Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 8, стр. 1289-1299

1. ВВЕДЕНИЕ

В работах Б.Н. Делоне [1]–[3] было введено и изучено понятие $(r,R)$-системы, которое сейчас называют множеством Делоне. С помощью множеств Делоне описывают микроструктуру любого твердого вещества, как аморфного, так и кристаллического. Строение кристалла, в отличие от микроструктуры аморфного вещества, обладает высокой симметрией в целом, которая является кристаллографической группой. В дальнейшем была построена локальная теория правильных систем, заложенная в [4]. Был доказан ряд теорем, в которых “глобальный порядок” в кристалле (т.е. наличие в нем кристаллографической группы симметрий) выводится из попарной идентичности его кластеров некоторого радиуса. В локальной теории важную роль играет наличие у кластеров симметрий или их отсутствие. Подчеркнем, что речь идет лишь о симметриях, действующих на множестве в пределах кластера и не обязанных входить в группу симметрий множества Делоне в целом.

В случае трехмерного пространства М.И. Штогрин (см. [5]) показал, что в $2R$-изометричном множестве Делоне, где $R$ – радиус покрытия, кластеры (или “паучки”) радиуса $2R$ не могут содержать вращений выше 6-го порядка. Этот результат, полученный в конце 1970-х гг. и опубликованный лишь в 2010 г., оказался важным для получения верхней оценки ${{\hat {\rho }}_{3}} \leqslant 10R$ для радиуса регулярности ${{\hat {\rho }}_{3}}$ в трехмерном пространстве (см. [6], [7]).

Недавно Н.П. Долбилин (см. [8], [9]) доказал утверждения, верные для совершенно произвольных множеств Делоне без каких-либо дополнительных условий, из которого следует утверждение Штогрина для множеств с одинаковыми $2R$-кластерами. В частности, в [9] из произвольного множества Делоне $X \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ было выделено подмножество $\tilde {X}$ всех тех точек из $X$, в которых порядок локальной оси не превосходит 6. Было доказано, что подмножество $\tilde {X}$ является также множеством Делоне, для которого значение радиуса покрытия $\tilde {R}$, вообще говоря, превосходит радиус покрытия $R$ для $X$. Отсюда следует, что в множестве $X$ с одинаковыми $2R$-кластерами у всех точек локальные группы не содержат вращений выше 6-го порядка, т.е. $X = \tilde {X}$.

Этот результат подсказал направление исследований локальных групп в произвольных множествах Делоне на плоскости и в 3D-пространстве.

Так, в [9] были высказаны две гипотезы. Одна, общая, гипотеза утверждает, что в произвольном множестве Делоне $X( \subset {{\mathbb{R}}^{3}})$ подмножество ${{X}_{{{\text{cr}}}}}$ всех точек $x$ из $X$, в которых локальные вращения имеют только кристаллографический порядок $n$, т.е. $n = 1,\;2,\;3,\;4,\;6$, является множеством Делоне.

Согласно другой, ослабленной, гипотезе (см. [9]), для $2R$-изометрического множества $X \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ локальные группы (которые в этом случае все попарно сопряжены) не содержат осей некристаллографического порядка $n$, т.е. нет осей порядков $n = 5$ и $n > 6$. Очевидно, что справедливость ослабленной гипотезы следует из справедливости общей гипотезы относительно произвольных множеств Делоне. С другой стороны, ослабленная гипотеза является очень сильным обобщением классической теоремы об отсутствии глобальной оси 5-го порядка в двумерной и трехмерной решетках.

Обратим внимание на то, что обобщение происходит сразу по двум направлениям. Во-первых, речь идет о невозможности не только глобальных осей 5-го порядка, но и локальных. Во-вторых, семейство $2R$-изометричных множеств, о которых говорится в ослабленной гипотезе, гораздо шире не только семейства решеток, но и, как следует из [10], семейства правильных систем (определение см. ниже).

Основная цель настоящей работы – доказать упомянутую выше общую гипотезу для случая плоскости (теорема 2.1).

2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Приведем несколько необходимых определений (подробнее см., например, [6]).

Определение 2.1 (множество Делоне). Множество $X \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ называется множеством Делоне типа $(r,R)$, где $r,R > 0$, если выполнены следующие два условия:

(1) в открытом круге $B_{y}^{o}(r)$ радиуса $r$ с центром в произвольной точке $y \in {{\mathbb{R}}^{2}}$ содержится не более одной точки из $X$:

(2) в замкнутом круге ${{B}_{y}}(R)$ содержится не менее одной точки из $X$:

Ясно, что $r < R$. Более того, из определения 2.1 следует, что для данного множества Делоне $X$ оба неравенства (1) и (2) выполняются и для $r{\text{'}}$, и для $R{\text{'}}$, если $r{\text{'}} < r$ и $R{\text{'}} > R$. Поэтому будем считать, что в качестве $r$ и $R$ выбраны соответственно наибольшее и наименьшее возможные для данного множества $X$ значения. Другими словами, если $X$ – фиксированное множество центров кругов, то под  $r$ понимается наибольший радиус упаковки плоскости ${{\mathbb{R}}^{2}}$ равными кругами с центрами в $X$, а под $R$ – наименьший радиус покрытия плоскости ${{\mathbb{R}}^{2}}$ равными кругами с центрами в $X$.

Определение 2.2 (правильная система). Множество Делоне $X \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ называется правильной системой, если для любой пары точек $x$, $x{\text{'}}$ из $X$ существует движение $g$ плоскости ${{\mathbb{R}}^{2}}$, для которого $g(x) = x{\text{'}}$ и $g(X) = X$.

Из определения следует, что группа симметрий правильной системы действует транзитивно на ее точках. Решетка, построенная на некотором базисе, является частным случаем правильной системы. На решетке существует транзитивная группа, состоящая из параллельных переносов исключительно.

