Автоматика и телемеханика, № 2, 2019

Линейные системы

(Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург,

Университет ИТМО, Санкт-Петербург),

П.А. ГУЩИН, канд техн. наук (guschin.p@mail.ru)

(Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург,

Российский государственный университет нефти и газа

(национальный исследовательский университет) имени И.М. Губкина, Москва)

АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ

ВХОДНЫМ СИГНАЛОМ НА БАЗЕ СУБПРЕДИКТОРОВ

РЕГУЛИРУЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ И ВОЗМУЩЕНИЯ¹

Предложен алгоритм управления линейными объектами с запазды-

вающим входным сигналом при наличии внешних возмущений. Сначала

для синтеза алгоритма используются предиктор регулируемой величины

и предиктор возмущения. Предиктор регулируемой величины осуществ-

ляет асимптотический прогноз вектора состояния объекта, а уравнение

замкнутой системы на базе данного предиктора содержит запаздывание

по состоянию. Вследствие этого существует некоторое предельное значе-

ние запаздывания в объекте, для которого алгоритм остается работоспо-

собным. Предиктор возмущения строится в предположении существова-

ния ограниченных производных от возмущения. Далее строятся субпре-

дикторы регулируемой величины и возмущения в виде последовательного

соединения соответствующих предикторов, осуществляющих многошаго-

вое прогнозирование. Получены достаточные условия устойчивости замк-

нутой системы в виде разрешимости линейных матричных неравенств.

Приведены результаты моделирования, иллюстрирующие эффективность

предложенной схемы по сравнению с некоторыми существующими. Чис-

ленные примеры показывают, что полученные достаточные условия га-

рантируют устойчивость регулятора, основанного на субпредикторах, при

больших значениях запаздывания по сравнению с регулятором на базе

предикторов.

Ключевые слова: объект с запаздыванием по управлению, предиктор,

компенсация возмущений, линейное матричное неравенство.

DOI: 10.1134/S0005231019020016

1. Введение

Управление в условиях возмущений является одной из главных проблем

в теории автоматического управления. Данная проблема усложняется нали-

чием запаздывания во входном сигнале. Такие задачи являются типичными

¹ Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 18-

79-10104) в Институте проблем машиноведения РАН.

при дистанционном управлении, управлении в химической промышленности,

управлении через цифровые каналы связи и т.д.

Впервые решение задачи управления в условии запаздывания предложено

О. Смитом в [1] для устойчивых объектов без возмущения. Для неустойчи-

вых объектов А. Манитиус и А. Олброт в [2] предложили статический закон

управления с использованием пропорционально-интегрального предиктора,

построенного на базе решения уравнения объекта. В [3, 4] рассмотрено ис-

пользование схемы [2] для подавления ограниченных возмущений за счет со-

ответствующего распределения собственных чисел замкнутой системы. Од-

нако в [5-8] было показано, что численная реализация предиктора [2] позво-

ляет стабилизировать только определенный класс неустойчивых объектов с

запаздыванием. Следовательно, принцип подавления возмущений [3, 4] не

всегда гарантирует уменьшение влияния возмущений на качество переход-

ных процессов. В [9] для повышения качества переходных процессов пред-

полагалось, что возмущение описывается конечной суммой синусоидальных

сигналов. Однако структура алгоритма [9] и расчет настраиваемых парамет-

ров зависели от количества синусоидальных слагаемых в возмущении, ка-

чество переходных процессов зависело от наличия несинусоидальной состав-

ляющей, а также использовался интегральный алгоритм [2] без его численной

реализации.

В [10] предложен метод компенсации возмущений (ограниченных вместе с

заданным количеством производных) для неустойчивых объектов с запазды-

ванием по управлению без использования численной реализации схемы [2].

Таким образом, в отличие от [9] в [10] рассматривались возмущения, кото-

рые раскладываются в ряд Фурье с бесконечным числом слагаемых. Однако

в [10] для прогноза возмущения использовались наблюдатели, что усложня-

ло реализацию схемы и повышало ее чувствительность к помехам измерения.

В [11] независимо от [10] (статьи [10, 11] были поданы в журналы одновремен-

но) предложена схема компенсации ограниченных вместе с заданным коли-

чеством производных возмущений на базе схемы [2]. В отличие от [10] в [11]

рассмотрена численная реализация [2] и получены достаточные условия схо-

димости решений замкнутой системы. Дополнительно в [11] для прогноза воз-

мущения применялась теорема Лагранжа о среднем, что позволило избежать

использования наблюдателей производных возмущения в отличие от [10], где

для прогноза возмущения применялся ряд Тэйлора. В [11] также показано,

что метод компенсации возмущений позволяет эффективно управлять объ-

ектами с запаздывающим входным сигналом в отличие от метода подавле-

ния возмущений [2-4]. Это связано с тем, что значение сигнала компенсации

возмущений противоположно значению возмущений и сигнал компенсации

возмущений не влияет на собственные числа замкнутой системы. Однако ал-

горитм [11] слишком трудоемкий в связи с численной реализацией интеграль-

ной составляющей предиктора [2].

В [12] предложен новый предиктор, позволяющий проектировать алгорит-

мы управления неустойчивыми объектами. По сравнению с [2], предиктор [12]

не требует численной реализации и, как следствие, гораздо проще в техниче-

ской реализации и расчете параметров. В [13] на базе предиктора [12] предло-

жен субпредиктор, осуществляющий многошаговое прогнозирование регули-

руемой переменной. Численные примеры показали, что применение субпре-

дикторного алгоритма позволяет управлять объектами с большим временем

запаздывания, чем при использовании алгоритма на базе предиктора [12].

