Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 1, стр. 85-92

1. ВВЕДЕНИЕ

В этой статье рассматриваются линейные обыкновенные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) с коэффициентами, имеющими вид таких степенных рядов, относительно которых известны только их первые члены, а “хвосты” этих рядов неизвестны. Таким образом, о рассматриваемых уравнениях имеется лишь неполная информация. В [1]–[6] предлагались алгоритмы поиска решений таких уравнений в виде лорановых рядов, а также поиска регулярных и экспоненциально-логарифмических решений. Было доказано, что эти алгоритмы позволяют найти максимально возможное число членов тех рядов, которые входят в решения. Алгоритмы реализованы авторами в виде пакета процедур – см. [7]–[10]. Для пользователя этих процедур может оказаться желательным получить какие-то наглядные доводы в пользу максимальности числа найденных членов рядов. Такого рода наглядные средства и предлагаются ниже: описан алгоритм, который для произвольного уравнения с усеченными коэффициентами предъявляет два продолженных варианта исходного уравнения, решения которых различаются между собой в последующих (не попавших в число найденных) членах рядов, входящих в решения.

Поясним простым примером суть рассматриваемой задачи. С помощью алгоритма из [4] устанавливается, что уравнение

(здесь $O({{x}^{k}})$ обозначает какие-то неизвестные нам члены степенного ряда с показателями степени $x$, не меньшими, чем $k$) имеет решение где $C$ – произвольная постоянная. Можем ли мы, исходя из (1), узнать большее число членов ряда, который в (2) представлен как $(C + O(x))$? Отрицательный ответ обосновывается предъявлением двух продолженных вариантов уравнения (1): и Алгоритм из [4] находит решения этих двух уравнений: Это показывает, что для входящего в (2) ряда $(C + O(x))$ мы не можем найти его коэффициент при x, не используя для этого никакой дополнительной информации, касающейся уравне-ния (1). Пара уравнений (3), (4) образуют в терминологии этой статьи контрпример к предположению, что последующие члены рядов, входящих в экспоненциально-логарифмические решения уравнения (1), могут быть найдены, исходя только из этого усеченного уравнения.

В разд. 6 демонстрируется построение этого контрпримера, т.е. уравнений (3), (4), с помощью нашего алгоритма, реализованного в среде Maple.

Предварительный вариант этой работы был представлен в виде доклада [11].

2. УСЕЧЕННОЕ УРАВНЕНИЕ

Пусть $K$ – алгебраически замкнутое поле характеристики $0$. Для кольца полиномов от $x$ над $K$ будет использоваться обычное обозначение $K[x]$. Кольцо формальных степенных рядов от $x$ над $K$ обозначается через $K[[x]]$, поле формальных лорановых рядов – через $K((x))$. Очевидно, $K[x] \subset K[[x]] \subset K((x))$. Для принадлежащего $K((x))$ ненулевого элемента $a(x) = \sum \,{{a}_{i}}{{x}^{i}}$ его валюация ${\text{val}}{\kern 1pt} a(x)$ определена равенством $\operatorname{val} a(x) = \min \{ i\,|\,{{a}_{i}} \ne 0\} $, при этом $\operatorname{val} 0 = \infty $.

Мы рассматриваем уравнения вида

где $y(x)$ – неизвестная функция от $x$. Относительно ${{a}_{0}}(x),{{a}_{1}}(x), \ldots ,{{a}_{r}}(x)$ (коэффициентов уравнения) предполагается, что для каждого $i = 0,1, \ldots ,r$ коэффициент ${{a}_{i}}(x)$ – это усеченный рядгде ${{a}_{{ij}}} \in K$; ${{t}_{i}}$ – целое, такое что ${{t}_{i}}\; \geqslant \; - 1$ (если ${{t}_{i}} = - 1$, сумма в (6) полагается равной 0). Здесь и далее символ $O({{x}^{t}})$, встречающийся в формальных выражениях, обозначает некоторый ряд, валюация которого не меньше, чем $t$. Мы называем ${{t}_{i}}$ степенью усечения ряда ${{a}_{i}}(x)$, представленного в виде (6). Заметим, что любой коэффициент в (5) может иметь вид $O({{x}^{m}})$, $m\; \geqslant \;0$.

