Автоматика и телемеханика, № 12, 2019

(Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова)

ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КАЛИБРОВКИ

БЛОКА НЬЮТОНОМЕТРОВ¹

В рамках гарантирующего подхода к оцениванию предлагается новая

формализация задачи калибровки блока ньютонометров. Эта задача сво-

дится к анализу специальных вариационных задач. На основании новой

формализации обосновывается метод скаляризации, широко используе-

мый при калибровке блока ньютонометров. В частности, определена гра-

ница его применимости.

Ключевые слова: гарантирующий подход к оцениванию, блок ньютоно-

метров, калибровка.

DOI: 10.1134/S0005231019120043

1. Введение

Гарантирующий подход к оцениванию в так называемой априорной поста-

новке впервые был сформулирован в классических работах [1-3] (см. так-

же [4]). В дальнейшем он был развит в [5, 6] в связи с решением задач

космической баллистики (см. также [7, 8]). Оказалось, что гарантирующий

подход при небольшой модификации является очень удобным инструментом

для формализации задачи калибровки блока ньютонометров [9, 10], который

представляет собой один из главных сенсоров инерциальной навигационной

системы [11, 12]. При калибровке блока ньютонометров в случае грубой ин-

формации об угловых положениях стенда традиционно применяется метод

скаляризации. Впервые в доступной литературе он был предложен в [13]

(см. также [14, 15]). Немного позже автором данной статьи независимо был

предложен аналогичный подход, приводящий к тем же расчетным соотноше-

ниям; впоследствии он был представлен в [16].

В данной работе в рамках гарантирующего подхода предлагается новая

формализация задачи калибровки блока ньютонометров, основанная на ана-

лизе специальных вариационных задач. Указывается связь предлагаемой

формализации с методом скаляризации и определяется граница применимо-

сти этого метода. Краткая версия работы представлена в [17].

2. Формализация задачи калибровки

2.1. Калибровка блока ньютонометров

В идеале три ньютонометра должны быть установлены строго по осям

так называемого приборного трехгранника, положение которого фиксирова-

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект № 18-01-00054-а).

но в корпусе бесплатформенной инерциальной навигационной системы. Тра-

диционная модель показаний реального (неидеального) блока ньютонометров

имеет вид [10, 12]

(1)

f^′ = (I₃ + Γ)f_z + Δf⁰ + ϱ^′,

где f^′ ∈ R³ - показания блока ньютонометров; I₃ ∈ R3×3 - единичная мат-

рица; Γ ∈ R3×3 - матрица погрешностей блока (диагональные элементы ко-

торой характеризуют ошибки масштабных коэффициентов, а внедиагональ-

ные - несоосности ньютонометров); f_z ∈ R³ - вектор удельной силы, дей-

ствующей на чувствительную массу блока в проекциях на приборный трех-

гранник (эта сила является разностью между силой, действующей на массу

со стороны подвеса, и силой тяготения; если блок неподвижен относительно

Земли, что имеет место при рассматриваемых здесь статических испытаниях,

то она равна ускорению силы тяжести в точке проведения экспериментов с

обратным знаком) [11]; Δf⁰ ∈ R³ - систематические смещения показаний бло-

ка, ϱ^′ ∈ R³ - флуктуационная составляющая ошибок измерений. Величина f_z

является “полезным” сигналом для функционирования инерциальной навига-

ционной системы, который надо извлечь из измерений f^′. Неизбежные пара-

метрические ошибки Γ и Δf⁰ мешают этому. Определение величин Γ и Δf⁰

составляет цель калибровки. Для этого блок ньютонометров устанавлива-

ют в различные угловые положения относительно силы тяжести, составляя

систему уравнений для нахождения указанных ошибок. Главная проблема

состоит в определении набора этих угловых положений. Поскольку проведе-

ние калибровочных экспериментов технологически не простая процедура, то

количество таких положений желательно сократить.

Для удобства нормализуем соотношение (1), разделив его на модуль уско-

рения силы тяжести g, который для простоты будет считаться точно извест-

ным. Неточность в его знании, конечно, можно учесть, но это не повлияет ни

на какие принципиальные выводы. Тогда (1) представится в виде

f^′

(2)

= (I₃ + Γ) n_z + ε + ϱ,

∥n_z

∥ = 1,

f_z

Δf

ϱ^′

n_z =

ε=

ϱ=

Приближенное знание о единичном векторе n_z ориентации приборного трех-

гранника относительно ускорения силы тяжести определяется по измерени-

ям углов поворота стенда. Обозначим через n наше знание об n_z (n точ-

но известно). Опишем неточность в этом знании вектором малого поворота

α = col(α₁,α₂,α₃) с неизвестными, но ограниченными известной величиной μ

компонентами. Тогда с точностью до малых второго порядка

⎛

⎞

α₃

-α₂

n_z = (I₃ + α) n,

α = ^⎝ -α₃

α₁

⎠_,

|α_i| ≤ μ, i = 1, 2, 3.

α₂

-α₁

Будем считать, что компоненты ошибок измерений показаний ньютономет-

ров ϱ = col(ϱ₁, ϱ₂, ϱ₃) также ограничены известной величиной σ. Вводя новую

точно известную величину z(n) = g-1f^′(n) - n ∈ R³, соотношение (2) можно

переписать в виде

(

)

(3)

z(n) =

Γ + α(n)

n + ε + ϱ(n), n ∈ S (S - единичная сфера)

при условиях

(4)

|α_i(n)| ≤ μ,

|ϱ_i

(n)| ≤ σ, i = 1, 2, 3.

Тогда задача калибровки принимает вид задачи оценивания, в которой по

континууму всех измерений z(n) на единичной сфере, определяемых уравне-

нием (3), требуется найти элементы Γ и ε на фоне помех α(n) и ϱ(n), огра-

ниченных условиями (4).

2.2. Метод гарантирующего оценивания

Рассмотрим векторные измерения (3), (4), в которых помехи α(n) и ϱ(n)

являются всюду определенными на S интегрируемыми по Лебегу функциями

с ограниченными компонентами. Представим набор элементов неизвестной

матрицы Γ в виде удлиненного вектора-столбца

(5)

γ = col(Γ₁₁,Γ₂₁,Γ₃₁,Γ₁₂,Γ₂₂,Γ₃₂,Γ₁₃,Γ₂₃,Γ₃₃)

и введем вектор неизвестных оцениваемых параметров q = col (γ, ε) ∈ R¹².