Однако результаты [12, 13] слишком чувствительны к возмущениям.

В данной статье будет предложено обобщение результатов [12, 13] на объ-

екты с возмущениями. Дополнительно в отличие от [11] будет предложен

многошаговый прогноз возмущения в виде соответствующего субпредикто-

ра. Также в отличие от [10] будут предложены достаточные условия устой-

чивости замкнутой системы, представленные разрешимостью линейных мат-

ричных неравенств (ЛМН), размерность которых существенно меньше, чем

в [11].

В статье, как и в публикациях [2-4, 10-13], будет рассмотрен линейный

объект с возмущением и запаздыванием по управлению. Доступен измерению

вектор состояния. В разделе 3 будет предложена схема управления с исполь-

зованием предикторов регулируемой переменной и возмущений. В разделе 5

будет рассмотрено обобщение предложенной схемы управления с использо-

ванием субпредикторов регулируемой величины и возмущения. Достаточные

условия устойчивости замкнутой системы в зависимости от параметров си-

стемы управления и запаздывания представлены в разделах 4 и 5 в виде

разрешимости ЛМН. В разделе 6 будут приведены результаты расчетов, мо-

делирования и сравнительный анализ предложенных схем управления с неко-

торыми существующими.

2. Постановка задачи

Рассмотрим объект с запаздыванием в канале управления, который опи-

сывается уравнением

(2.1)

x(t) = Ax(t) + Bu(t - h) + Bf(t), t ≥ 0, u(s) = 0, s < 0,

где x(t) ∈ Rⁿ — измеряемый вектор состояния, u(t) ∈ R^m — сигнал управле-

ния, f(t) ∈ R^m — внешнее возмущение с ограниченными r + 3 производны-

ми, r ≥ 0 — параметр, который будет использоваться при синтезе алгорит-

ма управления, h > 0 — известное время запаздывания, A и B — известные

матрицы соответствующих размеров, пара (A, B) управляема и выполнено

условие B⁺B = I_m, B⁺ — псевдообратная матрица для матрицы B и I_m —

единичная матрица порядка m. Отметим, что объект управления (2.1) с при-

веденными допущениями рассматривался в [3, 4, 10-13].

Алгоритмы [1-4, 5-8, 12, 13] обеспечивают устойчивость (2.1) по вход-

состоянию (input-to-state stability) и выполнение условия

(2.2)

lim

|x(t)| ≤ δ,

t→∞

(

)

O(χ)

где δ = O

lim_t→∞ |f(t)|

, O(χ) для χ ∈ R означает, что lim_t→∞

= const,

| · | — евклидова норма соответствующего вектора, т.е. точность регулирова-

ния в установившемся режиме в [1-4, 5-8], [12, 13] зависит от сигнала возму-

щения.

Рис. 1. Структурная схема системы управления.

В данной статье цель управления состоит в разработке алгоритма управ-

ления, который обеспечит

(



)



δ = O hr+1 lim

f(r+1)(t)

t→∞

т.е. в отличие от [1-4, 5-8, 12, 13] предложенный алгоритм позволит компен-

сировать большие по амплитуде возмущения. Достаточное условие для обес-

печения поставленной цели управления будет приведено в утверждении 1.

Опишем кратко схему синтеза алгоритма управления. Сигнал u предста-

вим в виде

(2.3)

u(t) = u₁(t) + u₂

(t).

С помощью сигнала u₁ будем обеспечивать устойчивость замкнутой системы,

а с помощью сигнала u₂ — компенсацию возмущения f. В разделе 3 форми-

руется предиктор регулируемой величины для синтеза u₁ (“Предиктор x(t)”

на рис. 1). Затем формируется оценка возмущени

f с использованием вспо-

могательного контура и алгоритма оценки производной. Для прогноза оцен-

ки возмущени

f используется предиктор возмущения (“Предикто

f (t)” на

рис. 1). После формируется сигнал компенсации возмущения u₂.

В разделе 5 будет предложено обобщение результатов раздела 4 для управ-

ления объектами с большим временем запаздывания. Также новый алгоритм

позволит существенно сократить время прогноза возмущения. Для решения

данной задачи будут синтезированы субпредикторы регулируемой величины

и возмущения. Структурная схема такой системы управления подобна схе-

ме, представленной на рис. 1, где вместо предикторов будут использоваться

соответствующие субпредикторы.

3. Синтез предиктора регулируемой величины и предиктора возмущения

Сначала синтезируем закон управления u₁. Для этого потребуется про-

гноз регулируемой величины на время запаздывания h. С этой целью введем

предиктор

(3.1)

x(t)=Ax(t)+D(x(t)-x(t-h))+Bu1(t),

где матрица D выбирается так, чтобы решения уравнения

(3.2)

κ(t) = Aκ(t) - Dκ(t - h), κ(t) ∈ Rⁿ,

были предельно ограниченными. В утверждении 1 будет сформулировано ко-

личественное условие для выбора матрицы D в виде разрешимости ЛМН.

Зададим закон управления u₁ в виде

(3.3)

u₁

(t) = -K x(t),

где матрица K выбирается из условия гурвицевости матрицы A - BK.

Введем ошибку прогноза e(t) = x(t) - x(t - h). С учетом (2.3) продиффе-

ренцируем e(t) вдоль решений уравнений (2.1) и (3.1):

(3.4)

ė(t) = Ae(t) - De(t - h) + Bu₂

(t - h) + Bf(t).