Продолжением уравнения (5) будем называть любое уравнение

для которого ${{\tilde {a}}_{i}}(x) - {{a}_{i}}(x) = O({{x}^{{{{t}_{i}} + 1}}})$, т.е. $\operatorname{val} ({{\tilde {a}}_{i}}(x) - {{a}_{i}}(x)) > {{t}_{i}}$, $i = 0,1, \ldots ,r$.

3. УСЕЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

Формальными экспоненциально-логарифмическими решениями уравнения

имеющего полностью заданные коэффициенты-ряды, называются решения вида где $Q$ – полином с коэффициентами из $K$, $q \in {{\mathbb{Z}}_{{ > 0}}}$, $\lambda \in K$, $m \in {{\mathbb{Z}}_{{ \geqslant 0}}}$, ${{w}_{s}}(x) \in K((x))$, $s = 0, \ldots ,m$, и ${{w}_{m}}(x) \ne 0$. При этом ${{x}^{\lambda }}w({{x}^{{1/q}}})$ называется регулярной частью, $Q({{x}^{{ - 1/q}}})$ – показателем экспоненциальной части, $q$ – индексом ветвления решения (8).

Если $q = 1$ и $Q \in K$, то решение (8) называется формальным регулярным, в противном случае – нерегулярным. При $q = 1$, $Q \in K$, $\lambda \in \mathbb{Z}$ и $w(x) \in K((x))$ формальное регулярное решение (8) называется лорановым. В обсуждениях решений уравнений слово “формальный” мы опускаем, но подразумеваем.

Пусть в уравнении (7) старший коэффициент ${{\tilde {a}}_{r}}(x)$ отличен от нуля. Известно (см., например, [12, гл. V], [13]–[16]), что существует $r$ линейно независимых над $K$ решений вида (8) для уравнения (7). В [13]–[17] предложены алгоритмы нахождения для $r$ линейно независимых решений вида (8) их индекса ветвления $q$ и показателя экспоненциальной части $Q({{x}^{{ - 1/q}}})$. Пусть в (7) валюация по крайней мере одного из коэффициентов равна 0. Тогда для построения индекса ветвления $q$ и показателя экспоненциальной части $Q({{x}^{{ - 1/q}}})$ для всех решений достаточно знать значения $r{\kern 1pt} \operatorname{val} {{\tilde {a}}_{r}}(x)$ начальных коэффициентов всех ${{\tilde {a}}_{i}}(x)$, $i = 0,1, \ldots ,r$ (см., например, [18]). Для построения регулярной части решения с любой заданной степенью усечения входящих в $w(x)$ рядов можно применять алгоритмы, предложенные в [12, гл. IV], [19], [20, гл. II, VIII]. Для этого построения также достаточно знать некоторое конечное число начальных коэффициентов всех ${{\tilde {a}}_{i}}(x)$ (см. [21, Prop. 1]).

Пусть $Q({{x}^{{ - 1/q}}}) \in K[{{x}^{{ - 1/q}}}]$, $q \in {{\mathbb{Z}}_{{ > 0}}}$, $\lambda \in K$ и

${{j}_{s}},{{k}_{s}} \in \mathbb{Z}$, ${{k}_{s}} \geqslant {{j}_{s}}$, $s = 0, \ldots ,m$, и ${{w}_{{m,{{j}_{m}}}}} \ne 0$. Для уравнения (5) с усеченными коэффициентами мы называем решением с усеченной регулярной частью выражение коль скоро любое уравнение, являющееся продолжением (5), имеет решение ${{e}^{{Q({{x}^{{ - 1/q}}})}}}{{x}^{\lambda }}\tilde {w}({{x}^{{1/q}}})$, являющееся продолжением решения (9), т.е. $\tilde {w}(x)$ имеет вид и выполняется ${{\tilde {w}}_{s}}(x) - w_{s}^{{\langle {{k}_{s}}\rangle }}(x) = O({{x}^{{{{k}_{s}} + 1}}})$, т.е. $\operatorname{val} ({{\tilde {w}}_{s}}(x) - w_{s}^{{\langle {{k}_{s}}\rangle }}(x)) > {{k}_{s}}$, $s = 0,1, \ldots ,m$. Мы говорим, что усеченное решение инвариантно относительно любого продолжения уравнения (5).

