Автоматика и телемеханика, № 3, 2019

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, СОДЕРЖАЩАЯ СВЯЗАННЫЕ

ПОДСИСТЕМЫ С РАЗЛИЧНЫМИ ТИПАМИ КОЛЕБАНИЙ¹

Рассматривается периодическая модель, содержащая связанные под-

системы (МССП), которая при отсутствии связи между подсистема-

ми распадается на системы автономных обыкновенных дифференциаль-

ных уравнений. Предполагается, что подсистемы допускают разные типы

невырожденных одночастотных колебаний. Решаются задачи существо-

вания колебаний в МССП, их устойчивости, естественной стабилизации

колебания МССП гладкими периодическими связующими управлениями.

Приводится пример.

Ключевые слова: модель, связанные подсистемы, колебание, типы, устой-

чивость, естественная стабилизация.

DOI: 10.1134/S0005231019030048

1. Введение

Рассматривается модель, содержащая связанные подсистемы (МССП) и

описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ),

в которой подсистемы — системы автономных ОДУ. Наличие связи между

подсистемами определяется параметром связи ε, при нулевом значении ко-

торого модель распадается на независимые подсистемы. Таких параметров

в МССП может быть один или несколько. Параметры отражают иерархич-

ность подсистем в МССП. Размерность каждой подсистемы в МССП в об-

щем случае — индивидуальная, сама подсистема может быть линейной или

нелинейной и описывать различные процессы: механические, электрические,

биофизические и т.д. МССП моделирует сложную систему, в которой одно-

временно происходят различные связанные между собой процессы. Будет ли

МССП автономной или неавтономной — зависит от того, входит ли время

явно в связи или нет. В случае когда связи задаются периодическими по вре-

мени функциями, получаем периодическую МССП.

Согласно описанию МССП представляет собой иерархическую сеть специ-

ального вида. Одноуровневая МССП обычно называется связанной (coupled)

системой. МССП становится слабо связанной при малых значениях пара-

метра ε.

Примеры МССП находятся в традиционных (механика, физика, радиотех-

ника, популяционная динамика) и новых (мехатроника, биофизика, медици-

на, сети и др.) областях знаний. Публикации [1-15] дают некоторое представ-

¹ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фунда-

ментальных исследований (проекты № 16-01-00587, № 19-01-00146).

ление о возможных постановках задач для МССП и об исследуемых динами-

ческих свойствах модели.

Большой интерес представляют колебания связанных систем (см. [1-14]).

Так, система трех связанных осцилляторов Ван дер Поля используется в [4]

для анализа цикадных ритмов глаз, в [5] строится связанная система для

изучения колебаний пар оснований ДНК, в [12] решается проблема синхро-

низации колебаний энергетических сетей и т.д.

В общетеоретической постановке исследованы вопросы устойчивости и

ограниченности решений слабо связанных систем (см. [15]). В такой же по-

становке решались проблемы переноса свойства динамики (по колебаниям),

имеющейся во всех подсистемах МССП, на всю связанную систему. Здесь,

начиная c постановки задач исследования МССП в [14], сначала исследова-

лись МССП с подсистемами, содержащими одночастотные колебания одного

типа (см. обзор результатов в [16]).

Типы одночастотных колебаний в подсистеме МССП различаются исполь-

зуемыми необходимыми и достаточными условиями

f ≡ x(x⁰,T) - x⁰ = 0, x ∈ Rⁿ,

существования T -периодического решения в автономной системе, где x - фа-

зовая переменная, x⁰ - ее значение при t = 0. Пусть выписанное уравнение

имеет решение x⁰ = x^∗, T = T^∗. Тогда ранг функциональной матрицы для f

в точке x^∗ при T = T^∗ не превышает числа Ra = n - 1. Случай Ra = n - 1

называется (см. [16]) невырожденным, а соответствующие колебания — невы-

рожденными. В невырожденном случае реализуется одно из двух типов ко-

лебаний: цикл и двумерное семейство колебаний, на котором период мото-

нотонно зависит от периода. Другие возможности исключаются существова-

нием единственного периодического решения системы уравнений в вариаци-

ях. Случай семейства присутствует обычно в динамических системах, обла-

дающих свойством пространственно-временной симметрии (reversible system)

(см. [17]).

