Автоматика и телемеханика, № 3, 2019

(Национального исследовательского университета

“Высшая школа экономики”, Москва;

Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)),

Е.А. ШЕЛЕМЕХ (letis@mail.ru)

(Центральный экономико-математический институт РАН, Москва)

ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИЦЫ ОПТИМАЛЬНОЙ ОСТАНОВКИ

СЛУЧАЙНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (КОНЕЧНЫЙ ГОРИЗОНТ)

Устанавливаются верхняя и нижняя границы цены задачи об оптималь-

ной остановке согласованной случайной последовательности для случая

конечного горизонта. Показано, что нахождение этих границ сводится к

решению максимаксной и максиминной задач об оптимальной остановке.

Для этих задач получены условия, при выполнении которых: 1) верх-

няя (нижняя) урезанная последовательность цен оптимальной останов-

ки удовлетворяет рекуррентному соотношению; 2) построен критерий оп-

тимальности моментов остановки в указанных задачах; 3) установлены

структура и свойство инвариантности оптимальных моментов остановки.

Приведены примеры явного решения экстремальных задач об оптималь-

ной остановке.

Ключевые слова: максимаксная (максиминная) задача об оптимальной

остановке, верхняя (нижняя) граница цены остановки, оптимальный мо-

мент остановки.

DOI: 10.1134/S0005231019030103

1. Введение

Задача об оптимальной остановке случайной последовательности является

одним из важнейших разделов теории оптимального стохастического управ-

ления [1-4]. Решение такой задачи основано на применении стохастического

варианта метода динамического программирования [1-7], с помощью которо-

го устанавливаются условия оптимальности момента остановки. Эта теория

имеет различные применения: 1) в статистике — последовательное различе-

ние простых гипотез; 2) обнаружение разладки производственного процес-

са; 3) в стохастической финансовой математике — расчет американского оп-

циона. Здесь следует отметить, что при построении решений указанных за-

дач предполагалось, что наблюдателю известно распределение вероятностей

останавливаемой последовательности. Как правило, такой информацией на-

блюдатель не располагает. Поэтому возникает потребность в рассмотрении

задачи об оптимальной остановке в максимаксной (максиминной) постановке

(подробности приведены в разделах 2 и 3), т.е. когда от ожидаемого значения

выигрыша (функции полезности) сначала берется верхняя (нижняя) грань

по некоторому множеству вероятностных мер, а затем — верхняя грань по

конечному множеству моментов остановки. Это приводит к необходимости

152

вычисления верхнего (нижнего) значения цены оптимальной остановки [4, 6],

т.е. спрэда. Этой проблеме посвящена данная статья.

Приведем краткий обзор результатов по теме статьи. В [1, 5-8] подробно

изложена история развития оптимальных правил остановки. Здесь следует

выделить публикации [8, 9]. Так, в [8] в предположениях, что наблюдается

последовательность ограниченных функций выигрыша (полезности), опреде-

ленных на R¹, а область остановки отделена от области продолжения наблю-

дений одной точкой, методом Винера-Хопфа найдено приближенное значение

цены оптимальной остановки. В [9] содержится семнадцать точно решаемых

примеров задач об оптимальной остановке. В работах [10-12] получены усло-

вия существования единственной точки, отделяющей область остановки от

области продолжения наблюдений. В [6, 13] рассматривалась задача об опти-

мальной остановке согласованной случайной последовательности. В [6] для

урезанной последовательности цен (огибающей Снелла), удовлетворяющей

рекуррентному соотношению беллмановского типа, установлены условия оп-

тимальности момента остановки. В [13] выведено рекуррентное соотношение,

которое описывает эволюцию урезанной последовательности цен оптималь-

ной остановки, и установлены условия оптимальности момента остановки.

В [14, 15] решалась задача, близкая к рассматриваемой в данной статье, а

именно задача расчета американского опциона на неполном рынке. В [14, 15]

установлены условия, при выполнении которых проблема расчета американ-

ского опциона на неполном рынке сводится к решению задачи об оптимальной

остановке.

В [16] для наблюдаемой согласованной последовательности сформулиро-

ваны условия, при выполнении которых эволюция нижней урезанной цены

оптимальной остановки удовлетворяет рекуррентному соотношению беллма-

новского типа, приведены условия оптимальности момента остановки и даны

примеры расчета опционов.

В [17, 18] также рассматриваются задачи, близкие к проблемам данной

статьи: для наблюдаемых согласованных процессов, почти наверное (п.н.)

непрерывных справа и имеющих конечный предел слева, сформулированы

задачи о построении верхней и нижней границ оптимальной остановки, на-

званные авторами нижней и верхней огибающими Снелла соответственно,

исследованы их свойства и установлены условия: 1) применимости принципа

Беллмана; 2) существования оптимальной остановки.

Перейдем к краткому изложению содержания статьи. Постановка рассмат-

риваемых задач приведена в разделе 2. В разделе 3 в предположениях, что:

1) наблюдается согласованная случайная последовательность; 2) эволюция

значений выигрыша, зависящего от значений наблюдаемой последовательно-

сти, описывается согласованной последовательностью ограниченных случай-

ных величин — выведены рекуррентные соотношения беллмановского типа

(в обратном времени) для верхних и нижних урезанных цен в задачах с конеч-

ным горизонтом (теорема 2). На этом основании в разделе 4 построены крите-

рии оптимальности моментов остановки (теорема 3) и установлены структура

оптимальных моментов (теорема 5) и их инвариантность относительно лю-

бой меры из класса эквивалентных вероятностных мер (теорема 6). Примеры

153

явного решения экстремальных задач об оптимальной остановке содержатся

в разделе 5.

2. Обозначения, определения и постановка задачи

Будем использовать следующие обозначения:

1) N₀ ≜ {0, . . . , N}, где N - натуральное число (горизонт);

2) (Ω, F, P) - стохастический базис, вероятностную меру P назовем базо-

вой;

3) {S_n}n∈N0 - d-мерные наблюдаемые случайные величины;

4) F_n ≜ σ{S₀, . . . , S_n} - σ-алгебры, порожденные случайными величинами

{S_n}n∈N0 , n ∈ N₀;

5) (f_n, F_n)n∈N0 - набор F_n-измеримых случайных величин f_n, имеющих

смысл значений выигрыша наблюдателя в момент времени n, n ∈ N₀;

6) M(Ω) - множество вероятностных мер, заданных на фильтрованом из-

меримом пространстве (Ω, F, (F)n∈N0 );

7) R_N ⊂ M(Ω) - множество вероятностных мер Q, эквивалентных базовой

мере P

[19]. Без ограничения общности можно считать, что P ∈ R_N ;

8) E^Qξ - математическое ожидание F_N -измеримой случайной величины ξ

относительно меры Q ∈ R_N , а E^Q [ξ|F_n] - условное математическое ожидание

случайной величины ξ относительно меры Q и σ-алгебры F_n ⊂ F_N ;

9) τ - момент остановки с значениями в N₀, TN0 - множество таких мо-

ментов остановки, а TNn - подмножество TN0 моментов остановки с зна-

чениями в {n, . . . , N}. Очевидно, что определена случайная величина f_τ ≜

∑_N

≜

f_i1{τ=i}, где 1{τ=i} - индикатор события {τ = i} [19].

i=0

Далее в статье потребуется определение понятия “существенная верхняя

(нижняя) грань”. Известно [6], что для любого множества случайных ве-

личин Φ, заданных на (Ω, F, P), справедливы утверждения: 1) существу-

ет случайная величина ϕ^∗ такая, что для всех ϕ ∈ Φ справедливо неравен-

ство ϕ^∗ ≥ ϕ P-п.н., причем ϕ^∗ единственна P-п.н. в том смысле, что лю-

бая другая случайная величина ψ, удовлетворяющая этому неравенству, удо-

влетворяет P-п.н. условию ψ ≥ ϕ^∗; 2) если множество Φ таково, что для ϕ

ϕ∈Φ существует ψ∈Φ такое, что ψ≥max{ϕ,ϕ}, то существует неубы-

вающая последовательность из Φ, предел которой P-п.н. равен ϕ^∗. Случай-

ную величину ϕ^∗, удовлетворяющую приведенным условиям, называют суще-

ственной верхней гранью множества Φ относительно вероятностной меры P

и обозначают через ess sup ϕ. Соответственно существенная нижняя грань

ϕ∈Φ

множества Φ относительно вероятностной меры P определяется равенством

ess inf ϕ ≜ - ess sup(-ϕ).

