Автоматика и телемеханика, № 12, 2019

(Черкасский национальный университет им. Б. Хмельницкого),

В.И. СЛЫНЬКО, д-р физ.-мат. наук (vitstab@ukr.net)

(Вюрцбургский университет, Институт математики)

РОБАСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ

ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ¹

Предложен новый метод исследования робастной устойчивости линей-

ных периодических систем, в основу которого положены идеи коммута-

торного исчисления в сочетании с прямым методом Ляпунова. Исследо-

вание устойчивости линейной неавтономной системы обыкновенных диф-

ференциальных уравнений сведено к исследованию устойчивости линей-

ной системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием,

для которой применяется прямой метод Ляпунова. Получены новые до-

статочные условия робастной устойчивости линейной периодической си-

стемы при действии непериодических возмущений. Приведены примеры

исследования робастной устойчивости линейных систем.

Ключевые слова: робастная устойчивость, линейные периодические систе-

мы, прямой метод Ляпунова, коммутаторное исчисление, ряды Магнуса.

DOI: 10.1134/S000523101912002X

1. Введение

Важнейшей задачей теории устойчивости движения является вопрос о со-

хранении устойчивости решений при действии малых возмущений. Общий

метод исследования влияния возмущений на устойчивость решений диффе-

ренциальных уравнений основан на применении второго метода Ляпунова.

В случае когда известна функция Ляпунова для невозмущенной системы,

применяя теоремы прямого метода Ляпунова, можно получить оценки ма-

лых возмущений, при которых устойчивость системы сохраняется.

Для линейных систем дифференциальных уравнений эта задача получи-

ла достаточно простое решение на основе метода интегральных неравенств

[1-3] при условии, что известны оценки фундаментальной матрицы невоз-

мущенной системы. Такие оценки можно эффективно получить лишь для

ограниченного класса систем, например для систем с постоянными коэффи-

циентами. В других случаях нахождение фундаментальной матрицы реше-

ний и получение оценок ее нормы представляет собой самостоятельную за-

дачу. Однако в одном случае, когда матрица неавтономной системы удовле-

творяет условию И.А. Лаппо-Данилевского, фундаментальная матрица по-

лучается в явном виде, что значительно упрощает получение необходимых

¹ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Министерства образования и

науки Украины (грант № 0116U004691). Часть работы выполнена за счет средств бюджет-

ной программы НАН Украины по КПКВК 6541230 “Поддержка развития приоритетных

направлений научных исследований”.

оценок. Обобщение условий И.А. Лаппо-Данилевского получено в 1954 г.

В. Магнусом [4] путем континуального обобщения классической формулы

Хаусдорфа—Бейкера—Кемпбелла—Дынкина [5-7]. Основной результат [4] со-

стоит в представлении фундаментальной матрицы линейной неавтономной

системы дифференциальных уравнений в виде экспоненциальной функции

от формального ряда, члены которого являются лиевыми интегральными

элементами, определяющиеся последовательными приближениями как реше-

ние некоторой задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения.

Первый член этого ряда соответствует случаю И.А. Лаппо-Данилевского.

В. Магнус установил условия, при которых этот ряд обрывается. Однако су-

щественным препятствием при применении ряда Магнуса в теории устойчи-

вости линейных систем является его формальный характер, поскольку этот

ряд сходится не всегда [4, 8], а также нелинейность дифференциального урав-

нения для производящей функции этого ряда. С другой стороны, условия

обрыва ряда Магнуса, также как и условия И.А. Лаппо-Данилевского, не яв-

ляются робастными, т.е. могут нарушаться при сколь угодно малых возму-

щениях. Таким образом, подход к исследованию робастной устойчивости, в

основу которого положены идеи коммутаторного исчисления и ряды Магну-

са, требует некоторой модификации, которая является основным результатом

настоящей статьи. Основная идея, развиваемая здесь, состоит в сведении ис-

ходной неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

к исследованию некоторой эквивалентной (в смысле устойчивости) системы

дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Например, для

периодической линейной системы обыкновенных дифференциальных урав-

нений соответствующая система дифференциальных уравнений будет перио-

дической системой с постоянными параметрами. Исследование устойчивости

линейной импульсной системы проводится на основе прямого метода Ляпуно-

ва — достаточно разработанного для этого класса систем во многих публика-

циях, среди которых отметим лишь [9-14]. Предложенный подход позволяет

получить новые условия устойчивости линейных периодических систем при

действии непериодических возмущений. Проверка этих условий сводится к

решению некоторой системы матричных уравнений и неравенств и допол-

нительным условиям. Полученные условия наиболее эффективны для ли-

нейных систем, близких к системам, удовлетворяющим условию И.А. Лаппо-

Данилевского.

Обозначения. Пусть Z — кольцо целых чисел, Z₊ — множество целых

неотрицательных чисел, R — поле действительных чисел, R^N — N-мерное

евклидово пространство со скалярным произведением (x, y) = x^Ty, R^N×N —

банахова алгебра квадратных матриц порядка N со спектральной нормой

∥A∥ = λ^m

ax(A^TA), σ(A) — спектр матрицы A ∈ R^N×N , rσ(A) — спектраль-

ный радиус матрицы A, λ_min(P ) и λ_max(P ) — минимальное и максималь-

ное собственные значения симметричной матрицы P ∈ R^N×N . Для двух сим-

метричных матриц P ∈ R^N×N и Q ∈ R^N×N вводится отношение частичного

порядка P ≽ Q, если и только если матрица P - Q является положительно

полуопределенной, и P ≻ Q, если и только если матрица P - Q является по-

ложительно определенной. Если R ∈ R^N×N — симметричная матрица, P —

симметричная положительно определенная матрица, то

⎧

λ_min(R)

⎪

λ_min(R) ≥ 0,

⎨

λ_max(P)

Λ(R, P ) =

⎪λmin(R)

⎩

λ_min(R) < 0.

λ_min(P)

2. Постановка задачи

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

(1)

x(t) = (A(t) + δA(t))x(t),

где x ∈ R^N , A : R → R^N×N — кусочно-непрерывное θ-периодическое отоб-

ражение, т.е. при всех t ∈ R A(t + θ) = A(t), δA : R → RN×N — кусочно-

непрерывное, а в общем случае — непериодическое отображение. Предпо-

ложим, что при δA(t) = 0 линейная периодическая система (1) — асимптоти-

чески устойчива. Рассмотрим задачу об ограничениях на операторную функ-

цию δA(t), при которых асимптотическая устойчивость возмущенной систе-

мы (1) сохраняется. При этом для решения задачи применим прямой метод

Ляпунова в сочетании с идеями и методами коммутаторного исчисления.