Поставим задачу оценивания скалярной величины l = a^Tq ∈ R¹ для различ-

ных заданных векторов a ∈ R¹². В рассматриваемой задаче a = e(ν), где

e(ν) - один из единичных координатных ортов из R¹² с единицей на ν-м ме-

сте, (что соответствует оценке каждой компоненты q) или a = e⁽²⁾ + e⁽⁴⁾,

a = e⁽³⁾ + e⁽⁷⁾, a = e⁽⁶⁾ + e⁽⁸⁾ (что соответствует оценке взаимных перекосов

осей чувствительности ньютонометров [10]). Рассмотрим линейные оценива-

тели для l = a^Tq вида

∫

∑

(6)

^l= Φ^T0(n)z(n)dS + Φ(k)Tz(n(k)

k=1

где интеграл берется по поверхности сферы S, Φ₀(n): S → R³ - некото-

рая весовая функция, интегрируемая по Лебегу, а Φ(k) ∈ R³ и n(k) ∈ S,

k = 1,...,M - некоторые векторы и ориентации. В отличие от широко рас-

пространенной формы оценивателя этот оцениватель содержит не только ин-

тегральный член, но и слагаемые, зависящие от измерений при некоторых

отдельных ориентациях.

Для простоты будем писать

∫

∑

^l= Φ^T(n)z(n)dS, Φ(n) = Φ₀(n) + Φ(k)δ(n - n(k)),

k=1

∫

где формально положим

f (n)δ(n-n(k)) dS = f(n(k)), т.е., что δ(n-n(k)) есть

дельта-функция Дирака. Обозначим множество всех таких функций Φ(n) че-

рез F.

Величина

(7)

I(Φ) =

sup

- l|

q∈R¹², |α_i(n)|≤μ, |ϱ_i(n)|≤σ, i=1,2,3

называется гарантированной ошибкой оценки.

При выбранном оценивателе это - максимальное значение ошибки оценки

при всевозможных значениях неопределенных факторов. Будем искать весо-

вые коэффициенты Φ(n), минимизирующие гарантированную ошибку оцен-

ки, т.е. искать из решения следующей минимаксной задачи:

(8)

inf

sup

- l|.

Φ∈F q∈R¹², |α_i(n)|≤μ, |ϱ_i(n)|≤σ, i=1,2,3

Такая задача называется задачей оптимального гарантирующего оценивания.

Таким образом, для решения задачи калибровки нужно решить 15 отдель-

ных задач для всех указанных выше a. Интересно отметить, что привлечение

нелинейных оценивателей в дополнение к линейным оценивателям вида (6)

не приводит к уменьшению гарантированной ошибки оценки (см. раздел 6),

т.е. можно ограничиться линейными оценивателями.

Получим явное выражение для гарантированной ошибки оценки (7).

Ошибка оценки имеет вид

∫ (

)

(9)

l- l = Φ^T(n)(Γ + α(n)) n + Φ^T(n)ε + Φ^T(n)ϱ(n) dS - a^T

(∫

)_T

(∫

)_T

= n ⊗ Φ(n)dS γ + Φ(n)dS ε +

∫

(n Φ(n))T α(n)dS + Φ^T(n)ϱ(n)dS - a^Tq,

где γ определяется (5), а ⊗ есть символ кронекеровского произведения мат-

риц [18]. В (9) использованы известные матричные свойства:

(

)

Φ^T(n)Γn = n^T ⊗ Φ^T(n) γ = (n ⊗ Φ(n))^T γ

(

)_T

Φ^T(n) α(n)n = -Φ^T(n) n α(n) = -

n^TΦ(n)

α(n) = (n Φ(n))^T α(n).

Из (9) следует, что для конечности выражения (7) необходимо выполнение

условия

∫ (

)

n ⊗ Φ(n)

(10)

dS = a.

Φ(n)

Оно называется условием несмещенности: при равных нулю помехах из-

мерений α(n) и ϱ(n) оценка^l совпадает с точным значением оцениваемого

параметра l. Введем покомпонентные обозначения:

Φ(n) = col (Φ₁(n), Φ₂(n), Φ₃(n)) , n = col (n₁, n₂, n₃) .

Ясно, что при выполнении условия несмещенности верхняя грань в (7) до-

стигается при

α₁(n) = μ sign(n₃Φ₂(n) - n₂Φ₃(n)) , α₂(n) = μ sign(n₁Φ₃(n) - n₃Φ₁(n)) ,

α₃(n) = μ sign(n₂Φ₁(n) - n₁Φ₂(n)) , ϱ_i(n) = σ sign(Φ_i(n)) , i = 1,2,3

и гарантированная ошибка оценки определяется формулой

∫

(11)

I(Φ) = σ

( |Φ₁(n)| + |Φ₂(n)| + |Φ₃

(n)| ) dS +

∫

+μ

( |n₃Φ₂(n) - n₂Φ₃(n)| + |n₁Φ₃(n) - n₃Φ₁(n)| + |n₂Φ₁(n) - n₁Φ₂(n)| ) dS.

∑_M

Здесь для скалярной функции χ(n) = χ₀(n) +

χ(k)δ(n - n(k)), где χ₀(n)

k=1

определена всюду на S, положим

{

sign χ₀(n), если n = {n⁽¹⁾, . . . , n(M)},

sign χ(n) =

sign χ(k),

если n = n(k),

⎧

⎨+1, если x > 0,

sign x =

0, если x = 0,

^⎩-1, если x < 0,

∫

∑

|χ(n)| dS =

|χ₀(n)| dS +

|χ(k)|.

k=1

Таким образом, задача оптимального гарантирующего оценивания (8) сво-

дится к следующей вариационной задаче:

inf I(Φ) при условии несмещенности (10),

Φ∈F

где I(Φ) задается формулой (11).

2.3. Основная вариационная задача

Для дальнейшего анализа построенную выше вариационную задачу удоб-

но представить в более простом структурном виде. Назовем эту модифика-

цию задачей P.

Задача P.

∫

∑

(12)

I₀ = inf σ

|Φ_i(n)| dS + μ

|Ψ_i

(n)| dS

Φ,Ψ∈F

i=1

при условиях

∫ (

)

n ⊗ Φ(n)

(13)

dS = a, Ψ(n) = n Φ(n); Ψ(n) = col (Ψ₁(n), Ψ₂(n), Ψ₃

(n)) .

Φ(n)

3. Метод скаляризации

Метод скаляризации состоит в том, что вместо трехмерных измерений (3)

рассматривается одномерное скалярное измерение

(

)

z(n) = n^Tz(n) = n^T

Γ + α(n)

n + n^Tε + n^Tϱ(n) =

(14)

= n^TΓn + n^Tε + n^Tϱ(n), n ∈ S.

