Автоматика и телемеханика, № 12, 2019

Д.Д. ДАММЕР, канд. физ.-мат. наук (di.dammer@yandex.ru)

(Национальный исследовательский Томский государственный университет)

ИССЛЕДОВАНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНО ФОРМИРУЕМОГО ПОТОКА

В СИСТЕМЕ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ ПРИБОРОВ

И РЕКУРРЕНТНЫМ ОБСЛУЖИВАНИЕМ МЕТОДОМ

МАРКОВСКОГО СУММИРОВАНИЯ

Исследуются дополнительные потоки событий, которые формируются

заявками, находящимися в системе массового обслуживания с неограни-

ченным числом приборов и произвольным временем обслуживания зая-

вок. Предлагается и реализуется метод марковского суммирования для

получения характеристик анализируемых дополнительных потоков.

Ключевые слова: система массового обслуживания, метод марковского

суммирования, характеристическая функция, дополнительные потоки со-

бытий.

DOI: 10.1134/S0005231019120080

1. Введение

В настоящее время широко используются различные методы теории мас-

сового обслуживания [1-3] для исследования моделей различных реальных

систем: экономических [4-6], производственных [7, 8], вычислительных [9],

информационных [10] и др. В основном используемые методы принадлежат к

так называемому классу марковских моделей, где предполагается, что входя-

щий поток заявок пуассоновский и время обслуживания экспоненциальное.

Наблюдения за реальными системами показывают, что необходимо разви-

вать методы исследования немарковских систем [11]. Объектом анализа при

исследовании систем массового обслуживания могут быть, например, вхо-

дящие или выходящие потоки заявок, процесс изменения во времени числа

занятых приборов и др. В данной работе исследуется поток событий, форми-

руемый заявками, находящимися на обслуживании в системе с произвольно

распределенным временем обслуживания, и для трех типов входящего по-

тока заявок. Примерами таких сгенерированных (дополнительных) потоков

могут быть потоки страховых случаев клиентов, находящихся «на обслужи-

вании» в страховой компании; результаты исследований таких потоков при

экспоненциальном обслуживании представлены в [12]. Также в своих иссле-

дованиях Бартлетт использовал такие дополнительные потоки для анализа

транспортных потоков [13], а П. Льюис рассматривал их в качестве модели

отказов вычислительных машин [14].

В данной работе для исследования дополнительных потоков в системах

с рекуррентным обслуживанием и неограниченным числом приборов при-

меняется новый метод марковского суммирования, в результате получены

характеристики рассматриваемого потока.

133

2. Описание модели и постановка задачи

Рассмотрим систему (рис. 1) с неограниченным числом приборов, на вход

которой поступает некоторый поток заявок. Ниже будут рассмотрены вхо-

дящие потоки трех классов: простейший с параметром λ, рекуррентный, за-

данный функцией распределения A(x) длин интервалов между моментами

поступления его заявок, и коррелированный MMPP-поток (подробнее такой

поток опишем в разделе 5).

B(x)

M, GI, MMPP

; A(x);

; Q

B(x)

Рис. 1. Модель системы массового обслуживания с неограниченным числом

приборов и d-потоком.

Времена обслуживания заявок — независимые случайные величины с

функцией распределения B(x). За время обслуживания каждая заявка фор-

мирует события простейшего с параметром γ потока.

Введем следующие определения.

Определение 1. Последовательность моментов наступления собы-

тий, сформированных одной поступившей в систему заявкой, будем назы-

вать локальным d-потоком.

Определение 2. Последовательность моментов наступления собы-

тий, сформированных всеми поступившими в систему заявками, будем на-

зывать суммарным d-потоком.

Обозначим: n(t) — число событий суммарного d-потока, сформированных

заявками, поступившими на интервале [0, t], причем функция n(t) не явля-

ется считающей функцией d-потока, так как в d-потоке учитываются собы-

тия, наступившие и после момента времени t; P (n, t) = P{n(t) = n} — рас-

пределение вероятностей. Количество событий локального d-потока являет-

ся случайной величиной, количество заявок входящего потока, поступивших

в систему за время t, также является случайной величиной. Следовательно,

значение n(t) числа событий суммарного d-потока является суммой случай-

ного числа случайных величин. Такое суммирование выполнить достаточно

сложно, когда неизвестно распределение вероятностей числа слагаемых, что

естественно для непуассоновских входящих потоков.

