Автоматика и телемеханика, № 11, 2019

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

СТАБИЛИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЯ УПРАВЛЯЕМОЙ

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ¹

Рассматривается механическая система, подверженная действию пози-

ционных сил и малого гладкого управления. Предполагается, что в отсут-

ствие управления система допускает семейство одночастотных колебаний.

Находится универсальное управление - нелинейная сила, посредством ко-

торой реализуется и одновременно стабилизируется цикл в системе. При-

водятся примеры.

Ключевые слова: механическая система, малое гладкое универсальное

управление, естественная стабилизация.

DOI: 10.1134/S0005231019110047

1. Введение. Постановка задачи

Рассматривается голономная механическая система, подверженная дей-

ствию позиционных сил — потенциальных и неконсервативных позицион-

ных — и допускающая одночастотное колебание (периодическое движение).

Периодические движения этой системы образуют семейство, поэтому колеба-

ние не может быть асимптотически орбитально устойчивым. Для достижения

указанной устойчивости колебания необходимо приложить к системе допол-

нительную силу. Эта сила выступает как управление, и система становится

управляемой; возникает задача стабилизации колебания управляемой меха-

нической системы.

В задаче устойчивости можно ограничиться введением дополнительной си-

лы в окрестности интересуемого движения. Соответственно само управление

может быть малым. В результате механическая система-модель корректиру-

ется малым управлением.

Подход с коррекцией модели использовался Понтрягиным [1] при рассмот-

рении гамильтоновой системы на плоскости, допускающей семейство перио-

дических движений. Условия, обеспечивающие существование предельных

циклов для системы, близкой к гамильтоновой, находятся в [1]. Подход, пред-

ставляющий собой итерационную процедуру, родственную методу последова-

тельных приближений Пикара, на каждом шаге которой выполняется опе-

рация усреднения и используется критерий, аналогичный в [1], развивается

в [2].

Известно, что диссипация, задаваемая функцией Релея, доводит устойчи-

вое равновесие консервативной системы до асимптотической устойчивости.

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект № 19-01-00146).

Тем самым естественным образом решается задача стабилизации равнове-

сия: в качестве управления здесь выступает линейная диссипация. Пример

нелинейной диссипации, линейной по скорости, наблюдается в “мягком ре-

жиме” функционирования триода: процесс описывается известным уравнени-

ем Ван дер Поля. Также отметим, что используемая для осциллятора Дуф-

финга в [3] нелинейная диссипация v|v|p-1, p = 1, 4, пропорциональна скоро-

сти v, а в микромеханике нелинейная диссипация учитывается в Дуффинг-

подобных моделях [4].

Цель работы — найти универсальное гладкое управление — нелинейную

силу, гарантирующую существование и орбитальную стабилизацию цикла

управляемой механической системы.

Ищется управление, которое не зависит явно от времени. Оно использу-

ется с малым коэффициентом регулятора; явное выражение для управления

приводится в разделе 4. В результате действия управления осуществляется

“естественная” стабилизация колебания.

Задача об орбитальной стабилизации периодических решений малопривод-

ных нелинейных систем (с числом независимых приводов на единицу меньше

числа степеней свободы неуправляемой консервативной системы) решалась

в [5]. Синтезированный закон управления с обратной связью является нели-

нейным и зависит от времени.

В настоящей работе в основу поиска управления берется условие суще-

ствования цикла в системе. Искомая сила разрушает семейство колебаний,

поэтому представляется нечетной функцией скорости; она должна быть при-

годной для всех точек семейства, включая предельную точку - равновесие.

Другие соображения, включая простоту управления, связаны с реализацией

управления в виде нелинейной диссипации. Наконец, учитывается существо-

вание аналога искомой силы в режиме функционирования триода.

