Автоматика и телемеханика, № 10, 2019

(Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН, Москва;

Университет Монаш, Мельбурн, Виктория, Австралия),

Е.Я. РУБИНОВИЧ, д-р. техн. наук (rubinvch@ipu.rssi.ru)

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ УДАРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

НА ПРИМЕРЕ ПАРАДОКСА ПЕНЛЕВЕ

ПРИ “КОСОМ” ПАДЕНИИ СТЕРЖНЯ¹

Рассматривается система, относящаяся к известным проблемам Пенле-

ве (Painlevé), для решения которой используется предложенный авторами

метод вскрытия пространственно-временных сингулярностей. Этот ме-

тод позволяет однозначно решить проблему определения скоростей тела

после удара о поверхность с сухим трением, т.е. разрешить ситуацию,

в которой традиционные подходы либо дают неоднозначный ответ, либо

приводят к неразрешимой системе соотношений (парадокс Пенлеве).

Ключевые слова: ударные взаимодействия при сухом трении, проблема

Пенлеве.

DOI: 10.1134/S0005231019100052

1. Введение

Систематическое изучение систем автоматического управления с им-

пульсными воздействиями связано с работами Я.З. Цыпкина, выполненными

в 40-60 гг. XX в. [1-3]. В действительности, такие системы возникли еще на

заре становления теории автоматического регулирования как прерывистые и

релейные регуляторы паровых машин, однако развитие адекватной теории

таких систем началось с 1948 г., когда Я.З. Цыпкин начал разрабатывать

единый подход к описанию дискретных систем на основе дискретного пре-

образования Лапласа (Z-преобразования), что позволило создать цельный

математический аппарат, подобный операторному методу описания непре-

рывных систем. Таким образом, для дискретных систем появились стандарт-

ные понятия передаточной функции, частотной характеристики и им по-

добные, и удалось обобщить классические критерии устойчивости Найкви-

ста и Михайлова на случай дискретных систем. Полученные на этом этапе

результаты были подытожены в монографии Я.З. Цыпкина [1], вышедшей

в 1951 г. [4].

Дальнейшее развитие теории импульсных систем шло по пути разработ-

ки частотных методов исследования и постепенного понимания необходимо-

сти описания импульсных воздействий в терминах теории обобщенных функ-

ций [5]. Еще более сложные проблемы были связаны с управлением дина-

мическими системами, где импульсные воздействия возникали в результате

¹ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фунда-

ментальных исследований (проекты №№ 16-08-01285 и 16-08-01076).

100

применения управлений, вызывающих кратковременное изменение состоя-

ния, причем такие системы имели широкие области приложений, включая

робототехнику, космические аппараты, экономику и распределение природ-

ных ресурсов [6]. Оказалось, что описание импульсного воздействия в нели-

нейной динамической системе является далеко не тривиальным, поскольку

использование, казалось бы, естественного описания в терминах обобщен-

ных функций требует определенной осторожности, так как приводит к от-

сутствию оптимального управления [7] и невозможности описания оптималь-

ного решения в обычных терминах [8-10]. Эта проблема была решена с по-

мощью так называемого метода разрывной замены времени [11], идея ко-

торого следовала из метода разделения движений, описанного В.И. Гурма-

ном в [12, 13]. Плодотворность этого метода подтверждается многочислен-

ными последующими публикациями, в которых развивались методы оптими-

зации систем с управлениями-мерами, позволившие установить существова-

ние решений [14, 15] и получить условия оптимальности [16, 17] в различных

задачах экономики и квантовой механики с фазовыми ограничениями [18]

и необходимые условия оптимальности, полученные аналогичным методом

введения пространственно-временного управления [19, 20]. Таким образом,

в теории импульсного управления, особенно в публикациях последних лет,

проблема описания импульсного воздействия разрешается методом вскры-

тия сингулярности, основанным на разрывной замене времени [8, 9], когда

быстрое (практически мгновенное) изменение части фазовых координат рас-

тягивается в конечный промежуток времени и динамика системы на этом

промежутке описывается вспомогательной системой “медленного” движения.

