АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2019, том 96, № 11, с. 961-968

УДК 521.1

УВОД АСТЕРОИДА С ПОМОЩЬЮ ДВИГАТЕЛЯ МАЛОЙ ТЯГИ,

НАПРАВЛЕННОЙ ПО ТРАНСВЕРСАЛИ

Т. Н. Санникова^1***, В. Б. Титов^1****, К. В. Холшевников^1,3*****

¹Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия

²Институт астрономии и геофизики Монгольской академии наук, Улан-Батор, Монголия

³Институт прикладной астрономии РАН, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 10.03.2019 г.; после доработки 29.04.2019 г.; принята к публикации 29.04.2019 г.

Рассмотрена задача увода опасного астероида с орбиты столкновения с Землей с помощью двигателя

малой тяги, направленной по трансверсали. Двигатель может быть смонтирован на астероиде,

или на “гравитационном тягаче”. Целью является установление принципиальной возможности (или

невозможности) увода астероида на безопасное расстояние за время порядка месяца и года. Это

приемлемо, поскольку падение астероида диаметром порядка 100 м сразу после его открытия

маловероятно. Мы ограничились модельной постановкой задачи: двигатель обеспечивает постоянное

ускорение астероида по трансверсали к орбите. Соответствующие уравнения типа Эйлера были

нами преобразованы методом осреднения ранее. Здесь мы решили их методом рядов по степеням

“медленного времени” и показали адекватность решения на временах в десятки лет. Оказалось, что

астероиды до 55 м в диаметре можно увести за год при тяге двигателя в 1 Н. При тяге в 20 Н астероиды

до 50 м в диаметре можно увести за месяц, а с диаметром до 150 м — за год. Увод более крупных

астероидов требует больше времени или более мощных двигателей.

DOI: 10.1134/S0004629919100013

1. ВВЕДЕНИЕ

В статье [3] осредненные уравнения проинтегри-

рованы в квадратурах, если хотя бы один из трех

В статьях [1, 2] сформулирована задача о дви-

компонентов Pi₁, Pj₁, Pk₁ вектора возмущающего

жении точки A нулевой массы под действием при-

ускорения P равен нулю.

тяжения к центральному телу S и возмущающего

ускорения P. Последнее постоянно в системе от-

Здесь мы применим эти результаты к задаче

счета O₁ с началом в S и ортами i₁, j₁, k₁. Ор-

об уводе опасного астероида с орбиты столкнове-

ты направлены по радиусу-вектору, трансверсали

ния с Землей с помощью двигателя малой тяги.

(перпендикуляру к радиусу-вектору в плоскости

Последний может быть установлен на астероиде

оскулирующей орбиты в сторону движения) и би-

или на “гравитационном тягаче” [4]. Малая тя-

нормали (направленной по вектору площадей). Там

га позволяет сдвинуть астероид на приемлемое

рассмотрены и другие системы отсчета, но мы их

расстояние лишь за длительное время (годы, в

касаться не будем. Отношение модулей возмуща-

лучшем случае месяцы). Это приемлемо, посколь-

ющего ускорения P и вызванного притяжением к

ку падение астероида диаметром порядка 100 м

центральному телу основного ускорения считается

сразу после его открытия маловероятно. Заметим,

малым, и квадратом этой величины пренебрегаем.

что, к счастью, маловероятно само столкновение

К уравнениям движения применено осредняющее

с Землей. Частота оценивается в одно событие

преобразование. Найдены уравнения движения в

за 200 лет [5-7]. Вероятность же столкновения

средних элементах и формулы перехода от оскули-

сразу после открытия опасного объекта еще на 2-

рующих элементов к средним.

3 порядка ниже¹. В общем случае он несколько

раз пролетает мимо Земли на близком расстоянии

^*E-mail: monastro@yandex.ru

^**E-mail: zegzithsa@gmail.com

¹Это не так для тел метровогои декаметровогоразмера, от-

^***E-mail: TNSannikova@gmail.com

крываемых только в непосредственной близости от Земли.

^****E-mail: tit@astro.spbu.ru

Но столь малые тела отклонять не нужно. Достаточно

*****E-mail: kvk@astro.spbu.ru

оповещения населения.

961

962

БАТМУНХ и др.

[

(и тогда открывается), прежде чем столкнуться с

u₆ =

4e(1 + e²) +

4ω²ae

ней [8].

]

Выбор возмущающего ускорения по вектору

+ 8(1 + e²) cos E - e(1 + 3e²) cos 2E T,

скорости локально оптимален для разгона или

2eη

торможения космического аппарата [9, 10]. При

u₇ =

sin ET.

