Автоматика и телемеханика, № 3, 2019

(Государственный морской технический университет, Санкт-Петербург),

Б.П. ЛЯМПЕ , д-р инженерии,

В. ДРЕВЕЛОВ, д-р инженерии (wolfgang.drewelow@uni-rostok.de),

Т. ЯЙНШ, д-р инженерии (torsten.jeinsch@uni-rostok.de)

(Университет Росток, ФРГ)

СТАНДАРТИЗИРУЕМОСТЬ И H₂-ОПТИМИЗАЦИЯ ИМПУЛЬСНЫХ

СИСТЕМ С МНОЖЕСТВЕННЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

Введено понятие обобщенной стандартной импульсной системы с за-

паздыванием S_g и рассмотрен класс многомерных импульсных систем,

эквивалентных некоторой системе S_g. Такие системы названы стандарти-

зируемыми. Установлены необходимые и достаточные условия стандарти-

зируемости. Приводится решение задачи H₂-оптимизации для системы S_g

и стандартизируемых систем, основанное на методе Винера-Хопфа. Уста-

новлено, что решение задачи H₂-оптимизации для стандартизируемой си-

стемы с многими запаздываниями сводится к решению аналогичной за-

дачи для стандартной системы с одним запаздыванием, что существенно

упрощает соответствующие вычисления процедуры и качественный ана-

лиз H₂-оптимальной системы.

Ключевые слова: импульсная система, система с запаздыванием, парамет-

рическая передаточная функция, стандартизируемость, H₂-оптимизация.

DOI: 10.1134/S0005231019030024

1. Введение

Учет запаздывания играет важную роль при решении задач анализа и син-

теза импульсных (SD) систем [1-3]. В частности, для многочисленных при-

ложений важное значание имеет проблема H₂-оптимизации SD систем при

наличии запаздываний в различных частях контура управления.

Решению проблемы H₂-оптимизации систем без запаздывания посвящен

ряд исследований [4-12]. Различные подходы к изучению SD систем с запаз-

дыванием, в том числе проблеме H₂-оптимизации, можно найти в [13-20] и в

цитированных публикациях.

В качестве альтернативы к перечисленным подходам может рассмат-

риваться частотный метод, основанный на концепции параметрической

функции (ППФ) и параметрической передаточной матрицы (ППМ) [21-26].

В [21, 22, 24] показано, что метод ППФ является эффективным средством

для анализа и синтеза одномерных импульсных систем с запаздыванием.

В [25] дано описание метода ППМ для многомерных систем без запаздыва-

ния, а в [26] этот метод распространен на многомерные импульсные системы с

запаздыванием. В качестве предмета исследования в [26] рассматривалась си-

стема дифференциально-разностных уравнений S_τ , названная стандартной.

Ограничительным свойством стандартной системы S_τ является предположе-

ние о том, что все компоненты наблюдаемого вектора имеют одинаковые сме-

щения во времени по отношению к вектору состояния непрерывного объекта

и вектору управления. Между тем практические исследования показывают,

что во многих случаях математическое описание реальных импульсных си-

стем приводит к более общим моделям, в которых компоненты наблюдаемого

выхода имеют различные временные сдвиги.

В настоящей статье метод ППМ распространяется на модели такого типа.

Соответствующая система дифференциально-разностных уравнений названа

обобщенной стандартной системой S_g.

Введен в рассмотрение общий класс многомерных SD систем с запаздыва-

нием, которые эквивалентны некоторой системе S_g. Такие системы названы

в статье стандартизируемыми. Приведены необходимые и достаточные усло-

вия, при которых SD система является стандартизируемой. Помимо сказан-

ного, в статье рассмотрены задачи H₂-оптимизации системы S_g и стандарти-

зируемых систем. При этом доказан важный для приложений факт, что реше-

ние задачи H₂-оптимизации системы S_g и произвольной стандартизируемой

системы сводится к решению аналогичной задачи для некоторой стандартной

систем

S_τ с одним запаздыванием, равным запаздыванию управляющего

сигнала на входе непрерывного объекта, что может быть выполнено с помо-

щью метода, описанного в [26]. При этом существенно, что на систему S_g и

произвольную стандартизируемую систему распространяются все качествен-

ные особенности H₂-оптимальной системы S_τ , установленные в [26]. В част-

ности это относится к факту существования у H₂-оптимальной системы мно-

жества фиксированных полюсов, которые определяются только структурой

непрерывной части S_d системы и полюсами входящих в нее элементов.

2. Обобщенная стандартная модель импульсной системы

с множественными запаздываниями

Пусть управляемый непрерывный объект описывается уравнениями состоя-

ния:

dv(t)

= Av(t) + B₁x(t - τ₁) + Bu(t - τ₂),

(2.1)

y(t) = Cv(t),

где y(t) — вектор управляемого выхода n × 1, v(t) — вектор состояния объ-

екта χ × 1, x(t) — вектор входа ℓ × 1, u(t) — вектор управления m × 1 и

A, B, B₁, C — постоянные матрицы соответствующих размеров. Предпола-

гается, что пара A, B — полностью управляема, а пара A, C — полностью

наблюдаема. Кроме того в (2.1) τ₁ и τ₂ — неотрицательные постоянные, ха-

рактеризующие чистое запаздывание входа и управления.

Предполагается, что объект (2.1) управляется импульсным регулято-

ром (ИР), который функционирует с периодом квантования T > 0 и описы-

вается системой уравнений

(2.2)

ξ_k

= y(kT), k = 0,±1,... ,

(2.3)

α(ζ)ψ_k = β(ζ)ξ_k,

(2.4)

u(t) = h(t - kT )ψ_k

kT < t < (k + 1)T.