При этом волевым образом устраняется неизвестная помеха α(n), так как

очевидно, что n^T α(n)n = 0 [9, 10, 16]. Задача оптимального гарантирующего

оценивания ставится по аналогичной схеме, описанной выше. Формально это

соответствует введению дополнительного ограничения на оцениватель Φ(n):

∑

Φ(n) = n χ(n), χ(n): S → R¹, χ(n) = χ₀(n) + χ(k)δ(n - n(k)),

k=1

где χ₀(n) - скалярная интегрируемая на S функция, а χ(k) - числа.

Тогда задача P сводится к более простой вариационной задаче относитель-

но скалярной функции χ(n).

Задача S.

∫

(15)

J₀ = inf

( |n₁| + |n₂| + |n₃

|)|χ(n)|dS

при условии

∫ (

)

n ⊗ nχ(n)

(16)

dS = a.

χ(n)

Условия (16) содержат три повторяющихся равенства. Следовательно, для их

совместности соответствующие компоненты a должны быть одинаковы. Это

означает, что при скаляризации не все компоненты q являются наблюдаемы-

ми. Действительно, из уравнения измерений (14) видно, что наблюдаемыми

являются не все внедиагональные элементы Γ, а только суммы симметричных

относительно главной диагонали элементов. Поэтому в задаче S требуется

оценить параметры l = a^T q ∈ R¹, где

q = col(Γ₁₁,Γ₂₂,Γ₃₃,Γ₁₂ + Γ₂₁,Γ₁₃ + Γ₃₁,Γ₂₃ + Γ₃₂,ε) ∈ R⁹,

a ∈ R⁹ - заданный вектор.

При этом условия несмещенности (16) можно представить в более явном

виде:

∫

h(n) χ(n) dS = a,

(17)

(

)

h(n) = col

n²¹,n²²,n²³,n₁n₂,n₁n₃,n₂n₃,n₁,n₂,n₃

∈R⁹.

Отметим, что в [9, 10] “скалярная” задача S сформулирована более упро-

√

щенно: величина |n₁| + |n₂| + |n₃| в (15) заменена на ее оценку сверху

Задача S⁰.

∫

√

inf

3σ

|χ(n)| dS при условии (17).

4. Эквивалентность задач S и S⁰

Покажем, что решения задач S и S⁰ совпадают (при соответствующих a).

Теорема 1. Решения задач S и S⁰ совпадают. Более того, они един-

ственны. Для параметров Γ₁₁, Γ₁₂ +Γ₂₁, ε₁ эти решения определяются сле-

дующими импульсными функциями:

[

]

χ(n)Γ11 =

δ (n - col(1,0,0)) + δ (n - col(-1,0,0)) ,

[ (

(_√

))

(

(_√

))

√

χ(n)Γ12+Γ₂₁ =

δ n - col

- δ n - col

(

√

))

(

√

))]

+δ n - col

- δ n - col

[

]

χ(n)ε1 =

δ (n - col(1,0,0)) - δ (n - col(-1,0,0)) .

Для остальных параметров решения имеют ту же структуру, отличаясь

очевидными модификациями. Доказательство теоремы 1 приведено в При-

ложении 1.

5. Решение задачи P

Теорема 2 (обоснование метода скаляризации). Справедливы следующие

утверждения.

1. Для параметров Γ₁₁, ε₁ (при всех значениях μ) и для Γ₁₂ + Γ₂₁ (при

√

μ>(

2 - 1)σ) решение задачи P единственно и имеет вид Φ(n) = χ(n)n,

где χ(n) - соответствующее решение задачи S. При этом оптимальные

ориентации и значения соответствующих гарантированных ошибок оценок

в задачах P и S совпадают.

√

2. Для параметра Γ₁₂ + Γ₂₁ при μ ≤ (

2 - 1)σ решение задачи P имеет

вид

⁽1

Φ(n) = col

δ (n - col(0, 1, 0)) -

δ (n - col(0,-1,0)) ,

)

δ (n - col(1, 0, 0)) -

δ (n - col(-1, 0, 0)) , 0

Ψ₁(n) = Ψ₂(n) = 0, Ψ₃(n) = n₂Φ₁(n) - n₁Φ₂(n).

√

Если μ < (

2 - 1)σ, то оно единственно; при этом оптимальные ориента-

ции в задачах P и S различны, а гарантированная ошибка оценки в задаче P

равна√σ + 2μ, что меньше гарантированной ошибки оценки в задаче S, рав-

ной 2

2σ.

√

Если μ = (

2 - 1)σ, то решение задачи P неединственно, но гарантиро-

√

ванные ошибки оценок в задачах P и S совпадают и равны 2

2σ.

3. Для параметра Γ₂₁ решение задачи P единственно и имеет вид

(

)

Φ(n) = col

δ (n - col(1, 0, 0)) -

δ (n - col(-1, 0, 0)) , 0

Ψ₁(n) = Ψ₂(n) = 0, Ψ₃(n) = -n₁Φ₂(n).

Для параметров Γ₁₃ + Γ₃₁, Γ₂₃ + Γ₃₂ и остальных внедиагональных эле-

ментов матрицы Γ решения имеют такую же структуру, отличаясь очевид-

ными модификациями.

Таким образом, для параметров Γ_ii, ε_i при всех μ и для Γ_ij + Γ_ji при

√

μ≥(

2 - 1)σ, i,j = 1,2,3, i = j метод скаляризации обоснован. А для μ <

√

2 - 1)σ найдены более точные решения задачи P. Доказательство тео-

ремы 2 приведено в Приложении 2.

Замечание 1. Из теорем 1 и 2 следует, что решения всех трех рассмат-

риваемых задач для всех нужных комбинаций параметров имеют импульс-

ный характер с малым числом импульсов. Точки расположения этих импуль-

сов в совокупности определяют опти√альный план экспериментов. Во всех

задачах, включая задачу P при μ > (

2 - 1)σ, оптимальный план содержит

√

18 ориентаций (угловых положений блока). При μ ≤ (

2 - 1)σ оптимальный

план экспериментов в задаче P содержит 6 ориентаций. Таким образом, при-

менение гарантирующего подхода позволяет из континуума ориентаций S вы-

брать небольшое число наиболее информативных угловых положений блока

ньютонометров, т.е. наряду с задачей оценивания одновременно решается за-

дача о выборе оптимального плана экспериментов.

6. Оптимальность линейных оценивателей

Исследуем вопрос об оптимальности линейных оценивателей среди всех, в

том числе нелинейных, алгоритмов оценивания [8, 19-24]. Рассмотрим исход-

ные измерения z(n), определяемые (3), (4). Обозначим через A множество

всех троек (q, α, ϱ), удовлетворяющих ограничениям

q = col(γ,ε) ∈ R¹²,

|α_i(n)| ≤ μ,

|ϱ_i(n)| ≤ σ, n ∈ S, i = 1, 2, 3,

где γ задается (5), а α_i(n), ϱ_i(n) являются интегрируемыми функциями.