Целью работы является исследование d-потока, т.е. нахождение распреде-

ления n(t). Для решения поставленной задачи будет применен предлагаемый

метод марковского суммирования, приведенный ниже.

3. Метод марковского суммирования

На рис. 2 представлена схема формирования суммарного d-потока. Вели-

чинами t_i обозначены моменты поступления заявок в систему, которые яв-

134

t₁

t₂

t₃

Рис. 2. Схема формирования суммарного d-потока.

ляются моментами начала их обслуживания, t_i ∈ [0, t]. Точками обозначены

моменты наступления событий в d-потоке.

Для непуассоновских входящих потоков нахождение распределения веро-

ятностей числа заявок, поступивших в систему за время t, является нетриви-

альной задачей, поэтому суммирование будем выполнять, применяя свойства

марковских процессов, а предлагаемый подход будем называть методом мар-

ковского суммирования.

Метод марковского суммирования реализуется следующими этапами:

— выбирается характеристика суммарного d-потока в виде распределения

вероятностей P (n, t) числа n(t) событий, наступивших в d-потоке, сформиро-

ванных всеми заявками входящего потока, поступившими в систему на ин-

тервале [0, t];

— определяется распределение вероятностей r(i, t) числа i событий ло-

кального d-потока, сформированных (на интервале [t, ∞)) заявкой входяще-

го потока, поступившей в систему в момент времени t, и устанавливается его

характеристическая функция g(u, t);

— в зависимости от типа входящего потока (пуассоновский, рекуррентный,

ММРР) составляется уравнение Колмогорова, определяющее распределение

вероятностей числа событий суммарного d-потока, сформированных всеми

заявками входящего потока, поступившими в систему до момента времени t;

— решая уравнение Колмогорова, получаем искомое распределение.

4. Распределение вероятностей числа событий локального d-потока

Найдем r(i, t) — вероятность того, что одна заявка, поступившая в си-

стему в момент времени t формирует i событий d-потока. Так как события

локального d-потока формируются с интенсивностью γ, т.е. образуют про-

стейший поток с параметром γ, то за время x их количество будет случайной

величиной, имеющей пуассоновское распределение с параметром γx. Коли-

чество событий локального d-потока, наступивших за время обслуживания с

функцией распределения B(x), будет иметь следующее распределение веро-

ятностей:

∫∞

(γx)ⁱ

r(i, t) =

e^-γxdB(x).

Так как правая часть выражения, определяющего r(i, t), не зависит от t, то

аргумент t можно исключить и обозначить r(i, t) как r(i). Характеристиче-

135

ская функция, соответствующая r(i), будет иметь следующий вид:

∞

∫

∑

(1)

g(u) =

e^juir(i) = exp{(γx)(e^ju

− 1)}dB(x),

i=0

где j =

√-1 — мнимая единица.

Так как для рассматриваемой системы времена обслуживания заявок неза-

висимы, то количеcтво событий суммарного d-потока, сформированных раз-

личными заявками, также независимы, поэтому для решения поставленной в

работе задачи будем рассматривать суммирование случайного числа незави-

симых случайных величин, которые определяются характеристической функ-

цией (1).

5. Исследование d-потока в системе M/GI/∞

Рассмотрим систему M/GI/∞, на вход которой поступает простейший с

параметром λ поток заявок.

Так как за время t в простейшем с параметром λ входящем потоке посту-

пает число заявок, имеющих пуассоновское с параметром λt распределение

вероятностей, то нетрудно найти характеристическую функцию h(u, t) вели-

чины n(t):

(2)

h(u, t) = M{ejun(t)} = eλt(g(u)-1),

где функция g(u) определяется выражением (1).

Для иллюстрации метода марковского суммирования эту характеристи-

ческую функцию найдем, излагая его в соответствии с приведенными выше

этапами.

В силу свойств простейшего входящего потока и независимости случайных

величин, определяемых распределением r(i), случайный процесс n(t) являет-

ся цепью Маркова. Тогда для его распределения вероятностей P (n, t) можно

записать равенства [15]:

∑

P (n, t + Δt) = P (n, t)(1 - λΔt) + λΔt P (n - i, t)r(i) + o(Δt),

i=0

из которых получим систему дифференциальных уравнений

∑

∂P(n,t)

(3)

= -λP(n,t) + λ

P (n - i, t)r(i).