В [18] исследована ситуация одновременного наличия подсистем с се-

мействами периодических решений и подсистем с циклами для автоном-

ной МССП. Решены задачи существования колебаний в МССП, их устойчи-

вости и стабилизации колебания МССП гладкими автономными связующими

управлениями.

Далее в такой общей ситуации исследуется одноуровневая периодическая

МССП. Предполагается, что при ε = 0 во всех подсистемах реализуется невы-

рожденный для периодического решения случай. Решаются задача о нахож-

дении условий на связи, при выполнении которых свойство динамики под-

систем переносится на МССП, и задача естественной стабилизации колеба-

ния МССП выбором надлежащей связи, которая заключается в нахождении

связи, гарантирующей одновременно существование колебания, его устойчи-

вость и стабилизацию. Для исследуемой МССП задача решается гладкими

периодическими связями.

Отметим, что описанные далее результаты справедливы при малых зна-

чениях параметра связи ε, т.е. для слабо связанных МССП.

2. Изолированные колебания МССП

Рассматривается достаточно гладкая одноуровневая МССП, записанная с

использованием двух групп переменных x^s, y^r:

x^s = X^s(x^s) + εXs(ε,x¹,... ,x^m,y¹,... ,y^l,t),

x^s ∈ Rms , s = 1,... ,m,

y^r = Y^r(y^r) +

Y r(ε,x¹,...,x^m,y¹,...,y^l,t),

(1)

y^r ∈ Rlr , r = 1,... ,l,

x = (x¹,...,x^m), y = (y¹,...,y^l), x^s ∈ Rms,

∑

y^r ∈ Rlr ,

m_s +

r =n

s=1

r=1

(ε - параметр). Связи в (1) задаются 2π-периодическими по времени t функ-

циямиXs

Y r; правые части системы заданы в некотором открытом множе-

стве пространства переменных x, y и ε.

При отсутствии связи (ε = 0) система (1) распадается на m + l незави-

симых векторных автономных уравнений. Предполагается, что каждое из

этих уравнений допускает одночастотное колебание, и рассматривается невы-

рожденный случай существования периодического решения. В системе (1)

две группы переменных x^s, y^r отвечают двум возможностям существования

невырожденного одночастотного колебания. Так, принимается, что при ε = 0

подcистема с номером s допускает семейство периодических решений

(2)

x^s = ϕ^s(h_s,t + β_s

на котором период T_s(h_s) монотонно зависит от параметра h_s, причем семей-

ство содержит решение периода T_s(h^∗s) = 2π. Также принимается, что подси-

стема с номером r допускает цикл

(3)

y^r = ψ^r(t + γ_r)

с периодом 2π. Параметры β_s и γ_r дают сдвиг начальной точки по траектории.

В невырожденном для периодического решения случае семейству отвечает

двойной нулевой характеристический показатель (ХП) в жордановой клетке,

для цикла имеется один нулевой ХП (см. [16]); остальные ХП отличны от

нуля.

Замечание 1. В T-периодической линейной системе порядка n всегда

существует частное решение вида

ζ_s(t) = eλktθ_s(t), θ_s(t + T) = θ_s(t), s = 1,... ,n,

в котором число λ_k называется (см. [19, с. 204]) характеристическим пока-

зателем.