Соотношение (2.2) — это уравнение аналого-цифрового преобразователя

(АЦП). Соотношение (2.3) — уравнение программы управления. В этом урав-

нении ψ_k, k = 0, ±1, . . ., — элементы векторной последовательности разме-

ра q × 1 и α(ζ), β(ζ) — полиномиальные матрицы размеров q × q и q × n

соответственно:

α(ζ) = α₀ + α₁ζ + . . . + α_ρζ^ρ,

(2.5)

β(ζ) = β₀ + β₁ζ + . . . + β_ρζ^ρ.

Здесь α_i, β_i — постоянные матрицы размеров q × q и q × n, а ζ — оператор

обратного сдвига [3], действующий по правилу

(2.6)

ζψ_k =ψk-1, ζξ_k =ξk-1,

и п редполагается, что выполнено условие каузальности

(2.7)

det α₀

= 0.

Далее пару матриц (2.5) будем называть дискретным регулятором.

Помимо сказанного, предполагается, что если s₁, . . . , s_λ — последователь-

ность всех различных собственных чисел матрицы A, то выполнены условия

непатологичности периода квантования [3, 9]

(2.8)

esiT = eskT

i = k, i,k = 1,...,λ.

Формула (2.4) — это уравнение преобразователя цифра-аналог (ЦАП).

В этом уравнении h(t) — матрица размеров m × q, элементы которой име-

ют ограниченную вариацию на интервале 0 ≤ t ≤ T .

В качестве наблюдаемого выхода изучаемой системы рассматривается век-

тор r × 1

[

]

(2.9)

z′(t) =

z′1(t) ... z^′γ(t)

где штрих — оператор транспонирования и z_i(t) — парциальные выходы

r_i × 1, заданные соотношениями

(2.10)

z_i(t) = C_iv(t - τ3i) + D_iu(t - τ₂ - τ3i

i = 1,...,γ,

где C_i, D_i — матрицы размеров r_i × χ и r_i × m и τ3i — постоянные, которые

могут принимать значения произвольного знака.

В совокупности соотношения (2.1)-(2.10) определяют систему дифферен-

циально разностных уравнений, которую при выполнении всех приведенных

предположений будем называть обобщенной стандартной импульсной систе-

мой с множественными запаздываниями. Далее эту систему будем обозначать

через S_g. Частный случай системы S_g, соответствующий значению γ = 1, рас-

сматривался в [26] и назван стандартной системой S_τ .

3. Параметрическая передаточная матрица системы S_g

С помощью преобразований, примененных в [26] применительно к систе-

ме S_τ , при входе x(t) и выходе z(t) (2.9) системе S_g можно сопоставить опе-

раторные уравнения:

z(t) =Kτ (p)x(t) +Lτ (p)u(t),

(3.1)

y(t) = M_τ (p)x(t) + N_τ (p)u(t),

в которых p =^ddt — оператор дифференцирования и соответствующие пе-

редаточные матрицыKτ (p),Lτ (p), M_τ (p), N_τ (p) определяются приведенными

далее формулами. Прежде всего имеем:

[

]

[

]

(3.2)

K′

(p) =

K′1τ (p) ... K^′γτ (p)

L′

(p) =

L′1τ (p) ... L^′γτ (p)

Здесь K_iτ (p) и L_iτ (p) — матрицы размеров r_i × ℓ и r_i × m, которые опреде-

ляются формулами

(3.3)

K_iτ (p) = K_i(p)e-pτKi и L_iτ (p) = L_i(p)e-pτLi ,

где K_i(p) и L_i(p) — рациональные матрицы:

(3.4)

K_i(p) = C_i(pI_χ - A)-1B₁, L_i(p) = C_i(pI_χ - A)-1B + D_i.

Помимо этого, в (3.1)

(3.5)

M_τ (p) = M(p)e-pτM , N_τ (p) = N(p)e-pτN ,

где

(3.6)

M (p) = C(pI_χ - A)-1B₁, N(p) = C(pI_χ - A)-1

Фигурирующие в (3.3) и (3.5) постоянные τKi , τLi , τ_M , τ_N определяются

формулами:

τKi = τ_M + τ3i, τLi = τ_N + τ3i,

(3.7)

τ_M = τ₁, τ_N = τ₂.

По отношению к каждому из парциальных выходов z_i(t) обобщенная стан-

дартная система S_g представляет собой стандартную систему S_τi.

Как следует из [26], каждой системе S_τi можно сопоставить параметри-

ческую передаточную матрицу (ППМ) Wzix(p, t) = Wz_ix(p, t + T ) размеров

r_i × ℓ, которая определяется соотношением

Wzix(p,t) = ϕL_iτ μ(T,p,t)^RN (p)Mτ (p) + Kiτ

(3.8)

(p), i = 1, . . . , γ.

Здесь

∑

2π

ϕL_iτ μ(T, p, t) =

L_iτ (p + kjω)μ(p + kjω)e^kjωt, ω =

k=-∞

∫T

μ(p) = h(t)e^-ptdt,

(3.9)

[

]-1

R_N(p) =Wd(p) I_n -DNμ(T,p,-τ_N )Wd(p)

∑

D_Nμ(T,p,-τ_N) =1

N (p + kjω)μ(p + kjω)e-(p+kjω)τN ,

k=-∞

[

]

W_d(p) =

α-1(ζ)β(ζ)

= W_d(ζ)|ζ=e-pT ,

|ζ=e^-pt

где W_d(ζ) = α-1(ζ)β(ζ) — передаточная матрица дискретного регулятора.