2. Симметричные периодические движения

Пусть рассматриваемая механическая система, подверженная действию

позиционных сил, описывается уравнениями Лагранжа второго рода: q =

(q₁, . . . , q_n) — обобщенная координата. Уравнения движения инвариант-

ны относительно замены (q,

q,t) → (q,-˙q,-t). Поэтому фазовое простран-

ство системы симметрично относительно неподвижного множества M =

{q,

q = 0} обратимой механической системы (см. [6]). На периодическом

движении скорость

˙q, по крайней мере, дважды обращается в нуль. Значит,

необходимые и достаточные условия существования симметричного периоди-

ческого движения (СПД) периода τ записываются в виде

(1)

q_s(q⁰¹,... ,q0n,τ/2) = 0, s = 1,...,n,

где через q⁰ = (q⁰¹, . . . , q0n) обозначена начальная точка q⁰ ∈ M.

Система уравнений (1) состоит из n уравнений c n + 1 неизвестными. Сле-

довательно, СПД всегда образуют семейство, параметризованное, например,

периодом τ.

Известно, что колебания линейного осциллятора образуют изохронное се-

мейство, а период колебаний математического маятника зависит от посто-

янной энергии. Для различения разных типов семейств колебаний полезно

следующее

Определение 1. Случай rank||∂˙q(q0, τ/2)/∂q0|| = n называется невы-

рожденным для симметричного периодического движения, а само СПД -

невырожденным.

Невырожденные СПД типа колебаний анализируемой механической си-

стемы всегда образуют двумерные многообразия, на них период монотонно

зависит от одного параметра (см. [6]).

Из приведенных выше сведений следует, что СПД в типичной ситуации

заполняют в фазовом пространстве двумерные многообразияΞ. Тогда соот-

ветствующее многообразие скорректированной (управляемой) механической

системы обозначается через Ξ.

3. Цикл системы

Пусть для описании динамики на многообразии Ξ используется координа-

та x. Тогда с учетом действия позиционных сил и μ-малого гладкого управ-

ления μr получается уравнение

(2)

x = f(x, x) + μr(x, x), f(x, x) = f(x,-x).

При μ = 0 уравнение (2) допускает h-семейство СПД: x = ϕ(h, t + γ), где

γ — сдвиг по траектории. Полагается, что при t = 0 изображающая точка

в фазовом пространстве находится на неподвижном множестве: ϕ(h, 0) ∈ M.

Тогда γ = 0. Период τ на семействе СПД является функцией h: τ = τ(h).

Предполагается, что значению параметра h = h^∗ отвечает период τ^∗ = τ(h^∗).

В уравнении (2) решение x(μ,x⁰,t) c начальной точкой x⁰ (при t = 0) за-

висит от μ. Производная от этого решения удовлетворяет неоднородному ли-

нейному уравнению

d²

⁽∂x⁾

∂f(ϕ(h,t))

⁽∂x⁾

∂f(ϕ(h,t))

⁽∂x⁾

(3)

= r(ϕ(h,t),ϕ˙(h,t))

dt²

∂μ

∂x

∂μ

∂x

∂μ

с нулевыми начальными условиями x(μ, x⁰, 0) = x⁰. Необходимые и достаточ-

ные условия существования в уравнении (3) решения периода τ^∗ приводят к

амплитудному (бифуркационному) уравнению

∫τ^∗

(4)

I(h) ≡

r(ϕ(h, t),ϕ˙(h, t))ψ(h, t)dt = 0,

где через (θ, ψ) обозначается периодическое решение системы, сопряженной

к системе уравнений в вариациях для СПД. Тогда простому корню h = h^∗

отвечает цикл (см., например, [7]):

(5)

x(μ, h^∗, t) = x⁽⁰⁾(t) + μx⁽¹⁾(t) + o(μ), x⁽⁰⁾(t) = ϕ(h^∗

,t).

Заметим, что уравнения в вариациях для СПД представляют собой линей-

ную периодическую систему. После ее приведения к системе с постоянными

коэффициентами каждому корню характеристического уравнения отвечает

соответствующий характеристический показатель (ХП) периодической систе-

мы.

Семейство СПД содержит два нулевых ХП [6]. При переходе параметра μ

через нулевое значение происходит бифуркация ХП. Для нахождения сцена-

рия бифуркации используется характеристическое уравнение

ρ² - 2A(μ)ρ + B(μ) = 0, B = 1 + μb₁ + ... ,

где b₁ не зависит от μ.