ϕ∈Φ

В статье рассматриваются три задачи. Первая задача:

(1)

E^Q [f_τ |F₀] → ess sup

τ ∈T^N

Задача (1) - это известная задача об оптимальном выборе момента оста-

новки [1, 2, 5, 6], где случайные величины {f_n}

- значения выигрыша на-

n∈N₀

154

блюдателя, зависящие от наблюдаемых случайных величин {S_n}n∈N0 . Пред-

полагается, что наблюдателю известно распределение вероятностей Q слу-

чайных величин {S_n}n∈N0 , а его задачей является выбор такого момента, в

который ожидаемое значение его выигрыша максимально.

Вторая задача:

(2)

E^Q [f_τ |F₀] → ess supess sup .

τ ∈T^N

Q∈R_N

В задаче (2) наблюдателю известно лишь, что Q ∈ R_N . В этих условиях

он выбирает такие Q ∈ R_N и τ ∈ TN0 , которые максимизируют значение его

ожидаемого выигрыша.

Третья задача:

(3)

E^Q [f_τ |F₀] → ess supess inf .

Q∈R_N

τ ∈T^N

Задачу (3) интерпретируют следующим образом. Наблюдателю известно,

что Q ∈ R_N . Он выбирает момент остановки τ ∈ TN0 так, чтобы гарантиро-

вать максимальное ожидаемое значение своего выигрыша в наихудшей для

себя ситуации, т.е. когда действующая вероятностная мера Q ∈ R_N миними-

зирует это значение.

Пусть

vQn ≜ ess supE^Q [f_τ |F_n] — урезанная цена в момент времени n ∈ N₀ относи-

τ ∈T^Nn

тельно меры Q ∈ R_N ,

(

)

v_n ≜ ess supess supEQ [fτ |Fn] vn ≜ ess supess inf EQ [fτ |Fn]

— верхняя

Q∈R_N

τ ∈T^Nn Q∈RN

τ ∈T^Nn

(нижняя) урезанная цена в момент времени n ∈ N₀.

Замечание 1.

{

}

1. Величины

v^Q

называют также огибающими Снелла [6].

n n∈N₀

2. Из приведенных определений очевидна справедливость неравенств v_n ≤

≤ vQn ≤ v_n Q-п.н. для любого n ∈ N₀. Отсюда следует, что случайная величи-

на v₀ (v₀) определяет верхнюю (нижнюю) границу цены оптимальной оста-

новки.

3. Очевидно, что если R_N = {P}, то для любого n ∈ N₀: v_n = vPn = v_n P-п.н.

Определение 1. Момент остановки τ (τ) назовем оптимальным в зада-

(

)

че (2) (в задаче (3)), если v₀ = ess supEQ[fτ |F0] v0 =ess inf EQ[fτ |F0] Q-п.н.

Q∈R_N

Цель настоящей статьи — 1) описание эволюции верхних и нижних урезан-

ных цен; 2) исследование структуры и свойств, включая свойство инвариант-

ности, оптимальных моментов остановки задач (1), (2) и (3) и достижимости

верхней и нижней границ остановки.

155

3. Рекуррентные соотношения, описывающие эволюцию

верхних и нижних урезанных цен

Выведем рекуррентные соотношения, описывающие эволюцию урезанных

цен {v_n}n∈N0 и {v_n}

. Приведем достаточные условия ограниченности

n∈N₀

этих случайных величин.

Теорема 1. Пусть существует число c>0 такое, что max |f_n|≤c Q-п.н.

n∈N₀

Тогда для любых n ∈ N₀ и Q ∈ R_N верно, что |v_n| ≤ c (|v_n| ≤ c) Q-п.н.

Доказательства теоремы 1 и последующих утверждений приведены в При-

ложении.

Теорема 2 устанавливает условия, при выполнении которых {v_n}n∈N0

(

)

{v_n}

удовлетворяет рекуррентному соотношению беллмановского типа.

n∈N₀

Теорема 2. П(усть вып)лнены условия теоремы 1. Тогда случайные ве-

личины {v_n}n∈N0

{v_n}

удовлетворяют рекуррентному соотношению

n∈N₀

Q-п.н.:

{

}

(4)

v_n = max f_n,ess supE^Q [vn+1|F_n]

v_N = f_N,

Q∈R_N

(

{

}

)

[

]

(5)

v_n = max f_n,ess inf E^Q

vn+1|F_n

v_N = f_N

Q∈R_N

Замечание 2. Из доказательства теоремы

(см. Приложение) так-

{е }ледует, что относительно любой меры Q ∈ RN случайные величины

v^Q

удовлетворяют рекуррентному соотношению Q-п.н.

n n∈N₀

{

[

]}

(6)

vQn = max f_n,EQ vQ

|F_n

vQN = f_N,

n+1

которое для различных частных случаев установлено ранее в [1, 2, 5, 6] и ряде

других публикаций. Строго обоснованный вывод можно найти в [13].

Из доказательства теоремы 2 вытекают два важных утверждения.

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для любых

n ∈ N₀ и τ ∈ T N0 справедливы неравенства Q-п.н.:

(7)

v_n ≥ 1{τ=n}f_n + 1_{τ>n} ess supE^Q [vn+1|F_n] , v_N = f_N,

Q∈R_N

(

)

[

]

(8)

v_n ≥ 1{τ=n}f_n + 1_{τ>n} ess inf E^Q

vn+1|F_n

v_N = f_N

Q∈R_N

причем

[

]

(

[

])

∑

(9)

v_n ≥ ess supE^Q

1{τ=i}fi|Fn

v_n

≥ ess inf E^Q

1{τ=i}fi|Fn

Q∈R_N

i=n

156

Замечание 3. Из доказательства утверждения следствия 1 (см. Прило-

жение) так{же}ытекает, что для любых n ∈ N0, τ ∈ TNn и Q ∈ RN случайные

величины

v^Q

удовлетворяют неравенству

n n∈N₀

[

]

vQn ≥ 1{τ=n}f_n + 1_{τ>n}

E^Q v^Q

|F_n , vQN = f_N Q-п.н.

n+1

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для любого

n ∈ N₀ справедливы соотношения Q-п.н.:

1) v_n ≥ f_n (v_n ≥ f_n);

(

)

[

]

2) v_n ≥ ess supEQ [vn+1|Fn], vN = fN vn ≥ ess inf EQ

vn+1|F_n

, v_N =f_N

;

Q∈R_N

{

}

3) на множестве B ≜ (n, ω) ∈ N₀ × Ω : f_n < ess sup E^Q [vn+1|F_n]

Q∈R_N

(

{

})

[

]

B ≜ (n,ω)∈N₀×Ω : fn <ess infE^Q

vn+1|F_n

имеет место равенство

Q∈R_N (

)

[

]

(10)

v_n = ess sup

E^Q [vn+1|F_n]

v_n = ess inf E^Q

vn+1|F_n

Q∈R_N

Замечание 4.