Эта ситуация выглядит, с первого взгляда, аналогичной механическому уда-

ру, при котором скорости тел изменяются практически мгновенно, по срав-

нению с движениями до и после удара. При этом сам удар часто описывают

в терминах закона восстановления, связывающего скорости до и после уда-

ра, что при описании динамики движения “в целом” аналогично введению

δ-функций в правую часть системы дифференциальных уравнений, описы-

вающих динамику системы [21]. Именно поэтому аккуратное описание уда-

ра требует отдельного представления непосредственной фазы контакта [22]

с учетом закона взаимодействия и свойств контактирующих тел [23]. Фор-

мально это выглядит как растяжение момента удара в некоторый отрезок,

на котором динамика системы описывается другими уравнениями “быстро-

го движения” аналогично описанию импульсных воздействий. Однако непо-

средственное применение техники замены времени к анализу систем с уда-

рами затруднительно, так как при ударе часть фазовых координат, ответ-

ственных за величину реакции опоры, остается практически неизменной, по-

скольку деформации, отвечающие за реакцию системы на удар, весьма малы,

в то время как скорости изменяются значительно. В большинстве случаев,

известных еще из школьной физики, для определения скоростей тел после

удара достаточно воспользоваться одной из традиционных моделей удара:

упругий или полностью неупругий и далее применить законы сохранения

энергии, импульса или момента импульса. Развитие техники разрывной за-

мены времени было предложено в [24, 25], где было показано, что в этом слу-

чае разрывная динамика может быть описана с помощью пространственно-

101

временной сингулярной замены переменных, что особенно важно для опи-

сания динамики управляемого удара [26]. Необходимо отметить, что одно-

временная сингулярная замена пространственных и временных переменных,

хотя и родственна методу разделения движений [27], широко применяемо-

му в задачах с ударами, но позволяет рассматривать более общие случаи,

связанные с различными условиями окончания ударной (сингулярной) фа-

зы движения. Общий подход, предложенный в [24], гораздо ближе к мето-

дам, основанным на генетической теории удара или методологии штрафных

функций (penalization) [28], когда модель абсолютно твердого тела сначала

заменяется моделью деформируемого тела, но с большим коэффициентом

жесткости, который затем устремляется к бесконечности, чтобы в пределе

снова вернуться к модели абсолютно твердого тела. Этот подход, как выяс-

нилось, позволяет преодолеть проблемы неоднозначности и невозможности

определения решения, возникающие при использовании модели абсолютно

жесткого тела при наличии сухого трения [29, 30]. Родственный подход —

это специальные схемы численного анализа (time-stepping), в которых для

преодоления проблем сингулярности движения в окрестности точек удара

применяется переменный шаг интегрирования уравнений динамики [31, 32].

Тем не менее общая проблема описания движения систем с ударами весьма

сложна и общие теоремы существования и единственности решений были по-

лучены лишь в последние годы [33]. Применение метода пенализации к задаче

о падающем стержне было впервые предпринято в публикации [34], которая

была ориентирована на получение явных результатов и поэтому ограничива-

лась случаем абсолютно упругого удара и случаем, когда в процессе удара

не происходит остановки скольжения стержня. С точки зрения исследования

парадоксальных ситуаций (задача Пенлеве) этот случай не очень интересен,

так как полностью описывается классическими подходами. Более интерес-

ные результаты отмечены в публикации [35], в которой динамика стержня в

режиме контакта с поверхностью описывается с помощью методологии ком-

плиментарного подхода (linear complementary problem (LCP)) и теории си-

стем с разрывной правой частью и где показано, что с помощью этого под-

хода можно всегда решить задачу определения скоростей после удара при

коэффициенте трения, меньшем 4/3 ≈ 1,33, а при некоторых углах падения

стержня область √именимости комплиментарного подхода можно немного

расширить до 8/(3

3) ≈ 1,53. Интересный и вполне завершенный анализ этой

задачи дан в монографии [36], где указывается на необходимость изменения

модели для получения результатов при всех значениях коэффициента тре-

ния. В [37, 38] данная проблема была решена с помощью метода сингуляр-

ных пространственно-временных преобразований в частном случае “прямо-

го” падения стержня без бокового вращения и отсутствия поперечных скоро-

стей. Было доказано, что предельное движение, при коэффициенте жестко-

сти, стремящемся к бесконечности, полностью описывается вспомогательной

системой “быстрого движения”, которая является предельной для движений

с конечным, но достаточно большим коэффициентом жесткости. Были по-

казаны эффекты резонансного поглощения кинетической энергии стержня

и подскока без удара.

