Автоматика и телемеханика, № 12, 2019

(Белорусский национальный технический университет, Минск),

В.Е. ХАРТОВСКИЙ, канд. физ.-мат. наук (hartovskij@grsu.by)

(Гродненский государственный университет им. Я. Купалы)

СИНТЕЗ ФИНИТНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

Для линейных автономных дифференциально-разностных систем ней-

трального типа предложено решение задачи проектирования финитного

наблюдателя, позволяющего за конечное время получить оценку реше-

ния исходной системы с нулевой погрешностью. Получены критерий су-

ществования такого наблюдателя и метод его синтеза.

Ключевые слова: линейные автономные системы, запаздывание, ней-

тральный тип, финитный наблюдатель, критерий существования, синтез,

точечная вырожденность, целые функции.

DOI: 10.1134/S0005231019120055

1. Введение

На сегодняшний день задача оценки состояния для промышленных объ-

ектов занимает важное место при проектировании систем управления [1, 2].

Динамическая система, переменные состояния которой суть оценки перемен-

ных состояния другой системы, называется наблюдателем этой системы. Это

определение было впервые введено в 1963 г. в теории линейных систем Лу-

енбергером [3]. Он показал, что для каждой наблюдаемой линейной системы

может быть спроектирован наблюдатель с ошибкой оценки (т.е. с разницей

между реальным состоянием системы и состоянием наблюдателя), стремя-

щейся к нулю с заданной скоростью.

В силу бесконечномерности пространства состояний для объектов с запаз-

дыванием задача наблюдения таких систем - весьма неоднозначная. В зави-

симости от параметров самих систем и потребностей приложений существует

много не эквивалентных определений наблюдаемости. Наиболее сильное из

них [4]

- это понятие наблюдаемости начального состояния. Но для фор-

мирования управления типа обратной связи необходимо знать не начальное

состояние, а уметь восстанавливать текущее состояние системы в любой мо-

мент времени, а эти задачи не равносильны. В случае линейных систем за-

паздывающего типа, по-видимому, чаще говорят о сильной, спектральной и

слабой наблюдаемости.

Если в форме Смита матрицы наблюдаемости левый верхний блок, размер

которого не меньше размера исходной системы, есть единичная матрица, то

исходная система - сильно наблюдаема [5, 6]. В этом случае проблема синтеза

наблюдателей [5-7] сводится к проблеме управления для систем в кольце по-

линомов [8-11] и часто решается с использованием некоторых канонических

форм [12, 13]. Этот же подход можно использовать [14] и в случае асимптоти-

чески наблюдаемых систем (при нулевом выходе и t → +∞ текущее состояние

стремится к нулю).

Свойство спектральной наблюдаемости [4, 5] накладывает менее жесткие

требования на параметры системы и является двойственным по отношению

к спектральной управляемости [15, 16]. Оно является необходимым и доста-

точным [17, 18] для существования непрерывной однозначной операции вос-

становления текущего состояния по измерениям прошлого выхода. Одним

из методов проектирования наблюдателей в данном случае является под-

ход [15, 19], основанный на решении задачи назначения конечного спектра

[19-22].

Понятие слабой наблюдаемости [4, 5] соответствует расширению опреде-

ления ненаблюдаемого подпространства на системы с запаздыванием и в

терминах формы Смита эквивалентно существованию у нее ненулевого диа-

гонального элемента. Слабо наблюдаемые системы мало изучены, так как

по отношению к двойственной задаче для слабо управляемой системы коэф-

фициенты характеристического квазиполинома нельзя назначить произволь-

но [13, 23].

Для линейных систем нейтрального типа критерий существования непре-

рывной однозначной операции восстановления текущего состояния по измере-

ниям прошлого выхода (критерий конструктивной идентифицируемости [24])

состоит из двух условий [24, 25]. Одно из условий - это расширение спек-

трального условия (условия полной идентифицируемости) на системы ней-

трального типа, а второе в терминах двойственной системы управления пред-

ставляет собой [26] свойство апериодической управляемости разностной си-

стемы, описывающей динамику изменения скачков производных решения ис-

ходной системы. По отношению к двойственной системе управления эти усло-

вия равносильны разрешимости задач модальной управляемости (управляе-

мость коэффициентами характеристического квазиполинома) [27, 28] и пол-

ной 0-управляемости в классе регуляторов с обратной связью [27, 29]. Доста-

точно похожая ситуация и в случае вполне регулярных дифференциально-

алгебраических систем с запаздыванием [30, 31] (см. приведенную там биб-

лиографию).

В публикациях [22, 32] показано, что системы, обладающие свойством пол-

ной 0-управляемости, можно замкнуть обратной связью по состоянию так,

чтобы у замкнутой системы вырождались ее первые компоненты, соответ-

ствующие фазовому вектору исходной системы. Возникает вопрос: можно ли

в этом случае по отношению к двойственной системе построить наблюда-

тель так, чтобы система, определяющая динамику ошибки оценивания, была

точечно вырожденной в направлениях, соответствующих наблюдаемым пере-

менным, т.е. построить наблюдатель с финитной за конечное время ошибкой.

В настоящей статье предлагается критерий существования и метод синтеза

такого наблюдателя.

2. Постановка задачи

Пусть задана линейная автономная дифференциально-разностная система

нейтрального типа с соизмеримыми запаздываниями:

∑

(2.1)

x(t) -

D_i x(t - ih) =

A_i

x(t - ih), t > 0,

i=1

i=0

∑

(2.2)

y(t) =

C_i

x(t - ih), t ≥ 0,

i=0

где D_i ∈ R^n×n, A_i ∈ R^n×n, C_i ∈ R^r×n, x - вектор решения, y - вектор выход-

ных величин, доступных наблюдению (выход), h = const > 0. Решение урав-

нения (2.1) однозначно задается начальной функцией x(t) = x(t), t ∈ [-mh, 0].

(

)

Далее считаем, что функция x ∈^C

[-mh, 0], Rⁿ

является неизвестной, где

(

)

[-mh, 0], Rⁿ

- класс непрерывных на отрезке [-mh, 0] функций, имеющих

на этом отрезке кусочно-непрерывную производную.

Обозначим: I_i ∈ R^i×i - единичная матрица, λ - оператор сдвига, опреде-

ляемый для заданного h > 0 правилом λ^kf(t) = f(t - kh) (для произвольной

функции f). Введем полиномиальные матрицы

∑

D(λ) = λⁱD_i, A(λ) = λⁱA_i, C(λ) =

λⁱC_i

i=1

i=0

и перепишем систему (2.1), (2.2) в операторном виде

(

)

(2.3)

I_n - D(λ)

x(t) = A(λ)x(t), t > 0,

(2.4)

y(t) = C(λ)x(t), t ≥ 0.

Задача. Требуется построить асимптотически устойчивую линейную

автономную систему запаздывающего типа с сосредоточенными и распреде-

ленными запаздываниями такую, что начиная с некоторого момента вре-

мени выход этой системы будет тождественно равен решению системы

(2.3), (2.4) независимо от начальных состояний исходной и построенной си-

стем.

3. Определение и существование финитного наблюдателя

В качестве системы, которую требуется построить в задаче, определим

финитный наблюдатель и получим условия его существования.

Пусть R^i×j[p, λ] - множество матриц размеров i × j, элементы которых

суть полиномы двух переменных p и λ (R^i×j[0, λ] = R^i×j[λ]). Через R^i×j [p, λ]

обозначим множество матриц вида

∫

∑

C(p, λ) +

C_k(s)λ^ke^-psds,

k=0 0

где матрица C(p, λ) ∈ R^i×j[p, λ], матриц

C_k(s) представляют собой конечные

(

)

суммы слагаемых вида eα1s

cos(α₂s

C¹(s) + sin(α₂s

C²(s)

Cⁱ(s) ∈ R^i×j[s],

i = 1,2; числа α_i ∈ R(i = 1,2) и m ∈ N

^⋃{0} могут быть любыми.