малом эксцентриситете орбиты вектор скорости

ω²

√

почти совпадает с трансверсалью. В этой статье мы

Здесь η =

1 - e², E —эксцентрическая анома-

рассмотрим задачу с возмущающим ускорением,

лия.

направленным вдоль трансверсали. В следующей

Дифференциальные уравнения для средних эле-

статье мы рассмотрим более сложную задачу с

ментов просты:

возмущающим ускорением, направленным вдоль

вектора скорости.

3η

ω=-

(2)

3eη

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ė=-

2ωa

Обозначим через ω, e, i, Ω, g, M, a сред-

= ω,

нее движение, эксцентриситет, наклон к основ-

•

ной неподвижной плоскости с ортами i, j, долготу

ı=Ω = ġ = 0,

восходящего узла, аргумент перицентра, среднюю

где точка над параметром (жирная точка для i) от-

аномалию и большую полуось орбиты A. Неза-

мечает дифференцирование по времени t. Мы опу-

висимы первые 6 элементов, a = κ2/3ω-2/3 счи-

стили черту над средними элементами, поскольку

тается функцией от ω. Здесь κ² — произведение

это не приводит к недоразумениям.

постоянной тяготения на массу S. Выбор средне-

Найдем решение уравнений (2) и оценим вклад

го движения вместо большой полуоси в качестве

периодических возмущений (1).

независимой переменной сильно упрощает опера-

ции осреднения, поскольку скорость изменения M

в невозмущенном движении линейно зависит от ω,

3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

но существенно нелинейно от a.

В СРЕДНИХ ЭЛЕМЕНТАХ

Пусть компоненты возмущающего ускорения P

Описывающие ориентацию эллипса элементы i,

в системе O₁ равны (0, T, 0), T = const. В статье [2]

Ω, g постоянны. Уравнения (2) автономны, поэтому

выполнено осредняющее преобразование [11-13]

за начальную эпоху удобно принять t = 0. Началь-

уравнений Эйлера [12, 14] для изменения оскули-

ные значения переменных будем обозначать индек-

рующих элементов с точностью до первого порядка

сом “0”. Далее следует рассмотреть два случая в

относительно отношения |P| к основному уско-

зависимости от начального значения эксцентриси-

рению κ²/r². Здесь r — модуль радиус-вектора

тета.

r = SA. Переход от оскулирующих элементов к

средним выполняется по формулам

3.1. Круговая начальная орбита

ϵ_n = ϵ_n + u_n.

= 0. Очевидно, e = 0 тождественно. В

Пусть e₀

Здесь ϵ_n — семь оскулирующих элементов, взятых

первом из уравнений (2) переменные разделяются

в указанном выше порядке; ϵ_n — семь средних эле-

ментов. Величины u_n считаются функциями сред-

ω-2/3dω = -3κ-2/3Tdt,

них элементов ϵ_k. Впрочем, в первом приближении

так что решение (2) имеет вид

безразлично, считать ли аргументы u_n средними

или оскулирующими.

ω = ω₀(1 - τ)³,

(3)

Приведем явные выражения для u_n:

ω₀t^∗

[

]

M =M₀+

1 - (1 - τ)⁴

3eη

u₁ = -

sin ET,

(1)

(

)

ωa

[

]

=M₀ +ω₀t

τ+τ² -

τ³

u₂ =

2(4 - 3e²) sin E - e sin 2E T,

4ω²a

Здесь

u₃ = u₄ = 0,

[

a₀ω₀

t^∗ =

τ =

(4)

u₅ = -

2e(2 - e²) +

t^∗

4ω²ae

]

Величина t^∗ имеет размерность времени, τ — без-

+ 4(2 - e²) cos E - e cos 2E T,

размерное “медленное время”.

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 11

2019

УВОД АСТЕРОИДА С ПОМОЩЬЮ ДВИГАТЕЛЯ

963

Для большой полуоси получаем дробно-рацио-

Дифференциальное уравнение для x можно пред-

нальную функцию времени

ставить в форме

a₀

√

(5)

1-x³,

(7)

(1 - τ)²

где

Пусть T > 0 ⇒ t^∗ > 0. Решение уравнений (3),

(5) существует при -∞ < τ < 1, -∞ < t < t^∗. По-

t=x0t=x0τ.

t^∗

ведение решения на концах интервала тривиально:

a → 0, ω → +∞ при τ → -∞, t → -∞; a → ∞,

Решение (7) запишем в виде ряда Ли

ω → 0 при τ → 1, t → t^∗. Что касается средней

∑

аномалии, то M → -∞ при τ → -∞, t → -∞;

DⁿX.