Как показано в [26], ряды, фигурирующие в (3.9), сходятся, и их суммы

могут быть записаны в замкнутой форме.

Далее правую часть (3.8) будем называть стандартной формой ППМ

Wzix(p,t).

Из (2.9) следует, что при входе x(t) и выходе z(t) соответствующая ППМ

W_zx(p,t) системы S_g имеет вид

⎡

⎤

Wz1x(p,t)

(3.10)

W_zx(p,t) =^⎣

⎦_,

Wzγx(p,t)

что с учетом (3.8) приводит к формуле

(3.11)

(p).

W_zz(p,t) = ϕL_τ μ(T,p,t)RN (p)Mτ (p) +^Kτ

Здесь

∑

(3.12)

L_τ (p + kjω)μ(p + kjω)e^kjωt

ϕL_τμ(T,p,t)=

k=-∞

и L_τ(p),Kτ(p) — матрицы (3.2), а M_τ(p) иRN(p) — те же, что в (3.5). Пра-

вую часть формулы (3.11) будем называть стандартной формой ППМ для

импульсной системы с множественными запаздываниями.

4. Постановка и решение проблемы стандартизируемости

Определение 1. Далее импульсную систему произвольной структу-

ры S⁰, состоящую из совокупности линейных стационарных элементов и

импульсного регулятора (2.2)-(2.4), имеющую векторный вход x(t) разме-

ров ℓ × 1 и векторный выход z(t) размеров r × 1, будем называть структур-

но стандартизируемой, если для нее существует ППМ W0¯zx(p,t) r × ℓ от

входа x(t) к выходу z(t), которая имеет стандартную форму (3.11) с мат-

рицами

K_τ (p) и

L_τ (p), имеющими вид (3.2) и матрицами M_τ (p) и N_τ (p)

вида (3.5).

Определение 2. Структурно стандартизируемую систему S⁰ с ППМ

W0¯zx(p,t) будем называть стандартизируемой, если существует обобщен-

ная стандартная система S0g, ППМ которой W_zx(p, t) совпадает с ППМ

W0¯zx(p,t).

Далее обобщенную стандартную систему S0g будем называть порождающей

для стандартизируемой системы S⁰. При этом системы S⁰ и S0g считаются эк-

вивалентными. Установление факта стандартизируемости системы S⁰ имеет

важное практическое значение, так как позволяет перенести на систему S⁰

метод H₂-оптимизации, предложенный в [26] для системы S_τ и обобщенный

на систему S_g в данной статье. Данный раздел посвящен построению необ-

ходимых и достаточных условий стандартизируемости произвольной струк-

турно стандартизируемой системы.

Для произвольной рациональной матрицы W (p) существует единственная

полиномиальная матрица G(p), такая, что справедливо представление

(4.1)

W (p)

C(pI_μ

A)-1B

+ G(p),

где пар

A,B — полностью управляема и пар

C — полностью наблюдаема.

Определение 3. Фигурирующее в (4.1) целое число μ ≥ 1 будем назы-

вать степенью Мак-Миллана матрицы W (p).

Общие свойства степени Мак-Миллана описаны в [25].

При этом для обозначения степени Мак-Милана будем использовать обо-

значение M deg

(4.2)

μ = Mdeg W(p).

Степень Мак-Миллана полиномиальной матрицы будем полагать равной ну-

лю.

Пусть матрица (4.1) является элементом блочной рациональной матрицы

[

]

W₁(p) W₂(p)

(4.3)

^W (p) =

W₃(p) W(p)

Определение 4. Будем говорить, что матрица W(p) доминирует в

матрицеW (p), если выполнено равенство

(4.4)

MdegW

(p) = M deg W (p) = μ.

Необходимые и достаточные условия стандартизируемости импульсной си-

стемы S_g дает теорема 1.

Теорема 1. Пусть импульсная система S⁰ с входом x(t) и выходом z(t)

является структурно стандартизируемой, т.е. имеет ППМ W0¯zx(p, t) ви-

да (3.11) с некоторыми матрицами

L_τ (p) и

K_τ (p) вида (3.2), матрицами

M_τ (p) и N_τ (p) (3.5) и постоянными τ_M , τ_N и τKi, τLi i = 1,... ,γ.

Тогда для того чтобы система S⁰ была стандартизируемой, необходимо

и достаточно выполнения следующих условий:

а) рациональная матрицаK(p),

[

]

(4.5)

K^′(p) =

K′1(p) ... K^′γ(p)

а также рациональные матрицы M(p) и N(p), фигурирующие в (3.5) —

строго правильные;

б) матрицаL(p),

[

]

(4.6)

L^′(p) =

L′1(p) ... L^′γ(p)

— по меньшей мере правильная;

в) матрица N(p) доминирует в матрице

[

]

^K(p)

^L(p)

(4.7)

^W (p) =

M (p) N(p)

т.е. выполнено равенство

(4.8)

MdegW

(p) = M deg N(p);

г) постоянные τ_M , τ_N и τKi , τLi удовлетворяют условиям

(4.9)

τ_N + τKi = τ_M + τLi;

д) для любой пары не равных полюсов n_i, n_k матрицы N(p) справедливо

соотношение вида (2.8)

(4.10)

eniT = enkT .

Доказательства теоремы 1 и последующих утверждений приведены в При-

ложении.

Замечание 1. В дальнейшем изложении стандартизируемую систему S⁰

и порождающую систему S0g будем отождествлять, предполагая, что соответ-

ствующая система соотношений (2.1)-(2.10) дает одно из возможных матема-

тических описаний системы S⁰.