Рассмотрим следующее линейное автономное дифференциальное уравне-

ние запаздывающего типа

(

)

(3.1)

Ż(t)

A(p, λ)z(t)

F₁

t,y(t),... ,y(t - ñ₁h)

t>t

с выходом

(

)

(3.2)

v(t)

C(λ)z(t)

F₂

t,y(t),... ,y(t - ñ₂h)

t≥t

где

A(p, λ) ∈ R^ñ×ñ[p, λ],

C(λ) ∈ R^n×ñ[λ];

Fi(t, ξ0, . . . , ξñ_i ) (t ∈ R, ξi ∈ R^r) -

известные непрерывные векторные функции, линейные по переменным ξ_i;

числа ñ ∈ N, ñ_i ∈ N (i = 1, 2) и t> 0 уточняются далее в процессе синте-

за наблюдателя (3.1), (3.2). Решение уравнения (3.1) однозначно задается

начальной функцией z(t) = z(t), t ∈ [t- m₁h, t], где число m₁ = deg_λ

A(p, λ)

(максимальная степень переменной λ элементов матриц

A(p, λ)), функция

(

)

(

)

z∈C

[t- m₁h, t],R^ñ

, C

[a, b], Rⁿ

- пространство непрерывных на отрез-

ке [a, b] функций с равномерной нормой. Также в операторной записи систе-

мы (3.1) используются следующие обозначения (для полиномиальной матри-

C(s) и функции f):

∫

C(s)λⁱe^-psdsf(t) =

C(s)f(t - ih - s)ds, pf(t) =

(t).

Определение. Систему (3.1), (3.2) назовем финитным наблюдателем

для системы (2.3), (2.4), если

1) найдется число t₁ > tтакое, что разность ε(t) = v(t) - x(t), t > t, удов-

летворяет тождеству

(3.3)

ε(t) ≡ 0, t ≥ t₁,

(

)

каковы бы ни были начальные функции

x∈^C

[-mh, 0], Rⁿ

z∈

(

)

∈C

[t- m₁h, t], R^ñ

, систем (2.3), (2.4) и (3.1), (3.2) соответственно;

2) уравнение (3.1) имеет запаздывающий тип и является асимптотиче-

ски устойчивым.

Величину ε = v - x назовем ошибкой наблюдения.

Перейдем к вопросу существования финитного наблюдателя. Рассмотрим

систему (2.3), (2.4). Пусть W (p, λ) = p(I_n - D(λ)) - A(λ) - характеристиче-

ская матрица системы (2.3) (при λ = e^-ph), C - множество комплексных чи-

сел. Условия

[

]

W (p, e^-ph)

(3.4)

1) rank

∀p ∈ C

C(e^-ph)

[

]

I_n - D(λ)

(3.5)

2) rank

∀λ ∈ C

C(λ)

являются

[24, 25] необходимыми и достаточными для того, чтобы в до-

статочно большой момент времени t₂ > 0 существовала непрерывная од-

нозначная операция восстановления текущего состояния Lt2 : y → xt2 , где_{

(

)}

y ∈ Y[0,t2], Y[0,t] = y(τ, x), τ ∈ [0,t] : x ∈ ^C

[-mh, 0], Rⁿ

- множество всех

выходов (2.4), порожденных всевозможными начальными функциями x ∈

(

)

∈ C

[-mh, 0], Rⁿ

; x_t = x_t(τ) = x(t + τ), τ ∈ [t - mh,t], - состояние уравне-

ния (2.4) в момент време(и t > 0, т)е. что(ы существо)ал однозначный непре-

рывный оператор Lt2 : C

[0, t₂], Rⁿ

→C

[-mh, 0], Rⁿ

. Более детально: соот-

ношение (3.4) обеспечивает импликацию (y(t) ≡ 0, t ∈ [0, t₂]) ⇒ (x(t) ≡ 0, t ∈

∈ [t₂ - mh, t₂]), а условие (3.5) необходимо для непрерывности оператора Lt2 .

Пример. Для системы x(t)- x(t-h) = x(t), y(t) = x(t)-x(t-h), t > 0,

условие (3.4) выполнено, а условие (3.5) нарушается. Операция восстановле-

ния текущего состояния имеет вид x(t) = y(t), t ∈ [t₂ - h, t₂]. Эта операция

является однозначной, но не является непрерывной, поскольку из равномер-

ной сходимости последовательности функций не следует равномерная сходи-

мость производных этих же функций (см. также [14]).

Следующее утверждение является критерием существования финитного

наблюдателя.

Теорема. Для того чтобы для системы (2.3), (2.4) существовал фи-

нитный наблюдатель (3.1), (3.2), необходимо и достаточно, чтобы одно-

временно выполнялись условия (3.4), (3.5).

Доказательство. Необходимость. Предположим, что финитный на-

блюдатель (3.1), (3.2) существует. Тогда найдется момент времени t₂ = t₁+

+mh такой, что посредством наблюдателя (3.1), (3.2) точно вычисляется со-

стояние xt2 системы (2.3), (2.4). Такую процедуру определения состояния xt2

можно трактовать как результат действия оператора Lt2 y = xt2 , y ∈ Y[0,t2].

В силу тождества (3.3) оператор Lt2 является однозначным. А в силу пред-

ставления решения уравнения (3.1) по формуле Коши оператор Lt2 является

непрерывным. Из существования однозначного непрерывного оператора Lt2

следует [24, 25] необходимость условий (3.4), (3.5).

Достаточность условий (3.4), (3.5) следует из процедуры синтеза наблю-

дателя (3.1), (3.2), описанного в разделе 4. Теорема доказана.

4. Синтез финитного наблюдателя

Считаем, что условия (3.4), (3.5) выполнены. Синтез наблюдателя разо-

бьем на два этапа. Сначала построим наблюдатель для случая линейной авто-

номной дифференциально-разностной системы запаздывающего типа со ска-

лярным выходом. Затем применим эти результаты к общему случаю системы

нейтрального типа (2.3), (2.4).

4.1. Случай системы запаздывающего типа со скалярным выходом

Считаем, что в уравнении (2.3) матрица D(λ) = 0, а в выходе (2.4) мат-

рица C(λ) = [c₁(λ), . . . , c_n(λ)] ∈ R1×n[λ], т.е. функция y является скалярной.

Заметим, что условие (3.5) при D(λ) = 0 всегда выполнено.

Цель настоящего раздела - построить наблюдатель для системы (2.1), (2.2)

запаздывающего типа так, чтобы: а) поведение компонент n-вектора ошиб-

ки наблюдателя описывалось первыми n компонентами решения линейной

автономной системы запаздывающего типа с заданным конечным спектром;

б) элементы всех строк, за исключением последней, матрицы, обратной к ха-

рактеристической матрице этой системы, были целыми функциями экспонен-

циального типа, интегрируемыми в квадрате на мнимой оси. Тогда, приме-

нив теорему Винера-Пэли к Лаплас-образу решения системы, описывающей

ошибку наблюдателя, получим, что все компоненты ее решения, за исключе-

нием последней, будут финитными функциями.

Обозначим: a_ij (λ), i, j = 1, n, - элементы матрицы A(λ);

[

]_′

M (p, λ) =

M₁(p,λ),... ,Mn+1(p,λ)

– алгебраические дополнения к элементам (начиная с первого) последнего

столбца матрицы

⎡

⎤

p - a₁₁(λ) ...

-a1n(λ)

-g₁(p,λ)

⎢

⎥

W_g(p,λ) =

⎣

⎦,

-an1(λ) ... p - a_nn(λ)

-g_n(p,λ)

−c₁(λ) ...

-c_n(λ)

-gn+1(p,λ)

а w_g(p,λ) = |W_g(p,λ)| - определитель этой матрицы, символ ^′ (штрих) обо-

значает операцию транспонирования. Столбец

g(p, λ) = [g₁(p, λ), . . . , gn+1(p, λ)]^′

состоит из дробно-рациональных функций, вид которых конкретизируется

далее.