(8)

M → M0 + ω₀t^∗/4 при τ → 1, t → t^∗. При нулевом

n=0

эксцентриситете истинная аномалия совпадает со

средней. Поэтому орбита A представляет собой

Здесь X = x₀ — начальное значение x, D — опе-

ратор дифференцирования вдоль траекторий си-

спираль, делающую бесконечное число витков в

стемы (7):

прошлом (наматывается на притягивающий центр)

и конечное число витков в будущем (уходя на

√

D=-

1-X³

бесконечность за конечное время).

Пусть T < 0 ⇒ t^∗ < 0. Критическое значение

По индукции легко показать, что

τ = 1,t = t^∗ теперь в прошлом, с ростом τ время

уменьшается. Решение существует при -∞ < τ <

D2nX = P_n(X),

√

< 1, t^∗ < t < +∞, и его поведение аналогично вы-

D2n+1X = -

1 - X³P^′n(X),

шеописанному при перестановке прошлого и буду-

щего.

где P_n — многочлен степени n + 1 от X, удовлетво-

Замечание 1. Уход на бесконечность за ко-

ряющий рекуррентному соотношению

нечное время не имеет физического смысла. Такое

P₀ = X,

поведение решения говорит лишь о том, что метод

осреднения примен ´им только при τ, не слишком

Pn+1 = (1 - X³)P^′′n -

X²P^′n.

близком к единице: например, при τ < 1/2, т.е.

t < t^∗/2. Действительно, метод предполагает ма-

В частности,

лость величин u_n. Между тем при e₀ = 0 соглас-

но (1)

P₀ = X, P₁ = -

X²,

u₂ =

sin M =

sin M,

(6)

P₂ = -3 +

X³.

ω²a

ω²⁰a₀(1 - τ)⁴

что не ограничено при τ → 1.

Запишем (8) в других обозначениях

Замечание 2. Согласно (6) на половине каж-

x = XΦ(X,τ),

дого оборота π(2k - 1) < M < 2πk оскулирующий

∑

Xn-1τⁿ

эксцентриситет отрицателен. Это нормально: про-

Φ=1+

DⁿX.

сто отрицательность эксцентриситета меняет ме-

n=1

стами перицентр и апоцентр.

С точностью до τ²

√

3.2. Некруговая начальная орбита

Φ=1-

1-X³τ-

X³τ² + ...

Уравнения (2) при 0 < e₀ < 1 проинтегрирова-

Легко вывести соотношения

ны в [3] в квадратурах, приводящих к неполным эл-

липтическим интегралам. Здесь мы рассматриваем

e=e₀Φ3/2, ω=ω₀Φ³, a=a₀Φ-2.

(9)

случай малого T (оценки см. ниже), так что гораздо

Пользуясь биномиальным рядом

проще использовать ряды по степеням медленного

√

времени. Получим решение методом рядов Ли [15-

Φ^ν = 1 - ν

1-X³τ+

18].

[2(ν - 1) - (1 + 2ν)X³]τ² + . . . ,

Первые два уравнения (2) позволяют выразить

ω, e через x = e2/3 [3]:

найдем

[

]

ω₀

e=x3/2, ω=

x³

e=e₀

η₀τ +

(1 - 4e²⁰)τ² + . . . ,

(10)

x³⁰

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 11

2019

964

БАТМУНХ и др.

[

]

При k = 0

ω = ω₀ 1 - 3η₀τ +

(4 - 7e²⁰)τ² + . . . ,

∫

[

]

-x₀τ∗0 =

√

a=a₀

1 + 2η₀τ +

(2 - e²⁰)τ² +

1-y³

x₀

При k = 1

Обозначим δM = M - M₀ - ω₀t. Интегрируя

третье соотношение (2) с учетом (4) и (10), получим

x₀τ∗1 = γ₁ - γ₂,

(

)

x₀

∫

3κ²η₀

4 - 7e²

δM = -

τ²

⁰τ +

(11)

γ₁ =

√

2a²⁰T

6η₀

1-y³

Как и должно быть, вековые возмущения по-

z₁

∫

зиционных элементов пропорциональны времени.

