Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 3, стр. 380-389

1. ВВЕДЕНИЕ

Период “рыночных реформ” 1990-х годов в РФ ознаменовался, помимо прочего, обилием финансовых пирамид. Одного этого факта должно быть достаточно, чтобы оправдать интерес к такого рода феноменам, тем более что они наблюдались и наблюдаются не только в этот период и не только в РФ.

Надо сказать, что чередование взлетов и падений цен каких-то активов, часто выглядящее совершенно необъяснимым, характерно для рыночной экономики и отнюдь не обделено вниманием экономической науки (см. [1–12]). Далеко не все колебания такого рода являются результатом чьих-то целенаправленных манипуляций.

Здесь нет и речи об этой проблематике в ее полной общности; принимая финансовую пирамиду как данность, будем думать о логике агентов, несущих (или не несущих) туда свои деньги, понимая, что они имеют дело именно с пирамидой.

Разумеется, поведение жертв финансовых пирамид можно объяснять просто глупостью; однако универсальный характер такого объяснения делает его не особенно интересным. Более того, не все участники оказываются жертвами, так что утверждение об их глупости может быть подвергнуто сомнению. Например, Исаак Ньютон правильно расценил South Sea Bubble как пузырь (в сущности, пирамиду), но вошел туда и вскоре вышел с прибылью (см. [13]) (правда, он позже вошел еще раз и потерял свои инвестиции).

Автору неоднократно приходилось слышать примерно такую мотивировку для участия: “да, я понимаю, что это просто пирамида и кто-то останется в дураках, но пока оно все лопнет, я еще успею получить свой небольшой выигрыш”. Именно эта позиция и будет предметом анализа.

В предлагаемой здесь модели фигурируют агенты, в принципе, готовые участвовать в возникающей на их глазах пирамиде, но различающиеся своими представлениями о безопасном размере пирамиды. Каждый имеет оценку снизу числа “неудачников”, т.е. агентов, которые войдут в пирамиду и не успеют из нее выйти. Опираясь на эту свою оценку, каждый агент принимает все решения, исходя из принципа наибольшего гарантированного результата, т.е. вполне рациональным образом (см. [14]). Единственное слабое место – сама оценка, которая вполне может оказаться (и оказывается у кого-то) ошибочной; в этом смысле поведение агентов только “квази” рационально.

Сосредотачиваясь именно на этом аспекте проблемы, на результатах взаимодействия различных представлений об окружающей действительности, мы игнорируем все прочие. В частности, мы полностью исключаем какой-либо обман, дезинформацию, хотя в некоторых реальных примерах именно этот аспект был решающим (Madoff’s case). У нас все участники вполне отдают себе отчет, что они имеют дело именно с финансовой пирамидой, и что весь процесс неизбежно закончится тем, что кто-то лишится своих денег; просто каждый полагает, что уж он-то не попадет в число проигравших. Более того, мы предполагаем, что организаторы своевременно и точно информируют действительных и потенциальных участников о текущем положении дел, и что участники, решившие покинуть пирамиду до момента краха, не встретят никаких препятствий.

Не совсем традиционный характер предлагаемой модели требует нетрадиционной организации изложения: приходится начинать с середины, как бы предполагая, что все концы можно связать, и только затем действительно связывать их с помощью точных формулировок и доказательств. В следующем разд. 2 описывается общий облик модели и вводятся необходимые обозначения. В разд. 3 анализируется принятие решений отдельным агентом, который вынужден воспринимать пирамиду как природный процесс, не доступный его влиянию, и устанавливается “оптимальная гарантирующая” стратегия агента. В разд. 4 доказываются существование и единственность процесса, порождаемого таким “оптимальным” поведением агентов. Наконец, в разд. 5 ситуация анализируется с точки зрения организаторов пирамиды и устанавливаются условия, при которых число неудачников, в исходной формулировке определяемое лишь постфактум, по результатам всего процесса, оказывается в действительности определяемым исходными данными модели.

2. ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА

В самых общих чертах наша модель выглядит так: есть два типа действующих лиц – команда организаторов пирамиды (выступающая как один агент, “Организатор”) и потенциальные участники (в т.ч. будущие жертвы) пирамиды. В дальнейшем изложении слово “агент” относится только к потенциальным участникам пирамиды. Весь процесс развивается в непрерывном времени; каждый агент в какой-то момент добровольно принимает решение: стóит ли ему участвовать, стремясь максимизировать свою “гарантированную” прибыль, опираясь на свою априорную оценку и доступную в момент принятия решения информацию.

Не участвующие агенты ничего не приобретают и ничего не теряют при любом развитии событий. Каждый участвующий агент вносит на свой счет фиксированную сумму денег (единицу) сразу при входе, затем этот счет растет с непрерывно начисляемым сложным процентом. В любой момент участник может потребовать закрытия счета; тогда вся сумма немедленно выплачивается. В любой момент Организатор может завершить процесс и исчезнуть со всеми оставшимися деньгами. Таким образом, постфактум все участники пирамиды делятся на два подмножества: тех, кто успел вовремя ее покинуть, и тех, кто не успел. Первые получают обратно первоначальный взнос плюс накопившиеся проценты; вторые теряют первоначальный взнос. Организатор получает взносы всех неудачников минус проценты, выплаченные покинувшим пирамиду вовремя.

Все агенты составляют бесконечно делимую массу, каждый агент бесконечно мал. Агенты не проявляют никакой инициативы; в каждый момент времени некоторая (бесконечно малая) их часть получает предложение/возможность вступить в пирамиду, и каждый из них реагирует так, как считает нужным. В дальнейшем этот процесс называется “сканированием” агентов. Как именно происходит это сканирование, не имеет значения для наших целей: можно представлять себе как самопроизвольную диффузию информации о пирамиде среди массы агентов, так и целенаправленную кампанию Организатора. Ключевое предположение – независимость внутренних характеристик агентов и момента сканирования; другими словами, контингент, сканируемый в каждый отдельный момент, имеет те же характеристики, что и вся масса.