1. Из первого утверждения следствия 2 вытекает, что случайные величины

{vQn}n∈N0 , {v_n}n∈N0 , {v_n}n∈N0 мажорируют {f_n}n∈N0 .

2. Второе утверждение следствия 2 и определение существенной верхней

грани дают неравенства Q-п.н.:

(11)

v_n ≥ ess sup E^Q [vn+1|F_n] ≥ E^Q [vn+1|F_n

Q∈R_N

где v_N = f_N и Q ∈ R_N — любая. Таким образом, в условиях теоремы 1

(v_n, F_n)n∈N0 — супермартингал относительно любой меры Q ∈ R_N .

Определение 2. Последовательность (η_n,F_n)n∈N0 назовем R_N-супер-

мартингалом (R_N -субмартингалом, R_N -мартингалом), если для любого

n ∈ N₀ относительно любой меры Q ∈ R_N выполнены условия Q-п.н.:

1) sup E^Q|η_n| < ∞;

Q∈R_N

(

)

2) E^Q [η_n|Fn-1] ≤ ηn-1

E^Q [η_n|Fn-1] ≥ ηn-1,E^Q [η_n|Fn-1] = ηn-1

Следствие 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда справедли-

вы следующие утверждения: 1) (v_n, F_n)n∈N0 — это R_N -супермартингал;

2) для любого ε > 0 существует мера Q^ε ∈ R_N , относительно которой

(v_n - nε, F_n)n∈N0 — R_N -супермартингал.

4. Оптимальная остановка и ее границы

Исследуем структуру, свойства и соотношения для оптимальных моментов

остановки задач (1), (2) и (3).

Для теоремы 3 предположим, что случайные величины {f_n}n∈N0 облада-

ют свойствами функции полезности [6]. Утверждение теоремы 3 - критерий

оптимальности моментов остановки для задач (2) и (3).

157

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 и случайные величины

{f_n}n∈N0 — значения полезности для наблюдателя. Момент остановки τ (τ)

является оптимальным для задачи (2) (для задачи (3)) тогда и только то-

гда, когда выполняется равенство

(12)

τ = min{n ∈ N₀ : v_n = f_n}

(τ = min {n ∈ N₀ : v_n = f_n}),

(

)

где случайные величины {v_n}n∈N0

{v_n}

удовлетворяют рекуррентно-

n∈N₀

му соотношению (4) (соотношению (5)).

Замечание 5.

1. Из [4-7, 13] известно, что момент остановки τ^Q ∈ TN0 , определенный

равенством

{

}

(13)

τ^Q = min n ∈ N₀ : v^Q

=f_n

{

}

является оптимальным для задачи (1) (в (13) случайные величины

vQn

n∈N₀

удовлетворяют рекуррентному соотношению (6)).

2. Утверждение теоремы 3 отличается от известных утверждений подоб-

ного сорта тем, что в нем устанавливается также необходимость выполнения

равенств (12) и (13) для оптимальных моментов остановки в задачах (1), (3)

и (2).

Теорема 4. Если n ∈ N₀ таков, что τ ≥ n (τ ≥ n) Q-п.н., а {v_n}n∈N0

(

)

(

)

{v_n}n∈N0

удовлетворяет (4), то {v_n}n∈N0

{v_n}

удовлетворяет так-

n∈N₀

же и рекуррентному соотношению Q-п.н.

(

)

[

]

v_n = ess supEQ [vn+1|Fn] , vτ = fτ

v_n = ess inf E^Q

vn+1|F_n

, v_τ =f_τ

Q∈R_N

решение которого для любого n ∈ [0,τ] (n ∈ [0,τ]) допускает представ-

(

)

[

]

ление v_n = ess supEQ [fτ |Fn] vn = ess inf EQ

f_τ |F_n

Q-п.н. и является

Q∈R_N

R_N-супермартингалом (R_N -субмартингалом).

Замечание 6. Утверждение теоремы 4 устанавливает условия достижи-

мости верхней и нижней границ урезанной цены в задаче об оптимальной

остановке.

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда τ ≤ τ^Q ≤ τ

Q-п.н.

Замечание 7. Неравенство из теоремы 5 устанавливает верхнюю и ниж-

нюю границы урезанной цены остановки для задачи (1).

Обозначим:

(

[

])

[

]

θ_n ≜ ess supEQ [vn+1|Fn] θn ≜ ess inf EQ

vn+1|F_n

,θQn

≜E^Q v^Q

|F_n

,n∈N₀.

n+1

Q∈R_N

158

(

)

Определение 3. Оптимальный момент остановки τ ∈ T ^N

τ ∈TN0

назовем R_N -инвариантным, если относительно любой меры Q ∈ R_N для

[

] (

любого n ≤ τ (n ≤ τ) выполняется неравенство θ_n ≥ E^Q

θ_τ |F_n

θ_n ≤

[

])

≤E^Q

θ_τ |F_n

Q-п.н.

Замечание 8. Как следует из утверждений теорем 3 и 4, выполнение

неравенств из определения R_N -инвариантного момента остановки относи-

тельно любой меры Q ∈ R_N означает, что этот момент остановки τ (τ) яв-

ляется оптимальным в задаче (2) (в задаче (3)) для любой меры Q ∈ R_N .

Таким образом, R_N -инвариантный момент остановки остается оптимальным

при любом выборе вероятностной меры Q ∈ R_N .

Теорема 6. Моменты остановки τ и τ являются R_N-инвариантными.

5. Примеры

5.1. Пример 1

Пусть: 1) одномерные случайные величины {S_n}n∈N0 : Sn+1 = S_n + ρn+1,

где {ρ_n}

- дискретные случайные величины, принимающие значения

n∈N₀

-∞ < a₁ < 0 < a₂ < a₃ < ∞ с вероятностями q_i = Q(ρ_n = a_i) > 0, i  {1,2,3},



n ∈ N₀, соответственно; 2) для любого n ∈ N₀ выигрыш f_n ≜ f(x)

, где

x=Sn

f (x) - строго возрастающая борелевская функция, определенная на R.

Из утверждения теоремы 2 следует, что величины {v_n}n∈N0 удовлетво-

ряют рекуррентному соотношению (4). Покажем, что в условиях примера

для любого n ∈ N₀ верхняя урезанная цена v_n = f (S_n + a₃(N - n)). Бу-

дем доказывать методом индукции “назад”. Для шага N справедливость

утверждения очевидна. Пусть для некоторого n + 1 ∈ N₀ верно, что vn+1 =

= f(Sn+1 + a₃(N - n - 1)). Обозначим R ≜ {q = (q₁,q₂,q₃) : q₁ + q₂ + q₃ = 1,

q₁ > 0,q₂ > 0,q₃ > 0t}. В соответствии с (4) и с учетом предположений 1-2 и_{

}

∑

индукции имеем v_n = max f(S_n); sup

q_if (S_n + a_i + a₃(N - n - 1))

i=1

q∈R

= max{f(S_n);f (S_n + a₃ + a₃(N - n - 1))} = f (S_n + a₃(N - n)). Основной

шаг индукции пройден. Отсюда, в силу строгого возрастания функции f(x)

немедленно следует, что τ = N.