4. РЕШЕНИЯ С МАКСИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНЬЮ УСЕЧЕНИЯ

В [1]–[4], [7] показано, что для уравнения вида (5) возможно построение всех инвариантных усеченных решений с максимальной степенью усечения входящих в решение рядов. Максимальность степени усечения в ${{s}_{{\max }}}$ означает, что не существует инвариантного решения $s$, являющегося продолжением ${{s}_{{\max }}}$, такого, что степень усечения хотя бы одного ряда в $s$ больше, чем степень усечения соответствующего ряда в ${{s}_{{\max }}}$. В этом случае мы говорим об исчерпывающем использовании информации о заданном уравнении при построении усеченных решений. В названных статьях представлены алгоритмы решения этой задачи и их реализация в Maple.

В [22], [23] мы рассматривали вопрос автоматического подтверждения такого исчерпывающего использования информации о заданном уравнении при построении лорановых и регулярных усеченных решений. Подтверждением служит контрпример, состоящий из двух различных продолжений заданного уравнения, которые приводят к появлению различных дополнительных членов в решениях.

Алгоритмы построения как самих усеченных решений, так и контрпримеров указанного типа основаны на поиске решений с литералами, т.е. с символьными обозначениями незаданных коэффициентов входящих в уравнение рядов (см. [7]). Литералы обозначают коэффициенты при членах ряда, степени которых больше степени усечения ряда. Поиск решений с помощью литералов означает представление последующих (неинвариантных для всех возможных продолжений) членов ряда выражениями, содержащими литералы, т.е. незаданные коэффициенты. Это позволяет прояснить влияние незаданных коэффициентов на последующие члены рядов в решении.

Ниже мы расширяем полученные в [22], [23] результаты на случай экспоненциально-логарифмических решений с усеченной регулярной частью. Решается задача предъявления двух различных продолжений исходного уравнения, дающих контрпример к предположению о возможности добавления инвариантных членов к входящим в построенные усеченные решения заданного усеченного уравнения.

5. ПОСТРОЕНИЕ КОНТРПРИМЕРА

Содержащее литералы продолжение уравнения (5) имеет вид

где ${{U}_{{ij}}}$ – обозначение литерала. Алгоритм из [15], в более общем виде представленный в [17], позволит построить экспоненциальные части ${{e}^{{Q({{x}^{{ - 1/q}}})}}}$ всех решений вида (8) для уравнения (10). Нас будут интересовать только те из них, для которых индекс ветвления $q$ и коэффициенты полинома $Q$ не зависят от литералов. Для каждой из таких пар $q,Q$ выполняем в (10) подстановку где $t$ – новая независимая переменная, $z(t)$ – новая неизвестная функция. В результате подстановки и умножения уравнения на ${{e}^{{ - Q(1/t)}}}$ получаем новое уравнение, коэффициенты которого являются лорановыми рядами от $t$. Коэффициенты этих рядов являются полиномами от литералов над $K$. Для нового уравнения строим регулярные решения ${{t}^{\lambda }}w(t)$, используя вариант алгоритма из [3, разд. 4.2]. Этот вариант для каждого ряда, входящего в регулярное решение, вычисляет максимальное число членов, инвариантных относительно всех продолжений уравнения, и, дополнительно, еще один член, коэффициент которого зависит от литералов. Этот коэффициент является полиномом над $K$ конечного числа литералов.

Таким образом, для экспоненциально-логарифмического решения с усеченной регулярной частью (9) мы получим конечное множество полиномов от литералов, которое можно использовать для построения контрпримера.

В [23] при рассмотрении усеченных лорановых и регулярных решений нами была доказана следующая

Лемма 1 (см. [23, лемма 1]). При любом целом $m > 0$ и ${{p}_{i}}({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{l}}) \in K[{{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{k}}]{{\backslash }}K$, $i = 1, \ldots ,m$, существуют такие ${{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{l}},{{\beta }_{1}}, \ldots ,{{\beta }_{l}} \in K$, что

Из приведенного в [23] доказательства следует, что

могут быть взяты целочисленными (в любое поле $K$ характеристики 0 естественным образом вкладывается кольцо целых чисел). Можно перебирать все целочисленные наборы (12) до первого, удовлетворяющего (11). Это позволит фактически найти нужный набор. Здесь возможно также привлечение эвристик и случайного выбора.

На основе этого можно описать алгоритм построения контрпримера к предположению о возможности получения однозначно определенных дополнительных членов рядов, присутствующих в решениях.