Агент, вошедший в пирамиду в момент $t$ и успевший покинуть ее в момент $t + \Delta $, получает обратно $\exp (\delta \cdot \Delta )$, т.е. его чистый выигрыш составляет $\exp (\delta \cdot \Delta ) - 1$; для организатора эта величина – потери. Повторного предложения вступить агенту, однажды отказавшемуся или ранее вышедшему из пирамиды, не бывает; наш полный набор предположений обеспечивает, что такое предложение все равно было бы отвергнуто.

В какой-то момент $t{\kern 1pt} *$, выбираемый Организатором, он заканчивает процесс и исчезает с деньгами. Агент, решивший войти в пирамиду в момент $t{\kern 1pt} *$, просто теряет свои деньги. Если какой-то агент, бывший в пирамиде, решает покинуть ее в этот самый последний момент $t{\kern 1pt} *$, то считается, что он успеет забрать свои деньги, а уж потом (но в тот же самый момент!) Организатор исчезнет. Последнее предположение обосновывается тем, что доля агентов, покидающих пирамиду в любой конкретный момент, оказывается бесконечно малой, поэтому выплаты в момент $t{\kern 1pt} *$ не влияют на доход Организатора; для участников же обеспечивается существование “оптимальной”, “условно гарантирующей”, стратегии.

Динамика процесса описывается двумя функциями времени: $\sigma (t)$ – доля массы агентов, просканированная к моменту $t$, и $m(t)$ – доля, состоящая в пирамиде на момент $t$. В начальный момент $t = 0$, естественно, $\sigma (0) = m(0) = 0$. Финальное значение $m(t{\kern 1pt} *)$ характеризует долю неудачников или “дураков” в популяции. В соответствии с нашей общей установкой на максимальную открытость, текущее значение $m(t)$ общеизвестно в любой момент $t$.

Допустимым режимом сканирования будем называть отображение $\sigma :[0,\bar {t}] \to [0,1]$ (где константа $\bar {t} > 0$ входит в описание режима), удовлетворяющее условиям: строго возрастает, непрерывно, $\sigma (0) = 0$ и $\sigma (\bar {t}) = 1$. В дальнейшем рассматриваются и ситуации, когда режим сканирования устанавливается Организатором, и ситуации, когда он задан экзогенно. Выбор $t{\kern 1pt} * \in [0,\bar {t}]$ в любом случае остается за Организатором.

Функция $m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} {\kern 1pt} )$ определяется как режимом сканирования $\sigma ({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$, так и решениями индивидуальных (“бесконечно малых”) агентов. Поскольку решение о выходе может быть принято любым агентом в любой момент, априори нельзя исключить скачки $m(t)$ вниз. Скачки же вверх невозможны из-за непрерывности $\sigma ({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$. Другими словами,

при всех $t \in \;]0,t{\kern 1pt} *[$. Это свойство (“полунепрерывность слева снизу и справа сверху”) имеет простое, но полезное следствие.

Лемма 1. Пусть $0 \leqslant {{t}^{ - }} < {{t}^{ + }} \leqslant t{\kern 1pt} *$ и $m({{t}^{ - }}) < \alpha \leqslant m({{t}^{ + }})$; обозначим ${{t}^{0}}: = \inf \{ t \in [{{t}^{ - }},{{t}^{ + }}]\,{\text{|}}\,\alpha \leqslant m(t)\} $. Тогда $m({{t}^{0}}) = \alpha $.

Доказательство. Правое неравенство в (2.1) при $t = {{t}^{0}}$ обеспечивает неравенство $m({{t}^{0}}) \geqslant \alpha $ и, следовательно, ${{t}^{0}} > {{t}^{ - }}$. Теперь левое неравенство в (2.1) обеспечивает неравенство $m({{t}^{0}}) \leqslant \alpha $.

3. СТРАТЕГИИ АГЕНТОВ

Если говорить о решениях, принимаемых каждым отдельным агентом, то, прежде всего, он должен решить входить ли в пирамиду, когда (если) до него дойдет процесс сканирования. В случае отказа последствия сразу ясны – нулевой выигрыш, и больше никаких решений принимать не придется. При вступлении же в пирамиду, вообще говоря, агент должен будет в каждый следующий момент решать, не пора ли выходить. В случае своевременного выхода агент получит строго положительный выигрыш, если же Организатор убежит раньше (в том числе, в самый момент входа), то “выигрыш” агента окажется отрицательным. И в том, и в другом случае, принимающему решение агенту известны текущие момент времени $t$ и объем пирамиды $m(t)$. Более того, мы будем считать известной и всю предысторию, т.е. функцию $m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$.

Помимо этой текущей информации, каждый агент имеет свое индивидуальное представление о всей совокупности агентов, а именно, свою субъективную оценку снизу доли неудачников. Принимая решение о входе в пирамиду или выходе из нее, агент максимизирует гарантированный (если верить этой оценке) доход. Подчеркнем, что эта оценка постоянна, никакого обучения в процессе участия в пирамиде не предусмотрено (процесс занимает слишком малое время).

Соответствующие формальные конструкции развернуты ниже; сначала мы дадим неформальное описание и объяснение оптимальной стратегии.

Пусть $\delta > 0$ и агент, просканированный в момент $t$, уверен, что доля $m(t{\kern 1pt} *)$ неудачников в общей массе агентов не меньше $\alpha $. Если $m(t) \geqslant \alpha $, то в его картине мира вполне возможно, что Организатор убежит в этот самый момент ($t{\kern 1pt} * = t$), что приведет к отрицательному “выигрышу” агента в случае входа в пирамиду; воздержавшись же от входа, агент имеет гарантированный нулевой результат. Напротив, при $m(t) < \alpha $, агент уверен, что пирамида продержится еще какое-то время, поэтому можно входить безбоязненно, рассчитывая на положительный выигрыш.