Рассуждая аналогично, легко показать, что для любого n ∈ N₀ нижняя

урезанная цена v_n = f (S_n), а τ = 0.

5.2. Пример 2

Пусть: 1) одномерные случайные величины {S_n}

удовлетворяют ре-

n∈N₀

куррентному соотношению Sn+1 = S_n(1 + ρn+1), где {ρ_n}

- дискретные

n∈N₀

случайные величины, принимающие значения -1 < a1 < a2 = 0 < a3 < ∞

с вероятностями q_i = Q(ρ_n = a_i) > 0, i ∈ {1, 2, 3}, n ∈ N₀, соответственно;

2) M_N ⊆ R_N

- множество вероятностных мер таких, что для любо-

го n ∈ N₀ математическое ожидание E^Qρ_n = 0; 3) для любого n ∈ N₀ выиг-



рыш f_n ≜ f(x)

, где f(x) - строго выпуклая борелевская функция, опре-

x=Sn

деленная на R⁺.

159

Задачи типа (1)-(3), в которых вместо множества эквивалентных вероят-

ностных мер R_N используется множество M_N , имеют широкое применение

в финансовой математике [4, 6]. Аналогично тому, как это сделано при дока-

зательстве теоремы 2, можно показать, что в этом случае верхние границы

остановки также удовлетворяют уравнению беллмановского типа, аналогич-

ному (4).

Покажем, что для любого n ∈ N₀ верхняя граница остановки

∑

(

)

v_n (S_n) =

S_n(1 + a₁)ⁱ(1 + a₃)^N-n-i

(p∗1)ⁱ (1 - p∗1)^N-n-i ,

i=0

где p∗1 ≜ a₃/(|a₁| + a₃). Будем доказывать методом индукции “назад”. Для

шага N справедливость утверждения очевидна. Пусть для некоторо-

го n + 1 ∈ N₀ утверждение индукции верно. Это означает также, что vn+1 -

выпуклая по Sn+1 функция. Обозначим M ≜ {q = (q₁, q₂, q₃) : a₁q₁ + a₃q₃ = 0,

q₁ +q₂ +q₃ = 1,q₁ > 0,q₂ > 0,q₃ > 0}. Легко показать, что M = {q = (q₁,q₂,q₃) :

q₁ = p∗1(1 - q₂),q₃ = (1 - p∗1)(1 - q₂),q₂ ∈ (0,1)}. С учетом сделанных предпо-

ложений и замечаний имеем

[

]

∑

v_n = max f(S_n); sup

q_ivn+1 (S_n(1 + a_i))

q∈M i=1

[

= max f(S_n); sup

p∗1(1 - q₂)vn+1 (S_n(1 + a₁)) + q₂vn+1 (S_n)+

q₂∈(0,1)

]

+ (1 - p∗1)(1 - q₂)vn+1 (S_n(1 + a₃))

[

]]

= max f(S_n);max

vn+1(S_n);p∗1vn+1(S_n(1+a₁))+(1-p∗1)vn+1(S_n(1+a₃))

[

]

= max f(S_n);p∗1vn+1 (S_n(1 + a₁)) + (1 - p∗1)vn+1 (S_n(1 + a₃))

[

]

∑

(

)

= max f(S_n);

S_n(1 + a₁)ⁱ(1 + a₃)^N-n-i

(p∗1)ⁱ (1 - p∗1)N-n-i

i=0

∑

(

)

= f

S_n(1 + a₁)ⁱ(1 + a₃)^N-n-i

(p∗1)ⁱ (1 - p∗1)^N-n-i .

i=0

Последнее равенство следует из строгой выпуклости f(x). Утверждение ин-

дукции доказано. Отсюда τ = N.

Замечание 9. Если в примере 2 функция f(x) нестрого выпукла (имеет

линейные участки), то для некоторых значений n ∈ N₀ множество

{

}

∑

(

)

D_n ≜ x ∈ R⁺ : f(x) = f

x(1 + a₁)ⁱ(1 + a₃)^N-n-i

(p∗1)ⁱ (1-p∗1)N-n-i

= ∅.

i=0

160

Из теоремы 3 следует, что в этом случае τ = min{n ∈ N₀ : S_n ∈ D_n}. Множе-

ства {D_n}n∈N0 называют множествами остановки, а дополнительные к ним —

множествами продолжения наблюдения [7]. Например, если f(x) = (x - K)⁺,

где K - заданная константа (соответствует функции выигрыша в задаче рас-

чета американского опциона колл [4]), то в ситуации примера 2 для любого

n ∈ N₀ множество остановки имеет вид

(

]

[

)

D_n =

0, K/(1 + a₃)^N-n

∪

K/(1 + a₁)^N-n, ∞

5.3. Пример 3

Пусть выполнены условия и предположения примера 2 с тем лишь исклю-

чением, что -1 < a₁ < 0 < a₂ < a₃ < ∞. Проводя выкладки, аналогичные тем,

что были сделаны для примера 2, легко {становить, что для любого n ∈ }

нижняя урезанная цена v_n (S_n) = max

f (S_n) , mini∈{1,2,3} f (S_n(1 + a_i))

v_N = f_N. Заметим, что 0 < 1 + a₁ < 1 < 1 + a₂ < 1 + a₃, т.е. преобразова-

ние x → x(1 + a_i), i ∈ {2, 3}, является преобразованием масштаба. Поэтому

в силу условий имеем неравенство f (S_n(1 + a₁)) < f(S_n) < f (S_n(1 + a₂)) <

< f(S_n(1 + a₃)). Следовательно, v_n(S_n) = max{f(S_n),f(S_n(1 + a₁))} = f(S_n).

Поэтому для любого n ∈ N₀ имеем v_n (S_n) = f (S_n), а τ = 0.

6. Заключение

В статье решена проблема нахождения границ урезанной цены в задаче об

оптимальной остановке. Получены следующие важные результаты, справед-

ливые почти всюду относительно любой эквивалентной вероятностной меры:

а) для верхней (нижней) границы урезанной цены остановки:

1) рекуррентное соотношение беллмановского типа в обратном времени;

2) некоторые важные неравенства;

б) для оптимальных моментов остановки:

1) критерии оптимальности;

2) соотношения для оптимальных моментов остановки стандартной и экс-

тремальных задач об оптимальной остановке;

3) свойство инвариантности.

Приведено несколько примеров явного решения задач об оптимальной

остановке.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. Из определения величины v_n (v_n) сле-

дует неравенство

(

)

|v_n| ≤ ess supess sup EQ [|fτ | |Fn]

|v_n| ≤ ess supess inf EQ [|fτ | |Fn]

Q-п.н.

Q∈R_N

τ ∈T^N

∑_N

Одновременно для любого τ ∈ TN0 верно, что |f_τ | =

|f_i|1{τ=i} ≤ c Q-п.н.

i=n

В совокупности эти неравенства дают утверждение теоремы 1. Теорема 1

доказана.

161

Доказательство теоремы 2 опирается на вспомогательное утверж-

дение леммы П.1.

Лемма П.1. Пусть Θ_N - любая F_N-измеримая ограниченная случайная

величина и число s ≥ 0 такое, что n + s ∈ N₀. Тогда имеет место равенство

Q-п.н.