Ввиду условия (3.4) система полиномиальных уравнений

(4.1)

M_i

(p, λ) = 0, p, λ ∈ C, i = 1, n + 1,

относительно переменных p, λ может иметь лишь конечное [32], в частности

пустое, множество решений (p, λ). Поэтому найдутся ненулевой полином

∏

d₀(p) = (p - p_i)li ,

i=1

набор корней которого обозначим P^∗ = {p_i ∈ C, i = 1, μ}, и векторный поли-

ном

ϕ(p, λ) = [ϕ1(p,λ),... ,ϕn+1(p, λ)]′ такие, что

(4.2)

ϕ′(p, λ)M(p, λ) = d₀(p).

Замечание 1. Разложение (4.2) можно получить через построение ба-

зиса Гребнера, через спектральное приведение [21, 22], а также по алгоритму

Евклида, рассматривая полиномы M_i(p, λ), i = 1, n + 1, как полиномы от λ с

дробно-рациональными коэффициентами, зависящими от p.

Пусть

f (p, λ) = [f₁(p, λ), . . . , fn+1(p, λ)]^′ ,

∫

∑∑

sⁱ

(4.3)

f_j(p,λ)

f_j(λ) +

f_jki(λ) e-(p-pk)^s

ds, j = 1, n + 1,

k=1 i=0

– дробно-рациональные при e^-ph = λ функции с полиномиальными коэффи-

циентам

f_j(λ)

f_jki(λ); p_k ∈ P^∗, k = 1,μ. Функции f_j(p,λ) таковы, что после

применения формулы Эйлера к членам с комплексно сопряженными pk1,2 все

коэффициенты выражения f_j(p, λ) являются действительными величинами.

Вычисляя, получаем (λ = e^-ph, λ_k = e-pkh)

∫

(

)

sⁱ

(-1)i+1 dⁱ

λ-λ_k

e-(p-pk)^s

ds =

i = 0,1,...

dpⁱ λ_k(p - p_k)

Лемма 1. Для произвольного полинома

d₀(p,λ) найдется векторная

функция g(p, λ) = ϕ(p, λ) + f(p, λ) такая, что

w_g(p,λ) = -g^′(p,λ)M(p,λ)

d₀(p,λ),

где f(p, λ) - функция вида (4.3), ϕ(p, λ) = [ϕ1(λ), . . . , ϕn(λ), ϕn+1(p, λ)]′ -

∑˜r+1

полиномы, причем ϕn+1(p, λ) =

ϕj (λ)p^j , если

r = ν - n - 1 ≥ 0, ν =

j=0

= deg_p

d₀(p,λ), -ϕr+1(λ) - коэффициент при старшей степени p полинома

d₀(p,λ); ϕn+1(p,λ) =

ϕ₀(λ), если ν = n, и ϕn+1(p,λ) = 0, если ν < n.

Доказательство леммы 1 см. в Приложении.

Выберем полином d(p) степени n + 3

∏

d(p) = (p - p_i)ki , p_i

i=1

где

P = {p_i ∈ C,i = 1,μ₁} - множество его различных действительных или

комплексно сопряженных корней с алгебраическими кратностями k_i. При

формировании набора корней

P придерживаемся правила (см. замеча-

ние (П.1) в доказательстве леммы 1): различным p_i

P должны соответ-

ствовать различные λ_i = e-pih.

Пусть множествоΛ = {λ_i = e-pih | p_i

P, i = 1,μ₁}. Положим

∏

(4.4)

a₁(λ) = (λ - λ_i)ki , λ_i = e-pih ∈Λ,

i=1

тогда все корни полинома d(p) являются корнями квазиполинома a₁(e^-ph),

не меньшей кратности, поэтому функция a₁(e^-ph)/d(p)

- целая. Вы-

бере ( (см. доказ)ательство леммы

1) полином a₂(λ) так, чтобы функ-

ция

a₂(e^-ph) - p

/d(p) была целой. В этом случае в выражении ψ(λ) =

= d(a₂(λ))/a₁(λ) все корни знаменателя являются корнями числителя, не

меньшей кратности, поэтому ψ(λ) - полином.

Обозначим через

(

)

(

)

(4.5)

d(p, λ) =

d(a₂(λ)) - d(p)

a₂(λ) - p

полином (в силу теоремы Безу) степени n + 2 относительно p, старший коэф-

фициент которого равен единице. Представим его в виде

(4.6)

d(p, λ) =

d₁(p,λ)

d₂

(λ),

гд

d₁(p,λ)

d₂(λ) - некоторые полиномы. Выбором столбца g(p,λ) согласно

лемме 1 обеспечим, чтобы определитель матрицы W_g(p, λ) был равен поли-

ном

d₁(p,λ) степени n + 1: w_g(p,λ)

d₁(p,λ).

Введем матрицу W_b(p, (), котора) получается(из матр)цы Wg(p, λ) за-

меной последнего столбца

- g(p,λ)

на столбец

- b(p, λ)

= [-b₁(p, λ), . . .

...,-bn+1(p,λ)]^′.Столбецb(p,λ)строимсогласнолемме1,положи

d₀(p,λ) =

= 1, тогда w_b(p, λ) = 1, где w_b(p, λ) = |W_b(p, λ)|.

Определим матрицу

⎡

⎤

a₁₁(λ) ... a1n(λ)

g₁(p,λ)

b₁(p,λ)

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

an1(λ) ... a_nn(λ)

g_n(p,λ)

b_n(p,λ)

⎥

⎢

⎥

(4.7)

A(p, λ) =

⎢

⎥

c₁(λ) ... c_n(λ) gn+1(p,λ) + p bn+1(p,λ)

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

d₂(λ)

a₁(λ)

⎦

d(a₂(λ))/a₁(λ)

a₂(λ)

и вектор en+1 как (n + 1)-й столбец единичной матрицы In+3. Наблюдатель

(3.1), (3.2) для системы (2.3), (2.4) (D(λ) = 0, C(λ) ∈ R1×n[λ]) будем строить

в виде

F₂ = 0):

(4.8)

Ż(t)

A(p, λ)z(t) - en+1

y(t),

[

(4.9)

v(t) =

I_n

, 0]z(t), t > 0

(матрица [I_n, 0] ∈ Rn×(n+3)). В силу леммы 1 переменная p, содержащаяся

в элементах матриц

A(p, λ), может входить только в знаменатель дробно-

рациональных функций (если все дробно-рациональные функции предста-

вить в виде правильных относительно p дробей). Поэтому система (4.8) имеет

запаздывающий тип.

Погрешность ε₀ = v - x оценки v наблюдателем (4.8), (4.9) решения x ис-

ходной системы (2.3), (2.4) представляет собой первые n компонент решения

однородной системы (4.8) (y = 0)

(4.10)

ε(t) =A(p, λ)ε(t), t > 0,

где ε = [ε₀, xn+1, xn+2, xn+3]^′.

Покажем, что при любом непрерывном начальном состоянии ε(t), t ≤ 0,

найдется момент времени t₁ > 0 такой, что выполняется тождество ε₀(t) ≡ 0,

t≥t₁.

Разлагая определитель

|W(p)| характеристической матрицы

^W(p) =

= pIn+3

A(p, e^-ph) системы (4.10) по последнему столбцу, с учетом соот-

ношений (4.5), (4.6) получаем (λ = e^-ph), что

(

)(

)

|W(p)| =

p - a₂(λ)

pw_g(p,λ)

d₂(λ)w_b(p,λ)

(

)(

)

+a₁(λ)

- d(a₂(λ))/a₁(λ)

- w_b(p,λ)

(

)(

)

p - a₂(λ)

d₁(p,λ)

d₂(λ)

+ d(a₂(λ)) = d(p).