3. Вспомогательные результаты

Приведем некоторые основные алгебраические понятия, которые будут ис-

пользованы далее, следуя [4, 6].

Опишем конструкцию свободной ассоциативной алгебры R над полем

действительных чисел R с двумя генераторами x, y. Словом, над алфави-

том {x, y} называется конечная последовательность символов из алфавита,

при этом для последовательности z . . . z, где z — генератор, принимается со-

кращенная запись zⁿ, n ∈ N, z⁰ = 1, 1 — единица алгебры R. Базис алгебры

R₀ ⊂ R состоит из всех слов над алфавитом {x,y}. Пустое слово отождеств-

ляется с элементом 1 ∈ R, поэтому R ⊂ R₀ и поле R является центром алгеб-

ры R₀. Следовательно, R₀ состоит из всевозможных линейных комбинаций

слов с коэффициентами из R. Свободная ассоциативная алгебра R опреде-

ляется как пополнение алгебры R₀ в некоторой специальной топологии и со-

стоит из всех формальных бесконечных рядов с коэффициентами из поля R.

Коммутатор двух элементов a ∈ R и b ∈ R определяется формулой

[a, b] = ab - ba

и вводит в R структуру алгебры Ли. Оператор коммутирования ad_a, a ∈ R,

определяется как линейное отображение

R → R, y → ad_a(y) = [a,y], y ∈ R.

Пусть f(x, y) ∈ R, z ∈ R и λ ∈ R, тогда поляризационное тождество

f (x + λz, y) = f(x, y) + λf₁(x, y, z) + λ²f₂(x, y, z) + . . .

= f₁(x,y,z).

Определим рекурсивно следующие лиевы элементы алгебры R (определе-

ние и более подробные сведения о лиевых элементах можно найти в [6]):

{y, x⁰} = y,

{y, xl+1} = [{y, x^l}, x], l ∈ Z₊.

Легко видеть, что

ad^lx(y) = (-1)^l{y, x^l}.

∑_∞

Пусть p(x) =

p_kx^k — ряд от генератора x, тогда по определению пола-

k=0

гают

∑

= p_k{y,x^k}.

k=0

∑_∞

Отметим также, что если p(x) =

p_kx^k и q(x) =

q_kx^k, то

k=0

(2)

{y, p(x)q(x)} = {{y, p(x)}, q(x)}.

Аналогично для произвольной конечной последовательности x₁, . . . , x_n эле-

ментов из R определим рекурсивно элемент {x₁, . . . , xn-1, x_n}:

{x₁, . . . , xn-1, x_n} = [{x₁, . . . , xn-1}, x_n].

Элемент e^x определяется посредством формулы

∑

e^x =

x^k.

k=0

При этом

(3)

e^-xye^x = {y,e^x}

и справедливы тождества Ф. Хаусдорфа:

((

)

{

}

((

)

{

}

∂

e^x - 1

∂

1-e^-x

(4)

e^-x y

e^x

= y,

e^x e^-x = y,

∂x

Отметим, что тождества (2)-(4) имеют формальный характер.

Пусть далее X — банахова алгебра над полем R, тогда (2) выполняется в

общей части области сходимости рядов p(x) и q(x), а (3) и (4) при всех x ∈ X,

y∈X.

Далее установим ряд вспомогательных утверждений, необходимых для

дальнейшего изложения.

Лемма 1. Пусть x,y,δx,δy ∈ X, тогда справедлива оценка

{

}

{

}

∑



(5)

 x + δx,(y + δy)^k

- x,y^k

 ≤ ζ^k∥δx∥ + ∥δy∥

ζk-m-1

^ad_{x,ym_}

^,

m=0

где ζ = ∥ad_y∥ + 2∥δy∥.

Доказательства лемм и последующих теорем приведены в Приложении 1.

Пусть a : R → X — кусочно-непрерывное отображение. Рассмотрим зада-

чу Коши

ω(t) = a(t)ω(t), ω(s) = 1, t ≥ s,

где ω ∈ X, 1 — единица алгебры X.

Обозначим

∫^t

a(t) = a(τ) dτ, f(t) = ω(t)e-a(t) - 1.

Тогда, используя тождества (3) и (4) приходим к выводу, что функция f(t)

является решением задачи Коши

(t) = [a(t), f(t)] + f(t)Ψ(t) + Ψ(t), f(s) = 0,

где

∑

(-1)k+1

Ψ(t) =

{a(t), a^k(t)}.

(k + 1)!

k=1

Пусть Ψ(t) + δΨ(t) и f(t) + δf(t) — обозначают функции, соответствующие

функциям Ψ(t) и f(t) при замене a(t) → a(t) + δa(t). Тогда из утверждения

леммы 1 следует, что для функции δΨ(t) выполняется оценка

∥δΨ(t)∥ ≤ η(t),

где

(

)

∑

η(t) =

ζ^k(t)∥δa(t)∥ + ∥δa(t)∥

ζk-m-1(t)∥ad{a(t),̂am(t)}∥

(k + 1)!

k=1

m=0

∫t

ζ(t) = ∥ada(t)∥ + 2∥δa(t)∥, δa(t) = δa(s) ds.

Лемма 2. Для функции δf(t) при всех T > 0 справедлива оценка

∫

(

)

∥δf(s + T )∥ ≤

∥adf(s)∥∥δa(s)∥ + (1 + ∥f(s)∥)η(s) ds×

⎛

⎞

∫

(

)

⎝

× exp

∥ada(s)∥ + 2∥δa(s)∥ + ∥Ψ(s)∥ + η(s) ds^⎠ .

Рассмотрим линейную систему обыкновенных дифференциальных урав-

нений с переменными коэффициентами

(6)

x(t) = A(t)x(t),

где x ∈ Rⁿ, t ∈ R, A : R → R^N×N — кусочно-непрерывное отображение, для

которого выполняется условие

∫

sup

∥A(s)∥ ds < +∞

n∈Z₊

nθ

для некоторого положительного θ.

∫t

Обозначим через Ω^ts матрицант системы (6), обозначи

A(t, s) =

A(τ) dτ

и определим функцию

F (t, s) = Ω^tse

A(t,s) - I,

где I — единичная матрица.

Тогда функция F (t, s) является решением задачи Коши

∑

(-1)k+1

F (t, s) = adA(t)F (t, s) + F (t, s)

{A(t)

A^k(t,s)} +

(k + 1)!

k=1

(7)

∑

(-1)k+1

{A(t)

A^k(t,s)}, F(s,s) = 0.