Из (3.4) следует, что выполнить условие lim_t→∞ e(t) = 0 при наличии внеш-

него возмущения f невозможно, но величину lim_t→∞ |e(t)| можно уменьшить

путем соответствующего выбора закона управления u₂, который обеспечит

частичную компенсацию возмущения f. Поэтому далее синтезируем алго-

ритм компенсации возмущений.

Получим сначала информацию о возмущении f. С этой целью введем вспо-

могательный контур

(3.5)

ė_a(t) = Ae_a(t) - De_a(t - h) + Bu₂

(t - h),

где e_a(t) ∈ Rⁿ. Найдем производную по времени от функции ξ(t) = e(t) - e_a(t)

вдоль траекторий уравнений (3.3) и (3.5):

(3.6)

(t) = Aξ(t) - Dξ(t - h) + Bf(t).

Следуя структуре уравнения (3.6), зададим оценку возмущения в виде

(

)

(3.7)

f (t) = B⁺

(t) - Aξ(t) + Dξ(t - h)

где сигнал

(t) определяется согласно алгоритму

(3.8)

i(t) =

ξ_i

(t), i = 1, . . . , n.

μp + 1

Здесь μ > 0 - достаточно малое число, p = d/dt - оператор дифференциро-

вания.

Для частичной компенсации возмущения f закон управления u₂ требуется

задать в виде u₂(t) =

f (t + h). Для построения прогноза оценки возмущения

воспользуемся теоремой Лагранжа о среднем [14], согласно которой функцию

f (t + h) можно записать в виде

∑

(3.9)

f (t + h) =

(-1)j-1Cjr+1f

(t - h(j - 1)) + R(t),

j=1

где Cjr+1 =(r+1)!(r+1-j)!j! , R(t) = hr+1fˆ(r+1) (t - [(r + 1)θ - 1] h) - остаток разло-

жения, 0 < θ < 1. Поскольку остаток R(t) недоступен измерению, то предик-

тор возмущения и закон частичной компенсации возмущения определим в

виде:

∑

(3.10)

f (t + h) =

(-1)j-1Cjr+1f

(t - h(j - 1)),

j=1

(3.11)

u₂(t) = -f

(t + h).

Для дискретного времени алгоритм (3.10) рассмотрен в [15], для непрерыв-

ного времени - в [16]. Из (3.10) следует, что для прогноза оценки возмущения

требуется время rh.

В результате сформирован алгоритм управления, состоящий из предикто-

ра регулируемой величины (3.1), вспомогательного контура (3.5), предиктора

возмущения (3.10) и закона управления (2.3), состоящего из (3.3) для обеспе-

чения устойчивости замкнутой системы и (3.11) для компенсации возмуще-

ния. Для формулировки основного результата раздела 3 необходимо сформи-

ровать уравнение замкнутой системы.

4. Уравнение замкнутой системы и основной результат

Введем новую переменную x₁ = x - e и продифференцируем ее вдоль ре-

шений (2.1) и (3.4):

(4.1)

x₁(t) = (A - BK)x₁

(t) + De(t - h).

Рассмотрим ошибку оценки производной η

ξ-

ξ. Принимая во внимание

(3.7), (3.8) и обозначив z

ξ, запишем выражения:

η(t) = -

η(t) + z(t),

(4.2)

Ż(t) = Az(t) - Dz(t - h) +

f (t).

Поскольку сигнал

f (t) ограниченный и матрица D выбирается из условия

обеспечения предельной ограниченности решений (3.2), то сигнал η(t) пре-

дельно ограниченный.

Введем новые переменные w(t) = η(r+1)(t) и g(t) = ξ(r+3)(t). Принимая во

внимание (4.2), продифференцируем η и z по времени r + 1 раз и результат

запишем в виде:

w(t) = -

w(t) + g(t),

(4.3)

ġ(t) = Ag(t) - Dg(t - h) + Bf(r+3)(t).

Так как сигнал f(r+3)(t) - ограниченный, то сигнал w(t) - предельно ограни-

ченный.

Перепишем (3.6) как Bf(t)

=˙ξ(t) - Aξ(t) + Dξ(t - h). С учетом (3.7) и

(3.9)-(3.11), составим соотношения

λ(t) = u₂(t - h) + f(t)

f (t)

f (t) + f(t)

f (t) =

(4.4)

= R(t - h) + B⁺η(t) = hr+1fˆ(r+1) (t - (r + 1)θh) + B⁺η(t) =

[

]

=hr+1 f(r+1) (t - (r + 1)θh) - B+w (t - (r + 1)θh) + B+η(t).

Из ограниченности f(r+1)(t), w(t) и η(t) следует ограниченность λ(t). Подста-

вив (4.4) в (3.4), получим

(4.5)

ė(t) = Ae(t) - De(t - h) + Bλ(t).

В результате, замкнутая система представлена уравнениями (4.1)-(4.3)

и (4.5). Поскольку решения уравнений (4.2) и (4.3) - предельно ограниченные,

то для исследования устойчивости замкнутой системы достаточно рассмот-

реть только уравнения (4.1) и (4.5).