Обозначим через Z множество всех измерений (3) при (q, α, ϱ) ∈ A. Пусть

R: Z → R¹ произвольный оцениватель, возможно нелинейный. Введем га-

рантированную ошибку оценки

D(R) = sup

|R(z(n)) - a^Tq |.

(q,α,ϱ)∈A

Теорема 3. Применение нелинейных оценивателей не улучшает точ-

ности оценивания: D(R) ≥ I₀.

Доказательство теоремы 3 содержится в Приложении 3. Ясно, что анало-

гичный результат можно получить и для скаляризованной задачи.

7. Заключение

В работе предложена новая формализация задачи калибровки блока нью-

тонометров. В рамках этой формализации задача калибровки сводится к ре-

шению негладкой вариационной задачи, решение которой определяет опти-

мальные угловые положения блока и соответствующие оценки параметров.

Обоснован метод скаляризации для решения задачи калибровки блока. Опре-

делена граница применимости этого метода. Данный подход в принципе при-

меним и для датчиков угловой скорости, и при любой конфигурации (неор-

тогональной или избыточной) чувствительных элементов.

Автор благодарит рецензентов за полезные вопросы и замечания.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Доказательство теоремы 1. Для доказательства будет полезна за-

дача, двойственная к задаче S, которая строится по общему правилу [24-26]:

(П.1.1)

J⁰ = sup

inf L(χ;λ),

где

∫

(

∫

)

L(χ;^λ) = σ

( |n₁| + |n₂| + |n₃|)|χ(n)|dS + λT a - h(n)χ(n)dS

есть функция Лагранжа, а^λ = col

⁽λ₁,... , λ₉) ∈ R⁹ - множители Лагранжа.

Тогда, явно вычисляя нижнюю грань в (П.1.1), нетрудно показать, что двой-

ственная задача примет следующий вид:

(П.1.2)

J⁰ = sup a^Tλ

λ∈R⁹

при условии

(П.1.3)

|h^T(n)λ| ≤ (|n₁| + |n₂| + |n₃

|) σ, n ∈ S.

При построении двойственной задачи исходную задачу называют прямой.

Для любого допустимого элемента χ(n) прямой задачи (15), (17) и любого

допустимого элемента^λ двойственной задачи (П.1.2), (П.1.3) справедливо

известное соотношение [6]

∫

a^Tλ = h^T(n)χ(n)λ dS ≤

|h^T(n)λ||χ(n)| dS ≤

(П.1.4)

∫

≤σ

( |n₁| + |n₂| + |n₃| ) |χ(n)| dS.

Вычислив верхнюю грань левой части по^λ и нижнюю грань от правой

по χ(n), получаем, что J₀ ≤ J⁰. Ясно, что если удастся подобрать χ(n) и^λ,

которые доставляют равенство левой и правой частей в (П.1.4), то они будут

решениями соответствующих вариационных задач и J₀ = J⁰. Более того, в

тех точках S, в которых

(П.1.5)

|h^T(n)λ| < (|n₁| + |n₂| + |n₃

|) σ,

любой оптимальный оцениватель χ(n) = 0. Воспользуемся этими свойствами.

Поскольку σ входит постоянным множителем в функционал прямой задачи,

в дальнейшем при нахождении решений для простоты будем полагать σ = 1.

Оценивание Γ₁₁

Сначала оценим Γ₁₁, т.е. положим a = col (1, 0, . . . , 0). Возьмем χ(n) и^λ

равными решениям задачи S⁰ и двойственной к ней, полученным в [9, 10]:

[

]

χ(n) =

δ (n - col(1, 0, 0)) + δ (n - col(-1, 0, 0)) и

λ= col (1,0,... ,0).

Непосредственной подстановкой проверяется, что выбранный элемент χ(n)

является допустимым для прямой задачи S. Поскольку очевидно, что

n²¹ ≤ |n₁| ≤ (|n₁| + |n₂| + |n₃|) при n ∈ S, то^λ является допустимым элемен-

том для двойственной задачи. Более того, левая часть в (П.1.4) равна правой

и равна 1. Следовательно, выбранные элементы доставляют решения соот-

ветствующих вариационных задач.

Покажем, что решение прямой задачи S единственно. Действительно, при

|n₁| < 1 очевидно, что n²¹ < |n₁| < (|n₁| + |n₂| + |n₃|) и условие (П.1.5) выпол-

нено. Следовательно, любой оптимальный оцениватель отличен от нуля толь-

ко при n = col (±1, 0, 0). Легко убедиться, что при сосредоточении импульсов

только в этих точках условие несмещенности (17) имеет единственное реше-

ние. Оценивание компонент Γ₂₂ и Γ₃₃ проводится аналогично и приводит к

тем же по структуре результатам.

Оценивание ε₁

Оценим ε₁, т.е. положим a = col (0, . . . , 0, 1, 0, 0). Возьмем χ(n) и^λ равными

решениям задачи S⁰ и двойственной к ней, полученным в [9, 10]:

[

]

χ(n) =

δ (n - col(1,0,0)) - δ (n - col(-1,0,0)) и

λ= col(0,... ,0,1,0,0).

Подстановкой проверяется, что χ(n) и^λ являются допустимыми. Более того,

левая часть в (П.1.4) равна правой и равна 1. Следовательно, выбранные

элементы доставляют решения соответствующих вариационных задач.

Покажем, что решение прямой задачи S единственно. Действительно, при

|n₁| < 1 очевидно, что |n₁| < (|n₁| + |n₂| + |n₃|), и условие (П.1.5) выполне-

но. Следовательно, любой оптимальный оцениватель отличен от нуля только

при n = col (±1, 0, 0). Ясно, что тогда условие несмещенности (17) имеет един-

ственное решение. Оценивание компонент ε₂ и ε₃ проводится аналогично и

приводит к тем же по структуре результатам.

Оценивание Γ₁₂ + Γ₂₁

Теперь оценим Γ₁₂ + Γ₂₁, т.е. положим a = col (0, 0, 0, 1, 0, . . . , 0). Возьмем

χ(n) и^λ равными решениям задачи S⁰ и двойственной к ней, полученным

в [9, 10]:

[ (

(_√

))

(

(_√

))

√

χ(n) =

δ n - col

- δ n - col

(

))

(

))]

√

+ δ n - col

-δ n - col

√

λ= col (0,0,0,2

2, 0, . . . , 0).

