

где $L$ – константа Липшица для градиента функционала

${{\left\| {J{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} ({{q}^{{m + 1}}}) - J{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} ({{q}^{m}})} \right\|}_{2}} \leqslant L{{\left\| {{{q}^{{m + 1}}} - {{q}^{m}}} \right\|}_{2}}.$

Были применены и проанализированы МГС и МГМ с непрерывным и дискретным видами градиентов. Причем в случае дискретного градиента МГС имеет параметр спуска ${{\alpha }^{{(1)}}}{{ = 10}^{{ - 7}}}$ и минимум по $\zeta $ в МГМ находится на отрезке $[0,\;{{10}^{{ - 6}}}]$ с шагом ${{10}^{{ - 7}}}$. В случае непрерывного градиента ${{\alpha }^{{(2)}}}{{ = 10}^{{ - 3}}}$, a минимум по $\zeta \in [0,\;{{10}^{{ - 5}}}]$ определяется с шагом ${{10}^{{ - 6}}}$.

3.2. Конечно-разностные схемы решения прямой и сопряженной задач

Для построения разностных схем введем равномерную сетку в замкнутой области $\bar {D} = \{ (x,t)\,|\,l \leqslant x \leqslant L,\;1 \leqslant t \leqslant T\} $:

$\bar {\omega } = \{ ({{x}_{j}},{{t}_{n}})\,|\,{{x}_{j}} = l + jh,\;{{t}_{n}} = 1 + n\tau ,\;j = 0,\; \ldots ,\;{{N}_{x}},\;n = 0,\; \ldots ,\;{{N}_{t}}\} ,$

где $h = (L - l){\text{/}}{{N}_{x}}$ и $\tau = (T - 1){\text{/}}{{N}_{t}}$.

Для применения классического непрерывного подхода функция начального приближения $Q(x)$ определяется из вектора $q$ (см. табл. 2) интерполяцией кубическими сплайнами.

Прямая задача (2) решается с помощью явной конечно-разностной схемы с порядком аппроксимации $O(\tau + {{h}^{2}})$ в виде (6).

Положим в численных расчетах $l = 1$, $L = 6$, $T = 24$, ${{N}_{x}} = 50$ и ${{N}_{t}} = 575$. Такие значения $l$, $L$ были выбраны в соответствии с данными, представленными в [13], которые иллюстрируют, что интерес к информации проявляется у пользователей с расстоянием $x$ в пределах от 1 до 6. Именно в этих границах происходит значительный вклад в изменение плотности активных пользователей $u(x,t)$. Значения разбиения сетки ${{N}_{x}}$ и ${{N}_{t}}$ выбраны таким образом, чтобы выполнялось условие Куранта–Фридрихса–Леви

$\tau \leqslant \frac{{2{{h}^{2}}}}{{4d + {{r}_{c}}{{h}^{2}}}}$

с учетом того, что ${{r}_{c}} = \mathop {\max }\limits_t r(t) = 0.44$, $h = 0.1$ и $\tau = 0.04$.

Для анализа устойчивости решения прямой задачи была реализована схема Кранка–Николсон с порядком аппроксимации $O({{\tau }^{2}} + {{h}^{2}})$.

3.3. Сравнительный анализ непрерывной и дискретной постановок

Проведем сравнительный анализ подходов решения обратной задачи: с точным подсчетом градиента для дискретной задачи (6)–(3) и с непрерывной постановкой и дискретизацией при вычислении градиента (2)–(3). Этапы сходства и различия алгоритмов решения указанных обратных задач приведены в таблице 3. Отметим, что в обоих случаях идентично решена прямая задача, а сопряженные задачи решены одной конечно-разностной схемой, которые входят в соответствующие выражения для вычисления градиентов целевого функционала. К решению соответствующих задач минимизации применены одинаковые алгоритмы. В качестве сравнения двух подходов анализируется значение целевого функционала и относительная погрешность восстановленных решений. Решение, полученное с помощью градиентных методов, зависит от начального приближения. Было рассмотрено два варианта выбора начального приближения (см. [19], [22], [23]): решение обратной задачи, полученное с помощью метода глобальной оптимизации роя частиц (МРЧ), представленное в табл. 3, и нулевое начальное приближение. Нулевое начальное приближение выбрано из физической постановки, так как ${{q}^{0}}$ описывает первую реакцию пользователей на новость в отсутствиe дополнительной информации об этой реакции. В приведенной реализации МРЧ функционал $J(\hat {q}) = 1.114 \times {{10}^{{ - 3}}}$ и относительная погрешность $\delta = 1.533 \times {{10}^{{ - 3}}}$.