Введем вектор и матрицы

[

]

A-BK O_n×n

x_p = col{x₁,e}, A_p =

O_n×n

[

]

[

]

O_n×n D

O_n×n

D_p =

B_p =

O_n×n

-D

где O_n×m - нулевая матрица размеров n × m. Перепишем уравнения (4.1)

и (4.5) в виде

x_p(t) = A_px_p(t) + D_px_p(t - h) + B_pλ(t)

или, используя формулу Ньютона-Лейбница, как

∫t

(4.6)

x_p(t) = (A_p + D_p) x_p(t) - D_p

x_p(s)ds + B_p

λ(t).

t-h

Утверждение 1. Рассмотрим систему управления, состоящую из

объекта (2.1), предиктора регулируемой величины (3.1), вспомогательно-

го контура (3.5), предиктора возмущения (3.10) и закона управления (2.3),

(3.3), (3.11). Пусть для заданного числа α > 0 и матриц K и D существуют

коэффициент β > 0 и матрицы P > 0, P₂ > 0, P₃ > 0, Q > 0, S > 0 такие,

что выполнено ЛМН

⎡

⎤

Ψ₁₁

P -P^T2+(A_p+D_p)^TP₃ O4n×4n

-hP^T2D_p P^T2B_p

⎢

⎥

⎢

⎥

∗

-P₃ - P^T3 + hS

O4n×4n

-hP^T3D_p P^T3B_p

⎢

⎥

⎢

⎥

(4.7)

Ψ :=⎢

∗

-e-2αhQ O4n×4n O4n×(2m+n)

⎥< 0,

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

∗

-hS O4n×(2m+n)

⎣ ∗

⎦

∗

-βI2m+n

где

(4.8)

Ψ₁₁ = P^T2 (A_p + D_p) + (A_p + D_p)^T P₂

+ 2αP + Q.

Тогда решения замкнутой системы (4.1)-(4.3), (4.5) предельно ограничены.

Причем

(



)



δ = O hr+1 supf(r+1)(t)

в целевом условии (2.2) при достаточно малом μ.

Доказательство. Для исследования устойчивости (4.6) рассмотрим

функционал Ляпунова-Красовского в виде

(4.9)

V =V₁ +V₂ +V₃,

где

V₁ = xTpPx_p,

∫t

V₂ = e2α(σ-t)xTp(σ)Qx_p(σ)dσ,

t-h

∫0

∫

V₃ =

e2α(σ-t) xTp(σ)S x_p(σ)dσdζ.

-h t+ζ

Отметим, что составляющая V₃ позволяет получить условие устойчивости

замкнутой системы, которое в явном виде будет зависеть от запаздывания

(delay depended condition [17]). Принимая во внимание (4.6), составим выра-

жения:

[

]

V₁ + 2αV₁ = xTpP x_p + 2αxTpPx_p + 2

xTpP^T2 + xTpP^T3

⎡

⎤

∫

×^⎣(A_p + D_p)x_p(t) - D

x_p(s)ds + B_pλ(t) - x_p(t)^⎦ ,

t-h

(4.10)

V₂ + 2αV₂ = xTp(t)Qx_p(t) - e-2αhxTp(t - h)Qx_p(t - h),

∫t

V₃ + 2αV₃ = h xTpS x_p - e2α(σ-t) xTp(σ)S x_p(σ)dσ.

t-h

При составлении первого выражения в (4.10) использовался дескрипторный

метод [17]. Воспользовавшись неравенством Йенсена (Jensen’s inequality [17]),

оценим последнее выражение в (4.10) в виде

∫

-2αh

(4.11)

V₃ + 2αV₃ ≤ h xTpS x_p -e

xTp(σ)dσ S

x_p

(σ)dσ.

t-h

Введем вектор

⎧

⎫

⎨

∫

⎬

y(t) = col

x_p(t), x_p(t),x_p(t - h),

x_p(σ)dσ,λ(t)

⎩

⎭

t-h

и запишем выражение^V + 2αV - βλ^Tλ ≤ y^TΨy. Очевидно, что y^TΨy ≤ 0, ес-

ли выполнено условие (4.7).

Теперь покажем, что в замкнутой системе обеспечивается (2.2) с δ =

(



)

hr+1 sup

^f(r+1)(t)



. Принимая во внимание

(2.3) и

(4.4), перепи-

шем (2.1) в виде x(t) = Ax(t) + Bu₁(t - h) + Bλ(t). Обозначим

Δ(μ) = lim |λ(t)|.

t→∞

Тогда из (4.2), (4.3) и (4.4) следует, что



lim

Δ(μ) = hr+1 lim

f(r+1)(t).

μ→0

t→∞

Таким образом, предложенный алгоритм обеспечивает (2.2) с точностью

(



)



δ=O

hr+1 lim_t→∞

^f(r+1)(t)

, в то время как существующие алгоритмы [1-4,

(

)

6-9, 12, 13] обеспечивают δ = O

lim_t→∞ |f(t)|

. Утверждение 1 доказано.

Замечание. Покажем ограниченность всех сигналов в замкнутой систе-

ме. Так как вектор y - предельно ограниченный, то сигнал x_p - предельно

ограниченный. Из предельной ограниченности x_p следует предельная огра-

ниченность x₁ и e. Из выражения x₁ = x - e следует предельная ограничен-

ность x. Из предельной ограниченности e, x и e(t) = x(t) - x(t - h) следует

предельная ограниченность x. Значит, из (3.4) следует предельная ограни-

ченность u₁.

Продифференцируем (3.6):

ξ(t) =

ξ(t) -

ξ(t - h) +

f (t). Из ограни-

ченности

следует предельная ограниченность

. Перепишем (3.8) в виде

ξ=-1μξ+1μξ˙. Из предельной ограниченности˙ξ следует предельная ограни-

ченностьξ. Из предельной ограниченностиξ и ξ следует предельная огра-

ниченност

f. Сигнал u₂ ограничен из (3.10) и (3.11). Значит, сигнал u пре-

дельно ограничен из (2.3). В результате все сигналы ограничены в замкнутой

системе. Замечание доказано.

