Автоматика и телемеханика, № 12, 2019

(Севастопольский государственный университет)

ПОЛУМАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМОЙ СИСТЕМЫ

С ПОЭЛЕМЕНТНЫМ ВРЕМЕНН Ы М РЕЗЕРВИРОВАНИЕМ¹

Построена модель функционирования многокомпонентной восстанав-

ливаемой системы, каждый элемент которой после выхода из строя оста-

ется функционально работоспособным благодаря мгновенно пополняемо-

му временному резерву. Элемент считается отказавшим в том случае, ко-

гда время его восстановления превышает объем резерва. При этом не про-

исходит отключения элементов, функционально с ним связанных. Пред-

полагается, что все случайные величины, описывающие эволюцию систе-

мы во времени, имеют распределения общего вида. Аппаратом исследова-

ния является полумарковский процесс с дискретно-непрерывным множе-

ством состояний. В результате решения системы интегральных уравнений

найдено стационарное распределение вложенной цепи Маркова. Получе-

ны формулы для вычисления стационарного коэффициента готовности,

средних стационарных времен пребывания системы в работоспособном

и отказовом состояниях. Стационарные характеристики системы выра-

жаются через стационарные коэффициенты готовности ее элементов и

структурную функцию системы. Приведен пример вычисления характе-

ристик системы “три из четырех” в зависимости от различных объемов

временного резерва ее элементов.

Ключевые слова: ненадежная восстанавливаемая система, временной ре-

зерв, полумарковский процесс, вложенная цепь Маркова, стационарное

распределение, стационарный коэффициент готовности.

DOI: 10.1134/S0005231019120092

1. Введение

Проблемам надежности сложных систем посвящены многочисленные пуб-

ликации. Обзоры существующих методов расчета надежности таких систем

содержатся, например, в [1-8]. Одним из действенных способов, позволяю-

щих достичь высокого уровня показателей безотказности систем, является

временное резервирование [9-11]. Это такой способ повышения надежности,

при котором в процессе функционирования системе предоставляется возмож-

ность израсходовать некоторое время, называемое резервом, для восстанов-

ления ее технических характеристик. На практике такой способ применяется,

например, для автоматизированных производственных систем [11] и ресурсо-

снабщающих сетей (трубопроводных, электрических, энергетических) [12].

¹ Работа выполнена в рамках Государственного задания Министерства образования и

науки РФ (№ 1.10513.2018/11.12) и при финансовой поддержке Российского фонда фунда-

ментальных исследований (проект № 19-01-00704).

146

Основой аналитических методов для анализа надежности служит теория

случайных процессов, в частности марковских. С точки зрения приложе-

ний важно отказаться от “экспоненциальности” отказа или восстановления

элементов системы, но это приводит к значительному усложнению построе-

ния моделей. Одной из возможностей исследования систем в этом случае яв-

ляется использование полумарковских процессов с дискретно-непрерывным

пространством состояний. Именно с помощью этого аппарата найдены ста-

ционарные характеристики надежности сложных восстанавливаемых систем

[13, 14], систем с учетом технического обслуживания [15] и ненадежных си-

стем массового обслуживания [16].

Модели надежности одноканальной системы, в предположении общего ви-

да распределений случайных величин, описывающих ее эволюцию во време-

ни, и различных видах временного резерва, построены в [9, 10, 17, 18]. Для

сложной системы с последовательной структурой, простейшими потоками от-

казов ее элементов, произвольными временами их восстановления и мгновен-

но пополняемым временным резервом расчетные формулы для показателей

надежности получены в [4]. В данной статье строится модель функционирова-

ния ненадежной многокомпонентной восстанавливаемой системы, элементы

которой имеют мгновенно пополняемые резервы времени и все случайные ве-

личины, ее описывающие, имеют распределения общего вида. Цель статьи —

найти средние стационарные времена пребывания системы в работоспособном

и отказовом состояниях, вычислить стационарный коэффициент готовности

системы и оценить влияние объемов временного резерва на эти характери-

стики.