Теорема 1. Пусть $\mathcal{E}$ – уравнение вида (5), $s$ – его усеченное решение, найденное с помощью алгоритма из [4]. Тогда для $\mathcal{E}$ существуют два различных продолжения ${{\mathcal{E}}_{1}}$ и ${{\mathcal{E}}_{2}}$, имеющих усеченные решения ${{s}_{1}}$ и соответственно ${{s}_{2}}$, которые являются такими продолжениями $s$, что любой усеченный ряд, входящий в $s$, имеет продолжение как в ${{s}_{1}}$, так и в ${{s}_{2}}$, и уже самые первые дополнительные члены в ${{s}_{1}}$, ${{s}_{2}}$ не совпадают.

Доказательство. Каждый входящий в усеченное решение вида (9) ряд строится алгоритмом из [4] до первого содержащего литералы члена, который уже не включается в итоговое усеченное решение. Перед моментом отбрасывания членов с литералами ряд в усеченном решении может быть записан в виде

где

${{u}_{1}}, \ldots ,{{u}_{l}}$ – некоторые из литералов, встречающихся в (10),

${{c}_{{i0}}},{{c}_{{i1}}}, \ldots ,{{c}_{{i{{k}_{i}}}}}$ – не зависящие от литералов константы,

${{p}_{i}}({{u}_{1}}, \ldots ,{{u}_{l}})$ – не являющийся константой полином над $K$ от литералов ${{u}_{1}}, \ldots ,{{u}_{l}}$, $i = 1, \ldots ,m$.

К полиномам ${{p}_{i}}({{u}_{1}}, \ldots ,{{u}_{l}})$, $i = 1, \ldots ,m$, можно применить лемму 1. Таким образом, существуют и могут быть найдены два различных набора (целых) значений ${{\alpha }_{1}}, \ldots $, ${{\alpha }_{l}}$, ${{\beta }_{1}}, \ldots $, ${{\beta }_{l}} \in K$ для литералов ${{u}_{1}}, \ldots ,{{u}_{l}}$, с помощью которых строятся продолжения ${{\mathcal{E}}_{1}}$ и ${{\mathcal{E}}_{2}}$, имеющие усеченные решения ${{s}_{1}}$ и ${{s}_{2}}$ с различающимися дополнительными членами ${{p}_{i}}({{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{l}}){{x}^{{{{k}_{i}} + 1}}}$ и ${{p}_{i}}({{\beta }_{1}}, \ldots ,{{\beta }_{l}}){{x}^{{{{k}_{i}} + 1}}}$ соответственно, не содержащими литералов. Отсюда следует утверждение теоремы.

6. РАСШИРЕНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОЦЕДУРЫ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ

Построение контрпримера реализовано в системе компьютерной алгебры Maple 2021 как расширение возможностей процедуры $FormalSolution$ из пакета $TruncatedSeries$. Этот пакет содержит наши реализации в Maple алгоритмов, представленных в [1]–[9], [22], [23]. Файлы Maple-библиотеки, содержащей пакет, и файлы Maple-сессий с примерами использования процедур пакета можно найти на странице [10].

Первый параметр процедуры $FormalSolution$ – дифференциальное уравнение (5). Производная $y(x)$ порядка $i$ записывается стандартным для Maple образом: $\operatorname{diff} (y(x),x\$ i)$. Усеченные коэффициенты вида (6) записываются как ${{a}_{i}}(x) + {\text{O}}({{x}^{{{{t}_{i}} + 1}}})$, где ${{a}_{i}}(x)$ – полином степени, не большей чем ${{t}_{i}}$, над полем алгебраических чисел.

Имя неизвестной функции задается во втором параметре процедуры.

Для работы с процедурами пакета необходимо загрузить архив TruncatedSeries2021.zip, расположенный на странице [10]. Этот архив содержит два файла: maple.ind и maple.lib. Необходимо поместить эти файлы в некотором каталоге, например ''/usr/userlib'', и в Maple-сессии выполнить присваивание

$ > {\kern 1pt} libname: = ''{\text{/usr/userlib''}},libname:$

Следующая команда в сессии делает возможным обращение к процедурам пакета $TruncatedSeries$ в короткой форме:

$ > {\kern 1pt} with(TruncatedSeries):$

Интерфейс системы Maple 2021 позволяет вводить уравнения в математической форме. Присвоим переменной $eq$ выражение, обозначающее уравнение (1):