5. H₂-оптимизация системы S_g

Пусть замкнутый контур (2.1)-(2.4) асимптотически устойчив и входной

сигнал x(t) — центрированный векторный белый шум со спектральной плот-

ностью R_x(p) = I_ℓ. Тогда, следуя [25], можно показать, что в системе S_g

устанавливается периодически нестационарный случайный процесс с диспер-

сией

∫

[

]

(5.1)

d_zx(t) =

W′¯zx(-p,t)W_zx(p,t)

dp = d_zx

(t + T ),

2πj

−j∞

где W_zx(p, t) — ППМ (3.10), tr — обозначение следа матрицы и штрих —

оператор транспонирования. При этом число

∫

(5.2)

d_zx =

d_zx(t)dt =

tr B(p)dp,

2πj

-j∞

где

∫

(5.3)

B(p) =

W′¯zx(-p,t)W_zx

(p, t)dt,

определяет среднюю дисперсию установившегося выхода за период кванто-

вания, а число

^√¯_d

(5.4)

||S_g||₂ =

определяет H₂-норму системы S_g.

Используя приведенные сведения, можно сформулировать задачу H₂-оп-

тимизации системы S_g.

Заданы матрицы A, B, B₁, C, матрица h(t), а также матрицы C_i, D_i,

i = 1,...,γ. Кроме того, заданы период квантования T и постоянные τ₁, τ₂

и τ3i, i = 1,... ,γ. Требуется найти передаточную матрицу каузального ста-

билизирующего дискретного регулятора

(5.5)

W_d(ζ) = α-1

(ζ)β(ζ),

при котором величина H₂-нормы минимальна.

На основании изложенного задача H₂-оптимизации системы S_g сводится

к минимизации функционала

⎡

⎤

∫

∫T

(5.6)

||S_g||²² =

tr⎣1

W′¯zx(-p,t)W_zx(p,t)dt⎦

2πj

−j∞

на множестве передаточных матриц W_d(ζ) каузальных стабилизирующих ре-

гуляторов.

Как следует из соотношений, приведенных в разделе 3, ППМ W_zx(p, t)

зависит от всех величин τ₁, τ₂ и τ3i, i = 1, . . . , γ. При этом естественным яв-

ляется предположение о том, что правая часть (5.6) зависит от всех пере-

численных параметров. Однако детальные вычисления показывают, что ве-

личина ||S_g||²² не зависит от τ₁ и τ3i, i = 1, . . . , γ. Этот факт вытекает из

формулируемой ниже теоремы 2.

Теорема 2. Обозначим чере

S_τ расширенную стандартную систему,

уравнения которой получаются из уравнений системы S_g при τ₁ = 0, τ3i = 0,

i = 1,...,γ. В этом случае уравнения замкнутого контура имеют вид

dv(t)

= Av(t) + B₁x(t) + Bu(t - τ₂),

y(t) = Cv(t),

(5.7)

ξ_k = y(kT), k = 0,±1,... ,

α(ζ)ψ_k = β(ζ)ξ_k,

u(t) = h(t - kT )ψ_k, kT < t < (k + 1)T,

а уравнение выхода записывается в форме

(5.8)

z(t)

Cv(t) +Du(t - τ₂

где

[

]

[

]

(5.9)

C^′ =

C′1

... C^′γ

D^′ =

D′1

... D^′γ

При этом имеет место равенство

(5.10)

||S_g||²² = |

S_τ ||²².

На основании теоремы 2 можно существенно упростить процедуру H₂-оп-

тимизации системы S_g и свести ее к задаче H₂-оптимизации расширенной

систем

S_τ , что может быть выполнено на основе результатов [26]. Соответ-

ствующий результат дает теорема 3.

Теорема 3. H₂-оптимальная передаточная матрица каузального дис-

кретного регулятора

(5.11)

W0d(ζ) = α-10(ζ)β₀

(ζ),

обеспечивающая минимум функционала (5.6) для системы S_g, совпадает с

H₂-оптимальной матрицей

(ζ), обеспечивающей минимум аналогичного

функционала для систем

S_τ (5.7), (5.8).

Определение 5. Будем говорить, что две импульсные системы, име-

ющие входы и выходы одинаковых размеров и импульсный регулятор

(2.2)-(2.4), H₂-эквивалентны, если для них передаточные матрицы H₂-оп-

тимальных регуляторов совпадают.

Замечание 2. С точки зрения определения 1, теорема 3 констатирует,

что обобщенная стандартная система S_g и расширенная стандартная систе-

S_τ H₂-эквивалентны.

Это означает, что для построения оптимальной матрицы (5.11) для систе-

мы S_g достаточно решить аналогичную задачу для систем

S_τ (5.7), (5.8).

Существенно, что при этом на систему S_g переносятся все качественные осо-

бенности H₂-оптимальной системы

S_τ , установленные в [26]. В частности,

это относится к факту существования множества фиксированных полюсов у

H₂-оптимальной системы. Для рассматриваемой систем

S_τ это сводится к

следующему [26].

Пусть для матрицы N(p) имеются левое и правое MFD (matrix fraction

description, left MFD и right MFD — LMFD и RMFD соответственно) [27, 28]

(5.12)

N (p) = a-1ℓN(p)b_ℓN (p) = b_rN (p)a-1rN

(p),

где

(5.13)

deg det a_ℓN (p) = deg det a_rN

(p) = κ.

Пусть одновременно имеем

(5.14)

Mdeg M(p) = κ_M , Mdeg^L(p) = κ¯_L.

Из (3.4) и (3.6) следует, что

(5.15)

κ_M ≤ κ, κL

≤ κ.

