Автоматика и телемеханика, № 2, 2019

Управление в технических системах

(ОАО “Бортовые аэронавигационные системы”, Москва),

А.М. БРОННИКОВ, д-р техн. наук (bronnikov_a_m@mail.ru)

(Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана)

ТЕСТИРОВАНИЕ КОНФИГУРАЦИЙ ИЗБЫТОЧНЫХ

ИНТЕГРИРОВАННЫХ КОМПЛЕКСОВ ОБОРУДОВАНИЯ

Рассматривается одна из задач управления избыточностью неоднород-

ного интегрированного комплекса технического оборудования, описывае-

мого системой линейных дискретных уравнений, заключающаяся в тести-

ровании предварительно выбранной его конфигурации на реализуемость.

Сформулированы как достаточные, так и необходимые и достаточные

условия тестирования конфигураций, формализованных интерфейсными

матрицами. Методический пример на основе избыточной системы управ-

ления движением самолета иллюстрирует применение и эффективность

предлагаемых тестовых условий.

Ключевые слова: избыточная система, управление избыточностью, кон-

фигурация системы, допустимая конфигурация, передаточная матрица,

целевая функция, канонизация матриц.

DOI: 10.1134/S0005231019020053

1. Введение

Создание перспективных комплексов оборудования (КО), включая ком-

плексы бортового оборудования для подвижных объектов, с принципиально

новым уровнем устойчивости к отказам и повреждениям, а также минимизи-

рующих или даже исключающих необходимость технического обслуживания

в межрегламентные периоды [1-3] требует развития новых подходов к их ин-

теграции с использованием, как правило, неоднородных и неуниверсальных

компонентов.

Известная технология FDIR¹ (Fault-Detection, Fault-Isolation and Recovery

Techniques) заключается в создании помимо основного еще и резервных ва-

риантов системы, как это сделано, например, в [4]. Будучи прототипом раз-

виваемого в настоящей статье подхода, такая технология не содержит каких-

либо формальных методов решения проблемы оперирования избыточностью

с учетом многообразия постановок и решений.

В то же время подход, развиваемый в [5-12] и названный управлением

избыточностью, по охвату поднимаемых и решаемых вопросов выходит за

¹ URL: http://deacademic.com/dic.nsf/dewiki/422452

пределы уже устоявшихся понятий резервирования [13-15] и реконфигури-

рования [16, 17] систем.

Настоящая статья посвящена одному из аспектов управления избыточно-

стью — тестированию предварительно сформированной конфигурации ком-

плекса (схемы или способа соединения его компонентов) на предмет потенци-

альной возможности осуществления вычислительного процесса в рамках этой

конфигурации, который обеспечил бы выполнение комплексом предписанной

ему целевой функции.

2. Модель избыточного комплекса

Объектом исследований является избыточная совокупность K разнород-

ных и неуниверсальных в общем случае динамических компонентов, предна-

значенных для объединения в том или ином сочетании в единый комплекс

с предписанной для выполнения целевой функцией. Таких функций может

быть несколько, и выполняться эти функции могут одновременно или по-

очередно по режимам или этапам функционирования комплекса. В число

компонентов здесь формально включен и технический объект (технологи-

ческий процесс, летательный, плавательный или сухопутный аппарат), для

взаимодействия (наблюдения, управления) с которым создается комплекс, хо-

тя содержательно это не так, поскольку комплекс оборудования представляет

собой нечто целое, предназначенное для обеспечения использования объекта

по назначению (сбор и обработка данных, мониторинг состояния, управление

и др.).

В терминах процессов с дискретным временем τ = 0, 1, 2 . . . одновременное

функционирование разрозненных компонентов и объекта в линейном прибли-

жении может описываться совокупностью равенств и уравнения [6, 8, 9]:

(1)

y_τ = Dx_τ , xτ+1 = Ax_τ + Bu_τ + Gv_τ , xτ=0 = x₀,

где y_τ — метавектор² (составной вектор) выходов всех компонентов на так-

те τ размерности m, x_τ — метавектор состояния компонентов размерности n,

u_τ — метавектор входов компонентов для межкомпонентных связей размер-

ности l, vτ — метавектор входов компонентов для внешних воздействий

(внешних входов) размерности k, D — блочная числовая матрица форми-

рования выходов всех компонентов размеров m × n, A — блочная числовая

матрица собственной динамики компонентов и объекта размеров n × n, B —

блочная числовая матрица эффективности межкомпонентных связей разме-

ров n × l, G — блочная числовая матрица эффективности внешних воздей-

ствий размеров n × k.

Совокупную запись (1) будем называть моделью компонентов КО. По-

лагается, что почти все компоненты информационно обособлены, т.е. могут

взаимодействовать только через указанные выходы y_τ и входы u_τ . Формаль-

но это отражается преобладанием ненулевых блоков на главной диагонали в

матрице A. Исключением является только объект, который взаимодействует

² Возникновение термина связано с тем, что вектор относится к метасистеме, т.е. систе-

ме, надстроенной над другими системами, URL:https://ru.wiktionary.org/wiki/метасистема.

с некоторыми из компонентов непосредственно (с датчиками и актюаторами),

в соответствии с чем матрица A содержит ненулевые блоки и не на главной

диагонали.

Будем также полагать, что помимо компонентов, описываемых моде-

лью (1), КО содержит интегрированную вычислительную среду (ИВС) или

бортовую ИВС в случае подвижных объектов. Не являясь компонентом в

указанном выше смысле, среда осуществляет сбор информации с выходов

компонентов y_τ , обработку ее в соответствии с установленными правилами и

распределение результатов обработки u_τ по входам компонентов.