Следовательно, система (4.10) имеет конечный спектр, определяемый корня-

ми заранее выбранного полинома d(p).

Элементы первых n + 2 строк обратной матрицыW-1(p) являются це-

лыми функциями экспоненциального типа, поскольку таковыми являются

функции m_ij(p, e^-ph)/d(p), i = 1, n + 3, j = 1, n + 2, где m_ij(p, λ)

- допол-

нительный минор к элементу a_ij (p, λ) матрицы pIn+3

A(p, λ). Это следует

из разложения миноров m_ij(p, λ) по последнему столбцу и выбора полино-

мов a_i(λ), i = 1, 2: корни полинома d(p) являются корнями функций a₁(e^-ph),

p - a₂(e^-ph), не меньшей кратности, поэтому функции m_ij(p,e^-ph)/d(p),

i = 1,n + 3, j = 1,n + 2,

- целые. Поскольку элементы матрицы

A(p, e^-ph)

ограничены при p = iω, -∞ < ω < ∞, i - мнимая единица, то легко ви-

деть, что модули элементов матрицыW-1(iω) имеют порядок O(|ω|-1), ко-

гда |ω| → ∞. Таким образом, элементы первых n + 2 строк обратной матри-

цыW-1(p) образованы целыми функциями экспоненциального типа, инте-

грируемыми в квадрате на мнимой оси. Этот факт служит основанием [33]

для применения теоремы Винера-Пэли к Лаплас-образу первых n + 2 ком-

понент: ε₀(t), xn+i(t), i = 1, 2, t > 0, решения системы (4.10).

Переходя от системы (4.10) к ее Лаплас-образу, на основании теоремы

Винера-Пэли заключаем [33] о существовании момента времени t₁ > 0 та-

кого, что: ε₀(t) ≡ 0, xn+i(t) ≡ 0, i = 1, 2, t ≥ t₁. Если старшая степень λ в

(

)-1

i-й строке матрицы

pIn+3

A(p, λ)

равна α_i, i = 1, n + 2, то согласно тео-

реме Винера-Пэли момент времени t₁ = α₀h, α₀ = max{α_i, i = 1, n + 2}. Тож-

дество (3.3) обосновано.

Замечание 2. Поскольку полином d(p) является характеристическим

для системы (4.10), описывающей поведение ошибки ε₀ наблюдателя (4.8),

(4.9), то согласно определению 1 его следует выбирать асимптотически устой-

чивым.

4.2. Общий случай системы нейтрального типа

Рассмотрим систему (2.3), (2.4). В силу условия (3.5) найдутся [28, 29]

матрицы L₁(λ) ∈ R^n×r[λ] и L₂(λ) ∈ R^r×r[λ] такие, что справедливо тождество



(4.11)

In+r - D_L(λ)

≡ 1,

где матрица

[

]

D(λ) λL₁(λ)

D_L(λ) =

C(λ) λL₂(λ)

Обозначим через

[

]

Π₁₁(λ) Π₁₂(λ)

Π(λ) =

Π₂₁(λ) Π₂₂(λ)

(

)

(

)-1

матрицу, обратную к матрице

In+r - D_L(λ)

: Π(λ) =

In+r - D_L(λ)

Здесь блок Π₁₁(λ) ∈ R^n×n[λ], размеры остальных блоков понятны. В силу

условия (4.11) матрица Π(λ) ∈ R(n+r)×(n+r)[λ], т.е. является полиномиальной.

Введем функцию

(

)

(4.12)

χ(t) =

I_n - D(λ)

x(t), t ≥ 0.

Пусть χ(t), χ ∈ R^r, t ∈ R, - произвольная функция. Умножая очевидное ра-

венство

[

][

]

[

]

[

]

I_n - D(λ)

-λL₁(λ)

x(t)

χ(t)

-λL₁(λ)χ(t)

(

)

t ≥ γ₁h,

−C(λ) I_r - λL₂(λ)

χ(t)

-y(t)

I_r - λL₂(λ)

χ(t)

{

}

где γ₁ = max

deg_λΠ1i(λ), i = 1, 2

, слева на матрицу Π(λ), приходим к соот-

ношению

(4.13)

x(t) = Π₁₁(λ)χ(t) - Π₁₂(λ)y(t), t ≥ γ₁

На основании формул (4.12), (4.13) систему (2.3), (2.4) перепишем в виде

(4.14)

χ(t) = Q(λ)χ(t) + P (λ)y(t),

(4.15)

y_χ(t) = K(λ)χ(t), t ≥ γ₂

где матрицы Q(λ) = A(λ)Π₁₁(λ), P (λ) = -A(λ)Π₁₂(λ),

[

]

C(λ)Π

11(λ)

K(λ) =

(

)

I_n - D(λ)

Π₁₁(λ) - I_n

выходной сигнал y_χ является известной функцией и определяется формулой

[

]

Ir + C(λ)Π12(λ)

y_χ(t) =

(

)

y(t), t ≥ γ₂h,

I_n - D(λ)

Π₁₂(λ)

число γ₂ = γ₁ + m. Уравнение (4.14) является неоднородным линейным авто-

номным дифференциально-разностным уравнением запаздывающего типа с

соизмеримыми запаздываниями и известной неоднородной частью P (λ)y.

Решение χ уравнения (4.14) представим в виде суммы

(4.16)

χ=χ⁰ +χ^∗,

где χ⁰ - решения однородной системы

(4.17)

χ⁰(t) = Q(λ)χ⁰(t), t ≥ γ₂

c начальным условием χ⁰(t) = χ(t), t ≤ γ₂h, a χ^∗ - решение неоднородной

системы (4.14) (χ = χ^∗) с нулевым начальным условием χ^∗(t) ≡ 0, t ≤ γ₂h.

Пусть F⁰(t) - матрица Коши для уравнения (4.14), тогда функция χ^∗ извест-

на и определяется по формуле Коши

∫t

(4.18)

χ^∗(t) = F⁰(t - τ)P(λ)y(τ)dτ, t ≥ γ₂

γ₂h

Уравнение (4.17) снабдим известным в силу равенств (4.15), (4.18) выходным

сигналом

(4.19)

y0χ(t) = K(λ)χ⁰(t), t ≥ 2γ₂

где функция y0χ = y_χ - K(λ)χ^∗.

Лемма 2. Если выполнено условие (3.4), то

[

]

pI_n - Q(e^-ph)

(4.20)

rank

∀p ∈ C.

K(e^-ph)

Доказательство леммы 2 см. в Приложении.

Пусть

⎡

⎤

K₁(λ)

⎦_,

K(λ) =⎣...

Kn+r(λ)

где K_i(λ), i = 1, n + r, - i-я строка матрицы K(λ). Зафиксируем произволь-

ный номер i₀ ∈ {1, . . . , n + r}. В силу условия (4.20) найдется [19] матрица

L₃(λ) ∈ R^n×r[λ] такая, что

[

]

pI_n - Q₁(e^-ph)

(4.21)

rank

∀p ∈ C,

Ki0 (e^-ph)

где Q₁(λ) = Q(λ) + L₃(λ)K(λ).

Уравнение (4.17) представим в виде неоднородного уравнения c известной

правой частью

(4.22)

χ⁰(t) = Q₁(λ)χ⁰(t) - L₃(λ)y0χ(t), t ≥ γ₃

где γ₃ = 2γ₂ + deg_λL₃(λ). Функцию χ⁰ запишем как сумму

(4.23)

χ⁰ = χ₀ + χ_∗

решения χ₀ однородной системы

(4.24)

χ₀(t) = Q₁(λ)χ₀(t), t ≥ γ₃

c начальным условие χ₀(t) = χ⁰(t), t ≤ γ₃h, и решения неоднородной систе-

мы (4.22) (χ⁰ = χ_∗) с нулевым начальным условием χ_∗(t) ≡ 0, t ≤ γ₃h. Функ-

ция χ_∗ является известной и определяется по формуле Коши

∫t

(4.25)

χ_∗(t) = - F₀(t - τ)L₃(λ)y0χ(τ)dτ, t ≥ γ₃

γ₃h

где F₀(t) - матрица Коши для уравнения (4.24). К уравнению (4.24) добавим

известный в силу соотношений (4.19), (4.25) выходной сигнал

(4.26)

yχ0i₀ (t) = Ki0 (λ)χ0(t), t ≥ γ4

где yχ0i₀ - i0-я компонента функции y^χ - K(λ)χ∗, число γ4 = γ2 + γ3.