В связанной системе решение z = (x, y) системы (1) зависит от ε. Вычис-

лим частную производную ∂z/∂ε по ε для решения, начальная точка которой

совпадает с начальной точкой для решения при ε = 0. Тогда для указан-

ной производной получаем систему неоднородных линейных уравнений по-

рядка m + l. Выпишем необходимые и достаточные условия существования

2π-периодического решения c нулевыми начальными условиями для этой си-

стемы. Получим систему нелинейных алгебраических уравнений:

f (h^∗, β, γ) = 0, g(h^∗, β, γ) = 0,

(4)

f = (f¹,...,f^m), g = (g¹,...,g^l),

h^∗ = (h∗1,... ,h^∗l), β = (β₁,... ,β_m), γ = (γ₁,... ,γ_l),

которая в теории МССП называется (см. [14]) амплитудным уравнением.

В явном виде компоненты векторных функций f(h^∗, β, γ), g(h^∗, β, γ) даются

формулами:

∫2π

^∑˜_Xs

f^s(h^∗,β,γ) ≡

(0, ϕ¹(h∗1, t + β₁), . . .

i=1

...,ϕ^m(h^∗m,t + β_m),ψ¹(t + γ₁),...,ψ^l(t + γ_l),t)ξsi (h^∗s,t + β_s)dt,

(5)

∫2π

^∑˜_Yr

g^r(h^∗,β,γ) ≡

(0, ϕ¹(h∗1, t + β₁), . . .

k=1

...,ϕ^m(h^∗m,t + β_m),ψ¹(t + γ₁),...,ψ^l(t + γ_l),t)η^rk(t + γ_r)dt,

s = 1,...,m, r = 1,...,l,

в которых 2π-периодическое решение сопряженной системы обозначено через

{ξ^si(h^∗, t + β_s)}, {η^rk(t + γ_r)}.

Справедлива теорема 1.

Теорема 1. Каждому простому корню (β,γ) = (β^∗,γ^∗) амплитудного

уравнения (f(β, γ), g(β, γ)) = (0, 0) отвечает изолированное периодическое

решение МССП.

Доказательство теоремы 1 приводится в Приложении.

Замечание 2. Частные случаи теоремы 1, когда в подсистемах имеются

колебания только одного типа, установлены ранее (см. [16, 20]).

3. Характеристические показали изолированного

периодического решения МССП

Пусть выполнены условия теоремы 1, а изолированному периодическо-

му решению без ограничения общности отвечают числа β_s = 0, s = 1, . . . , m,

γ_r = 0, r = 1,... ,l; значение h = h^∗ для этого решения явно не пишем. Со-

ставим уравнения в вариациях для этого решения. Получим линейную пери-

одическую систему:

δ x^s = P^s(t)δx^s + ε[(A^s(t) + O(ε))δx + (B^s(t) + O(ε))δy],

(6)

δ y^r = Q^r(t)δy^r + ε[(C^r(t) + O(ε))δx + (D^r(t) + O(ε))δy],

δx = (δx¹,... ,δx^m), δy = (δy¹,... ,δy^l), s = 1,... ,m, r = 1,... ,l,

с 2π-периодическими коэффициентами; входящие в (6) матрицы выписыва-

ются стандартным способом путем вычисления частных производных и груп-

пирования слагаемых одного порядка по ε. Опуская эту операцию, здесь толь-

ко отметим, что матрицы в (6) содержат производные от функцийXs

Y r на

изолированном периодическом решении. Cистема (6) для частного случая

выписана явно в [20].

В системе (6) в точке ε = 0 происходит бифуркация ХП. При этом отлич-

ные от нуля ХП, чуть-чуть меняясь вместе с ε, остаются при ε = 0 ненуле-

выми. Известно из [14], что в системе (1), содержащей только подсистемы

с семействами периодических решений, пара нулевых ХП бифурцирует по

такому сценарию:

(7)

λ_s = ±αs1ε1/2 + αs2ε + O(ε3/2

С другой стороны, в случае системы (1), содержащей только подсистемы с

циклами, в типичной ситуации ХП при ε = 0 получает приращение порядка ε

(см. [21]): реализуется сценарий

(8)