Аналогично, если в момент $t$ агент уже находится в пирамиде и $m(t) \geqslant \alpha $, то Организатор может убежать в этот самый момент ($t{\kern 1pt} * = t$) и “выигрыш” агента окажется отрицательным; приняв же решение о выходе, агент фиксирует положительный выигрыш. Если же $m(t) < \alpha $, то, по мнению агента, Организатор убежит в какой-то момент $t{\kern 1pt} * > t$, когда будет $m(t{\kern 1pt} *) \geqslant \alpha $. Согласно лемме 1, сначала должен произойти момент $\tau \in [t,t{\kern 1pt} *]$, в который $m(\tau ) = \alpha $, поэтому агент спокойно покинет пирамиду в этот самый момент $\tau $, опять-таки фиксируя положительный выигрыш. В итоге, агент остается в пирамиде.

Перейдем теперь к формальному описанию стратегий агентов. По общим правилам теории игр стратегией следует считать набор отображений, преобразующих информацию, доступную агенту в соответствующий момент, в принимаемое решение. С решениями разобраться проще всего: будем обозначать $\mathcal{D}$ множество $\{ \top , \bot \} $, интерпретируемое как множество элементарных решений агента ($ \top $ означает вход в пирамиду или продолжение участия, $ \bot $ – отказ от входа или выход).

Доступной наблюдению информацией будем считать текущий момент времени и реализованную до сих пор траекторию $m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$. Будем обозначать $\mathcal{M}$ множество пар $\langle {{t}^{0}},m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\rangle $, где ${{t}^{0}} \geqslant 0$, а $m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ – функция $[0,{{t}^{0}}] \to [0,1]$, у которой $m(0) = 0$, неравенства (2.1) справедливы при всех $t \in \;]0,{{t}^{0}}[$, а при $t = {{t}^{0}}$ справедливо левое неравенство в (2.1). Будем обозначать $\mathcal{S}$ множество отображений $\mathcal{M} \to \mathcal{D}$; тогда стратегии каждого агента образуют множество $\mathcal{S} \times \mathcal{S}$ – при решении вопроса о входе применяется первая компонента, при решении вопроса о выходе – вторая.

Запишем теперь выигрыш агента, применяющего определенную стратегию $\bar {s} = ({{s}_{1}},{{s}_{2}}) \in \mathcal{S} \times \mathcal{S}$, если в какой-то момент ${{t}^{0}}$ ему предоставится возможность войти в пирамиду. Этот выигрыш, естественно, зависит от всей динамики пирамиды (которая неизвестна агенту в момент ${{t}^{0}}$); соответственно, обозначать его будем $U(\bar {s};{{t}^{0}},\langle t{\kern 1pt} *,m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\rangle )$. Для точных формулировок потребуется еще одно обозначение. Пусть $\langle t{\kern 1pt} *,m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\rangle \in \mathcal{M}$ и ${{t}^{0}} \leqslant t{\kern 1pt} *$; будем обозначать $m({\kern 1pt} \cdot \,{\text{|}}\,{{t}^{0}})$ ограничение функции $m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ на отрезок $[0,{{t}^{0}}]$.

Итак, если ${{s}_{1}}(\langle {{t}^{0}},m({\kern 1pt} \cdot \,{\text{|}}\,{{t}^{0}})\rangle ) = \; \bot $ (агент не вошел в пирамиду), то $U(\bar {s};{{t}^{0}},\langle t{\kern 1pt} *,m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\rangle ): = 0$ независимо от всего остального. Пусть ${{s}_{1}}(\langle {{t}^{0}},m({\kern 1pt} \cdot \,{\text{|}}\,{{t}^{0}})\rangle ) = \; \top $ (агент вошел в пирамиду); обозначим

Если $T{\kern 1pt} * = \emptyset $ (агент оставался в пирамиде до конца), то $U(\bar {s};{{t}^{0}},\langle t{\kern 1pt} *,m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\rangle ): = - 1$. В противном случае (агент успел выйти из пирамиды), обозначая $\Delta : = \inf T{\kern 1pt} * - \;{{t}^{0}}$, положим $U(\bar {s};{{t}^{0}},\langle t{\kern 1pt} *,m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\rangle ): = \exp (\delta \cdot \Delta ) - 1$.

Замечание 1. Если $T{\kern 1pt} * \ne \emptyset $, то агент успевает выйти из пирамиды, однако точный момент выхода может остаться неопределенным, если ${{s}_{2}}(\langle {{t}^{0}} + \Delta ,m({\kern 1pt} \cdot \,{\text{|}}\,{{t}^{0}} + \Delta )\rangle ) = \; \top $; тем не менее, выигрыш, $\exp (\delta \cdot \Delta ) - 1$, определен однозначно, поскольку он зависит от момента выхода непрерывным образом.

Пусть $\alpha \in [0,1]$; определим отображение ${{s}^{\alpha }}:\mathcal{M} \to \mathcal{D}$ следующим образом:

Теперь предложенная в начале раздела стратегия агента записывается как ${{\bar {s}}^{\alpha }}: = ({{s}^{\alpha }},{{s}^{\alpha }}) \in \mathcal{S} \times \mathcal{S}$.

Замечание 2. В стратегии ${{\bar {s}}^{\alpha }}$ не используются две возможности, предусмотренные общим определением стратегии: решения о входе и о выходе принимаются по одному и тому же правилу, а информация о всей предыстории, $m({\kern 1pt} \cdot \,{\text{|}}\,{{t}^{0}})$, вообще никак не используется. Тем не менее, чтобы утверждать ненужность этих возможностей, было необходимо сначала включить их в определение стратегии.