(k + 1)!

k=1

Наряду с линейной системой обыкновенных дифференциальных уравне-

ний (6) рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с им-

пульсным воздействием:

y(t) =

A((n + 1)θ, nθ)y(t), t ∈ (nθ, (n + 1)θ),

(8)

Δy(t) = F((n + 1)θ,nθ)y(t), t = (n + 1)θ,

где y ∈ R^N , Δy(t) = y(t + 0) - y(t), θ > 0. При этом, как обычно [13], пред-

полагают, что решение задачи Коши y(t, t₀, y₀) является непрерывной слева

по t функцией, т.е. y(t - 0, t₀, y₀) = y(t, t₀, y₀) при всех t ≥ t₀.

Следующее утверждение позволяет свести задачу об устойчивости линей-

ной неавтономной системы дифференциальных уравнений (6) к исследова-

нию линейной системы дифференциальных уравнений с импульсным воздей-

ствием (8).

Теорема 1. Устойчивость (асимптотическая устойчивость, неустой-

чивость) линейной неавтономной системы дифференциальных уравне-

ний

(6) эквивалентна устойчивости (асимптотической устойчивости,

неустойчивости) линейной системы дифференциальных уравнений с им-

пульсным воздействием (8).

4. Основной результат

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений (1). Пусть

F (t) — решение задачи Коши

(9)

(t) = adA(t)

F (t) + F (t)Ψ(t) + Ψ(t), F (0) = 0,

где введены обозначения:

∑

(-1)k+1

Ψ(t) =

{A(t)

A^k(t)},

(k + 1)!

k=1

∫t

A(t) = A(s) ds, A₀ =

A(θ), B₀ = F (θ).

Относительно матрицы возмущений δA(t) сделаем следующее предполо-

жение: существуют положительные постоянные α_n и β_n, n ∈ Z₊, такие что

∫

sup

∥δA(t)∥ ≤ α_n,

∥δA(t)∥ dt ≤ β_n, sup β_n < +∞.

t∈[nθ,(n+1)θ]

n∈Z₊

nθ

Введем обозначения:

(

)

∑



η_n(s) =

ζ^k(s)αn + βn

ζk-m-1n(s)



ad{A(s),̂Am(s)}

(k + 1)!

k=1

m=0



ζ_n(s) =

ad̂A(s) + 2βn,

∫

(

)

χ_n =

∥adF(s)∥α_n + (1 + ∥F (s)∥)η_n(s) ds×

nθ

⎛

⎞

∫

(

)

⎜

⎟

× exp⎝

∥adA(s)∥ + 2α_n + ∥Ψ(s)∥ + η_n(s) ds⎠.

nθ

Вследствие утверждения теоремы 1 асимптотическая устойчивость линейной

возмущенной системы (1) эквивалентна асимптотической устойчивости ли-

нейной системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием

⎛

⎞

∫

⎜

⎟

y(t) =

⎝A0 +

δA(s) ds⎠y(t), t ∈ (nθ,(n + 1)θ),

(10)

nθ

Δy(t) = (B₀ + δF_n)y(t), t = (n + 1)θ.

где y ∈ R^N , а для матрицы δF_n вследствие утверждения леммы 2 справедлива

оценка ∥δF_n∥ ≤ χ_n.

Для исследования устойчивости линейной системы дифференциальных

уравнений с импульсным воздействием (10) можно применять различные ме-

тоды [10, 13, 14]. Здесь рассмотрим применение различных вариантов прямого

метода Ляпунова.

Предположим, что для матрицы A₀ выполняется условие max Reλ < 0.

λ∈σ(A₀)

Тогда по теореме Ляпунова для любой симметричной положительно опреде-

ленной матрицы Q матричное уравнение Ляпунова

(11)

A^T0P + PA₀

= -Q

имеет решение P , которое является симметричной положительно определен-

ной матрицей.

Теорема 2. Предположим, что для матрицы A₀ выполняется условие

maxλ∈σ(A0) Re λ < 0, существуют симметричная положительно определен-

ная матрица Q и положительная постоянная δ > 0 такие, что при всех

n ∈ Z₊ для решения P матричного уравнения Ляпунова (11) выполняются

неравенства:

λ_min(Q)

β_n <

2∥P ∥

(

)

∥P ∥χ_n(2∥I + B₀∥ + χ_n)

λ_min(Q) - 2β_n∥P∥

1 - Λ(R,P) +

θ < -δ.

λ_min(P)

λ_max(P)

Тогда линейная система дифференциальных уравнений (1) асимптотиче-

ски устойчива.

Теорема 3. Предположим, что для матрицы A₀ выполняется условие

maxλ∈σ(A0) Re λ < 0, существуют симметричная положительно определен-

ная матрица Q и средние значения:

^∑ β_k

^∑ χ_k

^∑ χ2k

k=0

β = limk=0

χ = lim

χ² = lim

n→∞ n

такие что для решения P матричного уравнения Ляпунова (11) выполня-

ется неравенство

∥P ∥(2χ∥I + B₀∥ + χ²)

λ_min(Q) - 2β∥P∥

ln(1 - Λ(R, P )) +

θ < 0.

λ_min(P)(1 - Λ(R,P))

λ_max(P)

Тогда линейная система дифференциальных уравнений (1) асимптотиче-

ски устойчива.

Рассмотрим далее более общий случай, когда введенные выше ограниче-

ния на спектр матрицы A₀ не обязательны. Используя идеи публикации [14],

установим достаточные условия асимптотической устойчивости линейной си-

стемы (1).

Определим операторы Ляпунова:

LA0 : R^N×N → R^N×N, X → LA0X = A^T0X + XA₀,

RB0 : R^N×N → R^N×N, X → RB0X = B^T0X + XB₀ + B^T0XB₀.

Пусть p ∈ Z, p ≥ 1, I — тождественный оператор в пространстве R^N×N .

Теорема 4. Предположим, что существует симметричная положи-

тельно определенная матрица P и положительные числа ϵ_n, такие что

при всех n ∈ Z₊ выполняются матричные неравенства

Lp+1AP + ∥P∥((∥LA0∥ + 2βn)p+1 - ∥LA0∥p+1)I ≼ 0,

(

^∑1

θ^k(I + RB0 )L^kA

P +RB0P +

2χ_n∥I + B₀∥ + χ2n +

k=1

∑

θ^k (

(2χ_n∥I + B₀∥ + χ2n)∥LA0 ∥^k + ∥I + RB0 ∥((∥LA0 ∥ + 2β_n)^k - ∥LA0 ∥^k)+

k=1

)

+ (2χ_n∥I + B₀∥ + χ2n)((∥LA0 ∥ + 2β_n)^k - ∥LA0 ∥^k)

∥P ∥ ≼ -ϵ_nI

∑_∞

и ряд

ϵ_n расходится.

n=0

Тогда линейная система дифференциальных уравнений (1) асимптотиче-

ски устойчива.

Приведем следствие сформулированной теоремы 4 в простейшем случае

p = 1.