λ_r = αr2ε + O(ε3/2

Исследуем бифуркацию нулевых ХП в общей ситуации наличия в (1) под-

систем с семействами периодических решений и подсистем с циклами. С этой

целью в системе (6) положим

δx^s = δx^sexp(λt), δy^r = δŷ^rexp(λt),

причем значок над x и y далее для краткости записи опускаем. Подставим

эти выражения в систему (6). Получим:

δ x^s = -λδx^s + P^s(t)δx^s + ε[(A^s(t) + O(ε))δx + (B^s(t) + O(ε))δy],

δ y^r = -λδy^r + Q^r(t)δy^r + ε[(C^r(t) + O(ε))δx + (D^r(t) + O(ε))δy],

(9)

s = 1,...,m, r = 1,...,l.

В соответствии с замечанием 1 каждому ХП λ системы (9) отвечает одно

(с точностью до множителя) 2π-периодическое решение системы (9). Запи-

шем решение системы (9) в таком общем виде:

δx^s = δxs0 + ε1/2δxs1 + εδxs2 + ε3/2δxs3 + o(ε3/2),

(10)

δy^r = δyr0 + ε1/2δyr1 + εδyr2 + ε3/2δyr3 + o(ε3/2).

Выражения (10) подставим в систему (9). Тогда в результате приравнивания

членов при одинаковых степенях по ε получаются системы линейных урав-

нений:

(11)

δ x^sk = P^s(t)δx^sk + F^sk(t), δ y^rk = Q^r(t)δy^rk + G^rk

(t), k = 0, 1, 2, . . .

Вычислим:

Fs0(t) ≡ 0, Gr0(t) ≡ 0, Fs1(t) = -α₁δxs0(t), Gr1(t) = -α₁δyr0(t).

Отсюда видно, что системы (11) при k = 0 и k = 1 распадаются на подсисте-

мы по переменным δx^s и δy^r. В подсистеме для переменной δx^s имеется одно

2π-периодическое решение, отвечающее жордановой нулевой клетке, поэтому,

как правило, получим α₁ = 0. Для переменной δy^rk периодическому решению

отвечает простой нулевой ХП, следовательно, число α₁ в общей записи ХП,

справедливой для (7) и (8), равняется нулю. Далее оказывается, что в си-

стеме (11) подсистемы уравнений по переменным δx^s и δy^r интегрируются

независимо друг от друга. Поэтому двойной нулевой ХП, отвечающий семей-

ству периодических решений, бифурцирует по сценарию (7), а нулевой ХП,

отвечающий циклу, бифурцирует по сценарию (8).

Теорема 2. В общем случае, когда периодическая МССП содержит под-

системы с семействами периодических решений и подсистемы с циклами,

бифуркация двойного нулевого ХП, отвечающего семейству периодических

решений, происходит по сценарию (7), а бифуркация нулевого ХП, отвечаю-

щего циклу, — по сценарию (8).

Замечание 3. В рассматриваемой общей ситуации ХП находятся еди-

нообразным способом, независимо от сценария (7) или (8), путем построения

периодического решения системы уравнений (9).

4. Вычисление чисел α₁ и α₂

Далее на основе выписанной системы (9) дается аналитическое конструк-

тивное решение задачи о сценарии бифуркации ХП колебания периоди-

ческой МССП, содержащей подсистемы с различными типами колебаний.

С этой целью получаются явные формулы для вычисления чисел α₁ и α₂,

справедливые также и в частном случае наличия только одного из типов

колебаний.

Необходимые и достаточные условия существования в системе (9) перио-

дического решения имеют вид:

∫

2π

∫

2π

(12)

F^sk(t)ξ^s(t)dt = 0,

Grk(t)η^r

(t)dt = 0.

Для j = 0 решение известно:

δxs0(t) = Ms0ϕ˙^s(t), δyr0(t) = Nr0ψ˙^r(t).

При поиске α₁ и α₂ решения системы (9) находятся с точностью до постоян-

ной, поэтому положим Ms0 = 1 и Nr0 = 1.