$ > {\kern 1pt} {\kern 1pt} eq: = \left( {1 + 3x + {\text{O}}({{x}^{3}})} \right)y(x) + \left( {{{x}^{3}} + \frac{1}{3}{{x}^{5}} + {\text{O}}({{x}^{6}})} \right)\left( {\frac{d}{{dx}}{\kern 1pt} y(x)} \right) = 0:$

В результате следующего вызова процедуры $FormalSolution$ будет получено усеченное решение с максимальной степенью усечения:

$ > {\kern 1pt} FormalSolution(eq,y(x),'counterexample' = 'Eqs')$

и переменной $Eqs$ будет присвоена пара уравнений, представляющая собой контрпример:

$ > {\kern 1pt} Eqs[1]$

$ > {\kern 1pt} Eqs[2]$

Для уравнений контрпримера построим усеченные решения:

$ > {\kern 1pt} FormalSolution(Eqs[1],y(x))$

$ > {\kern 1pt} FormalSolution(Eqs[2],y(x))$

Видно, что коэффициенты при $x$ в рядах, входящих в эти решения, совпадают, только если оба эти решения нулевые.

Рассмотрим другое уравнение, второго порядка:

$ > {\kern 1pt} {\kern 1pt} eq: = {\text{O}}({{x}^{{10}}})y(x) + \left( {1 + 3x + {\text{O}}({{x}^{3}})} \right)\left( {\frac{d}{{dx}}y(x)} \right) + \left( {{{x}^{3}} + \frac{{{{x}^{5}}}}{3} + {\text{O}}({{x}^{6}})} \right)\left( {\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{x}^{2}}}}y(x)} \right) = 0:$

С помощью процедуры $FormalSolution$ получаем экспоненциально-логарифмические решения, в которых регулярные части вычислены до максимально возможной степени:

$ > {\kern 1pt} FormalSolution(eq,y(x))$

Первые два слагаемых в (13), т.е. $\_{{c}_{1}} + {\text{O}}({{x}^{{11}}})$, означают, что все продолжения уравнения $eq$ имеют лорановы решения с валюацией, равной $0$, здесь их начальный отрезок до степени $10$ равен $\_{{c}_{1}}$, где $\_{{c}_{1}}$ – произвольная постоянная.

Третье слагаемое означает, что все продолжения уравнения $eq$ имеют нерегулярные решения с показателем экспоненциальной части $1{\text{/}}(2{{x}^{2}}) + 3{\text{/}}x$, показателем $\lambda = 10{\text{/}}3$, начальным отрезком ряда $\_{{c}_{2}}$, где $\_{{c}_{2}}$ – произвольная постоянная.

Если при вызове процедуры $FormalSolution$ указан необязательный параметр $'output' = 'literal'$, то регулярные части решения вычисляются до максимальной степени и сверх этого еще добавляются слагаемые с коэффициентами, зависящими от литералов:

$ > {\kern 1pt} FormalSolution(eq,y(x),'output' = 'literal')$

В нашей реализации литерал, коэффициент при ${{x}^{k}}{{\theta }^{i}}$, обозначается через ${{U}_{{\left[ {i,k} \right]}}}$. Существует два таких целочисленных набора значений литералов, что выражения принимают различные значения. Этим двум наборам соответствуют два продолжения уравнения $eq$, которые составляют контрпример. Действительно, решения этих двух уравнений будут различными продолжениями решения (13) и продолжены будут все регулярные части решения. Очевидно, контрпримеров существует бесконечное число. В результате работы процедуры $FormalSolution$ с необязательным параметром $'counterexample' = 'Eqs'$, переменной $Eqs$ будет присвоена пара уравнений, представляющая собой искомый контрпример.

$ > {\kern 1pt} FormalSolution(eq,y(x),'counterexample' = 'Eqs'):$

Для первого уравнения этого контрпримера

$ > {\kern 1pt} Eqs[1]$

с помощью $FormalSolution$ получаем усеченное решение

$ > {\kern 1pt} {\kern 1pt} FormalSolution(Eqs[1],y(x))$

Для второго уравнения

$ > {\kern 1pt} Eqs[2]$

получаем

$ > {\kern 1pt} FormalSolution(Eqs[2],y(x))$

Видно, что (14) и (15) являются продолжениями (13) и входящие в них усеченные ряды различны.

Авторы благодарят компанию Maplesoft (Ватерлоо, Канада) за консультации и дискуссии.