γ₂ =

√

=z₁

√

Вековые возмущения средней аномалии пропорци-

1-y³

ональны квадрату времени, ибо в третьем уравне-

нии (2) отсутствует слагаемое, пропорциональное

где в интеграле для γ₂ сделана подстановка: y =

= z₁y. Отделяя вещественную и мнимую части,

получим

Важно, что соотношения (1), (10), (11) не содер-

жат малых знаменателей, поскольку имеется лишь

∫

x₀

∫1

2πi

одна быстрая переменная M и резонанс невозмо-

γ₁ - γ₂ =

√

- exp

√

жен.

1-y³

Заметим, что при e₀ = 0 решения (10), (11)

или

совпадают с решениями (3), (5).

x₀

∫

γ₁ - γ₂ =

√

1-y³

3.3. Сходимость рядов

∫

√

∫

1. Вариант e₀ = 0.

√

Элементы ω, M являются согласно (3) много-

1-y³

членами по времени, и вопрос о сходимости не

стоит.

Отбрасывая первое слагаемое справа, мы увели-

Для большой полуоси имеется замкнутое выра-

чим модуль |γ₁ - γ₂|. Поэтому

жение (5). Его можно разложить в ряд

x₀|τ∗1| >

(13)



∑



∫

√

∫



a=a₀

(n + 1)τⁿ,



¹

√

₌

n=0



²

1-y³

1-y³

радиус сходимости которого равен единице.

∫

2. Вариант 0 < e₀ < 1 ⇒ 0 < x₀ < 1.

√

> x₀|τ∗0|.

В уравнении (7) переменные разделяются. Его

1-y³

решение представляет собой функцию x(τ), обрат-

ную к

Неравенство (13) выполнено и для τ∗-1.

∫

Согласно (9) эксцентриситет и большая полуось

содержат дробные и отрицательные степени x. Для

τ (x) = -

√

(12)

x₀

1-y³

них особенность возникает и при x = 0. Сингуляр-

x₀

ность на плоскости τ определяется значением

Найдем особые точки функции x(τ). Для этого [18,

∫

x₀

19] определим особые точки функции (12) на ком-

x₀τ∗2 =

√

плексной плоскости x. Их три: z_k = exp(2πik/3),

1-y³

k = -1,0,1. Соответствующие значения τ^∗k равны

Окончательно радиус сходимости ряда (10) для

z_k

∫

ω иряда(11)для δM равен |τ∗0|. Радиуссходимости

τ^∗k = -

√

рядов (10) для e, a равен τ∗3, где

x₀

1-y³

x₀

τ∗3 = min{|τ∗0|,τ∗2}.

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 11

2019

УВОД АСТЕРОИДА С ПОМОЩЬЮ ДВИГАТЕЛЯ

965

средняя аномалия (быстрая переменная). Восста-

Таблица 1. Значения |τ∗0|, τ∗2 в зависимости от e = x3/2

новим черту над средними элементами. Нас ин-

тересует смещение Δr положения A за время t,

|τ∗0|

τ∗2

вызванное возмущающим ускорением T . По опре-

0.0

∞

делению

0.1

5.5071

1.0013

Δr = r(ϵ_n(t),M(t)) - r(ϵ_n(0),M₀ + ω₀t),

что можно представить в виде

0.2

3.0949

1.0051

Δr = Δr₁ + Δr₂,

0.3

2.1172

1.0117

где

0.4

1.5613

1.0215

Δr₁ = r(ϵ_n(t) + u_n,

(14)

0.5

1.1906

1.0352

M₀ + ω₀t + δM(t) + u₆) -

0.550406

1.04388

- r(ϵ_n(t), M₀ + ω₀t + δM(t)),

0.6

0.9172

1.0539

Δr₂ = r(ϵ_n(t),M₀ + ω₀t + δM(t)) -

(15)

0.7

0.6989

1.0797

- r(ϵ_n(0), M₀ + ω₀t).

0.8

0.5100

1.1170

Смещение Δr₁ вызвано отличием оскулирующих

0.9

0.3263

1.1779

элементов от средних. Смещение Δr₂ вызвано

0.95

0.2203

1.2306

дрейфом средних элементов.

0.99

0.0951

1.3165

4.1. Влияние отличия оскулирующих элементов

0.0

1.4022

от средних

малы

Оценим смещение (14). Поскольку u_n, u₆

При x₀ → 0 имеем |τ∗0| → ∞, τ∗2 = τ∗3 → 1 в

и периодически зависят от M, разность (14) также

согласии с результатами п. 1 этого раздела. При

мала и периодична, так что вековой тренд отсут-

x₀ → 1 имеем |τ∗0| → 0, τ∗3 → 0.