102

В данной статье, используя методы теории управления для систем с им-

пульсными воздействиями и ударами, развивается метод решения задачи

на случай “косого” падения стержня, для которого также известны слу-

чаи возникновения парадокса Пенлеве [39]. Применение метода сингулярных

пространственно-временных преобразований позволяет однозначно решить

проблему определения скоростей после удара при произвольных значениях

коэффициента трения и углах падения.

2. Геометрия проблемы Пенлеве для стержня,

падающего на шероховатую поверхность

Применение сингулярной пространственно-временной замены переменных

иллюстрируется на модифицированном примере из [39] в предположении, что

закон взаимодействия с препятствием описывается вязко-упругой моделью и

момент прекращения сингулярной фазы определяется из физического усло-

вия разрыва контакта, т.е. обращения реакции опоры в ноль.

Рассматривается задача об определении скоростей жесткого стержня еди-

ничной массы, длины 2l при ударе о вязко-упругую поверхность [39]. Геомет-

рия задачи показана на рис. 1.

В [39] приводятся условия возникновения и/или отсутствия парадоксаль-

ной ситуации. Во многих работах, начиная с классической книги Пенлеве [29],

отмечается что ее возникновение обусловлено не физикой задачей, а выбран-

ной математической моделью абсолютно жесткого тела, которая приводит

к так называемым условиям комплементарности, не совместным при боль-

ших значениях коэффициента трения (k ≥ 4/3), поэтому одним из способов

устранения парадокса является отказ от модели абсолютно жесткого тела и

i₃

[x₁₀, x₂₀, x₃₀]

i₂

Направление

скольжения

i₁

Рис. 1. Геометрия падающего стержня: 2l - длина, m = 1 - масса;

(x₁₀, x₂₀, x₃₀) - координаты центра масс в неподвижной прямоугольной

системе координат с ортами i₁, i₂, i₃, где i₃ - нормаль к поверхности;

ψ, θ - углы наклона стержня; сила притяжения направлена вниз вдоль

оси i₃.

103

допущение его податливости. Таким образом, например, в [39] принимается

полиномиальная зависимость силы реакции опоры от глубины проникнове-

ния [27]. Однако определение параметров этой модели представляет собой

отдельную проблему. В [38] используется модель вязко-упругой силы, при-

чем предполагается, что модель абсолютно жесткого тела получается при

переходе к пределу по коэффициенту жесткости, стремящемуся к бесконеч-

ности. Отметим, что вывод условий восстановления, т.е. определения связи

скоростей до и после удара, в общем виде не представляется возможным, так

как скорости в момент разрыва контакта можно определить лишь численно

как решения дифференциального уравнения “быстрого” движения. В данной

статье используется аналогичный подход, но для случая “косого” удара.

2.1. Уравнения движения в обобщенных координатах

В качестве обобщенных координат выбираем координаты центра масс

стержня, два угла наклона и их производные (рис. 1)

X_p = [x₁₀,x₂₀,x₃₀,ψ,θ]^⊤,

(1)

X_v =Xp = [ x₁₀, x₂₀, x₃₀,ψ

θ]^⊤.

Положим

X_v = [v₁,v₂,v₃,ψ

θ]^⊤,

тогда уравнения динамики стержня имеют вид

⎡

⎤

ψ² sin ψ cos³ θ - l^˙2 sin ψ cos θ

⎢

⎥

⎢

⎥

ψ² cos ψ cos³ θ + lθ2 cosψ cos θ

⎡

⎤

⎢

⎥

F₁

⎢

⎥

⎢

⎥

⎦₊

⎢

L ψ2 sinθ + l θ2sinθ - g

⎥

(2)

X_v = Q⎣ F₂

⎢

⎥

⎢

⎥

F₃

2 ψ θsinθ

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

cos θ

⎦

− ψ2 sinθcosθ

матрица Q равна:

⎡

⎤

1+3cos2 ψ+3sin2 ψ sin2 θ

3 sinψ cosψ cos² θ

3 sinψ sinθ cosθ

⎢

⎥

⎢

⎥

3 sinψ cosψ cos² θ

1+3sin2 ψ+3cos2 ψ sin2 θ -3cosψ sinθcosθ

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

3 sinψ sinθ cosθ

-3 cosψ sinθ cosθ

1 + 3cos2 θ

⎢

⎥

(3) Q =⎢

⎥

⎢

3 cosψ

3 sinψ

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

l cosθ

⎢

⎥

⎣

⎦

sinψ sinθ

cosψ sinθ

cosθ

104

В уравнениях (2) и (3) зависимость от времени t опущена, F₁,F₂ - компо-

ненты силы трения, F₃ - нормальная реакция опоры. Таким образом,

⎧

(

)

(

)

⎪

F₁

v₁

⎨

= -kF₃√

, если v²¹ + v²² = 0,

F₂

v₂

v²¹ + v²²

(4)

Fтр =

⎪

⎩ ≤ k|F₃|,

если v²¹ + v²² = 0.

Заметим, что сила трения не может быть определена из соотношений (4)

при v²¹ + v²² = 0, т.е. при “стопорении” нижнего конца стержня. Далее, в под-

разделе 3.3 показано, как сила трения определяется из условия равновесия

стержня с помощью численного решения.

Сила нормальной реакции

(5)

F₃ = -μx₃₀ - 2μ1/2δ x₃₀,

где μ - коэффициент жесткости, а δ ∈ [0, 1] - коэффициент вязкости.

Замечание 1. Для получения модели абсолютно жесткого тела коэф-

фициент μ устремляется к бесконечности. Цель - описать предельное движе-

ние при μ → ∞, что соответствует модели абсолютно твердого тела. Отличие

от традиционного комплементарного подхода - допущение о деформируемо-

сти поверхности.

2.2. Замена переменных: сингулярное

пространственно-временное преобразование

Из анализа уравнений движения следует, что глубина проникновения

стержня внутрь запрещенной области и время его пребывания там имеют

порядок μ-1/2, поэтому следующая замена переменных растягивает времен-

ной интервал и область взаимодействия в масштаб порядка единицы:

t^μ(s) = τ +

√μs,s≥0,

(6)

Yμp(s) = X_p(τ) +

√μ [X_p(t^μ(s)) - X_p(τ)],

Yμv(s) = X_v(t^μ(s)),

где τ - момент начала сингулярной фазы движения (попадания на границу

одностороннего ограничения).

Предложение 1. На интервале s ∈ [0,S^∗], где S^∗ - момент выхода из

“запрещенной области”, существуют пределы:

(7)

lim

Yμp(s) =Yp(s), lim

Yμv(s) =Yv

(s),

μ↑∞

удовлетворяющие системе уравнений “быстрого движения”.

Идея доказательства повторяет результат из [24] и состоит из следую-

щих этапов: проверяется репульсивный характер ограничения и устанав-

ливается равномерная по μ ↑ ∞ сходимость последовательности решений

(Y^p(s), Y^v(s)) на интервале s ∈ [0, S^∗], откуда следует требуемый результат.

105

2.3. Уравнения “быстрого движения”

Предложение 2. Система уравнений “быстрого движения” имеет

вид:

p(s) =^Yv(s),

⎛

⎞

√

⎜

⎟

⎜

(Y1v)² + (Y^2v)²

⎟

(8)

⎜

⎟

⎜

⎟

v(s) = -Q(^Yp(0))⎜

⎟(-Y3p - 2δ Y3v)I{s ≤ S∗},

⎜

⎟

⎜

√

⎟

⎝

⎠

(Y1v)² + (Y2v)²

где

{

}

S^∗ = inf s :Y3p(s) + 2δ Y3v(s) < 0 ,

Y_p(0) = X_p(τ),

Y_v(0) = X_v(τ).

Доказательство этого факта для случая плоского удара приведено в [37, 38],

для “косого” удара доказательство проводится аналогично.

Замечание 2. Система уравнений (8) имеет единственное решение и

описывает фазу сингулярного движения при больших μ, что подтверждается

следующими соотношениями:

Y_p(√μ(t - τ)) - X_p(τ)

X_p(t) ≈ X_p(τ) +

√μ

X_v(t) ≈Yv(√μ(t - τ)).