5. Синтез субпредиктора регулируемой величины

и субпредиктора возмущения

На базе результатов разделов 3 и 4 рассмотрим синтез субпредикторов,

которые осуществляют многошаговое прогнозирование вектора состояния и

возмущения. Как будет показано на численных примерах в разделе 6, субпре-

дикторный алгоритм может сократить время прогноза возмущения и обеспе-

чить устойчивость замкнутой системы по отношению к большему запазды-

ванию в канале управления в (2.1), чем при использовании предикторов из

раздела 4.

Для прогноза регулируемой величины введем систему уравнений:

(

)

x_i(t) =Ax_i(t) + D_i

xi+1(t) - x_i(t -h)

+ Bu₁(t - (i - 1)^h),

(5.1)

i = 1,...,M - 1,

(

)

x_M (t) =Ax_M (t) + D_M

x(t) - x_M (t -h)

+ Bu₁(t - (M - 1)^h),

где

x_i(t) ∈ Rⁿ,

h=h

Число M задается разработчиком, а матрицы D_i выбираются из условия

обеспечения предельной ограниченности решений следующей системы урав-

нений:

κ_i(t) = Aκ_i(t) - D_iκ_i(t -h) + Di+1κi+1(t -h), i = 1,... ,M - 1,

(5.2)

κ_M (t) = Aκ_M (t) - D_M κ_M (t -h),

где κ_i ∈ Rⁿ, i = 1, . . . , M. В утверждении 2 будет сформулировано количе-

ственное условие для выбора матриц D_i в виде разрешимости ЛМН. Систе-

му (5.1) будем называть субпредиктором регулируемой величины, поскольку

каждое уравнение системы (5.1) обеспечивает прогноз регулируемой величи-

ны на время запаздывания^hM .

Введем ошибки прогноза:

e_i(t) = xi+1(t - (M - i)^h) - x_i(t - (M - i + 1)^h), i = 1,... ,M - 1,

(5.3)

e_M (t) = x(t) - x_M (t -h).

При e_i(t) → 0, i = 1, . . . , M, следует, что x₁(t - h) → x(t) или x₁(t) → x(t + h).

С учетом (2.3) продифференцируем (5.3) вдоль решений уравнений (2.1)

и (5.1):

ė_i(t) = Ae_i(t) - D_ie_i(t -h) + Di+1ei+1(t -h), i = 1,... ,M - 1,

(5.4)

ė_M (t) = Ae_M (t) - D_M e_M (t -h) + Bu₂(t - h) + Bf(t).

Если положить u₂(t) ≡ 0 и f(t) ≡ 0 и выбрать D_i, i = 1, . . . , M, таки-

ми, что система (5.2) асимптотически устойчива, то из (5.3) следует, что

lim_t→∞ x(t + h) = lim_t→∞ x₁(t). Следовательно, зададим закон управления u₁

в виде

(5.5)

u₁(t) = -Kx₁

(t),

где матрица K задается из условия гурвицевости матрицы A - BK.

Однако f = 0 по условию задачи. Поэтому далее синтезируем алгоритм

компенсации возмущений u₂ с целью уменьшения влияния возмущения f на

значение ошибок прогноза e_i, i = 1, . . . , M. Введем вспомогательный контур

(5.6)

ė_a(t) = Ae_a(t) - D_M e_a(t -h) + Bu₂

(t - h),

где e_a(t) ∈ Rⁿ. Найдем производную по времени от функции

ξ(t) = e_M (t) - e_a(t)

вдоль траекторий M-го уравнения в системе (5.4) и уравнения (5.6):

(5.7)

˙ξ(t) = Aξ(t) - D_M ξ(t -h)

+ Bf(t).

Следуя структуре (5.7), зададим оценку возмущения в виде

(

)

(5.8)

f (t) = B⁺

˙ξ(t) - Aξ(t) + D_M ξ(t -h) ,

где сигнал

(t) получен с помощью алгоритма (3.8).

Теперь сформируем алгоритм прогноза оценки возмущени

f (t). Для этого

запишем выражение дл

f (t +^ĥ) в виде

∑

(5.9)

f (t +^ĥ) =

(-1)j-1Cjr+1fˆ(t -ĥ(j - 1)) +R(t),

j=1

ĥ₌ h

где

, число N > 0 выбирается разработчиком,

^R(t) =ĥr+1fˆ(r+1)×

(

)

× t - [(r + 1)θ - 1]^ĥ

- остаток разложения.

Очевидно, что значени

f (t +^ĥ) недостаточно для компенсации возмуще-

ний. Следовательно, сдвинем вправо аргумент функции

f (t +^ĥ) в (5.9) на

величину^ĥ последовательно N раз. Следуя данной процедуре, прогноз воз-

мущения на величину h можно сформировать в виде:

∑

f (t +^ĥ) =

(-1)j-1Cjr+1fˆ(t -ĥ(j - 1)),

j=1

∑

f (t + lĥ)=

(-1)j-1Cjr+1f˜(t -ĥ(j - l))+

(-1)j-1Cjr+1fˆ(t -ĥ(j - l)),

j=1

j=l

(5.10)

l = 2,...,r + 1 (или l = 2,...,N, если N < r + 2),

∑

f (t+kĥ)=

(-1)j-1Cjr+1f˜(t -ĥ(j - k)),

j=1

k = r + 2,...,N (если N ≥ r + 2).

Систему (5.10) будем называть субпредиктором возмущений. Отметим,

что при N < r + 2 субпредиктор возмущения состоит только из первых двух

выражений (5.10). При N ≥ r + 2 субпредиктор возмущения включает в себя

все уравнения (5.10). Также из (5.10) видно, что время прогноза возмущения

составляетĥr =^hrN , т.е. по сравнению с (3.10) алгоритмы (5.10) позволяют

уменьшить время прогноза возмущения в N раз.