Таблица 3.

Решение обратной задачи, полученное методом роя частиц

Параметр	${{\hat {q}}_{0}}$	${{\hat {q}}_{1}}$	${{\hat {q}}_{2}}$	${{\hat {q}}_{3}}$	${{\hat {q}}_{4}}$	${{\hat {q}}_{5}}$
Значение	5.809	1.697	1.901	0.999	0.949	0.701

В табл. 4 представлены результаты, полученные следующими методами:

Таблица 4.

Результаты, полученные методами градиентного спуска и его модификацией

Метод	${{q}^{0}}$	$J(q),\; \times \;{{10}^{{ - 4}}}$	$\delta ,\; \times \;{{10}^{{ - 4}}}$	${{N}_{{{\text{iter}}}}}$	${{t}_{{{\text{ЭВМ}}}}}$
МГС I	$\hat {q}$	9.604	6.274	5380	3
МГМ I	$\hat {q}$	9.544	6.273	397	3
МГМ II	0	9.029	6.262	245	2
МГС II	0	9.032	6.262	16 374	9
МГС III	$\hat {q}$	9.847	6.276	166 862	93
МГМ III	$\hat {q}$	9.793	6.276	1372	11
МГМ IV	0	9.047	6.261	1630	12
МГС IV	0	9.101	6.266	1 005 999	569
МГМ V	0	11.26	6.254	1586	25

Примечание. В столбце начального приближения ${{q}^{0}}$ под $\hat {q}$ понимается вектор решения обратной задачи, полученный с помощью методa роя частиц (представленный в табл. 3), а 0 – нулевой вектор ${{N}_{{{\text{iter}}}}}$ – число итераций, ${{t}_{{{\text{ЭВМ}}}}}$ – время работы программы.

• МГС I и МГМ I – методы с непрерывным градиентом и начальным приближением в виде решения, полученного МРЧ;

• МГС II и МГМ II – методы с непрерывным градиентом и нулевым начальным приближением;

• МГС III и МГМ III – методы с дискретным градиентом и начальным приближением в виде решения, полученного МРЧ;

• МГС IV и МГМ IV – методы с дискретным градиентом и нулевым начальным приближением;

• МГМ V – метод с нулевым начальным приближением и дискретным градиентом в случае, когда прямая и сопряженная задачи численно решались конечно-разностной схемой Кранка–Николсон.

Из табл. 4 видно, что МГМ находит решение с заданной точностью, производя более чем в 10 раз меньше итераций, чем МГС при одинаковых начальных условиях и формах нахождения градиента целевого функционала. В случае начального приближения $\hat {q}$ и непрерывного градиента (т.е. МГС I и МГМ I) времена работ программ не отличаются, однако при других вариантах реализации градиентных методов МГМ находит решение с заданной точностью в несколько раз быстрее МГС. При нулевом начальном приближении методы работают в несколько раз дольше, но достигают большей точности только на шестом знаке после запятой. В случае дискретного градиента МГМ достигает решения того же порядка в несколько раз дольше, а МГС – более чем в 30 раз дольше по времени. При этом МГМ V имеет наименьшее среди всех рассмотренных методов значение погрешности, однако при этом метод работает в несколько раз дольше других реализаций МГМ. На фиг. 1 непрерывными линиями изображены кривые, полученные МГМ II в случае непрерывного вычисления градиента функционала, а пунктирными линиями – кривые, полученные МГМ IV в случае дискретной реализации градиента. Из фиг. 1 следует, что значение функционала и погрешность в случае МГМ II убывают быстрее.

Фиг. 1.

Графики убывания функционалов $J(q)$ и $I(q)$ (а) и относительной погрешности $\delta $ (б) на итерациях с 10-й по 100-ю. Сплошная линия характеризует использование непрерывного градиента, а пунктирная – дискретного градиента целевого функционала.