[

]

(Π.1)

ess supEQ [ΘN|Fn] = ess supEQ ess sup EQ

(Θ_N|Fn+s)|F_n

Q∈R_N

(

[

])

(Π.2)

ess infEQ [ΘN|Fn] = ess infEQ ess inf EQ

(Θ_N|Fn+s)|F_n

Q∈R_N

Замечание П.1. Утверждение леммы П.1 для случая, когда существен-

ная верхняя (нижняя) грань берется по множеству эквивалентных мартин-

гальных мер, было установлено в ряде публикаций, например, в [6].

Доказательство леммы П.1. Сначала докажем неравенство Q-п.н.

[

]

(Π.3)

ess supEQ [ΘN|Fn] ≤ ess sup EQ ess supEQ

(Θ_N |Fn+s) |F_n

Q∈R_N

Из телескопического свойства условного математического ожидания [19]

следует, что для[любой вероятност]ной меры Q ∈ RN имеет место равенство

E^Q [Θ_N|F_n] = E^Q

E^Q (Θ_N|Fn+s) |F_n

. Отсюда и из определения существенной

верхней грани следует, что для любой меры Q ∈ R_N справедливо неравенство

Q-п.н.

[

]

E^Q [Θ_N|F_n] ≤ E^Q ess supE^Q

(Θ_N |Fn+s) |F_n

≤

Q∈R_N

(Π.4)

[

]

≤ ess sup E^Q ess sup E^Q

(Θ_N |Fn+s) |F_n

Q∈R_N

Правая часть (Π.4) не зависит от Q ∈ R_N , поэтому из (Π.4) следует (Π.3).

Установим теперь неравенство Q-п.н.

[

]

(Π.5)

ess supEQ [ΘN|Fn] ≥ ess sup EQ ess supEQ

(Θ_N |Fn+s) |F_n

Q∈R_N

Для этого необходимо ввести ряд новых объектов. Пусть Q, P ∈ R_N . Обо-

значим производные Родона-Никодима [4]: z_N ≜dQdP , z_n ≜dPndn,гдеQn=Q|Fn^,

P_n = P|Fn . Положим z₀ = 1. Поскольку меры Q и P эквивалентны, то для

любого n ∈ N₀ верно, что z_n > 0 Q (P)-п.н. Обознач[им чере] ZNn множество

положительных мартингалов {z^nk}n≤k≤N , т.е. 0 < E^P

znk+1|F_k

= z^nk P-п.н. та-

ких, что zn0 = zn1 = . . . = zⁿⁿ = 1. Очевидно, что для любого n ∈ N₀:

1) Z^Nn ⊂ ZNn-1;

[

]

2) E^Q [Θ_N |F_n] = E^P

Θ_N z^Nn|F_n

P-п.н.

162

В силу свойств существенной верхней грани, теоремы Гирсанова и того фак-

та, что ZNn+s ⊂ Z^Nn , имеем

[

]

ess sup E^Q [Θ_N |F_n] = ess sup E^P

z^Nn Θ_N|F_n

Q∈R_N

z^Nn ∈Z^Nn

[

]

(

)

= ess sup E^P zn+snE^P

zNn+sΘ_N|Fn+s

|F_n

≥

z^Nn ∈Z^Nn

[

]

(

)

≥ ess sup

E^P zn+snE^P

zNn+sΘ_N|Fn+s

|F_n Q-п.н.

zNn+s∈Z^N

n+s

Отсюда в силу свойств существенной верхней грани получаем, что

[

]

(

)

ess sup E^Q [Θ_N |F_n] ≥ E^P zn+sn ess sup

E^P

zNn+sΘ_N|Fn+s

|F_n

Q∈R_N

zNn+s∈Z^N

n+s

[

]

= E^P zn+sness supE^Q

(Θ_N |Fn+s) |F_n

Q∈R_N

[

]

= E^Q ess supE^Q

(Θ_N|Fn+s)|F_n

Q-п.н.

Q∈R_N

Учитывая, что левая часть последнего неравенства не зависит от Q ∈ R_N ,

получаем (Π.5).

Неравенства (Π.3) и (Π.5) в совокупности дают (Π.1). Аналогично уста-

навливается неравенство (Π.2). Лемма П.1 доказана.

Доказательство теоремы 2.

1. Вывод рекуррентного соотношения (4). Сначала заметим, что из опре-

делений величин {v_n}n∈N0 и f_τ и в силу телескопического свойства условного

математического ожидания и леммы П.1 для любого n ∈ N₀ имеем равенства

Q-п.н.

v_n = ess sup E^Q [f_τ |F_n] =

τ ∈T^Nn ,Q∈R_N

{

[

]}

∑

= ess sup f_n1{τ=n} + 1_{τ>n}EQ

f_i1{τ=i}|F_n

(Π.6)

τ ∈T^Nn ,Q∈R_N

i=n+1

{

[

]}

∑

= ess sup

f_n1{τ=n} + 1_{τ>n}

ess sup E^Q

f_i1{τ=i}|F_n

τ ∈T^Nn

Q∈R_N

i=n+1

Теперь установим, что для любого n ∈ N₀ справедливы неравенства Q-п.н.

{

}

(Π.7)

v_n ≥ max f_n,ess sup E^Q [vn+1|F_n]

Q∈R_N

163

Из включения T^Nn ⊇ TNn+1 и равенства (Π.6) получаем неравенство

{

v_n ≥ ess sup

f_n1{τ=n} +

τ ∈T^N

n+1

[

(

)

]}

∑

+1_{τ>n}

ess sup E^Q ess sup E^Q

f_i1{τ=i}|Fn+1

|F_n

Q-п.н.

Q∈R_N

i=n+1

Согласно лемме П.1, учитывая свойства существенной верхней грани, послед-

нее неравенство можно переписать в виде:

{

[

(

)

]}

∑

v_n ≥ ess sup

f_n1{τ=n} +1_{τ>n}

E^Q ess sup E^Q

f_i1{τ=i}|Fn+1

|F_n

τ ∈TNn+1

Q∈R_N

i=n+1

[

(

)

]

∑

=f_n1{τ=n}+1_{τ>n}

E^Q ess sup E^Q

f_i1{τ=i}|Fn+1

|F_n

τ ∈TNn+1,Q∈R_N

i=n+1

= f_n1{τ=n} + 1_{τ>n}E^Q [vn+1|F_n] Q-п.н.

Левая часть последнего неравенства не зависит ни от τ ∈ T^Nn , ни от Q ∈ R_N ,

поэтому из него очевидным образом следует (Π.7).

Установим теперь, что для любого n ∈ N₀ справедливы неравенства Q-п.н.

{

}

(Π.8)

v_n ≤ max f_n,ess sup E^Q [vn+1|F_n]

Q∈R_N

Из определения существенной верхней грани очевидным образом следуют

соотношения

{

[

]}

v_n ≤ ess sup

f_n1{τ=n} +1_{τ>n}

ess sup E^Q ess supess sup EQ

(f_τ |Fn+1) |F_n

τ ∈T^Nn

Q∈R_N

τ ∈T^N

Q∈R_N

n+1

{

}

= ess sup

f_n1{τ=n} + 1_{τ>n} ess supE^Q [vn+1|F_n]

Q-п.н.

τ ∈T^Nn

Q∈R_N

Отсюда вытекает (Π.8).

Согласно определению верхней урезанной цены v_N = f_N Q-п.н. Это и

неравенства (Π.7), (Π.8) дают (4).