При j = 1 система (9) распадается на m + l независимых подсистем, а усло-

вия (12) принимают вид:

∫

2π

∫

2π

αs1

ϕs(t)ξ^s(t)dt = 0, α^r

ψ^r(t)η^r(t)dt = 0,

где согласно теореме 2 имеем αr1 = 0. Здесь в силу соотношения между реше-

ниями сопряженных систем подынтегральные выражения принимают посто-

янные значения, поэтому условия (12) выполняются тождественно. Следова-

тельно, система (9) при j = 1 имеет периодическое решение:

δxs1(t) = Ms1ϕ˙^s(t) + αs1δxs1(t), δyr1(t) = Nr1ψ˙^r(t),

где α₁δ^s xs1(t) - частное решение, а Ms1, Nr1 - постоянные. Здесь учитывается,

что Fs1(t) = -αs1δxs0(t) и Gr1(t) = 0. Числа αs1 при j = 1 не находятся.

Вычислим

Fs2(t) = -α₂δxs0 - α₁δxs1 + A^s(t)δx₀(t) + B^s(t)δy₀(t),

Gr₂(t) = -α₂δyr0 - α₁δyr1 + C^r(t)δx₀(t) + D^r(t)δy₀(t)

и запишем условие (12) для j = 2. В результате получим, что

2π

∫

[-αs1δxs1 + A^s(t)δx₀(t) + B^s(t)δy₀(t)]ξ^s(t)dt = 0.

Отсюда выводим формулу

∫

2π

∫

2π

(13)

(αs1)²

δxsk1(t)ξ^s(t)dt =

[A^s(t)δx₀(t) + B^s(t)δy₀(t)]ξ^s

(t)dt

для вычисления αs1.

Заметим, что из (7) следует существование для данного s пары чисел ±αs1,

которые конструктивно вычисляются.

После нахождения αs1 решение δxs2(t) вполне вычисляется.

Теперь, учитывая формулы

Fs3(t) = -α₃δxs0 - α₂δxs1 - α₁δxs2 + A^s(t)δx₁(t) + B^s(t)δy₁(t),

Gr₂(t) = -α₃δyr0 - α₂δyr1 - α₁δyr2 + C^r(t)δx₁(t) + D^r(t)δy₁(t),

запишем условие (12) для j = 3. Тогда получим уравнения для нахождения

чисел αs2 и αr2:

2π

∫

[-αs2δxs1(t) - αs1δxs2(t) + A^s(t)δx₁(t) + B^s(t)δy₁(t)]ξ^s(t)dt = 0,

(14)

2π

∫

[-αr2δyr1(t) + C^r(t)δx₁(t) + D^r(t)δy₁(t)]η^r(t)dt = 0,

в которых функции δx₁, δy₁, δxs2(t) определены на предыдущих шагах.

Суммируем полученные результаты.

Теорема 3. В общей ситуации, когда периодическая МССП содержит

подсистемы с семействами периодических решений и подсистемы с цикла-

ми, характеристические показатели изолированного периодического реше-

ния даются формулами (7), (8), (13) и (14).

Если в системе (6) коэффициенты таковы, что все числа αs1, αs2, αr2 удо-

влетворяют неравенствам:

(αs1)² ≤ 0, αs2 < 0, αr2 < 0;

s = 1,...,m, r = 1,...,l,

то изолированное периодическое решение МССП асимптотически устой-

чиво.

Замечание 4. Частные случаи теоремы 3 (для МССП, содержащих под-

системы с одним типом колебаний) установлены ранее (см. [16]).

5. Задача о естественной стабилизации изолированного

периодического решения

В [22] предложена идея естественной стабилизации колебания автономной

МССП, которая заключается в одновременном решении задач существования

колебания системы, его устойчивости и стабилизации путем выбора надле-

жащих связующих управлений. В случае связей, периодически зависящих от

времени, МССП допускает изолированное колебание (см. [16]). Задача есте-

ственной стабилизации такого колебания МССП с двумя подсистемами, каж-

дая из которых задается на плоскости и допускает семейства периодических

решений, решена в [20]. При этом в терминах исходной системы предлагаются

конструктивные условия на гладкие периодические связующие управления,

дающие решение задачи.