На основании формул (4.16), (4.18), (4.23), (4.25) запишем равенство

(

)

(4.27)

x(t) = Π₁₁(λ)χ₀(t)

F₂

t,y(t),... ,y(t - n₂h)

t ≥ (γ₁ + γ₃

)h,

где функци

F₂ определяется выражением

(

)

F₂

t,y(t),... ,y(t - ñ₂h)

⎛

⎞

∫t

∫

⎜

(4.28)

= Π₁₁(λ)

−

⎝ F⁰(t - τ)P(λ)y(τ)dτ - F0(t - τ)L3(λ)y^χ(τ)dτ^⎠

γ₂h

γ₃h

- Π₁₂(λ)y(t), t ≥ (γ₁ + γ₃)h,

число ñ₂ ≤ γ₁ + γ₃.

Поскольку выполняется условие (4.21), то для системы (4.24), (4.26) суще-

ствует финитный наблюдатель (4.8), (4.9), обеспечивающий тождество (3.3).

Пусть такой наблюдатель определяет матрица

A(p, λ), описанная форму-

лой (4.7). На основании соотношения (4.27) для исходной системы (2.3), (2.4)

существует финитный наблюдатель (3.1), (3.2), в котором число ñ = n + 3,

матриц

A(p, λ) получена в ходе построения наблюдателя для системы (4.24),

(4.26) (т.е. матрица (4.7)), матрица

[

]

(4.29)

C(λ) = Π₁₁(λ)

I_n, 0

]

где [I_n, 0

∈ Rn×(n+3), функция

(

)

(4.30)

F₁

t,y(t),... ,y(t - ñ₁h)

= -en+1yχ0i0 (t), t ≥ γ4

(

)

функци

F₂

t,y(t),... ,y(t - ñ₂h)

задается выражением (4.28).

Ошибка оценивания решения x системы (2.3), (2.4) наблюдателем (3.1),

(3.2) определяется выражением

([

)

(4.31)

ε(t) = Π₁₁(λ)

I_n,0]z(t) - χ₀(t)

t≥t

где t = γ₄h. В силу выбора матриц

A(p, λ) найдется момент времени t₁ > t

такой, что

[

I_n,0]z(t) - χ₀(t) ≡ 0, t ≥ t₁.

Поэтому ε(t) ≡ 0, t ≥ t₁, где t₁ = t₁ + hdeg_λΠ₁₁(λ), т.е. выполняется тожде-

ство (3.3).

5. Реализация наблюдателя. Пример

Конкретизируем последовательность действий, необходимых для реализа-

ции финитного наблюдателя (3.1), (3.2).

1. Строим (например, согласно [28]) матрицы L_i(λ), i = 1, 2, обеспечиваю-

щие тождество (4.11), после чего находим матрицу Π(λ) и вычисляем матри-

цы Q(λ), P (λ), K(λ).

2. Выбираем произвольную строку Ki0 (λ), i₀ ∈ {1, 2, . . . , n + r}, матри-

цы K(λ) и находим матрицу L₃(λ), обеспечивающую условие (4.21). Для

построения матрицы L₃(λ) можно воспользоваться публикацией [19]. Далее

выписываем матрицу Q₁(λ).

3. Строим финитный наблюдатель (4.8), (4.9) для системы (4.24), (4.26).

Для этого используем рассуждения подраздела 4.1. На протяжение данного

п. 3 во избежание путаницы в обозначениях считаем, что A(λ) = Q₁(λ) и

C(λ) = Ki0 (λ).

3.1. Определяем полиномы d₀(p) и ϕ_i(p, λ), i = 1, n, такие, что выполняется

равенство (4.2). Процедура их построения описана в доказательстве леммы 1

(см. Приложение).

3.2. Выбираем асимптотически устойчивый полином d(p) степени n + 3,

который будет характеристическим полиномом финитного наблюдателя, кон-

струируемого в данном пункте. По формуле (4.4)(выписываем)полином a1(λ)

и находим полином a₂(λ) такой, чтобы функция

a₂(e^-ph) - p

/d(p) была це-

лой. Возможный способ выбора полинома a₂(λ) приведен в доказательстве

леммы 1 при описании полинома a(λ).

3.3. По формуле (4.5) определяем полино

d(p, λ), после чего находим по-

лином

d₁(p,λ)

d₂(λ), обеспечивающие представление (4.6).

3.4. Находим векторные полиномы g(p, λ) и b(p, λ), обеспечивающие ра-

венства w_g(p, λ)

d₁(p,λ) и w_b(p,λ) = 1 соответственно. Для этого можно

использовать доказательство леммы 1. После этого по формуле (4.7) выпи-

сываем матриц

A(p, λ). Наблюдатель (4.8), (4.9) построен.

4. По формулам (4.28) и (4.30) получаем функци

Fi(t, y(t), . . . , y(t - ñih)),

i = 1,2, а по формуле (4.29) вычисляем матрицу

C(λ). Далее выписываем

наблюдатель (3.1), (3.2), используя матриц

A(p, λ), найденную в п. 3.4.

Проиллюстрируем схему синтеза наблюдателя (3.1), (3.2) конкретным при-

мером. Рассмотрим систему (2.3), (2.4) следующего вида:

[

]

[

]

[

2 - 2λ 1

(5.1)

D(λ) =

A(λ) =

C(λ) =

1 + λ, 0], h = ln2.

Для системы (2.3), (2.4) с матрицами (5.1) условия (3.4), (3.5) выполнены.

1. Строим матрицы L_i(λ), i = 1, 2, обеспечивающие тождество (4.11), на-

ходим матрицы:

⎡

⎤

[

]

λ+1 0

⎢

⎥

⎢

⎥

L₁(λ) =

, 0 ,

L₂(λ) = -

Π(λ) =

⎣

⎦^.

1+λ

1-λ

Далее вычисляем

⎡

⎤

λ² +

λ+1 0

[

]

[

]

⎢

⎥

⎢

⎥

2-λ-λ²

λ² - λ

Q(λ) =

P (λ) =

K(λ) =

⎢

^⎥.

⎢

λ² -

0⎥

⎣ -

⎦

Заметим, что для системы (4.14), (4.15) выход имеет вид

⎡

(

)

⎤

λ² -

λ y(t)

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

(

)

⎥

y_χ(t) =

⎢

⎥.

⎢

λ² -

λ y(t)

⎥

⎣

⎦

2. От системы (4.14), (4.15) перейдем к однородной системе (4.17), (4.19).

В данном случае выполняется условие (i₀ = 2)

[

]

pI2 - Q(e-ph)

rank

∀p ∈ C

K₂(e^-ph)

(K₂(λ) - вторая строка матрицы -K(λ)), поэтому переход к системе (4.24),

(4.26) в данном случае излишен. Можно сразу перейти к построению наблю-

дателя (4.8), (4.9) для восстановления фазового вектора χ⁰ уравнения (4.17),

при этом используем известный выход (вторая компонента вектора -y_χ(t))

(

)

[

]

y(t) = -

λ² -

λ y(t) =

λ² +

λ, 0 χ(t).

[₁

]

Таким образом, L₃(λ) = Q₁(λ) = Q(λ), Ki0 (λ) =

λ² +¹²λ, 0

, i₀ = 2.

3. Выберем характеристический полином системы (4.8) вида

d(p) = (1 + p)(2 + p)(3 + p)(4 + p)(5 + p).