Циклу обязательно отвечает один нулевой ХП, поэтому бифуркация ХП в

точке μ = 0 происходит с рождением одного действительного ХП порядка μ.

В самом деле, имеем A(0) = 1, ρ₁(0) = ρ₂(0) = 1. Если ρ₁ = 1 при μ = 0, то

ρ₂ = B, бифуркация ХП происходит по сценарию λ₁(μ) = 0, λ₂(μ) = μα + ...;

α = const. Следовательно, число μα < 0 обеспечивает асимптотическую ор-

битальную устойчивость цикла.

Число α вычисляется через амплитудное уравнение в [8]:

1 dI(h^∗)

(6)

α=

τ^∗ dh

Конструктивная формула для вычисления числа α по известной функ-

ции r приводится в Приложении.

4. Выбор управления

Функцию r в μ-малом управлении μr выберем из следующих соображе-

ний. При выборе функции r(x, - x) = r(x, x) уравнение (2) остается инва-

риантным относительно замены (x, x, t) → (x, - x, -t). Поэтому амплитудное

уравнение удовлетворяется тождественно: цикл не рождается. Для рождения

цикла необходимо, чтобы функция r была нечетной по скорости.

Пример математического маятника показывает, что семейство СПД рож-

дается из положения равновесия. Здесь действие диссипации Релея доводит

устойчивость равновесия до асимптотической устойчивости. Хотелось бы,

чтобы функция r была пригодна также для равновесия и в этом случае сов-

падала с диссипацией Релея. Для выполнения пожелания необходимо, чтобы

функция r была линейной функцией скорости x: r = a(x) x.

Действие управления не должно зависеть от выбора направления оси и

линейного преобразования координат, т.е. a = a(|x|). Амплитудное уравне-

ние (4) не имеет корень, если функция a(|x|) принимает значения одного

знака, поэтому a = 1 - Kb(|x|), K-const. Управление вводится в окрестности

выделенного колебания со значением параметра h = h^∗, поэтому K = K(h^∗).

Наконец, отрицательность числа (6) всегда можно гарантировать постоян-

ным множителем L перед управлением.

В частных случаях функция r = (1 - K(h^∗)b(|x|) x наблюдается в физи-

ке: b = 0 для равновесия, b = x² в “мягком” и b = x² - kx⁴, k > 0, “жестком”

режимах функционирования триода (см., например, [7]).

Гладкая функция r в μ-малом управлении μr выбирается в виде

(7)

r = L(1 - Kx²

) x,

где число L равно +1 или -1, а коэффициент K определяется ниже. В слу-

чае (7) амплитудное уравнение (4) записывается в виде

∫τ^∗

[1 - Kϕ²(h, t)]ϕ˙(h, t)ψ(h, t)dt = 0.

Вводится следующая характеристика семейства СПД, т.е. функция

∫

σ(h, t)dt

K(h) =

σ(h, t) = ϕ˙(h, t)ψ(h, t).

∫

ϕ²(h,t)σ(h,t)dt

Тогда справедливо тождество

∫

[1 - K(h)ϕ²(h, t)]σ(h, t)dt ≡ 0,

откуда дифференцированием по h находится конструктивно проверяемое

условие простоты корня в виде

τ^∗

∫

dI(h^∗)

dK(h^∗)

(8)

ν = 0, ν = ϕ²(h^∗,t)σ(h^∗

,t)dt.

Из (8) получается, что в точках семейства СПД, в которых dK = 0, доста-

точные условия существования цикла не выполняются.

Определение 2. Точка h семейства СПД механической системы, в ко-

торой производная от функции K(h) равна нулю, называется критической.

С учетом определения 2 из (8) следует теорема 1.

Теорема 1. Пусть механическая система допускает h-семейство СПД

с характеристикой K(h). Тогда при действии на систему μ-малой силы с

функцией (7) цикл в управляемой системе существует для всех по харак-

теристике K(h) точек, кроме критических, при ν = 0.