Сформируем закон частичной компенсации возмущения в виде

(5.11)

u₂(t) = -f

(t + h).

В итоге сформирован алгоритм управления, состоящий из субпредиктора

регулируемой величины (5.1), вспомогательного контура (5.6), субпредиктора

возмущения (5.10) и закона управления (2.3), в состав которого входят сиг-

нал (5.5) для обеспечения устойчивости замкнутой системы и сигнал (5.11)

для компенсации возмущения.

Перед формулировкой основного результата настоящего раздела предва-

рительно сформируем уравнение замкнутой системы. С учетом (5.9)-(5.10)

составим ошибки прогноза ε_l(t)

f (t + lĥ)

f (t + lĥ), l = 1, . . . , N, в виде

ε₁(t) =^R(t),

∑

ε_l(t) =

(-1)j-1Cjr+1ε_l-j (t) + ε₁(t + (l - 1)^ĥ),

j=1

(5.12)

l = 2,...,r + 2 (или l = 2,...,N, если N ≤ r + 2),

∑

ε_v(t) =

(-1)j-1Cjr+1ε_v-j (t) + ε₁(t + (v - 1)^ĥ),

j=1

v = r + 3,...,N (если N > r + 2).

Рассмотрим выражение

λ₁(t) = u₂(t - h) + f(t) =

f (t) + f(t) =

(5.13)

f (t)

f (t) + f(t)

f (t) = ε_N (t - h) + B⁺η(t).

Введем новую переменную

∑

x₁ = x - e_i.

i=1

С учетом (5.13) продифференцируем x₁ по времени вдоль решений (2.1) и

(5.4):

(5.14)

x₁(t) = (A - BK)x₁(t) + D₁e₁(t -h

Составим ошибку оценки производной η

ξ-

ξ в виде (4.2). Обозначив

ξ, найдем производную от z с учетом (5.7):

(5.15)

Ż(t) = Az(t) - D_M z(t -h) + Bf

(t).

Введем новые переменные w(t) = η(r+1)(t) и g(t) = ξ(r+3)(t). Принимая во

внимание (4.2) и (5.15), продифференцируем η и z по времени r + 1 раз и

результат запишем в виде:

w(t) = -

w(t) + g(t),

(5.16)

ġ(t) = Ag(t) - D_M g(t -h) + Bf(r+3)(t).

С учетом (5.13) перепишем (5.4) как

ė_i(t) = Ae_i(t) - D_ie_i(t -h) + Di+1ei+1(t), i = 1,... ,M - 1,

(5.17)

ė_M (t) = Ae_M (t) - D_M e_M (t -h) + Bλ₁(t).

Покажем ограниченность λ₁(t). Поскольку сигналы f(t)

f (t) и f(r+3)(t)

ограниченные, то из подобия струткур (5.15), второго уравнения (5.16) и

последнего уравнения (5.2) следует предельная ограниченность ξ(t) и η(t).

Продифференцируем (5.7)

ξ(t) =

ξ(t) - D_Mξ˙(t - h) +

f (t). Из ограничен-

ности

следует предельная ограниченность

ξ. Перепишем (3.8) в виде

ξ=-1μ˙ξ + 1μξ˙. Из предельной ограниченностиξ

следует предельная огра-

ниченностьξ

. Из предельной ограниченностиξ, ξ и (5.8) следует ограни-

ченность

f. Из (5.10) следует ограниченность

f. Сигнал ε_N(t) ограничен

из (5.12). В результате λ₁(t) ограничен из (5.13).

Поскольку решения (5.15) и (5.16) предельно ограниченные, то для ис-

следования устойчивости замкнутой системы достаточно рассмотреть только

уравнения (5.14) и (5.17).

Введем вектор и матрицы:

⎡

⎤

A-BK O_n×n ... O_n×n O

n×n

⎢

⎥

O_n×n

A ... O_n×n O_n×n

⎢

⎥

⎢

⎥

x_p = col {x₁,e₁,e₂,... ,e_M } , A_p =

⎢

⎥

⎢

O_n×n O_n×n

⎥^,

⎢

⎥

⎣ O_n×n O_n×n ... A O_n×n

⎦

O_n×n O_n×n ... O_n×n A

⎡

⎤

O_n×n D₁ O_n×n O_n×n ... O_n×n

⎢

⎥

⎡

⎤

⎢

O_n×n

-D₁

D₂

O_n×n ... O_n×n

⎥

O_n×m

⎢

⎥

⎢

O_n×n O_n×n

-D₂

D₃

.... O_n×n

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

D_p =

⎢

⎥,

B_p =

⎢

⎥

O_n×n O_n×n O_n×n

-D₃

O_n×n

⎢

⎥

⎣ O_n×m

⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

O_n×n O_n×n O_n×n O_n×n ...

-D_M

Перепишем уравнения (5.14) и (5.17) в виде

x_p(t) = A_px_p(t) + D_px_p(t -h) + B_pλ₁(t)

или

∫t

(5.18)

x_p(t) = (A_p + D_p) x_p(t) - D_p

x_p(s)ds + B_pλ₁

(t).

t-h

Отметим, что в разделе 4 уравнение замкнутой системы (4.6) содержа-

ло запаздывание h. Использование субпредиктора (5.1) позволило получить

новое уравнение замкнутой системы (5.18) с уменьшенным в M раз запазды-

ванием^h.