∂t

i=0

Из системы (3) запишем дифференциальное уравнение для характеристи-

∑

ческой функции h(u, t) =

e^junP(n,t):

n=0

∂h(u, t)

= λh(u, t)(g(u) - 1).

∂t

136

Нетрудно показать, что решение h(u, t) этого уравнения, удовлетворяющее

начальному условию h(u, 0) = 1, имеет вид (2).

Теперь, зная характеристическую функцию h(u, t) числа n событий, на-

ступивших в суммарном d-потоке, от всех заявок входящего потока, посту-

пивших за время t, найдем распределение вероятностей P (n, t), используя

обратное преобразование Фурье:

∫

(4)

P (n, t) =

e^-junh(u, t)du,

2π

−π

которое нетрудно реализовать численно, что показано в разделе 7.

6. Исследование d-потока в системе GI/GI/∞

Рассмотрим систему GI/GI/∞, на вход которой поступает рекуррентный

поток заявок, а длины его интервалов имеют функцию распределения A(x).

Для такой системы массового обслуживания процесс n(t) немарковский,

поэтому введем величину z(t) — длину интервала от момента времени t до

момента поступления следующей заявки входящего рекуррентного потока.

Тогда двумерный процесс {n(t), z(t)} является марковским, а для его распре-

деления вероятностей

P (n, z, t) = P{n(t) = n, z(t) < z}

можно записать равенство

P (n, z - Δt, t + Δt) = P (n, z, t) - P (n, Δt, t) +

∑

+ A(z) P (n - i, Δt, t)r(i) + o(Δt).

i=0



Обозначив∂P(n,z,t)∂z

= ∂P(n,0,t)∂z, из последнего равенства получим урав-

z=0

нение

∑

∂P(n,z,t)

∂P(n,0,t)

∂P(n - i,0,t)

(5)

+ A(z)

r(i).

∂t

∂z

i=0

Определим частичные характеристические функции

∑

H(u, z, t) =

e^junP(n,z,t).

n=0

Тогда с учетом (5) для H(u, z, t) можно записать уравнение:

∂H(u,z,t)

∂H(u,0,t)

(6)

{A(z)r(u) - 1},

∂t

∂z

137

решение H(u, z, t) которого удовлетворяет начальному условию

∫z

(7)

H(u, z, 0) = R(z) = λ

(1 - A(x))dx,

где R(z) — функция распределения величины перескока рекуррентного по-

тока, а λ =

. Решение уравнения (6), удовлетворяющее (7), опре-

∫

(1-A(x))dx

деляет характеристическую функцию

(8)

h(u, t) = H(u, ∞, t)

числа n(t) событий в суммарном d-потоке.

В задаче (6)-(7) выполним преобразование Лапласа-Стилтьеса по z, обо-

значив

∫∞

∫

∞

∫

∞

H^∗(u,α,t) = e^-αzdH(u,z,t), A^∗(α) = e^-αzdA(z), R^∗(α) = e^-αzdR(z).

Для функции H^∗(u, α, t) получим уравнение

∂H^∗(u,α,t)

∂H(u,0,t)

(9)

= αH^∗(u, α, t) +

{A^∗

(α)r(u) - 1},

∂t

∂z

решение H^∗(u, α, t) которого удовлетворяет начальному условию

(10)

H^∗(u,α,0) = R^∗

(α)

и в силу равенства (8) определяет характеристическую функцию

(11)

h(u, t) = H(u, ∞, t) = H^∗

(u, 0, t).

Решение задачи Коши (9)-(10) имеет вид

⎧

⎫

⎨

∫

⎬

∂H(u,0,x)

(12)

H^∗(u,α,t) = e^αt

R^∗(α) + e^-αx

dx[A^∗(α)r(u) - 1]

⎩

∂z

⎭

В силу равенства (11) из (12) при α = 0 получим

∫t

∂H(u,0,x)

(13)

h(u, t) = 1 + (g(u) - 1)

dx.

∂z

В последнем выражении не известна функция∂H(u,0,x)∂z , которую найдем

из (12), совершая предельный переход t → ∞. В результате получим следую-

щее равенство:

∫∞

∂H(u,0,x)

R^∗(α) + e^-αx

dx[A^∗(α)r(u) - 1] = 0,

∂z

138

которое перепишем в виде

∞

∫

∂H(u,0,x)

R^∗(α)

(14)

e^-αx

dx =

∂z

1 - A^∗(α)r(u)

В последнем выражении обозначим: -α = jw. Сохраняя обозначения A^∗(u)

и R^∗(u) для характеристических функций, выражение (14) перепишем в виде

преобразования Фурье:

∞

∫

∂H(u,0,x)

R^∗(w)

e^jwx

dx =

∂z

1 - A^∗(w)r(u)

из которого обратным преобразованием Фурье получим выражение

для

функции∂H(u,0,x)∂z :

∞

∫

∂H(u,0,x)

R^∗(w)

(15)

e^-jwx

dw.

