Автоматика и телемеханика, № 3, 2019

Линейные системы

(Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет))

О ЗАДАЧЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ КЛАССА

ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМ

С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ, ОГРАНИЧЕННЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

И ВЫРОЖДЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ¹

Рассматривается решение задачи быстродействия для класса линейных

дискретных систем с бесконечномерным вектором состояния и вырожден-

ным оператором. Сформулированы и доказаны утверждения о свойствах

выпуклых множеств. Получены необходимые и достаточные условия раз-

решимости задачи быстродействия для случая, когда нуль принадлежит

границе множества достижимости. Условия оптимальности записаны как

дискретный принцип максимума. Для внутренней точки доказан вырож-

денный характер принципа максимума. Разработан алгоритм решения

задачи быстродействия для внутренней точки путем сведения ее к разре-

шенному случаю граничной точки. Приведены примеры.

Ключевые слова: линейные бесконечномерные дискретные системы, зада-

ча быстродействия, выпуклые множества, дискретный принцип максиму-

ма, вырожденный оператор.

DOI: 10.1134/S0005231019030012

1. Введение

Исторически развитие теории оптимального управления начиналось с ис-

следования систем с непрерывным временем. Среди основных подходов к

решению можно выделить принцип максимума Понтрягина [1-3] и метод ди-

намического программирования Беллмана [4]. Также существует подход, ос-

нованный на использовании множеств достижимости и управляемости [5-7].

На основе этих методов построено решение задачи быстродействия [1, 2, 8],

которая в случае непрерывного времени не обладает специфическими особен-

ностями, отличающими ее от прочих задач.

Основным препятствием при использовании аналогичных методов для си-

стем с дискретным временем является их существенное отличие от непрерыв-

ных систем. Тогда как задача оптимального управления для непрерывного

времени представляет собой задачу вариационного исчисления, в дискретном

случае она является задачей нелинейного программирования большой раз-

мерности, что определяет принципиально другой набор средств ее решения,

необходимых и достаточных условий оптимальности. В частности, известен

¹ Результаты работы получены в рамках выполнения государственного задания Мин-

обрнауки № 2.2461.2017/4.6.

основанный на методе множителей Лагранжа дискретный принцип макси-

мума, который освящен в ряде публикаций [6, 9-12]. Тем не менее его при-

менение для решения задачи быстродействия оказывается затруднительным:

в методе множителей Лагранжа на оптимальном решении все множители

могут одновременно обращаться в нуль, что приводит к нерегулярности экс-

тремума. С другой стороны, дискретный характер критерия качества управ-

ления — минимального числа шагов, необходимого для достижения начала

координат — приводит к отсутствию непрерывности функции Лагранжа. По

этим причинам оказывается актуальным поиск альтернативных подходов к

решению поставленной задачи.

На данный момент известно сравнительно небольшое количество публика-

ций, посвященных разработке методов решения и качественным исследова-

ниям задачи быстродействия в дискретном времени [13-15]. Основным недо-

статком данных публикаций является узкий круг исследованных задач: рас-

сматриваются системы размерности не больше трех, управление предполага-

ется скалярным или принадлежащим некоторому многограннику.

Основная цель данной статьи — развитие и обобщение результатов [16].

Принципиальным ограничением методов, разработанных в [16], является

невозможность их применения для систем с произвольным линейным и огра-

ниченным оператором. Данный факт связан с тем, что полученное решение

базируется на использовании класса множеств управляемости, конструктив-

ное описание которых удается построить только в случае обратимого опера-

тора системы. В данной статье предложен метод, позволяющий расширить

класс рассматриваемых систем за счет использования в качестве аппарата

решения поставленной задачи множества достижимости, которые представ-

ляют собой ограниченные множества для произвольного линейного и огра-

ниченного оператора системы. Кроме того, класс множеств, из которых на

каждом шаге выбирается управление, удается расширить до класса строго

выпуклых ограниченных множеств, в то время как в [16] рассматривались

исключительно строго выпуклые ограниченные множества, в каждой гранич-

ной точке которых нормальный конус представляет собой одномерное мно-

жество.

В результате по аналогии с [16] на основе методов выпуклого анали-

за [17, 18], связанных с линейными преобразованиями и сложением множеств

по Минковскому, сформулированы и доказаны необходимые и достаточные

условия оптимальности управления в случае, когда нуль является граничной

точкой по отношению к множеству достижимости. Данный критерий удается

представить в виде дискретного принципа максимума. Напротив, для внут-

ренней точки продемонстрирован вырожденный характер принципа макси-

мума, согласно которому в этом случае оказывается невозможно вычислить

оптимальное управление. Тем не менее удается и для случая внутренней точ-

ки сформулировать достаточные условия оптимальности.

Структура статьи следующая. В разделе 2 приведены постановка задачи

и описание семейства множеств достижимости, сформулирован подход к ре-

шению задачи быстродействия. В разделе 3 рассмотрены свойства классов

выпуклых множеств U₂ и U₃, на основе которых конструируются множества

достижимости, и выполнены некоторые вспомогательные построения. В раз-

деле 4 сформулирован и доказан критерий оптимальности в задаче быст-

родействия для произвольного начального состояния, разработан конструк-

тивный метод построения оптимального управления, представленный в виде

дискретного принципа максимума. Для случая внутренней точки продемон-

стрирован вырожденный характер принципа максимума, а также разрабо-

тан альтернативный подход к построению оптимального по быстродействию

управления. В разделе 5 опробована эффективность полученных результатов

на примере различных систем управления.

2. Постановка задачи

Рассматривается бесконечномерная линейная система с дискретным вре-

менем и ограниченным множеством допустимых значений управления (A, U):

x(k + 1) = Ax(k) + u(k),

(1)

x(0) = x₀, u(k) ∈ U, k ∈ N ∪ {0},

где x(k) ∈ L — вектор состояния системы, u(k) ∈ U ⊂ L — управление, L —

нормированное пространство, A: L → L — линейный ограниченный оператор.

Предполагается, что множество допустимых значений управления U является

выпуклым и слабо компактным, 0 ∈ int U.