2. Постановка задачи

Рассмотрим систему, состоящую из N восстанавливаемых элементов, каж-

дый из которых имеет временной резерв. Время безотказной работы i-го эле-

мента системы — случайная величина (СВ) α_i с функцией распределе-

ния (ФР) F_i(t) = P (α_i ≤ t), i = 1, N . Отказ i-го элемента обнаруживается

мгновенно и начинается его восстановление, которое длится случайное вре-

мя β_i с ФР G_i(t) = P (β_i ≤ t), i = 1, N . В результате ремонта надежностные

свойства элемента полностью восстанавливаются. Отказ элемента не стано-

вится отказом резервированного элемента, если время восстановления не

превышает объема резервного времени, которое описывается СВ γ_i с ФР

R_i(t) = P(γ_i ≤ t), i = 1,N. Резервное время мгновенно пополняется до объ-

ема γ_i сразу же после отказа и начала восстановления i-го элемента. Отказ

резервированного элемента наступает в момент времени, когда время восста-

новления превысит объем резерва, т.е. β_i > γ_i.

Предполагается, что в результате отказа элемента не происходит отклю-

чения элементов, функционально с ним связанных. Будем считать, что СВ

α_i, β_i и γ_i имеют плотности f_i(t), g_i(t), r_i(t) и конечные математические ожи-

дания Eα_i, Eβ_i и Eγ_i соответственно. Кроме этого, выполняются условия:

0 < P(γ_i < β_i) < 1, i = 1,N.

Прежде чем ввести понятие отказа системы, введем коды физических со-

стояний ее элементов: 1 — элемент работоспособен в исправном состоянии;

147

0 — восстанавливается и работоспособен за счет временного резерва; 2 —

восстанавливается (временной резерв исчерпан). Тогда физическое состоя-

ние системы описывается вектором d, компоненты которого указывают на

состояние соответствующего элемента системы. Множество всех физических

состояний системы обозначим через D, т.е.

{

}

d| d = (d₁, d₂, . . . , d_N ), d_k = 0, 1, 2; k = 1, N

Будем считать, что элемент находится в работоспособном состоянии, ес-

ли он пребывает в состояниях 1 или 0, и в отказовом, если он пребывает

в состоянии 2. Пусть множество состояний системы D допускает разбиение

D = D₊ ∪ D_-, D₊ ∩ D_- = ∅, где D₊ интерпретируется как множество рабо-

тоспособных состояний системы, а D_- — как множество отказовых состоя-

ний. Следуя [5], векторы из подмножества D₊ будем называть векторами

пути, векторы из подмножества D_- — векторами сечений.

Требуется найти стационарные надежностные характеристики системы:

средние времена T₊, T_- пребывания системы в работоспособном D₊ и отка-

зовом D_- состояниях соответственно; коэффициент готовности системы K —

и определить влияние объемов временного резерва на эти характеристики.

3. Построение полумарковской модели системы

Поскольку СВ, описывающие функционирование системы, имеют распре-

деления общего вида, то ее состояния, описываемые векторами d, не явля-

ются марковскими. Поэтому для построения математической модели исполь-

зуем полумарковский процесс S(t) с дискретно-непрерывным фазовым про-

странством состояний [13, 14]. Определим этот процесс с помощью процес-

са марковского восстановления {S_n, Θ_n; n ≥ 0}, где {S_n; n ≥ 0} — вложенная

цепь Маркова (ВЦМ), Θ_n — времена пребывания полумарковского процес-

са в состояниях. Для того чтобы система обладала марковским свойством в

моменты изменения физических состояний, укажем номер i элемента, из-

менившего свое физическое состояние последним, и добавим к вектору d

непрерывные составляющие. В результате фазовое пространство состояний

системы будет иметь вид

{

}

E =

idxzu, i = 1, N

где

d = (d₁,d₂,...,d_N); d_k = 1 — k-й элемент работоспособен в исправном со-

стоянии; d_k = 0 — k-й элемент восстанавливается и остается в работоспособ-

ном состоянии за счет временного резерва; d_k = 2 — k-й элемент восстанав-

ливается и временной резерв исчерпан;

x = (x₁,x₂,...,x_N), x_k — время, оставшееся до выхода из строя k-го эле-

мента, причем x_k > 0, если d_k = 1, k = i, и x_k = 0 для случаев d_k = 1, k = i;

z = (z₁,z₂,...,z_N), z_k — время, оставшееся до конца резерва для k-го эле-

мента, причем z_k > 0, если d_k = 0, k = i, и z_k = 0 для случаев d_k = 0, k = i;

u = (u₁,u₂,...,u_N), u_k — время, оставшееся до конца восстановления k-го

элемента, причем u_k > 0, если d_k = {0, 2}, и u_k = 0, если d_k = 1.

148

Для примера опишем содержательный смысл состояния

2(1, 0, 2, 0)(x₁ , 0, 0, 0)(0, 0, 0, z₄ )(0, 0, u₃, u₄).