Определение 2.3 (кластер). Для $x \in X$ и произвольного $\rho > 0$ множество $X \cap {{B}_{x}}(\rho )$ назовем $\rho $-кластером точки $x$ в множестве Делоне $X$ и обозначим через ${{C}_{x}}(\rho )$. При этом два $\rho $-кластера ${{C}_{x}}(\rho )$ и ${{C}_{{x{\kern 1pt} '}}}(\rho )$ считаются эквивалентными, если существует движение $g$ такое, что $g(x) = x{\text{'}}$ и $g({{C}_{x}}(\rho )) = {{C}_{{x'}}}(\rho )$.

Отметим, что кластеры ${{C}_{x}}(\rho )$ и ${{C}_{{x'}}}(\rho )$ двух разных точек $x \ne x{\text{'}} \in X$ могут совпадать как множества, но при этом могут не быть эквивалентными, потому что может не оказаться изометрии, переводящей одновременно $x$ в $x{\kern 1pt} '$ и множество в себя (фиг. 1). Мы видим, что в этом случае одно и то же множество $X \cap {{B}_{x}}(\rho )$ ($ = X \cap {{B}_{{x'}}}(\rho )$) окружает две свои точки $x$ и $x{\text{'}}$ по-разному.

Определение 2.4 (группа кластера). Для данной точки $x \in X$ группой кластера ${{C}_{x}}(\rho )$ называется группа ${{S}_{x}}(\rho )$ всех изометрий $s$ плоскости таких, что $s(x) = x$ и $s({{C}_{x}}(\rho )) = {{C}_{x}}(\rho )$.

При $\rho < 2r$ для каждой точки $x \in X$ $\rho $-кластер ${{C}_{x}}(\rho )$ состоит из единственной точки – точки $x$ и группа ${{S}_{x}}(\rho ) = {{O}_{x}}(2)$ – ортогональная группа $O(2)$ с неподвижной точкой x. Далее, для каждой точки $x$ группа ${{S}_{x}}(\rho )$ не возрастает и может только уменьшаться с ростом радиуса $\rho $. Так как при $\rho = 2R$ кластер ${{C}_{x}}(2R)$ вокруг любой точки множества Делоне (это верно в пространстве любой размерности) является полномерным, то его группа ${{S}_{x}}(2R)$ является конечной. Для случая плоскости конечность группы ${{S}_{x}}(\rho )$ для любой точки $x \in X$ достигается уже при $\rho = 2r$.

Определение 2.5 (локальная группа). Группу $2R$-кластера ${{C}_{x}}(2R)$ назовем локальной группой в точке $x$ и обозначим ${{S}_{x}}(2R): = {{G}_{x}}$. Вращение из локальной группы (если не сказано иное) будем называть локальным вращением, имея в виду, что это вращение, ограниченное на шар ${{B}_{x}}(2R)$, оставляет кластер ${{C}_{x}}(2R)$ инвариантным.

Множество всех собственных вращений (плоскости вокруг точки $x$) группы ${{G}_{x}}$ составляет циклическую подгруппу, порядок которой обозначим через ${{n}_{x}}$. Напомним, что эти вращения, вообще говоря, не являются симметрией множества Делоне $X$ в целом.

Конечные подгруппы ортогональной группы $O(2)$, содержащие вращения порядков $n = 1,\;2,\;3,\;4$ или 6, являются кристаллографическими точечными группами, т.е. конечными подгруппами симметрий той или иной двумерной решетки.

Основной результат работы – следующая теорема.

Теорема 2.1. Пусть $X \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ – произвольное множество Делоне с радиусом покрытия $R$ и ${{X}_{{{\text{cr}}}}}$ – подмножество всех точек $x \in X$, локальная группа которых кристаллографическая. Тогда подмножество ${{X}_{{{\text{cr}}}}}$ является множеством Делоне с радиусом покрытия ${{R}_{{{\text{cr}}}}}$ меньше $2R$. Более того, оценка ${{R}_{{{\text{cr}}}}} < 2R$ неулучшаема.

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОГО РЕЗУЛЬТАТА

Пусть для $x \in X$, ${{n}_{x}} \geqslant 3$ и ${{x}_{1}}$ – ближайшая к $x$ точка из $X$. Ясно, что $\left| {x{{x}_{1}}} \right| < 2R$. Так как ${{G}_{x}} \supseteq {{C}_{{{{n}_{x}}}}}$, то точка ${{x}_{1}}$ размножается поворотами из группы ${{C}_{{{{n}_{x}}}}}$ в вершины правильного ${{n}_{x}}$-угольника $P = {{x}_{1}}{{x}_{2}}\; \ldots \;{{x}_{{{{n}_{x}}}}}$, вписанного в окружность радиуса ${{r}_{1}} = \left| {x{{x}_{1}}} \right|$ (фиг. 2). Если $h$ – середина стороны ${{x}_{1}}{{x}_{2}}$, то в прямоугольном треугольнике $\Delta xh{{x}_{1}}$ угол $\angle hx{{x}_{1}} = \pi {\text{/}}{{n}_{x}}$. Так как $\left| {h{{x}_{1}}} \right| \geqslant r$ и $\left| {x{{x}_{1}}} \right| < 2R$, то

откуда получаем Вообще говоря, на расстоянии ${{r}_{1}}$ от $x$ может находиться $k$ орбит (относительно группы ${{C}_{{{{n}_{x}}}}}$) точек из $X$, ближайших к $x$, где $k \geqslant 1$. Эти точки являются вершинами выпуклого $k{{n}_{x}}$-угольника, вписанного в окружность радиуса ${{r}_{1}}$. Его наименьшая сторона не превышает стороны правильного выпуклого $k{{n}_{x}}$-угольника, вписанного в ту же окружность. В силу (1) в общем случае имеем $k{{n}_{x}} < \pi {\text{/}}\arcsin r{\text{/}}(2R)$.