Для системы (A, U) решается задача быстродействия, т.е. требуется вы-

числить минимальное число шагов N_min, за которое возможно перевести

систему из заданного начального состояния x₀ ∈ L в начало координат и

, удовлетворяющий

условию x^∗(N_min) = 0. Такой процесс будем называть оптимальным.

Определим семейство множеств достижимости {Y(x₀, N)}∞N=0, где каждое

Y(x₀, N) представляет собой множество состояний, в которые можно пере-

вести систему (A, U) за N шагов из начального состояния x₀ посредством

выбора допустимых управляющих воздействий:

{

{x ∈ L: ∃u(0), . . . , u(N - 1) ∈ U: x(N) = x}, N ∈ N,

(2)

Y(x₀, N) =

{x₀},

N = 0.

В дальнейшем будем предполагать, что

⋃

0∈

Y(x₀, N),

N=0

т.е. задача быстродействия разрешима для заданного начального состояния.

С помощью класса множеств достижимости возможно вычислить опти-

мальное значение критерия задачи управления:

(3)

N_min = min{N ∈ N ∪ {0}: 0 ∈ Y(x₀

,N)}.

Обозначив для любых X, U ⊂ L через X + U сумму множеств по Минков-

скому, сформулируем в виде леммы 1 аналитическое представление множе-

ства достижимости за N шагов.

Лемма 1. Пусть система множеств {Y(x₀,N)}∞N=0 определяется соот-

ношениями (2). Тогда для каждого N ∈ N справедливо представление

∑

Y(x₀, N) =

A^kU + A^N x₀.

k=0

Доказательства леммы 1 и всех последующих утверждений приведены в

Приложении.

Также класс множеств достижимости можно описать рекуррентными со-

отношениями.

Следствие 1. Пусть система множеств {Y(x₀,N)}∞N=0 определяется

соотношениями (2). Тогда для каждого N ∈ N справедливо представление

Y(x₀, N) = AY(x₀, N - 1) + U.

Лемма 2. Пусть система множеств {Y(x₀,N)}∞N=0 определяется соот-

ношениями (2) и для некоторогоŃ ∈ N ∪ {0} выполнено включение

0 ∈ Y(x₀, Ń).

Тогда для всех N ≥Ń верно

0 ∈ Y(x₀,N).

Замечание 1. Выбор в качестве аппарата решения рассматриваемой

задачи быстродействия именно множеств достижимости вместо множеств

0-управляемости, которые использовались в [16, 19, 20], обусловлен сложно-

стью построения множеств 0-управляемости в случае вырожденности опера-

тора системы. Множества 0-управляемости, как показано в [5], представляют

собой неограниченные цилиндры, аналитическое описание которых в общем

случае оказывается затруднительным. При этом представление, аналогичное

лемме 1, для таких множеств существует только в случае, когда оператор A

обратим.

3. Дополнительные построения

Для решения задачи быстродействия наложим ограничения на класс мно-

жеств допустимых значений управления U и рассмотрим некоторые его свой-

ства. Определим классы множеств U₂ и U₃ следующим образом:

U₂ = {U ⊂ L: U — слабо компактное и строго выпуклое,

0 ∈ int U},

U₃ = {X ⊂ L: X — слабо компактное и выпуклое,

0 ∈ X}.

В дальнейшем будем предполагать, что множество допустимых значений

управления U системы (1) является элементом класса U₂:

U∈U₂.

Обозначим через L^∗ пространство, сопряженное к L. Результат действия

линейного и ограниченного функционала p ∈ L^∗ на вектор x обозначим че-

рез (p, x). Функционал p ∈ L^∗ \ {0} называется опорным к множеству X ∈ U₃

в точке x ∈ ∂X, если

X ⊂ {x ∈ L: (p, x) ≤ (p,x)}

или

(p, x) = max(p, x).

x∈X

Нормальным конусом N(x, X) множества X ∈ U₃ в точке x ∈ ∂X называется

множество всех функционалов, опорных к X в x:

{

}

N(x, X) = p ∈ L \ {0}: max(p, x) = (p, x)

x∈X

Будем также полагать, что для произвольной внутренней точки x ∈ int X

нормальный конус представляет собой пустое множество:

N(x, X) = ∅.

Замечание 2. Согласно определению нормального конуса справедлив

критерий принадлежности некоторой точки x ∈ X внутренности множества

X ∈ U₃: включение x ∈ int X верно тогда и только тогда, когда N(x,X) = ∅.

Замечание 3. Класс множеств U₂ является расширением класса U₁, из

которого в [16] выбиралось множество U, где

{

U₁ = U ⊂ L: U — слабо компактное и строго выпуклое,

0 ∈ int U,

}

∀u ∈ ∂U dimN(u,U) = 1 .

Также справедливы включения

U₁ ⊂ U₂ ⊂ U₃.

Сформулируем основные свойства классов U₂ и U₃ в виде следующих

лемм.

Лемма 3. Пусть U ∈ U₂. Тогда для любых различных u¹,u² ∈ U верно

N(u¹, U) ∩ N(u², U) = ∅.

Лемма 3 гарантирует для любого U ∈ U₂ существование отображения

ρ_U : L \ {0} → ∂U, определяемого соотношением

ρ_U(p) = arg max(p,u).

u∈U

Таким образом, произвольная граничная точка u ∈ ∂U может быть однознач-

но определена посредством элемента своего нормального конуса N(u, U).

Лемма 4. Пусть X ∈ U₃, A: L → L — линейный и ограниченный опера-

тор. Тогда для каждого x ∈ X верно включение

(Ker A^∗ \ {0}) ⊂ N(Ax, AX).

Лемма 5. Пусть X ∈ U₃, A: L → L — линейный и ограниченный опера-

тор, x ∈ X. Тогда

N(Ax, AX) = (A^∗)-1(N(x, X)) ∪ (Ker A^∗ \ {0}).

Замечание 4. Поскольку в общем случае линейный и ограниченный

оператор A не является биективным, то нельзя говорить о существовании

обратного к нему оператора A-1. Здесь и далее для произвольного X ⊂ L

с помощью A-1(X) будем обозначать полный прообраз множества X:

A-1(X) = {x ∈ L: Ax ∈ X}.

Лемма 6. Пусть X₁,X₂ ∈ U₃, x¹ ∈ X₁, x² ∈ X₂.