Будем обозначать ${{\mathcal{M}}^{\alpha }}$ (при $\alpha \in [0,1]$) множество пар $\langle t{\kern 1pt} *,m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\rangle \in \mathcal{M}$, удовлетворяющих условию $m(t{\kern 1pt} *) \geqslant \alpha $.

Предложение 1. Пусть $\alpha \in [0,1]$, $\langle t{\kern 1pt} *,m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\rangle \in {{\mathcal{M}}^{\alpha }}$, ${{t}^{0}} \leqslant t{\kern 1pt} *$, и $\bar {s} = ({{s}_{1}},{{s}_{2}}) \in \mathcal{S} \times \mathcal{S}$. Тогда найдется $t{\kern 1pt} *{\kern 1pt} * \in [{{t}^{0}},t{\kern 1pt} *]$, при котором $\langle t{\kern 1pt} *{\kern 1pt} *,m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\rangle \in {{\mathcal{M}}^{\alpha }}$ и

Доказательство. Мы рассмотрим две базовые альтернативы. Пусть ${{s}^{\alpha }}(\langle {{t}^{0}},m({\kern 1pt} \cdot \,{\text{|}}\,{{t}^{0}})\rangle ) = \; \bot $; тогда $m({{t}^{0}}) \geqslant \alpha $ и $U({{\bar {s}}^{\alpha }};{{t}^{0}},\langle t{\kern 1pt} *,m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\rangle ) = 0$. Теперь, если ${{s}_{1}}(\langle {{t}^{0}},m({\kern 1pt} \cdot \,{\text{|}}\,{{t}^{0}})\rangle ) = \; \bot $, то $U(\bar {s};{{t}^{0}},\langle t{\kern 1pt} *,m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\rangle ) = 0$ и (3.3) выполняется (как равенство) при $t{\kern 1pt} *{\kern 1pt} * = t{\kern 1pt} *$. Если же ${{s}_{1}}(\langle {{t}^{0}},m( \cdot )\rangle ) = \; \top $, то $U(\bar {s};{{t}^{0}},\langle {{t}^{0}},m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\rangle ) = - 1$, $\langle {{t}^{0}},m({\kern 1pt} \cdot \,{\text{|}}\,{{t}^{0}})\rangle \in {{\mathcal{M}}^{\alpha }}$ и (3.3) выполняется (как строгое неравенство) при $t{\kern 1pt} *{\kern 1pt} * = {{t}^{0}}$.

Пусть теперь ${{s}^{\alpha }}(\langle {{t}^{0}},m({\kern 1pt} \cdot \,{\text{|}}\,{{t}^{0}})\rangle ) = \; \top $ и, следовательно, $m({{t}^{0}}) < \alpha $. Поскольку $\langle t{\kern 1pt} *,m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\rangle \in {{\mathcal{M}}^{\alpha }}$, для ${{T}^{\alpha }}$, определенного аналогично $T{\kern 1pt} *$ при замене в равенстве (3.1) ${{s}_{2}}$ на ${{s}^{\alpha }}$, имеем $t{\kern 1pt} * \in {{T}^{\alpha }} \ne \emptyset $. Обозначив ${{t}^{ \to }}: = \inf {{T}^{\alpha }}$ и применяя лемму 1 с ${{t}^{ - }} = {{t}^{0}}$ и ${{t}^{ + }} = t{\kern 1pt} *$, получаем $m({{t}^{ \to }}) = \alpha $. Таким образом, $U({{\bar {s}}^{\alpha }};{{t}^{0}},\langle t{\kern 1pt} *,m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\rangle ) = \exp (\delta \cdot ({{t}^{ \to }} - {{t}^{0}})) - 1 > 0$.

Если теперь ${{s}_{1}}(\langle {{t}^{0}},m({\kern 1pt} \cdot \,{\text{|}}\,{{t}^{0}})\rangle ) = \; \bot $, то $U(\bar {s};{{t}^{0}},\langle t{\kern 1pt} *,m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\rangle ) = 0$ и (3.3) выполняется (как строгое неравенство) при $t{\kern 1pt} *{\kern 1pt} * = t{\kern 1pt} *$. Если же ${{s}_{1}}(\langle {{t}^{0}},m({\kern 1pt} \cdot \,{\text{|}}\,{{t}^{0}})\rangle ) = \; \top $, то мы определяем $T{\kern 1pt} *$ равенством (3.1). Если теперь $T{\kern 1pt} * = \emptyset $, то $U(\bar {s};{{t}^{0}},\langle t{\kern 1pt} *,m({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\rangle ) = - 1$ и (3.3) выполняется (как строгое неравенство) при $t{\kern 1pt} *{\kern 1pt} * = t{\kern 1pt} *$. В противном случае обозначаем ${{t}^{ \Rightarrow }}: = \inf T{\kern 1pt} *$; если ${{t}^{ \Rightarrow }} \leqslant {{t}^{ \to }}$, то (3.3) выполняется опять-таки при $t{\kern 1pt} *{\kern 1pt} * = t{\kern 1pt} *$ (как строгое неравенство или как равенство). Наконец, если ${{t}^{ \Rightarrow }} > {{t}^{ \to }}$, то (3.3) выполняется (как строгое неравенство) при $t{\kern 1pt} *{\kern 1pt} * = {{t}^{ \to }}$. Предложение доказано.

Следствие 1. При любых $\alpha \in [0,1]$ и $\bar {s} \in \mathcal{S} \times \mathcal{S}$ справедливо

Замечание 3. Следствие 1 к предложению 1, вроде бы, само по себе утверждает, что ${{\bar {s}}^{\alpha }}$ – оптимальная гарантирующая стратегия. Оно, однако, не исключает ситуации, когда инфимум в (3.4) для ${{\bar {s}}^{\alpha }}$ достигается, а какая-то другая стратегия $\bar {s} \in \mathcal{S} \times \mathcal{S}$ обеспечивает тот же инфимум, но при этом не достигающийся (и тем самым $\bar {s}$ оказывается “все же несколько надежнее” ${{\bar {s}}^{\alpha }}$). Предложение 1 исключает и такую возможность.