ствует. Для оценки достаточно вычислить средне-

Значения |τ∗0|, τ∗2 в зависимости от e = x3/2 при-

квадратическую норму

ведены в табл. 1. Использовалось представле-

∫π

ние [20, 3.139]:

ϱ₁ = √

(Δr₁)² dM.

∫1

2π

-π

√

= 3-1/4F(β,κ),

1-y³

Она приведена в [21]:

√

4|T |

385

3-1+ξ

ϱ₁ =

e² -

e⁴ -

e⁶.

(16)

β =

√

ω²

512

3+1-ξ

√

Замечательно, что ϱ₁ зависит только от двух эле-

κ² = cos² 15^◦ =

ментов орбиты ω и e (или, что то же самое, от a и e).

Здесь F — неполный эллиптический интеграл пер-

4.2. Влияние дрейфа средних элементов

вого рода

В этом разделе все элементы считаются средни-

∫

ми. При T = 0 пять из них ϵ₁, . . . , ϵ₅ постоянны, а

F (β, κ) =

√

шестой ϵ₆ = M линейно зависит от времени. По-

1 - κ2 sin2 y

скольку δi = δΩ = δg = 0 с точностью до второго

порядка малости смещение (15) согласно форму-

Таблица 1 показывает, что τ∗3 с ростом e от 0

ле (4) из [21] равно

до 0.550406 возрастает от 1 до 1.04388, а затем

убывает до 0 при e = 1. Однако даже при e = 0.99

(Δr₂)² = δr² + r²δu²,

значение τ∗3 ≈ 0.1 еще не так мал ´о.

где u — аргумент широты. Вычислим среднеквад-

ратичную норму:

4. НОРМА СМЕЩЕНИЯ

∫

Пусть ϵ_n, n = 1, . . . , 5 — первые пять оскули-

рующих элементов, постоянных в невозмущен-

ϱ²² = ||Δr₂||² =

(Δr₂)²dM.

(17)

2π

ном движении (медленные переменные); ϵ₆ = M —

−π

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 11

2019

966

БАТМУНХ и др.

Приращения δr и δu — линейные функции от δa,

Замечание 3. Формулы (16), (19) оценивают

δe, δM. Последние согласно (9), (10) зависят лишь

периодическое и вековое смещения A в системе

от начальных данных a₀, e₀ и времени, но не за-

отсчета O₁. По инвариантности расстояний от-

висят от положения на орбите M. Условимся в

носительно сдвигов и вращений оба соотношения

интеграле (17) считать t не зависящим от M. Тогда

остаются справедливыми в любой декартовой си-

при интегрировании приращения δa, δe, δM ведут

стеме отсчета.

себя как постоянные, и мы можем воспользоваться

формулой (11) статьи [21]:

5. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

2 + 3e²

ϱ²² =

δa² +

(18)

А. Выберем подсемейство F семейства потен-

a²

циально опасных астероидов с известными эле-

5 - 4e

ментами и диаметром d [22], удовлетворяющих

δe² + 2δM² + 6

δaδe.

условиям

η²

ϱ_st < 0.05 а.е.,

25 м ≤ d ≤ 200 м,

(20)

Значения коэффициентов при приращениях вычис-

ляются на начальную эпоху t = 0. Подставляя (10),

σa < 0.05 а.е., σe < 0.05,

(11) в (18), получим

добавив к нему ставший классическим приме-

ром астероид A₀ Апофис. Через ϱ_st обозначе-

ϱ²²(τ) = Q₁(τ) + Q₂(τ)

(19)

но теоретико-множественное расстояние между

a²

орбитами Земли и астероида (часто именуемое

при

MOID); σϵ — среднеквадратическое уклонение

2 + 3e

элемента ϵ от его номинального значения. Считаем,

Q₁(τ) =

δa² +

a²

что на каждый из этих 66 астероидов (см. [22])

действует возмущающая сила в 1 Н, вызывающая

5 - 4e

δe² + 6

δaδe =

возмущающее ускорение T = 1/m м/с².

η²

(

)

Далее все параметры приведены в системе СИ,

e² - 3e⁴

τ² +

если не указано иначе.

Масса астероида m вычислена по приведенному

(

)

225

в [22] значению его диаметра d по формуле

24 -

e² + 3e⁴ +

e⁶

τ³ + ... ,

γd³,

Q₂(τ) = 2δM² =

(

)

где γ — плотность. Мы приняли для нее значение

9κ⁴η

4 - 7e²

τ⁴

τ +

γ = 2500. Выбор нижней границы d объясняется

2a⁴T²

3η

тем, что меньшие астероиды нет смысла отклонять.