Последним вышел из строя второй элемент, начинается его восстановление,

функционирование продолжается за счет резерва. В этот момент первый эле-

мент пребывает в работоспособном состоянии, до выхода его из строя остается

время x₁; третий элемент восстанавливается, до конца восстановления — вре-

мя u₃; четвертый элемент функционирует за счет резерва, оставшийся объем

которого равен z₄, а оставшееся время до конца восстановления — u₄.

Время Θidxzu пребывания системы в состоянии idxzu определяются фор-

мулой

⎧

⎨

α_i ∧ ω, d_i = 1,

Θidxzu =

γ_i ∧ β_i ∧ ω, d_i = 0,

⎩

ω,

d_i = 2,

где ω = (∧x_k) ∧ (∧zk) ∧ (∧uk), ∧ — знак минимума.

x_k>0

z_k>0

u_k>0

Опишем вероятности переходов ВЦМ из состояния idxzu. Прежде введем

обозначение: Ωmd — совокупность номеров компонент вектора d, равных соот-

ветственно m = 0, 1, 2. Учтем, что каждый элемент системы может перейти

из состояния 1 в состояние 0; а из состояния 0 — в состояния 1 или 2; из

состояния 2 — в состояние 1.

В случае d_i = 1 события переходов определяются значением минимума

α_i ∧ ω. Для определенности будем считать, что ω = z_j, j ∈ Ω^0d.

Если α_i < ω, то система переходит в состояние id^′x^′z^′u^′ с плотностью ве-

роятности

{

}

idxzu → id^′x^′z^′u^′

= f_i(ω - y), y < ω,

где

d^′i = 0, d^′k = d_k, k = i;

u^′k = u_k - (ω - y), k ∈ Ω^2d;

{

z_k - (ω - y), k ∈ Ω^0d, k = j,

x_k - (ω - y), k ∈ Ω^1d, k = i,

z^′k =

x^′k =

k=j;

k = i.

Если ω = z_j < α_i, то

{

}

idxzu → jd^′x^′z^′u^′

= f_i(ω + y), y > 0,

где

d^′j = 2, d^′k = d_k, k = j;

x^′i = y, x^′k = x_k - ω, k ∈ Ω^1d, k = i;

z^′k = z_k - ω, k ∈ Ω^0d;

u^′k = u_k - ω, k ∈ Ω^0d ∪ Ω^2d.

Аналогично выписываются вероятности переходов для случаев d_i = 2,

d^′i = 1 и d_i = 0, d^′i = 1 или d^′i = 2.

149

4. Стационарные характеристики системы

Для нахождения стационарных характеристик системы потребуется опре-

делить стационарное распределение ВЦМ полумарковского процесса S(t),

описывающего ее функционирование.

Теорема 1. Стационарное распределение вложенной цепи Маркова

{S_n; n ≥ 0} полумарковского процесса S(t) определяется формулами:

∞

∫

∏

ρ(idxzu) = ρ₀

Fk(xk)

r_k(s + z_k)g_k(s + u_k)ds×

k∈Ω^1d

k∈Ω^0d

k=i

(1)

∞

∫

∏

r_k(s)G_k(s + u_k)ds,

k∈Ω²

d 0

если i ∈ Ω^0d ∪ Ω^1d, и

∫∞

∏

ρ(idxzu) = ρ₀ r_i(s)g_i(s + u_i)ds

Fk(xk)×

k∈Ω¹

(2)

∞

∫

∏

r_k(s + z_k)g_k(s + u_k)ds

r_k(s)G_k(s + u_k)ds,

k∈Ω⁰

k∈Ω^2d

d 0

k=i

если i ∈ Ω^2d, где

Fk(xk) = 1 - Fk(xk), Gk(xk) = 1 - Gk(xk),

⎡

⎤

-1

⎢∑

∏

⎥

⎢

⎥

ρ₀ =

(2 + P (γ_i < β_i))

(Eα_k + Eβ_k)

⎣

⎦

i=1

k=1

k=i

Доказательство теоремы 1 приводится в Приложении.

В следующей теореме 2 находится выражение для стационарного коэффи-

циента готовности системы.

Теорема 2. Стационарный коэффициент готовности системы опреде-

ляется формулой

[

]-1

∑

∏

(3)

K =

T(dk)

(Eα_k + Eβ_k)

d∈D₊ k=1

k=1

где

⎧

⎨

Eα_k,

d_k = 1,

T(dk)_k =

E (β_k ∧ γ_k) ,

d_k = 0,

⎩

Eβ_k - E(β_k ∧ γ_k), d_k = 2.