Лемма 3.1. Пусть точка ${{x}_{1}} \in X$ является ближайшей к точке $x \in X$. Если ${{n}_{x}} \geqslant 7$, то ${{n}_{{{{x}_{1}}}}} \leqslant 2$.

Доказательство. Если ${{x}_{1}}$ – ближайшая к $x$ точка из $X$, то $\left| {x{{x}_{1}}} \right| < 2R$. Поэтому ${{x}_{1}} \in {{C}_{x}}(2R)$. Все точки из $X$, эквивалентные точке ${{x}_{1}}$ относительно группы ${{C}_{{{{n}_{x}}}}} \subseteq {{G}_{x}}$, являются вершинами правильного выпуклого ${{n}_{x}}$-угольника $P = {{x}_{1}}{{x}_{2}}\; \ldots \;{{x}_{{{{n}_{x}}}}}$, вписанного в окружность радиуса $\left| {x{{x}_{1}}} \right|$.

Угол $\angle {{x}_{2}}{{x}_{1}}{{x}_{{{{n}_{x}}}}}$ в ${{n}_{x}}$-угольнике $P$ равен $({{n}_{x}} - 2)\pi {\text{/}}{{n}_{x}}$. Длина стороны $\left| {{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right| = 2\left| {x{{x}_{1}}} \right|{\text{sin}}(\pi {\text{/}}{{n}_{x}})$. Так как ${{n}_{x}} \geqslant 7 > 6$, то $\left| {{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right| < \left| {x{{x}_{1}}} \right| < 2R$. Таким образом, ${{x}_{2}} \in {{C}_{{{{x}_{1}}}}}(2R)$.

Предположим противное: ${{n}_{{{{x}_{1}}}}} \geqslant 3$. Повернем точку ${{x}_{2}}$ вокруг ${{x}_{1}}$ на угол $2\pi {\text{/}}{{n}_{{{{x}_{1}}}}}$ (такой поворот принадлежит группе ${{G}_{{{{x}_{1}}}}}$) в сторону точки $x$. Так как ${{n}_{x}} \geqslant 7$ и ${{n}_{{{{x}_{1}}}}} \geqslant 3$, то

Поэтому поворот точки ${{x}_{2}}$ на угол, не превосходящий $2\pi {\text{/}}3$, оставляет ее образ $x_{2}^{'}$ на дуге ${{x}_{2}}x_{2}^{'}{{x}_{{{{n}_{x}}}}}$ (фиг. 3), находящейся внутри $\angle {{x}_{2}}{{x}_{1}}{{x}_{{{{n}_{x}}}}}$ многоугольника $P$. Отсюда получаем $|{\kern 1pt} xx_{2}^{'}{\kern 1pt} |\; < \left| {x{{x}_{1}}} \right|$. С другой стороны, так как $|{\kern 1pt} {{x}_{1}}x_{2}^{'}{\kern 1pt} |\; = \left| {{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right| < \left| {{{x}_{1}}x} \right|$, то $x_{2}^{'} \ne x$. Получаем противоречие с тем, что ${{x}_{1}} \in X$, по нашему выбору, точка ближайшая к $x$. Это доказывает, что в локальной группе ${{G}_{{{{x}_{1}}}}}$ порядок вращения не превышает 2: ${{n}_{{{{x}_{1}}}}} \leqslant 2$.

Лемма 3.2. Для данной точки $x \in X$ пусть ${{x}_{1}} \in X$ – ближайшая к ней точка. Если ${{n}_{x}} = 5$, то ${{n}_{{{{x}_{1}}}}} \leqslant 3$.

Доказательство. Точки множества $X$, эквивалентные точке ${{x}_{1}}$ относительно группы ${{C}_{{{{n}_{x}}}}} \subseteq {{G}_{x}}$, образуют вершины правильного выпуклого 5-угольника ${{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{4}}{{x}_{5}}$, вписанного в окружность с центром $x$ и радиуса $\left| {x{{x}_{1}}} \right| < 2R$. Окружности радиуса $\left| {x{{x}_{1}}} \right|$ с центрами $x$ и ${{x}_{1}}$ соответственно пересекаются в точках $u$ и $\bar {u}$, симметричных относительно прямой $x{{x}_{1}}$. Будем считать, что точка $u$ ближе к ${{x}_{2}}$, чем к ${{x}_{5}}$, а $\bar {u}$, наоборот, ближе к ${{x}_{5}}$.

Несмотря на то что точка ${{x}_{1}}$ – ближайшая к $x$, точка $x$ не обязана быть ближайшей к ${{x}_{1}}$. Поэтому исследование значения ${{n}_{{{{x}_{1}}}}}$ разделим на два случая.

Случай 1: точка $x$ не является ближайшей к ${{x}_{1}}$ в множестве $X$.

Случай 2: точка $x$ является ближайшей к ${{x}_{1}}$ в множестве $X$.

Доказательство случая 1. Пусть внутри круга с центром ${{x}_{1}}$ и радиуса $\left| {{{x}_{1}}x} \right|$ помимо ${{x}_{1}}$ имеется хотя бы еще одна точка из $X$. Обозначим ее через $y$ (фиг. 4a). Так как $\left| {{{x}_{1}}y} \right| < \left| {{{x}_{1}}x} \right| = \left| {xu} \right|$, то дуга окружности с центром ${{x}_{1}}$ и радиусом $\left| {{{x}_{1}}y} \right|$, расположенная внутри круга с центром $x$ и радиуса $\left| {x{{x}_{1}}} \right|$, не содержит ни одной точки из множества $X$. С другой стороны, эта дуга больше $2\pi {\text{/}}3$, так как пересекается со сторонами угла $u{{x}_{1}}\bar {u} = 2\pi {\text{/}}3$ ромба $xu{{x}_{1}}\bar {u}$ с вершиной ${{x}_{1}}$. Таким образом, угол локального поворота вокруг ${{x}_{1}}$ больше $2\pi {\text{/}}3$. Следовательно, ${{n}_{{{{x}_{1}}}}} \leqslant 2$.