∂z

2π

1 - A^∗(w)r(u)

−∞

Так как

∫z

R(z) = λ

(1 - A(x))dx,

то

∫z

∫

∞

A^∗(w) - 1

R^∗(w) = e^jwzdR(z) = λ e^jwz(1 - A(z))dz = λ

поэтому (15) можно переписать в виде

∫

∞

∂H(u,0,x)

A^∗(w) - 1

e^-jwx

dw.

∂z

2π

jw(1 - A^∗(w)r(u))

−∞

Теперь запишем выражение для интеграла из (13):

⎛

⎞

∫

∞

∂H(u,0,x)

A^∗(w) - 1

dx =

⎝

e^-jwx

dw^⎠ dx.

∂z

2π

jw(1 - A^∗(w)r(u))

-∞

После изменения порядка интегрирования получим следующее выражение:

∞

∫

∂H(u,0,x)

1-e^-jwt

A^∗(w) - 1

dx =

dw.

∂z

2π

w²

jw(1 - A^∗(w)r(u))

-∞

139

Тогда равенство (13) перепишем в виде

∞

∫

1-e^-jwt

A^∗(w) - 1

(16)

h(u, t) = 1 - (1 - g(u))

dw.

2π

w²

jw(1 - A^∗(w)r(u))

-∞

Далее по формуле (4) находим распределение вероятностей P (n, t) числа n

событий суммарного d-потока от всех заявок входящего потока, поступивших

в систему GI/GI/∞ за время t.

7. Исследование d-потока в системе MMP P/GI/∞

Рассмотрим систему MMPP/GI/∞, на вход которой поступает MMPP-

поток (Markov Modulated Poisson Process) [16, 17] заявок, управляемый це-

пью Маркова k(t). Эта цепь определяется матрицей Q инфинитезимальных

характеристик q_νk, ν = 1, . . . , K, k = 1, . . . , K.

Определим диагональную матрицу Λ с элементами λ_k на главной диагона-

ли. Здесь λ_k - условная интенсивность поступления заявок в систему, когда

цепь Маркова находится в состоянии k, k = 1, . . . , K.

Для такой системы случайный процесс {k(t), n(t)} является двумерной

цепью Маркова, а для его распределения вероятностей

P_k(n,t) = P{k(t) = k,n(t) = n}

можно записать равенства

∑

P_k(n,t + Δt) = P_k(n,t)(1 - λ_kΔt)(1 + q_kk) +

P_ν(n,t)q_νkΔt +

ν=k

∑

+ λ_kΔt P_k(n - i,t)r(i) + o(Δt),

i=0

из которых получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова

∑

∂P_k(n,t)

(17)

= -λ_kP_k(n,t) + P_ν(n,t)q_νk + λ_k

P_k

(n - i, t)r(i).

∂t

i=0

Обозначим частичные характеристические функции:

∑

H_k(u,t) =

e^junP_k(n,t).

n=0

Тогда систему (17) для этих функций перепишем в следующем виде:

∑

∂H_k(u,t)

(18)

= -λ_kH_k(u,t)(g(u) - 1) + H_ν(u,t)q_νk.

∂t

140

Определив векторную характеристическую функцию

H(u, t) = {H₁(u, t), . . . , H_K (u, t)},

систему (18) перепишем в виде матричного дифференциального уравнения

∂H(u,t)

(19)

= H(u,t){Q + (g(u) - 1)Λ}

∂t

с начальным условием

(20)

H(u, 0) = R.

Так как векторная характеристическая функция H(u, t) определяет двумер-

ное распределение вероятностей состояний MMPP-потока (значений управ-

ляющей цепи) и числа событий суммарного d-потока, то при t = 0 получаем

одномерное стационарное распределение вероятностей R состояний входяще-

го MMPP-потока, которое определяется системой

RQ = 0, RE = 1,

где E — это единичный вектор-столбец.