Доказательство теоремы 2 приводится в Приложении.

150

Выразим стационарный коэффициент готовности системы K через стацио-

нарные коэффиц

(

)

формулами K_i = T(1)i + T⁽⁰⁾

(Eα_i + Eβ_i)-1, i = 1, N [9]. Каждому вектору

пути d ∈ D₊ поставим в соответствие множество элементов пути M_j — но-

мера работоспособных элементов этого пути [5], т.е. M_j выступает исключи-

тельно как множество индексов. Заметим, что элементы, не принадлежащие

множеству элементов пути, находятся в состоянии 2, т.е. в отказовом состо-

янии. Каждому вектору сечения d ∈ D_- поставим в соответствие множество

элементов сечения Φ_j — номера элементов этого сечения, которые находят-

ся в состоянии 2. При этом все элементы, номера которых не принадлежат

этому множеству, находятся в состоянии 1 или 0.

Из (3) вытекает, что

∑

∏

K =

K_n

(1 - K_n) ,

j=1 n∈M_j

n=1

n ∈M_j

где M_j , j = 1, W , — все различные множества элементов путей системы

(W — количество путей). Коэффициент K выразим через структурную функ-

цию ϕ(d) системы, которая определяется на множестве D следующим усло-

вием: ϕ(d) = 1, если система работоспособна при данном сочетании ее эле-

ментов, и ϕ(d) = 0 в противном случае. Получаем, что

(4)

K = ϕ(K₁,...,K_N

где структурная функция системы ϕ(z₁, . . . , z_N ) задана в совершенной дизъ-

юнктивной нормальной форме [1, 4] или линейной форме [7].

В следующей теореме 3 устанавливаются формулы для определения сред-

них стационарные времен пребывания системы в работоспособном и отказо-

вом состояниях. Прежде чем ее сформулировать, введем множество погра-

ничных физических состояний D′+. Это множество определяется, как мно-

жество таких векторов d ∈ D₊, для которых изменение одной из компонент

с значения 0 на значение 2 (резерв соответствующего элемента исчерпыва-

ется) переводит вектор d в множество D_- (система попадает в отказ). Мно-

жество номеров вектора d ∈ D′+, обеспечивающих это свойство, обозначим

через G²⁰(d).

Теорема 3. Среднее стационарное время T₊ пребывания системы в ра-

ботоспособном состоянии и среднее время T_- пребывания в отказовом со-

стоянии определяются формулами:

⎡

⎤

-1

∑

∏

⎢ ∑

∑

∏

⎥

⎢

⎥

T₊ =

T(dk)_k

P (γ_m < β_m)

T(dk)_k

⎣

⎦

d∈D₊ k=1

d∈D^′

k=1

+ m∈G⁰(d)

k=m

(5)

⎡

⎤

-1

∑

∏

⎢ ∑

∑

∏

⎥

T_- =

T(dk)_k

⎢

P (γ_m < β_m)

T(dk)_k

⎥

⎣

⎦

d∈D_- k=1

d∈D^′

k=1

+ m∈G⁰(d)

k=m

151

Доказательство теоремы 3 приводится в Приложении.

Стационарные времена (5) пребывания системы в работоспособном и от-

казовом состояниях выражаются через стационарные коэффициенты готов-

ности ее элементов следующими выражениями:

∑

∏

∑

∏

T₊ =

K_n

(1 - K_n) Z-1; T_- =

K_n

(1 - K_n) Z-1,

j=1 n∈M_j

n=1

j=1 n∈Φ_j

n=1

n ∈M_j

n∈Φ_j

где Φ_j , j = 1, S, — множества элементов сечений системы; S— количество

сечений;

∑

∏

Z =

P (γ_m < β_m) (Eα_m + Eβ_m)-1

K_n

(1 - K_n) ,

i=1 m∈G(M^′i)

n∈M^′i

n=1

n ∈M^′

n=m

где M^′i, i = 1, W^′, — множества элементов пограничных путей; G(M^′i) — мно-

жество элементов пограничного пути M^′i, соответствующих номерам тех эле-

ментов, переход которых из состояния 0 в состояние 2 приводит к отказу

системы.