Другими словами, “быстрое” решение позволяет приближенно описать все

решения системы (2) при достаточно больших μ.

2.4. Уравнения для “скачка” скорости

Значения координат, линейных и угловых скоростей стержня после удара

описываются соотношениями:

(9)

lim

X_p(τ) = X_p(τ-), lim

X_v(τ) =

v(S^∗),

μ↑∞

гдеYv(s) - решение системы уравнений “быстрого” движения.

Доказательство. Идея доказательства повторяет в основном плоский

случай [37, 38]:

• Совокупность решений системы имеет равномерно ограниченную по μ ва-

риацию. Поэтому существует подпоследовательность, сходящаяся пото-

чечно к пределу, удовлетворяющему системе (8);

106

• Правая часть системы (8) обладает свойством

〉≤0

для любых^Y′_v, Y^′′v. Это свойство позволяет заменить традиционное усло-

вие Липшица, которое используется для оценки квадрата разности скоро-

стей двух предполагаемых решений.

Таким образом, на интервале s ∈ [0, S^∗] последовательность решений

(Y^p(s), Y^v(s)) сходится к решению системы уравнений “быстрого” движения,

которое можно определить численно и тем самым охарактеризовать поведе-

ние предельного движения, соответствующего модели абсолютно жесткого

тела. Никаких ограничений на значение коэффициента трения данный под-

ход не накладывает, и поэтому не возникает и “парадокса”.

3. Результаты численного моделирования

Особенность “косого” удара состоит в том, что при движении нижнего

конца стержня может происходить его остановка, при этом вращение сохра-

няется. В модели деформируемой поверхности при соударении нижний конец

стержня углубляется, происходит сжатие, которое затем разряжается путем

выталкивания стержня. Момент завершения взаимодействия соответствует

моменту обращения в нуль реакции опоры, после которого движение стерж-

ня происходит по инерции и уже под действием силы тяжести. Скорости

стержня в момент размыкания контакта и определяют закон восстановления.

При моделировании на первом этапе определяется профиль реакции опоры

и момент обращения его в нуль. Это время различно для различных значе-

ний коэффициента трения. Кроме того, при численном решении уравнений

“быстрого” движения (8) при “стопорении” нижнего конца, т.е. при обраще-

нии в нуль переменныхY1v, Y2v, правая часть системы (8) не определена, хотя

при численном решении эти переменные отличны от нуля, но происходит ча-

стое переключение знака силы, которое выглядит как “скользящий” режим,

известный в теории автоматического управления [40]. Значение силы трения

при “стопорении” стержня можно определить методом эквивалентного управ-

ления, приравняв в системе уравнений (8) производные переменныхY1v, Y2v

нулю.

3.1. Начальные условия

В момент начала удара принимаем

Y_p = [0,0,0,0,π/3],

Y_v = [0,05;-0,05;-0,04;4,0;4,0].

Численный анализ производим для двух значений коэффициента трения:

“малый” k = 0,5 и “большой” k = 1,7.

107

4,000

3,998

3,996

3,994

3,992

3,990

3,988

3,986

3,984

3,982

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

Время S

Рис. 4. Профиль угловой скорости вращения по θ.

0,045

0,040

0,035

0,030

0,025

0,020

0,015

0,010

0,005

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Время S

Рис. 5. Профиль реакции опоры (обращается в нуль при S^∗ = 2,53). В момент

S = 0,5 происходит “стопорение” стержня, это можно увидеть по результатам

численной процедуры, что проявляется в виде небольших зубцов на графике.

3.3. Большой коэффициент трения

Вычисление профиля силы реакции опоры показано на рис. 5.

Таким образом, время контакта равно S^∗ = 2,53. Профили скоростей (см.

рис. 6), показывают, что момент “стопорения” равен S = 0,5.

На графике рис. 7 показано смещение нижнего конца стержня, некоторая

асимметрия возникает из-за начального вращения по углу ϕ.