2. Вывод формулы (5). Аналогично (Π.6) можно получить равенство

Q-п.н.

{

[

]}

∑

(Π.9)

v_n = ess sup

f_n1{τ=n} + 1_{τ>n}

ess inf E^Q

f_i1{τ=i}|F_n

Q∈R_N

τ ∈T^Nn

i=n+1

164

Установим, что для любого n ∈ N₀ имеет место неравенство Q-п.н.

{

}

[

]

(Π.10)

v_n ≥ max f_n,ess inf E^Q

vn+1|F_n

Q∈R_N

Согласно определению существенной нижней грани для любых n ∈ N₀ и

ε > 0 существует вероятностная мера Q^ε ∈ R_N такая, что Q-п.н.

[

]

[

]

∑

(Π.11)

ess inf E^Q

f_i1{τ=i}|F_n

≥EQε

f_i1{τ=i}|F_n

− ε.

Q∈R_N

i=n+1

Равенство (Π.9) с учетом (Π.11), телескопического свойства условного мате-

матического ожидания и свойств существенной верхней грани примет вид

{

[

]

}

∑

v_n ≥ ess sup f_n1{τ=n} + 1_{τ>n}EQε

f_i1{τ=i}|F_n

-ε

≥

τ ∈T^Nn

i=n+1

[

(

)

]

∑

≥ f_n1{τ=n} + 1_{τ>n}EQε ess sup

EQε

f_i1{τ=i}|Fn+1

|F_n

- ε Q-п.н.

τ ∈T^N

n+1

i=n+1

Усилим его Q-п.н.

[

(

)

]

∑

v_n ≥ f_n1{τ=n} + 1_{τ>n}EQε ess sup

ess inf E^Q

f_i1{τ=i}|Fn+1

|F_n

-ε=

Q∈R_N

τ ∈TNn+1

i=n+1

[

]

(Π.12)

= f_n1{τ=n} + 1_{τ>n} ess inf E^Q

vn+1|F_n

− ε.

Q∈R_N

Число ε > 0 - любое, поэтому

[

]

v_n ≥ f_n1{τ=n} + 1_{τ>n} ess inf E^Q

vn+1|F_n

Q-п.н.

Q∈R_N

Левая часть этого неравенства не зависит от τ. Отсюда вытекает (Π.10).

Докажем теперь неравенство Q-п.н.

{

}

[

]

(Π.13)

v_n ≤ max f_n,ess inf E^Q

vn+1|F_n

Q∈R_N

Из равенства (Π.9) в силу телескопического свойства условного математи-

ческого ожидания, леммы П.1 и свойств существенной верхней грани имеем

165

неравенство

{

[

]}

∑

v_n = ess sup

f_n1{τ=n} + 1_{τ>n}

ess inf E^Q

f_i1{τ=i}|F_n

Q∈R_N

τ ∈T^Nn

i=n+1

{

[

(

)

]}

∑

= ess sup

f_n1{τ=n} +1_{τ>n} ess inf

E^Q ess inf E^Q

f_i1{τ=i}|Fn+1

|F_n

≤

Q∈R_N

τ ∈T^Nn

i=n+1

{

[

(

)

]}

∑

≤ ess sup

f_n1{τ=n} +1_{τ>n}

ess inf E^Q ess supess inf EQ

f_i1{τ=i}|Fn+1

|F_n

τ∈T^Nn

Q∈R

Q∈R^N τ∈TNn+1

i=n+1

{

}

[

]

= ess sup

f_n1{τ=n} + 1_{τ>n} ess inf E^Q

vn+1|F_n

Q∈R_N

τ ∈T^Nn

{

}

[

]

= max f_n,ess inf E^Q

vn+1|F_n

Q-п.н.

Q∈R_N

Таким образом, неравенство (Π.13) установлено.

Очевидно, что v_N = f_N Q-п.н. и из (Π.10) и (Π.13) имеем (5). Теорема 2

доказана.

Доказательство следствия 1. Неравенства (7) и (8) следуют из

доказательства теоремы 2, а неравенства (9) устанавливаются методом ин-

дукции назад с учетом свойств существенной верхней грани. Следствие 1

доказано.

Доказательство следствия 2.

1. Формулу (4) перепишем в виде Q-п.н.

v_n = f_n1^{

^}+

fn≥ess sup E^Q[vn+1|Fn]

Q∈R_N

(Π.14)

+ ess sup

E^Q [vn+1|F_n]1^{

^}.

Q∈R_N

fn<ess sup E^Q[vn+1|Fn]

Q∈R_N

{

}

Поскольку на множестве C ≜ ω ∈ Ω : f_n ≥ ess sup E^Q [vn+1|F_n] имеем

Q∈R_N

f_n ≥ ess supE^Q [vn+1|F_n], то из (Π.14) следуют соотношения

Q∈R_N

v_n ≥ f_n1^{

^}+f_n1^{

} = f_n Q-п.н.

fn≥ess supE^Q[vn+1|Fn]

fn<ess sup E^Q[vn+1|Fn]

Q∈R_N

Установили, что v_n ≥ f_n Q-п.н.

2. Аналогично устанавливаются неравенство v_n ≥ f_n Q-п.н. и п. 2 след-

ствия 2.

166

3. Из неравенств п. 1 следствия 2 и равенства (Π.14) получаем неравенство

v_n ≤ v_n1^{

^}+

fn≥ ess sup E^Q[vn+1|Fn]

Q∈R_N

+ ess sup E^Q [vn+1|F_n] 1^{

^} Q-п.н.,

Q∈R_N

fn<ess sup E^Q[vn+1|Fn]

Q∈R_N

которое можно переписать в виде

(

)

0 ≤ ess supEQ

[vn+1|F_n] - v_n

} Q-п.н.

Q∈R_N

fn<ess sup E^Q[vn+1|Fn]

Q∈R_N

Отсюда немедленно следует неравенство

(10) для случайных величин

{v_n}n∈N0 . Аналогично устанавливается (10) для {vn}

. Утверждение

n∈N₀

следствия 2 доказано.

Доказательство следствия

3. Из теоремы

следует ограни-

ченность математического ожидания случайных величин

{|v_n|}

n∈N₀

{|v_n - nε|}n∈N0 . Поэтому из неравенства (11) следует, что (v_n, F_n)

явля-

n∈N₀

ется R_N -супермартингалом. Если в (Π.12) в качестве произвольной констан-

ты взять nε > 0, то очевидно, что (v_n - nε, F_n)n∈N0 - R_N -супермартингал.

Утверждение следствия 3 доказано.

Доказательство теоремы 3 опирается на вспомогательное утвер-

ждение леммы П.2 - критерий оптимальности моментов остановки задач (2)

и (3).

Лем(ма П.2. )Пусть выполнены условия теоремы 1. Момент остановки

τ ∈TN0

оптимален в задаче (2) (в задаче (3)) тогда и только то-

гда, когда справедливо одно из утверждений:

1) для любого τ ∈ TN0 справедливо неравенство Q-п.н.

ess sup E^Q [f_τ |F₀] ≤

Q∈R_N

(

)

(Π.15)

[

]

≤ ess supEQ [fτ |F0] ess infEQ [fτ |F0] ≤ ess inf EQ

f_τ|F₀

;

Q∈R_N

2) величины {v_n}n∈N0 ({v_n}

) удовлетворяют равенствам Q-п.н.

n∈N₀

(Π.16)

v_n = f_n1{τ=n} + 1_{τ>n} ess supE^Q [vn+1|F_n], v_N = f_N

Q∈R_N

(

)

[

]

(Π.17)

v_n = f_n1{τ=n} + 1_{τ>n} ess inf E^Q

vn+1|F_n

v_N = f_N

Q∈R_N

решение которых является R_N-супермартингалом (R_N-субмартингалом) и

допускает представление Q-п.н.