Подстановкой проверяется, что выбранный элемент χ(n) является допусти-

мым для прямой задачи S. Покажем, что^λ является допустимым элементом.

√

Лемма 1. При n ∈ S справедливо неравенство

2|n₁n₂| ≤ |n₁| + |n₂|;

√

причем равенство имеет место только при n = col (±

,±

, 0) и при n =

= col (0, 0, ±1).

Доказательство. 1. Сначала докажем вспомогательное утверждение:

если n²¹ + n²² = 1, то

√

2|n₁ n₂|

(П.1.6)

≤ 1;

|n₁| + |n₂|

при этом равенство в (П.1.6) достигается тогда и только тогда, когда |n₁| =

= |n₂|.

Действительно,

√

(

√

)₂

2|n₁n₂|

2|n₁ n₂|

8|n₁ n₂|²

≤1 ⇔

|n₁| + |n₂|

1 + 2|n₁n₂|

(

)(

)

⇔ 8 |n₁n₂|+

|n₁n₂| -

≤0 ⇔

⇔ |n₁n₂| ≤

⇔ (|n₁| - |n₂|)² ≥ 0.

Ясно, что равенство в этой цепочке достигается тогда и только тогда, когда

|n₁| = |n₂|.

2. Очевидно, что при |n3| = 1 лемма верна. Поэтому далее положим

|n₃| < 1. Рассмотрим два случая: (а) n₃ = 0; (б) n₃ = 0.

В случае (а)

√

2|n₁n₂|

2|n₁ n₂|

√

|n₁| + |n₂|

1-n²

|n₁| + |n₂|

где

n₁ =

√

n₁,

n₂ =

√

n₂,

n²¹ + n²² = 1.

1-n²³

1-n²

По доказанному утверждению (П.1.6) последняя величина в цепочке не пре-

вышает единицы.

В случае (б) n²¹ + n²² = 1 и по доказанному утверждению (П.1.6) рассмат-

риваемое отношение не превышает единицы, причем равенство единице до-

√

стигается тогда и только тогда, когда |n₁| = |n₂| =

. Лемма доказана.

√

Из леммы следует, что 2

2|n₁n₂| ≤ |n₁| + |n₂| + |n₃|, причем равенство до-

√

стигается только при n = col (±

,±

, 0). Действительно, если n₃ = 0, то в

√

силу леммы 2

2|n₁n₂| ≤ |n₁| + |n₂| < |n₁| + |n₂| + |n₃|. Если же n₃ = 0, то из

√

леммы вытекает, что равенство возможно только при |n₁| = |n₂| =

Следовательно,^λ является допустимым элементом двойственной задачи.

На выбранных элементах левая и правая части в (П.1.4) принимают одинако-

вые значения и поэтому эти элементы являются решениями соответствующих

вариационных задач.

√

При n = col (±

,±

, 0) выполняется условие (П.1.5) и любой оптималь-

√

ный оцениватель отличен от нуля только при n = col (±

,±

, 0). Нетрудно

проверить, что при таких точках приложения импульсов условие несмещен-

ности (17) имеет единственное решение. Оценивание компонент Γ₁₃ + Γ₃₁ и

Γ₂₃ + Γ₃₂ проводится аналогично и приводит к тем же по структуре резуль-

татам.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Доказательство теоремы 2. Решение задачи P проведем по той же

схеме, что и задачи S, но с более сложными выкладками. Двойственная за-

дача к P также строится по общему правилу [24-26]:

(П.2.1)

I⁰ = sup

inf

L(Φ, Ψ; λ, ξ),

λ, ξ

Φ, Ψ

где

∫

∑

L(Φ, Ψ; λ, ξ) = σ

|Φ_i(n)| dS + μ

|Ψ_i(n)| dS +

i=1

(

∫ (

)

∫

(

)

n ⊗ Φ(n)

+λ^T a-

+ ξ^T(n) Ψ(n) - n Φ(n) dS

Φ(n)

есть функция Лагранжа², а λ, ξ - множители Лагранжа: λ = col(λ₁,

...,λ₁₂) ∈ R¹², ξ(n): S → R³ - всюду на S определенная функция с интегри-

руемыми по Лебегу компонентами ξ_i(n), i = 1, 2, 3. Явно вычисляя нижнюю

² Строго говоря, это эвристическая функция Лагранжа, так как вопрос об общем виде

непрерывного линейного функционала на F открыт.

грань в (П.2.1), нетрудно показать, что двойственная задача примет следую-

щий вид:

(П.2.2)

I⁰ = sup a^Tλ

λ, ξ(n)

при условиях

(П.2.3)

|H_i(n)| ≤ σ,

|ξ_i

(n)| ≤ μ, i = 1, 2, 3; n ∈ S,

где

H₁(n) = λ₁n₁ + λ₄n₂ + λ₇n₃ + λ₁₀ - ξ₂(n)n₃ + ξ₃(n)n₂,

(П.2.4)

H₂(n) = λ₂n₁ + λ₅n₂ + λ₈n₃ + λ₁₁ - ξ₃(n)n₁ + ξ₁(n)n₃,

H₃(n) = λ₃n₁ + λ₆n₂ + λ₉n₃ + λ₁₂ - ξ₁(n)n₂ + ξ₂(n)n₁.

Для любого допустимого элемента (Φ(n), Ψ(n)) прямой задачи (12), (13) и

любого допустимого элемента (λ, ξ(n)) двойственной задачи (П.2.2)-(П.2.4)

справедливо соотношение, аналогичное (П.1.4):

∫

(

)

∫

n ⊗ Φ(n)

(П.2.5)

a^Tλ = λ^T

dS + ξ^T

(n) (Ψ(n) - n Φ(n)) dS =

Φ(n)

∫

∑

H_i(n)Φ_i(n) +

ξ_i(n)Ψ_i(n)dS ≤

i=1

∫

∑

≤σ

|Φ_i(n)| dS + μ

|Ψ_i(n)| dS.

i=1

Вычислив верхнюю грань левой части по λ и нижнюю грань от правой

по (Φ(n), Ψ(n)), получаем, что I₀ ≤ I⁰. Ясно, что если удастся подобрать

(Φ(n), Ψ(n)) и (λ, ξ(n)), которые доставляют равенство левой и правой частей

в (П.2.5), то они будут решениями соответствующих вариационных задач и

I₀ = I⁰. Более того, в тех точках S, в которых

(П.2.6)

|H_i(n)| < σ или

|ξ_i

(n)| < μ,

для любой оптимальной пары (Φ(n), Ψ(n)) соответствующая компонента

Φ_i(n) или Ψ_i(n) равна нулю. При решении задачи P, как и при решении

задачи S выше, будем полагать σ = 1 для упрощения формул.