109

4. Заключение

В данной статье показано, что импульсные воздействия, возникаю-

щие вследствие ударов в механических системах, требуют весьма акку-

ратных моделей для описания результатов такого взаимодействия. Метод

пространственно-временных сингулярных преобразований позволяет “вскры-

вать” такие сингулярности, но часто требует применения численных мето-

дов. Многие авторы [27] считали, что для определения импульсной силы,

возникающей при ударе, нужен закон взаимодействия и точное знание ко-

эффициентов жесткости и вязкости. Однако предложенный подход, который

гарантирует существование единственного решения при достаточно больших

значениях жесткости и сходимость к единственному решению при стремле-

нии жесткости к бесконечности, позволяет однозначно определить скорости

после удара и согласуется с экспериментальными результатами, демонстри-

рующими зависимость закона восстановления от угла падения стержня [38].

Отметим, что в публикациях, использующих другое описание взаимодействия

стержня с поверхностью, например с точки зрения гибридных систем [35]

закон Герца или полиномиальную зависимость [27, 39], парадокс Пенлеве не

устраняется при больших коэффициентах трения, в то время как предложен-

ный подход свободен от этого недостатка и позволяет определить скорости

после удара при любом коэффициенте трения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Цыпкин Я.З. Переходные и установившиеся процессы в импульсных системах.

М.: Госэнергоиздат, 1951.

2. Цыпкин Я.З. Теория импульсных систем. М.: Физматгиз, 1958.

3. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз, 1963.

4. Поляк Б.Т. Развитие теории автоматического управления // Проблемы управ-

ления. 2009. Спец. выпуск. № 3.1. С. 13-18.

5. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем / Пер. с ру-

мын. М.: Мир, 1971.

6. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука,

1973.

7. Rishel R.W. An Extended Pontriagin Principle for Control Systems whose Control

Laws Contain Measures // J. SIAM. Ser. A. Control. 1965. V. 3. No. 2. P. 191-205.

8. Miller B.M., Rubinovich E.Ya. Impusive Control in Continuous and Discrete-

Continuous Systems. N.Y.: Kluwer Acad./Plenum Publishres, 2003.

9. Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульс-

ными управлениями. М.: Наука, 2005.

10. Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульс-

ными управлениями и ударными воздействиями. М.: ЛЕНАНД/URSS, 2019.

11. Миллер Б.М. Метод разрывной замены времени в задачах оптимального управ-

ления импульсными и дискретно-непрерывными системами // АиТ. 1993. № 12.

С. 3-32.

Miller B.M. Method of Discontinuous Time Change in Problems of Control for

Impulse and Discrete-Continuous Systems // Autom. Remote Control. 1993. V. 54.

No. 12. P. 1727-1750.

112

12.

Гурман В.И. Об оптимальных процессах с неограниченными производными //

АиТ. 1972. № 12. С. 14-21.

Gurman V.I. On Optimal Processes With Unbounded Derivatives // Autom. Remote

Control. 1972. V. 33. No. 12. P. 1924-1930.

13.

Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Динамические системы с разрывными решения-

ми и задачи с неограниченными производными // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер.

Математика. 2017. Т. 19. С. 136-149.

14.

Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: Модели и приложения.

М.: Наука, 1991.

15.

Zavalishchin S.T., Sesekin A.N. Dynamic Impulse Systems. Theory and

Applications. The Netherlands, Dordrecht: Kluwer Acad. Publishers, 1997.

16.

Миллер Б.М. Условие оптимальности в задаче управления системой, описывае-

мой дифференциальным уравнением с мерой // АиТ. 1982. № 6. С. 60-72.

Miller B.M. An Optimality Condition in Control of a System which is Described

by a Differential Equation with a Measure // Autom. Remote Control. 1982. V. 43.

No. 6. P. 752-761.

17.

Миллер Б.М. Условия оптимальности в задачах обобщенного управления. I, II //

АиТ. 1992. № 3. С. 362-370; 1992. № 4. С. 505-513.

Miller B.M. Conditions for Optimality in Generalized Control Problems. I. Necessary

Conditions for Optimality // Autom. Remote Control. 1992. V. 53. No. 3. P. 362-370.

Miller B.M. Optimality Conditions in Generalized Control Problems. II. Sufficient

Conditions of Optimality // Autom. Remote Control. 1992. V. 53. No. 4. P. 505-513.

18.

Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложе-

ниями. М.: Физматлит, 2000.

19.

Bressan A., Rampazzo F. On Differential Systems with Quadratic Impulses and

Their Applications to Lagrangian Mechanics // SIAM J. Control Optim. 1993. V. 31.