Был проанализирован случай зашумленных данных:

$f_{{ik}}^{\varepsilon } = {{f}_{{ik}}} + \varepsilon \gamma \max \left| {{{f}_{{ik}}}} \right|,\quad i = 1,\; \ldots ,\;{{N}_{1}},\quad k = 1,\; \ldots ,\;{{N}_{2}},$

где $\varepsilon \in (0,\;1)$ – уровень шума, а $\gamma $ – случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение.

Для зашумленных данных обратной задачи был реализован МГМ с различными начальными приближениями, а прямая задача решалась методом конечных разностей схемой Кранка–Николсон. Результаты численных экспериментов для такой постановки обратной задачи в случае дискретного и непрерывного градиентов приведены в табл. 5. Можно видеть, что в случае нулевого начального приближения метод с дискретным градиентом имеет наименьшее значение относительной ошибки при шуме в $1\% $, в то время как метод с непрерывным градиентом – при шуме в $5$ и $10\% $. В случае начального приближения в виде решения, полученного с помощью МРЧ, точности восстановленных решений обратной задачи $\delta $ различаются незначительно.

В работе проведено исследование двух подходов к решению задачи восстановления источника, в рамках которых были реализованы две конечно-разностные схемы, в которых порядок аппроксимации по пространственной переменной совпадает и равен 2, а по временной имеют 1-й и 2-й (Кранка–Николсон) порядки. В таблицах 5 и 6 экспериментально показано, что результат сходимости не чувствителен к порядку аппроксимации по временной переменной. Исходя из оценок сходимости и итерационных выражений определения решения обратной задачи, порядок аппроксимации по пространственной переменной при решении прямой и сопряженной задач имеет большое влияние на точность полученного решения и, скорее всего, на скорость сходимости градиентных методов. В случае определения плотности начального распределения пользователей относительно популярной новости в онлайн социальных сетях с большой пропускной способностью (Twitter, Facebook, Reddit и др.) требуется качественно определить тип вовлеченности пользователей и структуру распределения. Для получения более точных оценок взаимосвязи скорости сходимости градиентных методов с точностью аппроксимации необходимы отдельные исследования.

Таблица 5.

Результаты решения обратной задачи с уровнем зашумленности в данных $\varepsilon = 1,\;5,\;10\% $, полученные многоуровневым градиентным методом с градиентом в дискретной и непрерывной постановках

Начальное приближение	$\varepsilon $, %	Дискретный градиент (11)		Непрерывный градиент (13)
Начальное приближение	$\varepsilon $, %	$I(q)$	$\delta $	$J(q)$	$\delta $
Нулевое	1	1.133 × 10^–2	6.706 × 10^–4	9.628 × 10^–2	7.356 × 10^–4
	5	1.475 × 10^–1	8.447 × 10^–4	3.272 × 10^–3	6.399 × 10^–4
	10	3.461 × 10^–2	7.305 × 10^–4	3.286 × 10^–3	6.407 × 10^–4
Решение МРЧ	1	1.242 × 10^–3	6.271 × 10^–4	1.403 × 10^–3	6.262 × 10^–4
	5	3.165 × 10^–2	6.431 × 10^–4	1.865 × 10^–3	6.261 × 10^–4
	10	16.795	1.707 × 10^–2	11.289	1.388 × 10^–2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе проведен сравнительный анализ численного решения задачи об источнике для диффузионно-логистической модели по данным о диффузионном процессе в фиксированные моменты времени и точках пространства градиентными методами для случаев непрерывной (классической) и дискретной постановок. Получены выражения для вычисления градиента целевого функционала в случае двух постановок, связанных с решением соответствующих сопряженных задач.

Прямая и сопряженные задачи были решены с помощью явной схемы с порядком аппроксимации $O(\tau + {{h}^{2}})$ и соблюдением условия Куранта–Фридрихса–Леви и полунеявной схемы Кранка–Николсон, имеющей порядок аппроксимации $O({{\tau }^{2}} + {{h}^{2}})$. Задача минимизации целевого функционала была решена методами градиентного спуска с постоянным параметром спуска и многоуровневым градиентным методом. Были проанализированы два варианта начального приближения решения обратной задачи: нулевое и полученное методом роя частиц. Показано, что в случае ненулевого начального приближения с использованием выражения для градиента целевого функционала в непрерывной постановке времена работы программ не отличаются, однако при других вариантах реализации градиентных методов многоуровневый градиентный метод находит решение с заданной точностью в несколько раз быстрее метода градиентного спуска. При нулевом начальном приближении методы работают в несколько раз дольше, но достигают большей точности. В случае дискретного градиента многоуровневый градиентный метод достигает решения того же порядка в несколько раз дольше, а метод градиентного спуска – более чем в 30 раз дольше по времени.