Тогда

(

)

(

)

x¹ + x²,X₁ + X₂

x¹,X₁

∩ N(x²,X₂).

Следствие 2. Пусть X ∈ U₃, U ∈ U₂.

Тогда для каждого y ∈ ∂(X + U) существует единственное разложение

вида y = x + u, где x ∈ X, u ∈ U.

Леммы 4, 5, 6 и следствие 2 определяют вид нормальных конусов суммы

двух множеств из класса U₃, а также линейного преобразования элемента U₃.

Структура нормального конуса в результате линейного преобразования во

многом определяется линейным и ограниченным оператором A, в частно-

сти его ядром и образом. Данный факт продемонстрируем на следующем

примере.

Пример 1. Рассмотрим нормированное пространство L = l_r, r ∈ (1,+∞)

[21]. Согласно теореме Рисса каждый функционал p ∈ l^∗r однозначно опреде-

ляется вектором p ∈ l_q, где1r +1q = 1, в соответствии с соотношением:

∑

( p, x) =

p_ix_i.

i=1

В дальнейшем будем отождествлять функционал p ∈ l^∗r и вектор p ∈ l_q, его

порождающий. Также будем полагать, что оператор, сопряженный к линей-

ному и ограниченному оператору A: l_r → l_r, действует на пространстве l_q:

A^∗ : l_q → l_q.

Рассмотрим два оператора

A₁ : l_r → l_r, A₂ : l_r → l_r,

A₁x = (0,x₁,x₂,...),

A₂x = (x₂,x₃,...).

Тогда A∗1

A₂, A∗2

A₁, где оператор

A₁

A₂ действуют в пространстве l_q

аналогично A₁ и A₂ соответственно. Также верны равенства

Ker A₁ = {0}, Ker A₂ = Lin {(1, 0, 0, . . .)}.

Обозначим через B_R(x) ⊂ l_r шар радиуса R > 0 с центром в точке x ∈ l_r:

B_R(x) = {y ∈ l_r : ∥y - x∥ ≤ R}.

Верно включение B_R(x) ∈ U₂.

Построим в произвольной точке x⁰ ∈ ∂B_R(0) нормальный конус

N(x⁰, B_R(0)). Рассмотрим отображение π : l_r → l_q, действующее по пра-

вилу:

(

)

π(x) =

sign(x₁)|x₁|r-1, sign(x₂)|x₂|r-1, . . .

Тогда с учетом неравенства Гельдера справедливы соотношения

(

)

(

)

max

π(x⁰), x

≤ max

∥π(x⁰)∥lq · ∥x∥lr

= R∥π(x⁰)∥lq =

x∈B_R(0)

(

∑

|x0i|(r-1)q

|x0i|r

= ∥x⁰∥^r ,_l

= R∥x⁰∥^qlr=R∥x0∥

i=1

(

)

∑

π(x⁰), x⁰

= x0i · sign(x0i)|x0i|r-1 =

|x0i|^r = ∥x⁰∥^rl

i=1

откуда по определению нормального конуса

π(x⁰) ∈ N(x⁰, B_R(0)).

Так как любой p ∈ cone {π(x⁰)} является элементом нормального конуса в

точке x = x⁰, где

(

)

sign(p₁)|p₁|q-1, sign(p₂)|p₂|q-1, . . .

∈ ∂B_R(0),

∥p∥q-1

то в силу леммы 3 p ∈ N(x⁰, B_R(0)). Тогда

(

)

{

}

(4)

x⁰,B_R(0)

= cone

π(x⁰)

\ {0}.

Построим нормальный конус к A₁B_R(0) в A₁x⁰. Поскольку Ker A∗1 = {0},

то согласно лемме 4 для всех y ∈ A₁B_R(0)

(Ker A∗1 \ {0}) ⊂ N(y, A₁B_R(0)),

∂A₁B_R(0) = A₁B_R(0).

С другой стороны,

(

)

(

)

(A∗1)-1

N(x⁰, B_R(0))

= (A∗1)-1

cone {π(x⁰)} \ {0}

(

)

cone {A∗2π(x⁰)} + Lin {(1, 0, 0, . . .)}

\ {0},

т.е. нормальный конус в любом y ∈ A₁B_R(0) не пуст, даже если его прообраз

являлся внутренней точкой по отношению к B_R(0).

Теперь построим N(A₂x⁰, A₂B_R(0)). Справедливо равенство A₂B_R(0) =

= B_R(0), откуда A₂x⁰ ∈ ∂A₂B_R(0) тогда и только тогда, когда x⁰¹ = 0, т.е.

(

)

(

)

(A∗2)-1

N(x⁰, B_R(0))

= (A∗2)-1

cone {π(x⁰)} \ {0}

{

∅,

x⁰

= 0,

cone {A∗1π(x⁰)} \ {0}, x⁰¹ = 0.

С учетом леммы 5

{

∅,

x⁰

= 0,

N(A₂x⁰, A₂B_R(0)) =

cone {A∗1π(x⁰)} \ {0}, x⁰¹ = 0,

т.е. нормальный конус к A₂B_R(0) в y ∈ A₂B_R(0) может оказаться пустым

даже в том случае, когда единственный прообраз y являлся граничной точкой

по отношению к B_R(0).

4. Критерий оптимальности в задаче быстродействия

Рассмотрим критерий оптимальности траектории и управления в задаче

быстродействия для различных случаев. На основе сформулированных тео-

рем разработаем метод построения оптимального управления в задаче быст-

родействия.

Принципиальные отличия имеют два возможных варианта включения

0 ∈ Y(x₀,N_min):

(5)

0 ∈ ∂Y(x₀,N_min

(6)

0 ∈ int Y(x₀,N_min

Специфика случая (5) обусловлена следствием 1 и леммами 3 и 6. В силу лем-

мы 3 оптимальное управление, лежащее на границе множества U, на каждом

шаге может быть однозначно определено посредством элементов нормально-

ψ(k) = A^∗ψ(k + 1), k = 0, N_min - 1,

(7)

ψ(N_min) = ψNmin .