В частном случае, когда объемы временных резервов элементов — посто-

янные величины, равные h_k, в (3) и (5) следует полагать

∫hk

∫

∞

(6)

T(0)k = G_k(t)dt, T(2)k = G_k

(t)dt.

h_k

Если СВ α_k, β_k и γ_k имеют экспоненциальные распределения с парамет-

рами λ_k, μ_k и ν_k соответственно, то в (3) и (5) следует подставить T(1)k = λ-1k,

T(0)k = (μ_k + ν_k)-1 и T(2)k = ν_k[μ_k(μ_k + ν_k)]-1.

5. Численный пример

Рассмотрим систему “3 из 4”, которая считается работоспособной, если ра-

ботают по крайней мере три из четырех ее элементов. Время восстановления

каждого из элементов имеет распределение Вейбулла-Гнеденко с плотностью

g_i(t) = σ_itσi-¹δ-σi exp[-(t/δ_i)σi ], i = 1,4. Средние времена безотказной рабо-

ты Eα_i (в часах) и восстановления Eβ_i (в часах) элементов, значения пара-

метров σ_i и δ_i плотностей распределений g_i(t) приводятся в табл. 1.

Таблица 1. Значения параметров системы

Номер

Значение

Значение Среднее время

Среднее время

элемента i параметра σ_i параметра δ_i работы Eα_i, ч восстановления Eβ_i, ч

1,772

3,673

2,5

2,266

4,5

2,738

152

Таблица 2. Стационарные характеристики системы

h, ч

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

T₊,ч

21,601

23,255

25,343

27,985

31,361

35,738

41,524

49,394

60,305

T_-,ч

1,359

1,243

1,135

1,035

0,940

0,852

0,769

0,692

0,620

0,941

0,949

0,957

0,964

0,971

0,977

0,982

0,986

0,990

Каждый элемент имеет неслучайный резерв времени h часов, который

изменяется от 0 до 1,6 ч с шагом 0,2 ч. Формула (4) для вычисления коэф-

фициента готовности системы K с учетом структурной функции системы в

линейной форме принимает вид

K = K₁K₂K₃ + K₁K₂K₄ + K₁K₃K₄ + K₂K₃K₄ - 3K₁K₂K₃K₄.

Результаты расчетов в системе компьютерной математики Mathcad-15 ста-

ционарных характеристик по формулам (4) и (5), в которых T(0)k и T(2)k опре-

деляются по (6), помещены в табл. 2.

Наличие временного резерва объемом 1,6 ч для каждого элемента увели-

чивает стационарный коэффициент готовности системы на 5,2 % по срав-

нению с системой без резерва. Поскольку коэффициент готовности K есть

монотонная функция от h, то нетрудно определить объем временного резер-

ва элементов для достижения заданного уровня надежности системы. Так,

например, значение K = 0,97 достигается при h = 0,771 ч.

6. Заключение

С помощью аппарата теории полумарковских процессов с дискретно-не-

прерывным множеством состояний построена модель функционирования

многокомпонентной системы с произвольными временами безотказной рабо-

ты и восстановлений ее элементов, которые имеют мгновенно пополняемые

временные резервы. С помощью найденного стационарного распределения

вложенной цепи Маркова установлены формулы для вычисления стационар-

ного коэффициента готовности, средних стационарных времен пребывания

системы в работоспособном и отказовом состояниях. Эти характеристики

зависят от структуры, понятия отказа системы и с помощью структурной

функции системы выражаются через коэффициенты готовности ее элемен-

тов, которые зависят от объема временного резерва. На приведенном чис-

ленном примере продемонстрировано влияние объема временного резерва на

характеристики системы.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. Система интегральных уравнений для

определения стационарного распределения ρ(B) ВЦМ составляется на осно-

вании уравнения [13, 14]

∫

(Π.1)

ρ(B) =

ρ(de)P (e, B),

где P (e, B) — вероятность перехода из состояния e в множество B.

153

Справедливость утверждения теоремы 1 доказывается непосредственной

подстановкой выражений (1) и (2) в систему уравнений (П.1). Проделаем это

для одного из них. Выпишем уравнение для случая i ∈ Ω^0d, т.е. последним из-

менил свое состояние i-й элемент, он начал восстанавливаться и продолжает

функционировать за счет резерва (d_i = 0):

∫∞

ρ(idxzu) = f_i(t)ρ(id^′(x + t)(z + t)(u + t))dt +

∞

∫

∑

f_j(x_j + t)ρ(jd^′((x + t)(j),t)(i)(z + t)(u + t))dt +

j∈Ω¹

d 0

(Π.2)