4. ДИНАМИКА ПРОЦЕССА

В этом разделе развитое до сих пор полуформальное описание динамики роста пирамиды преобразуется в формально-математические конструкции.

Итак, вся совокупность агентов представляет собой единичный квадрат ${\text{A}}: = [0,1] \times [0,1]$; каждый отдельный агент характеризуется парой $(\beta ,\alpha ) \in {\text{A}}$, где ордината $\alpha $ выражает оценку агентом доли неудачников во всей массе агентов, а абсцисса $\beta $ – что-то вроде “номера в очереди на сканирование”. На ${\text{A}}$ задана мера – прямое произведение мер на координатных отрезках: стандартная мера Лебега (равномерное распределение) на оси абсцисс, а на оси ординат распределение, заданное непрерывной функцией плотности $p$, удовлетворяющей условиям $p(a) \geqslant 0$ для всех $a$ и $\int_0^1 \,p(a){\kern 1pt} {\text{d}}a = 1$. Таким образом, мера всего множества ${\text{A}}$ равна $1$. Удобно рассматривать “дополнительную” функцию распределения ординаты: $P(\alpha ): = \int_\alpha ^1 \,p(a){\kern 1pt} {\text{d}}a$, “вероятность того, что случайно выбранный агент оценивает долю неудачников в массе агентов числом бóльшим (бóльшим или равным) $\alpha $”; функция $P$ непрерывна и убывает от $1$ до $0$.

Пусть заданы допустимый режим сканирования $\sigma :[0,\bar {t}] \to [0,1]$ и момент завершения процесса $t{\kern 1pt} * \in [0,\bar {t}]$ (пока неважно, кем и как заданы). Поскольку $\sigma ( \cdot )$ непрерывна и строго возрастает, существует также непрерывная и строго возрастающая обратная функция $\vartheta :\sigma ([0,t{\kern 1pt} *]) \to [0,t{\kern 1pt} *]$, так что $\vartheta (\beta )$ – момент сканирования агентов с данным $\beta $.

Динамика состояния пирамиды задается семейством измеримых подмножеств $\Pi (t) \subseteq {\text{A}}$ ($t \in [0,t{\kern 1pt} *]$), где $(\beta ,\alpha ) \in \Pi (t)$ означает, что агент $(\beta ,\alpha )$ состоит в пирамиде в момент $t$. Меру множества $\Pi (t)$ будем обозначать $m(t)$.

Сформулированные выше полуформально предположения, включая предположение, что каждый агент принимает решения о входе-выходе, руководствуясь стратегией (3.2), могут теперь быть выражены одним условием:

Имеет смысл обсудить этот момент подробнее. Для того, чтобы агент $(\beta ,\alpha )$ в момент $t$ оказался в пирамиде, необходимо, во-первых, чтобы он на этот момент был уже просканирован (первый член конъюнкции в правой части (4.1)) и, во-вторых, чтобы с самого его момента сканирования $\vartheta (\beta )$ и до текущего момента $t$ выполнялось условие в нижней строке (3.2) (второй член конъюнкции в правой части). Это необходимое условие одновременно и достаточно.

Теорема 1. При любой непрерывной плотности распределения $p( \cdot )$, любом допустимом режиме сканирования $\sigma :[0,\bar {t}] \to [0,1]$ и любом $t{\kern 1pt} * \in [0,\bar {t}]$ существует единственное семейство измеримых подмножеств $\Pi (t) \subseteq {\text{A}}$ $(t \in [0,t{\kern 1pt} *])$, удовлетворяющее условию (4.1).

Доказательство. Для доказательства теоремы используем следующую лемму.

Лемма 2. Если система подмножеств $\Pi (t)$ удовлетворяет условию (4.1), то в любой момент $t \in [0,t{\kern 1pt} *]$ справедливо равенство

Доказательство леммы 2. Вложение $\Pi (t) \subseteq [0,\sigma (t)]\; \times \;]m(t),1]$ сразу следует из (4.1); оно может быть строгим лишь в том случае, если $T{\kern 1pt} *: = \{ t{\kern 1pt} ' \in [0,t]\,{\text{|}}\,m(t{\kern 1pt} ') > m(t)\} $ не пусто (заметим, что $t \notin T{\kern 1pt} *$ в любом случае). Чтобы вывести из непустоты $T{\kern 1pt} *$ противоречие, потребуется сравнительно длинное рассуждение.

Пусть ${{t}^{0}} \in T{\kern 1pt} *$, т.е. $m({{t}^{0}}) > m(t)$; обозначим ${{w}^{0}}: = {{\sup }_{{\tau \in [{{t}^{0}},t]}}}m(\tau ) \geqslant m({{t}^{0}})$. Если ${{w}^{0}} = m({{t}^{0}})$, то мы у цели: поскольку $\alpha > m({{t}^{0}}) \geqslant m(\tau )$ при всех $(\beta ,\alpha ) \in \Pi ({{t}^{0}})$ и $\tau \in [{{t}^{0}},t]$, получаем, что второй член конъюнкции в правой части (4.1) остается истинным вплоть до текущего момента $t$, откуда $\Pi ({{t}^{0}}) \subseteq \Pi (t)$, что несовместимо с неравенством $m({{t}^{0}}) > m(t)$.

В противном случае, т.е. при ${{w}^{0}} > m({{t}^{0}})$, выберем ${{t}^{1}} \in [{{t}^{0}},t]$, для которого $m({{t}^{1}}) > \max \{ {{w}^{0}} - 1{\text{/}}2,m({{t}^{0}})\} $, и обозначим ${{w}^{1}}: = {{\sup }_{{\tau \in [{{t}^{1}},t]}}}m(\tau ) \geqslant m({{t}^{1}})$. Если теперь ${{w}^{1}} = m({{t}^{1}})$, то получаем $\Pi ({{t}^{1}}) \subseteq \Pi (t)$ и то же самое противоречие.