(

)

[

]

(Π.18)

v_n = ess sup

E^Q [f_τ∧N|F_n]

v_n = ess inf E^Q

f_τ∧N|F_n

Q∈R_N

167

Доказательство леммы П.2.

1. Установим справедливость первого утверждения леммы П.2.

а. Необходимость. Пусть момент остановки τ ∈ TN0 оптимален в задаче (2).

Тогда из определения оптимального момента остановки имеем

v₀ = ess supess supEQ [fτ |F0] = ess supEQ [fτ |F0] Q-п.н.

τ ∈T^N

Q∈R_N

Отсюда и из определения существенной верхней грани следует неравен-

ство (Π.15).

б. Достаточность. Пусть справедливы неравенства (Π.15). Установим, что

момент остановки τ является оптимальным. Из определения случайной ве-

личины v₀ следуют соотношения

v₀ = ess supE^Q [f_τ |F₀] ≥ ess supess sup EQ [fτ |F0] = v0 Q-п.н.

Q∈R_N

τ ∈T^N

Q∈R_N

Следовательно, момент остановки τ ∈ TN0 оптимален в задаче (2).

2. Доказательство справедливости второго утверждения леммы П.2.

а. Необходимость. Пусть n ∈ N₀ и τ ∈ T^Nn - оптимальный момент останов-

ки. Тогда из определения v_n, свойств τ ∈ T^Nn и существенной верхней грани

имеем равенства Q-п.н.

[

]

∑

v_n = ess sup E^Q

f_i1{τ=i}|F_n

Q∈R_N

i=n

(Π.19)

[

]

∑

=f_n1{τ=n} + 1_{τ>n}

ess sup E^Q

f_i1{τ=i}|F_n

Q∈R_N

i=n+1

Заметим также, что в силу леммы П.1 и условий леммы П.2 имеем Q-п.н.

[

]

∑

ess sup E^Q

f_i1{τ=i}|F_n

Q∈R_N

i=n+1

[

]

∑

(Π.20)

= ess sup E^Q E^Q

f_i1{τ=i}|Fn+1

|F_n

Q∈R_N

i=n+1

[

]

∑

= ess sup E^Q ess sup E^Q

f_i1{τ=i}|Fn+1

|F_n

= ess sup [vn+1|F_n] .

Q∈R_N

i=n+1

Соотношения (Π.19)-(Π.20) дают равенства (Π.16).

б. Достаточность. Проведя в (Π.20) выкладки в обратном порядке, полу-

чим (Π.16), (Π.18).

Из соотношений (Π.18) и определения существенной верхней грани следу-

ет, что (v_n, F_n)n∈N0 является R_N -супермартингалом. Аналогично доказыва-

ются утверждения леммы П.2 для момента остановки τ. Лемма П.2 доказана.

168

Замечание П.2.

1. Аналогично тому как это сделано в доказательстве леммы П.2, лег-

ко установить, что в задаче (1) момент остановки τ^Q ∈ TN0 оптимален то-

гда и только тогда, когда для любого τ ∈ TN0 справедливо неравенство

E^Q [f_τ|F₀] ≤ E^Q [f_τQ|F₀] Q-п.н.

2} Пусть τQ ∈ TN0 - оптимальный момент остановки в задаче (1), а

{

v^Q

- урезанные цены в этой задаче. Тогда аналогично доказательству

n n∈N₀

{

}

леммы П.2 легко установить, что

v^Q

удовлетворяет рекуррентному со-

n n[N0

]

отношению vQn = f_n1_{τQ=n} + 1_{τQ_>n}

E^Q v^Q

|F_n , vQN = f_N Q-п.н.

n+1

Доказательство теоремы 3.

1. Необходимость. Пусть момент остановки τ ∈ TN0 оптимален в задаче (2).

Докажем (12). Заметим, что в этом случае v_τ = f_τ Q-п.н. Действительно,

умножим правую и левую части (Π.16) на индикатор 1{τ=i}, а затем просум-

∑

мируем по i ∈ N₀. Имеем (v_i - f_i) 1{τ=i} = v_τ - f_τ = 0 Q-п.н. Аналогично

i=0

из п. 1 следствия 2 вытекает, что для любого n ∈ N₀ справедливо v_n - f_n ≥ 0

Q-п.н. и, следовательно, v_τ ≥ f_τ Q-п.н. Отсюда и из определения существен-

∑

ной нижней грани следует ess inf (v_i - f_i) 1{τ=i} = 0 Q-п.н. С учетом того,

τ ∈TN0 i=0

∑

что для любых τ ∈ TN0 и n ∈ N₀: 1{τ=i} ≥ 0 и

1{τ=i} = 1 Q-п.н., из послед-

i=0

него равенства следует существование τ ∈ TN0 такого, что

∑

ess inf

(v_i - f_i) 1{τ=i} =

(v_i - f_i) 1{τ=i} = v_τ - f_τ = 0.

τ ∈T^N

i=0

В силу последнего равенства с учетом дискретности случайной величины

τ ∈ T N0 и свойств функций полезности {f_n}n∈N0 (см., например, [6]) имеем

представление (12). Аналогично доказывается (12) для τ в задаче (3).

2. Достаточность.

а. Пусть момент остановки τ^∗ ∈ TN0 допускает представление (12). Пока-

жем, что τ^∗ - оптимальный в задаче (2). В силу п. 1 леммы П.2. достаточно

показать, что относительно любой меры Q ∈ R_N для любого τ ∈ TN0 , τ ≥ τ^∗

Q-п.н., справедливо неравенство (Π.15). Из утверждения следствия 3 выте-

кает, что (v_n, F_n)n∈N0 — R_N -супермартингал, поэтому допускает опциональ-

ное разложение (см. [6, 14]): v_τ =(v0 + Mτ )- Aτ , vτ∗ = v(+ Mτ∗ )- Aτ∗ Q-п.н.

Отсюда v_τ = v_τ∗ + M_τ - M_τ∗ -

A_τ - A_τ∗

Q-п.н., где

M_n,F

- мар-

n n∈N₀

(

)

тингал относительно любой меры Q ∈ R_N , а

A_n,F

не убывает. Возь-

n n∈N₀

мем условное математическое ожидание E^Q [·|F₀] от обеих частей последнего

равенства. В результате имеем E^Q [v_τ |F₀] ≤ E^Q [v_τ∗ |F₀] Q-п.н. По условиям

v_τ∗ = f_τ∗, а в силу следствия 2 для любого τ ∈ TN0: v_τ ≥ f_τ. Отсюда получа-

ем (Π.15). Значит, τ^∗ — оптимальный в задаче (2).