Оценивание Γ₁₁

Положим a = col (1, 0, . . . , 0). Возьмем

(

)

Φ(n) = col

δ (n - col(1, 0, 0)) -

δ (n - col(-1,0,0)) ,0,0

Ψ(n) = 0;

λ = col(1,0,... ,0), ξ(n) = 0.

Очевидно, что они являются допустимыми и на них значения функциона-

лов обеих задач в (П.2.5) совпадают и равны 1. Следовательно, выбранные

элементы являются решениями. При этом

H₁(n) = n₁, H₂(n) = H₃(n) = 0,

а тогда любой оптимальный оцениватель сосредоточен только в точках S та-

ких, что |n₁| = 1, и, кроме того, Φ₂(n) = Φ₃(n) = 0. Ясно, что условие несме-

щенности (10) с импульсами лишь в точках col (±1, 0, 0) имеет единственное

решение, указанное выше. Полученному единственному решению задачи P,

очевидно, можно придать скаляризованный вид:

(

)

Φ(n) =

δ (n - col(1, 0, 0)) +

δ (n - col(-1,0,0)) n.

Оценивание Γ₂₂ и Γ₃₃ проводится аналогично и приводит к тем же по струк-

туре результатам.

Оценивание Γ₂₁

Положим a = col (0, 1, . . . , 0). Возьмем

(

)

Φ(n) = col

δ (n - col(1, 0, 0)) -

δ (n - col(-1, 0, 0)) , 0

Ψ₁(n) = Ψ₂(n) = 0, Ψ₃(n) = -n₁Φ₂(n);

λ = col(0,1 + μ,0,-1 - μ,0,...,0), ξ(n) = col(0,0,μ).

Очевидно, что они являются допустимыми и на них значения функционалов

обеих задач в (П.2.5) совпадают и равны 1 + μ. Следовательно, выбранные

элементы являются решениями. При этом

H₁(n) = n₂, H₂(n) = n₁, H₃(n) = 0,

а тогда первая компонента любого оптимального оценивателя сосредоточена

только в точках col (0, ±1, 0), а вторая - только в точках col (±1, 0, 0); кро-

ме того, Φ₃(n) = 0. Нетрудно убедиться, что условие несмещенности (10) с

импульсами лишь в этих точках имеет единственное решение, указанное вы-

ше. Ясно, что ему нельзя придать скаляризованный вид. Оценивание осталь-

ных Γ_ij , i = j, i, j = 1, 2, 3 проводится аналогично и приводит к тем же по

структуре результатам.

Оценивание ε₁

Положим a = col (0, . . . , 0, 1, 0, 0). Возьмем

(

)

Φ(n) = col

δ (n - col(1, 0, 0)) +

δ (n - col(-1,0,0)) ,0,0

Ψ(n) = 0;

λ = col(0,...,0,1,0,0), ξ(n) = 0.

Очевидно, что они являются допустимыми и на них значения функциона-

лов обеих задач в (П.2.5) совпадают и равны 1. Следовательно, выбранные

элементы являются решениями. При этом

(П.2.7)

H₁(n) = 1, H₂(n) = H₃

(n) = 0,

а тогда согласно (П.2.6) Φ₂(n) = Φ₃(n) = 0. Полученному решению задачи P

также можно придать скаляризованный вид:

(

)

Φ(n) =

δ (n - col(1, 0, 0)) -

δ (n - col(-1,0,0)) n.

Покажем, что решение единственно. Действительно, так как ξ(n) = 0, то

из (П.2.6) следует, что для любого решения (Φ(n), Ψ(n)) задачи P справед-

ливо тождество Ψ(n) = 0, а тогда n₃Φ₁(n) = 0 и n₂Φ₁(n) = 0. Следовательно,

Φ₁(n) сосредоточен и на дуге большого круга n₃ = 0, и на дуге большого кру-

га n₂ = 0. Это означает, что Φ₁(n) сосредоточен только в точках col (±1, 0, 0).

Из условий несмещенности, как и ранее, следует, что полученное решение

единственно. Можно рассуждать по-другому. Из условия Ψ(n) = 0 вытекает,

что Φ(n) = χ(n)n, где χ(n) = n^TΦ(n) - скалярная интегрируемая функция.

Тогда задача P сводится к задаче S, для которой, как доказано выше в При-

ложении 1, решение единственно. Оценивание ε₂ и ε₃ проводится аналогично

и приводит к тем же по структуре результатам.

Оценивание Γ₁₂ + Γ₂₁

√

Положим a = col (0, 1, 0, 1, 0, . . . , 0). Рассмотрим два случая: (а) μ ≤

2-1;

√

(б) μ >

2 - 1. Сначала исследуем случай (а). Возьмем

⁽1

Φ(n) = col

δ (n - col(0, 1, 0)) -

δ (n - col(0,-1,0)) ,

)

δ (n - col(1, 0, 0)) -

δ (n - col(-1, 0, 0)) , 0

Ψ₁(n) = Ψ₂(n) = 0, Ψ₃(n) = n₂Φ₁(n) - n₁Φ₂(n);

λ = col(0,1 + μ,0,1 + μ,0,...,0), ξ₁(n) = ξ₂(n) = 0,

⎧

√

⎪

1-n²³

⎪-1 - μ +

, если |n₂| ≥

⎪

|n₂|

1+μ

⎨

√

1-n²³

при

1-n²³≥

ξ₃(n) =

0, если max (|n₁|, |n₂|) <

1+μ

⎪

1+μ

⎪

√

⎪

1-n²³

⎩1 + μ -

, если |n₁| ≥

|n₁|

1+μ

√

при

1-n²³ <

ξ₃(n) = 0.

1+μ

Такая конструкция ξ₃(n) означает, что вдоль дуги большого круга, проходя-

щего через точки col (0, 0, ±1) и col (n₁, n₂, n₃), значения ξ₃(n) не меняются

√

(при

1-n²³ ≥

1+μ

Подстановкой легко убедиться, что Φ(n) является допустимым элементом

прямой задачи. Покажем, что пара (λ, ξ(n)) является допустимым элементом

двойственной задачи, т.е. она удовлетворяет (П.2.3), (П.2.4). Действительно,

ясно, что | ξ₃(n)| ≤ μ, а остальные ограничения принимают вид

(П.2.8)

|(1 + μ + ξ₃(n)) n₂| ≤ 1,

|(1 + μ - ξ₃(n)) n₁

| ≤ 1,

|0| ≤ 1.

Проверим выполнение первого условия (П.2.8).