Следствие 1. Предположим, что существует симметричная поло-

жительно определенная матрица P и положительные числа ϵ_n, такие что

при всех n ∈ Z₊ выполняются матричные неравенства

(A^T0)²P + 2A^T0P A₀ + P A²⁰ + ∥P ∥((γ + 2β_n)² - γ²)I ≼ 0,

A^T0P + PA₀ + B^T0A^T0P + PA₀B₀ + B^T0PA₀ + A^T0PB₀ + B^T0A^T0PB₀ +

(

+B^T0PA₀B₀ +

B^T0P + PB₀ + B^T0PB₀ +

)

+ ((2χ_n∥I + B₀∥ + χ2n)(1 + θγ + 2β_nθ) + 2θδβ_n)∥P ∥

≼ -ϵ_nI,

где γ = ∥A^T0 ⊗ I + I ⊗ A^T0∥, δ = ∥B^T0 ⊗ I + I ⊗ B^T0 + B^T0 ⊗ B^T0∥ (⊗ — тензор-

∑_∞

ное произведение соответствующих матриц), и ряд

ϵ_n расходится.

n=0

Тогда линейная система дифференциальных уравнений (1) асимптотиче-

ски устойчива.

Теорема 5. Предположим, что существует симметричная положи-

тельно определенная матрица P и положительные числа ϵ_n, такие что

при всех n ∈ Z₊ выполняются матричные неравенства

(

)

(-1)p+1Lp+1AP - ∥P∥ (∥LA0∥ + 2βn)p+1 - ∥LA0∥p+1

I ≽ 0,

∑

θ^k

RB0P +

(-1)k+1

L^kA

P +

k=1

(

)

∑

θ^k

((∥LA0 ∥ + 2β_n)^k - ∥LA0 ∥^k) + 2χ_n∥I + B₀∥ + χ²

∥P ∥I ≼ -ϵ_nI

k=1

∑_∞

ϵn

и ряд

расходится.

n=0

∥I+B₀∥+χn

Тогда линейная система дифференциальных уравнений (1) асимптотиче-

ски устойчива.

Следствие 2. Предположим, что существует симметричная поло-

жительно определенная матрица P и положительные числа ϵ_n, такие что

при всех n ∈ Z₊ выполняются матричные неравенства

(

)

(A^T0)²P + 2A^T0P A₀ + P A²⁰ - ∥P ∥ (γ + 2β_n)2 - γ2 I ≽ 0,

B^T0P + PB₀ + B^T0PB₀ + θ(A^T0P + PA₀) +

(

)

+ 2β_nθ + 2χ_n∥I + B₀∥ + χ²

∥P ∥I ≼ -ϵ_nI,

∑_∞

ϵn

где γ = ∥A^T0 ⊗ I + I ⊗ A^T0∥, и ряд

расходится.

n=0

∥I+B₀∥+χn

Тогда линейная система дифференциальных уравнений (1) асимптотиче-

ски устойчива.

Пример. Рассмотрим линейную неавтономную систему вида

(12)

x(t) = (P (t) + δP (t))x(t).

Здесь x ∈ R^N , P (t) = P₀ + P₁ cos ωt + P₂ sin ωt, P_i ∈ R^N×N , i = 0, 1, 2, ω =2πθ .

Предположим, что матрица P₀ удовлетворяет условиям Рауса—Гурвица.

Нетрудно получить оценки:



max

^adP(t)

≤ a, max

ad̂P(t) ≤ θb,

t∈[0,θ]



max

{P (t)

P^k(t)} ≤ θkck, max

 ≤ θ^kd_k, k ∈ Z₊, k ≥ 1,

ad{P(t),̂Pk(t)}

t∈[0,θ]

где

√

2(∥adP0 ∥² + ∥adP1 ∥² + ∥adP2 ∥²), b =

∥adP0 ∥² + ∥adP1 ∥² + ∥adP2 ∥²,

∑

√

c_k =

∥{Pi0 , . . . Pik }∥², d_k =

∥ad{Pi

,...P_ik }∥².

i₀=0,...,i_k=0,i₀<i₁

Обозначим:

∫

α^∗ = sup

∥δP (t)∥, β^∗ = sup

∥δP (s)∥ ds.

t∈[0,∞)

n∈Z₊

nθ

Тогда

ζ_n(s) ≤ ζ^∗, η_n(s) ≤ η^∗,

где

(

)

∑

ζ^∗ = θb + 2β^∗, η^∗ =

(ζ^∗)^kα^∗ + β^∗

(ζ^∗)k-m-1d_m

θ^m

(k + 1)!

k=1

m=0

Аналогично получим оценку

∑

∥{P (t)

P^k(t)}∥

c_kθ^k

∥Ψ(t)∥ ≤

≤

(k + 1)!

k=1

Для решения задачи Коши (9) справедливо интегральное представление

∫^t

∫

F (t) = (adP(s)F (s) + F (s)Ψ(s))ds + Ψ(s) ds.

Следовательно,

∫t

∫

∥F (t)∥ ≤

(∥adP(s)∥ + ∥Ψ(s)∥)∥F (s)∥ds +

∥Ψ(s)∥ ds.

Применяя лемму Гронуолла—Беллмана об интегральном неравенстве, полу-

чим

⎛

⎞

∫θ

∫

∥F (t)∥ ≤

∥Ψ(s)∥ ds exp^⎝

∥adP(s)∥ + ∥Ψ(s)∥^⎠ ds ≤ f^∗,

где

(

)

∑

c_kθk+1

f^∗ =

exp aθ +

(k + 1)!

k=1

Тогда с учетом оценки ∥adF(s)∥ ≤ 2∥F (s)∥ ≤ 2f^∗ получим χ_n ≤ χ^∗, где

(

)

∑

c_kθk+1

χ^∗ = θ(2f^∗α^∗ + (1 + f^∗)η^∗)exp θa + 2α^∗θ +

+ θη^∗

(k + 1)!

k=1

Пусть Q — симметричная положительно определенная матрица, X — симмет-

ричная положительно определенная матрица, являющаяся решением матрич-

ного уравнения Ляпунова

(13)

P^T0X + XP₀

= -Q.

Применяя утверждение теоремы 2, приходим к достаточным условиям асимп-

тотической устойчивости линейной неавтономной системы дифференциаль-

ных уравнений (12).

Предложение 1. Предположим, что для матрицы P₀ выполняется

условие maxλ∈σ(P0) Re λ < 0 и существует положительно определенная сим-

метричная матрица Q такая, что для решения X матричного уравнения

Ляпунова (13) выполняются неравенства:

λ_min(Q)

β^∗ <

2∥X∥

(

)

∥X∥

λ_min(Q) - 2β^∗∥X∥

(f^∗(2 + f^∗) + χ^∗(2(1 + f^∗) + χ^∗))

θ < 0.

λ_min(X)

λ_max(X)

Тогда линейная неавтономная система дифференциальных уравнений (12)

асимптотически устойчива.

Для интегрирования задачи Коши (9) воспользуемся методом последова-

тельных приближений. Можно показать, что при всех t ∈ [0, θ]



⎛



∫



F (t) -⎝1

{P (s)

P (s)} ds -

{P (s)

P²(s)}ds +



⎛

⎞

⎞

∫



adP(s)

⎝

{P (τ)

P (τ)} dτ^⎠ ds⎠≤ϑ,



где

(

)

(

)

∑

ac₂

⁽c₁

θc₂

⁽c₁

θc₂

⁾θk+2ck+1

ϑ=

θ⁴ +

a+1+

θ²

(k + 2)!

k=2

Введем матрицу

∫

{P (s)

P (s)} ds -

{P (s)

P²(s)}ds +

⎛

⎞

∫

adP(s)

⎝

{P (τ)

P (τ)} dτ^⎠ ds.

Тогда ∥B₀ - B∥ ≤ ϑ, а матрица B представляется в виде

B=θ²B₂ +θ³B₃.

Явные выражения для матриц B₂, B₃ приведены в Приложении 2.

Применяя утверждение теоремы 2 приходим к достаточным условиям

асимптотической устойчивости линейной неавтономной системы дифферен-

циальных уравнений (12).

Предложение 2. Предположим, что для матрицы P₀ выполняется

условие maxλ∈σ(P0) Re λ < 0 и существует положительно определенная сим-

метричная матрица Q такая, что для решения X матричного уравнения

Ляпунова (13) выполняются неравенства:

λ_min(Q)

β^∗ <

2∥X∥

(

)

∥X∥(χ^∗ + ϑ)(2∥I + B∥ + χ^∗ + ϑ)

λ_m(Q)-2β^∗∥X∥

1-Λ(R,X)+

θ < 0,

λ_min(X)

λ_max(X)

где R = -(B^TX + XB + B^TXB).

Тогда линейная система дифференциальных уравнений (12) асимптоти-

чески устойчива.

Рассмотрим теперь этот же пример в общем случае, когда условие Рауса—

Гурвица для матрицы P₀ может не выполняться. Применение следствия 2

позволяет установить достаточные условия асимптотической устойчивости

системы (12).

Следствие 3. Предположим, что существует симметричная поло-

жительно определенная матрица X и выполняются матричные неравен-

ства:

(

)

(P^T0)²X + 2P^T0XP₀ + XP²⁰ - ∥X∥

(γ + 2β^∗)² - γ²

I ≽ 0,

B^TX + XB + B^TXB + θ(P^T0X + XP₀) +

(

)

2β^∗θ + 2(χ + ϑ)∥I + B∥ + (χ + ϑ)²

∥X∥I ≺ 0,

где γ = ∥P^T0 ⊗ I + I ⊗ P^T0∥.

Тогда линейная система дифференциальных уравнений (12) асимптоти-

чески устойчива.

Рассмотрим численный пример. Пусть

(14)

P (t) = -αI + μG₁ cos ωt + μG₂

sin ωt,

где α > 0, μ > 0, матрицы G₁ и G₂ имеют вид

(

)

(

)

-1

G₁ =

G₂ =

-1

и удовлетворяют коммутационным соотношениям

[G₀, G₂] = -2G₁,

[G₀, G₁] = 2G₂,

[G₁, G₂] = -2G₀,

(

)

где G₀ =

−1 0

Очевидно, что

adP(t) = μ(cos ωt adG1 + sin ωt adG2 ),

P (t) = -αχ₀(t)I + μχ₁(t)G₁ + μχ₂(t)G₂,

ad̂P(t) = μχ₁(t)adG1 + μχ₂(t)adG2 ,

где χ₀(t) = t, χ₁(t) =sinωtω , χ₂(t) =1-cosωtω .

Учитывая, что ∥G₀∥ = ∥G₁∥ = ∥G₂∥ = 1, ∥adG0 ∥ = ∥adG1 ∥ = ∥adG2 ∥ = 2, и

применяя неравенство Коши—Буняковского, получим оценки

√

2μ

∥adP(t)∥ ≤ 2

2μ,

∥ad_̂

∥≤

θ.

P (t)

Нетрудно показать, что

{

}

P (t)

P^k(t)

= μk+1(fk0(t)G₀ + fk1(t)G₁ + fk2(t)G₂),

где функции f_ki(t), i = 0, 1, 2, определяются из рекуррентных соотношений:

fk+1,0(t) = 2(fk2(t)χ₁(t) - fk1(t)χ₂(t)),

fk+1,1(t) = -2χ₂(t)fk0(t), fk+1,2(t) = 2χ₁(t)fk0(t).

Применяя неравенство Коши—Буняковского, получим

f2k+1,0(t) ≤ 4(f2k1(t) + f2k2(t))(χ²¹(t) + χ²²(t)),

откуда следует, что

√

f2k+1,0(t) + f2k+1,1(t) + f2k+1,2(t) ≤ 2 f2k0(t) + f2k1(t) + f2k2(t) χ²¹(t) + χ²²(t).

√

Поскольку

χ²¹(t) + χ²²(t) ≤4ω =2π θ, f₁₁(t) = f₁₂(t) = 0, |f₁₀(t)| ≤2π θ, то

√

⁽2)k

f2k0(t) + f2k1(t) + f2k2(t) ≤

θ^k.

Следовательно,

{

}



√



⁽2)k



⁽2)k

 P(t)

P^k(t)

≤

3μk+1

θ^k,

≤2

3μk+1

θ^k.

ad{P(t),̂Pk (t)}

Таким образом,

√

)_k

√

2μ

√

⁽2

a=2

2μ, b =

c_k =

3μk+1

d_k = 2c_k.

Предположим, что для возмущений δP (t) существуют положительные посто-

янные α^∗, β^∗, такие что справедливы оценки

∫

sup

∥δP (t)∥ ≤ α^∗, sup

∥δP (s)∥ ds ≤ β^∗.

t∈[0,∞)

n∈Z₊

nθ

Тогда

√

2μθ

ζ^∗ =

+ 2β^∗,

(

√

)

√

(

)

∗

3β^∗μπ

eζ∗ - 1 - ζ

3β^∗π²

2μθ

η^∗ = α^∗ -

-1-

2μθ - πζ^∗

ζ^∗

θ(2μθ - πζ^∗)

при условии, что 2μθ = πζ^∗. Если 2μθ = πζ^∗, то

√

∗

)

3β^∗μ⁽

η^∗ =

(eζ∗ - 1 - ζ^∗) +2

(ζ^∗ - 1)eζ∗ + 1 ,

ζ^∗

(ζ^∗)²

√

(

) (

√

(

))

2θμ

√

2θμ

f^∗ =

-1-

exp

2μθ +

-1-

Аналогично находим

(

√

χ^∗ = θ(2f^∗α^∗ + (1 + f^∗)η^∗)exp

2μθ + 2α^∗θ +

√

(

)

2θμ

-1-

+ θη^∗

Применим предложение 1 с функцией Ляпунова v(x) =¹² x^Tx, т.е. X =¹² I. То-

гда Q = αI и достаточные условия асимптотической устойчивости линейной

системы (12) с матрицей (14) имеют вид

β^∗ < α,

(15)

(

)

1 + f^∗(2 + f^∗) + χ^∗(2(1 + f^∗) + χ^∗)

+ 2β^∗θ < 2αθ.

Сравним полученные достаточные условия асимптотической устойчивости с

условиями, основанными на непосредственном применении той же функции

Ляпунова v(x) =¹² x^Tx к исходной линейной неавтономной системе диффе-

ренциальных уравнений (12). Оценим полную производную функции Ляпу-

нова вдоль решений системы (12):

v(t, x(t)) = x^T(-αI + μ cos ωtG₁ + μ sin ωtG₂ + δP (t))x ≤

≤ (-α + μ + α^∗)∥x(t)∥².

Вторая теорема Ляпунова приводит к следующим достаточным условиям

асимптотической устойчивости линейной неавтономной системы (12) с мат-

рицей (14):

(16)

μ+α^∗

< α.

Например, для значений параметров μ = 1, θ = 0,1, α^∗ = 0,5 и β^∗ = 0,1

непосредственные вычисления показывают, что ζ^∗ = 0,290031, η^∗ = 0,275316,

f^∗ = 0,007515, χ^∗ = 0,043188. Условия асимптотической устойчивости (15)

приводят к оценке α ≥ 0,6, гарантирующей асимптотическую устойчивость

линейной системы (12). Условия асимптотической устойчивости (16) приво-

дят к неравенству α > 1,5. Таким образом, в этом численном примере пред-

ложенный подход приводит к менее консервативным условиям устойчивости,

чем непосредственное применение прямого метода Ляпунова к исходной си-

стеме линейных дифференциальных уравнений.

5. Заключение

Теоремы 2-5 сводят задачу об устойчивости линейной неавтономной си-

стемы (1) к решению (или оценке решений) вспомогательной задачи Ко-

ши (9) на конечном интервале времени и проверке некоторых вспомогатель-

ных матричных неравенств. Основная сложность состоит в решении зада-

чи Коши (9), поскольку матричное дифференциальное уравнение является

неавтономным. Для решения этой задачи можно, так же как и для реше-

ния нелинейного дифференциального уравнения Магнуса, применить метод

последовательных приближений. В некоторых случаях, например когда но-

минальная система близка к системе Лаппо-Данилевского, можно применять

более грубые методы — оценки нормы решения задачи Коши (9) на основе

метода интегральных неравенств. Представляет интерес также рассмотрение

других эффективных методов для решения этой вспомогательной задачи Ко-

ши, например метода замороженных коэффициентов [15] или асимптотиче-

ских методов Н.М. Крылова—Н.Н. Боголюбова—Ю.А. Митропольского [16].

Полученные условия робастной устойчивости сводятся к проверке совмест-

ности некоторых матричных неравенств. Для разрешимости этих неравенств

при достаточно малых непериодических возмущениях правых частей линей-

ной системы дифференциальных уравнений необходимо и достаточно, чтобы

была разрешима соответствующая система линейных матричных неравенств

невозмущенной системы δA(t) = 0. Для линейных систем линейных матрич-

ных неравенств разработаны эффективные численно-аналитические методы

решения.

Также в дальнейшем представляет интерес распространение предложенно-

го метода исследования на некоторые классы линейных и нелинейных систем

дифференциальных уравнений и уравнений в бесконечномерных простран-

ствах.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Доказательство леммы 1. Обозначим

{

}

{

}

{

}

f_k

= x,y^k

δf_k

= x + δx,(y + δy)^k

- x,y^k

Тогда

δfk+1 = [δf_k,y] + [f_k,δy] + [δf_k,δy],

и, переходя к оценке по норме, получим

∥δfk+1∥ ≤ ∥ad_y∥∥δf_k∥ + ∥adfk ∥∥δy∥ + 2∥δf_k∥∥δy∥ = ζ∥δf_k∥ + ∥adfk ∥∥δy∥.

Следовательно, учитывая что, δf₀ = δx, получим необходимую оценку. Лем-

ма 1 доказана.

Доказательство леммы 2. Нетрудно видеть, что функция δf(t)

является решением задачи Коши

δf(t) = [δa(t),f(t)] + [δa(t),δf(t)] + [a(t),δf(t)] + δf(t)Ψ(t)+

+f(t)δΨ(t) + δf(t)δΨ(t) + δΨ(t), δf(s) = 0.

Применяя формулу Коши, получим интегральное представление

∫t

δf(t) =

([δa(τ), f(τ)] + f(τ)δΨ(τ) + δΨ(τ)) dτ+

∫t

([δa(τ), δf(τ)] + [a(τ), δf(τ)] + δf(τ)Ψ(τ) + δf(τ)δΨ(τ)) dτ.

Следовательно,

∫t

∥δf(t)∥ ≤

(∥adf(τ)∥∥δa(τ)∥ + (1 + ∥f(τ)∥)η(τ)) dτ+

∫t

(2∥δa(τ)∥ + ∥ada(τ)∥ + ∥Ψ(τ)∥ + η(τ))∥δf(τ)∥ dτ.

Применяя лемму Гронуолла—Беллмана, приходим к утверждению леммы 2.

Доказательство теоремы 1. Обозначим через Wt0 матрицант ли-

нейной системы с импульсным воздействием (8). Прежде всего заметим, что

∏

Ωnθ0 =

Ω(k+1)θkθ =

(I + F ((k + 1)θ, kθ))

A(kθ,(k-1)θ) = Wnθ+00+0.

k=n-1

k=n

Из интегрального представления решения задачи Коши x(t, t₀, x₀) и лем-

мы Гронуолла—Беллмана [2] следует существование положительной посто-

янной N₁ такой, что

max

∥Ω^tnθ∥ ≤ N₁.

t∈[nθ,(n+1)θ]

Поэтому при всех t ∈ [nθ, (n + 1)θ] выполняется неравенство

(Π.1)

∥Ωt0∥ = ∥Ω^tnθΩnθ0∥ ≤ N₁∥Wnθ+00+0

∥.

Предположим, что линейная система дифференциальных уравнений с им-

пульсным воздействием (8) устойчива, тогда существует положительная по-

стоянная c = supt≥0 ∥Wt0+0∥, и, как следствие, supt≥0 ∥Ωt0∥ ≤ N₁c, откуда сле-

дует устойчивость линейной системы (6).

Если система дифференциальных уравнений с импульсным воздействи-

ем (8) асимптотически устойчива, то lim_n→∞ ∥Wnθ+00+0∥ = 0, тогда из неравен-

ства (Π.1) следует, что lim_t→∞ ∥Ωt0∥ = 0.

Предположим, что линейная система дифференциальных уравнений с им-

пульсным воздействием (8) неустойчива. Тогда существует y₀ ∈ R^N , y₀ = 0

такой, что supt≥0 ∥Wt0+0y₀∥ = +∞. Рассмотрим решение x(t, t₀, y₀) задачи Ко-

ши для дифференциального уравнения (6), тогда



supΩnθ0y0 = supWnθ+00+0y0 = +∞,

что доказывает неустойчивость линейной системы (6).

Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. Пусть y(t) — решение задачи Коши

для вспомогательной линейной системы дифференциальных уравнений с им-

пульсным воздействием (10). Рассмотрим функцию Ляпунова v(y) = y^TP y,

тогда при всех t ∈ (nθ, (n + 1)θ) справедлива оценка



dv



≤ -λ_min(Q)∥y(t)∥² + 2β_n∥P∥∥y(t)∥² ≤

(10)

(Π.2)

λ_min(Q) - 2β_n∥P∥

≤-

v(y(t)).

λ_max(P)

При t = (n + 1)θ для функции Ляпунова v(y) на траектории системы диффе-

ренциальных уравнений с импульсным воздействием (10) выполняется оценка

(

)

∥P ∥χ_n(2∥I + B₀∥ + χ_n)

(Π.3)

v(y(t + 0)) ≤

1 - Λ(R,P) +

v(y(t)).

λ_min(P)

Следовательно, для функции η(t) = v(y(t)) справедлива оценка

η((n + 1)θ + 0) ≤ e^-δη(nθ + 0).

Отсюда следует, что η(nθ + 0) ≤ e^-nδη(0 + 0), и асимптотическая устойчи-

вость линейной системы с импульсным воздействием (10) следует очевидным

образом. Теорема 2 доказана.

Доказательство теоремы 3. Из оценок (Π.2) и (Π.3) получим оценку

(

( (

)

∑

∥P ∥χ_n(2∥I + B₀∥ + χ_n)

η((n + 1)θ + 0) ≤ exp

1 - Λ(R,P) +

λ_min(P)

k=0

))

λ_min(Q) - 2β_n∥P∥

−

η(0 + 0).

λ_max(P)

Учитывая, что при всех x ≥ 0 справедливо неравенство ln(1+x) ≤ x, получим

оценку

⎛⎛

⎜⎜

λ_min(Q)

η(nθ + 0) ≤ exp⎜⎜ln(1 - Λ(R, P )) -

θ+

⎝⎝

λ_max(P)

⎞

∑

∥P ∥ χ_n(2∥I + B₀∥ + χ_n)

β_n∥P∥

⎟

+ k⁼⁰

θ⎟n⎟η(0 + 0).

(1 - Λ(R, P ))nλ_min(P )

nλ_max(P)

⎠

Из условия теоремы 3 следует, что существуют δ > 0 и n₀ ∈ Z₊ такие, что

при всех n ≥ n₀ следует неравенство

∥P ∥

^∑ χ_n(2∥I + B₀∥ + χ_n)

λ_min(Q)

k=0

ln(1 - Λ(R, P )) -

θ+

λ_max(P)

(1 - Λ(R, P ))nλ_min(P )

∑

β_n∥P∥

+ k⁼⁰

θ ≤ -δ.

nλ_max(P)

Следовательно, при всех n ≥ n₀ выполняется неравенство

η(nθ + 0) ≤ e-(n-n0)^δη(n₀θ + 0).

Отсюда следует асимптотическая устойчивость линейной системы дифферен-

циальных уравнений с импульсным воздействием (10).

Теорема 3 доказана.

Доказательство теоремы 4. Рассмотрим функцию Ляпунова v(y) =

= y^TPy. Обозначим через y(t) решение задачи Коши для системы (10)

с начальным условием y(0 + 0) = y₀. Обозначим η(t) = v(y(t)). Пусть t ∈

∈ (nθ, (n + 1)θ), тогда

(Π.4)

η(k)(t) = y^T(t)L^kA

Py(t),

0+δAn

∫ (n+1)θ

где введено обозначение δA_n =

δA(s) ds.

nθ

Применяя к функции η(t) формулу Тейлора, находим

∑

θ^k

θp+1

(Π.5)

η((n + 1)θ) - η(nθ + 0) =

η(k)(nθ + 0) +

η(p+1)(c_n

(p + 1)!

k=1

где c_n ∈ (nθ, (n + 1)θ). При всех ζ ∈ R^N

(

)

ζ^TL^kA

Pζ =ζ^TL^kA

Pζ+ζ^T L^kA

-L^k

Pζ ≤

0+δAn

A₀

(

)

≤ζ^TL^kA

Pζ + ∥P∥

(∥LA0 ∥ + 2β_n)^k - ∥LA0∥k ζTζ.

Поэтому с учетом условия теоремы 4

η(p+1)(c_n) = y^T(c_n)Lp+1A

Py(c_n) ≤ 0.

0+δAn

Тогда из (Π.5) следует неравенство

∑

θ^k

η((n + 1)θ) - η(nθ + 0) ≤

y^T(nθ + 0)L^kA

Py(nθ + 0) =

0+δAn

k=1

∑

θ^k

y^T(nθ)(I + RB0+δFn )LA0+δAnPy(nθ).

k=1

Рассмотрим подробнее выражение

(I + RB0+δFn)LA0+δAn=(I+RB0)LA0+(RB0+δFn-RB0)LA0⁺

+(I + RB0)(L^kA

-L^kA

0+δAn

) + (RB0+δFn ^-RB0)(LA 0+δAn ^-L^A0).

Нетрудно указать оценки

∥RB0+δFn-RB0∥≤2χn∥I+B0∥+χn,

∥L^kA

-L^kA

∥ ≤ (∥LA0∥ + 2β_n)^k - ∥LA0∥^k.

0+δAn

Следовательно,

∑

θ^k

η((n + 1)θ) - η(nθ + 0) ≤

y^T(nθ)(I + RB0 )L^kA

Py(nθ) +

k=1

^∑θ^k(

(2χ_n∥I + B₀∥ + χ2n)∥LA0 ∥^k + ∥I + RB0 ∥((∥LA0 ∥ + 2β_n)^k - ∥LA0 ∥^k)+

k=1

)

+(2χ_n∥I + B₀∥ + χ2n)((∥LA0 ∥ + 2β_n)^k - ∥LA0 ∥^k) ∥P ∥∥y(nθ)∥².

Поскольку

η(nθ + 0) - η(nθ) = y^T(nθ)RB0+δFn P y(nθ),

то

(

)

∑

θ^k

η((n + 1)θ) - η(nθ) ≤ y^T(nθ) RB0 +

(I + RB0 )L^k

A₀

Py(nθ) +

k=1

(

∑

θ^k (

+ 2χ_n∥I + B₀∥ + χ2n +

(2χ_n∥I + B₀∥ + χ2n)∥LA0 ∥^k+

k=1

+ ∥I + RB0∥((∥LA0 ∥ + 2β_n)^k - ∥LA0 ∥^k)+

)

+ (2χ_n∥I + B₀∥ + χ2n)((∥LA0 ∥ + 2β_n)^k - ∥LA0 ∥^k)

∥P ∥∥y(nθ)∥² ≤

ϵ_n

≤ -ϵ_n∥y(nθ)∥² ≤ -

η(nθ).

λ_max(P)

)η(nθ) и, как следствие, 0 < ϵ_n <

Таким образом, η((n + 1)θ) ≤ (1

ax(P )

< λ_max(P), поэтому

n∑1

ϵk

k=0

η(nθ) ≤ e^- λ

max(P ) η(0).

Из этого неравенства асимптотическая устойчивость системы (10) следует

очевидным образом.

Теорема 4 доказана.

Доказательство теоремы 5. Так же, как и при доказательстве тео-

ремы 4, применяя формулу Тейлора при t ∈ (nθ, (n + 1)θ), получим

∑

(-1)^kθ^k

η(nθ + 0) - η((n + 1)θ) =

η(k)((n + 1)θ) +

k=1

p+1

(-1)p+1θ

η(p+1)(c_n), c_n ∈ (nθ,(n + 1)θ).

(p + 1)!

Учитывая условие теоремы 5, находим при всех ζ ∈ R^N , что

(-1)^kζ^TL^kA

Pζ = (-1)^kζ^TL^kA

Pζ + (-1)^kζ^T(L^kA

-L^kA

)P ζ ≥

0+δAn

(

)

≥ (-1)^kζ^TL^kA

Pζ - ∥P∥

(∥LA0 ∥ + 2β_n)^k - ∥LA0 ∥^k

ζ^Tζ.

Поэтому

η((n + 1)θ) - η(nθ + 0) ≤

∑

θ^k

≤

(-1)k+1

y^T((n + 1)θ)L^kA

Py((n + 1)θ) ≤

0+δAn

k=1

∑

θ^k

≤

(-1)k+1

y^T((n + 1)θ)L^k Py((n + 1)θ)+_A

k=1

∑

θ^k

((∥LA0 ∥ + 2β_n)^k - ∥LA0 ∥^k)∥P ∥∥y((n + 1)θ)∥².

k=1

ϵn

Следовательно, обозначив ϵ^′n =

, получим

λmax(P )(∥I+B0∥+χn)

η((n + 1)θ + 0) - η(nθ + 0) ≤ y^T((n + 1)θ)RB0 P y((n + 1)θ) +

∑

θ^k

(-1)k+1

y^T((n + 1)θ)L^kA

Py((n + 1)θ) +

k=1

(

)

∑

θ^k

((∥LA0 ∥ + 2β_n)^k - ∥LA0 ∥^k) + 2χ_n∥I + B₀∥ + χ²

∥P ∥∥y((n + 1)θ)∥² ≤

k=1

≤ -ϵ_n∥y((n + 1)θ)∥² ≤ -ϵ^′nη((n + 1)θ + 0).

Из последнего неравенства и теоремы

1 асимптотическая устойчивость

системы (10) следует очевидным образом.

Теорема 5 доказана.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Матрицы B₂, B₃:

B₂ =

(-{P₁, P₂} + 2{P₀, P₂}),

2π

B₃ =

{P₁, P₀, P₀} -

{P₁, P₀, P₁} -

4π²

16π²

−

{P₁, P₀, P₂} -

{P₁, P₂, P₂} +

{P₁, P₂, P₀} -

24π

8π²

6π

−

{P₀, P₂, P₀} -

{P₀, P₂, P₁} +

{P₀, P₂, P₂}.

4π

24π

16π²

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных

дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1964.

2. Демидович Б.П. Лекции по теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

3. Беллман Р. Теория устойчивости дифференциальных уравнений. М.: Изд-во

иностранной литературы, 1954.

Magnus W. On the Exponential Solution of Differential equations for a Linear

Operator // Comm. Pure Appl. Math. 1954. V. VII. P. 649-673.

Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969.

Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука,

1974.

Дынкин Е.Б. О представлении ряда log(e^xe^y) от некоммутирующих x и y через

коммутаторы // Матем. сб. 1949. Т. 25 (67). № 1. C. 155-162.

Blanes S., Casas F. On the Convergence and Optimization of the Baker-Campbell-

Hausdorff Formula // Lin. Algebra Appl. 2004. V. 378. P. 135-158.

Liu X., Williams D. Stability Analisis and Applications to Large Scale Impulsive

Systems: a New Approach // Can. Appl. Math. Q. 1995. V. 3. P. 419—444.

10.

Ignat’ev A.O., Ignat’ev O.A., Soliman A.A. Asymptotic Stability and Instability of

the Solutions of Systems with Impulse Action // Math. Notes. 2006. V. 80. No. 4.

P. 491-499.

11.

Ignat’ev A.O. On the Existence of a Lyapunov Function as a Quadratic Form for

Impulsive Systems of Linear Differential Equations // Ukr. Math. J. 2011. V. 62.

No. 11. P. 1680-1689.

12.

Ignat’ev A.O. On the Equiasymptotic Stability of Solutions of Doubly Periodic

Systems with Impulse Action // Ukr. Math. J. 2008. V. 60. No. 10. P. 1528-1539.

13.

Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульс-

ным воздействием. К.: Выща шк., 1987.

14.

Двирный А.И., Слынько В.И. Применение прямого метода Ляпунова к исследо-

ванию устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с импульс-

ным воздействием // Матем. заметки. 2014. № 1. С. 22-35.

15.

Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей

Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966.

16.

Штокало И.З. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных

дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами // Ма-

тем. сб. 1946. T. 19 (61). С. 263-286.

Статья представлена к публикации членом редколлегии П.С. Щербаковым.

Поступила в редакцию 14.07.2017

После доработки 19.04.2019

Принята к публикации 24.05.2019