Верхняя граница d отсекает астероиды, увод кото-

Здесь Q₁ отвечает смещению поперек орбиты, а

рых за приемлемое время требует более мощных

Q₂ — вдоль орбиты.

двигателей.

Обратим внимание, что Q₂ ≪ Q₁, если t отвеча-

В табл. 2 представлены следующие сведения:

ет дуге в несколько градусов; Q₂ и Q₁ сопоставимы

номер (предварительное обозначение) астероида,

по величине на дуге порядка четверти оборота;

его диаметр d, масса m, элементы a, e, ω²,

Q₂ ≫ Q₁ на дуге в один и более оборотов. Действи-

ускорение T , критическое время t^∗, безразмерные

тельно,

времена τ₁ = t₁/t^∗ и τ₂ = t₂/t^∗, отвечающие t₁ =

Q₂(τ)

18(1 - e²)

= 30 сут., t₂ = 1 тропический год, нормы периоди-

∼

ω²t²

Q₁(τ)

32 - 11e² - 12e⁴

ческого смещения ϱ₁ и вековых смещений ϱ₂(τ₁)

и ϱ₂(τ₂). Данные упорядочены по возрастанию d.

в согласии со сказанным в начале параграфа: од-

Приведены значения для первых 14 и последних

ному обороту отвечает ωt = 2π.

4 астероидов. Точность массы m на несколько

Замечание 1. Зависимость от эксцентриситета

порядков ниже в сравнении с точностью остальных

получена нами в замкнутой форме, разложения по

исходных величин. Но наша задача на данном

степеням e нигде не используются.

этапе — оценить возможности метода, а для этого

Замечание 2. Правая часть выражения (16) ин-

имеющейся точности вполне хватает.

вариантна относительно замены T -→ -T , τ -→

Вычисленные характеристики 66 астероидов из

→ -τ. Это не так для правой части выраже-

семейства F ∪ A₀ показали следующее.

ния (19). Однако она становится инвариантной,

1. Для всех астероидов

если пренебречь нечетными (поправочными) сте-

пенями τ.

τ₁ < τ₂ < 6.6 · 10-5.

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 11

2019

УВОД АСТЕРОИДА С ПОМОЩЬЮ ДВИГАТЕЛЯ

967

Таблица 2. Параметры 14 астероидов в верхней части списка и 4 — в нижней

ω²

t^∗

τ₁

τ₂

ϱ₁

ϱ₂(τ₁) ϱ₂(τ₂)