Доказательство случая 2. Если точка $x$ является ближайшей к точке ${{x}_{1}}$, тогда внутри окружности радиуса $\left| {{{x}_{1}}x} \right|$ с центром ${{x}_{1}}$ нет других точек из множества $X$ кроме центра ${{x}_{1}}$. Внутри дуги $ux\bar {u}$, расположенной внутри окружности радиуса $\left| {x{{x}_{1}}} \right|$ с центром $x$, cодержится лишь одна точка из $X$, и эта точка – точка $x$. Следовательно, ${{n}_{{{{x}_{1}}}}} \leqslant 6$. Докажем методом от противного, что ${{n}_{{{{x}_{1}}}}} \ne 4,\;5,\;6$.

Пусть ${{n}_{{{{x}_{1}}}}} = 6$, т.е. в группе ${{G}_{{{{x}_{1}}}}}$ имеются повороты вокруг точки ${{x}_{1}}$ на угол $ \pm \pi {\text{/}}3$, при которых точка $x$ переходит в точки $u$ и $\bar {u}$ (фиг. 4б). Таким образом, если ${{n}_{{{{x}_{1}}}}} = 6$, то точки пересечения окружностей $u$, $\bar {u}$ принадлежат кластеру ${{C}_{x}}(2R)( \subset X)$. Так как ${{n}_{x}} = 5$, в ${{G}_{x}}$ имеются повороты вокруг точки $x$ на углы $ \pm 2\pi {\text{/}}5$. При одном из них точка ${{x}_{2}}$ переходит в ${{x}_{1}}$, а точка $u$ переходит в точку $u* \in {{C}_{x}}(2R)$. Так как

точка $u{\text{*}}$ расположена внутри дуги ${{x}_{1}}\bar {u}$ с центральным углом $\angle {{x}_{1}}x\bar {u} = \pi {\text{/}}3$. Следовательно, для точки $u* \in X$ имеем $\left| {{{x}_{1}}u{\text{*}}} \right| < \left| {{{x}_{1}}x} \right|$, что противоречит основному условию случая 2: внутри круга радиуса $\left| {{{x}_{1}}x} \right|$ с центром ${{x}_{1}}$ других точек из $X$ кроме ${{x}_{1}}$ нет. Итак, доказано, что ${{n}_{{{{x}_{1}}}}} \ne 6$.

Пусть ${{n}_{{{{x}_{1}}}}} = 5$. Тогда при повороте вокруг точки ${{x}_{1}}$ на угол $2\pi {\text{/}}5$ точка $x$ перейдет в точку $v$, зеркально симметричную точке ${{x}_{2}}$ относительно прямой $u\bar {u}$ (фиг. 5a).

Рассмотрим круг $B(x,{{x}_{2}},v,{{x}_{1}})$, описанный около равнобочной трапеции $x{{x}_{2}}v{{x}_{1}}$. Если круг $B(x,{{x}_{2}},v,{{x}_{1}})$ внутри пуст от точек из $X$, то его радиус не превышает $R$. Отсюда следует, что для точки $v$ расстояние $\left| {xv} \right| \leqslant 2R$. Более того, $\left| {{{x}_{2}}v} \right| < \left| {x{{x}_{1}}} \right|$.

Если же круг $B(x,{{x}_{2}},v,{{x}_{1}})$ содержит внутри точки из $X$, то нельзя утверждать, что его радиус не превышает $R$. Следовательно, мы не можем утверждать, что $\left| {xv} \right| \leqslant 2R$. Тем не менее мы покажем, что в любом случае среди точек, лежащих внутри этого круга, найдется точка $y \in X$ такая, что $\left| {xy} \right| \leqslant 2R$ и $\left| {{{x}_{2}}y} \right| < \left| {x{{x}_{1}}} \right|$.

Обозначим через $B(x,{{x}_{1}})$ круг, построенный на отрезке $[x{{x}_{1}}]$ как на диаметре. Очевидно, что в силу свойств кругов ${{B}_{x}}\left( {\left| {x{{x}_{1}}} \right|} \right)$ и ${{B}_{{{{x}_{1}}}}}\left( {\left| {x{{x}_{1}}} \right|} \right)$, внутри круга $B(x,{{x}_{1}})$ нет точек из $X$. Более того, на границе этого круга имеются лишь две (диаметрально противоположные) точки $x$ и ${{x}_{1}}$ из $X$.

Пусть ${{t}_{0}}$ – центр круга $B(x,{{x}_{1}})$ и ${{t}_{1}}$ – центр круга $B(x,{{x}_{2}},v,{{x}_{1}})$. Рассмотрим семейство кругов $\left\{ {{{B}_{t}}\left( {\left| {tx} \right|} \right), t \in [{{t}_{0}},{{t}_{1}}]} \right\}$, где ${{B}_{t}}\left( {\left| {tx} \right|} \right)$ – круг с центром в точке $t$ и радиусом $\left| {tx} \right|$. Следовательно, отрезок $[x{{x}_{1}}]$ является хордой круга ${{B}_{t}}\left( {\left| {tx} \right|} \right)$. Радиус $\left| {tx} \right|$ круга ${{B}_{t}}\left( {\left| {tx} \right|} \right)$ растет вместе с удалением центра $t$ от ${{t}_{0}}$.

Пусть $t{\kern 1pt} *$ – ближайшая к ${{t}_{0}}$ точка отрезка $[{{t}_{0}},{{t}_{1}}]$, для которой круг ${{B}_{{t*}}}\left( {\left| {t{\text{*}}x} \right|} \right)$ содержит хотя бы еще одну точку из $X$. Такая точка $t{\text{*}}$ найдется на отрезке $[{{t}_{0}},{{t}_{1}}]$, так как для точки ${{t}_{1}}$ окружность $\partial {{B}_{{{{t}_{1}}}}}\left( {\left| {{{t}_{1}}x} \right|} \right)$ помимо $x$ и ${{x}_{1}}$ содержит, по крайней мере, две другие точки ${{x}_{2}}$ и $v$ из $X$.