Если же ${{w}^{1}} > m({{t}^{1}})$, то продолжаем в том же духе: выбираем ${{t}^{2}} \in [{{t}^{0}},t]$, для которого $m({{t}^{2}}) > \max \{ {{w}^{1}} - 1{\text{/}}4,m({{t}^{1}})\} $, обозначаем ${{w}^{2}}: = {{\sup }_{{\tau \in [{{t}^{2}},t]}}}m(\tau ) \geqslant m({{t}^{2}})$ и т.д. В результате мы получаем либо $\Pi ({{t}^{k}}) \subseteq \Pi (t)$ на каком-то шаге $k$, т.е. искомое противоречие, либо бесконечную последовательность ${{\{ {{t}^{k}}\} }_{{k \in \mathbb{N}}}}$, у которой $t > {{t}^{{k + 1}}} > {{t}^{k}}$, $m({{t}^{{k + 1}}}) > m({{t}^{k}}) > m(t)$ и ${{w}^{k}} \geqslant {{w}^{{k + 1}}}$ при всех $k$. В последнем случае обозначим ${{t}^{\infty }}: = {{\sup }_{k}}{{t}^{k}}{\kern 1pt} ( = {\kern 1pt} {{\lim }_{{k \to \infty }}}{{t}^{k}})$, ${{w}^{\infty }}: = {{\sup }_{k}}m({{t}^{k}}){\kern 1pt} ( = \,{\kern 1pt} {{\lim }_{{k \to \infty }}}m({{t}^{k}}))$ и $\Delta : = (m({{t}^{0}}) - m(t)){\text{/}}2{\kern 1pt} ( > 0)$. Важно заметить, что способ выбора ${{t}^{k}}$ на каждом шаге обеспечивает равенства ${{w}^{\infty }} = {{\inf }_{k}}{{w}^{k}} = {{\lim }_{{k \to \infty }}}{{w}^{k}}$.

Поскольку $m({{t}^{k}}) \to {{w}^{\infty }} \leftarrow {{w}^{k}}$, а $P$ непрерывна, имеем $P(m({{t}^{k}})) - P({{w}^{k}}) < \Delta $ для достаточно больших $k$; зафиксируем одно такое $k$. Как отмечено в самом начале доказательства леммы, имеет место вложение $\Pi ({{t}^{k}}) \subseteq [0,\sigma ({{t}^{k}})]\; \times \;]m({{t}^{k}}),1]$, следовательно,

Выбор $k$ обеспечивает, что мера первой “половины” $\Pi ({{t}^{k}})$ меньше $\Delta $. Учитывая, что $m({{t}^{k}}) - m(t) > 2\Delta $, получаем, что мера второй “половины”, $\Pi ({{t}^{k}}) \cap ([0,\sigma ({{t}^{k}})]\; \times \;]{{w}^{k}},1])$, превышает $m(t)$, меру множества $\Pi (t)$. С другой стороны, для любого агента $(\beta ,\alpha )$ из этой второй “половины” второй член конъюнкции в правой части (4.1) остается истинным вплоть до момента $t$, откуда $\Pi ({{t}^{k}}) \cap ([0,\sigma ({{t}^{k}})]\; \times \;]{{w}^{k}},1]) \subseteq \Pi (t)$ – опять то же самое, на этот раз окончательное, противоречие. Лемма доказана.

Равенство (4.2) немедленно дает нам равенство

при всех $t \in [0,t{\kern 1pt} *]$.

При произвольном $\beta \in [0,1]$ определим отображение ${{f}_{\beta }}:[0,1] \to [ - 1,1]$ равенством ${{f}_{\beta }}(\alpha ): = \beta P(\alpha ) - \alpha $; поскольку $P$ непрерывна и убывает, ${{f}_{\beta }}(0) = \beta $ и ${{f}_{\beta }}(1) = - 1$, существует единственное решение $\mu (\beta )$ уравнения ${{f}_{\beta }}(\mu (\beta )) = 0$:

Поскольку ${{f}_{\beta }}(\alpha )$ строго возрастает по $\beta $ при любом $\alpha \in [0,1]$, функция $\mu $ строго возрастает на $[0,1]$.

Учитывая (4.4), равенство (4.3) можно переписать как

а отсюда при всех $t \in [0,t{\kern 1pt} *]$.

Поскольку отображение $\mu $ определяется исключительно функцией $P$, равенство (4.6) сразу доказывает единственность системы подмножеств $\Pi (t)$. Если же, наоборот, использовать его в качестве определения $\Pi (t)$, то получаем и существование: мерой каждого множества $\Pi (t)$ будет $\sigma (t) \cdot P(\mu (\sigma (t)))$, что, согласно (4.4), совпадает с $\mu (\sigma (t))$, а отсюда сразу следует (4.2); последнее же равенство сразу влечет условие (4.1). Теорема доказана.

Равенства (4.4) и (4.5) сразу дают важное свойство:

Другими словами, текущий объем пирамиды и объем просканированной массы агентов связаны жестким образом, не зависящим от режима сканирования, который определяет лишь связь между $\alpha $ и $t$ в (4.7).

По завершении процесса вся совокупность агентов оказывается разделенной на три подмножества: те, кто вообще не участвовал в пирамиде, ; неудачники, кто вошел в пирамиду и не успел вовремя ее покинуть, ${{{\text{A}}}^{ + }}: = \Pi (t{\kern 1pt} *)$; наконец, те, кто вошел и успел выйти, . (“Плюсы” и “минусы” расставлены с точки зрения Организатора.) Важно, что это разбиение не зависит от режима сканирования и определяется исключительно объемом пирамиды в момент завершения.