Объект

×1

×10-7

×1

×10¹³

×10⁸

×10-12

×10⁶

×10⁵

×10-6

2010 YD

2.30

2.04

0.538

0.0466

4.35

0.480

5.40

6.58

35.0

3.100

66.3

2002 JR100

2.87

0.924

0.299

0.503

3.48

0.891

2.91

3.54

2.74

0.859

50.5

1998 KY26

3.53

1.23

0.202

0.212

2.83

0.948

2.73

3.33

5.33

1.040

43.2

2010 FX9

3.53

1.13

0.367

0.274

2.83

0.990

2.62

3.19

4.05

0.903

40.7

2010 HA

4.29

0.96

0.196

0.448

2.33

1.304

1.99

2.42

2.07

0.612

34.8

2010 JJ3

4.29

2.23

0.578

0.0356

2.33

0.855

3.03

3.69

24.2

1.870

36.3

2010 CO44

5.14

1.07

0.231

0.323

1.94

1.481

1.75

2.13

2.39

0.587

29.0

2010 JO71

6.63

1.17

0.387

0.246

1.51

1.824

1.42

1.73

2.39

0.503

21.6

2010 QG2

7.18

1.67

0.517

0.0846

1.39

1.654

1.57

1.91

6.23

0.746

19.9

2010 JH3

7.76

1.76

0.470

0.0731

1.29

1.745

1.49

1.81

6.76

0.752

19.2

2010 JW39

7.76

1.64

0.390

0.0903

1.29

1.808

1.43

1.75

5.57

0.691

19.6

2010 EX11

8.38

0.956

0.110

0.454

1.19

2.552

1.02

1.24

1.05

0.314

18.1

2010 MY1

10.4

1.21

0.211

0.221

0.961

2.813

0.921

1.12

1.73

0.345

14.6

2010 UC7

10.4

1.88

0.567

0.0593

0.961

2.259

1.15

1.40

6.01

0.602

13.9

×1

×10-9

×1

×10¹³

×10¹⁰

×10-14

×10⁸

×10⁷

×10-4

468468 2004 KH17

197

10.0

0.712

0.499

1.100

0.999

3.533

0.734

0.893

0.346

0.171

13.1

2010 CB55

198

10.2

1.13

0.148

0.272

0.984

2.843

0.912

1.11

1.440

0.323

15.0

510055 2010 FH81

200

10.5

1.23

0.210

0.215

0.955

2.817

0.920

1.12

1.770

0.348

14.5

99942 Apophis

325

44.9

0.922

0.191

0.505

0.223

13.90

0.186

0.226

0.175

0.0555

3.32

Примечание. Приведены диаметр d и масса m астероида, параметры его орбиты a, e, ω², ускорение T , критическое время

t^∗, безразмерные времена τ1 = t1/t^∗ и τ2 = t2/t^∗, отвечающие t1 = 30^d, t2 = 1 тропическому году, нормы периодического

смещения ϱ1 и вековых смещений ϱ2(τ1), ϱ2(τ2). Размер орбиты a приведен в а.е., остальные параметры — в единицах

системы СИ.

Наибольший эксцентриситет e₀ = 0.807 имеет

ϱ₁ < ϱ₂(τ₂) за одним исключением для того же

астероид 2010 LK34. Для него

130-м астероида 2002 CX58.

|τ∗0| = 0.50, τ∗2 = 1.12,

4. Величина ϱ₁ для большинства астероидов

оказалась меньше радиуса Земли R_⊕. Но для че-

так что τ₁, τ₂ лежат глубоко внутри круга сходимо-

тырех астероидов ϱ₁ > R_⊕. Мы приняли R_⊕ = 6.5 ·

сти. Более того, квадратичного по τ приближения

· 10⁶ с учетом атмосферы.

в (10) и кубичного в (11) более чем достаточно. С

5. Величина ϱ₂(τ₁) для всех астероидов оказа-

принятой точностью в формуле (19) можно считать

(

)

лась меньше радиуса Земли. Увод астероидов за

месяц невозможен. Правда, возможно тонкое ма-

Q₁(τ) =

e² - 3e⁴

τ²,

(21)

неврирование с привлечением периодических воз-

мущений для упомянутых четырех астероидов. Но

9κ⁴η

Q₂(τ) =

τ⁴.

это слишком опасно.

2a⁴T²

6. Для всех 19 астероидов с диаметром до 55 м

2. На месячном интервале Q₂(τ) в несколько раз

включительно ϱ₂(τ₂) превысило радиус Земли. Для

меньше Q₁(τ): сдвиг вдоль орбиты меньше сдвига

таких опасных астероидов увод возможен за время

поперек орбиты. Противоположная ситуация на

около года. Учет периодических возмущений необ-

годичном интервале за одним исключением для

ходим.

130-м астероида 2002 CX58. На обоих интервалах

7. Увод астероидов крупнее 55-м за год невоз-

различия доходят до двух-трех порядков.

можен.

3. На месячном интервале ϱ₁ > ϱ₂(τ₁): перио-

Б. Увеличим возмущающую силу в N раз, со-

дические возмущения превосходят вековые. Про-

храняя остальные предположения п. А. При расче-

тивоположная ситуация на годичном интервале

тах положим N = 20.

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 11

2019

968

БАТМУНХ и др.

1. Значения T , 1/t^∗, τ₁, τ₂, ϱ₁ увеличиваются в

Т. Н. Санникова, К. В. Холшевников, Астрон. журн.

N раз. В частности, при N = 20

91(12), 1060 (2014).

Т. Н. Санникова, К. В. Холшевников, Астрон. журн.

τ₁ < τ₂ < 1.3 · 10-3.

92(8), 681 (2015).

По-прежнему квадратичного по τ приближения

E. T. Lu and S. G. Love, Nature 438, 177 (2005).

в (10) и кубичного в (11) достаточно и можно

Ю. Д. Медведев, М. Л. Свешников, А. Г. Со-

пользоваться формулой (21). Поэтому значения

кольский, Е. И. Тимошкова, Ю. А. Чернетенко,

Q_s(τ_k) увеличиваются в N² раз, а ϱ₂(τ_k) — в N раз.

Н. С. Черных, В. А. Шор, Астероидно-кометная

2. Соотношения между Q₂(τ) и Q₁(τ) не изме-

опасность, под ред. А. Г. Сокольского (СПб: изд-

няются.

во ИПА РАН, 1996).

3. Соотношения между ϱ₁ и ϱ₂(τ) не изменяются.