[

]₅

Выполнив пп. 3.1-3.4, получаем матриц

A(p, λ) =

ã_ij(p,λ)

, где

i,j=1

ã₁₁(p,λ) = 2 - λ - λ²,

ã₁₂(p,λ) = 1,

ã₁₃(p,λ) =

(-173484028794378090627-

118219490218475520

−458100524596592640λ - 214888552532541440λ² - 989560464998400λ³ +

+15393162788864λ⁴ ) +

(-685442674106302464-

2485980758016000

−198425094626084139λ - 9007976348912214λ² + 1168086192092586λ³ -

-113713289038422λ⁴ + 8390237771178λ⁵ - 467931086422λ⁶ + 19355063978λ⁷ -

∫h

-571070614λ⁸ + 11254586λ⁹ - 131614λ¹⁰ + 686λ¹¹) e^-psds+

(694396074392611184443392+

1303369879658692608000

+514444061079244375522893λ + 1450689465298965428097λ² -

-175230777057286038012λ³ + 16290022668905707536λ⁴ -

-1164313331767582656λ⁵ + 63575827441746176λ⁶ - 2595531887082496λ⁷ +

+75954508009472λ⁸ - 1488082419712λ⁹ + 17318346752λ¹⁰ -

∫h

-89915392λ¹¹) e-(p-2)sds,

∫

2+λ

5 + 4λ

ã₁₄(p,λ) = -

e^-psds +

e-(p-2)sds,

ã₁₅(p,λ) = 0,

215009128125

ã₂₁(p,λ) = 0,

ã₂₂(p,λ) = 0,

ã₂₃(p,λ) = -

1073741824

ã₂₄(p,λ) = -1,

ã₂₅(p,λ) = 0,

ã₃₁(p,λ) =

λ(1 + λ),

ã₃₂(p,λ) = 0,

-1886208 + 208320λ + 97720λ² + 450λ³ - 7λ

ã₃₃(p,λ) =

107520

(-694396074392611184443392-

2606739759317385216000

-514444061079244375522893λ - 1450689465298965428097λ² +

+175230777057286038012λ³ - 16290022668905707536λ⁴ +

+1164313331767582656λ⁵ - 63575827441746176λ⁶ + 2595531887082496λ⁷ -

-75954508009472λ⁸ + 1488082419712λ⁹ - 17318346752λ¹⁰ + 89915392λ¹¹ )×

∫h

× e-(p-2)sds +

(685442674106302464+

4971961516032000

+198425094626084139λ + 9007976348912214λ² - 1168086192092586λ³ +

+113713289038422λ⁴ - 8390237771178λ⁵ + 467931086422λ⁶ -

∫h

-19355063978λ⁷ + 571070614λ⁸ - 11254586λ⁹ + 131614λ¹⁰ - 686λ¹¹) e^-psds,

∫

2+λ

5 + 4λ

ã₃₄(p,λ) =

e^-psds -

e-(p-2)sds,

ã₃₅(p,λ) = 0,

ã₄₁(p,λ) = 0,

ã₄₂(p,λ) = 0,

ã₄₃(p,λ) =

(56623052202075934949376-

133646325550940160000

-41495535908764935782400λ + 17095744760802862694400λ² -

-4615913547683699097600λ³ + 897722941904410116096λ⁴ -

-132245916683128012800λ⁵ + 15191155963251916800λ⁶ -

-1383001052951347200λ⁷ + 100505365410451456λ⁸ - 5829424235827200λ⁹ +

+267962519283200λ¹⁰ - 9620000812800λ¹¹ + 263244961296λ¹² -

-5282877600λ¹³ + 72980600λ¹⁴ - 617400λ¹⁵ + 2401λ¹⁶),

ã₄₄(p,λ) = 0,

ã₄₅(p,λ) = (-32 + λ)(-16 + λ)(-8 + λ)(-4 + λ)(-2 + λ),

ã₅₁(p,λ) = 0,

ã₅₂(p,λ) = 0,

ã₅₃(p,λ) =

(-82944 + 8928λ - 436λ² + 7λ³)×

14369652923237086003200000

×(-68352 + 8112λ - 422λ² + 7λ³)(-47616 + 6648λ - 394λ² + 7λ³)×

×(-30528 + 4392λ - 338λ² + 7λ³)(-18624 + 2568λ - 226λ² + 7λ³),

58368 - 100800λ + 9800λ² - 450λ³ + 7λ

ã₅₄(p,λ) = 0,

ã₅₅(p,λ) =

107520

4. Теперь строим наблюдатель для восстановления фазового вектора ис-

ходной системы (2.3), (2.4) с матрицами (5.1). Он будет иметь вид (3.1), (3.2),

где матриц

A(p, λ) построена выше,

[

]

λ+1 0 0

C(λ) =

⎡

⎤

⎢

⎥

(

)

⎢

⎥

F₁

t,y(t),y(t - h)

=-⎢

⎥×

⎣

⎦

⎛

⎞

[

] ∫t

[

]

⎜

λ²

-λ

⎟

×⎝y(t) -

λ² +

λ, 0

F⁰(t - τ)

y(τ)dτ⎠,

γ₂h

⎤

⎡

⎤

^⎡1

∫

[

]

λ² - λ

⎦

⎦y(t)

F₂(t,y(t),y(t - h)) =^⎣2λ+1

F⁰(t - τ)

y(τ)dτ -⎣-2

γ₂h

(напомним, что F⁰(t) - матрица Коши для уравнения (4.14)).



Проверяем, что

W(p)=d(p),где W(p)=pI5

A(p, e^-ph). Вычислив мат-

рицуW∗(p), присоединенную к^W(p), убеждаемся, что корни полинома

d(p): {-1, . . . , -5} являются корнями элементов первых четырех строк мат-

рицыW∗(p). Это означает, что элементы первых четырех строк матрицы

W-1(p) - целые функции. Максимальная степень переменной λ в этих стро-

(

)-1

ках матрицы

pIn+3

A(p, λ)

равна 18. Для данной системы γ₁ = 1, γ₂ = 2,

γ₃ = 4, γ₄ = 6, deg_λΠ₁₁(λ) = 1. Поэтому в формуле (4.31) число t= 6h, чис-

ло t₁ = t+ 18h и тождество (3.3) выполняется при t₁ = t+ 19h = 25h. Таким

образом, начиная с момента времени t₁ = 25h имеем точное равенство

x(t) = v(t), t ≥ 25h,

где x(t) - решение системы системы (2.3), (2.4) с матрицами (5.1), v(t) - выход

наблюдателя (3.1), (3.2) с полученными здесь матрицами.

6. Заключение

Для линейных автономных дифференциально-разностных систем ней-

трального типа с соизмеримыми запаздываниями предложены критерий су-

ществования и метод синтеза финитного наблюдателя в виде линейной ав-

тономной системы запаздывающего типа, выход которой представляет собой

оценку решения исходной системы, причем погрешность такой оценки явля-

ется финитной за конечное время функцией. Спектр уравнения (3.1), вхо-

дящего в систему уравнений (3.1), (3.2), задающих наблюдатель, является

конечным и определяется выбором полинома d(p), что позволяет управлять

динамическими свойствами системы (4.10), описывающей поведение погреш-

ности оценки решения исходной системы (2.3), (2.4).

Особенностью синтеза финитного наблюдателя является необходимость

оперировать полиномами более высоких степеней, нежели в операторной за-

писи исходной системы (2.3), (2.4) (см. в доказательстве леммы 1 форму-

лу (Π.6) и вид функци

f (p, λ)). Тем не менее операции с полиномами, от-

носящиеся к процессу синтеза наблюдателя, являются стандартными и легко

реализуются посредством использования современных систем компьютерной

математики.