Замечание 1. Для консервативной системы в [8] установлено равенство:

ψ(h, t) = ϕ˙(h, t). Поэтому ν > 0: условие на ν в теореме 1 выполняется авто-

матически.

5. “Естественная” стабилизация цикла

Воспользуемся выражением для α, полученным в Приложении. Тогда с

учетом формул (6) и (8) получаем формулу

τ^∗

∫

L dK(h^∗)

(9)

α=

ϕ²(h^∗,t)ϕ˙(h^∗,t)ψ(h^∗

,t)dt,

τ∗ dh

дающую приращение характеристического показателя.

Из (9) следует, что в рамках выполнения условий теоремы 1 выбором чис-

ла L всегда добиваемся отрицательного числа α.

Таким образом, при выполнении теоремы 1 осуществляется “естественная”

стабилизация цикла управляемой механической системы.

Теорема 2. В рамках выполнения условий теоремы 1 осуществляется

“естественная” стабилизация цикла управляемой механической системы.

Замечание 2. Посредством управления (7) решается проблема конст-

руирования цикла и устойчивого цикла независимо от действующих на ме-

ханическую систему позиционных сил: потенциальных, неконсервативно по-

зиционных, совместно действующих потенциальных и неконсервативно пози-

ционных. Выводы по существованию цикла (теорема 1) и его стабилизации

(теорема 2) не зависят от типа семейства СПД: семейство изохронных колеба-

ний (пример - линейный осциллятор), семейство невырожденных колебаний

(пример - математический маятник). Управление (7) решает задачу о цикле

и асимптотически орбитально устойчивом цикле независимо от конкретной

механической системы. Наконец, сила (7) имеет достаточно простой вид и на-

ходит аналог в природе. В силу указанных причин управление (7) называется

универсальным.

Замечание 3. Помещенное в кавычки слово “естественная” отражает

факт стабилизации цикла без привлечения в систему (2) дополнительного

к (7) управления.

6. Система с n степенями свободы

Выше найдены условия “естественной” стабилизации цикла на двумерном

многообразии Ξ. Примем, что в системе с n степенями свободы многообра-

зию Ξ отвечает обобщенная координата q₁ = x. Тогда в рассматриваемой ме-

ханической системе цикл по-прежнему существует: для него выполнена тео-

рема 2, а q₂ = . . . = q_n = 0. Следовательно, решение задачи “естественной”

стабилизации цикла обеспечивается притяжением траекторий к Ξ.

Вычислим ХП СПД. Выше отмечалось, что СПД всегда содержит пару ну-

левых ХП. Остальные ХП разделяются на пары ±λ (см. [9]). В скорректиро-

ванной механической системе коэффициенты полинома для вычисления ХП

непрерывно зависят от параметра μ. Поэтому ХП СПД, принадлежащие при

μ = 0 положительной (отрицательной) полуплоскости, при μ > 0 остаются в

положительной (отрицательной) полуплоскости. Следовательно, для обеспе-

чения притяжения траекторий к Ξ малыми силами необходимо, чтобы все

ХП СПД принадлежали мнимой оси. Само притяжение гарантируется дей-

ствием по каждой координате q_s малой линейной по скорости силой -qs

(s = 2, . . . , n).

Таким образом, становится справедливой следующая

Теорема 3. В случае механической системы с n степенями свободы за-

дача “естественной” стабилизации цикла управляемой системы решается

в рамках выполнения теоремы 1, если ХП СПД принадлежат мнимой оси.

Замечание 4. Используемая по координатам q₂,...,q_n линейная сила

получается как частный случай нелинейной силы (7), где положено L = -1,

x = 0.

7. Примеры

1. Применение к уравнению Ван дер Поля

x + x = μ(1 - x²)x.

Решения линейного осциллятора даются формулой x = h cos t, h > 0. Колеба-

ния изохронные, вырожденные. Вычислим K = 4/h², dK(h)/dh < 0. Поэтому

добавление в правую часть нелинейной диссипации μ(1 - x²) x, где K = 4/h∗2,

h^∗ = 2, приводит к асимптотически орбитально устойчивому циклу в окрест-

ности окружности радиуса 2.