Обозначим: A(u) = Q + (g(u) - 1)Λ. Решение задачи Коши (19)-(20) для

однородной системы (19) линейных дифференциальных уравнений с посто-

янными коэффициентами выполним, используя метод матричной экспонен-

ты [18], в соответствии с которым решение H(u, t) запишем в виде матричной

экспоненты:

H(u, t) = ReA(u)t,

тогда искомая скалярная характеристическая функция h(u, t) будет иметь

вид

(21)

h(u, t) = H(u, t)E = ReA(u)t

Для удобства численной реализации будем предполагать, что все собствен-

ные числа α_k(u) матрицы A(u) простые, k = 1, . . . , K. Обозначим собствен-

ные векторы этой матрицы β₁(u), . . . , β_K (u). Тогда значение матричной экс-

поненты можно найти, используя следующую формулу [18]:

(22)

eA(u)t = Tdiag (eα1(u)t,... ,eαK (u)t)T-1,

где T — матрица, составленная из собственных векторов матрицы A(u),

diag (eα1(u)t, . . . , eαK (u)t) — диагональная матрица, составленная из экспонент

в степени соответствующих собственных чисел матрицы A(u).

Таким образом, равенство (4) для h(u, t) из (21) определяет распределе-

ние вероятностей числа n(t) событий d-потока, сформированных заявками

MMPP-потока, поступившими в систему за время t.

141

8. Численный эксперимент

В настоящем разделе представлена численная реализация, выполненная

с помощью приложения Mathcad, в результате которой при заданных зна-

чениях параметров рассматриваемой модели получено распределение веро-

ятностей числа n событий в d-потоке, сформированных заявками входящего

потока, поступившими в систему на интервале [0, t].

P(n)

0,250

0,225

0,200

0,175

0,150

0,125

PP(n)

0,100

PR(n)

0,075

0,050

PME(n)

0,025

30 n

Рис. 3. Распределение числа событий в d-потоке при γ = 0,5.

P(n)

0,180

0,165

0,150

0,135

0,120

0,105

0,090

PP(n)

0,075

0,060

PR(n)

0,045

0,030

PME(n)

0,015

3,5

7,0 10,5 14,0 17,5 21,0 24,5 28,0 31,5 35,0 n

Рис. 4. Распределение числа событий в d-потоке при γ = 1.

142

P(n)

0,135

0,120

0,105

0,090

0,075

PP(n)

0,060

0,045

PR(n)

0,030

PME(n)

0,015

50 n

Рис. 5. Распределение числа событий в d-потоке при γ = 1,5.

Пусть время обслуживания имеет гамма-распределение с параметром фор-

мы α и параметром масштаба β; интенсивность наступления событий в d-по-

токе определяется параметром γ.

На рис. 3-5 представлено распределение вероятностей P (n, t) при γ, рав-

ном соответственно: 0,5; 1; 1,5. Другие параметры постоянны: α = β = 0,5,

t = 5. Численная реализация проведена для трех типов входящих потоков с

одинаковой интенсивностью, для которых обозначены распределения вероят-

ностей:

PP(n) — для модели с простейшим входящим потоком с параметром λ = 1;

PR(n) — для модели с рекуррентным входящим потоком, где функция

распределения A(x) есть функция гамма-распределения с параметром формы

a = 5 и параметром масштаба b = 5;

PME(n) — для модели с MMPP-входящим потоком, который задан мат-

рицей Q инфинитезимальных характеристик q_νk, k = 1, 2, 3, ν = 1, 2, 3

⎤

^⎡-0,3 0,1

0,2

⎣0,1

-0,6

0,5

⎦_,

0,3

-0,6

а также диагональной матрицей Λ с элементами λ_k, k = 1, 2, 3 на главной

диагонали

⎤

^⎡1

⎣₀

⎦_.

0,293

В таблице представлены значения математического ожидания m и дис-

персии D числа n(t) событий в суммарном d-потоке при заданных значениях

143

Математичеcкое ожидание и дисперсия числа событий в суммарном d-потоке

γ = 0,5

γ =1

γ = 1,5

PP(n)

m = 2,5, D = 3,750 m = 5, D = 10,000 m = 7,5, D = 18,750

PR(n)

m = 2,5, D = 2,792 m = 5, D = 6,173

m = 7,5, D = 10,138

PME(n) m = 2,5, D = 4,586 m = 5, D = 13,346 m = 7,5, D = 26,281

параметров. Из данных, приведенных в таблице, следует, что среднее m числа

событий в суммарном d-потоке одинаково для различных входящих потоков.