Внутри круга ${{B}_{{t*}}}\left( {\left| {t{\text{*}}x} \right|} \right)$ нет точек из $X$, поэтому его радиус не превосходит $R$. На окружности $\partial {{B}_{{t*}}}\left( {\left| {t{\text{*}}x} \right|} \right)$ находятся концы $x$ и ${{x}_{1}} \in X$ хорды и хотя бы одна “новая” точка $y \in X$. Поэтому $\left| {xy} \right| \leqslant 2R$.

Отметим, что мы можем считать точку $y$ не совпадающей с ${{x}_{2}}$. Действительно, если $t* \ne {{t}_{1}}$, то $y \ne {{x}_{2}}$, так как ${{x}_{2}} \in \partial {{B}_{{{{t}_{1}}}}}\left( {\left| {{{t}_{1}}x} \right|} \right)$. Если $t* = {{t}_{1}}$, то на окружности $\partial {{B}_{{{{t}_{1}}}}}\left( {\left| {{{t}_{1}}x} \right|} \right)$ находятся две точки ${{x}_{2}}$ и $v$ из $X$. В этом случае мы можем взять $y: = v$.

Далее, так как внутри окружностей $\partial {{B}_{x}}\left( {\left| {x{{x}_{1}}} \right|} \right)$ и $\partial {{B}_{{{{x}_{1}}}}}\left( {\left| {x{{x}_{1}}} \right|} \right)$ кроме их центров нет других точек из $X$, то новая точка $y \in \partial {{B}_{{t*}}}\left( {\left| {t{\text{*}}x} \right|} \right)$ принадлежит криволинейному треугольнику ${{x}_{2}}vu$, образованному дугами трех окружностей: $\partial B(x,{{x}_{2}},v,{{x}_{1}})$, $\partial {{B}_{x}}\left( {\left| {x{{x}_{1}}} \right|} \right)$ и $\partial {{B}_{{{{x}_{1}}}}}\left( {\left| {x{{x}_{1}}} \right|} \right)$, $y \ne {{x}_{2}}$ (фиг. 5a). Легко проверить, что

Так как $\left| {xy} \right| \leqslant 2R$, то поворот $g \in {{G}_{x}}$ вокруг точки $x$ на 72°, при котором ${{x}_{2}}$ переходит в ${{x}_{1}}$, перемещает точку $y$ в $g(y)$ (фиг. 5a). Из того, что ${{x}_{1}} = g({{x}_{2}})$ и $y \in \Delta {{x}_{2}}vu$, следует Таким образом, точка $g(y) \ne {{x}_{1}}$ и $g(y)$ лежит внутри круга ${{B}_{{{{x}_{1}}}}}\left( {\left| {x{{x}_{1}}} \right|} \right)$. Получили противоречие предположению о том, что внутри этого круга нет других точек из $X$ кроме центра ${{x}_{1}}$. Доказано, что ${{n}_{{{{x}_{1}}}}} \ne 5$.

Пусть, наконец, ${{n}_{{{{x}_{1}}}}} = 4$. Тогда при повороте $f$ вокруг точки ${{x}_{1}}$ на угол $\pi {\text{/}}2$ (по часовой стрелке) точка $x$ перейдет в точку $w$, близкую к $v$ и расположенную на продолжении дуги $xv$ (фиг. 5б). Легко проверить, что $\left| {{{x}_{2}}w} \right| < \left| {{{x}_{1}}w} \right| = \left| {{{x}_{1}}x} \right|$.

Заметим, что хотя точка $v$ в случае ${{n}_{{{{x}_{1}}}}} = 4$ не обязана принадлежать множеству $X$, но, как и в предыдущем пункте (${{n}_{{{{x}_{1}}}}} = 5$), круги ${{B}_{x}}\left( {\left| {x{{x}_{1}}} \right|} \right)$ и ${{B}_{{{{x}_{1}}}}}\left( {\left| {{{x}_{1}}x} \right|} \right)$ кроме своих центров не содержат внутри себя других точек из $X$. Поэтому с помощью тех же аргументов, что и в предыдущем пункте, доказывается, что круг $B(x,{{x}_{2}},v,{{x}_{1}})$ пуст внутри от точек из $X$. Значит, $\left| {{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right| \leqslant 2R$.

Тогда под действием ${{f}^{{ - 1}}} \in {{G}_{{{{x}_{1}}}}}$ точка $w$ возвращается в $x$. А в силу $\left| {{{x}_{2}}w} \right| < \left| {x{{x}_{1}}} \right|$, точка ${{x}_{2}}$ перейдет в точку ${{f}^{{ - 1}}}({{x}_{2}}) \in X$, расположенную внутри круга ${{B}_{x}}\left( {\left| {x{{x}_{1}}} \right|} \right)$. Получено противоречие с тем, что точка ${{x}_{1}}$ является ближайшей к точке $x$. Следовательно, ${{n}_{{{{x}_{1}}}}} \ne 4$. Лемма 3.2 доказана.

Следствие. Пусть для множества Делоне $X \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ и всех точек $x \in X$ их $2R$-кластеры ${{C}_{x}}(2R)$ попарно эквивалентны и циклическая группа ${{C}_{n}}$ – подгруппа всех вращений группы ${{G}_{x}}$. Тогда порядок группы ${{C}_{n}}$ равен $n = 1,\;2,\;3,\;4$ или $6$.

В частности, в любой правильной системе точек $X$ на плоскости для любой точки $x \in X$ подгруппа ${{C}_{n}}$ вращений локальной группы ${{G}_{x}}$ имеет один и тот же для данного множества $X$ порядок $n$, равный $1,2,3,4$ или $6$.