Предложение 2. Пусть заданы допустимый режим сканирования $\sigma :[0,\bar {t}] \to [0,1]$ и $t{\kern 1pt} * \in [0,\bar {t}]$. Имея в виду процесс, определенный в теореме 1, обозначим $\alpha {\kern 1pt} *: = m(t{\kern 1pt} *)$ и $\beta {\kern 1pt} *: = \alpha {\kern 1pt} *{\text{/}}P(\alpha {\kern 1pt} *)$. Тогда справедливы равенства ${{{\text{A}}}^{0}} = (]{\kern 1pt} \beta {\kern 1pt} *,1] \times [0,1]) \cup \{ (\beta ,\alpha ) \in [0,\beta {\kern 1pt} *] \times $ $[0,\alpha {\kern 1pt} *]\,{\text{|}}\,\beta > \alpha {\text{/}}P(\alpha )\} $; ${{{\text{A}}}^{ + }} = \Pi (t{\kern 1pt} *) = [0,\beta {\kern 1pt} *]\; \times \;]\alpha {\kern 1pt} *,1]$; ${{{\text{A}}}^{ - }} = \{ (\beta ,\alpha ) \in [0,\beta {\kern 1pt} *] \times [0,\alpha {\kern 1pt} *]\,{\text{|}}\,\beta \leqslant \alpha {\text{/}}P(\alpha )\} $.

Доказательство. Согласно равенству (4.7), $\sigma (t{\kern 1pt} *) = \beta {\kern 1pt} *$. Следовательно, агенты с $\beta > \beta {\kern 1pt} *$ не будут просканированы и заведомо останутся вне пирамиды; этим объясняется первая компонента в выражении для ${{{\text{A}}}^{0}}$. Если $\alpha > \alpha {\kern 1pt} *$, то агент $(\beta ,\alpha )$ обязательно войдет в пирамиду, если будет просканирован, т.е. если $\beta \leqslant \beta {\kern 1pt} *$, и не выйдет до самого конца; отсюда ${{{\text{A}}}^{ + }} \supseteq [0,\beta {\kern 1pt} *]\; \times \;]\alpha {\kern 1pt} *,1]$.

Если, наконец, $\alpha \leqslant \alpha {\kern 1pt} *$, то агент $(\beta ,\alpha )$ с $\beta \leqslant \beta {\kern 1pt} *$ будет приглашен в пирамиду, причем он откажется, если $\beta > \alpha {\text{/}}P(\alpha )$, и согласится в противном случае, выйдя в момент равенства $m(t) = \alpha $, т.е. при $\sigma (t) = \alpha {\text{/}}P(\alpha )$. В результате никто из этих агентов не попадет в ${{{\text{A}}}^{ + }}$. Предложение доказано.

Положим ${{\alpha }^{ + }}: = \mu (1)$ – максимально возможный объем пирамиды, который реализуется, если просканированы все агенты; ${{\alpha }^{ + }}$ является единственной неподвижной точкой отображения $P$, т.е. ${{\alpha }^{ + }} = P({{\alpha }^{ + }})$. Очевидным образом, $0 < {{\alpha }^{ + }} < 1$.

5. ЗАДАЧА ОРГАНИЗАТОРА

Выигрыш Организатора является разностью между суммарным взносом неудачников и процентами, выплаченными агентам, поучаствовавшим в пирамиде и вовремя ее покинувшим. С доходной частью все сразу понятно, это $m(t{\kern 1pt} *) = \mu (\sigma (t{\kern 1pt} *))$; как и выше, будем использовать обозначение $\alpha {\kern 1pt} *: = m(t{\kern 1pt} *)$.

Агент с $\alpha > \alpha {\kern 1pt} *$, войдя однажды в пирамиду, не покинет ее до конца; поэтому никаких денег такие агенты не унесут. Агенты с $\alpha \leqslant \alpha {\kern 1pt} *$ будут входить в пирамиду, если $\beta \leqslant \alpha {\text{/}}P(\alpha )$, и покинут ее одновременно при $\sigma (t) = \alpha {\text{/}}P(\alpha )$. Таким образом, все агенты с каждым $\alpha \in [0,\alpha {\kern 1pt} *]$ унесут вместе

А выигрыш Организатора составит

Предложение 3. Каковы бы ни были непрерывная плотность распределения $p({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ и $\delta > 0$, если Организатор может выбрать допустимый режим сканирования $\sigma ({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ и момент окончания $t{\kern 1pt} *$ любым образом, то оптимального выбора не существует, а верхняя грань возможных значений выигрыша Организатора равна ${{\alpha }^{ + }}$.

Доказательство. Организатор может назначить режим сканирования $\sigma (t): = Kt$ ($K > 0$), так что $\bar {t} = 1{\text{/}}K$, и момент окончания $t{\kern 1pt} *: = \bar {t}$. В результате финальный объем пирамиды будет ${{\alpha }^{ + }}$. При любом $\varepsilon > 0$ можно выбрать $K > \delta {\text{/}}\log (1 + \varepsilon )$; тогда сумма всех выплат ушедшим агентам будет меньше $\varepsilon $. Таким образом, верхняя грань выигрыша Организатора не меньше ${{\alpha }^{ + }}$.

С другой стороны, из (5.2) сразу видно, что выигрыш не может быть больше, чем ${{\alpha }^{ + }}$. Даже равенство $U(\alpha {\kern 1pt} *) = {{\alpha }^{ + }}$ невозможно, поскольку $1 - P({{\alpha }^{ + }}) > 0$, а интеграл в (5.1) строго положителен при всех $\alpha \in \;]0,{{\alpha }^{ + }}]$. Предложение доказано.

Предложение 4. Каковы бы ни были непрерывная плотность распределения $p({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ и допустимый режим сканирования $\sigma ({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$, если Организатор может выбрать $\delta > 0$ и момент окончания $t{\kern 1pt} *$ любым образом, то оптимального выбора не существует, а верхняя грань возможных значений выигрыша Организатора равна ${{\alpha }^{ + }}$.