Также обстоит дело и в общей ситуации периодической системы (1). Дей-

ствительно, в амплитудное уравнение (4) входят только функции^X(0, ϕ, ψ, t)

Y (0, ϕ, ψ, t). Неравенство нулю числа, вычисляемого с помощью производ-

ных от этих функций в точке (ϕ(h^∗, β^∗), ψ(h^∗, γ^∗)) доставляет условие крат-

ности корня (β^∗, γ^∗). С другой стороны, уравнения в вариациях (6) содержат

частные производные от^X(0, ϕ, ψ, t) и о

Y (0, ϕ, ψ, t). Формулы (13), (14) по-

лучаются посредством интегрирования на периоде выражений, содержащих в

качестве множителей эти производные. Поэтому условия теорем 1 и 2 не кон-

фликтуют друг с другом и могут выполняться одновременно, а это означает

справедливость теоремы 4.

Теорема 4. Задача естественной стабилизации изолированного колеба-

ния системы (1) имеет решение: оно доставляется теоремами 1 и 3.

Замечание 5. Частный случай теоремы 4, когда МССП содержит две

подсистемы, заданные на плоскости и допускающие невырожденные семей-

ства периодических решений, установлен в [20].

6. Пример

Рассмотрим систему двух связанных уравнений с одной степенью свободы:

θ₁ + 4sin θ₁ = ε(1 - kθ²¹)˙θ1 + εΘ1(θ1,θ2,t),

θ₂ + 4sin θ₂ = μ(1 - kθ²²)˙θ2 + εΘ2(θ1,θ2,t),

(15)

Θ_s(θ₁,θ₂,-t) = Θ_s(θ₁,θ₂,t),

s = 1,2,

Θ_s(θ₁,θ₂,t + 2π) = Θ_s(θ₁,θ₂,t),

содержащую малые параметры ε, μ и ε: k > 0 - постоянная. Здесь при ε = 0,

μ = 0,ε = 0, имеем два идентичных другу другу математических маятника.

Маятник допускает невырожденное семейство колебаний по параметру h -

постоянной интеграла энергии, причем на семействе период монотонно воз-

растает от числа π, отвечающего малым колебаниям близ равновесия, до

бесконечности. Значению h = h^∗ отвечает колебание периода 2π.

Пусть ε = 0, μ > 0 и ε = 0. Тогда, выбирая, как в [22], значение k, соот-

ветствующее 2π-периодическому колебанию, сконструируем для второй под-

системы асимптотически орбитально устойчивый цикл — невырожденное

периодическое решение. Таким образом, при ε = ε и μ > 0 в (15) рассматри-

вается 2π-периодическая МССП, содержащая две подсиcтемы с различными

невырожденными колебаниями.

Пусть ε > 0, μ > 0 и ε = 0. В каждой подсистеме происходит распад жор-

дановой клетки из нулевых ХП на нулевой ХП и показатель (см. [20])

λ = α₂σ + O(σ3/2),

α₂ < 0, σ = ε,μ.

С другой стороны, при ε = μ = 0 в (15) получим обратимую 2π-периодиче-

скую связанную механическую систему. При ε > 0 в ней рождается (см. [16])

изолированное симметричное периодическое решение. При этом система ам-

плитудных уравнений (см. [22])

2π

∫

Θ₁(θ₁(t + β),θ₂(t + γ),t)˙θ1(t + β)dt = 0,

(16)

2π

∫

Θ₂(θ₁(t + β),θ₂(t + γ),t)˙θ2(t + γ)dt = 0

имеет простой корень β = γ = 0. Бифуркация жордановых клеток происхо-

дит с рождением пары ХП вида ±α₁ε1/2 + O(ε) [20].