В заключение отметим, что наряду с предложенным финитным наблюда-

телем можно, используя традиционный подход [19] и результаты решения за-

дачи модальной управляемости [26, 28, 34], построить для исходного объекта

исследования асимптотические наблюдатели. Однако их ошибка оценивания

будет обращаться в ноль только лишь асимптотически.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство леммы

1. Обозначим: Λ^∗ = {λ_i = e-pih | p_i ∈ P^∗,

i = 1,μ}; Λ = {λ_k ∈ C,k = 1,μ₂} - множество всех различных чисел та-

ких, что при некотором p₀ ∈ C пара чисел (p₀, λ_k), λ_k ∈ Λ, является ре-

шением системы (4.1). Построим полином a(λ) таким, чтобы функция(

)

a(e^-ph) - p

/d₀(p) была целая. Это равносильно тому, что для всех p_i ∈ P^∗

значения функции a(e^-ph) - p и ее производных в точках p = p_k обращаются

в нуль

(

)(k)

a(e^-ph) - p



= 0, i = 1, μ, k = 0, l_i - 1.

p=p_i

Поэтому для всех λ_i = e-pih ∈ Λ^∗ (p_i ∈ P^∗) должны выполняться равенства

(-1)^k(k - 1)!

(Π.1)

a(λ_i) = p_i, a(k)(λ_i) =

, k =1,l_i-1, если l_i

> 1, i = 1, μ.

hλ^k

Замечание П.1. Если набор корней полинома d₀(p) содержит комплекс-

но сопряженные корни, то возможна ситуация, когда pk1 = pk2 , но λk1 =

= λk2 = e-pk1,2^h и первое равенство в (Π.1) выполнить нельзя, так как

в этом случае a(λk1 ) = a(λk2 ), а pk1 = pk2 . Для преодоления такой ситу-

ации введем [21, 22] в регуляторе новое дробное запаздывание: h₁ = h/k,

k ∈ N. Тогда матрица системы

(2.3): A(λ) = A₀ + A₁λ^k + . . . + A_mλ^km и

λⁱx_j(t) = x_j(t - ih₁). Натуральное k можно выбрать так, что различным зна-

чениям p_i ∈ P^∗ будут соответствовать различные λ_i = e-pih/k. Легко видеть,

что множество P^∗ при этом не изменится. Считаем далее это условие выпол-

ненным.

Потребуем, кроме того, чтобы одновременно

(Π.2)

M (a(λ_i), λ_i) = 0, λ_i ∈ Λ\Λ^∗.

Эти неравенства понадобятся далее.

Чтобы обеспечить неравенства (Π.2), достаточно [22] к интерполяционным

условиям (Π.1) добавить равенства (если они не следуют из (Π.1))

(Π.3)

a(λ) = p₀ (p₀ ∈ R | p₀ ∈ P^∗, λ ∈ Λ\Λ^∗

Значение p₀ можно взять одно и то же для всех λ ∈ Λ\Λ^∗. Вместо (Π.3) можно

потребовать, чтобы

(

)

(Π.4)

a(λ⁰) = p⁰ p⁰ ∈ C | e-p0h = λ⁰, λ⁰ ∈ Λ\Λ^∗

При этом паре комплексно сопряженных значений λ01,2 ставим в соответствие

пару комплексно сопряженных значений p01,2.

Таким образом, полином a(λ) найдем как решение известной в теории по-

линомов интерполяционной задачи (Π.1), (Π.3), т.е. как полином Лагранжа-

Сильвестра [35, c. 104].

Теперь покажем, что существует векторный полином q(λ) такой, что

(Π.5)

q′

(λ)M(a(λ), λ) ≡ 1, λ ∈ C.

Полиномы M_i(a(λ), λ), i = 1, n + 1, - взаимно просты. В противном случае

найдется λ⁰ ∈ C такое, что M_i(a(λ⁰), λ⁰) = 0, i = 1, n + 1, где a(λ⁰) = p⁰ ∈ P^∗,

λ⁰ ∈ Λ. Заметим, что λ⁰ ∈ Λ^∗. Действительно, предположим противное. Тогда

в силу (Π.1) выполняется a(λ⁰) = p⁰, а по определению множества Λ^∗ будет

λ⁰ = e-p0h. Значит, M_i(e-p0h,λ⁰) = 0, i = 1,n, что противоречит (3.4).

Для числа λ⁰ ∈ Λ\Λ^∗ ввиду (Π.3) p⁰ ∈ P^∗ (или (p⁰, λ⁰) не является решени-

ем (4.1), если реализовано (Π.4)) - получили противоречие. Таким образом,

уравнение (Π.5) имеет решение относительно полинома q^′(λ).

Полином

q(λ) находим с помощью алгоритма Евклида или методом

неопределенных коэффициентов. Используя заданный полино

d₀(p,λ), за-

писываем полином

(

)

(Π.6)

k₁(p,λ) = -

q^′(λ)M(p,λ)

d₀(p,λ)

q^′(λ) =

d₀(a(λ),λ)q^′

(λ).

Берем функци

f^′(p,λ) =

ϕ′(p, λ)k₁(p, λ)/d₀(p) и

g′(p, λ) = [g₁(p, λ), . . . , gn+1(p, λ)] = q^′(λ)

f^′(p,λ).

Поскольку согласно теореме Безу функция k₁(p, λ)/(a(λ) - p) — полином,

а функция (a(e^-ph) - p)/d₀(p) — целая, то компоненты вектор-функции

f (p, e^-ph) — также целые функции. Проверим, что

w_g(p,λ) = -g^′(p,λ)M(p,λ)

d₀(p,λ).

Действительно,

(

)

-g^′(p,λ)M(p,λ) = -

q^′(λ)

f^′(p,λ)

M (p, λ) =

(Π.7)

= -q^′(λ)M(p,λ) - k₁(p,λ)

d₀(p,λ)

ввиду (4.2), (Π.6).

Если все компоненты вектор

f (p, λ) есть правильные относительно p дро-

би, то полагаем f(p, λ)

f (p, λ) и ϕ(p, λ) = q(λ).

Пусть среди компонент вектор

f^′(p,λ) есть неправильные относительно p

дроби. Выполнив деление на d₀(p), получаем

(Π.8)

f^′(p,λ) = ϕ^′(p,λ)k₁(p,λ)/d₀(p) =

ϕ′(p, λ) + f^′(p, λ),

[

]_′

где компоненты

ϕ(p, λ) =

ϕ₁(p,λ),... ,ϕn+1(p, λ)

- полиномы, компоненты

f^′(p,λ) - правильные относительно p дробно-рациональные функции. Вви-

ду (Π.7) имеем

(

)

q^′(λ) +

ϕ′(p, λ) + f^′(p, λ)

M (p, λ)

d₀(p,λ).

Отсюда

(

)

ϕ′(p, λ)M(p, λ)

d₀(p,λ) +

f^′(p,λ) + q^′(λ)

M (p, λ)

d₀(p,λ).

Введем матрицу

ϕ(p, λ), которая получается из матрицы Wg(p, λ) посред-

[

]_′

ством замены столбца g(p, λ) столбцом

ϕ(p, λ) =

ϕ₁(p,λ),... ,ϕn+1(p, λ)

Проделав элементарные преобразования над столбцами матрицы

ϕ(p, λ),

приводим ее к матрице

ϕ(p, λ), которая получена из матрицы Wϕ(p, λ) за-

[

]_′

меной столбца

ϕ(p, λ) на столбец

ϕ(p, λ) =

ϕ₁(λ),... ,ϕn(λ),

ϕn+1(p, λ)

, где

ϕi(λ), i = 1, n, - полиномы переменной λ,

ϕn+1(p, λ) - полином переменных

p и λ (возможно, зависящий только от λ или число). После этого полагаем

ϕ(p, λ) = q(λ) +

ϕ(p, λ). Из равенства



₌

^

ϕ(p, λ)

d₀(p,λ)

заключаем, что функция ϕ(p, λ) имеет оговоренный в условии леммы 1 вид.

Лемма 1 доказана.