2. Управляемый математический маятник

(10)

x + sinx = μr(x, x).

Семейство колебаний математического маятника начинается из предель-

ной точки — нижнего равновесия. Период колебаний монотонно растет вместе

с начальным отклонением маятника от вертикали A. Колебания невырожден-

ные, в качестве параметра семейства h можно принять, например, отклоне-

ние A.

Ставится задача выбора в (10) такого управления μr, чтобы в управляемом

маятнике (10) в окрестности колебания с h = h^∗ реализовался асимптотиче-

ски орбитально устойчивый цикл.

Малое управление μr выберем по формуле (7). Зависимость K(h) для ма-

тематического маятника дается в [10]: функция K(h) монотонно убывает.

Поэтому, выбирая в (7) числа L = 1, K = K(h^∗), получим согласно теореме 2

решение задачи естественной стабилизации цикла с параметром h = h^∗.

8. Заключение

В работе находится универсальное малое гладкое управление — нелиней-

ная сила типа диссипации в уравнении Ван дер Поля, гарантирующая су-

ществование и стабилизацию цикла управляемой этой силой механической

системы на двумерном многообразии. Для системы с n степенями свободы

найденная сила дополняется линейной по скоростям силой, обеспечивающей

притяжение траекторий к многообразию колебаний.

Управляемая механическая система ведет себя подобно регенеративному

приемнику в радиотехнике, собственные (релаксационные) колебания кото-

рого описываются уравнением Ван дер Поля.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Вычисление числа α

Для цикла (5) составляется уравнение в вариациях:

ÿ = (a + μa^∗)y + (b + μb^∗)y + o(μ),

∂f

a(t) =

b(t) =

(Π.1)

∂x

∂²f

∂r

∂²f

∂r

a^∗(t) =

x⁽¹⁾ +

b^∗(t) =

x⁽¹⁾ +

∂x²

∂x

∂x²

∂x

где в частные производные подставляются функции x = ϕ(h^∗, t), x = ϕ˙(h^∗, t).

Здесь получается:

a(t) = a(-t), b(t) = -b(-t), a^∗(t) = -a^∗(-t), b^∗(t) = b^∗(-t).

В системе (П.1) выполняется замена z = y exp(-μαt). Тогда в перемен-

ных z, w записывается система

(Π.2)

Ż = w - μαz,

w = (a + μa^∗)z + (b + μb^∗

)z - μαw + o(μ).

Периодическое решение системы (П.2) ищется в виде

z = z₀(t) + μz₁(t) + o(μ), w = w₀(t) + μw₁(t) + o(μ).

Отсюда выводится:

Ż₀ = w₀,

w₀ = az₀ + bw₀,

Ż₁ = w₁ - αz₀,

w₁ = a^∗z₀ + b^∗w₀ - αw₀.

Первая группа уравнений допускает решение

∂ϕ(h^∗, t)

∂²ϕ(h^∗,t)

z₀ =

w₀ =

∂h

∂h∂t

После подстановки этого решения в уравнения для z₁, w₁ получается условие

существования периодического решения системы в переменных z₁, w₁

τ^∗

∫τ^∗

∫

[z₀θ + w₀ψ]dt =

[a^∗z₀ + b^∗w₀]dt

(через θ(t), ψ(t) обозначается периодическое решение системы, сопряженной

с (П.1) при μ = 0). Из свойства решений сопряженных систем следует, что

подынтегральная функция в левом интеграле равна единице.