Из (5.14) следует существование MFD:

M (p) = a-1M(p)b_M (p), deg det a_M (p) = κ_M ,

(5.16)

^L(p) = b¯_L(p)a

(p), deg det aL(p) = κL.

При этом, как показано в [25], справедливы равенства

(5.17)

a_ℓN(p) = δ_M (p)a_M (p), a_rN(p) = aL(p)δL

(p),

где δ_M (p) и δL(p) — квадратные полиномиальные матрицы, причем

(5.18)

deg det δ_M (p) = κ - κ_M , deg det δL(p) = κ - κL.

В случае когда полином

(5.19)

δ(p) = det δ_M (p) det δL

(p)

не сводится к постоянной, что обычно имеет место в практических задачах,

его корни p₁, . . . , p_λ будем называть фиксирующими полюсами. В случае ко-

гда

(5.20)

Rep_i

= 0, i = 1, . . . , λ,

оптимальная матрица (5.11) может быть построена с помощью метода

Винера-Хопфа [26]. При этом при Re p_i < 0 число ζ_i = e-piT является корнем

характеристического уравнения замкнутой H₂-оптимальной системы, а при

Rep_i > 0 аналогичным свойством обладает число ζ_i = epiT . Соответствующие

числа ζ_i принято называть фиксированными полюсами H₂-оптимальной си-

стемы.

Случай, когда среди чисел p_i имеются числа, лежащие на мнимой оси,

является критическим. В этом случае существуют две возможности [29]:

а) H₂-оптимальная система находится на границе области устойчивости;

б) H₂-норма не имеет минимума на множестве каузальных стабилизирую-

щих дискретных регуляторов.

6. H₂-оптимизация стандартизируемых импульсных систем

Как следует из (5.13)-(5.17), ППМ стандартизируемой системы S⁰ зависит

от 2(γ +1) параметров τ_M , τ_N и τ_Li, τ_Ki, i = 1, . . . , γ. Следующее утверждение

устанавливает, что стандартизируемая система S⁰ H₂-эквивалентна системе

с ППМ, зависящей только от параметра τ_N .

Теорема 4. Стандартизируемая импульсная система S⁰, ППМ кото-

рой зависит от 2(γ+1) параметров, H₂-эквивалентна системе S⁰¹, ППМ ко-

торой получается из ППМ системы S⁰ при выполнении равенств:

τ_M = 0,

(6.1)

τ_Ki = 0, i = 1,... ,γ,

τ_Li = τ_N, i = 1,... ,γ.

7. Заключение

В статье предложен метод H₂-оптимизации многомерных импульсных си-

стем с несколькими запаздываниями, основанный на переходе к эквивалент-

ной системе с одним запаздыванием. Дано основанное на понятии парамет-

рической передаточной матрицы описание класса импульсных систем, для

которых такой переход возможен.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. Необходимость. Покажем, что условия

теоремы 1 выполняются для системы S_g. Прежде всего из (3.4) и (3.6) вытека-

ет выполнение условий а и б. Покажем далее, что для системы S_g выполнено

условие в (равенство (4.8)). Для этого отметим, что справедливы равенства

⎡

⎤

C₁(pI_χ - A)-1B + D₁

(Π.1)

^L(p) = ⎣

⎦₌

C(pI_χ - A)-1B +D,

C_γ(pI_χ - A)-1B + D_γ

где

[

]

[

]

(Π.2)

C^′ =

C′1

... C^′γ

D^′ =

D′1

... D^′γ

Кроме того,

⎡

⎤

⎡

⎤

K₁(p)

C₁(pI_χ - A)-1B₁

(Π.3)

K(p)= ⎣

⎦₌ ⎣

⎦₌

C(pI_χ - A)-1B₁.

K_γ(p)

C_γ(pI_χ - A)-1B₁

С помощью (Π.1)-(Π.3) и (3.6) из (4.7) находим, что

[

]

[

^K(p)

^L(p)

[

]

D ]

(Π.4)

^W (p) =

(pI_χ - A)-1

B₁

M (p) N(p)

откуда сразу следует, что

(Π.5)

MdegW

(p) ≤ χ.

С другой стороны, как показано в [25], из (4.7) следует

(Π.6)

MdegW

(p) ≥ M deg N(p) = χ,

поскольку представление (3.6) матрицы N(p) — минимальное.

Сопоставление неравенств (Π.5) и (Π.6) показывает, что

(Π.7)

MdegW

(p) = M deg N(p),

т.е. матрица N(p) доминирует в матрице^W (p). Таким образом, условие в тео-

ремы 1 выполнено. Выполнение условия г вытекает из равенств (3.7). Кроме

того, условие д выполняется по предположению. Этим заканчивается дока-

зательство необходимости.

Доказательство теоремы 1. Достаточность. Пусть для ППМ систе-

мы S⁰ выполнены условия а-д. Тогда матрицы

^K(p), M(p), N(p) — строго

правильные, а матрица^L(p) — по меньшей мере правильная. Пусть имеем

минимальное представление

(Π.8)

N (p) = C(pI_χ - A)-1

Тогда из (4.4) в силу [25] имеем

^K(p)

C(pI_χ - A)-1B₁,

^L(p)

C(pI_χ - A)-1B +D,

(Π.9)

M (p) = C(pI_χ - A)-1B₁,

где B₁

C, D — постоянные матрицы соответствующих размеров. При этом

[

]

[

]

(Π.10)

C^′ =

C′1

... C^′γ

D^′ =

D′1

... D^′γ

и C_i,D_i — постоянные матрицы размеров r_i × χ и r_i × m соответственно.