Лемма 3.3. Для произвольной точки $z \in {{\mathbb{R}}^{2}}$, пусть $x \in X$ – ближайшая к $z$ точка множества Делоне (с радиусом покрытия $R$), ${{n}_{x}}$ – порядок подгруппы вращений из локальной группы ${{G}_{x}}$, и ${{x}_{1}}$ – ближайшая к $x$ точка из $X$. Тогда, если ${{n}_{x}} \geqslant 5$, то среди эквивалентных относительно группы ${{C}_{{{{n}_{x}}}}}$ вершин правильного выпуклого ${{n}_{x}}$-угольника ${{x}_{1}}{{x}_{2}}\; \ldots \;{{x}_{{{{n}_{x}}}}}$ ближайшая к $z$ вершина находится от $z$ ближе $2R$.

Доказательство. Так как точка $x$ является ближайшей к $z$, $\left| {xz} \right| \leqslant R$, то точка $z$ расположена в области Вороного точки $x$ в множестве $X$. Эта область содержится в правильном ${{n}_{x}}$-угольнике, образованном срединными перпендикулярами к отрезкам $[x{{x}_{1}}]$, $[x{{x}_{2}}]$, … , $[x{{x}_{{{{n}_{x}}}}}]$. В свою очередь, при ${{n}_{x}} \geqslant 5$ этот ${{n}_{x}}$-угольник принадлежит правильному ${{n}_{x}}$-угольнику ${{x}_{1}}{{x}_{2}}\; \ldots \;{{x}_{{{{n}_{x}}}}}$. Поэтому $z$ также принадлежит этому ${{n}_{x}}$-угольнику ${{x}_{1}}{{x}_{2}}\; \ldots \;{{x}_{{{{n}_{x}}}}}$. Значит, $z$ принадлежит некоторому равнобедренному треугольнику с вершиной $x$, основанием которого является некоторая сторона ${{n}_{x}}$-угольника. Для определенности будем считать, что это равнобедренный $\Delta x{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ (фиг. 6). Более того, если ближайшей к $z$ вершиной ${{n}_{x}}$-угольника является ${{x}_{1}}$, то $z \in \Delta xp{{x}_{1}}$, где $xp$ – срединный перпендикуляр к отрезку $[{{x}_{1}}{{x}_{2}}]$.

Фундаментальный треугольник $\Delta xp{{x}_{1}}$ вместе с точкой $z$ принадлежит кругу ${{B}_{{{{x}_{1}}}}}\left( {\left| {{{x}_{1}}x} \right|} \right)$. Значит, $\left| {z{{x}_{1}}} \right| \leqslant \left| {x{{x}_{1}}} \right|$. С другой стороны, так как ${{x}_{1}}$ является ближайшей к $x$, то $\left| {x{{x}_{1}}} \right| < 2R$. Следовательно, $\left| {z{{x}_{1}}} \right| < 2R$. Лемма 3.3 доказана.

Доказательство (теоремы 2.1). Покажем, что расстояние от произвольной точки плоскости $z \in {{\mathbb{R}}^{2}}$ до ближайшей к $z$ точки $\hat {x} \in {{X}_{{{\text{cr}}}}} \subseteq X$ меньше $2R$, где $R$ – радиус покрытия для $X$. Пусть $x \in X$ – ближайшая к $z$ точка из $X$, тогда $\left| {xz} \right| \leqslant R$. Если $x \in {{X}_{{{\text{cr}}}}}$, т.е. ${{n}_{x}} \leqslant 4$ или ${{n}_{x}} = 6$, то полагаем $\hat {x} = x$, и неравенство $\left| {\hat {x}z} \right| < 2R$ установлено.

Если $x \notin {{X}_{{{\text{cr}}}}}$, то ${{n}_{x}} = 5$ или ${{n}_{x}} \geqslant 7$. Пусть ${{C}_{{{{n}_{x}}}}}( \subseteq {{G}_{x}})$ – подгруппа локальных вращений вокруг $x$, пусть также ${{x}_{1}} \in X$ – ближайшая к $x$ точка из $X$. Орбита ${{C}_{{{{n}_{x}}}}} \cdot {{x}_{1}}$ точки ${{x}_{1}} \in X$ образует правильный ${{n}_{x}}$-угольник. Так как ${{n}_{x}} = 5$ или ${{n}_{x}} \geqslant 7$, то в силу лемм 3.1 и 3.2 для каждой точки $x{\text{'}}$ из орбиты ${{C}_{{{{n}_{x}}}}} \cdot {{x}_{1}}$ получаем ${{n}_{{x'}}} \leqslant 3$, и потому каждая точка этой орбиты принадлежит ${{X}_{{{\text{cr}}}}}$.

С другой стороны, по лемме 3.3, если $x{\text{'}}$ – ближайшая к $z$ точка этой же орбиты, то $\left| {zx{\text{'}}} \right| < 2R$. Так как при этом $x{\text{'}} \in {{X}_{{{\text{cr}}}}}$, то расстояние от $z$ до ближайшей точки $\hat {x} \in {{X}_{{{\text{cr}}}}}$ меньше $2R$. Следовательно, радиус покрытия ${{R}_{{{\text{cr}}}}}$ для ${{X}_{{{\text{cr}}}}}$ меньше $2R$.

Итак, показано, что для любого множества Делоне $X$ на евклидовой плоскости подмножество ${{X}_{{{\text{cr}}}}}$ всех точек из $X$, локальные группы которых кристаллографические, является множеством Делоне с радиусом покрытия ${{R}_{{{\text{cr}}}}} < 2R$. Неулучшаемость этой оценки будет установлена в следующем разделе.