P. 1206-1220.

20.

Bressan A., Rampazzo F. Impulsive Control Systems without Commutativity

Assumptions // J. Optim. Theory Appl. 1994. V. 81. No. 3. P. 435-457.

21.

Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. М.: Наука, 1977.

22.

Козлов В., Трешев Д. Биллиарды. (Генетическое введение в динамику систем с

ударами). М.: Изд-во МГУ, 1991.

23.

Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Междунар.

программа образования, 1997.

24.

Bentsman J., Miller B.M. Dynamical Systems with Active Singularities of Elastic

Type: A Modeling and Controller Synthesis Framework // IEEE Trans. Autom.

Control. 2007. V. 52. No. 1. P. 39-55.

25.

Миллер Б.М. Управляемые системы с ударными воздействиями // Соврем. мат.

Фундамент. направл. 2011. Т. 42. С. 166-178.

26.

Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Разрывные решения в задачах оптимально-

го управления и их представление с помощью сингулярной пространственно-

временной замены // АиТ. 2013. № 12. С. 56-103.

Miller B.M., Rubinovich E.Ya. Discontinuous Solutions in the Optimal Control

Problems and their Representation by Singular Space-Time Transformations //

Autom. Remote Control. 2013. V. 74. No. 12. P. 1969-2006.

27.

Stronge W.J. Rigid Body Collisions with Friction // Proc. Roy. Soc. London. Ser.

A. 1990. V. 431. P. 168-181.

113

28.

Paoli L., Schatzman M. Mouvement à un nombre fini de degrés de liberté avec

contraintes unilatérales: cas avec perte d’énergie // Math. Modelling and Numerical

Analysis. 1993. No. 27. P. 673-717.

29.

Painlevé P. Leçons sur le Frottement. Paris: Hermann, 1895. / Пер. Пенлеве П.

Лекции о трении. М.: ГиТТЛ, 1954.

30.

Самсонов В.А. Динамика тормозного башмака и “удар, вызванный трением” //

Прикл. математика и механика. 2005. Т. 69. № 6. С. 912-921.

31.

Stewart D.E. Convergence of a Time-Stepping Scheme for Rigid-Body Dynamics

and Resolution of Painleve’s Problem // Arch. Rational Mech. Anal. 1998. V. 145.

P. 215-260.

32.

Stewart D.E. Rigid-Body Dynamics with Friction and Impact // SIAM Rev. 2000.

V. 42. No. 1. P. 3-39.

33.

Ballard P., Basseville S. Existence and Uniqueness for Dynamical Unilateral Contact

with Coulomb Friction: a Model Problem // Math. Model. Numer. Anal. 2005. V. 39.

No. 1. P. 59-77.

34.

Schatzman M. Penalty Approximation of Painlevé Problem // Adv. Mech. Math.

Nonsmooth mechanics and analysis. N.Y.: Springer, 2006. V. 12. P. 129-143.

35.

Génot F., Brogliato B. New Results on Painlevé Paradoxes // Eur. J. Mech. A/Solids.

1999. V. 18. No. 18. P. 653-678.

36.

Pfeifer F., Glocker C. Multi-Body Dynamics with Unilateral Constraints. N.Y.:

Wiley, 1996.

37.

Miller B.M., Rubinovich E.Ya., Bentsman J. Spatiotemporal Singular

Transformation in Dynamical Systems with Impacts and its Use in Obtaning

Generalized Solution of Painlevé Problem // Preprints 18th IFAC World Congr.

Milano (Italy). August 28-September 2. 2011. P. 3463-3473.

38.

Miller B.M., Rubinovich E.Ya., Bentsman J. Singular Space-time Transformations.

Toward one Method for Solving the Painlevé Problem // J. Math. Sci. 2016. V. 219.

No. 2. P. 208-219.

39.

Zhao ea. Z. The Painlevé Paradox Studied at a 3D Slender Rod // Multibody Syst.

Dyn. 2008. V. 19. P. 323-343.

40.

Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной

структурой. М.: Наука, 1974.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.В. Назиным.

Поступила в редакцию 19.07.2018

После доработки 11.10.2018

Принята к публикации 08.11.2018

114