Далее после вычисления выражений

∂²f

∂r

∂a ∂ϕ(h^∗,t)

∂r ∂x

∂a

∂r ∂x

z₀x⁽¹⁾ +

z₀ =

x⁽¹⁾ +

∂x²

∂x

∂h

∂x ∂h

∂h

∂x ∂h

∂²f

∂r

∂b ∂ϕ˙(h^∗,t)

∂r ∂ x

∂b

∂r ∂ x

w₀ x⁽¹⁾ +

w₀ =

x⁽¹⁾ +

∂x²

∂x

∂h

∂x∂h

∂h

∂x∂h

оказывается, что

∂a

∂b

∂r

a^∗z₀ + b^∗w₀ =

x⁽¹⁾ +

∂h

Из уравнения

x⁽¹⁾ = ax⁽¹⁾ + bx⁽¹⁾ + r(ϕ,ϕ˙)

получается равенство

(

)

d²

∂x⁽¹⁾

∂a

∂b

∂r

x⁽¹⁾ +

dt²

∂h

Отсюда вычисляется:

C = D(τ^∗) - D(0),

[(

)

(

) ]

∫τ^∗

(1)

d ∂x

∂x⁽¹⁾

d² ∂x⁽¹⁾

∂x⁽¹⁾

C =

θ+

-a

-b

ψ dt,

∂h

dt²

∂h

(1)

∂x

∂x⁽¹⁾

θ+

ψ.

∂h

Функции θ, ψ периодичны при любых значениях параметра h, поэтому

функция

∂θ

∂ψ

x⁽¹⁾

+ ˙x⁽¹⁾

∂h

также периодична. С учетом данного факта D заменяется на функцию

∂

(Π.3)

Ω=

(x⁽¹⁾θ + x⁽¹⁾

ψ).

∂h

Поэтому получается

(Π.4)

C = Ω(τ^∗

) - Ω(0).

Наконец, используется связь

(Π.5)

[x⁽¹⁾θ + x⁽¹⁾

ψ] = rψ

между решениями сопряженных систем.

На основе соотношений (П.3)-(П.5) выводится искомое равенство

τ^∗

∫

α=

rψ(t)dt.

τ^∗

τ^∗ dh

Полученная формула справедлива для произвольной корректирующей си-

лы r.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Понтрягин Л.С. О динамических системах, близких к гамильтоновым // Журн.

эксперим. и теорет. физики. 1934. Т. 4. Вып. 9. С. 883-885.

Klimina L.A. Iterative method of construction of a bifurcation diagram of

autorotation motions for a system with one degree of freedom // AIP Conf. Proc.

2018. V. 1959. No. 030011. P. 30011-1-030011-5.

Patidar V., Sharma A., Purohit G. Dynamical behaviour of parametrically

driven Duffing and externally driven Helmholtz-Duffing oscillators under nonlinear

dissipation // Nonlinear Dynam. 2016. V. 83. Iss. 1-2. P. 375-388.

Zaitsev S., Shtempluck O., Gottlieb E.B. Nonlinear damping in a micromechanical

oscillator // Nonlinear Dynam. 2016. V. 67. Iss. 1. P. 859-883.

Shiriaev A., Perram J.W., Canudas-de-Wit C. Constructive tool for orbital

stabilization of underactuated nonlinear systems: virtual constraints approach //

IEEE Transact. Autom. Control. 2005. V. 50. Iss. 8. P. 1164-1176.

Тхай В.Н. О поведении периода симметричных периодических движений //

Прикл. матем. и механ. 2012. Т. 76. Вып. 4. C. 616-622.

Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. M.: Гостехиздат,

1956.

Тхай В.Н. Стабилизация колебаний автономной системы // АиТ. 2016. № 6.

С. 38-46.

Tkhai V.N. Stabilizing the Oscillations of an Autonomous System // Autom. Remote

Control. 2016. V. 77. No. 6. P. 972-979.

Тхай В.Н. Об устойчивости регулярных прецессий Гриоли // Прикл. матем. и

механ. 2000. Т. 64. Вып. 5. С. 848-857.

10.

Tkhai V.N. Dissipation in the Vicinity of a Oscillation of the Mechanical System//

AIP Conf. Proc. 2018. V. 1959. No. 030022. P. 030022-1-030022-5.

Статья представлена к публикации членом редколлегии П.В. Пакшиным.

Поступила в редакцию 05.11.2018

После доработки 14.04.2019

Принята к публикации 25.04.2019