Но дисперсии D этого числа существенно различаются, что естественно объ-

ясняется различием в типах потоков.

9. Заключение

В работе с помощью метода марковского суммирования исследованы до-

полнительные потоки, формируемые заявками, находящимися в системе мас-

сового обслуживания с неограниченным числом приборов. Рассмотрены мо-

дели с тремя типами входящего потока заявок: простейшим, рекуррентным

и MMPP-потоком.

Для трех моделей получены характеристические функции числа событий

суммарного d-потока применением нового метода марковского суммирова-

ния. Проведена численная реализация при заданных значениях параметров,

которые подобраны таким образом, чтобы результаты были сравнимы между

собой (интенсивность входящего потока равна 1).

Полученные результаты могут быть полезны при анализе финансовой дея-

тельности страховых компаний (например, при расчетах общей суммы стра-

ховых выплат), а также других экономических систем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bocharov P.P., D’Apice C., Pechinkin A.V., Salerno S. Queueing Theory. Boston:

Utrecht, 2004.

2. Narayan Bhat U. An Introduction to Queueing Theory: Modeling and Analysis in

Applications. Boston: Birkhauser, 2008.

3. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания

/Пер. И.И. Грушко; ред.

В.И. Нейман. М.: Машиностроение, 1979.

4. Dammer D. Research of Mathematical Model of Insurance Company in the Form

of Queueing System with Unlimited Number of Servers Considering “Implicit

Advertising” // Commun. Comput. Inform. Sci. 2015. V. 564. P. 163-174.

5. Даммер Д.Д. Исследование математической модели страховой компании в виде

системы массового обслуживания в случайной среде и с учетом единовремен-

ных страховых выплат // Компьютерные науки и информационные технологии.

Матер. Междунар. науч. конф. 2018. С. 117-121.

6. Жидкова Л.А., Моисеева С.П. Математическая модель потоков покупателей

двухпродуктовой торговой компании в виде системы массового обслуживания с

повторным обращением к блокам // Изв. Том. политех. ун-та. 2013. Т. 322. № 6.

С. 5-9.

144

Balsamo S., De Nitti Persone V., Inverardi P. A review on Queueing Network Models

with Finite Capacity Queues for Software Architectures Performance Prediction //

Performance Evaluat. 2003. V. 51. Iss. 2. P. 269-288.

Маталыцкий М.А., Станкевич С.Э. HM-сети как новые стохастические модели

прогнозирования доходов различных объектов // Вестн. ГрГУ. Сер. 5. Эконо-

мика. 2009. № 1. С. 107-115.

Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. М.: Мир, 1979.

10.

Тихоненко О.М. Модели массового обслуживания в информационных системах.

Минск: Технопринт, 2003.

11.

Назаров А.А., Моисеев А.Н. Бесконечнолинейные системы и сети массового об-

служивания. Томск: Изд-во НТЛ, 2015.

12.

Dammer D.D. Research of Mathematical Model of Insurance Company in the

Form of Queueing System in a Random Environment / Inform. Technol. Math.

Modell. Queueing Theory App. Commun. Comput. Inform. Sci. 2017. V. 800. Cham:

Springer. P. 204-215. doi: 10.1007/978-3-319-68069-9_17

13.

Bartlett M.S. The spectral analysis of point processes // J. Royal Stat. Soc. 1963.

B 25. P. 264-296.

14.

Cox D.R., Lewis P.A.W. The statistical analysis of series of events. London:

Methuen, 1966.

15.

Назаров А.А., Терпугов. А.Ф. Теория массового обслуживания. Томск: Изд-во

НТЛ, 2010.

16.

Cox D.R. Some statistical methods connected with series of events // J. Royal Stat.

Soc. 1955. Ser. B. P. 129-164.

17.

Вишневский В.М., Дудин А.Н., Клименок В.И. Стохастические системы с кор-

релированными потоками. Теория и применение в телекоммуникационных се-

тях. М.: Рекламно-издат. центр Техносфера, 2018.

18.

Беллман Р. Введение в теорию матриц. М: Наука, 1969.

Статья представлена к публикации членом редколлегии В.М. Вишневским.

Поступила в редакцию 13.11.2018

После доработки 24.12.2018

Принята к публикации 07.02.2019

145