В линейном приближении указанные действия с достаточной степенью

адекватности формализуются равенством

(2)

u_τ = Q(z)y_τ ,

где z — оператор сдвига во времени на один такт вперед, Q(z) — в общем

случае дробно-рациональная полиномиальная (по оператору z) матрица раз-

меров l × m, называемая передаточной матрицей (матрицей передаточных

функций) от метавектора выходов компонентов y_τ к метавектору их вхо-

дов u_τ . Напомним, что передаточная матрица динамической системы отно-

сится к физически нереализуемым, если хоть один ее элемент (передаточная

функция) в числителе содержит полином большей степени, чем в знамена-

теле. Это обусловлено тем, что реализация такой функции требует знания

значений входных сигналов y_τ на будущих тактах процесса. Отнесение пе-

редаточных матриц к нереализуемым не означает невозможность их практи-

ческого использования с той или иной степенью приближения, но это требует

формирования прогнозных оценок соответствующих сигналов.

Матрицу Q(z) в [9] предложено называть конфигурационной, поскольку

она содержит исчерпывающее формальное описание всех межкомпонентных

связей, которое принято отождествлять с конфигурацией КО.

Детализируем описание функционирования ИВС, представив конфигура-

ционную матрицу композицией (произведением) трех матриц

(3)

Q(z) = C_вхE(z)C_вых,

где C_вх и C_вых — распределительные матрицы размеров l×p и q ×m, т.е. мат-

рицы, содержащие бинарные элементы и не более одного единичного элемента

в строке, моделирующие без учета задержек функционирование соответствен-

но входных и выходных интерфейсов всех компонентов (за исключением объ-

екта), и поэтому названные интерфейсными матрицами [6], E(z) — в общем

случае дробно-рациональная полиномиальная матрица размеров p × q, мо-

делирующая обработку вычислительными средствами ИВС и задержки всех

поступающих данных и названная интеграционной матрицей [6], поскольку

именно на нее ложится нагрузка функционального объединения (интеграции)

разрозненных компонентов в единый интегрированный комплекс.

Избыточность комплекса обусловлена тем, что состав и возможности ком-

понентов заведомо превышают минимально необходимые для выполнения

функций по предназначению, в результате чего конфигурационная матри-

ца Q(z) допускает варьирование как в размере, так и в значениях параметров

за счет использования различных интерфейсных матриц C_вх и C_вых, а также

за счет изменения значений элементов интеграционной матрицы E(z). Так,

интерфейсные матрицы C_вх и C_вых могут меняться по замыслу разработчика.

Указанные ранее размерности p и q зависят от структуры процесса обработ-

ки информации в ИВС, в частности, p — число переменных, передаваемых

через входные интерфейсы, и q — число переменных, передаваемых через

выходные интерфейсы. Здесь и далее интерфейсы называются входными и

выходными по отношению к компонентам КО.

Неоднородность компонентов комплекса отражается ограничениями, на-

кладываемыми на приемлемые структуры интерфейсных матриц C_вх и C_вых.

Неуниверсальность компонентов комплекса проявляется в ограничениях

на значения элементов интеграционной матрицы E(z), что следует из фор-

мул (2) и (3). При универсальных компонентах для обработки данных в меж-

компонентных связях могли бы использоваться одни и те же вычисления

(программы), чего в реальных системах не бывает. Каждый вычислительный

канал ИВС реализует определенную, присущую ему совокупность вычисли-

тельных процедур. Это выливается в закрепление за элементами интеграци-

онной матрицы E(z) определенных типов математических выражений, в том

числе при необходимости нулевых значений.

3. Постановка задачи и используемый аппарат

Объединяя модели (1)-(3), можно записать передаточную матрицу систе-

мы “объект + КО” от внешнего входного воздействия v_τ к выходу y_τ :

[

]

(4)

W^vy(z) = wviy_j

(z)

= D (zI_n - A - BC_вхE(z)C_выхD)-1

m×k

где wviy_j (z) — передаточная функция от i-го входа vi.τ к j-му выходу yj.τ ,

I_n — единичная матрица размеров n × n. В [6] предложено в качестве целе-

вой функции КО, т.е. функции, отражающей основное содержание функцио-

нирования системы “объект + КО”, использовать выборочную часть переда-

точной матрицы (4), формализуемую посредством дополнительных весовых

матриц α размеров k × g и β размеров f × m на ее входе и выходе:

(5)

Φ(z) = βW^vy(z)α = βD (zI_n - A - BC_вхE(z)C_выхD)-1

Gα.

Удобным способом задания конкретного значения целевой функции (или

совокупности целевых функций по режимам и этапам) является определение

так называемой номинальной конфигурации КО [9], при которой конфигура-

ционная матрица принимает вид

(6)

Q_ном(z) = C^номвхE_ном(z)C^номвых,

а целевая функция

(7)

Φ_треб(z) = βDΩ-1

(z)Gα

с зафиксированными весовыми матрицами α и β, где

Ω(z) = zI_n - A - BC^номвхE_ном(z)C^номвыхD,

заведомо удовлетворяет разработчика.

Для обеспечения компактности получаемых в дальнейшем формул вве-

дем определения двух передаточных матриц для системы “объект + КО” в

номинальной конфигурации:

номинальная передаточная матрица по внешнему воздействию

(8)

Wvy.ном(z) = DΩ-1

(z)G

и номинальная передаточная матрица по межкомпонентным связям

(9)

Wuy.ном(z) = DΩ-1(z)B.

Пусть на основе каких-либо соображений (пересмотр позиции разработчи-

ка, изменение исходного состава компонентов, отработка решений по пари-

рованию отказов или неправильного функционирования различных компо-

нентов и др.) необходимо изменить конфигурацию КО, т.е. выбрать значения

матриц C_вх и C_вых, отличные от номинальных. При этом все значения мат-

риц C_вх и C_вых, при которых существуют (могут быть найдены, возможно,

не единственные) интеграционные матрицы E(z), обеспечивающие неизмен-

ность значения целевой функции (7), когда выполняется равенство

(10)

βD (zI_n - A - BC_вхE(z)C_выхD)-1 Gα = βWvy.ном

(z)α,

будем называть допустимыми. Допустимой будем называть и соответствую-

щую конфигурацию КО. Уравнение (10) с неизвестной матрицей E(z) будем

называть основным уравнением интеграции системы.

Ставится задача определения формальных условий (тестов), позволяющих

установить принадлежность или не принадлежность произвольной пары, с

удовлетворением ограничений по их приемлемости в смысле неоднородности

компонентов, интерфейсных матриц C_вх и C_вых к допустимым, т.е. потенци-

альную возможность синтеза интеграционной матрицы E(z) путем решения

основного уравнения интеграции (10). Определение же соответствующей им

интеграционной матрицы выходит за рамки данной статьи.

При решении поставленной задачи используется аппарат канонизации

матриц [18, 19], основанный на специальным образом модифицированном ал-

горитме Гаусса для преобразования любой матрицы S размеров n × m и ран-

га r в совокупность соответствующих ей левого S^L и правого S^R делителей

нуля максимального ранга, а также левог

S^L, правог

S^R и сводног

S ка-

нонизаторов, удовлетворяющих равенствам

S^LS = 0, SS^R = 0,

S^L

S^R = I_r и

S =(S)^∼

S^R

S^L.

При этом получаемые матричные структуры всегда согласованы между собой

в том смысле, что блочные матрицы — невырожденные

[

]

[

]

S^L

S^R S

S^L

т.е. строки левых и столбцы правых канонизаторов и делителей нуля макси-

мального ранга линейно независимы.

Известны различные частичные (раздельно для канонизаторов и делите-

лей нуля) аналоги в виде псевдообращения по Муру [20], Пенроузу [21] и

Дразину [22, 23], перестановок строк и столбцов [24], обобщенного обраще-

ния [24, 25], сингулярного разложения [26] и нуль-пространств [27] матриц,

однако каждый из них обременен каким-либо дополнительным условием. На-

пример, обращение по Муру и Пенроузу обеспечивает минимальность квад-

ратичной нормы, а нуль-пространства представлены ортонормированными

базисами.

Здесь всего этого не требуется, а неединственность, присущая результату,

не создает трудностей для практического использования. Кроме того, канони-

заторы и делители нуля формируются единой процедурой линейного комби-

нирования строк и столбцов, предоставляющей благоприятные условия для

ее компьютеризации с прицелом на существенно многомерные модели техни-

ческих систем.

4. Необходимые и достаточные условия

Начнем с получения исчерпывающего решения поставленной задачи, т.е. с

получения необходимых и достаточных условий допустимости произвольным

образом выбранных интерфейсных матриц C_вх и C_вых в КО. Сформулируем

лемму, доказательство которой приведено в Приложении.

Лемма. Интерфейсные матрицы C_вх и C_вых относятся к допустимым

тогда и только тогда, когда существуют такие матрицы ψ и ξ, для кото-

рых обеспечивается справедливость условий:

(11)

βWuy.ном(z)(C_вхψ - Q_ном(z))Wvy.ном

(z)α = 0,

(12)

βWuy.ном(z)(ξC_вых - Q_ном(z)) Wvy.ном

(z)α = 0.

Сама по себе эта лемма не может быть использована для тестирования до-

пустимости интерфейсных матриц C_вх и C_вых, поскольку сформулированные

условия содержат неопределенные матрицы ψ и ξ. Вместе с тем на основе

леммы сформулируем теорему 1, доказательство которой приведено в При-

ложении.

Теорема 1. Интерфейсные матрицы C_вх и C_вых относятся к допусти-

мым тогда и только тогда, когда выполняется каждое из условий:

для матрицы C_вх входных интерфейсов справедливо равенство

(13)

βWuy.ном(z)C_вх

^LβWuy.ном(z)Q_ном(z)Wvy.ном

(z)α = 0,

для матрицы C_вых выходных интерфейсов справедливо равенство

(14)

βWuy.ном(z)Q_ном(z)Wvy.ном(z)αC_выхWvy.ном(z)α^R

= 0.

Основными недостатками полученных условий в смысле практического

применения являются:

сложность в силу наличия большого числа произведений матриц, обраще-

ния полиномиальной полноразмерной (n × n)-матрицы Ω(z) и определения

делителей нуля максимального ранга для полиномиальных матриц;

отсутствие гарантии получения физически реализуемых интеграционных

матриц E(z) при последующих вычислениях.

5. Достаточные (упрощенные) условия

Для практического применения могут оказаться более приемлемыми до-

статочные условия, отличающиеся относительной простотой.

Сформулируем следствия теоремы 1.

Следствие 1. Для того чтобы интерфейсные матрицы C_вх и C_вых от-

носились к допустимым, достаточно, чтобы у матрицы βWuy.номC_вх были

линейно-независимыми все строки, а у матрицы C_выхWvy.номα были линейно-

независимыми все столбцы.

Поскольку такая формулировка эквивалентна выполнению равенств

(15)

βWuy.ном(z)CвхL

(16)

C_выхWvy.ном(z)α

= 0,

то она вытекает непосредственно из (13) и (14) теоремы 1 и не требует спе-

циального доказательства.

Это следствие 1 существенно уменьшило первый из указанных выше недо-

статков, но ничего не изменило в части реализуемости интеграционной мат-

рицы.

Избавиться от обращения полиномиальной матрицы Ω(z) позволяют усло-

вия, полученные преобразованием условий следствия 1. Доказательство эк-

вивалентности следствий 1 и 2 приведено в Приложении.

Следствие 2. Для того чтобы интерфейсные матрицы C_вх и C_вых от-

носились к допустимым, достаточно выполнения условий:

⎡

⎤

∼

BCвхLΩ(z)(βD)

⎣BCвхLΩ(z)βDR

⎦

(17)

= 0,

βD^L

[

]

(18)

= 0.

(Gα)^∼Ω(z)C_выхD^RGα^LΩ(z)C_выхDR

Gα^R

Здесь вместо обращения полиномиальной матрицы Ω(z) фигурируют про-

цедуры канонизации числовых матриц и сохранилась необходимость вычис-

ления делителей нуля полиномиальных матриц. Вопрос относительной вы-

числительной простоты условий следствий 1 и 2 связан с конкретными дан-

ными решаемых задач.

Еще одна теорема представляет вариант достаточных условий, относящий-

ся к редуцированному (упрощенному) решению задачи, не полностью учиты-

вающему структуру целевой функции (7).

Теорема 2. Для того чтобы интерфейсные матрицы C_вх и C_вых отно-

сились к допустимым, достаточно выполнения условий

(19)

BCвхLBQ_ном

(z)D = 0

(20)

BQ_ном(z)DC_выхD^R

= 0.

Доказательство теоремы 2 и пояснение редукции приведены в Приложе-

нии.

Здесь отсутствуют передаточные матрицы (9) и (8), поэтому результаты

использования условий (19) и (20) не учитывают ни собственную динами-

ку компонентов КО, ни особенности их непосредственной связи с объектом,

ни действие обратных связей в номинальной конфигурации. Это очевидным

образом сужает круг потенциальных решений интеграции КО, что иллюстри-

рует приведенный в статье пример.

Вместе с тем к достоинствам условий (19) и (20) следует отнести:

наибольшую простоту вычислений (вычисляются делители нуля только

числовых матриц);

наличие решений с заведомо реализуемой интеграционной матрицей E(z).

Второе достоинство гарантируется при реализуемости номинальной кон-

фигурационной матрицы Q_ном(z) и выборе при формировании решения E(z)

по [9] произвольных матричных сомножителей в виде либо числовых, либо

дробно-рациональных полиномиальных матриц с реализуемыми элементами.

6. Пример

Рассмотрим методический пример на основе упрощенной модели продоль-

ного движения самолета, состояние которой описывается дискретным мат-

ричным уравнением

⎡

⎤

⎡

⎤⎡

⎤

x1.τ+1

a₁

a₂

x1.τ

⎣ x2.τ+1

⎦

=^⎣

a₃

a₄

⎦⎣

x2.τ

⎦+

x3.τ+1

a₂

x3.τ

(

xτ+1

xτ

(21)

⎡

⎤

⎡

⎤⎡

⎤

[

]

g₁

g₂

v1.τ

u1.τ

+^⎣ b1 b2

⎦

+^⎣

g₃

g₄

⎦⎣

v2.τ

⎦,

u2.τ

v3.τ

(

uτ

vτ

где x₁ — приращение угла атаки, x₂ — угловая скорость тангажа, x₃ — прира-

щение угла тангажа, u₁ — приращение угла отклонения стабилизатора, u₂ —

приращение угла отклонения переднего горизонтального оперения, v₁, v₂,

v₃ — внешние воздействия (различные комбинации возмущений нормальной

силы, продольного момента и сдвига ветра), a_i, b_i и g_i — известные парамет-

ры модели, отличные от нуля. Рассматриваются приращения относительно

опорного движения, за которое принимается прямолинейный горизонталь-

ный полет с постоянной скоростью.

В качестве датчиков используются: датчик угла атаки (ДУА), датчик уг-

ловой скорости (ДУС) тангажа и комплексная навигационная система (КНС),

измеряющая угловую скорость тангажа, углы тангажа и наклона траектории.

Таким образом, выходом объекта является вектор y_τ , определяемый форму-

лой

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

y1.τ

x1.τ

⎡

⎤

⎢

y2.τ

⎥

⎢

⎥

x1.τ

⎢

x2.τ

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

(22)

⎢

y3.τ

⎥

⎢

⎥⎣

x2.τ

⎦

⎢

x2.τ

⎥,

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

y4.τ

x3.τ

(

y5.τ

−1 0 1

x3.τ - x1.τ

(

xτ

yτ

где y₁ — сигнал ДУА, y₂ — сигнал ДУС, y₃ — сигнал угловой скорости тан-

гажа КНС, y₄ — сигнал угла тангажа КНС и y₅ — сигнал угла наклона тра-

ектории КНС.

Задачей управления является обеспечение желаемой передаточной матри-

цы от воздействий v₁ и v₂ к угловой скорости тангажа x₂ = y₂. Матрицы α

и β имеют вид:

⎡

⎤

[

]

α=^⎣ 0 1

⎦,β=

Пусть номинальная конфигурационная матрица, обеспечивающая выпол-

нение задачи управления с желаемым качеством, имеет статический вид, т.е.

при отсутствии оператора z (это принято с целью упрощения последующих

выкладок, а ограничений на представление номинальной конфигурации нет):

[

][

]

-a₃

a^ж - a₄

Q_ном =

b₁

( )* +(

C^номвх

Eном

C^номвых

(23)

⎡

⎤

-a₃

a^ж - a₄

=^⎣ b₁

b₁

⎦_,

где a^ж — параметр, характеризующий желаемые динамические свойства (пе-

реходные процессы) самолета.

В рассматриваемом примере имеют место следующие матричные кон-

струкции:

⎡

⎤

z-a₁

-a₂

Ω(z) = zI₃ - A - BQ_номD =^⎣

z-a^ж

⎦_,

-a₂

z-1

⎡

⎤

⎢

z-a₁

(z - a₁)(z - a^ж)

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

Ω-1(z) =

⎢

⎥^,

⎢

z-a^ж

⎥

⎣

⎦

a₂

(z - a^ж)(z - 1) z - 1

[

]

g₃

(24)

Φ_треб(z) =

z-a^ж

Таким образом, целевая функция Φ_треб(z) заключается в том, чтобы воз-

действие v₁ или другое воздействие, приводимое к нему, не вызывало из-

менения угловой скорости тангажа x₂, а воздействие v₂ или другое воз-

действие, приводимое к нему, вызывало реакцию с передаточной функ-

цией wv2y₂ (z) = wx22 (z)

z-a^ж

. Другие передаточные функции не регламен-

тируются.

Для матрицы C_вх кроме номинального в соответствии с (23) возможны

еще два очевидных варианта:

[

]

[

]

C_вх1 =

C_вх2 =

Условия (15) и соответственно (13) для матриц C_вх1 и C_вх2 выполняются,

так как равны нулю входящие в условия делители нуля:

[

]

C_вх1 =

βWuy.ном(z)C_вх1

^L =b2

= 0;

z-a^ж

[

]

[

b₁

b₂

C_вх2 =

βWuy.ном(z)C_вх2

^L =

= 0.

z-a^ж z-a^ж

Здесь левые делители нуля тождественно равны нулю по определению, по-

скольку в первом случае делимым является скаляр, а во втором - матрица-

строка.

Различные варианты матрицы C_вых кроме номинального в соответствии

с (23) приведены в таблице. Здесь же представлены результаты тестирова-

ния для каждой из этих матриц C_вых по формулам трех из приведенных

утверждений: теоремы 1 (столбец Т1), следствия 1 (столбец С1) и теоремы 2

(столбец Т2). Знак “+” в соответствующей ячейке — выполнение условия,

Результаты тестирования интерфейсных матриц выходов компонентов

№ Интерфейсная

Вариант интеграционной матрицы E(z) Результат

п/п матрица C_вых

запись

тип^∗

Т1

С1

Т2

[

]

[ -a₃

a^ж-a₄

b₁

[

]

[ -a₃

a^ж-a₄

b₁

2b₁

[

]

[ aж-a₄

-a₃

a₃

b₁

[

]

[ aж-a₄

-a₃

a₃

b₁

⎡

⎤

]

⎢

⎥

[ aж-a₄

a^ж-a₄

-a₃

a₃

⎣

⎦

2b₁

b₁

[

]

[

]

-a₃

(a^ж-a₄)(z-1)

ДН

b₁

a₂b₁

[

]

[

]

z(a^ж-a₄)-a_Σ (a^ж-a₄)(z-1)

ДН

a₂b₁

[

]

[

]

z(a^ж-a₄)-a_Σ

a₃

ДР

b₁(z-1)

b₁

[

]

[

]

z(a^ж-a₄)-a_Σ

a₃

ДР

b₁(z-1)

b₁

[

]

[

]

z(a^ж - a₄) - a_Σ a₃

ДР

b₁(z - 1)

b₁

[

]

Решения отсутствуют

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

^∗С — статическая, ДН — динамическая нереализуемая, ДР — динамическая реализуемая.

знак “-” — невыполнение условия. В таблице использовано дополнительное

обозначение a_Σ = a^ж + a₂a₃ - a₄. Далее следуют краткий анализ таблицы и

описание проверок условий.

Среди проанализированных вариантов присутствуют как допустимые

интерфейсные матрицы, которым соответствуют интеграционные матри-

цы E(z), обеспечивающие неизменность заданной целевой функции (24), так

и недопустимые, при которых подбором интеграционной матрицы E(z) невоз-

можно получить заданное значение целевой функции. Это - характерный эф-

фект попытки объединения неоднородных и неуниверсальных компонентов.

Проверка условий теоремы 1 и следствия 1 по равенству (16). Предвари-

тельные вычисления некоторых матричных конструкций:

⎡

⎤

g₁

a₂g₃

⎢

z-a₁

(z - a^ж)(z - a₁)

⎥

⎢

⎥

⎢

g₃

⎥

⎢

⎥

⎢

z-a^ж

⎥

⎢

⎥

⎢

g₃

⎥

⎢

⎥

(25)

Wvy.ном(z)α =

= Γ(z),

⎢

z-a^ж

⎥

⎢

⎥

⎢

a₂g₃

⎥

⎢

⎥

⎢

(z - a^ж)(z - 1)

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

g₁

a₂g₃(1 - a₁)

z-a₁

(z - a^ж)(z - a₁)(z - 1)

βWuy.ном(z)Q_ном(z)Wvy.ном(z)α =

[

]

(26)

-a₃g₁

a₂g₃(1 - a₁)

(z - a^ж)(z - a₁) (z - a^ж)(z - a₁)(z - 1)

Условия (16) и соответственно (14) для матриц C_вых1, . . . , C_вых10 из таб-

лицы с учетом (25) выполняются, так как равны нулю входящие в условия

делители нуля:

[

]

C_вых1 =

⎤R

⎡ g₁

a₂g₃

(z - a^ж)(z - a₁)

⎥

C_вых1Γ(z)

^R =⎣z-a1

⎦

= 0;

g₃

z-a^ж

⎡

⎤

C_вых10 =^⎣ 0

⎦_,

⎡

⎤

⎢

z-a^ж

⎥

⎢

⎥

C_вых10Γ(z)R =⎢⎢

= 0.

z-a^ж

⎥

⎢

⎥

⎣

-g₁

a₂g₃(1 - a₁)

⎦

z-a₁

(z - a^ж)(z - a₁)(z - 1)

Здесь правые делители нуля равны нулю, поскольку в первом случае дели-

мое — невырожденная матрица, а во втором — матрица с линейно независи-

мыми столбцами.

Условие (16) для матриц C_вых11, . . . , C_вых18 из таблицы с учетом (25) не

выполняется, а с учетом (26) не выполняется и условие (14):

[

]

C_вых11 =

⎡

⎤R

g₃

[

]

z-a^ж

⎥

C_вых11Γ(z)

^R =^⎣

⎦

a₂g₃

(z - a^ж)(z - 1)

[

][

]

-a₃g₁

g₃(a^ж - a₄)(z - a₁) + a₂a₃

-a₃g

= 0;

(z - a^ж)(z - a₁)

(z - a^ж)²(z - a₁)

(z - a^ж)(z - a₁)

[

]

C_вых18 =

⎡

⎤

[

-g₁

a₂g₃(1 - a₁)

⎢

⎥

C_вых18Γ(z)R =

⎣g1(z - a^ж)(z - 1)⎦,

z-a₁

(z - a₁)(z - aж)(z - 1)

a₂g₃(1 - a₁)

⎡

⎤

[

]

-a₃g₁

g₃(a^ж - a₄)(z - a₁) + a₂a₃

⎢

⎥

⎣ g₁(z - a^ж)(z - 1)

⎦ = 0.

(z - a^ж)(z - a₁)

(z - a^ж)²(z - a₁)

a₂g₃(1 - a₁)

Под рассмотрение не попали случаи C_вых, когда делитель нуля

C_выхWvy.ном(z)α

^R принимает значения правого делителя нуля (26). Тогда со

всей очевидностью условие (14) выполнится при невыполнении условия (16) и

результаты тестирования по условиям Т1 и С1 (а также С2) будут различать-

ся. Однако в рассматриваемом примере соответствующие “содержательные”

матрицы C_вых не были найдены.

Проверка условий теоремы 2. Предварительное вычисление произведения

матриц:

⎡

⎤⎡

⎤

-a₃

aж-a4

BQ_номD =^⎣ b1 b2

⎦⎣b1

b₁

⎦_×

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

×⎢

⎥=

⎣ -a3 aж - a4

⎦.

⎢

⎥

⎣₀

⎦

−1 0 1

Условие (19) выполняется для матриц C_вх1 и C_вх2:

⎡

⎤L

[

]

[

]

C_вх1 =

BCвх1L = ⎣ b₂

⎦

⎡

⎤

[

]

⎦_=0;

BCвх1LBQ_ном(z)D =

·^⎣ -a3 aж - a4

Интерфейсные матрицы C_вх в данном примере весьма скудны по числу и

разнообразию возможных вариантов. В этом плане куда более интересны и

представительны варианты матрицы C_вых. Сказанное справедливо в услови-

ях как теоремы 1 (вместе со следствиями), так и теоремы 2.

Условие (20) для матриц C_вых1, . . . , C_вых5 из таблицы выполняется:

⎡

⎤

[

]

[

⎦_,

C_вых1 =

C_вых1D^R =

=^⎣ 0

⎡

⎤⎡

⎤

⎦⎣₀

⎦_=0;

BQ_ном(z)DC_вых1D^R = ⎣ -a3 a^ж - a4

Условие (20) для матриц C_вых6, . . . , C_вых10 из таблицы не выполняется,

хотя решения для таких матриц существуют:

⎡

⎤

[

]

[

⎦_,

C_вых6 =

C_вых6D^R =

=^⎣ 1

⎡

⎤ ⎡

⎤

⎡

⎤

⎦₌ ⎣aж - a₄

⎦_=0;

BQ_ном(z)DC_вых6D^R = ⎣ -a3 a^ж - a4

⎦·⎣ 1

Объяснение такого результата содержится в комментарии к теореме 2.

Условие (20) не выполняется и для матриц C_вых11, . . . , C_вых18, при которых

действительно решение не существует.

7. Заключение

Для практически важной ситуации, когда конфигурация КО, формали-

зуемая интерфейсными матрицами C_вх и C_вых, изменяется по каким-либо

соображениям, получены формальные условия для тестирования вновь на-

значаемой конфигурации неоднородных и неуниверсальных компонентов на

допустимость в смысле наличия у такой конфигурации потенциальной воз-

можности синтеза интеграционной матрицы E(z) (правил обработки сигна-

лов межкомпонентных связей), обеспечивающей равенство целевой функции

заданному значению Φ_треб(z).

Условия носят либо необходимый и достаточный (теорема 1), либо только

достаточный характер с различным охватом области решений (следствия 1

и 2, теорема 2). По формулировкам теорем и их следствий тестирование мат-

риц C_вх и C_вых осуществляется раздельно.

Методический пример иллюстрирует процедуры использования условий и

относительную эффективность их различных вариантов.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство леммы. В соответствии с [9] все множество кон-

фигурационных матриц (3) между выходами и входами компонентов КО с

измененными интерфейсными матрицами C_вх и C_вых, обладающих струк-

турой

{Q(z)}_κ = Q_ном(z) + {ΔQ(z)}_κ ,

где {ΔQ(z)}_κ — множество аддитивных добавок к номинальному значению

с указанием свободно варьируемых матриц κ, обеспечивающих неизменность

целевой функции (7), определяется формулой

(Π.1)

{Q(z)}_ρ,λ,π,ε = Q_ном(z) + ρD^L + B^R

λ+

+ πGα^LΩ(z)D^R Gα^LΩ(z) D +

BΩ(z)βD^RB^LΩ(z)βD^R

ε,

где ρ, λ, π и ε — матрицы подходящих размеров с произвольными элементами.

Решение (Π.1) сворачивается к виду

(Π.2)

{Q(z)}_μ,η = Q_ном(z) + μDΩ-1(z)GαL + βDΩ-1(z)BR

η,

где μ и η — матрицы подходящих размеров с произвольными элементами. Для

сворачивания используется, в частности, утверждение теоремы 1.9 из [18] о

левом делителе нуля произведения матриц

[

]

{

}

[

] H^LS^RLH

(Π.3)

SH^L

θ ϑ

θ, ϑ

S^L

с произвольными матрицами подходящих размеров θ и ϑ. Так, выделяя

в (Π.1), например, слагаемые с произвольными матрицами, стоящими слева:

ρD^L + πGα^LΩ(z)D^R Gα^LΩ(z) D,

и, записывая эту сумму в блочно-матричном виде

[

]

] Gα^LΩ(z)D^RLGα^LΩ(z) D

ρD^L + πGα^LΩ(z)D^R Gα^LΩ(z) D =^[

π ρ

D^L

а также используя равенство Ω-1GαL = GαLΩ, можно убедиться, что полу-

ченное выражение с точностью до обозначений совпадает с правой частью

равенства (Π.3). Выполнив таким образом переход к свернутой записи ле-

вого делителя нуля произведения матриц, приходим к записи (Π.2) в части

слагаемого с произвольной матрицей слева. Аналогично с использованием

теоремы 1.9 из [18] сворачиваются слагаемые с произвольными матрицами

справа.

Далее, теорема 2 из [9] утверждает, что множество интеграционных мат-

риц {E(z)}_κ при заданных интерфейсных матрицах C_вх и C_вых не пусто, если

найдутся такие значения произвольных матриц ρ^∗, λ^∗, π^∗ и ε^∗, при которых

выполняются одновременно условия для входных и выходных интерфейсов:

(Π.4)

CвхL{Q(z)}_ρ∗_,λ∗_,π∗_,ε

∗

= 0,

(Π.5)

{Q(z)}_ρ∗_,λ∗_,π∗_,ε∗Cвых^R

= 0,

где {Q(z)}_ρ∗_,λ∗_,π∗_,ε∗ — значение (Π.1) при фиксированных ρ^∗, λ^∗, π^∗ и ε^∗. Из

анализа (Π.4) следует, что имеет место равенство

{Q(z)}_ρ∗_,λ∗_,π∗_,ε∗ = Cвхψ,

где ψ — некоторая матрица, не снижающая ранг произведения (чтобы не

потерять полноту условий).

С учетом (8), (9) и (Π.2) получаем

μWvy.ном(z)α

^L + βWuy.ном(z)^Rη = C_вхψ - Q_ном(z).

Эта матричная запись представляет собой обертывающее уравнение, назван-

ное так по аналогии с обертывающими алгебрами [18, 27], для неизвестных

матриц μ и η. В соответствии с теоремой 1.17 из [18] такое уравнение разре-

шимо тогда и только тогда, когда выполнено условие

(Π.6)

βWuy.ном(z)^R (C_вхψ - Q_ном(z))Wvy.ном(z)α^L

= 0.

Может показаться, что более строго в (Π.6) следовало бы учесть неедин-

ственность делителей нуля [18] путем введения соответствующих произволь-

ных матричных сомножителей и вместо условия (Π.6) записать

φβWuy.ном(z)

^Rσ (C_вхψ - Q_ном(z)) γWvy.ном(z)α^L

ζ = 0,

где поскольку используются только делители нуля максимального ранга, то

все произвольные матрицы φ, σ, γ и ζ обратимы. В силу обратимости σ, γ и

с учетом свойств делителей нуля [18] это равенство равносильно равенству

φβWuy.ном(z)

^R (C_вхψ - Q_ном(z)) Wvy.ном(z)α^L

ζ = 0.

Вместе с тем обратимость матриц φ и ζ позволяет без потери строгости вер-

нуться к равенству (Π.6).

Кроме того, в равенстве (Π.6), используемом как условие разрешимости

матричного уравнения, с полным основанием можно ограничиться рассмотре-

нием только одного из возможных вариантов формирования делителей нуля

максимального ранга, а именно: можно положить, что левый делитель нуля

правого делителя нуля и правый делитель нуля левого делителя нуля (все

максимального ранга) любой матрицы равен исходной матрице и перейти,

таким образом, к равенству (11).

Аналогично, но с рассмотрением (Π.5) доказывается справедливость усло-

вия (12). Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Существование матрицы ψ, удовлетво-

ряющей (11), и разрешимость равенства (11) относительно матрицы ψ суть

эквивалентные формулировки. Преобразуем равенство (11) к виду

βWuy.ном(z)C_вхψ Wvy.ном(z)α = βWuy.ном(z)Q_ном(z)Wvy.ном(z)α

и рассмотрим его как двустороннее матричное уравнение относительно мат-

рицы ψ, условия разрешимости которого определяются [18] равенствами (13)

(Π.7)

βWuy.ном(z)Q_ном(z)Wvy.ном(z)αWvy.ном(z)α^R

= 0.

Условие (Π.7) выполняется всегда, поэтому для справедливости (11) необхо-

димо и достаточно выполнения условия (13).

Аналогично доказывается условие (14). Теорема 1 доказана.

Доказательство следствия 2. Преобразуем делитель нуля в (15)

по формуле левого делителя нуля произведения матриц βD и Ω-1(z)BC_вх по

теореме 1.9 из [18] без учета произвольных сомножителей:

⎡

⎤

^LβD^R

Ω-1(z)BC_вхL (βD)∼

⎥

βWuy.ном(z)CвхL =⎣Ω-1(z)BCвх

⎦.

βD^L

В силу обратимости матрицы Ω-1(z) справедливо равенство

Ω-1(z)BC_вх

^L = BCвхLΩ(z).

Подстановки этих двух равенств в (15) приводят к справедливости усло-

вия (17).

Аналогично доказывается справедливость условия (18). Следствие 2 дока-

зано.

Доказательство теоремы 2. Доказательство следует из равенства

BC_вхE(z)C_выхD = BQ_ном(z)D,

при справедливости которого варьирование интеграционной матрицы E(z)

не изменяет знаменатель Ω(z) целевой функции (7), и, как следствие, значе-

ние целевой функции тоже остается неизменным при любых фиксированных

значениях левого βD и правого Gα числителей. Но этого только достаточно.

На самом деле значение матричной дроби (7) при фиксированных числи-

телях остается неизменным как при неизменности ее знаменателя, так и в

случаях, когда аддитивные в “обращенном представлении” изменения знаме-

нателя

(

)

Ω-1 + Δ

Ω-1

кратны соответствующему делителю нуля хотя бы одного из числителей. Вто-

рое обстоятельство данная теорема не учитывает. В этом суть редукции ре-

шения задачи.

Записанное линейное двустороннее уравнение разрешимо [18] относитель-

но E(z), если и только если выполняются равенства (19) и (20). Теорема 2

доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Буков В.Н., Евгенов А.В., Шурман В.А. Интегрированные комплексы борто-

вого оборудования с управляемой функциональной избыточностью // Актуаль-

ные проблемы и перспективные направления развития комплексов авиационного

оборудования. Сб. науч. статей по матер. V Междунар. науч.-практ. конф. Ака-

демические Жуковские чтения, 22-23 ноября 2017. Воронеж: КВАЛИС, 2018.

С. 23-28.

2. Буков В.Н., Агеев А.М., Гамаюнов И.Ф., Шурман В.А. Архитектурный об-

лик комплексов бортового оборудования воздушных судов с позиции реализа-

ции функций необслуживаемости // Мехатроника, автоматика и робототехника.

Матер. междунар. науч.-практ. конф. Новокузнецк: Изд. НИЦ МС, 2018. № 2.

С. 206-210.

3. Гамаюнов И.Ф., Агеев А.М., Шурман В.А. Особенности режимов функциони-

рования избыточного комплекса бортового оборудования // Мехатроника, ав-

томатика и робототехника. Матер. междунар. науч.-практ. конф. Новокузнецк:

Изд. НИЦ МС, 2018. № 2. С. 211-215.

4. Белоусов И.А. Формирование облика резервного контура интегрированной си-

стемы навигации и определения ориентации малого искусственного спутника

Земли: Дисс. канд. техн. наук. М.: МАИ (ГТУ), 2003.

5. Агеев А.М., Бронников А.М., Буков В.Н., Гамаюнов И.Ф. Супервизорный ме-

тод управления технических систем с избыточностью // Изв. РАН. Теория и

системы управления. 2017. № 3. С. 72-82.

Ageev A.M., Bronnikov A.M., Bukov V.N., Gamayunov I.F. Supervisory Control

Method for Redundant Technical Systems // J. Comput. Syst. Sci. Int. 2017. V. 56.

No. 3. P. 410-419.

Буков В.Н., Бронников А.М., Агеев А.М., Гамаюнов И.Ф. Аналитический под-

ход к формированию конфигураций технических систем // АиТ. 2017. № 9.

С. 67-83.

Bukov V.N., Bronnikov A.M., Ageev A.M., Gamayunov I.F. An Analytic Approach

to Constructing Configurations of Technical Systems // Autom. Remote Control.

2017. V. 78. No. 9. P. 1600-1613.

Захаров Н.А., Клепиков В.И., Похватилин Д.С. Управление избыточностью се-

тевых распределенных систем необслуживаемой авионики // Авиакосмич. при-

боростроение. 2018. № 3. С. 3-12.

Гамаюнов И.Ф. Генерирование альтернативных решений в задаче управления

избыточностью технических комплексов // АиТ. 2018. № 4. С. 92-104.

Gamayunov I.F. Generation of Alternative Solutions in the Redundancy

Management Problem for Hardware Complexes // Autom. Remote Control. 2018.

V. 79. No. 4. P. 655-664.

Агеев А.М. Конфигурирование избыточных комплексов бортового оборудова-

ния на основе аппарата передаточных матриц // Изв. РАН. Теория и системы

управления. 2018. № 4. C. 175-192.

Ageev A.M. Configuring of Excessive Onboard Equipment Sets // J. Comput. Syst.

Sci. Int. 2018. V. 57. No. 4. P. 640-654.

10.

Воробьев А.В., Буков В.Н., Шурман В.А, Дьяченко А.М., Яковлев Ю.В., Гну-

син М.Ю. Способ автоматического управления избыточностью неоднородной

вычислительной системы и устройство для его реализации. Патент RU 2612569

C2. Бюл. № 7 от 09.03.2017.

11.

Боблак И.В., Буков В.Н., Шурман В.А., Воробьев А.В., Евгенов А.В. Способ

автоматического управления неоднородной избыточностью комплекса оборудо-

вания и устройство для его реализации. Патент RU 2646769 C2. Бюл. № 7 от

07.03.2018.

12.

Боблак И.В., Буков В.Н., Шейнин Ю.Е., Бронников А.М., Шурман В.А., Воро-

бьев А.В., Евгенов А.В. Способ управления избыточностью бортовой интегри-

рованной вычислительной среды и устройство для его реализации. Патент RU

2647339 C2. Бюл. № 8 от 15.03.2018.

13.

Шевцов Г.А., Шеремет Е.М. Логическое резервирование. Львов: Изд-во Львов-

ского ун-та, 1973.

14.

Белоусов Ю.А. Отказоустойчивые бортовые вычислительные системы. Вопро-

сы построения аппаратной части // Авиакосмич. приборостроение. 2003. № 3.

С. 18-23.

15.

Клепиков В.И. Отказоустойчивость распределенных систем управления. М.: Зо-

лотое сечение, 2014.

16.

Дегтярев А.Р., Киселев С.К. Надежность реконфигурирующихся комплексов

интегрированной модульной авионики // Автоматизация процессов управления.

2016. Т. 43. № 1. С. 25-30.

17.

Тарасов А.А. Функциональная реконфигурация отказоустойчивых систем. М:

Логос, 2012.

18.

Буков В.Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу мат-

ричных систем. Калуга: Изд-во науч. литературы Н.Ф. Бочкаревой, 2006.

19.

Горюнов С.В., Буков В.Н. Обращение и канонизация блочных матриц // Мате-

матические заметки. 2006. Т. 79. № 5. С. 662-673.

20.

Moore E.H. General analysis // Memoirs APS. Philadelphia, 1935. V. 1.

21. Penrose R.A. A Generalized Inverse for Matrices // Proc. Cambridge Philosophical

Society. 1955. V. 51. P. 406-413.

22. Rothblum U.G. A Representation of the Drazin Inverse and Characterizations of the

Index // SIAM J. Appl. Math. 1976. V. 31. P. 646-648.

23. Rothblum U.G. Computation of the Eigenprojection of a Nonnegative Matrix at its

Spectral Radius // Math. Prog. Study. 1976. V. 6. P. 188-201.

24. Сирл С., Госман У. Матричная алгебра в экономике. М.: Статистика, 1974.

25. Мороз А.И. Курс теории систем. М.: Высш. шк., 1987.

26. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

27. Мельников О.В., Ремесленников Б.Н. и др. Общая алгебра. Т. 1 / Под общ. ред.

Л.А. Скорнякова. М.: Наука, 1990.

Статья представлена к публикации членом редколлегии П.В. Пакшиным.

Поступила в редакцию 17.07.2017

После доработки 19.03.2018

Принята к публикации 08.11.2018

100