Доказательство. Поскольку подынтегральное выражение в (5.1) не превосходит $\exp (\delta \cdot \bar {t}) - 1$, надлежащим выбором $\delta > 0$ сумма всех выплат ушедшим агентам может быть сделана сколь угодно малой. Дальнейшие рассуждения повторяют доказательство предложения 3.

Если же предположить, что допустимый режим сканирования $\sigma ( \cdot )$ и $\delta > 0$ заданы экзогенно, а Организатор может выбрать только момент окончания $t{\kern 1pt} *$, то, вообще говоря, ситуация усложняется.

При заданном режиме сканирования выбор момента окончания $t{\kern 1pt} *$ эквивалентен выбору финального объема пирамиды $\alpha {\kern 1pt} * = m(t{\kern 1pt} *)$. Как показывает (5.2), выигрыш Организатора оказывается непрерывной функцией от $\alpha {\kern 1pt} *$, а значит, $\max _{\alpha }^{*}U(\alpha {\kern 1pt} *)$ достигается.

Отчетливый результат может быть получен в предположении, что сканирование происходит “достаточно быстро”. Пусть $K > 0$; будем называть допустимый режим сканирования $\sigma ({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ K‑быстрым, если $\sigma (t{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ') - \sigma (t{\kern 1pt} ') \geqslant K(t{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\; - t{\kern 1pt} ')$ всякий раз, когда $\bar {t} \geqslant t{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \geqslant t{\kern 1pt} ' \geqslant 0$. Очевидным образом, $\sigma ( \cdot )$ является K‑быстрым тогда и только тогда, когда обратное отображение $\vartheta ({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ удовлетворяет условию Липшица с константой $1{\text{/}}K$.

Предложение 5. Каковы бы ни были непрерывная плотность распределения $p({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ и $\delta > 0$, существует такое $K > 0$, что при любом K-быстром допустимом режиме сканирования оптимальным для Организатора будет момент окончания $t{\kern 1pt} * = \bar {t}$, т.е. просканированы будут все агенты.

Доказательство. Из равенства (5.2) немедленно вытекает дифференцируемость функции $U(\alpha )$, а также явное выражение для ее производной:

Рассуждая аналогично доказательству предложения 3, получаем существование такого $K > 0$, что интеграл в (5.1) окажется сколь угодно мал при любом $\alpha $, а отсюда $U(\alpha )$ строго возрастает. Следовательно, максимум $U(\alpha )$ достигается при $\alpha = {{\alpha }^{ + }}$. Предложение доказано.

Предложение 6. Каковы бы ни были непрерывная плотность распределения $p({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ и допустимый режим сканирования $\sigma ({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$, существует такое $\delta > 0$, что оптимальным для Организатора будет момент окончания $t{\kern 1pt} * = \bar {t}$, т.е. просканированы будут все агенты.

Доказательство. Совершенно аналогично доказательству предложения 5, при малом $\delta > 0$ интеграл в (5.1) окажется сколь угодно мал при любом $\alpha $, и поэтому $U(\alpha )$ строго возрастает.

Иллюстративный пример. Пусть распределение оценки числа неудачников равномерное, $p(a) = 1$ для всех $a \in [0,1]$; тогда $P(a) = 1 - a$ и ${{\alpha }^{ + }} = 1{\text{/}}2$. Режим сканирования тоже пусть будет равномерным, $\sigma (t): = Kt$ ($K > 0$); следовательно, $\bar {t} = 1{\text{/}}K$. Из равенства (5.3) сразу следует, что $U{\kern 1pt} '(\alpha )$ убывает по $\alpha $, а значит, для оптимальности выбора $t{\kern 1pt} * = \bar {t}$, т.е. сканирования всей совокупности агентов, необходимо и достаточно, чтобы $U{\kern 1pt} '{\kern 1pt} (1{\text{/}}2) \geqslant 0$. Учитывая, что $\vartheta (b) = b{\text{/}}K$ для всех $b \in [0,1]$, получаем условие

илиЭто условие заведомо выполняется при $\delta {\text{/}}K \leqslant 1.2$ (рецензент предложил более точную оценку $\delta {\text{/}}K < 1.2564 \ldots $); если, например, $K = 1$, то “достаточно малым” будет уже $\delta = 1$, т.е. ставка $100\% $. При $\delta {\text{/}}K \geqslant 1.3$ условие (5.4) перестает выполняться, так что сканирование всех агентов уже не оптимально для Организатора. В результате “в дураках” окажутся некоторые агенты с $\alpha \leqslant {{\alpha }^{ + }}$ (и малых $\beta $), а некоторые агенты с $\alpha > {{\alpha }^{ + }}$ (и больших $\beta $), наоборот, не попадут в пирамиду.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложена модель финансовой пирамиды, позволяющая в определенной степени рационализировать участие в ней. Каждый агент принимает решения, исходя из принципа наибольшего гарантированного результата и опираясь на свою оценку числа неудачников среди общей массы агентов. “Оптимальной гарантирующей” стратегией оказывается участие в пирамиде, пока ее действительный размер не достиг этой оценки и отказ от участия или, соответственно, выход, если оценка достигнута. Предполагая непрерывное распределение величины оценки в массе агентов, доказаны существование и единственность соответствующего динамического процесса, обеспечивающего, в частности, непрерывный и монотонный рост объема пирамиды. В результате агенты с бóльшими оценками соглашаются участвовать на более длинном интервале времени, а агенты со “слишком” большими оценками остаются до конца и теряют свои инвестиции. Если весь процесс происходит достаточно быстро (так, чтобы выплаты агентам, поучаствовавшим в пирамиде и вовремя ее покинувшим, не имели слишком большого значения), то “слишком” большими оказываются оценки, превышающие неподвижную точку дополнительной функции распределения.

Автор благодарит А.А. Шананина за ценные замечания к первоначальной версии работы.