Тем не менее рекуррентные соотношения (7) в случае вырожденного опера-

тора A в силу леммы 5 могут привести к ситуации, когда для некоторого

k₀ = 1,N_min оказывается выполнено включение ψ(k₀) ∈ KerA^∗. В результате

для всех k < k₀ оказывается справедливым равенство ψ(k) = 0, что делает

невозможным определить оптимальное управление посредством сопряжен-

ной системы (7) и отображения ρ_U.

В виде следующей леммы 7 сформулируем достаточные условия, гаранти-

рующие невырожденный вид сопряженной системы в случае включения (5).

Лемма 7. Пусть семейство множеств {Y(x₀,N)}∞N=0 определяется со-

отношениями (2) и справедливо включение 0 ∈ ∂Y(x₀,N_min).

Тогда для каждого p ∈ N(0, Y(x₀, N_min)) верно, что

p ∈ Ker(A^∗)Nmin.

Случай (6) обладает рядом принципиальных отличий от (5). Вообще гово-

ря, для (6) принцип максимума как критерий оптимальности процесса управ-

ления приобретает вырожденный характер, т.е. не удается построить опти-

мальную траекторию и управление согласно соотношениям:

x^∗(k + 1) = Ax^∗(k) + u^∗(k),

ψ(k) = A^∗ψ(k + 1),

x^∗(0) = x₀,

(8)

ψ(N_min) = ψNmin ,

u^∗(k) = arg max(ψ(k + 1),u).

u∈U

Теорема 1. Пусть выполнено включение

(6) и процесс управления

определяется соотношениями (8).

Тогда для любого ψNmin ∈ Ker (A^∗)Nmin-¹ справедливо x^′(N_min) = 0.

Как следует из теоремы 1, в случае (6) оптимальный процесс системы (1)

удовлетворяет соотношениям принципа максимума (8) только тогда, когда

существует k₀ ∈ 1, N_min такой, что для всех k = 0, k₀

ψ(k) = 0.

Данный факт делает невозможным определить оптимальное управление из

условия

u^∗(k) = arg max(ψ(k + 1), u), k = 0, k0 - 1.

u∈U

Рассмотрим способ, позволяющий свести случай (6) к случаю (5) и сфор-

мулировать критерий оптимальности процесса для произвольного начального

состояния. Обозначим:

(

)

(9)

α=μ

-ANminx₀,Y(x₀,N_min) - ANminx₀

где μ(x, X) — функционал Минковского [21]. Для вспомогательной систе-

мы (A, αU) определим семейство множеств достижимости {Y_α(x₀, N)}∞N=0.

Лемма 8. Пусть выполнено включение (6).

Тогда для системы (A, αU) верны соотношения:

i. Y_α(x₀,N) ⊂ Y(x₀,N), N ∈ N ∪ {0},

ii. 0 ∈ ∂Y_α(x₀,N).

Лемма 8 позволяет в вопросах построения критерия оптимальности фак-

тически ограничиться рассмотрением случая (5), перейдя от исходной систе-

мы (A, U) к системе (A, αU).

{u^∗(k)}Nmin-1k=0 ⊂ L и функционалов

⊂ L^∗ \ {0} для каждого k =

= 0, N_min - 1 определяются соотношениями:

x^∗(k + 1) = Ax^∗(k) + u^∗(k),

ψ(k) = A^∗ψ(k + 1),

x^∗(0) = x₀,

ψ(N_min) ∈ N(0, Y_α(x₀, N_min)),

u^∗(k) = arg max(ψ(k + 1),u).

u∈αU

Тогда

— оптимальный процесс системы (A,U) в за-

даче быстродействия, причем если α = 1, то данный процесс единственный;

ii. x^∗(k) ∈ ∂Y_α(x₀,k), k = 0,N_min;

iii. ψ(k) ∈ N(x^∗(k),Y_α(x₀,k)), k = 0,N_min.

Для случая (5) теорема 2 является необходимым и достаточным усло-

вием оптимальности процесса управления. При этом рекуррентные со-

отношения теоремы 2 полностью совпадают с соотношениями принципа

максимума (8), где сопряженная система определяется согласно условию

ψNmin ∈ N(0,Y(x₀,N_min)).

5. Примеры

Продемонстрируем эффективность разработанных методов решения зада-

чи быстродействия на следующих примерах.

Пример 2. Рассмотрим систему управления (A₁,U) c вектором состоя-

ния из пространства L = l_r, r ∈ (1; +∞), где оператор A₁ : l_r → l_r из приме-

ра 1, U = B₁(0). Построим оптимальное управление для точки x⁰ ∈ l_r такой,

что ∥x⁰∥ ∈ N.

Поскольку для любого x ∈ l_r

∥A₁x∥ = ∥x∥,

то для всех N ∈ N справедливы включения

AN1B₁(0) ⊂ AN-11B₁(0),

∑

(10)

N · AN1 B₁(0) ⊂

Ak1B₁(0) ⊂ N · B₁(0) = B_N

(0).

k=0

Поскольку ∥ - A∥x0∥₁x⁰∥ = ∥x⁰∥, то -A∥x0∥₁x⁰ ∈ ∂B_∥x0_∥(0). Но в силу (10)

∥x⁰∥-1∑

-A∥x0∥₁x⁰ ∈ ∥x⁰∥ · A∥x0∥₁B₁(0) ⊂

Ak1B₁(0) ⊂ B_∥x0_∥(0),

k=0

откуда получаем, что

∥x⁰∥-1∑

-A∥x0∥₁x⁰ ∈ ∂

Ak1B₁(0),

k=0

а это выражение c учетом леммы 1 эквивалентно условию

0 ∈ ∂Y(x⁰,∥x⁰∥).

С другой стороны,

{

∥x⁰∥ ≥ 2,

∥x⁰∥-1(0),

-A∥x0∥-11x⁰ ∈

{0},

∥x⁰∥ = 1,

откуда согласно (10)

⎧

⎪

∥x⁰∥-2∑

⎨

Ak1B₁(0),

∥x⁰∥ ≥ 2,

-A∥x0∥-11x⁰ ∈

⎪

k=0

⎩

{0},

∥x⁰∥ = 1,

что эквивалентно условию

0 ∈ Y(x⁰,∥x⁰∥ - 1).

Тогда в соответствии с (3)

N_min = ∥x⁰∥.