Утверждение 2. Рассмотрим систему управления, состоящую из

объекта (2.1), субпредиктора регулируемой величины (5.1), вспомогатель-

ного контура (5.6), субпредиктора возмущения (5.10) и закона управления

(2.3), (5.5), (5.11). Пусть для заданного числа α > 0 и матриц K, D суще-

ствуют коэффициент β > 0 и матрицы P > 0, P₂ > 0, P₃ > 0, Q > 0, S > 0

такие, что выполнено ЛМН

⎡

⎤

Ψ11

P -P^T2+AT0 P3 O(3+M)n×(3+M)n

-hP^T2Dp

P^T2B

⎢

⎥

⎢

∗

+hS O(3+M)n×(3+M)n

⎥

⎢

-P3 -

-hP^T3Dp

P^T3Bp

⎥

⎢

⎥

(5.19)

Ψ :=⎢

⎥< 0,

⎢

∗

-e-2αhQ

O(3+M)n×(3+M)n O(3+M)n×(n+m)

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣ ∗

∗

-hS

O(3+M)n×(n+m)

⎦

∗

-βIn+m

где Ψ₁₁ имеет вид (4.8). Тогда решения замкнутой системы (2.1), (2.3),

(5.1), (5.5), (5.6), (5.10), (5.11) предельно ограничены и выполнено целевое

(

)

условие (2.2), где δ = O

lim_t→∞ |ε_N (h, t)|

при достаточно малом μ. Допол-

нительно: все сигналы ограничены в замкнутой системе.

Доказательство. Для доказательства утверждения

рассмотрим

функционал Ляпунова-Красовского (4.9), где только V₂ и V₃ сформируем

с учетом нового запаздывания ^h в (5.18):

∫^t

V₂ = e2α(σ-t)xTp(σ)Qx_p(σ)dσ,

t-h

∫0

∫

V₃ =

e2α(σ-t) xTp(σ)S x_p(σ)dσdζ.

-h t+ζ

В силу подобия структур систем (4.6) и (5.18) вывод условия

+ 2αV - βλT1 λ₁ ≤ y^TΨy ≤ 0

аналогичен выводу в утверждении 1.

Так как y^TΨy ≤ 0, то сигнал x_p - предельно ограниченный. Из предельной

ограниченности x_p следует предельная ограниченность x₁, e_i, i = 1, . . . , M,

η и z. Доказательство ограниченности остальных сигналов в замкнутой си-

стеме аналогично доказательству в замечании.

Принимая во внимание (2.3) и (4.4), перепишем (2.1) в виде

x(t) = Ax(t) + Bu₁(t - h) + Bλ₁(t).

Обозначив

Δ₁(μ) = lim

|λ₁(t)| ,

t→∞

имеем

lim

Δ₁(μ) = lim

|ε_N (h, t)|.

μ→0

t→∞

Таким образом, предложенный алгоритм управления обеспечивает (2.2) с

(

)

точностью δ = O

lim_t→∞ |ε_N (h, t)|

в (2.2). Утверждение 2 доказано.

6. Примеры

Рассмотрим модель объекта управления (2.1) с параметрами [18, 19]:

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

a₁

⎥

⎢

b₁

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

a₁ = -1, a₂ = 10/3,

⎣₀

⎦,

⎣₀

⎦^,

a₂

b₂

b₁ = 0,1, b₂ = -1/30 и x(0) = [0,98

0,2

0]^T.

В [18] показано, что данная модель может описывать перевернутый маят-

ник на подвижной тележке, где x = [x₁ x₂ x₃ x₄]^T, x₁ — позиция тележ-

ки, x₂ — скорость тележки, x₃ — угол маятника относительно вертикальной

оси, x₄ — угловая скорость маятника, a₁ = -m_pg/M_c, a₂ = g/l, b₁ = 1/M_c,

b₂ = -1/(M_cl), M_c = 10 — масса тележки, m_p = 1 — масса маятника, l = 3 —

длина маятника и g = 10 — ускорение свободного падения. Положим, что

(

π⁾

100

⁽ d(t)⁾

f (t) = 1 + sin(0,2t) + cos t + sin

1,5t +

sat

(5p + 1)⁷

sat(·) — функция насыщения, d(t) — сигнал, моделируемый в Matlab Simulink

с помощью блока “Band-Limited White Noise” с мощность шума (noise

power) 0,1 и периодом (sample time) 0,1.

В [18, 19] для стабилизации данного объекта использовался закон управ-

ления u = -Kx, где K = [2 12 378 210]. Далее во всех алгоритмах будем

использовать одно и то же значение K. Максимальное значение запаздыва-

ния, для которого можно стабилизировать объект в [19], равно h_max = 0,2.

При этом система управления [19] очень чувствительна к возмущениям.

1. Синтез алгоритма на базе предикторов.

⎡

⎤

⎢1,5

2,5

⎥

Выберем D =

⎣

⎦ в предикторе регулируемой перемен-

2,5

ной (3.1). В алгоритме оценки производной (3.8) зададим μ = 0,01. ЛМН (4.7)

разрешимо при hLMImax = 0,38. Моделирование в Matlab Simulink показало, что

система устойчива при hMSmax = 0,41, т.е. решение ЛМН имеет небольшое от-

клонение (7,3 %) от значения, полученного в Matlab Simulink, причем схема

управления на базе предиктора позволяет стабилизировать объект при боль-

шем в 2 раза времени запаздывания в канале управления по сравнению с [19].

Теперь сравним качество переходных процессов для предложенной схемы

и алгоритмов [4, 12]. Пусть h = 0,35. На рис. 2 приведены результаты пере-

ходных процессов для разработанного алгоритма при r = 3 и r = 4 в (3.10).

На рис. 3 изображены графики переходных процессов при использовании ал-

горитмов [4, 12]. Отметим, что разработанный алгоритм и алгоритмы [4, 12]

сохраняют устойчивость при максимальном запаздывании h = 0,41.

Дополнительный анализ результатов моделирования для алгоритмов [4, 12]

показал, что изменение параметров K с целью подавления, а не компенсации,

возмущений ведет к потере устойчивости замкнутой системы. Однако разра-

ботанный алгоритм обеспечивает компенсацию возмущений для любых зна-

чений K, при которых замкнутая система остается устойчивой, так как кон-

тур компенсации возмущений не зависит от контура стабилизации замкнутой

системы.

2. Синтез алгоритма на базе субпредикторов.

Выберем M = 2 и D₁ = D₂ = D в (5.1), т.е. каждый субпредиктор пред-

ставляет собой предиктор с такими же параметрами, но с уменьшенным

-2

-4

-6

100

200

300

-5

-10

100

Рис. 3. Переходные процессы по x(t) при использовании алгоритма [4] (а) и

алгоритма [12] (б ).

стабилизировать объект при большем времени запаздывания в канале управ-

ления в 4 раза по сравнению с [19] и в 2 раза по сравнению с разработанным

алгоритмом на базе предикторов и алгоритма [4]. Результаты переходных

процессов при h = 0,7 для разработанного алгоритма на базе субпредикто-

ров и алгоритма [13] приведены на рис. 4.

7. Заключение

Синтезированы алгоритмы управления линейными объектами с запазды-

вающим входным сигналом при наличии внешних возмущений. Первый ал-

горитм основан на использовании предикторов регулируемой величины и

возмущения. Второй алгоритм базируется на использовании субпредикторов

регулируемой величины и возмущения. Показано, что использование прин-

ципа компенсации возмущений позволяет существенно уменьшить влияние

возмущений на качество переходных процессов по сравнению с методами по-

давления возмущений [3, 4]. Получены достаточные условия устойчивости

замкнутой системы в виде разрешимости линейных матричных неравенств.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Smith J.M. Closer Control of Loops with Dead Time // Chem. Eng. Prog. 1959.

No. 53. P. 2217-2219.

Manitius A.Z., Olbrot A.W. Finite Spectrum Assignment Problem for Systems with

Delays // IEEE Trans. Autom. Control. 1979. V. AC-24. No. 4. P. 541-553.

Kristic M. Delay Compensation for Nonlinear, Adaptive, and PDE Systems.

Birkhauser, 2009.

Mazenc F., Niculesqu S.-I., Krstić M. Lyapunov-Krasovskii Functionals and

Application to Input Delay Compensation for Linear Time-Invariant Systems //

Automatica. 2012. V. 48. P 1317-1323.

Van Assche V., Dambrine M., Lafay J.F., Richard J.P. Some Problems Arising in

the Implementation of Distributed-Delay Control Laws // Proc. 38th IEEE Conf. on

Decision and Control, Phoenix, 1999.

Engelborghs K., Dambrine M., Rose D. Limitations of a Class of Stabilization

Methods for Delay Systems // IEEE Trans. Autom. Control. 2001. V. AC-46. No. 2.

P. 336-339.

Mondié S., Dambrine M., Santos O. Approximation of Control Laws with

Distributed Delays: a Necessary Condition for Stability // Kybernetika. 2002. V. 38.

No. 5. P. 541-551.

Mondié S., Michiels W. Finite Spectrum Assignment of Unstable Time-Delay

Systems With a Safe Implementation // IEEE Trans. Autom. Control. 2003. V. 48.

No. 12. P. 2207-2212.

Ван Ц., Арановский С.В., Бобцов А.А., Пыркин А.А. Компенсация мультисину-

соидального возмущения на основе параметризации Юлы-Кучеры // АиТ. 2017.

№ 9. С. 19-33.

Wang J., Aranovskiy S.V., Bobtsov A.A., Pyrkin A.A. Compensating for a

Multisinusoidal Disturbance Based on Youla-Kucera Parametrization // Autom.

Remote Control. 2017. V. 78. No. 9. P. 1559-1571.

10.

Sanz R., Garcia P., Albertos P. Enhanced Disturbance Rejection for a Predictor-

Based Control of LTI Systems with Input Delay // Automatica. 2016. V. 72.

P. 205-208.

11.

Furtat I., Fridman E., Fradkov A. Disturbance Compensation with Finite Spectrum

Assignment for Plants with Input Delay // IEEE Trans. Autom. Control. 2018. V. 63.

No. 1. P. 298-305.

12.

Dugard L., Verriet E. Stability and Control of Time-delay Systems, London:

Springer, 1997.

13.

Najafi M., Hosseinnia S., Sheikholeslam F., Karimadini M. Closed-Loop Control of

Dead Time Systems via Sequential Sub-predictors // Int. J. Control. 2013. V. 86.

No. 4. P. 599-609.

14.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1.

М.: Физматлит, 2003.

15.

Цыпкин Я.З. Скользящая аппроксимация и принцип поглощения // Докл. РАН.

1997. Т. 357. № 6. С. 750-751.

Tsypkin Ya.Z. Moving Approximation and the Absorption Principle // Dokl.

Mathematics. 1997. V. 56. No. 3. P. 976-977.

16.

Фуртат И.Б. Алгоритмы скользящей аппроксимации // Мехатроника, автома-

тизация, управление. 2017. Т. 18. № 3. С. 147-158.

17.

Fridman E. Introduction to Time-Delay Systems. Analysis and Control. Birkhauser,

2014.