4. О НЕУЛУЧШАЕМОСТИ ОЦЕНКИ ${{R}_{{{\text{cr}}}}} < 2R$

Покажем, что оценка ${{R}_{{{\text{cr}}}}} < 2R$ неулучшаема в том смысле, что для любого достаточно малого числа $\varepsilon > 0$ найдется множество Делоне $X \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ с радиусом покрытия $R$, для которого подмножество Делоне ${{X}_{{{\text{cr}}}}}$ всех кристаллографических точек имеет радиус покрытия ${{R}_{{{\text{cr}}}}}$, где $2R - \varepsilon < {{R}_{{{\text{cr}}}}} < 2R$.

Построение множества $X$ с радиусом покрытия $R$ и ${{R}_{{{\text{cr}}}}} > 2R - \varepsilon $. Возьмем квадратную решетку $\Lambda $, построенную на ортонормированном репере с началом $O(0,\;0)$. Радиус $R$ покрытия для $\Lambda $ равен $R = \sqrt 2 {\text{/}}2$. Модифицируем решетку $\Lambda $ следующим образом. Предварительно проведем две концентрические окружности с центром $O$ радиусов $\sqrt 2 $ и $\sqrt 2 \cos (\pi {\text{/}}n)$ (штриховое обозначение на фиг. 7), где $n = 8k$, $k = 1,2,\; \ldots $:

a) 8 соседних с $O$ узлов решетки $\Lambda $ (на фиг. 7 эти 8 узлов отмечены маленькими кружочками)

переместим на штриховую окружность в следующие точки

b) добавим вершины правильного выпуклого $n$-угольника, вписанного в (штриховую) окружность $\partial {{B}_{O}}\left( {\sqrt 2 \cos (\pi {\text{/}}n)} \right)$ (фиг. 7 соответствует случаю $n = 8$, $ k = 1$)

где $n = 8k$. Заметим, что среди $n$ вершин ${{V}_{n}}$ из (6) содержатся все 8 точек из (5): они соответствуют значениям индекса $m$, равным $k,\;2k,\;3k,\; \ldots ,\;8k$.

c) добавим к этому множеству множество $M$, состоящее из центров всех тех 12 квадратов решетки $\Lambda $, которые смежны с центральными 4 квадратами (на фиг. 7 эти точки отмечены зеленым цветом).

В результате получаем точечное множество ${{X}_{n}}$:

Для множества Делоне ${{X}_{n}}$ выполняются следующие свойства:

1) радиус ${{R}_{n}}$ покрытия для ${{X}_{n}}$ равен $R = \sqrt 2 {\text{/}}2$ (такой же, как для решетки $\Lambda $);

2) в ${{X}_{n}}$ имеется лишь одна точка с некриcталлографической локальной группой, это – точка $O(0,\;0)$; другими словами, подмножество ${{X}_{{{{n}_{{{\text{cr}}}}}}}}$ всех точек из ${{X}_{n}}$ с локальными кристаллографическими группами есть

3) радиус покрытия ${{R}_{{{{n}_{{{\text{cr}}}}}}}}$ для ${{X}_{{{{n}_{{{\text{cr}}}}}}}}$ равен ${{R}_{{{{n}_{{{\text{cr}}}}}}}} = \sqrt 2 \cos (\pi {\text{/}}n)$; ясно, что ${{R}_{{{{n}_{{{\text{cr}}}}}}}} > \sqrt 2 {\text{/}}2$ при $n \geqslant 3$; следовательно, для любого $\varepsilon > 0$ при всех достаточно больших целых $n > N(\varepsilon )$ радиус ${{R}_{{{{n}_{{{\text{cr}}}}}}}}$ удовлетворяет неравенствам $\sqrt 2 - \varepsilon < {{R}_{{{{n}_{{{\text{cr}}}}}}}} < \sqrt 2 $, т.е. $2R - \varepsilon < {{R}_{{{{n}_{{{\text{cr}}}}}}}} < 2R$.

Проверим выполнение свойства 1): ${{R}_{n}} = R = \sqrt 2 {\text{/}}2$. Для этого достаточно установить, что расстояние $\left| {zx} \right|$ от произвольной точки $z$ плоскости до ближайшего узла $x \in {{X}_{n}}$ не превышает $R = \sqrt 2 {\text{/}}2$, более того, $\mathop {\sup }\nolimits_{z \in {{\mathbb{R}}^{2}}} \mathop {\min }\nolimits_{x \in {{X}_{n}}} \left| {zx} \right| = \sqrt 2 {\text{/}}2$.

Внутри круга ${{B}_{O}}\left( {\sqrt 2 \cos (\pi {\text{/}}n)} \right)$ содержится только одна точка $O(0,\;0)$ из ${{X}_{n}}$. Далее, $n$-угольник ${{x}_{1}}{{x}_{2}}\; \ldots \;{{x}_{n}}$ состоит из $n$ конгруэнтных равнобедренных треугольников $\Delta O{{x}_{i}}{{x}_{{i + 1}}}$ с общей вершиной $O$ (фиг. 7a). Благодаря выбранному значению $\sqrt 2 \cos (\pi {\text{/}}n)$ радиуса штриховой окружности, окружность, описанная около $\Delta O{{x}_{i}}{{x}_{{i + 1}}}$ имеет, радиус $\sqrt 2 {\text{/}}2$. Таким образом, эта окружность лежит внутри круга ${{B}_{O}}\left( {\sqrt 2 } \right)$, проходит через его центр $O$ и касается его граничной окружности $\partial {{B}_{O}}\left( {\sqrt 2 } \right)$ (фиг. 7a). Поэтому окружность, описанная около $\Delta O{{x}_{i}}{{x}_{{i + 1}}}$, не содержит внутри точек из ${{X}_{n}}$. Следовательно, $\Delta O{{x}_{i}}{{x}_{{i + 1}}}$ есть ячейка Делоне, и для любой точки $z$, лежащей в $n$-угольнике, расстояние до ближайшего узла из ${{X}_{n}}$ не превышает $\sqrt 2 {\text{/}}2$.