Поскольку рассматриваемый случай удовлетворяет условиям теоремы 2

при α = 1, то ψ(N_min) вычислим из условия

(

)

(

)

∑

ψ(N_min) ∈ N

0, Y(x⁰, N_min)

Ak1B₁(0)

-ANmin1x⁰,

k=0

В силу (10) для любого p ∈ l_q \ {0}

max

(p, x) ≤ max (p, x).

∑

x∈BNmin (0)

x∈

Ak1B₁(0)

k=0

Тогда с учетом (4)

(

)

(

{ (

)}

)

∑

cone π

x⁰

\ {0}

⊂N

Ak1B₁(0)

-ANmin1

-ANmin1x⁰,

k=0

⎛

⎞

ψ(N_min) =^⎝0, . . . , 0, -sign(x⁰¹)|x⁰¹|r-1, -sign(x⁰²)|x⁰²|r-1, . . .⎠ .

N_min

cисте-

имеют вид:

⎛

⎞

ψ(k + 1) = π(-Ak+11x⁰) = ⎝0, . . . , 0, -sign(x⁰¹)|x⁰¹|r-1, -sign(x⁰²)|x⁰²|r-1, . . .⎠ ,

k+1

u^∗(k) = arg max

(ψ(k + 1), u) = -

Ak+11x⁰,

u∈B₁(0)

N_min

N_min - k

x^∗(k) =

Ak1x⁰, k = 0,N_min - 1,

N_min

x^∗(N_min) = 0.

Задача быстродействия решена.

Пример 3. В рамках примера 2 рассмотрим случай ∥x⁰∥ > 0. Обозначим

через f : l_r → N отображение

f (x) = min{n ∈ N: ∥x∥ ≤ n}.

Тогда аналогично примеру 2 из (10) следует, что

⎧

⎪

f (x⁰)-2∑

⎨

Ak1B₁(0),

∥x⁰∥ > 1,

-Af(x0)-11x⁰ ∈

⎪

k=0

⎩

{0},

∥x⁰∥ ≤ 1,

(

)

f (x⁰)-1∑

-Af(x0)1x⁰ = -f(x⁰) · Af(x0)x0

∈ f(x⁰) · Af(x0)B₁(0) ⊂

Ak1B₁(0),

f (x⁰)

k=0

откуда

(

)

(

)

0∈Y

x⁰,f(x⁰)

x⁰,f(x⁰) - 1

что в силу (3) эквивалентно выражению

N_min = f(x⁰),

причем если ∥x⁰∥ ∈ N, то

(

)

0 ∈ int Y

x⁰,f(x⁰)

Вычислим согласно (9) величину α. Из (10) следует, что включение

∑

Ak1B_α(0) ⊂ B_N

-ANmin1x⁰ ∈ ∂

min·α(0)

k=0

будет выполнено только в том случае, когда



min



N_min · α =

-A^N

x⁰ = ∥x0∥,

∥x⁰∥

α=

N_min

f (x⁰)

Тогда для построения оптимального процесса системы (A₁, U) можно вос-

пользоваться теоремой 2.

Пример 4. В рамках предположений примера 2 рассмотрим систему

управления (A₂, U), где оператор A₂ : l_r → l_r взят из примера 1. Поскольку

справедливо равенство

A₂U = U,

то в силу леммы 1 для каждого N ∈ N

Y(x⁰, N) = B_N (A^N x⁰).

Рассмотрим случай, когда 0 ∈ ∂BNmin (ANmin2 x⁰), что эквивалентно условию



min



A^N

x⁰

=N_min.

l₂

Тогда согласно (4)

(

))

{

(

)}

0, Y

x⁰,N_min

= cone

-ANminx⁰

\ {0},

откуда в соответствии с теоремой 2

(

)

ψ(N_min) = π

-ANminx⁰

(

)

(

)



)



= -sign

x0N

^x0N

r-1 ,-sign⁽x0N

^x0N

r-1 ,

min+1

min+2

cисте-

имеют вид:

ψ(k + 1) = (A∗2)Nmin-k-1ψ(N_min) =

⎛

⎞

(

)



)



⎜

⎝ 0, . . . , 0 , -sign

x0N

^x0N

r-1 ,-sign⁽x0N

^x0N

r-1 ,...^⎠

min+1

min+2

N_min-k-1

⎛

⎞

⎜

⎟

u^∗(k) = arg max

(ψ(k + 1), u) =

⎝ 0, . . . , 0

,-x0N

,...⎠,

min+1

min

u∈B₁(0)

N_min

N_min-k-1

(

)

N_min - k

x^∗(k) = x0k+1,... ,x0N

·x0N

,...

min

min+1

min

N_min

k = 0,N_min - 1,

x^∗(N_min) = 0.

Задача быстродействия решена.

Замечание 5. Оптимальное управление на k-м шаге в примере 4 не ока-

зывает влияния на первые N_min - k - 1 координат вектора состояния, что

обусловлено свойствами оператора A₂. Более того, оптимальное управление

для двух начальных состояний x⁰¹, x⁰² ∈ l_r, отличающихся только первы-

ми N_min координатами, будет одинаково. Данный факт следует из того, что

для всех N ∈ N верно равенство

Y(x¹, N) = Y(x², N),

где x¹, x² ∈ l_r такие, что x1i = x2i для всех натуральных i > N.

Пример 5. Рассмотрим процедуру построения ψ(N_min) в случае, когда

множество U не является шаром. В рамках данного примера предположим,

что пространство L — гильбертово. Согласно теореме Рисса каждый функ-

ционал p ∈ L^∗ однозначно определяется вектором p ∈ L посредством скаляр-

ного произведения:

∑

( p, x) =

p_ix_i.

i=1

В дальнейшем будем отождествлять функционал p ∈ L^∗ и вектор p ∈ L, его

порождающий. Также будем полагать, что оператор, сопряженный к линей-

ному и ограниченному оператору A: L → L, действует на пространстве L:

A^∗ : L → L.

Пусть U = {u ∈ L: (x, Hx) ≤ 1}, где H : L → L — положительно опреде-

ленный самосопряженный линейный и ограниченный оператор.

Как продемонстрировано в [16], справедливо включение U ∈ U₁ ⊂ U₂, т.е.

для построения нормального конуса N(u, U) в некоторой u ∈ ∂U достаточно

найти единственный элемент p ∈ N(u, U):

N(u, U) = cone {p} \ {0}.