Далее, учитывая (4.9), можно положить:

τ₁ = τ_M , τ₂ = τ_N,

(Π.11)

τ3i = τ_Ki - τ_M = τ_Li - τ_N.

При этом непосредственно проверяется, что обобщенная стандартная си-

стема S_g, в которой

dv(t)

= Av(t) + B₁x(t - τ₁) + Bu(t - τ₂),

(Π.12)

y(t) = Cv(t),

z_i(t) = C_iv(t - τ3i) + D_iu(t - τ₂ - τ3i), i = 1,... ,γ,

и уравнения импульсного регулятора имеют вид (2.2)-(2.4), имеет ППМ

Wzx(p,t), совпадающую с ППМ W⁰(p,t) изучаемой системы. Этим заканчи-

вается доказательство достаточности. Теорема 1 доказана.

Далее доказательства основных утверждений для упрощения выкладок

будем рассматривать для случая γ = 2. Это предположение не нарушает

общности, так как соответствующие доказательства очевидным образом рас-

пространяются на случай произвольного γ.

Доказательство теоремы 2. При γ = 2 замкнутый контур систе-

мы S_g описывается уравнениями (2.1)-(2.4), а вектор наблюдаемого выхо-

да z(t) определяется соотношением

[

]

z1(t)

(Π.13)

z(t) =

z₂(t)

где z_i(t) — векторы r_i × 1, имеющие вид:

z₁(t) = C₁(t - τ₃₁) + D₁u(t - τ₂ - τ₃₁),

(Π.14)

z₂(t) = C₂(t - τ₃₂) + D₂u(t - τ₂ - τ₃₂).

ППМ системы S_g в данном случае в соответствии с (3.8), (3.10) равна

[

]

Wz1x(p,t)

(Π.15)

W_zx(p,t) =

Wz2x(p,t)

где

(Π.16)

Wzix(p,t) = ϕL_iτμ(T,p,t)^RN (p)Mτ (p) + Kiτ(p), i = 1, 2,

и все входящие в (Π.16) величины определяются в соответствии с (3.9). Ис-

пользуя (3.11), имеем:

W_zx(p,t) = ϕL_τ μ(T,p,t)RN (p)Mτ (p) +^Kτ (p),

(Π.17)

W′¯zx(-p,t) = M^′τ (-p)R′N (-p)ϕ′¯L

(T, -p, t) +K′τ (-p).

τμ

Следовательно,

W′¯zx(-p,t)W_zx(p,t) =K′τ (-p)Kτ (p) +

+ M^′τ(-p) R′N(-p)ϕ′¯L

τμ

(T, -p, t)ϕL_τ μ(T,p,t)RN (p)Mτ (p) +

(Π.18)

+ M^′τ(-p) R′N(-p)ϕ′¯L

(T, -p, t)Kτ (p) +

τμ

+ K^′τ(-p)ϕ¯_L

(T, p, t)RN (p)M_τ (p).

τμ

После подстановки этого выражения в (5.3) получается

B(p) = M^′τ (-p)RN (-p)DL(p)RN (p)M_τ (p) +K′τ (-p)Kτ (p) +

(Π.19)

+ M^′τ(-p) R′N(-p)Q′¯Lτ(-p) Kτ(p) +K′τ(-p)Q¯_Lτ(p) ^RN(p)Mτ(p),

где использованы обозначения:

∫

D_¯

(p) =

ϕ′¯L

(T, -p, t)ϕLτ μ(t, p, t)dt,

τμ

∫

(Π.20)

QL_τ(p) =

ϕL_τμ(T,p,t)dt,

∫

Q′¯L

(-p) =

ϕ′¯L

(T, -p, t)dt

τμ

∑

L_τ (p + kjω)μ(p + kjω)e^kjωt,

ϕL_τμ(T,p,t)=

k=-∞

(Π.21)

∑

ϕ′¯L

(T, -p, t) =

μ^′(-p + kjω)L′τ (-p + kjω)e^kjωt.

k=-∞

Подставляя (Π.21) в первую формулу (Π.20), после почленного интегри-

рования получим

(Π.22)

D_¯(p) =

(T, p, 0),

μ′L′τ Lτ μ

где

μ′L′τ Lτ μ(T,p,0)=

(Π.23)

∑

μ^′(-p - kiω)L′τ (-p - kjω)Lτ (p + kjω)μ(p + kjω).

k=-∞

Кроме того, из (Π.20) и (Π.21) следует

QL_τ(p) =

L_τ (p)μ(p),

(Π.24)

Q′¯L

(-p) =

μ^′(-p)L′τ (-p).

Для дальнейших преобразований отметим, что в силу (3.2) имеем в рас-

сматриваемом случае

[

]

L₁(p)e-pτL1

L_τ (p) =

L₂(p)e-pτL2

(Π.25)

[

]

L′

(-p) =

L′1(-p)epτL1 L′2(-p)epτL2

Произведение последних выражений имеет вид

L′

(Π.26)

(-p)Lτ (p) =L′(-p)L(p),

где использованы обозначения

[

]

L₁(p)

[

]

(Π.27)

^L(p) =

L^′(-p) =

L′1(-p) L′2(-p)

L₂(p)

С учетом (Π.27) из (Π.22), (Π.23) получается, что

D_¯

(p) =

μ′L′ Lμ(T,p,0)=

(Π.28)

μ′L′1L₁μ(T, p, 0) +

μ′L′2L₂μ(T, p, 0).