∫

∞

∑

r_j(z_j + t)g_j(u_j + t)ρ(jd^′((x + t),t)(i)(z + t)(j)(u + t)(j))dt +

j∈Ω^0d

j=i

∫

∞

∫

∞

∑

ds r_j(s)g_j (u_j + t + s)ρ(jd^′((x + t), t)(i)(z + t)(u + t))dt.

j∈Ω²

d 0

Здесь d^′i = 1, d^′k = d_k, k = i, а через (x + t)(j) и ((x + t), t)(i) обозначены

векторы с координатами

{

[

]

x_k + t, x_k > 0,

(x + t)(j)

x_k = 0, k = j;

⎧

[

]

⎨

x_k + t, x_k > 0,

((x + t), t)(i)

x_k = 0,

⁼⎩

k = i.

Подставим в правую часть уравнения выражения для стационарной плот-

ности, определяемые по (1) и (2). Выполним преобразования, учитывая,

что Ω1d′ - {i} = Ω^1d, Ω^0d - {i} = Ω0d′ , Ω2d′ = Ω^2d. В результате первое слагаемое

в (П.2) преобразуется к виду

∞

∫

f_i(t)ρ(id^′(x + t)(z + t)(u + t))dt =

∫∞

∫

∞

∏

=ρ₀

f_i(t)

Fk(xk + t)dt

r_k(s + z_k + t)g_k(s + u_k + t)ds×

k∈Ω¹

k∈Ω⁰

d^′

d^′ 0

k=i

∫

∞

∫

∞

∏

r_k(s)G_k(s + u_k + t)ds = ρ₀ f_i(t)

Fk(xk + t)dt×

k∈Ω²

k∈Ω¹

d^′ 0

154

∞

∫

∏

r_k(z_k + y)g_k(u_k + y)dy

r_k(s)G_k(s + u_k + t)ds.

k∈Ω^0d

k∈Ω²

d 0

k=i

Слагаемые второй группы из правой части (П.2) преобразуются к виду

∞

∫

f_j(x_j + t)ρ(jd^′((x + t)(j),t)(i)(z + t)(u + t))dt =

∫∞

∫

∞

∏

=ρ₀

f_j(x_j + t)F_i(t)

Fk(xk + t)dt

r_k(s + z_k + t)g_k(s + u_k + t)ds×

k∈Ω¹

k∈Ω⁰

d^′

d^′ 0

k=i,j

∫

∞

∫

∞

∏

r_k(s)G_k(s + u_k + t)ds = ρ₀ f_j(x_j + t)F_i(t)

Fk(xk + t)dt×

k∈Ω²

k∈Ω^1d

d^′ 0

k=j

∫

∞

∫

∞

∏

r_k(z_k + y)g_k(u_k + y)dy

r_k(s)G_k(s + u_k + t)ds.

k∈Ω^0d

k∈Ω²

d 0

k=i

В результате аналогичных преобразований для оставшихся слагаемых пра-

вую часть (П.2) приведем к виду

⎧

⎪

∫∞

⎨

∫

∞

∏

∂

-ρ₀

Fi(t)

Fk(xk + t)

r_k(s + z_k)g_k(s + u_k)ds×

∂t⎪

⎩ k∈Ω1

k∈Ω^0d

k=i

⎫

∫

∞

∏

⎬

r_k(s)G_k(s + u_k + t)ds

dt =

⎭

k∈Ω²

d 0

∞

∫

∏

=ρ₀

Fk(xk)

r_k(s + z_k)g_k(s + u_k)ds×

k∈Ω¹

k∈Ω^0d

k=i

∞

∫

∏

r_k(s)G_k(s + u_k)ds = ρ(idxzu).

k∈Ω²

d 0

Аналогично проверяется справедливость утверждения теоремы 1 для

остальных уравнений системы (П.1). Значение постоянной ρ₀ находится из

условия нормировки.

Теорема 1 доказана.

155

Доказательство теоремы 2. Обозначим через E₊ подмножество

фазовых состояний полумарковского про{есса S(t), дискретная с}тавляю-

щая которых принадлежит D₊, т.е. E₊ =

idxzu, d ∈ D₊, i = 1, N

. Анало-

{

}

гично определим подмножество E_- =

idxzu, d ∈ D_-, i = 1, N

. Очевидно,

что E = E₊ ∪ E_-, E₊ ∩ E_- = ∅. Тогда, как известно [13, 14], стационарный

коэффициент готовности системы K определяется формулой

⎤-1

∫

⎡∫

K = m(e)ρ(de)^⎣ m(e)ρ(de)⎦

E₊

где m(e) — среднее время пребывания системы в состоянии e ∈ E, а ρ(·) —

стационарное распределение ВЦМ {S_n; n ≥ 0}.