А. М. Микиша, М. А. Смирнов, в кн. Угроза с неба:

4. Для всех 11 астероидов с диаметром, мень-

рок или случайность?, под ред. А. А. Боярчука

шим 40 м, и 5 астероидов с диаметрами до 53 м

(М.: Космоинформ, 1999).

ϱ₂(τ₁) превысило радиус Земли. Для более круп-

Н. Н. Горькавый, А. Е. Дудоров (ред.), Челябин-

ных ϱ₂(τ₁) оказалось меньше R_⊕. Таким образом,

ский суперболид (Челябинск, изд-во Челябинско-

для небольших опасных астероидов увод возможен

го ГУ, 2016).

за время около месяца. Учет периодических возму-

щений, превышающих вековые, обязателен.

А. В. Елькин, Л. Л. Соколов, Международная кон-

5. Для всех 47 астероидов с диаметром до 143 м

ференция “Астероидная опасность-95”, 23-25 мая

включительно, а также еще четырех 150-м асте-

1995 г., Санкт-Петербург. Тезисы докладов, т. 2, 41.

роидов ϱ₂(τ₂) превысило радиус Земли. Для таких

Г. Л. Гродзовский, Ю. Н. Иванов, В. В. Токарев,

астероидов увод возможен за время около года.

Механика космического полета (проблемы оп-

Учет периодических возмущений также необходим.

тимизации) (М.: Наука, 1975).

6. Увод астероидов крупнее 150-м, в частности,

10.

В. Н. Лебедев, Расчет движения космического

увод Апофиса за год невозможен.

аппарата с малой тягой (М.: ВЦ АН СССР,

В. При каких условиях станет возможным увод

1968).

более крупных астероидов? Очевидно, следует ли-

11.

Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимп-

бо увеличить тягу двигателя, либо время маневра,

тотические методы в теории нелинейных ко-

либо и то, и другое. Для Апофиса нужно увеличить

лебаний (М.: ФМ, 1963).

значение ϱ₂(τ₂) в 200 раз, чтобы оно превысило R_⊕.

12.

Д. Брауер, Дж. Клеменс, Методы небесной меха-

1. Добьемся этого за счет тяги. Полагая N =

ники (М.: Мир, 1964).

= 200, получим τ₂ = 4.5 · 10-6, что по-прежнему

13.

А. Пуанкаре, Лекции по небесной механике (М.:

позволяет пользоваться упрощенной форму-

Наука, 1965).

лой (21). Норма уклонения возрастет в те же

200 раз. Таким образом, Апофис можно увести с

14.

М. Ф. Субботин, Введение в теоретическую

орбиты соударения за год при тяге в 200 Н. Более

астрономию (М.: Наука, 1968).

точный расчет дает тягу в 196 Н для увода за год.

15.

W. Gr ¨obner, Die Lie-Reihen und ihre Anwendungen

2. Добьемся этого за счет продолжительности

(Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften,

маневра, полагая N = 20. Величина Q₂(τ₂) в 12 раз

1967).

превышает Q₁(τ₂). Поэтому ϱ₂(τ) в этом диапазоне

16.

Г. Е. О. Джакалья, Методы теории возмущений

приблизительно пропорционален τ². Таким обра-

для нелинейных систем (М.: Наука, 1979).

зом, Апофис можно увести с орбиты соударения за

√

17.

А. Х. Найфе, Методы возмущений (М.: Наука,

10 лет. Более точный расчет дает для этого 3.16 г.

1976).

Столь большая тяга, или столь большое время

18.

К. В. Холшевников, Асимптотические методы

не позволяют сейчас передвинуть Апофис на без-

небесной механики (Л.: Изд-во ЛГУ, 1985).

опасную орбиту. Но в не очень далекой перспективе

19.

А. Уинтнер, Аналитические основы небесной ме-

это представляется вполне реальным.

ханики (М.: Наука, 1967).

ФИНАНСИРОВАНИЕ

20.

И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегра-

лов, сумм, рядов и произведений (М.: Физматгиз,

Работа выполнена при финансовой поддержке

1963).

Российского научного фонда (грант 18-12-00050).

21.

Н. Батмунх, Т. Н. Санникова, К. В. Холшевников,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

В. Ш. Шайдулин, Астрон. журн. 93, 331 (2016).

1. Т. Н. Санникова, К. В. Холшевников, Вестн. СПб-

22.

https://ssd.jpl.nasa.gov, cайт NASA Solar System

ГУ. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия.

Вып. 4, 134 (2013).

Dynamics.

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 11

2019