Поскольку (x, Hy) является скалярным произведением относительно

x,y ∈ L [22], то в силу неравенства Коши—Буняковского для любого ũ ∈ U

верно неравенство

√

(ũ, Hu) ≤

(ũ,Hũ)(u,Hu) ≤ 1,

(u, Hu) = 1.

Тогда

u = arg max(Hu, ũ),

ũ∈U

⎧

⎨Hu∈N(u,U),

(11)

H-1p

⎩ρ_U(p) = arg max(p, ũ) =

√

ũ∈U

p,H-1p

Пусть для x₀ ∈ L и системы (A, U) выполнено включение

0 ∈ ∂Y(x₀,N_min), N_min ∈ N.

Тогда ψ(N_min) в силу теоремы 2 можно определить из условия

(

)

∑

ψ(N_min) ∈ N(0, Y(x₀, N_min)) = N

-ANminx₀,

A^kU

k=0

∑

-ANminx₀ = arg

max

(ψ(N_min), x) =

arg max(ψ(Nmin), Akx) =

∑

x∈U

x∈

A^kU

k=0

∑

arg max((A∗)kψ(Nmin), x).

x∈U

k=0

Учитывая (11), получим условие

∑

H-1(A^∗)^kψ(N_min)

-ANminx₀ =

√

((A^∗)^kψ(N_min), H-1(A^∗)^kψ(N_min))

k=0

из которого можно определить ψ(N_min).

6. Заключение

В статье рассмотрен подход к решению задачи быстродействия для линей-

ных дискретных систем с бесконечномерным вектором состояния на основе

множеств достижимости.

Доказательство теоремы 2 во многом базируется на леммах 5 и 6, опре-

деляющих структуру нормального конуса при линейных преобразованиях и

сложении множеств по Минковскому. С помощью леммы 3 в случае гра-

ничной точки удается обосновать единственность оптимального управле-

ния, определяемого посредством элемента нормального конуса, а лемма 7

гарантирует невырожденность траектории сопряженной системы, что поз-

воляет обобщить дискретный принцип максимума на случай необратимого

оператора.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство леммы 1. По определению множества достижимо-

сти условие y ∈ Y(x₀, N) эквивалентно существованию u(0), . . . , u(N - 1) ∈ U

таких, что

y = x(N) = Ax(N - 1) + u(N - 1) =

... = A^Nx₀ + AN-1u(0) + ... + Au(N - 2) + u(N - 1),

откуда согласно определению алгебраической суммы множеств следует утвер-

ждение леммы 1.

Доказательство леммы 2. Если N =^Ń, то утверждение леммы 2

тривиально. Пусть N >Ń. В силу леммы 1 и включения 0 ∈ U справедливы

соотношения

Ń-1

∑

0 = 0 + A0 + ...AN- Ń-10 ∈

A^kU.

k=0

Тогда

Ń-1

∑

0 = AN- Ń0 + 0 ∈ AN- ŃY(x₀,N˜) +

A^kU =

k=0

Ń-1

Ń-1+N-N˜∑

∑

=AŃ+N-Ńx₀ +

A^kU +

A^kU = Y(x₀,N).

k=N-

k=0

Лемма 2 доказана.

Доказательство леммы 3. Если хотя бы одна из точек u¹,u²

явля-

ется внутренней по отношению к U, то утверждение леммы 3 следует непо-

средственно из определения нормального конуса.

Рассмотрим случай u¹, u² ∈ ∂U. Предположим, что существует

p ∈ N(u¹,U) ∩ N(u²,U).

Тогда

(

)

(

)

(

)

u¹ +

u²

p, u¹

p, u²

max(p, u) +

max(p, u) = max (p, u) .

u∈U

По определению нормального конуса p ∈ N(¹² u¹ +¹² u², U). Но в силу строгой

выпуклости U

u¹ +

u² ∈ int U,

(

)

u¹ +

u²,U

= ∅.

Получаем противоречие. Лемма 3 доказана.

Доказательство леммы 4. Если KerA^∗ = {0}, то утверждение лем-

мы 4 выполнено автоматически. Рассмотрим случай, когда существует

p ∈ (KerA^∗ \ {0}). Тогда для произвольной x ∈ X справедливы соотношения

max(p, y) = max(p, Ax) = max(A∗p, x) = 0 = (A∗p, x) = (p, Ax),

y∈AX

x∈X

откуда согласно определению нормального конуса p ∈ N(Ax, AX). Лемма 4

доказана.

Доказательство леммы

5. В случае N(Ax, AX) = ∅ утверждение

леммы 5 очевидно.

Рассмотрим случай, когда существует p ∈ N(Ax, AX). Тогда справедлива

цепочка равенств

(Π.1)

(A^∗p, x) = (p, Ax) = max(p, y) = max(p, Ax) = max(A∗

p, x).

y∈AX

x∈X

В случае когда x ∈ int X, N(x, X) = ∅, соотношения (Π.1) возможны тогда

и только тогда, когда A^∗p = 0. Отсюда

p ∈ KerA^∗ \ {0},

N(Ax, AX) ⊂ Ker A^∗ \ {0}.

С учетом леммы 4

N(Ax, AX) = Ker A^∗ \ {0}.

Если x ∈ ∂X, то соотношения (Π.1) возможны тогда и только тогда, когда

A^∗p = 0 или A^∗p ∈ N(x,X). Отсюда

p ∈ (A^∗)-1(N(x,X)) ∪ (KerA^∗ \ {0}),

N(Ax, AX) ⊂ (A^∗)-1(N(x, X)) ∪ (Ker A^∗ \ {0}).

Если (A^∗)-1(N(x, X)) = ∅, то в силу леммы 4 утверждение леммы 5 доказано.

Рассмотрим случай, когда существует p ∈ (A^∗)-1(N(x, X)). Тогда A^∗p ∈

∈ N(x,X),

(p, Ax) = (A^∗p, x) = max(A∗p, x) = max(p, Ax) = max(p, y),

x∈X

y∈AX

p ∈ N(Ax,AX),

(A^∗)-1(N(x, X)) ⊂ N(Ax, AX).

С учетом леммы 4 утверждение леммы 5 полностью доказано.