Показано, что в случае аппроксимации кубическими сплайнами дискретных функций в прямой задаче различия в точности полученных решений обратных задач для непрерывной и дискретной постановок наблюдаются только в шестом знаке после запятой в случае незашумленных синтетических данных, описывающих динамику вовлеченных пользователей в онлайн социальной сети. Однако машинное время решения обратной задачи в дискретной форме больше, чем непрерывный аналог.

Список литературы

Hestenes M.R., Stiefel E. Methods of conjugate gradients for solving linear systems // J. Res. Natl. Inst. Stand. Technol. 1952. V. 49. № 6. P. 409–436.
Fletcher R., Reeves C.M. Function minimization by conjugate gradients // Comput. J. 1964. V. 7. № 2. P. 149–154.
Byrd R.H., Nocedal J., Yuan Y. Global convergence of a class of quasi-Newton methods on convex problems // SIAM J. Numer. Anal. 1987. V. 24. № 5. P. 1171–1190.
Hasanov A. Simultaneous determination of source terms in a linear parabolic problem from the final overdetermination: Weak solution approach // J. Math. Anal. Appl. 2007. V. 330. № 2. P. 766–779.
Prilepko A.I., Kamynin V.L., Kostin A.B. Inverse source problem for parabolic equation with the condition of integral observation in time // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2018. V. 26. № 4. P. 523–539.
Aida-zade K.A., Rahimov A.B. Numerical solution to inverse source problems for linear parabolic equation // IFAC-PapersOnLine. 2018. V. 51. № 30. P. 231–236.
Cheng J., Liu J. An inverse source problem for parabolic equations with local measurements // Appl. Math. Lett. 2020. V. 103. P. 106213.
Карчевский А.Л. Корректная схема действий при численном решении обратной задачи оптимизационным методом // Сиб. журн. вычисл. матем. 2008. Т. 11. № 2. С. 139–149.
Евтушенко Ю.Г. Оптимизация и быстрое автоматическое дифференцирование. М.: ВЦ РАН, 2013.
Евтушенко Ю.Г., Засухина Е.С., Зубов В.И. О численном подходе к оптимизации решения задачи Бюргерса с помощью граничных условий // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. № 12. С. 1449–1458.
Евтушенко Ю.Г. Приближенный расчет задач оптимального управления // Приклад. матем. и механика. 1970. Т. 34. № 1. С. 95–104.
Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. 1977. Т. 14. С. 101–166.
Wang H., Wang F., Xu K. Diffusive logistic model towards predicting information diffusion in online social networks // Proceed. 32nd Inter. Conf. on Distribut. Comput. Syst. Workshop. 2012. P. 133–139.
Krivorotko O., Zvonareva T. Numerical solution of the inverse problem for diffusion-logistic model arising in online social networks // Commun. Comput. Info. Sci. 2021. V. 1476. P. 444–459.
Krivorotko O., Kabanikhin S., Zhang S., Kashtanova V., Global and local optimization in identification of parabolic systems // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2020. V. 28. № 6. P. 899–913.
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.
Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.
Kabanikhin S., Penenko A. Gradient-type methods in inverse parabolic problems // J. Phys. Conf. Ser. 2008. V. 135. P. 012054.
Гасников А.В. Современные численные методы оптимизации. Метод универсального градиентного спуска. М.: МФТИ, 2018.
Nesterov Y., Gasnikov A., Guminov S., Dvurechensky P. Primal–dual accelerated gradient methods with small-dimensional relaxation oracle // Optim. Methods Softw. 2020. P. 1–38.
Gasnikov A.V., Nesterov Y.E. Universal method for stochastic composite optimization problems // Comput. Math. Math. Phys. 2018. V. 58. № 1. P. 48–64.
Kaltenbacher B., Neubauer A., Scherzer O. Iterative regularization methods for nonlinear ill-posed problems. New York: De Gruyter, 2008.
Kaltenbacher B. All-at-once versus reduced iterative methods for time dependent inverse problems // Inverse Probl. 2017. V. 33. P. 064002.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал