Автоматика и телемеханика, № 12, 2019

Нелинейные системы

В.Н. ТХАЙ, д-р физ.-мат. наук (tkhai@ipu.ru)

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ

В ОКРЕСТНОСТИ РАВНОВЕСИЯ¹

Рассматривается нелинейная автономная связанная система в окрест-

ности равновесия. Предполагается, что матрица линейной системы имеет

чисто мнимые собственные значения и отсутствуют внутренние резонан-

сы до 4-го порядка включительно. Исследуются колебания при действии

на систему периодических управлений с малым коэффициентом регуля-

тора k. Находятся изолированные резонансные колебания, в терминах па-

раметра k оцениваются амплитуды колебаний и анализируется их устой-

чивость. Показывается, что существование резонансного колебания га-

рантируется действием управления, а его асимптотическая устойчивость

определяется неуправляемой системой.

Ключевые слова: нелинейная связанная система, равновесие, резонанс,

периодическое управление, колебание, устойчивость.

DOI: 10.1134/S0005231019120031

1. Введение

В [1] введено понятие модели, содержащей связанные подсистемы

(МССП). Модель описывается системой обыкновенных дифференциальных

уравнений (ОДУ), в которой подсистемы — системы автономных ОДУ. Связь

между подсистемами задается параметром ε; при ε = 0 модель распадается на

независимые подсистемы. Таких параметров в МССП может быть один или

несколько. Параметры отражают иерархичность подсистем в МССП. Размер-

ность каждой подсистемы в МССП в общем случае индивидуальная, а сама

подсистема может быть линейной или нелинейной. В случае малых значе-

ний ε получим модель, содержащую слабо связанные подсистемы. Естествен-

ный подход к исследованию МССП, предложенный в [1], заключается в клас-

сификации подсистем по типам (динамическим свойствам), классификации

связей между подсистемами, в определении класса принадлежности МССП,

затем в постановке задачи динамики МССП и анализе этой задачи. Подход

применялся для изучения колебаний, устойчивости, стабилизации, бифурка-

ции и резонанса; результаты получались для слабо связанных МССП.

¹ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фунда-

ментальных исследований (проект № 19-01-00146).

В данной статье изучается МССП, в которой в общей ситуации связи

не будут слабыми. Предполагается, что в системе двух связанных нелиней-

ных осцилляторов отсутствуют внутренние резонансы до четвертого порядка

включительно и система подвержена действию периодического управления

с малым коэффициентом регулятора. Путем выбора частоты действующего

управления находятся условия существования и устойчивости резонансных

колебаний.

2. Резонансное колебание системы

Рассмотрим нелинейную автономную систему четвертого порядка в

окрестности положения равновесия. Предположим, что характеристическое

уравнение имеет две пары чисто мнимых корней ±λ_s, s = 1, 2. Тогда в линей-

ном приближении система распадается на независимые осцилляторы. При

учете нелинейных членов система становится связанной, причем в общей си-

туации связи будут сильными, т.е. параметр ε принимает конечные значения.

Подобная система, к примеру, возникает в [2] в окрестности равновесия свя-

занных пружиной маятников.

Структура нелинейных членов в системе существенно зависит от нали-

чия или отсутствия внутреннего резонанса, т.е. целочисленных соотношений

между корнями λ_s линейной системы:

λ₁ + χλ₂ = 0, λ₁ = iω₁, λ₂ = -iω₂, ω1,2 > 0, χ ∈ N,

где ω1,2 — частоты линейной системы. Анализ системы в окрестности равнове-

сия обычно проводится с учетом членов не выше третьего порядка малости по

переменным; выделяются внутренние резонансы низших порядков (1:1, 1:2,

1:3) и внутренние резонансы порядка выше четвертого. Поэтому отдельно

изучаются задачи для внутренних резонансов 1:1, 1:2 и 1:3, а также зада-

ча, когда отсутствуют внутренние резонансы до 4-го порядка включительно.

Последняя из задач изучается далее в статье.

Для автономной (неуправляемой) системы известен важный результат —

теорема Ляпунова о центре (см. [3, гл. VII]), который заключается в суще-

ствовании однопараметрического примыкающего к равновесию семейства пе-

риодических решений для системы, допускающей первый интеграл. Теорема

распространяется на случаи внутреннего резонанса (см. [4-8]) и обратимые

системы (см. [9, 10]). Для систем общего вида, не обладающих свойствами

гамильтоновости или обратимости, получены условия существования перио-

дических решений в ситуациях наличия внутреннего резонанса [11]. В ука-

занных исследованиях авторы решали вопрос о периодических решениях в

окрестности равновесия в рамках неуправляемой автономной модели.

Задачу реализации периодического решения в окрестности равновесия

можно ставить как задачу управления. В ней с учетом области движения Ω —

окрестности равновесия — можно использовать малое по действию управле-

ние. Подобное воздействие обеспечивается, например, малым коэффициен-

том k регулятора.

В рассматриваемой задаче управления, по сути, решается задача о вы-

нужденных колебаниях. Поэтому естественно применять периодическое по

времени управление: постоянное управление только смещает равновесие си-

стемы и не приводит к решению задачи управления.

Выбранное периодическое управление позволяет использовать известное

в теории вынужденных колебаний явление резонанса, заключающееся в том,

что действие на систему k-малой силы с частотой, равной или кратной

собственной частоте системы, вызывает в системе колебания с амплиту-

дой O(k1/α), α > 1. Получается, например, что при α = 3 для регулятора с

k = 1/1000 амплитуда колебаний в окрестности Ω становится заметной и рав-

няется O(k1/3) = 1/10. В задаче управления собственные частоты неуправ-

ляемой модели заданы, однако управляемую систему можно всегда ввести в

резонансный режим за счет произвола в частоте действующего управления.

Поэтому использование резонансного эффекта входит в постановку задачи

управления.

После данной характеристики неуправляемой системы и описания дей-

ствующего управления исследуемая система

Ż₁ = λ₁z₁ + (C₁₁|z₁|² + C₁₂|z₂|²)z₁ + Z₁(z, z) + kU₁(t),

(1)

Ż₂ = λ₂z₂ + (C₂₁|z₁|² + C₂₂|z₂|²)z₂ + Z₂(z, z) + kU₂(t),

Z₁ = O(|z|⁴), Z₂ = O(|z|⁴),

записывается в комплексных переменных z₁, z₂; черта над z означает со-

пряжение; группа уравнений для z₁, z₂ опущена. В (1) не зависящая явно от

времени часть системы приведена к нормальной форме до членов третьего по-

рядка включительно; C_sj = a_sj + ib_sj — комплексные постоянные. Что касает-

ся управления, то U₁(t) и U₂(t) представляются функциями фиксированного

периода 2π, что оказывается удобным на этапе получения результатов. Так

система (1) анализируется для различных значений λ, а резонасный режим

достигается за счет изменения собственных частот: суть задачи не зависит

от способа достижения резонансного режима. Для заданной неуправляемой

системы полученный результат интерпретируется как если бы режим был

достигнут за счет изменения частоты управления. При исследовании резо-

нансных колебаний получается, что коэффициент k ∼ |z|³. При такой оценке

результат о резонансных колебаниях получается для k ∈ (0, k^∗), где число k^∗

для заданной неуправляемой системы вполне определено.

В выписанной части системы (1) две подсистемы (по переменным z₁ и z₂

соответственно) связываются ненулевыми коэффициентами C₁₂ и C₂₁. В слу-

чае когда в системе (1) коэффициенты C₁₂ ∼ ε, C₂₁ ∼ ε, получается слабо

связанная периодическая система с двумя параметрами k и ε.

Заметим, что вопрос об изолированных колебаниях в случае системы Ля-

пунова решался коррекцией автономной модели и переходом к периодической

системе (см. [3, гл. VIII]): полученная модель изучалась в рамках теории воз-

мущений. В этой системе резонансные колебания совершает только одна под-

система (амплитуда колебаний равна O(k1/3)), амплитуда колебаний в другой

подсистеме равняется O(k). В случае несовпадения чисел ω1,2 с натуральным

числом по теореме Пуанкаре [3, с. 378] система (1) имеет единственное 2π-пе-

риодическое решение с амплитудой O(k).

3. Случай одной натуральной частоты

Пусть ω₁ = p₁, p₁ ∈ N, а ω₂ не является натуральным числом (ω₂ ∈ N).

В системе (1) выполним преобразование z₁ = w₁ exp (ip₁t), z₂ = w₂. Далее,

выделяя действительные и мнимые части переменных w₁, w₂, запишем урав-

нения в действительных переменных x_s, y_s (s = 1, 2). Получается система:

x₁ = f₁(x₁,y₁,x₂,y₂) + X₁(x₁,y₁,x₂,y₂,t) + kF₁(t),

y₁ = g₁(x₁,y₁,x₂,y₂) + Y₁(x₁,y₁,x₂,y₂,t) + kG₁(t),

(2)

x₂ = ω₂y₂ + f₂(x₁,y₁,x₂,y₂) + X₂(x₁,y₁,x₂,y₂,t) + kΞ₂(t),

y₂ = -ω₂x₂ + g₂(x₁,y₁,x₂,y₂) + Y₂(x₁,y₁,x₂,y₂,t) + kH₂(t).

Явный вид функций f_s, g_s, F₁, G₁, Ξ₂, H₂ системы (2) приводится в При-

ложении (п.a), а не выписанные явно функции X_s, Y_s находятся из равенств

X_s + iY_s = Z_s, s = 1,2.

Для выделения в (2) слагаемых, отвечающих за резонансное колебание,

выполняется масштабирование

(3)

(x₁, y₁) → k1/3(x₁, y₁), (x₂, y₂) → k2/3(x₂, y₂

Тем самым получается система:

x₁ = k2/3[f₁₁(x₁,y₁) + F₁(t)] + O(k),

y₁ = k2/3[g₁₁(x₁,y₁) + G₁(t)] + O(k),

(4)

x₂ = ω₂y₂ + k1/3Ξ₂(t) + O(k2/3),

y₂ = -ω₂x₂ + k1/3H₂(t) + O(k2/3).

К системе (4) применима теорема существования периодических решений,

установленная в [12, теорема 5]. В самом деле, при k = 0 подсистема урав-

нений для переменных x₂, y₂ имеет единственное — нулевое 2π-периодиче-

ское решение. Что касается переменных x₁, y₁, то по ним начальная точка

(x⁰¹, y⁰¹, 0, 0) для периодического решения находится из амплитудных уравне-

ний:

f₁₁(x₁,y₁) + Ix1(2π) = 0, g₁₁(x₁,y₁) + Iy1(2π) = 0,

∫t

∫

(5)

Ix1(t) = F₁(τ)dτ, Iy1 = G₁(τ)dτ.

Эта система имеет единственное решение

Iy1b₁₁ - Ix1a₁₁

x⁰¹ = -√

2π(a²¹¹ + b²¹¹)[(Ix1b₁₁ - Iy1a₁₁)² + (Iy1b₁₁ + Ix1a₁₁)²]

(6)

Ix1b₁₁ + Iy1a₁₁

y⁰¹ = -√

2π(a²¹¹ + b²¹¹)[(Ix1b₁₁ - Iy1a₁₁)² + (Iy1b₁₁ + Ix1a₁₁)²]

которое существует при

(7)

|Ix1| + |Iy1

|=0

и является простым корнем системы (5).

Применим к системе (4) общую теорему из [12, теорема 5] о существо-

вании периодических решений системы с параметром. В результате в силу

простоты корня (6) доказывается существование 2π-периодического решения

в системе (4). С учетом примененного масштабирования (3) получается, что

(1) допускает резонансное 2π-периодическое колебание, на котором

z₁ = (x₁ + iy₁)exp(ip₁t),

∫t

[

]

x₁ = k1/3x⁰¹ + k

f₁₁(x⁰¹,y⁰¹) + F₁(τ)

dτ + o(k),

(8)

∫t

[

]

y₁ = k1/3y⁰¹ + k

g₁₁(x⁰¹,y⁰¹) + G₁(τ)

dτ + o(k),

x₂ = kx∗2(t) + o(k), y₂ = ky∗2(t) + o(k),

где x∗2(t), y∗2(t) — решение второй подсистемы в (4) при k = 0.

Таким образом, доказывается существование резонансного колебания, от-

вечающего натуральной частоте. Это колебание существует для k ∈ (0, k^∗)

без каких-либо дополнительных, помимо (7), ограничений на действующее

управление.

Отметим, что результат о реализации в управляемой системе резонанс-

ного колебания амплитуды O(k1/3) качественно такой же, как и в системе

Ляпунова.

Исследуем устойчивость колебания (8) или, что то же самое, устойчивость

соответствующего колебания системы (4). Для этого выпишем уравнения в

вариациях

δ x₁ = k2/3[ξ₁₁δx₁ + ξ₁₂δy₁] + O(k),

δy₁ = k2/3[ξ₂₁δx₁ + ξ₂₂δy₁] + O(k),

(9) δ x₂ = ω₂δy₂ + k2/3(η₁₁δx₂ + η₁₂δy₂) + o(k2/3),

δ y₂ = -ω₂δx₂ + k2/3(η₂₁δx₂ + η₂₂δy₂) + o(k2/3),

где формулы для вычисления ξ_sj и η_sj даются в Приложении (п.б). Видно,

что система (9) с точностью до выписанных слагаемых распадается на две

подсистемы. Поэтому условия асимптотической устойчивости даются систе-

мой неравенств:

c₁ = ξ₁₁ + ξ₂₂ < 0, d₁ = ξ₁₁ξ₂₂ - ξ₁₂ξ₂₁ > 0,

c₂ = η₁₁ + η₂₂ < 0, d₂ = k4/3(η₁₁η₂₂ - η₁₂η₂₁) + ω²² > 0.

Для исследуемого колебания (8) выполняется неравенство |x⁰¹| + |y⁰¹| = 0.

Поэтому из формул для ξ_sj, η_sj следует, что c₁ < 0, а неравенство c₂ < 0 спра-

ведливо, когда a₂₁ < 0. Так же, имея в виду малое значение параметра k,

выводится, что d₂ > 0.

Таким образом, условия асимптотической устойчивости резонансного ко-

лебания (8) сводятся к неравенствам

(10)

a₁₁ < 0, d₁ > 0, a₂₁

< 0.

Теорема 1. В случае когда ω₁ = p₁, ω₂ = p₂, p₁,p₂ ∈ N, система (1) все-

гда допускает единственное 2π-периодическое резонансное колебание

(8).

При k ∈ (0, k^∗) колебания образуют k-семейство, примыкающее к равнове-

сию. Достаточные условия асимптотической устойчивости колебания да-

ются неравенствами (10).

Замечание 1. Из теоремы 1 следует, что натуральной частоте ω₁ в свя-

занной управляемой системе общего вида отвечает единственное резонансное

колебание.

Замечание 2. Асимптотическая устойчивость резонансного колеба-

ния (8) определяется только свойствами неуправляемой системы.

4. Cохранение резонансного колебания в системе

с двумя натуральными частотами

Рассмотрим случай, когда обе частоты — натуральные числа:

ω₁ = p₁, ω₂ = p₂, p₁,p₂ ∈ N.

Возникает вопрос, сохраняется ли резонансное колебание вида (8) в такой

системе. Чтобы на него ответить, сначала выполним преобразование z₁ =

= w1 exp(ip₁t), z₂ = w2 exp(-ip₂t). Тогда получим 2π-периодическую систе-

му вида (2), где уже нет линейных по переменным w₁ и w₂ членов. Далее

выделим действительные и мнимые части: w_s = x_s + iy_s, s = 1, 2. Наконец,

воспользуемся масштабированием:

(11)

(x_s, y_s) → k1/3(x_s, y_s

s = 1,2.

В результате всех действий получим систему:

x_s = k2/3[f_s(x₁,y₁,x₂,y₂) + F_s(t)] + o(k2/3),

(12)

y_s = k2/3[g_s(x₁,y₁,x₂,y₂) + G_s(t)] + o(k2/3).

Используемые в (12) функции f_s, g_s, F_s и G_s, s = 1, 2, даются в Приложе-

нии (п.a). Для функций f₂ и g₂ выполняются равенства:

f₂(x₁,y₁,0,0) ≡ 0, g₂(x₁,y₁,0,0) ≡ 0.

Поэтому система амплитудных уравнений

2π

∫

[f_s(x₁, y₁, x₂, y₂) + F_s(t)]dt = 0,

[g_s(x₁, y₁, x₂, y₂) + G_s(t)]dt = 0,

(13)

s = 1,2,

при условии нулевых средних значений F₂ и G₂ допускает простой корень

(x⁰¹, y⁰¹, 0, 0). При этом числа x⁰¹, y⁰¹ по-прежнему даются формулами (6). Сле-

довательно, согласно общему результату [12, теорема 5], примененному к си-

стеме (12), выводится следующая теорема 2.

Теорема 2. В случае когда ω₁ = p₁, ω₂ = p₂, p₁,p₂ ∈ N, в системе (1)

сохраняется резонансное колебание (8), если средние значения управлений

F₂(t) и G₂(t) на периоде равны нулю. При k ∈ (0,k^∗) колебания образуют

k-семейство, примыкающее к равновесию.

Следствие. Для системы с двумя натуральными частотами управ-

ление в общем случае не приводит к рождению резонансного колебания по

одной переменной.

Замечание 3. Исследование устойчивости резонансного колебания (8) в

случае двух натуральных частот проводится как в разделе 3.

5. Резонансное колебание всей системы

Рассматривая по-прежнему случай двух резонансных частот, перейдем к

исследованию колебания, в котором равноправно участвуют все переменные.

Для доказательства существования колебания всей системы воспользуемся

уравнениями (12). Теперь составим систему амплитудных уравнений (13).

Наконец, используя общую теорему [12, теорема 5, следствие], получим: каж-

дому простому корню амплитудного уравнения (13) отвечает изолированное

резонансное колебание системы (1). Это — решение, которое с учетом мас-

штабирования (11) принимает вид:

z_s = w_s exp ((-1)s+1ip_st),

∫t

[

]

x_s = k1/3x0s + k

f_s(x⁰¹,y⁰¹,x⁰²,y⁰²) + F_s(τ)

dτ + o(k),

(14)

∫t

[

]

y_s = k1/3y0s + k

g_s(x⁰¹,y⁰¹,x⁰²,y⁰²) + G_s(τ)

dτ + o(k), s = 1, 2.

Таким образом, доказывается существование резонансного 2π-периоди-

ческого колебания, в котором каждая из переменных z₁ и z₂ колеблется с

амплитудой порядка k1/3.

Замечание 4. Амплитудные уравнения иногда удобно записывать и

анализировать для системы (1) в следующем виде:

∫2π

(C₁₁|z⁰¹|² + C₁₂|z⁰²|²)z⁰¹ + U₁(t)dt = 0,

∫2π

(C₂₁|z⁰¹|² + C₂₂|z⁰²|²)z⁰² + U₂(t)dt = 0.

В результате находится начальная точка (z⁰¹, z⁰²) для колебания (14).

Перейдем к задаче устойчивости резонансного колебания (14). Составля-

ются уравнения в вариациях

]

^[∂f_s

∂f_s

δx_s =k5/3

δx₁ +

δy₁ +

δx₂ +

δy₂

+ o(k5/3),

∂x₁

∂y₁

∂x₂

∂y₂

(15)

]

^[∂g_s

∂g_s

δy_s =k5/3

δx₁ +

δy₁ +

δx₂ +

δy₂

+ o(k5/3), s = 1, 2,

∂x₁

∂y₁

∂x₂

∂y₂

где частные производные вычисляются в начальной точке (x⁰¹, y⁰¹, x⁰², y⁰²), от-

вечающей резонансному колебанию (14). Тогда с точностью до выписанных

членов получается задача об устойчивости нулевого решения линейной си-

стемы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей A. Пусть соб-

ственные значения ρ матрицы A принадлежат левой полуплоскоcти. Тогда

слагаемые o(k5/3) не повлияют на расположение характеристеских показате-

лей в левой полуплоскости, которые в первом по k приближении совпадают

с числами ρ. Следовательно, по второй теореме Боголюбова [13, ч.1, § 5, тео-

рема II] колебание — асимптотически устойчиво.

В результате приходим к следующей теореме 3.

Теорема 3. В случае натуральных частот ω₁ = p₁, ω₂ = p₂, p₁,p₂ ∈ N,

связанная управляемая система (1) допускает 2π-периодическое резонансное

колебание (14), в котором каждая из переменных z₁ и z₂ колеблется с ам-

плитудой O(k1/3); начальная точка (z⁰¹, z⁰²) для колебания дается простым

корнем амплитудного уравнения (13). При k ∈ (0,k^∗) колебания образуют

k-семейство, примыкающее к равновесию. Колебание будет асимптотиче-

ски устойчивым, если все собственные значения матрицы A принадлежат

левой полуплоскости.

Замечание 5. Теорема 3 справедлива независимо от величины связи.

Замечание 6. Решение амплитудного уравнения (13) не совпадает с

равновесием, если средние значения всех функций F_s(t), G_s(t) отличны от

нуля.

Замечание 7. Матрица A системы (15) составляется из частных произ-

водных от функций f_s, g_s, которыми задается автономная (неуправляемая)

система. Следовательно, устойчивость резонансного колебания управляемой

системы определяется свойствами неуправляемой системы.

Замечание 8. В ситуации, когда собственные значения матрицы A при-

надлежат левой полуплоскости, резонансное колебание управляемой системы

наследует свойство устойчивости равновесия.

6. Слабо связанные системы

Рассмотрим сначала предельный случай ε = 0. Тогда C₁₂ = C₂₁ = 0 и

функции в системе (12) приобретают вид:

f_s = (a_ssx_s + b_ssy_s)(x2s + y2s), g_s = (a_ssy_s - b_ssx_s)(x2s + y2s), s = 1,2.

При каждом значении индекса s имеем вынужденные колебания одной

системы, исследованной в [14]. Поэтому, используя полученные в [14] резуль-

таты, в невырожденном случае

|I_xs| + |I_ys| = 0, s = 1, 2,

из теоремы 3 получаем результат о наличии в k-связанной системе (1) ре-

зонансного колебания (14). При этом координаты начальной точки даются

формулами:

I_ysb_ss - I_xsa_ss

x0s =

√

2π(a2ss + b2ss)[(I_xsb_ss + I_ysa_ss)² + (I_ysb_ss - I_xsa_ss)²]

(16)

-(I_xsb_ss + I_ysa_ss)

y0s =

√

s = 1,2,

2π(a2ss + b2ss)[(I_xsb_ss + I_ysa_ss)² + (I_ysb_ss - I_xsa_ss)²]

а условие асимптотической устойчивости колебания сводится к выполнению

неравенств a_ss < 0, s = 1, 2.

Перейдем теперь к слабо связанным системам: C₁₂ ∼ ε, C₂₁ ∼ ε. Здесь мат-

рица A(ε) системы (15) зависит от ε и при ε = 0 превращается в матрицу A(0),

распадающуюся на две матрицы (2 × 2). Поэтому при малых значениях ε

собственные значения матрицы A(ε) остаются в левой полуплоскости, если

они лежали в левой полуплоскости при ε = 0. Далее, в первом приближении

по k характеристические показатели системы (15) совпадают с собственными

значениями матрицы A(ε). Следовательно, для слабо связанной системы (1)

теорема 3 формулируется следующим образом.

Теорема 4. В случае натуральных частот ω₁ = p₁, ω₂ = p₂, p₁,p₂ ∈ N,

слабо связанная управляемая система (1) допускает 2π-периодическое ре-

зонансное колебание (14), в котором каждая из переменных z₁ и z₂ колеб-

лется с амплитудой O(k1/3); начальные точки (z⁰¹, z⁰²) даются простыми

корнями амплитудного уравнения (13). При k ∈ (0, k^∗) колебания образуют

k-семейство, примыкающее к равновесию. Достаточные условия устойчи-

вости колебания сводятся к выполнению неравенств a_ss < 0, s = 1, 2.

Замечание 9. В частном случае C₁₂ = C₂₁ = 0 получаем слабо связан-

ную систему с одним параметром связи k, которая может служит примером

к теореме 3.

Замечание 10. Другие частные случаи — связанные уравнения второго

порядка, обратимые системы, гамильтоновы системы — также представляют

интерес.

Замечание 11. Теоремы 1-4 сохраняют справедливость в общем случае,

когда частоты (частота) k-близки к натуральным числам.

Замечание 12. Теоремы 1-4 справедливы для достаточно малых значе-

ний параметра k.

7. Пример

Система с двумя натуральными частотами в разделе 6 рассматривалась

при условиях C₁₂ ∼ ε и C₂₁ ∼ ε (слабо связанная система). Рассмотрим при-

мер, в котором коэффициенты C₁₂ и C₂₁ — конечные числа (сильная связь).

Предполагается, что a_ss = 0, b_ss = 0, s = 1, 2.

Поставим задачу о реализации в управляемой системе колебания с цен-

тром в заданной точке E плоскости (x₁, x₂). Для решения задачи подчиним

управление условиям

F₁b₁₂ +G1a₁₂ = 0,

F₂b₂₁ +G2a₂₁ = 0.

Далее из системы амплитудных уравнений (13)

(a₁₂x₁ - b₁₂y₁)(x²² + y²²)

F₁, (a₁₂y₁ + b₁₂x₁)(x²² + y²²) =G1,

(a₂₁x₂ - b₂₁y₂)(x²¹ + y²¹)

F₂, (a₂₁y₂ + b₂₁x₂)(x²¹ + y²¹) =G2

найдем координаты точки E(x⁰¹, y⁰¹):

x⁰¹ = (P²²/P₁)1/3, y⁰¹ = 0, x⁰² = (P²¹/P₂)1/3, y⁰² = 0,

F₁a₁₂ +G1b₁₂

F₂a₂₁ +G2b₂₁

P₁ =

P₂ =

a²¹² + b²¹²

a²²¹ + b²

Видно, что найден простой корень амплитудного уравнения. Поэтому со-

гласно теореме 3 в управляемой системе реализуется колебание (14) с началь-

ной точкой E.

8. Заключение

В задаче колебаний в окрестности равновесия, в которой линейное прибли-

жение распадается на независимые осцилляторы, возникает сильно связанная

нелинейная автономная система. В зависимости от наличия или отсутствия

внутреннего резонанса между собственними частотами системы получаются

разные задачи о колебаниях. Ляпунов и другие исследователи, оставаясь в

рамках автономной модели, построили периодические решения в окрестности

равновесия гамильтоновых систем и обратимых систем. Для систем общего

вида, которые не стеснены дополнительными условиями типа гамильтоново-

сти и т.п., колебания в окрестности равновесия можно реализовать посред-

ством периодического управнения с малым коэффициентом регулятора k.

При этом управляемая система вводится в резонансный режим, в котором

собственные частоты неуправляемой системы совпадают или кратны частоте

действующего периодического управления: возникают колебания амплиту-

ды O(k1/α), α > 1.

В задаче, где отсутствуют внутренние резонансы до 4-го порядка вклю-

чительно, получаются такие результаты. В системе с одной натуральной ча-

стотой p ∈ N соответствующая этой частоте подсистема совершает колебания

с амплитудой O(k1/3); амплитуда колебаний второй подсистемы равна O(k).

В системе с двумя натуральными частотами обе подсистемы вовлекаются в

колебание с амплитудой одинакового порядка O(k1/3). При k ∈ (0, k^∗) ко-

лебания образуют k-семейство, примыкающее к равновесию. Существование

резонансного колебания гарантируется действием управления, его асимпто-

тическая устойчивость определяется неуправляемой системой.

ПРИЛОЖЕНИЕ

a. Правые части системы (2) и (12):

Fs = Ξs(t) cos pst + (-1)^sHs(t) sin pst, Gs = (-1)^sΞs(t) sin pst + Hs(t) cos pst,

U_s = Ξ_s + iH_s, f_s = fs1 + fs2, g_s = gs1 + gs2, s = 1,2,

f₁₁ = (a₁₁x₁ - b₁₁y₁)(x²¹ + y²¹), f₁₂ = (a₁₂x₁ - b₁₂y₁)(x²² + y²²),

g₁₁ = (a₁₁y₁ + b₁₁x₁)(x²¹ + y²¹), g₁₂ = (a₁₂y₁ + b₁₂x₁)(x²² + y²²),

f₂₁ = (a₂₁x₂ - b₂₁y₂)(x²¹ + y²¹), f₂₂ = (a₂₂x₂ - b₂₂y₂)(x²² + y²²),

g₂₁ = (a₂₁y₂ + b₂₁x₂)(x²¹ + y²¹), g₂₂ = (a₂₂y₂ + b₂₂x₂)(x²² + y²²).

б. Формулы для системы (9):

ξ₁₁ = 3a₁₁(x⁰¹)² +a₁₁(y⁰¹)² -2b₁₁x⁰¹y⁰¹, ξ₁₂ = -b₁₁(x⁰¹)² -3b₁₁(y⁰¹)² +2a₁₁x⁰¹y⁰¹,

ξ₂₁ = 3b₁₁(x⁰¹)² +b₁₁(y⁰¹)² +2a₁₁x⁰¹y⁰¹, ξ₂₂ = a₁₁(x⁰¹)² +3a₁₁(y⁰¹)² +2b₁₁x⁰¹y⁰¹,

η₁₁ = a₂₁((x⁰¹)² +(y⁰¹)²), η₁₂ = -b₂₁((x⁰¹)² +(y⁰¹)²), η₂₁ = -η₁₂, η₂₂ = η₁₁.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тхай В.Н. Модель, содержащая связанные подсистемы // АиТ. 2013. № 6.

С. 32-41.

Tkhai V.N. Model with Coupled Subsystems // Autom. Remote Control. 2013. V. 74.

No. 6. P. 919-931.

2. Евдокименко А.П. О равновесных конфигурациях двух связанных маятников и

их устойчивости // Изв. РАН. МТТ. 2017. № 3. C. 47-58.

3. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. M.: ГТТЛ, 1956.

4. Roels J. An Extension to Resonant Case of Liapunov’s Theorem Concerning the

Periodic Solytions near a Hamiltonian Equilibrium // J. Diff. Equat. 1971. V. 9.

No. 2. P. 300-324.

5. Roels J. Families of Periodic Solutions near Hamiltonian Equilibrium when the Ratio

of Two Eigenvalues is 3 // J. Diff. Equat. 1971. V. 10. No. 3. P. 431-447.

6. Sweet D. Periodic Solutions for Dynamical Systems Possessing a Fisrt Integral in the

Resonant Case // J. Diff. Equat. 1973. V. 14. No. 1. P. 171-183.

7. Henrard J. Liapunov’s Center Theorem for Resonant Equilibrium // J. Diff. Equat.

1973. V. 14. No. 3. P. 431-441.

8. Schmidt D.S. Periodic Solutions near a Resonant Equilibrium of the Hamiltonian

System // Celest. Mech. 1974. V. 9. No. 1. P. 81-101.

9. Devaney R.L. Reversible Diffeomorphisms and Flows // Trans. Amer. Math. Soc.

1976. V. 218. P. 89-113.

10. Тхай В.Н. Ляпуновские семейства периодических движений в обратимой систе-

ме // Прикл. матем. механ. 2000. Т. 64. Вып. 1. С. 56-72.

11. Тхай В.Н. Цикл в системе, близкой к резонансной системе // Прикл. матем.

механ. 2004. T. 68. Вып. 2. С. 254-272.

12. Тхай В.Н. О методе Ляпунова-Пуанкаре в теории периодических движений //

Прикл. матем. механ. 1998. Т. 62. Вып. 3. С. 355-371.

13. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике.

Киев: Акад. Наук Укр. ССР, 1945.

14. Тхай В.Н. Вынужденные резонансные колебания нелинейной автономной систе-

мы в окрестности равновесия // АиТ. 2010. № 11. С. 112-119.

Tkhai V.N. Forced Resonant Oscillations of Nonlinear Autonomous System in

Equilibrium Neighborhood // Autom. Remote Control. 2010. V. 71. No. 11. P. 2360-

2366.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Л.Б. Рапопортом.

Поступила в редакцию 28.03.2019

После доработки 12.04.2019

Принята к публикации 25.04.2019