Доказательство леммы

6. Предположим, что существует p ∈

∈ N(x¹ + x²,X₁ + X₂). Тогда

(p, x¹) + (p, x²) = (p, x¹ + x²) =

= max (p,y) = max(p, x1 + x2) = max (p, x1) + max (p, x2),

y∈X₁+X₂

x¹∈X₁

x²∈X₂

откуда следует, что

(p, x¹) = max (p, x¹),

x¹∈X₁

(p, x²) = max (p, x²),

x²∈X₂

p ∈ N(x¹,X₁) ∩ N(x²,X₂),

(Π.2)

N(x¹ + x², X₁ + X₂) ⊂ N(x¹, X₁) ∩ N(x², X₂

В случае если N(x¹ + x², X₁ + X₂) = ∅, то включение (Π.2) выполнено три-

виальным образом.

Предположим теперь, что существует p ∈ N(x¹, X₁) ∩ N(x², X₂). Тогда

(p, x¹ + x²) = (p, x¹) + (p, x²) =

= max

(p, x¹) + max (p, x²) = max

(p, x¹ + x²) = max (p, y),

x¹∈X₁

x²∈X₂

x¹∈X₁

y∈X₁+X₂

x²∈X₂

откуда следует, что

p ∈ N(x¹ + x²,X₁ + X₂),

(Π.3)

N(x¹, X₁) ∩ N(x², X₂) ⊂ N(x¹ + x², X₁ + X₂

В случае если N(x¹, X₁) ∩ N(x², X₂) = ∅, то включение (Π.3) выполнено

тривиальным образом.

Из (Π.2) и (Π.3) следует утверждение леммы 6.

Доказательство следствия 2. Следствие вытекает из лемм 6 и 3.

Лемма П.1. Пусть X ∈ U₃, 0 ∈ int X, x ∈ ∂X.

Тогда для любого p ∈ N(x, X) верно неравенство

(p, x) > 0.

Доказательство леммы П.1. Поскольку p ∈ N(x,X), то p = 0. Тогда

существует y ∈ L \ {0} такой, что (p, y) = 0.

Так как 0 ∈ int X, то существует ε > 0, удовлетворяющий условию B_ε(0) ⊂

⊂ X. Тогда

ε · sign ((p,y))

y·

∈ B_ε(0) ⊂ X,

∥y∥

(

)

ε · sign ((p,y))

(p, x) = max(p, x) ≥ p, y ·

|(p, y)| > 0.

x∈X

∥y∥

Лемма П.1 доказана.

Доказательство леммы 7. В случае N_min = 0 утверждение леммы 7

тривиально. Рассмотрим случай N_min ∈ N.

В силу леммы 1 верно равенство

(

)

∑

N(0, Y(x₀, N_min)) = N

-ANminx₀,

A^kU

k=0

∑

Так как

A^kU ∈ U₃, 0 ∈ int U ⊂

A^kU, то в силу леммы П.1 для

k=0

каждого p ∈ N(0, Y(x₀, N_min)) справедливы соотношения

(

)

(

)

(A^∗)Nmin p, -x₀

p,-ANmin x₀

> 0.

Тогда по определению

p ∈ Ker(A^∗)Nmin.

Лемма 7 доказана.

Доказательство теоремы 1. Предположим обратное: процесс управ-

оптимален в задаче быстродействия для систе-

мы (1), но при этом ψNmin ∈ Ker (A^∗)Nmin-¹. Тогда для всех k = 0, N_min - 1

A^kψ_N

= 0,

min

(A^∗)^kψ_N

∈ N(u^′(N_min - k - 1),U),

min

(

)-1 (

)

ψNmin ∈ (A^∗)^k

N(u^′(N_min - k - 1), U)

В силу леммы 5

(

)

ψNmin ∈ N A^ku^′(N_min - k - 1),A^kU

Тогда согласно лемме 6

(_N

)

∑

ψNmin ∈ N

A^ku^′(N_min - k - 1),

A^kU

k=0

откуда в соответствии с леммой 1

(

)

∑

ψNmin ∈ N ANmin x₀ +

A^ku^′(N_min - k - 1),Y(x₀,N_min)

k=0

Поскольку 0 ∈ int Y(x₀, N_min), то

N(0, Y(x₀, N_min)) = ∅,

∑

0=ANminx₀ +

A^ku^′(N_min - k - 1) = x^′(N_min).

k=0

не является оптималь-

ным в задаче быстродействия. Получаем противоречие. Теорема 1 доказана.

Доказательство леммы 8. В силу (6) и определения функционала

Минковского верно, что α < 1. Так как 0 ∈ A^kU, k = 0, N_min - 1, то

∑

αA^kU ⊂

A^kU.

k=0

i. Тогда согласно лемме 1

Y_α(x₀,N) ⊂ Y(x₀,N), N ∈ N ∪ {0}.

ii. По определению функционала Минковского

(

)

(

)

∑

-ANminx₀ ∈ ∂

α(Y(x₀, N_min) - ANmin x₀)

=∂

αA^kU

k=0

(_N

)

∑

0∈∂

αA^kU + A^N

^minx₀

= ∂Y_α(x₀,N_min).

k=0

Лемма 8 доказана.

Доказательство теоремы 2. Поскольку согласно включению αU⊂

⊂ U управление, допустимое для системы (A,αU), является также допусти-

мым и для (A, U), то с учетом леммы 8 достаточно доказать утверждения i-iii

теоремы 2 только для случая (5).

согласно рекуррентным соотноше-

ниям:

y^∗(N_min) = 0,

{

y^∗(k) ∈ Y(x₀,k),

Ay^∗(k) = y^∗(k + 1) - u^∗(k), k = 0, N_min - 1.

Тогда в соответствии с предположениями:

y^∗(N_min) ∈ ∂Y(x₀,N_min),

ψ(N_min) ∈ N(y^∗(N_min), Y(x₀, N_min)).

Предположим, что для некоторого k = 0, N_min - 1 выполнены условия:

y^∗(k + 1) ∈ ∂Y(x₀,k + 1),

ψ(k + 1) ∈ N(y^∗(k + 1), Y(x₀, k + 1)).