√

При

1-n²³ ≥

функция ξ₃(n) непрерывна на S и

1+μ

(П.2.9)

|(1 + μ + ξ₃(n))n₂

⎧

√

⎪√

1-n²³

⎪

1 - n23 (≤ 1),

если |n₂| ≥

⎪

1+μ

√

⎨

1-n²³

(1 + μ) |n₂| (< 1),

если max (|n₁|, |n₂|) <

⁼⎪⎪(

)

1+μ

√

⎪

1-n²³

1-n

⎩ 2 + 2μ -

|n₂|, если |n₁| ≥

|n₁|

1+μ

(

√

)

1-n²³

Докажем оставшееся неравенство

2 + 2μ -

|n₂| ≤ 1. Его можно

|n₁|

представить в виде

(

)

√

2 + 2μ -

|n₂|

1 - n²³ ≤ 1,

|n₁|

где

n₁ =

√

n₁,

n₂ =

√

n₂,

n²¹ + n²² = 1.

1-n²³

1-n²

Заметим, что в рассматриваемой области

(

)

√

|n₂| ≤ 1

⇔

2|n₁||n₂| ≤ |n₁| + |n₂|,

|n₁|

причем последнее неравенство имеет место в силу леммы из Приложения 1.

Справедлива цепочка неравенств

(

)

√

(П.2.10)

2 + 2μ -

|n₂|

1-n²³ ≤

|n₁|

(

)

√

≤

|n₂|

1-n²³ ≤

1 - n²³ ≤ 1.

|n₁|

√

При

1-n²³ <

ограничение для H₁(n) примет вид | (1 + μ) n₂| ≤ 1.

1+μ

√

Так как |n₂| ≤

n²¹ + n²² =

1-n²³ <

, то | (1 + μ) n₂| < 1. Аналогично

1+μ

доказывается, что выполнено второе неравенство в (П.2.8). Итак, выбран-

ные элементы допустимы, а значения функционалов обеих задач в (П.2.5)

совп√ают и равны 2 + 2μ. Поэтому эти элементы являются решениями при

μ≤

2-1. Отметим, что для рассматриваемого случая оценка для Γ₁₂+Γ₂₁

оказалась равной сумме оценок для Γ₁₂ и Γ₂₁.

√

Обсудим вопрос о единственности решения задачи P при μ <

2 - 1.

Рассмотрим произвольное решение (Φ(n), Ψ(n)) задачи P. Так как в тре-

тьем соотношении (П.2.8) имеет место строгое неравенство, то соглас-

но (П.2.6) Φ₃(n) = 0. Далее, поскольку ξ₁(n) = ξ₂(n) = 0, то в силу (П.2.6)

Ψ₁(n) = Ψ₂(n) = 0, а тогда с учетом полученного тождества Φ₃(n) = 0 имеем,

что n₃Φ₂(n) = n₃Φ₁(n) = 0, откуда следует, что Φ₁(n) и Φ₂(n) сосредоточены

только на дуге большого круга n₃ = 0.

√

При μ <

2 - 1 в цепочке (П.2.10) первое неравенство является строгим и

в силу (П.2.6) вне множества |n₂| ≥

компонента Φ₁(n) равна нулю. Совер-

1+μ

шенно аналогично исследовав второе соотношение в (П.2.8), можно придти к

выводу, что вне множества |n₁| ≥

компонента Φ₂(n) также равна нулю.

1+μ

Это означает, что носители Φ₁(n) и Φ₂(n) не пересекаются.

Поскольку |ξ₃(n)| < μ при |n₁| = 1 и |n₂| = 1, то согласно (П.2.6)

(П.2.11)

Ψ₃(n) = 0 при

|n₁| = 1

|n₂

| = 1.

При

≤ |n₂| < 1 (на части носителя Φ₁(n)) по доказанному Φ₂(n) = 0, а то-

1+μ

гда из (П.2.11) получается, что n₂Φ₁(n) = 0, т.е. вне двух точек |n₂| = 1 ком-

понента Φ₁(n) = 0. Совершенно аналогично можно показать, что вне двух

точек |n₁| = 1 компонента Φ₂(n) = 0. Уравнение несмещенности (10), запи-

санное для точек col (±1, 0, 0) и col (0, ±1, 0), очевидно имеет единственное

√

решение. Для μ <

2 - 1 единственность доказана.

√

Теперь исследуем случай (б) (μ >

2 - 1). Возьмем

( (

(_√

))

(

(_√

))

√

Φ(n) =

δ n - col

(

√

))

(

√

)))

δ n - col

Ψ(n) = 0;

√

λ = col(0,

2,0,

2, 0, . . . , 0), ξ₁(n) = ξ₂(n) = 0,

⎧

√

⎪

√

1-n²³

2√

√

⎨-

если |n₂| ≥

1-n²³,

√

|n₂|

при

1-n²³ ≥

ξ₃(n) =

√

⎪

√

1-n²³

⎩

если |n₁| ≥

1-n²³,

|n₁|

√

при

1-n²³ <

ξ₃(n) = 0.

Так же, как и для случая (а), вдоль дуги большого круга, проходящего

через точки col (0, 0, ±1) и col (n₁, n₂, n₃), значения ξ₃(n) не меняются (при

√

1-n²³ ≥

Подстановкой легко убедиться, что Φ(n) является допустимым элементом

прямой задачи. Покажем, что пара (λ, ξ(n)) является допустимым элементом

двойственной задачи, т.е. она удовлетворяет (П.2.3), (П.2.4). Действительно,

√

ясно, что | ξ₃(n)| ≤

2 - 1 < μ, а остальные ограничения принимают вид

(_√

)

(_√

)

(П.2.12)

2 + ξ₃(n) n₂| ≤ 1,

2 - ξ₃(n) n₁

| ≤ 1,

|0| ≤ 1.

Проверим выполнение первого условия (П.2.12).

√

При

1-n²³ ≥

функция ξ₃(n) непрерывна на S и

(√

)



(П.2.13)



2 + ξ₃(n) n₂=

⎧

√

2√

⎪

⎨

1 - n23 (≤ 1),

если |n₂| ≥

1-n²³,

(

)

√

⁼⎪

√

1-n²³

2√

⎪

⎩ 2

|n₂|, если |n₁| ≥

1-n²³.

|n₁|

(

√

)

√

1-n²³

Требуемое неравенство

|n₂| ≤ 1 можно представить в виде

|n₁|

(

)

√

|n₂|

1 - n²³ ≤ 1,

|n₁|

где

n₁ =

√

n₁,

n₂ =

√

n₂,

n²¹ + n²² = 1.