Если точка $z$ лежит вне $n$-угольника, то имеются три возможности (области I, II и III на фиг. 7б).

Для любой точки $z$ из квадратной ячейки типа I решетки $\Lambda $ со стороной 1 неравенство $\mathop {\min }\nolimits_{x \in {{X}_{n}}} \left| {zx} \right| \leqslant \sqrt 2 {\text{/}}2$ очевидно (фиг. 7б). Причем расстояние от центра квадратной ячейки типа I до вершины в точности равно $\sqrt 2 {\text{/}}2$. Поэтому для $z$ из квадратной ячейки типа I имеем

Пусть теперь точка $z$ принадлежит одной из 12 квадратных ячеек типа II решетки $\Lambda $, центры которых добавлены к ${{X}_{n}}$ (зеленые точки на фиг. 7б). В этом случае расстояние от точки $z$ до центра ячейки, который также принадлежит множеству ${{X}_{n}}$, не превосходит $\sqrt 2 {\text{/}}2$.

Пусть $z$ принадлежит одной из 4 квадратных ячеек типа III (фиг. 7б). Если при этом $z$ принадлежит многоугольнику ${{x}_{1}}{{x}_{2}}\; \ldots \;{{x}_{n}}$, то неравенство $\mathop {\min }\nolimits_{x \in {{X}_{n}}} \left| {zx} \right| \leqslant 2R$ доказано выше. Если же $z$ лежит в уголке квадратной ячейки типа III, не входящем в многоугольник, то расстояние $\left| {zx} \right|$ до ближайшей точки $x \in {{X}_{n}}$, очевидно, меньше $\sqrt 2 {\text{/}}2$.

Итак, доказано, что радиус покрытия ${{R}_{n}}$ для ${{X}_{n}}$ равен ${{R}_{n}} \equiv R = \sqrt 2 {\text{/}}2$.

Теперь проверим свойство 2): для любой точки из ${{X}_{n}}$, за исключением точки $O$, ее локальная группа кристаллографическая. Локальная группа точки $O$ содержит подгруппу ${{C}_{n}}$, где $n \geqslant 8$, и поэтому не является кристаллографической.

Следовательно, в множестве ${{X}_{{{{n}_{{{\text{cr}}}}}}}} = {{X}_{n}}{{\backslash }}\{ O\} $ локальные группы для всех его точек кристаллографические. Наибольший пустой круг от точек из множества ${{X}_{{{{n}_{{{\text{cr}}}}}}}}$ – это круг ${{B}_{O}}\left( {\sqrt 2 \cos (\pi {\text{/}}n)} \right)$, описанный около правильного $n$-угольника. Поэтому для множества ${{({{X}_{n}})}_{{{\text{cr}}}}}$ радиус покрытия ${{R}_{{{{n}_{{{\text{cr}}}}}}}} = \sqrt 2 \cos (\pi {\text{/}}n)$, где $n = 8k$.

Таким образом, доказано свойство 3): для $\forall \varepsilon > 0$ найдется $N(\varepsilon )$, такое что для каждого $n > N(\varepsilon )$ существует множество Делоне ${{X}_{n}}$ с радиусом покрытия $R$, в котором подмножество ${{X}_{{{{n}_{{{\text{cr}}}}}}}}$ всех точек $x$ с кристаллографическими локальными группами ${{G}_{x}}$ является множеством Делоне с радиусом покрытия ${{R}_{{{{n}_{{{\text{cr}}}}}}}}$, где

Неулучшаемость оценки ${{R}_{{{{n}_{{{\text{cr}}}}}}}} < 2R$ установлена.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подчеркнем, что теорема 2.1 есть двумерный аналог общей гипотезы (см. п. 1, а также [9]) о кристаллическом ядре ${{X}_{{{\text{cr}}}}}$ множества Делоне в трехмерном пространстве.

Авторы благодарны И. Бабурину за проявленный интерес к полученным результатам. В частности, он обратил внимание на то, что для множества Делоне $X$, состоящего из вершин узора Пенроуза, в его кристаллическом ядре ${{X}_{{{\text{cr}}}}}$ содержатся правильные декагоны, которые являются ячейками Делоне в этом ядре. Следовательно, группа декагона, содержащая поворот 10-го порядка, хотя и является локальной группой в множестве $X$, в то же время не является локальной группой в кристаллическом ядре потому, что не является группой никакого кластера в этом ядре. Действительно, неподвижная точка этой группы, центр ячейки Делоне, принадлежит $X$, но не принадлежит ${{X}_{{{\text{cr}}}}}$.

Отметим, что этот факт не случаен. Из лемм 3.1 и 3.2 следует, что если в точке $x \in X$ локальная группа не кристаллографическая, то все ближайшие к $x$ точки принадлежат кристаллическому ядру ${{X}_{{{\text{cr}}}}}$ и поэтому являются вершинами ячейки Делоне в ядре, которая обладает этой же некристаллографической группой.

В связи с замечанием рецензента еще раз напомним, что локальная группа в точке $x$ из $X$ – это группа $2R$-кластера с центром в точке $x$.

Таким образом, возникает следующий вопрос. Пусть ${{X}_{{{\text{cr}}}}}$ – кристаллическое ядро множества Делоне $X \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$. Рассмотрим последовательность вложенных, возможно не строго, множеств Делоне:

Понятно, что если в этой последовательности на каком-то шаге встретится знак равенства двух множеств, то дальше последовательность множеств стабилизируется. Пока не известно, есть ли множество Делоне $X$, для которого последовательность строгих вложений бесконечна. Также неизвестен пример множества Делоне $X$, для которого последовательность (8) содержала бы более одного строгого вложения: $X \supset {{X}_{{{\text{cr}}}}} \supset {{({{X}_{{{\text{cr}}}}})}_{{{\text{cr}}}}}$.