Продолжая вычисления, отметим, что из (Π.24) и (Π.25) имеем:

⎡₁

⎤

L₁(p)e^-pτ

⎢

⎥

QL_τ(p) =

⎣

⎦μ(p),

(Π.29)

L₂(p)e^-pτ

[

]

Q′¯L

(-p) = μ^′(-p)

L′1(-p)epτL1

L′2(-p)epτL2

Далее, используя (3.2), находим, что

[

]

K₁(p)e-pτK1

K_τ (p) =

K₂(p)e-pτK2

(Π.30)

[

]

K′τ (-p) =

K′1(-p)epτK1 K′2(-p)epτK2

При этом из (Π.24), (Π.25) следует

K′

(-p)QL_τ (p) =

K′1(-p)L₁(p)μ(p)ep(τK1-τL1) +

(Π.31)

K′2(-p)L₂(p)μ(p)ep(τK2-τL2).

Отсюда, учитывая, что

(Π.32)

M_τ (p) = M(p)e-pτ1 ,

получаем из (Π.31), что

K′

(-p)^Q¯_L

(p)RN (p)M_τ (p) =

K′1(-p)L₁(p)μ(p)RN (p)M(p)ep(τK1-τL1-τ1) +

(Π.33)

K′2(-p)L₂(p)μ(p)RN (p)M(p)ep(τK2-τL2-τ1).

Если учесть вытекающие из (3.7) соотношения

(Π.34)

τ_Ki - τ_Li - τ₁ = -τ₂ = -τ_N

i = 1,2,

то (Π.33) примет вид

K′

(-p)QL_τ (p)^RN (p)Mτ (p) =

(Π.35)

K^′(-p)^L(p)μ(p)RN (p)M(p)e-pτN,

где, как и ранее,

[

]

K₁(p)

(Π.36)

^K(p) =

K₂(p)

Учитывая (3.9), приходим к выводу, что правая часть формулы (Π.35) не

зависит от постоянных τ₁ и τ3i, i = 1, 2, и зависит только от запаздывания

управления τ₂ = τ_N . Очевидно, что верна также формула

M^′τ (-p)R′N(-p)Q′¯L

(-p)Kτ (p) =

(Π.37)

M^′(-p)R′N(-p)μ^′(-p)L′(-p)^K(p)epτN .

Используя полученные выражения и равенство

K′

(Π.38)

(-p)Kτ (p) =K′(-p)K

(p),

вытекающее из (Π.30), а также (Π.28), (Π.33) и (Π.23), соотношение (5.3)

можно представить в виде, зависящем только от постоянной τ_N

TB(p) = M^′(-p)R′N(-p)Dμ′¯_L′¯_Lμ(T,p,0)^WN(p)M(p) +

(Π.39)

+ K^′(-p)^L(p)μ(p)RN (p)M(p)e-pτN +

+ M^′(-p) R′N(-p)μ^′(-p)L′(-p) ^K(p)epτN + T K′(-p) ^K(p).

Отсюда, используя (5.6) и (5.7), приходим к выводу, что величины ||S_g||²²

и |

S_τ ||²² совпадают. Теорема 2 доказана.

Доказательство теоремы 3. При τ₁ = 0, τ3i = 0, i = 1,...,γ, из со-

отношений (2.1)-(2.4) и (2.9), (2.10) получаем, что уравнения расширенной

систем

S_τ имеют вид:

dv(t)

= Av(t) + B₁x(t) + Bu(t - τ₂),

y(t) = Cx(t),

ξ_k = y(kT), k = 0,±1,... ,

(Π.40)

α(ζ)ψ_k = β(ζ)ξ_k,

u(t) = h(t - kT )ψ_k, kT < t < (k + 1)T,

z(t)

Cv(t) +Du(t - τ₂),

гд

C и^D — постоянные матрицы, определенные соотношениями (Π.9). При

этом в силу (3.7) получаем, что для систем

S_τ справедливы соотношения:

τ_M = τ₁ = 0, τ_N = τ₂,

(Π.41)

τ_Ki = 0, τ_Li = τ_N, i = 1,2.

В соответствии с (3.11) ППМ систем

S_τ имеет вид

(Π.42)

^W (p, t) = ϕ¯_Lμ(T, p, t)^RN (p)M(p) +K(p),

где

^L(p)

C(pI_χ - A)-1B +D,

(Π.43)

^K(p)

C(pI_χ - A)-1B₁.

Используя (Π.42), можно после преобразований прийти к соотношению

(Π.39). Отсюда вытекает, что выражения для H₂-нормы систем S_g

S_τ сов-

падают.

Поскольку множества передаточных матриц стабилизирующих дискрет-

ных регуляторов для систем S_g

S_τ также совпадают, то приходим к вы-

воду, что H₂-оптимальная программа управления для систем

S_τ одновре-

менно является H₂-оптимальной программой управления для системы S_g и

наоборот. Теорема 3 доказана.

Доказательство теоремы 4. Пусть стандартизируемая система S⁰

имеет ППМWzx(p, t) с некоторыми матрицами^K(p),^L(p), M(p), N(p) и по-

стоянными τ_M , τ_N и τ_Ki, τ_Li, i = 1, 2.

Тогда в соответствии с замечанием 2 предполагаем, что система S⁰ опи-

сывается соотношениями вида (2.1)-(2.10) с теми же матрицами M(p), N(p)

и K_i(p), L_i(p), i = 1,... ,γ, и постоянными

τ₁ = τ_M , τ₂ = τ_N,

(Π.44)

τ3i = τKi - τ_M = τ_Li - τ_N,

что следует из (3.7). При этом в силу замечания 2 система S⁰ H₂-эквива-

лентна систем

S_τ , уравнения которой имеют вид (5.7), (5.8) при τ₂ = τ_N.

Переходя от уравнений систем

S_τ к соответствующей ППМ, приходим к

утверждению теоремы 4. Теорема 4 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kwakernaak H., Sivan R. Linear Optimal Control Systems. N.Y.: Wiley-Interscience,

1972.

2. Ackermann J. Abtastregelung. Berlin: Springer-Verlag, 3 ed., 1988.

3. Astrom K.J., Wittenmark B. Computer Controlled Systems: Theory and Design.

Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 3rd ed., 1997.

4. Khargonekar P.P., Sivarshankar N. H₂-optimal Control for Sampled-Data

Systems // Syst. Control Lett. 1992. V. 18. P. 627-631.

Bamieh B.A., Pearson J.B. The H₂-problem for Sampled-Data Systems // Syst.

Control Lett. 1992. V. 19. No. 1. P. 1-12.

Chen T., Francis B.A. H₂-optimal Sampled-Data Control // IEEE Trans. Autom.

Control. 1991. V. AC-36. No. 1. P. 387-397.

Yamamoto Y. A Function Space Approach to Sampled-Data Systems and Tracking

Problems // IEEE Trans. Autom. Control. 1994. V. AC-39. No. 4. P. 703-713.

Hagiwara T., Araki M. F R-operator Approach to the H₂-analysis and Synthesis of

Sampled-Data Systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1995. V. AC-40. No. 8.

P. 1411-1421.

Chen T., Francis B.A. Optimal sampled-data control systems. Berlin-Heidelberg-

N.Y.: Springer-Verlag, 1995.

10.

Fridman E., Shaked U. Sampled-Data H_∞ State Feedback Control of Systems with

State Delays // Int. J. Control. 2000. V. 73. No. 12. P. 1115-1128.

11.

Khargonekar P.P., Yamamoto J. Delayed Signal Reconstruction Using Sampled-

Data Control // Proc. 35th IEEE Conf. on Decision Control, Kyoto.

1996.

P. 1259-1263.

12.

Yamamoto Y., Hara S. Performance lower bound for a sampled-data signal

reconstruction / V. Blondel, E. Sontag, M. Vidyasagar, J. Willems, eds. Open

Problems in Mathematical Systems and Control Theory. London: Springer-Verlag.

1998. P. 277-279.

13.

Lennartson B. Sampled-Data Control for Time-Delayed Plants // Int. J. Control.

1989. V. 49. P. 1601-1614.

14.

Hara S., Fujioka H., Kabamba P.T. A Hybrid State-Space Approach to Sampled-

Data Feedback Control // Linear Algebra and Its Applications. 1994. V. 205-206.

P. 679-712.

15.

Wittenmark B. Sampling of a System with Time Delay // IEEE Trans. Autom.

Control. May 1985. V. AC-30. P. 507-510.

16.

Jugo J. Discretization of Continuous Time-Delay Systems // Proc. 15th IFAC

Triennial World Congr. V. Linear systems / Time-delay systems. P. REG1450,

Barcelona, 2002.

17.

Polyakov K.Yu. H₂-optimal Sampled-Data Control of Plants with Multiple Input

and Output Delays // Asian J. Control. June 2006. V. 8. No. 2. P. 107-116.

18.

Mirkin L., Palmor Z.J., Shneiderman D. Dead-Time Compensation for Systems with

Multiple I/O Delays: a Loop-Shifting Approach // IEEE Trans. Autom. Control.

November 2011. V. 56. No. 11.

19.

Mirkin L., Shima T., Tadmor G. Analog Loop Shifting in H₂ Optimization of

Input-Delay Sampled-Data Systems // 52nd IEEE Conf. on Decision and Control.

December 10-13, 2013. Florence, Italy.

20.

Mirkin L., Shima T., Tadmor G. Sampled-Data H₂ Optimization of Systems with

I/O Delays via Analog Loop Shifting // IEEE Trans. Autom. Control. March 2014.

V. 59. No. 3.

21.

Розенвассер Е.Н. Линейная теория цифрового управления в непрерывном вре-

мени. М.: Наука, 1994.

22.

Rosenwasser E.N., Lampe B.P. Digitale Regelung in kontinuierlicher Zeit — Analyse

und Entwurf im Frequenzbereich. Stuttgart: B.G. Teubner, 1997.

23.

Rosenwasser E.N., Lampe B.P. Algebraische Methoden zur Theorie der Mehrgrößen-

Abtastsysteme. Rostock: Universitätsverlag, 2000. ISBN 3-86009-195-6.

24.

Rosenwasser E.N., Lampe B.P. Computer Controlled Systems — Analysis and Design

with Process-orientated Models. London-Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 2000.

25. Rosenwasser E.N., Lampe B.P. Multivariable Computer-Controlled Systems — A

Transfer Function Approach. London: Springer, 2006.

26. Лямпе Б.П., Розенвассер Е.Н. H₂-оптимизация импульсных систем с запазды-

ванием на основе метода параметрической передаточной матрицы // АиТ. 2010.

№ 1. С. 57-79.

Lampe B.P., Rosenwasser E.N. H₂-optimization of Time-Delayed Sampled-Data

Systems on the Basis of the Parametric Transfer Matrix Method // Autom. Remote

Control. 2010. V. 71. No. 1. P. 49-69.

27. Kailath T. Linear Systems. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 1980.

28. Барабанов А.Е. Синтез минимаксных регуляторов. СПб.: Изд-во Санкт-

Петербург. ун-та, 1996.

29. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Ленин-

град: Из-во ЛГУ, 1985.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.А. Бобцовым.

Поступила в редакцию 10.01.2018

После доработки 26.09.2018

Принята к публикации 08.11.2018