Средние времена E(Θidxzu) п∫ебывания системы в состояниях опреде-

ляются формулами: E(Θidxzu) =

Fi(t)dt, если di = 1; E(Θidxzu) = ω, если

∫_ω

d_i = 2; E(Θidxzu) =

R_i(t)G_i(t)dt, если d_i = 0.

Обозначим через E_d подмножество состояний пространства E, дискрет-

ная составляющая которых есть фиксированный вектор d. Учитывая средние

времена пребывания системы в состояниях и вид стационарного распределе-

ния, после преобразований получаем

∫

∑

ρ-10

m(e)ρ(de) = ρ-1

E(Θidxzu)ρ(idxzu)dxdzdu =

i=1

E_d

R^x

R^z

R^u

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∑

∏

Fi(t)dt

Fk(s)ds

R_k(s)G_k(s)ds×

i∈Ω¹

k∈Ω^1d

k∈Ω⁰

d 0

d t

k=i

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∏

∑

du r_k(s)G_k(s + u)ds +

R_i(t)G_i(t)dt×

k∈Ω²

i∈Ω⁰

d t

d 0

∫

∞

∫

∞

∏

Fk(s)ds

R_k(s)G_k(s)ds×

k∈Ω¹

k∈Ω^0d

d t

k=i

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∏

∑

∏

du r_k(s)G_k(s + u)ds +

dt r_i(s)G_i(s + t)ds

Fk(s)ds×

k∈Ω²

i∈Ω²

k∈Ω¹

d t

d 0

d t

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∏

R_k(s)G_k(s)ds

du r_k(s)G_k(s + u)ds =

k∈Ω⁰

d t

k∈Ω^2d

k=i

⎧

⎫

∞

∫∞

⎨∏

∫

⎬

∏

Fk(s)ds

R_k(s)G_k(s)ds

du r_k(s)G_k(s + u)ds

dt =

dt ⎩

⎭

k∈Ω¹

k∈Ω⁰

k∈Ω²

d t

156

∏

Eα_k

E(β_k ∧ γ_k)

[Eβ_k - E(β_k ∧ γ_k)] =

T(dk)_k.

k∈Ω¹

k∈Ω⁰

k∈Ω²

k=1

Здесь

∫

dxdzdu =

R^x

R^z

R^u

∫∞

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∫

∞

= ... dxs1 ...dxsm

dzs1 . . . dzsk

dus1 . . . dusl

x^s1>0...xsm>0

z^s1>0...zsk>0

u^s1>0...usl>0

Следовательно,

∫

∑ N∏

m(e)ρ(de) = ρ₀

T(dk)_k

d∈D₊ k=1

E₊

∫

∑

∏

∑

∏

m(e)ρ(de) = ρ₀

T(dk)

=ρ₀

(Eα_k + Eβ_k) .

d∈D k=1

Теорема 2 доказана.

Доказательство теоремы 3. Известно [13, 14], что средние стацио-

нарные времена пребывания системы в работоспособном и отказовом состоя-

ниях определяются соответственно формулами:

⎡

⎤-1

∫

⎢

⎥

T₊ = m(e)ρ(de)⎣ P(e,E-)ρ(de)⎦

E₊

⎡

⎤-1

∫

⎢

⎥

T_- = m(e)ρ(de)⎣ P(e,E-)ρ(de)⎦

E_-

E₊

где P (e, E_-) — вероятности переходов ВЦМ из работоспособного состояния

e ∈ E₊ в отказовые.

Возьмем вектор d из подмножества пограничных состояний D′+ и пред-

положим, что изменение состояния элемента с номером m со значения 0 на

значение 2 переводит систему в отказовое состояние, т.е. d ∈ D′+ и m ∈ G²⁰(d).

