Автоматика и телемеханика, № 2, 2019

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

ОПТИМИЗАЦИЯ БИЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

ПРИ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ:

I. ЗАДАЧА АНАЛИЗА¹

Рассмотрены результаты, связанные с задачей анализа для билинейной

системы при произвольных ограниченных внешних возмущениях. Постав-

лены и решены задачи конструктивного построения эллипсоида стаби-

лизируемости и области стабилизируемости квадратичной динамической

системы в непрерывном и дискретном времени. Главным инструментом

при этом является техника линейных матричных неравенств.

Простой и универсальный подход имеет большой потенциал и возмож-

ности для обобщений; в частности, он распространим на разнообразные

робастные постановки задачи.

Ключевые слова: билинейная система, внешние возмущения, квадратич-

ная функция Ляпунова, линейная обратная связь, эллипсоид стабилизи-

руемости, область стабилизируемости, линейные матричные неравенства.

DOI: 10.1134/S000523101902003X

1. Введение

Задачам, связанным с вопросами устойчивости, стабилизации и синтеза

управления для билинейных систем, традиционно уделяется достаточно боль-

шое внимание в публикациях, начиная с появления монографии [1]; при этом

предлагаются как самые различные постановки задач, так и подходы к их

решению, см. [2-15] и др.; в частности, в некоторых публикациях [6] пред-

принимаются попытки эллипсоидального подхода к рассматриваемой пробле-

матике.

В [16, 17] был предложен подход к описанию области стабилизируемости

билинейной системы. На основе техники линейных матричных неравенств и

квадратичных функций Ляпунова конструктивно строился так называемый

эллипсоид стабилизируемости такой, что траектории замкнутой системы, на-

чинаясь внутри эллипсоида, асимптотически стремятся к нулю. Это позво-

лило эффективно строить невыпуклые аппроксимации областей стабилизи-

руемости билинейных систем управления. Среди наиболее идейно близких

публикаций отметим [18, 19], которые также посвящены построению квадра-

тичных функций Ляпунова для задач стабилизации билинейных систем при

помощи аппарата линейных матричных неравенств.

¹ Исследование выполнено при частичной поддержке Российского фонда фундамен-

тальных исследований (проект № 18-08-00140).

Однако настоящая статья существенно отличается от всех указанных пуб-

ликаций: в ней рассматривается билинейная система, подверженная воздей-

ствию внешних возмущений. Эта тематика (применительно к линейным си-

стемам) восходит к работам Б.В. Булгакова, см. [20-22], который занимал-

ся так называемой проблемой о накоплении возмущений. В статье решает-

ся задача конструктивного построения эллипсоида стабилизируемости нели-

нейной (квадратичной) динамической системы, подверженной воздействию

внешних возмущений; кроме того, в ней ставится и решается новая задача

построения области стабилизируемости системы.

Статья организована следующим образом: в разделе 2 изложен важный

вспомогательный технический результат, являющийся обобщением так назы-

ваемой леммы Питерсена; раздел 3 посвящен построению эллипсоида стаби-

лизируемости, в разделе 4 рассматривается построение области стабилизи-

руемости квадратичной системы, подверженной воздействию внешних воз-

мущений; в разделе 5 полученные результаты распространяются на системы

в дискретном времени; раздел 7 содержит заключительные комментарии.

Несмотря на то что в статье рассматриваются системы со скалярным

управлением, предложенный подход в полной мере распространим и на систе-

мы с многомерным управлением. При этом выкладки становятся несколько

более громоздкими, в то время как идейная сторона меняется мало.

Всюду далее ∥ · ∥ — евклидова норма вектора и спектральная норма матри-

цы,^⊤ — символ транспонирования, I — единичная матрица соответствующих

размеров, а все матричные неравенства понимаются в смысле знакоопреде-

ленности матриц.

2. Вспомогательный результат: лемма Питерсена

Так называемая лемма Питерсена [23] эффективно применяется в разно-

образных робастных постановках задач стабилизации и управления. Приве-

дем ее в следующей формулировке.

Лемма 1 (Питерсен). Пусть G = G^⊤ ∈ R^n×n, а M ∈ R^n×p и N ∈ R^q×n —

ненулевые матрицы. Неравенство

G + MΔN + N^⊤Δ^⊤M^⊤ ≼ 0

справедливо для всех Δ ∈ R^p×q : ∥Δ∥ ≤ 1 тогда и только тогда, когда суще-

ствует число ε такое, что

⁽G + εMM^⊤ N^⊤ )

≼ 0.

-εI

Модификация леммы Питерсена, представленная в следующей лемме 2,

охватывает случай векторной неопределенности, удовлетворяющей эллипсо-

идальному ограничению.

Лемма 2. Пусть G = G^⊤ ∈ R^n×n, 0 ≺ P = P^⊤ ∈ R^q×q, а M ∈ R^n×q и

N ∈ R1×n — ненулевые матрицы. Матричное неравенство

G+MδN +N^⊤δ^⊤M^⊤ ≼0

справедливо для всех δ ∈ R^q : δ^⊤P-1δ ≤ 1 тогда и только тогда, когда суще-

ствует число ε такое, что

G + εMPM^⊤ +

N^⊤N ≼ 0,

или, эквивалентно,

⎛

⎞

G MP N^⊤

⎜

⎟

⎜PM⊤ -εP

⎟

⎝

⎠≼

В дальнейшем изложении этот результат будет использоваться самым су-

щественным образом.

3. Эллипсоид стабилизируемости

Рассмотрим билинейную систему управления

(1)

x = Ax + Bxu + bu + Dw, x(0) = x₀,

где A, B ∈ R^n×n, D ∈ R^n×m, b ∈ Rⁿ, с фазовым состоянием x ∈ Rⁿ, скаляр-

ным управлением u ∈ R и внешним возмущением w ∈ R^m, измеримым по t и

ограниченным в каждый момент времени:

(2)

∥w(t)∥ ≤ γ при всех t ≥ 0.

Замкнув билинейную систему (1), (2) статической линейной обратной свя-

зью

u = k^⊤x, k ∈ Rⁿ,

приходим к квадратичной динамической системе

(

)

x= A_c

+ Bxk^⊤ x + Dw,

где A_c = A + bk^⊤. Динамические системы такого вида и исследуются в на-

стоящей статье.

Итак, рассмотрим квадратичную динамическую систему вида

(

)

(3)

x = A + Bxh^⊤

x+Dw,

где A, B ∈ R^n×n, D ∈ R^n×m, h ∈ Rⁿ, с фазовым состоянием x ∈ Rⁿ и внеш-

ним возмущением (2). Отметим, что никаких других ограничений на возму-

щение w(t) не накладывается; так, оно не предполагается ни случайным, ни

гармоническим.

Таким образом, рассматриваются L_∞-ограниченные внешние возмущения.

Класс таких возмущений будем называть допустимым.

Будем полагать, что матрица A гурвицева (действительные части ее соб-

ственных значений отрицательны).

Система (3) при отсутствии внешних возмущений (D = 0) исследовалась

в [16, 17], где на основании техники линейных матричных неравенств и квад-

ратичных функций Ляпунова был предложен регулярный подход к построе-

нию так называемого эллипсоида стабилизируемости билинейной системы —

эллипсоида, обладающего следующим свойством: траектории системы, начи-

наясь внутри эллипсоида, асимптотически стремятся к нулю.

Цель данного раздела — построение эллипсоида стабилизируемости систе-

мы (3) при внешних возмущениях (2). В отличие от системы без возмущений

теперь поведение траекторий системы будет иным — траектории системы бу-

дут входить в множество достижимости системы (либо будут стремиться к

точке на его границе). Общим же является то, что траектория системы (3), ис-

ходящая из любой точки x₀ внутри эллипсоида стабилизируемости, остается

в этом эллипсоиде — теперь уже при всех допустимых внешних возмущени-

ях (2).

Следующая теорема 1 устанавливает достаточное условие, при котором

эллипсоид

{

}

(4)

E = x∈Rⁿ: x^⊤P-1x≤1

P ≻ 0,

является эллипсоидом стабилизируемости для рассматриваемой системы.

Теорема 1. Эллипсоид (4) является эллипсоидом стабилизируемости

для системы (3), (2), если его матрица P удовлетворяет матричным нера-

венствам

⎛

⎞

AP + P A^⊤ + αP + εBP B^⊤ P h γD

⎜

⎟

(5)

⎝

h^⊤P

-ε

⎠

≼ 0,

P ≻ 0,

γD^⊤

-αI

при некоторых α и ε.

Доказательства этого и последующих утверждений помещены в Приложе-

ние.

Понятно, что не при любом размахе внешних возмущений γ эллипсоид

стабилизируемости для системы (3), (2) будет существовать. Ответ на вопрос

о максимально допустимом размахе γ дается следующим утверждением.

Теорема 2. Максимальный размах γ внешних возмущений (2) в систе-

ме (3), при котором эллипсоид стабилизируемости существует, дается ре-

шением задачи

max γ

при ограничениях

⎛

⎞

AP + P A^⊤ + αP + εBP B^⊤ P h γD

⎜

⎟

⎝

h^⊤P

-ε

⎠ ≼ 0,

P ≻ 0,

γD^⊤

-αI

где оптимизация проводится относительно матричной переменной P =

= P^⊤ ∈ R^n×n, скалярной переменной γ и скалярных параметров α и ε.

Далее, для γ ≤ γ естественно стремиться максимизировать эллипсоид ста-

билизируемости по некоторому критерию; в частности, максимизируя объем

эллипсоида, получаем следствие теоремы 1.

Следствие 1. Пуст

P — решение задачи выпуклой оптимизации

max log det P

при ограничениях

⎛

⎞

AP + P A^⊤ + αP + εBP B^⊤ P h γD

⎜

⎟

⎝

h^⊤P

-ε

⎠ ≼ 0,

P ≻ 0,

γD^⊤

-αI

относительно матричной переменной P = P^⊤ ∈ R^n×n и скалярных пара-

метров ε и α.

Тогда

{

}

E = x∈Rⁿ: x

P-1x ≤ 1

является эллипсоидом стабилизируемости для системы (3), (2).

Обратим внимание, что и теорема 2, и следствие 1 предполагают осуществ-

ление процедуры двумерной оптимизации по α и по ε, поскольку каждый из

этих параметров нелинейно входит в соответствующие ограничения.

Замечание. В рассматриваемых далее примерах (для упрощения вы-

числений) будем предполагать, что матрица B — единичная; это позволит

избежать необходимости проведения оптимизации на двумерной сетке. Дей-

ствительно, в этом случае первое из матричных неравенств (5) примет вид

⎛

⎞

AP + P A^⊤ + αP + εP P h γD

⎜

⎟

⎝

h^⊤P

-ε

⎠ ≼ 0.

γD^⊤

-αI

Вводя новую скалярную переменную

μ=α+ε

и тем самым исключая ε, получаем матричное неравенство

⎛

⎞

AP + P A^⊤ + μP P h γD

⎜

⎟

⎝

h^⊤P

α-μ

⎠ ≼ 0,

γD^⊤

-αI

линейное относительно матричной переменной P = P^⊤ ∈ R^n×n и скалярной

переменной α с одним скалярным параметром μ.

4. Область стабилизируемости

В разделе 3 был найден максимальный (по критерию объема) эллипсоид

стабилизируемости E для системы (3), (2). Понятно, что существуют и иные

эллипсоиды стабилизируемости, в том числе максимальные по тому или ино-

му критерию. Рассмотрим множество, образованное объединением эллипсои-

дов стабилизируемости; будем называть его областью стабилизируемости

системы (3), (2). Очевидно, что по построению область стабилизируемости

будет обладать тем же свойством, что и каждый образующий ее эллипсо-

ид стабилизируемости — траектория системы, исходящая из любой точки x₀

внутри этой области, остается в ней при всех допустимых внешних возмуще-

ниях (2).

Нетрудно видеть, что в рамках техники линейных матричных неравенств

по произвольному вектору c можно эффективно построить точку, лежащую

на границе области стабилизируемости системы по направлению c; более того,

нахождение соответствующей точки сводится к решению задачи полуопреде-

ленного программирования.

Действительно, выберем направление, определяемое вектором c единич-

ной длины, и будем требовать принадлежности точки γc эллипсоиду стаби-

лизируемости, максимизируя параметр γ. Заметив, что условие принадлеж-

ности точки γc эллипсоиду стабилизируемости с матрицей P представимо по

лемме Шура в линейном относительно P и γ виде

)

⁽1

γc^⊤

≽ 0,

γc P

приходим к следующему результату, устанавливающему простую характе-

ризацию области стабилизируемости квадратичной динамической системы,

подверженной воздействию внешних возмущений.

Теорема 3. Пусть c — заданный вектор и пусть γ — решение задачи

полуопределенного программирования

max γ

при ограничениях

⎛

⎞

AP + P A^⊤ + αP + εBP B^⊤ P h γD

⎜

⎟

⎝

h^⊤P

-ε

⎠ ≼ 0,

γD^⊤

-αI

(

)

γc

≽ 0,

γc^⊤ P

где оптимизация проводится по матричной переменной P = P^⊤ ∈ R^n×n,

скалярной переменной γ и скалярным параметрам α и ε.

Тогда точка γc лежит на границе области стабилизируемости систе-

мы (3), (2) по направлению c.

5. Системы в дискретном времени

Рассмотрим билинейную систему управления в дискретном времени

(6)

xℓ+1 = Ax_ℓ + Bx_ℓu_ℓ + bu_ℓ + Dw_ℓ,

где A, B ∈ R^n×n, D ∈ R^n×m, b ∈ Rⁿ, с начальным состоянием x₀, фазовым

состоянием x_ℓ ∈ Rⁿ, скалярным управлением u_ℓ ∈ R и внешним возмущением

w_ℓ ∈ R^m, удовлетворяющим ограничению

(7)

∥w_ℓ

∥ ≤ γ при всех ℓ = 0,1,2,...

Замкнув билинейную систему (6), (7) статической линейной обратной

связью

u_ℓ = k^⊤x_ℓ, k ∈ Rⁿ,

приходим к дискретной квадратичной динамической системе

(

)

xℓ+1 = A_c + Bx_ℓk⊤ xℓ + Dwℓ,

где A_c = A + bk^⊤.

Итак, рассмотрим квадратичную динамическую систему вида

(

)

(8)

xℓ+1 = A + Bx_ℓh⊤ xℓ + Dwℓ,

где A, B ∈ R^n×n, D ∈ R^n×m, h ∈ Rⁿ, с фазовым состоянием x ∈ Rⁿ и внешним

возмущением (7). Как и в непрерывном случае, никаких других ограниче-

ний на возмущение w_ℓ не накладывается; таким образом, рассматриваются

l_∞-ограниченные внешние возмущения. Класс таких возмущений будем на-

зывать допустимым.

Будем полагать, что матрица A — шуровская (ее собственные значения

лежат внутри единичного круга).

Цель данного раздела — построение эллипсоида стабилизируемости систе-

мы (8) при внешних возмущениях (7). Следующая теорема 4, являющаяся

дискретным аналогом теоремы 1, устанавливает достаточное условие, при

котором эллипсоид

{

}

(9)

E = x∈Rⁿ: x^⊤P-1x≤1

P ≻ 0,

является эллипсоидом стабилизируемости для рассматриваемой системы.

Теорема 4. Эллипсоид (9) является эллипсоидом стабилизируемости

для системы (8), (7), если его матрица P удовлетворяет матричным нера-

венствам

⎛

⎞

-αP

Ph PA^⊤

⎜

⎟

-P

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

-(1 - α)I

γD^⊤⎟

⎜

⎟

≼ 0,

P ≻ 0,

⎜

⎟

⎜

PB^⊤

-εP

PB^⊤⎟

⎜

⎟

⎝h⊤P

-1εI

⎠

γD

-P

при некоторых α и ε.

Как и ранее, эллипсоид стабилизируемости для системы (8), (7) существу-

ет не при любом размахе внешних возмущений γ. Ответ на вопрос о мак-

симально допустимом размахе γ дается следующим дискретным аналогом

теоремы 2.

Теорема 5. Максимальный размах γ внешних возмущений (7) в систе-

ме (8), при котором эллипсоид стабилизируемости существует, дается ре-

шением задачи

max γ

при ограничениях

⎛

⎞

-αP

Ph PA^⊤

⎜

⎟

⎜

-P

⎟

⎜

⎟

⎜

-(1 - α)I

γD^⊤⎟

⎜

⎟

≼ 0,

P ≻ 0,

⎜

⎟

⎜

PB^⊤

-εP

PB^⊤⎟

⎜

⎟

⎝h⊤P

-1εI

⎠

γD

-P

где оптимизация проводится относительно матричной переменной P =

= P^⊤ ∈ R^n×n, скалярной переменной γ и скалярных параметров α и ε.

Максимизируя (для допустимого γ ≤ γ) эллипсоид стабилизируемости по

критерию объема, получаем следующий результат.

Следствие 2. Пуст

P — решение задачи выпуклой оптимизации

max log det P

при ограничениях

⎛

⎞

-αP

Ph PA^⊤

⎜

⎟

⎜

-P

⎟

⎜

⎟

⎜

-(1 - α)I

γD^⊤⎟

⎜

⎟

≼ 0,

P ≻ 0,

⎜

⎟

⎜

PB^⊤

-εP

PB^⊤⎟

⎜

⎟

⎝h⊤P

-1εI

⎠

γD

-P

относительно матричной переменной P = P^⊤ ∈ R^n×n и скалярных пара-

метров ε и α.

Тогда

{

}

E = x∈Rⁿ: x

P-1x ≤ 1

является эллипсоидом стабилизируемости для системы (8), (7).

Наконец, следующий дискретный аналог теоремы 3 устанавливает про-

стую характеризацию области стабилизируемости рассматриваемой системы.

Теорема 6. Пусть c — заданный вектор и пусть γ — решение задачи

полуопределенного программирования

max γ

при ограничениях

⎛

⎞

-αP

Ph PA^⊤

⎜

⎟

⎜

-P

⎟

⎜

⎟

⎜

-(1 - α)I

γD^⊤⎟

⎜

⎟

≼ 0,

⎜

⎟

⎜

PB^⊤

-εP

PB^⊤⎟

⎜

⎟

⎝h⊤P

-1εI

⎠

γD

-P

(

)

γc

≽ 0,

γc^⊤ P

где оптимизация проводится по матричной переменной P = P^⊤ ∈ R^n×n,

скалярной переменной γ и скалярным параметрам α и ε.

Тогда точка γc лежит на границе области стабилизируемости систе-

мы (8), (7) по направлению c.

6. Примеры

Ограничимся рассмотрением демонстрационных примеров; продолжение

статьи, посвященное вопросам синтеза управления, будет сопровождаться

примерами, проистекающими из реальных задач.

Пример 1. Рассмотрим систему вида (3) с матрицами

(

)

(

)

⁽1⁾

(10)

B=I,

−1 -3

-1

Воспользовавшись теоремой 2 (с учетом замечания), находим максимально

допустимый размах внешних возмущений:

γ = 0,0232.

Теорема 1 для γ = 0,95γ дает матрицу

(

)

0,0943

-0,2271

0,95 =

-0,2271

0,7150

эллипса стабилизируемости, для γ = 0,75γ матрица эллипса стабилизируе-

мости имеет вид

(

)

0,1236

-0,2928

0,75 =

-0,2928

0,9447

1,5

0,5

-0,5

-1

-1,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,1

0,2

0,3

0,4

Рис. 3. Область стабилизируемости и эллипс стабилизируемости из примера 2.

а для γ = 0,5γ имеем

(

)

0,1456

-0,3402

P0,5 =

−0,3402

1,1201

На рис. 1 показаны найденные эллипсы стабилизируемости для системы (10).

На рис. 2 показана траектория системы (10) при некотором допусти-

мом внешнем возмущении и соответствующий эллипс стабилизируемости при

γ = 0,95γ.

Эти и последующие вычисления проводились в среде MATLAB с исполь-

зованием программного пакета cvx [24].

Пример 2. Вновь обратившись к системе из примера 1 и воспользо-

вавшись теоремой 3, находим область стабилизируемости системы (для γ =

= 0,75γ).

На рис. 3 сплошной линией показана найденная область стабилизируе-

мости; для сравнения точечной линией показан найденный выше эллипс ста-

билизируемости, максимальный по критерию объема.

7. Заключение

В статье введены понятия эллипсоида стабилизируемости и области ста-

билизируемости квадратичной динамической системы с внешними возмуще-

ниями и предложен легко реализуемый с вычислительной точки зрения под-

ход к их конструктивному построению. Полученные результаты обобщены на

системы в дискретном времени. Дальнейшим естественным развитием полу-

ченных результатов будет служить их распространение на решение задачи

синтеза управления билинейной системой, подверженной воздействию про-

извольных ограниченных внешних возмущений.

Более того, полученные результаты могут быть распространены на си-

стемы с многомерным управлением, а также на разнообразные робастные

постановки задачи; в частности — со структурированной матричной неопре-

деленностью в матрицах системы.

Автор признателен Б.Т. Поляку за интерес к работе, плодотворные обсуж-

дения и полезные предложения.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Лемма П.1. Пусть A ∈ R^n×n, D ∈ R^n×m — заданные матрицы, P ∈

∈ R^n×n, L(·) — матричнозначная функция матричного аргумента, α,β ∈ R.

Тогда множества

{

}

Ω₁ = (P,α): L(P) + αP +

DD^⊤ ≼ 0, α > 0

{

}

Ω₂ = (P,α): L(P) + αP +

DD^⊤ ≼ 0

при некотором

0<β≤α

совпадают.

Доказательство леммы П.1. Нетрудно видеть, что Ω₁ ⊂ Ω₂; пока-

жем обратное включение.

Пусть (P, α) ∈ Ω₂, тогда существует 0 < β ≤ α такое, что

L(P ) + αP +

DD^⊤ ≼ 0.

При этом

)

⁽1

L(P ) + αP +

DD^⊤ = L(P) + αP +

DD^⊤ +

DD^⊤ ≼ 0,

(

≤0

т.е. (P, α) ∈ Ω₁. Лемма П.1 доказана.

Доказательство теоремы 1. Введем в рассмотрение квадратичную

форму

V (x) = x^⊤Qx, Q ≻ 0.

Для того чтобы траектории x(t) системы (3) не выходили за границу эллип-

соида

E = {x ∈ Rⁿ: V (x) ≤ 1},

достаточно потребовать выполнения следующего условия:

V (x) ≤ 0 при V (x, w) ≥ 1 и всех допустимых ∥w∥ ≤ γ.

C учетом того, что производная функции V (x) в силу системы (3) имеет

вид

V (x) = x^⊤Qx + x^⊤Q x =

(

)_⊤

(

)

= Ax + Bxh^⊤x + Dw

Qx + x^⊤Q Ax + Bxh^⊤x + Dw

(

)

= x^⊤ A^⊤Q + QA + QBxh^⊤ + hx^⊤B^⊤Q x + w^⊤D^⊤Qx + x^⊤QDw,

это условие запишем как

(

)

x^⊤ A^⊤Q + QA + QBxh^⊤ + hx^⊤B^⊤Q x + w^⊤D^⊤Qx + x^⊤QDw ≤ 0

при x^⊤Qx ≥ 1 и w^⊤w ≤ γ²

или, введя составной вектор

)

⁽x

∈Rn+m,

в виде

(

)

A^⊤Q + QA + QBxh^⊤ + hx^⊤B^⊤Q QD

s^⊤

s≤0

D^⊤Q

)

⁽Q 0

⁽0

при s^⊤

s≥1

и s^⊤

s ≤ 1.

γ-2I

Воспользовавшись S-процедурой в ее достаточной части, приходим к усло-

вию

(

)

A^⊤Q + QA + QBxh^⊤ + hx^⊤B^⊤Q QD

⁽Q 0⁾

⁽0

+α

-β

≼0

D^⊤Q

γ-2I

при некоторых α ≥ β ≥ 0, т.е.

(

)

A^⊤Q + QA + αQ + QBxh^⊤ + hx^⊤B^⊤Q QD

≼ 0.

D^⊤Q

-βγ-2I

Воспользовавшись леммой Шура и домножив получившееся соотношение

слева и справа на матрицу P = Q-1 ≻ 0, получим

(Π.1)

AP + P A^⊤ + αP + Bxh^⊤P + P hx^⊤B^⊤ +

γ²DD^⊤

≼ 0.

Потребуем, чтобы матричное неравенство (Π.1) выполнялось при всех x

из эллипсоида

{

}

E = {x ∈ Rⁿ: V (x) ≤ 1} = x ∈ Rⁿ: x^⊤P-1x ≤ 1

Воспользовавшись леммой 2, приходим к эквивалентному матричному

неравенству

AP + P A^⊤ + αP +

γ²DD^⊤ + εBPB^⊤ +

P hh^⊤P ≼ 0,

в котором фигурируют два числовых параметра 0 ≤ β ≤ α. Однако от одного

них можно избавиться с помощью леммы П.1, положив β = α (см. подроб-

нее [25, 26]).

Дважды воспользовавшись леммой Шура, окончательно получаем соот-

ношение (5). Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 4. Введем в рассмотрение квадратичную

форму

V (x) = x^⊤Qx, Q ≻ 0.

Для того чтобы траектории x(t) системы (8) не выходили за границу эллип-

соида

E = {x ∈ Rⁿ: V (x) ≤ 1},

достаточно потребовать выполнения следующего условия:

V (xℓ+1) ≤ 1 при V (x_ℓ) ≤ 1 и всех допустимых ∥w_ℓ∥ ≤ γ.

C учетом того, что

V (xℓ+1) = x⊤ℓ+1Qxℓ+1 =

(

)_⊤ (

)

= Ax_ℓ + Bx_ℓh^⊤x_ℓ + Dw_ℓ

Q Ax_ℓ + Bx_ℓh^⊤xℓ + Dwℓ

= x⊤ℓ A^⊤QAx_ℓ + x⊤ℓ hx⊤ℓ B^⊤QAx_ℓ + w⊤ℓ D^⊤QAx_ℓ + x⊤ℓ A^⊤QBx_ℓh^⊤x_ℓ +

+ x⊤ℓ hx⊤ℓ B^⊤QBx_ℓh^⊤x_ℓ + w⊤ℓ D^⊤QBx_ℓh^⊤x_ℓ + x⊤ℓ A^⊤QDw_ℓ +

+ x⊤ℓ hx⊤ℓ B^⊤QDw_ℓ + w⊤ℓ D^⊤QDw_ℓ =

(

)

= x^⊤ℓ A^⊤QA + A^⊤QBx_ℓh^⊤ + hx⊤ℓ B^⊤QA + hx⊤ℓ B^⊤QBx_ℓh⊤ xℓ +

(

)

+ w^⊤ℓ D^⊤QA + D^⊤QBx_ℓh⊤ xℓ +

(

)

+ x^⊤ℓ A^⊤QD + hx⊤ℓ B^⊤QD w_ℓ + w⊤ℓ D^⊤QDw_ℓ,

это условие запишем как

(

)

x^⊤ℓ A^⊤QA + A^⊤QBx_ℓh^⊤ + hx^⊤ℓB^⊤QA + hx^⊤ℓB^⊤QBx_ℓh⊤ xℓ +

(

)

(

)

+ w^⊤ℓ D^⊤QA + D^⊤QBx_ℓh⊤ xℓ + x⊤

A^⊤QD + hx^⊤ℓB^⊤QD w_ℓ +

ℓ

+ w⊤ℓ D^⊤QDw_ℓ ≤ 1 при x⊤ℓ Qx_ℓ ≤ 1 и w⊤ℓ w_ℓ ≤ γ²

или, введя составной вектор

)

⁽x_ℓ

s_ℓ =

∈Rn+m,

w_ℓ

в виде

)

⁽A⊤QA + A⊤QBx_ℓh⊤ + hx⊤ℓB⊤QA + hx⊤ℓB⊤QBx_ℓh⊤ A⊤QD + hx⊤ℓB⊤QD

s^⊤

s≤1

D^⊤QA+D^⊤QBx_ℓh^⊤

D^⊤QD

)

⁽Q 0

⁽0

при s^⊤

s≤1

и s^⊤

s ≤ 1.

γ-2I

Воспользовавшись S-процедурой в ее достаточной части, приходим к усло-

вию

(

)

A^⊤QA+ A^⊤QBx_ℓh^⊤ + hx^⊤ℓB^⊤QA+ hx^⊤ℓB^⊤QBx_ℓh^⊤ A^⊤QD + hx^⊤ℓB^⊤QD

D^⊤QA+ D^⊤QBx_ℓh^⊤

D^⊤QD

(

)

Q 0

⁽0

-α

-β

≼0

γ-2I

или

(

)

A^⊤QA- αQ +A^⊤QBx_ℓh^⊤+ hx^⊤ℓB^⊤QA+hx^⊤ℓB^⊤QBx_ℓh^⊤ A^⊤QD +hx^⊤ℓB^⊤QD

≼0

D^⊤QA + D^⊤QBx_ℓh^⊤

D^⊤QD - βγ-2I

при некоторых α, β ≥ 0 таких, что α + β ≤ 0.

Полученное условие представим в виде

⎞

^⎛A^⊤QA - αQ + A^⊤QBx_ℓh^⊤ + hx^⊤ℓB^⊤QA hx^⊤ℓB^⊤Q A^⊤QD + hx^⊤ℓB^⊤QD

⎜

⎟

⎝

QBx_ℓh^⊤

-Q

⎠≼0

D^⊤QA + D^⊤QBx_ℓh^⊤

D^⊤QD - βγ-2I

или

⎛

⎞

A^⊤QA - αQ

A^⊤QD

⎜

⎟

⎝

-Q

⎠+

D^⊤QA

D^⊤QD - βγ-2I

(Π.2)

⎛

⎞

⎛

⎞

A^⊤QB

(

)

(

)

⎜

⎟

⎜

⎟

+⎝ QB

⎠xℓ

h^⊤

⎝0⎠xℓ

B^⊤QA B^⊤Q B^⊤QD

≼ 0.

D^⊤QB

Потребуем, чтобы матричное неравенство (Π.2) выполнялось при всех x_ℓ

из эллипсоида

{

}

E = {x_ℓ ∈ Rⁿ: V (x_ℓ) ≤ 1} = x_ℓ ∈ Rⁿ: x⊤ℓ Qx_ℓ ≤ 1

Воспользовавшись леммой 2 и леммой Шура [27], приходим к эквивалент-

ному матричному неравенству

⎛

⎞

A^⊤QA - αQ

A^⊤QD

A^⊤QB h

⎜

⎟

⎜

-Q

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

D^⊤QA

D^⊤QD - βγ-2I D^⊤QB

⎟

⎜

⎟

≼

⎜

⎟

⎜

B^⊤QA B^⊤Q

B^⊤QD

-εQ

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

h^⊤

представимому в виде

⎛

⎞

⎛

⎞

-αQ

A^⊤

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

-Q

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

)

⎜

-βγ-2I

⎟

⎜D⊤⎟

⁽A 0 D B

≼ 0,

⎜

⎟

⎜

⎟^Q

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝ 0

B^⊤Q

-εQ

⎠

⎝B^⊤⎠

h^⊤

-1εI

откуда по лемме Шура имеем, что

⎛

⎞

-αQ

h A^⊤

⎜

⎟

⎜

-Q

⎟

⎜

⎟

⎜

-βγ-2I

D^⊤

⎟

⎜

⎟

≼ 0.

⎜

⎟

⎜

B^⊤Q

-εQ

B^⊤

⎟

⎜

⎟

⎝ h^⊤

-1εI

⎠

-Q-1

Обозначив P = Q-1 и умножив полученное матричное неравенство слева

и справа на матрицу

⎞

^⎛P

⎜

⎟

⎜0

0⎟

⎜

⎟

⎜0

γI

0⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝0

0⎠

приходим к соотношению

⎛

⎞

-αP

Ph PA^⊤

⎜

⎟

-P

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

-βI

γD^⊤⎟

⎜

⎟

≼ 0.

⎜

⎟

⎜

PB^⊤

-εP

PB^⊤⎟

⎜

⎟

⎝h^⊤P

-1εI

⎠

γD BP

-P

Остается заметить, что аналогично непрерывному случаю (см. также [26])

можем положить β = β_max = 1 - α. Теорема 4 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Mohler R.R. Bilinear Control Processes. N.Y.: Academic Press, 1973.

Ryan E., Buckingham N. On Asymptotically Stabilizing Feedback Control of Bilinear

Systems // IEEE Trans. Automatic Control. 1983. V. 28. No. 8. P. 863-864.

Chen L.K., Yang X., Mohler R.R. Stability Analysis of Bilinear Systems // IEEE

Trans. Automatic Control. 1991. V. 36. No. 11. P. 1310-1315.

Čelikovský S. On the Global Linearization of Bilinear Systems // Syst. Control Lett.

1990. V. 15. No. 5. P. 433-439.

Čelikovský S. On the Stabilization of the Homogeneous Bilinear Systems // Syst.

Control Lett. 1993. V. 21. No. 6. P. 503-510.

Tibken B., Hofer E.P., Sigmund A. The Ellipsoid Method for Systematic Bilinear

Observer Design // Proc. 13th IFAC World Congress. San Francisco, USA, June

30-July 5, 1996. P. 377-382.

Коровин С.К., Фомичев В.В. Асимптотические наблюдатели для некоторых

классов билинейных систем с линейным входом // ДАН. Теория управления.

2004. Т. 398. № 1. С. 38-43.

Belozyorov V.Y. Design of Linear Feedback for Bilinear Control Systems // Int. J.

Appl. Math. Comput. Sci. 2002. V. 11. No. 2. P. 493-511.

Belozyorov V.Y. On Stability Cones for Quadratic Systems of Differential

Equations // J. Dyn. Control Syst. 2005. V. 11. No. 3. P. 329-351.

10.

Andrieu V., Tarbouriech S. Global Asymptotic Stabilization for a Class of Bilinear

Systems by Hybrid Output Feedback // IEEE Trans. Automatic Control. 2013. V. 58.

No. 6. P. 1602-1608.

11.

Coutinho D., de Souza C.E. Nonlinear State Feedback Design with a Guaranteed

Stability Domain for Locally Stabilizable Unstable Quadratic Systems // IEEE

Trans. Circuits Syst. I. Regular Papers. 2012. V. 59. No. 2. P. 360-370.

12.

Omran H., Hetel L., Richard J.-P., et al. Stability Analysis of Bilinear Systems under

Aperiodic Sampled-Data Control // Automatica. 2014. V. 50. No. 4. P. 1288-1295.

13.

Kung C.-C., Chen T.-H., Chen W.-C., et al. Quasi-Sliding Mode Control for a

Class of Multivariable Discrete Time Bilinear Systems // Proc. IEEE Int. Conf. on

Systems, Man, and Cybernetics (SMC). Seoul, Korea. October 2012. P. 1878-1883.

14.

Athanasopoulos N., Bitsoris G. Constrained Stabilization of Bilinear Discrete-Time

Systems Using Polyhedral Lyapunov Functions // Proc. 17th IFAC World Congress.

Seoul, Korea, July 6-11, 2008. P. 2502-2507.

15.

Athanasopoulos N., Bitsoris G. Stability Analysis and Control of Bilinear Discrete-

Time Systems: A Dual Approach // Proc. 18th IFAC World Congress. Milano, Italy,

August 28-September 2, 2011. P. 6443-6448.

16.

Khlebnikov M.V. Quadratic Stabilization of Bilinear Control Systems // 14th

European Control Conf. (ECC’15). Linz, Austria, July 15-17, 2015. IEEE Catalog

Number(USB): CFP1590U-USB. P. 160-164.

17.

Хлебников М.В. Квадратичная стабилизация билинейной системы управле-

ния // АиТ. 2016. № 6. С. 47-60.

Khlebnikov M.V. Quadratic Stabilization of Bilinear Control Systems // Autom.

Remote Control. 2016. V. 77. No. 6. P. 980-991.

18. Tarbouriech S., Queinnec I., Calliero T.R., et al. Control Design for Bilinear Systems

with a Guaranteed Region of Stability: An LMI-Based Approach // Proc. 17th

Mediterranean Conf. on Control & Automation (MED’09). Thessaloniki, Greece.

June 2009.

19. Amato F., Cosentino C., Merola A. Stabilization of Bilinear Systems via Linear State

Feedback Control // IEEE Trans. Circuits Syst. II. Express Briefs. 2009. V. 56. No. 1.

P. 76-80.

20. Булгаков Б.В. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах

с постоянными параметрами // ДАН СССР. 1946. Т. 5. Вып. 5. С. 339-342.

21. Гноенский Л.С. Задача Булгакова о накоплении возмущений / Задача Булгакова

о максимальном отклонении и ее применение. Под ред. В.В. Александрова. М.:

Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 1993.

22. Жермоленко В.Н. Максимальное отклонение колебательной системы второго

порядка с внешним и параметрическим возмущениями // Изв. РАН. ТиСУ. 2007.

№ 3. С. 75-80.

23. Petersen I.R. A Stabilization Algorithm for a Class of Uncertain Linear Systems //

Syst. Control Lett. 1987. V. 8. P. 351-357.

24. Grant M., Boyd S. CVX: Matlab software for disciplined convex programming,

version 1.21. http://stanford.edu/~boyd/cvx

25. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., et al. Linear Matrix Inequalities in System and

Control Theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

26. Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Щербаков П.С. Управление линейными система-

ми при внешних возмущениях: Техника линейных матричных неравенств. М.:

ЛЕНАНД, 2014.

27. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Б.Т. Поляком.

Поступила в редакцию 07.08.2018

После доработки 27.09.2018

Принята к публикации 08.11.2018