1-n²³

1-n²

Заметим, что в рассматриваемой области

(

)

√

|n₂| ≤ 1

⇔

2|n₁||n₂| ≤ |n₁| + |n₂|,

|n₁|

причем второе неравенство справедливо согласно лемме 1. Тогда

(

)

√

|n₂|

1-n²³ ≤

1 - n²³ ≤ 1.

|n₁|

√

При

1-n²³ <

ограничение для H₁(n) примет вид |

2n₂| ≤ 1. Так как

√

|n₂| ≤

n²¹ + n²² =

1-n²³ <

, то |

2n₂| < 1. Аналогично доказывается,

что выполнено второе соотношение в (П.2.12). Итак, выбранные элементы

допустимы, а значения функционалов обеих задач в (П.2.5) совпадают и рав-

√

ны 2

2. Поэтому в√ранные элементы являются решениями соответствую-

щих задач при μ >

2 - 1. Отметим, что в рассматриваемом случае оценка

для Γ₁₂ + Γ₂₁ оказалась не равной сумме оценок для Γ₁₂ и Γ₂₁.

Поскольку |ξ_i(n)| < μ, то в силу (П.2.6) Ψ(n) = 0. Тогда очевидно, что

Φ(n) = χ(n) n, где χ(n) = n^TΦ(n) - скалярная интегрируемая функция, и за-

дача P сводится к задаче S, для которой, как доказано выше в Приложении 1,

решение единственно.

√

В случае μ =

2 - 1 легко проверить, что Φ(n) = χ(n)n, где χ(n) - реше-

ние задачи S, также является решением задачи P, т.е. единственность нару-

шается. Заметим, что если у выпуклой задачи есть два решения, то и весь

отрезок, соединяющий эти решения, является решением.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Доказательство теоремы 3. Очевидно,

D(R) ≥

sup

|R(0) - a^Tq |≥

sup

|a^Tq | =

sup

a^Tq;

(q,α,ϱ)∈A: z(n)=0

последнее равенство имеет место в силу центральной симметрии A.

Заметим, что множество {(q, α, ϱ) ∈ A: z(n) = 0} можно представить в ви-

де

|γ₁n₁ + γ₄n₂ + γ₇n₃ + ε₁ - α₂(n)n₃ + α₃(n)n₂| ≤ σ,

|γ₂n₁ + γ₅n₂ + γ₈n₃ + ε₂ - α₃(n)n₁ + α₁(n)n₃| ≤ σ,

|γ₃n₁ + γ₆n₂ + γ₉n₃ + ε₃ - α₁(n)n₂ + α₂(n)n₁| ≤ σ.

Поэтому

D(R) ≥

sup

a^Tq = I⁰ = I₀,

(q,α,ϱ)∈A: z(n)=0

где I⁰ определяется двойственной задачей (П.2.2)-(П.2.4), а I₀ есть гаранти-

рованная точность оценивания в задаче P, в которой рассматриваются только

линейные оцениватели из класса F.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лидов М.Л. К априорным оценкам точности определения параметров по методу

наименьших квадратов // Космические исследования. 1964. Т. 2. № 5. С. 713-715.

2. Красовский Н.Н. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динами-

ческих систем // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. № 1. С. 3-14.

3. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

4. Лидов М.Л. Минимаксные методы оценивания. М.: Препринт № 71. Ин-т прикл.

мат. им. М.В. Келдыша РАН. 2010.

5. Бахшиян Б.Ц., Назиров Р.Р., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движе-

ния. М.: Наука, 1980.

Белоусов Л.Ю. Оценивание параметров движения космических аппаратов. М.:

Физматлит, 2002.

Матасов А.И. Метод гарантирующего оценивания. М.: Изд-во МГУ, 2009.

Matasov A.I. Estimators for Uncertain Dynamic Systems. Dordrecht-Boston-

London: Springer Science+Business Media, B.V., 2013.

Бобрик Г.И., Матасов А.И. Оптимальное гарантирующее оценивание парамет-

ров блока акселерометров // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1993. № 5.

С. 8-14.

10.

Акимов П.А., Деревянкин А.В., Матасов А.И. Гарантирующее оценивание и

l₁-аппроксимация в задачах оценивания параметров БИНС при стендовых ис-

пытаниях. М.: Изд-во МГУ, 2012.

11.

Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Нау-

ка, 1976.

12.

Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы навигационных си-

стем. Ч. I. Математические модели инерциальной навигации. М.: МАКС Пресс,

2011.

13.

Браславский Д.А., Поликовский Е.Ф., Якубович А.М. Метод калибровки трех-

осного блока акселерометров // Заявка на изобретение № 2422425/23 с приори-

тетом от 24 ноября 1976 г.

14.

Чесноков Г.И., Поликовский Е.Ф., Молчанов А.В., Кремер В.И. Некоторые пути

улучшения тактико-технических характеристик бесплатформенных инерциаль-

ных навигационных систем / Сб. X СПб междунар. конф. по интегрированным

навигационным системам. Сб. матер. СПб.: ГНЦ РФ “ЦНИИ Электроприбор”,

2003. С. 155-164.

15.

Измайлов Е.А., Лепе С.Н., Молчанов А.В., Поликовский Е.Ф. Скалярный спо-

соб калибровки и балансировки бесплатформенных инерциальных навигацион-

ных систем / Сб. Юбилейная XV СПб междунар. конф. по интегрированным

навигационным системам. Сб. матер. СПб.: ГНЦ РФ “ЦНИИ Электроприбор”,

2008. С. 145-154.

16.

Матасов А.И. Некоторые задачи идентификации параметров в инерциальной

навигации // Дисс

канд. физ.-мат. наук. М.: Механико-мат. факультет МГУ,

1982.

17.

Матасов А.И. Негладкие вариационные проблемы в задаче калибровки блока

ньютонометров // Докл. РАН. 2019. Т. 487. № 1. С. 15-19.

18.

Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.:

Наука, 1972.

19.

Смоляк С.А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от

них // Дисс

канд. физ.-мат. наук. М.: Механико-мат. факультет МГУ, 1965.

20.

Марчук А.Г., Осипенко Л.Ю. Наилучшее приближеие функций, заданных с по-

грешностью в конечном числе точек // Математические заметки. 1975. Т. 17.

№ 3. С. 359-368.

21.

Milanese M., Tempo R. Optimal algorithms theory for robust estimation and

prediction // IEEE Transact. Autom. Control. 1985. AC-30. No. 8. P. 730-743.

22.

Матасов А.И. Об оптимальности линейных алгоритмов гарантированного оце-

нивания, I, II // Космические исследования. 1988. Т. 26. № 5-6. С. 643-653,

807-812.

23.

Матасов А.И. Оптимальность линейных алгоритмов в “задаче о наихудшей кор-

реляции” // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1989. № 1. С. 61-64.