В силу следствия 1 справедливо представление

Y(x₀, k + 1) = AY(x₀, k) + U.

Как продемонстрировано в [17], класс U₃ замкнут относительно сложения

по Минковскому и линейных преобразований, откуда AY(x₀, k) ∈ U₃, U ∈ U₂,

и согласно следствию 2 существует единственное разложение вида

(Π.4)

y^∗(k + 1) = z(k) + u^∗,

где z(k) ∈ ∂AY(x₀, k), u^∗ ∈ ∂U. В соответствии с леммой 6

N(y^∗(k + 1), Y(x₀, k + 1)) = N(z(k), AY(x₀, k)) ∩ N(u^∗, U).

Тогда в силу леммы 3 вектор u^∗ однозначно опреляется соотношением

u^∗ = arg max(ψ(k + 1),u) = u^∗(k).

u∈U

Поскольку z(k) ∈ ∂AY(x₀, k), то существует y^∗(k) ∈ Y(x₀, k) такой, что

z(k) = Ay^∗(k).

Согласно лемме 5

ψ(k + 1) ∈ (A^∗)-1(N(y^∗(k), Y(x₀, k))) ∪ (Ker A^∗ \ {0}),

но поскольку в силу леммы 7

ψ(k + 1) = (A^∗)Nmin-k-1ψ(N_min) ∈ Ker A^∗,

то

ψ(k + 1) ∈ (A^∗)-1(N(y^∗(k), Y(x₀, k))).

Тогда

ψ(k) = A^∗ψ(k + 1) = 0,

(Π.5)

ψ(k) ∈ N(y^∗(k), Y(x₀

,k)).

Поскольку N(y^∗(k), Y(x₀, k)) = ∅, то

(Π.6)

y^∗(k) ∈ ∂Y(x₀

,k).

Согласно методу математической индукции для всех k = 0, N_min верно

(Π.5) и (Π.6), причем в случае k = 0

y^∗(0) ∈ Y(x₀,0) = {x₀}.

Также по построению верно равенство

y^∗(k + 1) = Ay^∗(k) + u^∗(k), k = 0,N_min - 1.

Тогда для всех k = 0, N_min

x^∗(k) = y^∗(k).

— оп-

тимальный процесс системы (1) в задаче быстродействия. Единственность

следует из разложения (Π.4) и следствия 2.

ii. В силу (Π.6) верно включение

x^∗(k) ∈ ∂Y(x₀,k), k = 0,N_min.

iii. Согласно (Π.5) справедливо

ψ(k) ∈ N(x^∗(k), Y(x₀, k)), k = 0, N_min.

Теорема 2 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Б.Ф. Матема-

тическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука,

1969.

Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИИЛ, 1960.

Сиротин А.Н., Формальский А.М. Достижимость и управляемость дискрет-

ных систем при ограниченных по величине и импульсу управляющих воздейст-

виях // АиТ. 2003. № 12. С. 17-32.

Sirotin A.N., Formal’skii A.M. Reachability and Controllability of Discrete-Time

Systems under Control Actions Bounded in Magnitude and Norm // Autom. Remote

Control. 2003. V. 64. No. 12. P. 1844-1857.

Fisher M.E., Gayek J.E. Estimating Reachable Sets for Two-Dimensional Linear

Discrete Systems // J. Optim. Theory Appl. 1988. V. 56. No. 1. P. 67-88.

Костоусова Е.К. О внешнем полиэдральном оценивании множеств достижимо-

сти в “расширенном” пространстве для линейных многошаговых систем с инте-

гральными ограничениями на управление // Вычислит. технологии. 2004. Т. 9.

№ 4. С. 54-72.

Аграчев А.А., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М.: Наука, 2005.

Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их приложения в

системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

10.

Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука,

1973.

11.

Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука,

1973.

12.

Holtzman J.M., Halkin H. Directional Convexity and the Maximum Principle for

Discrete Systems // J. SIAM Control. 1966. V. 4. No. 2. P. 263-275.

13.

Desoer C.A., Wing J. The Minimal Time Regulator Problem for Linear Sampled-

Data Systems: General Theory // J. Franklin Inst. 1961. V. 272. No. 3. P. 208-228.

14.

Lin W.-S. Time-Optimal Control Strategy for Saturating Linear Discrete Systems //

Int. J. Control. 1986. V. 43. No. 5. P. 1343-1351.

15.

Мороз А.И. Синтез оптимального по быстродействию управления для линейного

дискретного объекта третьего порядка // АиТ. 1965. № 2. С. 193-207.

Moroz A.I. Synthesis of Time-Optimal Control for Linear Discrete Objects of the

Third Order // Autom. Remote Control. 1965. V. 25. No. 9. P. 193-206.

16.

Ибрагимов Д.Н., Сиротин А.Н. О задаче быстродействия для класса линейных

автономных бесконечномерных систем с дискретным временем и ограниченным

управлением // АиТ. 2017. № 10. C. 3-32.

Ibragimov D.N., Sirotin A.N. On the Problem of Operation Speed for the Class of

Linear Infinite-Dimensional Discrete-Time Systems with Bounded Control // Autom.

Remote Control. 2017. V. 78. No. 10. P. 1731-1756.

17.

Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

18.

Берже М. Геометрия. Т. 2. М.: Мир, 1984.

19.

Ибрагимов Д.Н., Сиротин А.Н. О задаче оптимального быстродействия для ли-

нейной дискретной системы с ограниченным скалярным управлением на основе

множеств 0-управляемости // АиТ. 2015. № 9. С. 3-30.

Ibragimov D.N., Sirotin A.N. On the Problem of Optimal Speed for the Discrete

Linear System with Bounded Scalar Control on the Basis of 0-controllability Sets //

Autom. Remote Control. 2015. V. 76. No. 9. P. 1517-1540.

20. Ибрагимов Д.Н. Оптимальное по быстродействию управление движением

аэростата

// Электрон. журн. Тр. МАИ.

2015.

№ 83. Доступ в журн.

http://trudymai.ru/published.php

21. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального

анализа. М.: Физматлит, 2012.

22. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. 2. Спектральная теория.

Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1966.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Е.Я. Рубиновичем.

Поступила в редакцию 14.05.2018

После доработки 16.09.2018

Принята к публикации 08.11.2018