б. Покажем, что момент остановки τ_∗ ∈ TN0 , допускающий представле-

ние (12), является оптимальным в задаче (3). Пусть τ ∈ TN0 — любой,

169

τ ≥ τ_∗ Q-п.н., а {v_n}

удовлетворяет (5). Из п. 2 следствия 3 вытека-

n∈N₀

ет, что[для любых n ∈ N]и ε > 0 существует Qε ∈ RN такая, что vn - nε ≥

≥EQε

vn+1 - (n + 1)ε|F_n

Q^ε-п.н., т.е. (v_n - nε,F_n)

- супермартингал

n∈N₀

относительно Q^ε ∈ R_N и, следовательно, допускает опциональное разложе-

ние v_n - nε = v₀ + M_n - A_n Q^ε-п.н., где (M_n, F_n)n∈N0 — RN-мартингал,

а (A_n, F_n)

— неубывающая согласованная последовательность, причем

n∈N₀

M₀ = A₀ = 0 (см. [6, 14]). Поэтому случайные величины v_τ и vτ∗ допускают

представление v_τ - τε = v₀ + M_τ - A_τ , vτ∗ - τ_∗ε = v₀ + Mτ∗ - Aτ∗ Q^ε-п.н.

Рассмотрим разность между двумя последними равенствами и возьмем от

левой и правой частей полученного равенства условное математическое ожи-

дание EQε [·|Fτ∗ ]. В силу того, что (A_n, F_n)

не убывает, имеем

n∈N₀

[

]

EQε [v_τ |Fτ∗ ] = v_τ

+ εEQε [τ - τ_∗|Fτ∗ ] - EQε

A_τ - Aτ∗ |Fτ∗

≤

∗

≤ vτ∗ + εEQε [τ - τ_∗|Fτ∗] Q^ε-п.н.

Из последнего неравенства в силу определения существенной нижней гра-

ни, конечности марковских моментов τ и τ_∗ и произвольности ε > 0 следует,

что ess inf EQε [v_τ |Fτ∗ ] ≤ v_τ

Q^ε-п.н. Отсюда в силу леммы П.1 имеем неравен-

∗

Q∈R_N

[

]

ство ess infEQ [vτ |F0] ≤ ess inf EQ

vτ∗|F₀

Q-п.н. Из (12) следует, что vτ∗ = fτ∗

Q∈R_N

Q-п.н. Одновременно согласно п. 1 следствия 2 имеем vτ∗ ≥ fτ∗ Q-п.н. По со-

вокупности приведенных соотношений и п. 1 леммы П.2 получаем, что τ_∗ оп-

тимален в задаче (3). Теорема 3 доказана.

Доказательство теоремы 4. Доказательство теоремы 4 следует из

п. 2 леммы П.2.

Доказательство теоремы

5. Пусть τ и τ^Q ∈ TN0

- оптималь-

ные моменты остановки для задач (2) и (1) соответственно. Докажем,

что τ^Q ≤ τ Q{п.}. Из у{ве}ждения теоремы 3, леммы П.2 и опре(еле)

ния величин

θ_n

(

θ^Q

) следует, что момент остановки τ

τ^Q

n∈N₀

n n∈N₀

является оптимальным в задаче (2) (в задаче (1)) тогда и только то-

гда, когда одновременно справедливы утверждения Q-п.н.: 1) v_τ = f_τ ≥ θ_τ

(

)

v_τQ = f_τQ ≥ θ^Q

; 2) для любого n ∈ N0:

1{n<τ}vn = 1{n<τ}θn > 1{n<τ }fn

τ^Q

(

)

. Кроме того, по определению θ_n ≥ θQn

1{n<τQ}vn = 1{n<τQ}θⁿ > 1{n<τQ}fn

Q-п.н.

Рассмотрим событие {ω ∈ Ω : τ = n}, n ∈ N₀. Из изложенного следует,

что 1{τ=n}v_n = 1{τ=n}f_n ≥ 1{τ=n}θ_n ≥ 1{τ=n}θQn. Следовательно, для любого

ω ∈ {ω ∈ Ω : τ = n} (за исключением, быть может, множества меры нуль)

возможны альтернативы: а) 1_{n<τ}(ω)vQn(ω) > 1_{n<τ}(ω)f_n(ω) и τ(ω) = τ^Q(ω);

б) существует k < n такое, что vQk(ω) = f_k(ω) и τ(ω) > τ^Q(ω). Поскольку при-

веденные рассуждения справедливы для любого n ∈ N₀, доказано, что τ ≥ τ^Q

Q-п.н. Аналогично устанавливается неравенство τ^Q ≥ τ Q-п.н. Теорема 5 до-

казана.

Доказательство теор(мы 6.)Из утверждения леммы П.2 следует,

что момент остановки τ ∈ TN0

τ ∈TN0

оптимален в задаче (2) (в задаче (3))

170

тогда и только тогда, когда для любого n ≤ τ (n ≤ τ) имеет место равен-₍

)

[

]

ство v_n = ess supEQ [fτ |Fn] vn = ess inf EQ

f_τ |F_n

. Поэтому из определе-

Q∈R_N

ний R_N -супермартингала (R_N -субмартингала) и существенной верхней гра-

(

)

ни следует, что последовательность

1{n≤τ}θn, Fnn∈N

(последовательность

(

)

) является R_N -супермартингалом (R_N -субмартингалом).

1{n≤τ}θn, Fnn∈N

Теорема 6 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. М.: Мир, 1974.

Дынкин Е.Б., Юшкевич А.А. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука,

1967.

Гихман И.И., Скороход А.В. Управляемые случайные процессы. Киев: Наук.

думка, 1977.

Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2. Теория. М.:

ФАЗИС, 1998.

Роббинс Г., Зигмунд Д., Чао И. Теория оптимальных правил остановки. М.:

Наука, 1977.

Фельмер Г., Шид А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время.

М.: МНЦМО, 2008.

Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1976.

Boyarchenko S.I., Levandorfkii S.Z. Non-Gaussian Merton-Blach-Sholes Theory.

Advanced Series on Statistical Science and Applied Probability. V.9. Singapore:

World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2002.

Ferguson T.S. Optimal Stopping and Applications. Unpublished manusctipt. 2000.

(https://www.math.ucla.edu/∼tom/Stopping/Contents.html)

10.

Jönsson H., Kukush A.G., Silvestrov D.S. Threshold Structure of Optimal Stopping

Strategies for American Type Option. I // Theor. Probab. Math. Stat. Amer. Math.

Society. 2005. V. 71. P. 93-103.

11.

Jönsson H., Kukush A.G., Silvestrov D.S. Threshold Structure of Optimal Stopping

Strategies for American Type Option. II // Theor. Probab. Math. Stat. Amer. Math.

Society. 2006. V. 72. P. 47-58.

12.

Kukush A.G., Silvestrov D.S. Optimal Pricing of American Type Options with

Discrete Time // Theory Stochastic Processes. 2004. V. 10 (26). No. 1-2. P. 72-96.

13.

Хаметов В.М., Шелемех Е.А., Ясонов Е.В. Алгоритм решения задачи об опти-

мальной остановке с конечным горизонтом // Управление большими системами.

2014. Вып. 52. С. 6-22.

14.

Хаметов В.М., Шелемех Е.А. Суперхеджирование американских опционов на

неполном рынке с дискретным временем и конечным горизонтом // АиТ. 2015.

№ 9. С. 125-149.

Khametov V.M., Shelemekh E.A. Superhedging of American Options on an

Incomplete Market With Discrete Time and Finite Horizon // Autom. Remote

Control. 2015. V. 76. No. 9. P. 1616-1634.

15.

Хаметов В.М., Шелемех Е.А. Экстремальные меры и хеджирование американ-

ских опционов // АиТ. 2016. № 6. С. 121-144.

Khametov V.M., Shelemekh E.A. Extremal Measures and Hedging in American

Options // Autom. Remote Control. 2016. V. 77. No. 6. P. 1041-1059.

171