ЗамечаниеП.2.Чтобыполучитьизматрицы

ϕ(p, λ) матрицу Wϕ(p, λ),

можно использовать, например, следующие преобразования. Выберем сре-

ди первых n строк матрицы

ϕ(p, λ) ту, в которой полином

ϕi(p, λ),

i ∈ {1,...,n}, имеет максимальную степень переменной p (если таких строк

несколько, то выбираем любую). Предположим, что выбранная строка имеет

номер i₀ и

∑

ϕi₀ (p, λ) =

ĝi(λ)pⁱ,

j=0

где n₀ = deg_p

ϕi₀ (p, λ), ĝi(λ) - полиномы. Умножим столбец c номером i0 мат-

(

)

рицы

ϕ(p, λ) на полином

-ĝn0(λ)pn0-¹

и прибавим к столбцу c номером

n + 1. Описанные действия повторяем до тех пор, пока в первых n строках

последнего столбца полученной матрицы полиномы будут зависеть от пере-

менной p.

Доказательство леммы

2. Предположим противное, что усло-

вие (3.4) выполнено, а равенство (4.20) нарушается при некотором p = p₀ ∈ C.

Выберем ненулевой вектор q ∈ Rⁿ как решение алгебраической системы

(

)

(Π.9)

p₀I_n - Q(e-p0h)

q = 0, K(e-p0h

)q = 0.

Положим q₁ = Π₁₁(e-p0h)q. Тогда в силу (Π.9) запишем, что W (p₀, e-p0h)q₁ = 0

и C(e-p0h)q₁ = 0. А эти равенства противоречат условию (3.4). Лемма 2 до-

казана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Besancon G. (Ed.) Nonlinear Observers and Applications // Lect. Notes Control

Inform. Sci. V. 363. Springer, 2007.

Meurer T., Graichen K., Gilles E.D. (Eds.) Control and Observer Design for

Nonlinear Finite and Infinite Dimensional Systems // Lect. Notes Control Inform.

Sci. V. 322. Springer, 2005.

Luenberger D.G. An Introduction to Observers // IEEE Trans. Automat. Contr.

1971. V. AC-16. No. 6. P. 596-602.

Sename O. New Trends in Design of Observers for Time-Delay Systems //

Kybernetika. 2001. V. 37. No. 4. P. 427-458.

Lee E.B., Olbrot A.W. Observability and Related Structural Results for Linear

Hereditary Systems // Int. J. Control. 1981. No. 34. P. 1061-1078.

Pourboghrat F., Chyung D.H. Exact State-Variable Reconstruction of Delay

Systems // Int. J. Control. 1986. V. 44. No. 3. P. 867-877.

Emre E., Khargonekar P.P. Regulation of Split Linear Systems over Rings:

Coefficient-Assignment and Observers // IEEE Trans. Automat. Control. 1982.

V. 27. No. 1. P. 104-113.

Morse A.S. Ring Models for Delay Differential Systems // Automatica. 1976. No. 12.

P. 529-531.

Sontag E.D. Linear Systems over Commutative Rings: a Survey // Ricerche

Automat. 1976. No. 7. P. 1-16.

10.

Lee E.B., Zak S.H. On Spectrum Placement for Linear Time-Invariant Delay

Systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1982. V. AC-27. No. 2. P. 446-449.

11.

Eising R. Pole Assignment for Systems over Rings // Syst. Control Lett. 1982. V. 2.

No. 1. 225-229.

12.

Марченко В.М. Управление системами с последействием в шкалах линейных

регуляторов по типу обратной связи // Дифф. уравнения. 2011. Т. 47. № 7.

С. 1003-1017.

13.

Lee E.B., Lu W.S. Coefficient Assignability for Linear Systems with Delays // IEEE

Trans. Automat. Control. 1984. V. AC-29. No. 11. P. 128-131.

14.

Ильин А.В., Буданова А.В., Фомичев В.В. Синтез наблюдателей для асимпто-

тически наблюдаемых систем с запаздыванием // Докл. РАН. 2013. Т. 448. № 4.

С. 399-402.

15.

Manitius A., Triggiani R. Function Space Controllability of Linear Retarded

Systems: a Derivation from Abstract Operator Conditions // SIAM J. Control

Optim. 1978. V. 16. No. 4. P. 599-645.

100

16.

Bhat K.P., Koivo H.N. Modal Characterization of Controllability and Observability

of Time-Delay Systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1976. V. AC-21. No. 2.

P. 292-293.

17.

Метельский А.В. Задача идентификации в факторизованном пространстве со-

стояний дифференциально-разностной системы с соизмеримыми запаздывания-

ми // Дифф. уравнения. 1995. Т. 31. № 8. С. 1353-1360.

18.

Хартовский В.Е. К задаче о полной управляемости линейных систем со мно-

гими запаздываниями // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2006. № 2.

С. 33-38.

19.

Watanabe K. Finite Spectrum Assignment and Observer for Multivariable Systems

with Commensurate Delays // IEEE Trans. Automat. Control. 1986. V. AC-31.

No. 6. P. 543-550.

20.

Wang Q.G., Lee T.H., Tan K.K. Finite Spectrum Assignment Controllers for Time

Delay Systems. London: 1995.

21.

Метельский А.В. Задача назначения конечного спектра для дифференциальной

системы нейтрального типа // Дифф. уравнения. 2015. Т. 51. № 1. С. 70-83.

22.

Метельский А.В. Алгебраический подход к стабилизации дифференциаль-

ной системы запаздывающего типа // Дифф. уравнения. 2018. Т. 54. № 8.

С. 1119-1131.

23.

Sename O., Lafay J.F., Rabah R. Controllability indices of linear systems with

delays // Kybernetika. 1995. No. 6. P. 559-580.

24.

Минюк С.А., Метельский А.В. Критерии конструктивной идентифицируемости

и полной управляемости линейных стационарных систем нейтрального типа //

Изв. РАН. ТиСУ. 2006. № 5. С. 15-23.

25.

Хартовский В.Е., Павловская А.Т. Полная управляемость и управляемость

линейных автономных систем нейтрального типа // АиТ. 2013. № 5. C. 59-80.

Khartovskii V.E., Pavlovskaya A.T. Complete Controllability and Controllability

for Linear Autonomous Systems of Neutral Type // Autom. Remote Control. 2013.

V. 74. No. 5. P. 769-784.

26.

Павловская А.Т., Хартовский В.Е. Управление линейными системами с запаз-

дыванием нейтрального типа регуляторами с обратной связью динамической

структуры // Изв. РАН. ТиСУ. 2014. № 3. С. 3-18.

27.

Метельский А.В. Назначение конечного спектра и полное успокоение диффе-

ренциальной системы нейтрального типа одним регулятором // Дифф. уравне-

ния. 2016. Т. 52. № 1. С. 94-111.

28.

Метельский А.В., Хартовский В.Е. Критерии модальной управляемости ли-

нейных систем нейтрального типа // Дифф. уравнения. 2016. Т. 52. № 11.

С. 1506-1521.

29.

Метельский А.В., Хартовский В.Е., Урбан О.И. Регуляторы успокоения реше-

ния линейных систем нейтрального типа // Дифф. уравнения. 2016. Т. 52. № 3.

С. 391-403.

30.

Метельский А.В., Хартовский В.Е. Синтез регуляторов успокоения решения

вполне регулярных дифференциально-алгебраических систем с запаздывани-

ем // Дифф. уравнения. 2017. Т. 53. № 4. С. 547-558.

31.

Хартовский В.Е. Критерий модальной управляемости вполне регулярных

дифференциально-алгебраических систем с последействием // Дифф. уравне-

ния. 2018. Т. 54. № 4. С. 514-529.

32.

Метельский А.В. Полное успокоение и стабилизация системы с запаздыванием

через спектральное приведение // Изв. РАН. ТиСУ. 2014. № 1. С. 3-21.

101