Рассмотрим слагаемые из выражения

∫

(Π.3)

P (e, E_-

)ρ(de),

E₊

157

содержащие этот вектор. Учтем, что

{

Fi(zm), zm < ω(m),

P (idxzu, E_-) = P (α_i ∧ ω(m) > z_m) = F_i(z_m)1_ω(m) (zm) =

0, z_m > ω(m),

где i ∈ Ω^1d, ω(m) = (∧x_k)∧(

∧z_k

) ∧ (∧u_k). Поэтому слагаемые из (П.3),

x_k>0

z_k>0,k=m

u_k>0

для которых i ∈ Ω^1d, преобразуются к виду

∫

∞

∫

∞

ρ(idxzu)F_i(z_m)1_ω(m) (zm)dxdzdu =

Fi(zm)dzm rm(y)Gm(y)dy×

R^x

R^z

R^u

∞

∫

∏

Fk(s)ds

R_k(s)G_k(s)ds

du r_k(s)G_k(s + u)ds.

k∈Ω^1d

k∈Ω^0d

k∈Ω²

d zm

k=i

k=m

Выполняя аналогичные преобразования для остальных слагаемых из (П.3),

получаем, что

⎧

⎪

∫

∞

⎨∫

∞

∑∫

ρ(idxzu)P (idxzu, E_-)dxdzdu = -ρ₀

r_m(y)G_m(y)dy ×

dt ⎪

i=1

⎩_t

R^x

R^z

R^u

⎫

⎪

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∫

∞

⎬

∏

Fk(s)ds

R_k(s)G_k(s)ds

r_k(s)G_k(s + u)ds

dt =

⎪

k∈Ω¹

k∈Ω^0d

k∈Ω²

⎭

d t

k=m

∏

= ρ₀P(γ_m < β_m)

T⁽¹⁾

T⁽⁰⁾

T(2)k = ρ₀P(γ_m < β_m)

T(dk)_k.

k∈Ω¹

k∈Ω^0d

k∈Ω²

k=1

k=m

Теорема 3 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Половко А.М., Гуров С.В. Основы теории надежности. СПб.: БХВ-Петербург,

2006.

2. Ushakov I. Is reliability theory still alive? // Reliability: Theory and Applications.

2007. V. 2. No. 1. P. 6-19.

3. Каштанов В.А., Медведев А.И. Теория надежности сложных систем (теория и

практика). М.: Евр. центр по качеству, 2002.

4. Черкесов Г.Н. Надежность аппаратно-программных комплексов. СПб.: Питер,

2005.

5. Beichelt F., Franken P. Zuverlässigkeit und Instanphaltung, Mathematische

Methoden. Berlin: VEB Verlag Technik, 1983.

158

Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории

надежности. М.: Наука, 1965.

Barlow R., Proschan F. Mathematical theory of reliability. N.Y.: Wiley, 1965.

Ushakov I.A. Probabilistic Reliability Models. San Diego: Wiley, 2012.

Креденцер Б.П. Прогнозирование надежности систем с временной избыточно-

стью. Киев: Наук. думка, 1978.

10.

Черкесов Г.Н. Надежность технических систем с временной избыточностью.

М.: Сов. радио, 1974.

11.

Копп В.Я., Обжерин Ю.Е., Песчанский А.И. Стохастические модели автомати-

зированных производственных систем с временным резервированием. Севасто-

поль: Изд-во СевНТУ, 2001.

12.

Сеннова Е.В., Смирнов А.В., Ионин А.А. и др. Надежность систем энергетики и

их оборудования: Справ. в 4 Т. / Под общ. ред. Ю.Н. Руденко. Т. 4. Надежность

систем теплоснабжения. Новосибирск: Наука, 2000.

13.

Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах

надежности систем. Киев: Наук. думка, 1982.

14.

Корлат А.Н., Кузнецов В.Н., Новиков М.И. и др. Полумарковские модели вос-

станавливаемых систем и систем массового обслуживания. Кишинев: Штиинца,

1991.

15.

Obzherin Yu.E., Peschansky A.I. Calendar Maintenance of Arbitrarily Structured

Systems // Cybern. Syst. Anal. 2006. V. 42. No. 2. P. 219-233.

16.

Песчанский А.И. Стационарные характеристики ненадежной двухканальной си-

стемы обслуживания с потерями и мгновенно пополняемым резервом времени //

Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Техн. науки. 2018. № 2(58). С. 36-46.

17.

Obzherin Yu.E., Peschansky A.I. Reliability Analysis of a System with Gradually

Refilled Time Reserve // Cybern. Syst. Anal. 2001. V. 37. No. 3. P. 361-372.

18.

Obzherin Yu.E., Peschansky A.I. Reliability Analysis of a System with Combined

Time Reserve // Cybern. Syst. Anal. 2004. V. 40. No. 5. P. 747-754.

Статья представлена к публикации членом редколлегии В.М. Вишневским.

Поступила в редакцию 14.02.2019

После доработки 07.05.2019

Принята к публикации 18.07.2019

159