Запишем систему амплитудных уравнений при ε = ε. В ней второе уравне-

ние совпадает со вторым уравнением в (16), а первое уравнение приобретает

вид

2π

∫

[(1 - kθ²¹(t + β)

θ₁(t + β) + Θ₁(θ₁(t + β),θ₂(t + γ),t)˙θ1(t + β)]dt = 0.

Здесь подынтегральная функция содержит два слагаемых. Число k в первом

слагаемом выбирается таким образом, чтобы интеграл от него равнялся нулю.

Поэтому система амплитудных уравнений в рассматриваемом случае ε = ε

имеет корень β = 0, γ = 0. В силу простоты этого корня он будет простым и

для системы (16). Следовательно, устанавливается существование изолиро-

ванного 2π-периодического решения в системе (15) при ε = ε.

Для доказательства асимптотической устойчивости этого решения учтем

аддитивность малых слагаемых в правых частях уравнений в (15). Это об-

стоятельство согласно выводам в [20] приводит к аддитивности в формуле

для вычисления ХП периодического решения в (15):

λ₁ = ±α₁ε1/2 + α⁽¹⁾²ε+ O(ε3/2),

λ₂ = ±α₁ε1/2 + α⁽²⁾²μ + O(μ3/2,ε3/2).

При ε = 0 для первого маятника имеем α⁽¹⁾² = α₂ < 0, для второго маятника

получим: α⁽²⁾² = α₂ < 0. Подчиним связи условию (α₁)² ≤ 0. Тогда по теоре-

ме 2 изолированное периодическое решение асимптотически устойчиво.

7. Заключение

Модели, содержащие связанные подсистемы, могут быть различной физи-

ческой природы. Исследование одночастотных колебаний таких систем пока-

зывает, что свойство иметь такое колебание в отдельной системе переносится

на всю модель. При этом получаются условия на связи, гарантирующие су-

ществование колебаний, их устойчивость и естественную стабилизацию. В пе-

риодических МССП задача переноса решается надлежащим выбором перио-

дических связующих управлений.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. Запишем систему (1) в переменных

z = (x,y). Периодическое решение z(ε,z⁰,t) с начальной точкой z⁰ при t = 0

и периодом 2π удовлетворяет условию

(Π.1)

Q ≡ z(ε,z⁰,2π) - z⁰

= 0.

Следовательно, задача состоит в нахождение корня z⁰ системы уравне-

ний (Π.1), который при ε = 0 удовлетворяет уравнению

(Π.2)

Q₀ ≡ z(0,z⁰,2π) - z⁰

= 0.

Уравнение (Π.1) распадается на m + l уравнений, каждое из которых со-

ответствует своей подсистеме в несвязанной системе. В подсистемах рассмат-

ривается невырожденный для периодического решения случай. Поэтому пе-

риодическое решение кроме нулевых ХП содержит отличные от нуля ХП.

Значит, в каждом уравнении в (Π.2) ранг функциональной матрицы в точке

решения на единицу меньше размерности системы.

В системе (Π.2) начальная точка z⁰ = z⁰(h^∗, β, γ), причем h∗ — из-

вестное число. Пусть для решения уравнения (Π.2) имеем β = β^∗, γ = γ^∗

и z⁰(h^∗,β,γ) = z^∗. Тогда ранг функциональной матрицы уравнения (Π.1) в

точке z^∗ равен числу

∑

Ra_∗ =

(m_s - 1) +

(l_s - 1) = n - (m + l).

s=1

r=1

В уравнении (Π.1) положим δz = z⁰ - z^∗. Тогда, учитывая равен-

ство Ra_∗ = n - (m + l), разрешим при малых ε систему (Π.1) относитель-

но m + l приращений δz. Далее, собирая эти приращения в вектор w, из (Π.1)

приходим к уравнению

(Π.3)

Φ(w, 2π) + εΨ(ε, w, 2π) = 0, w ∈ Rm+l,

в записи которого выделяются слагаемые, содержащие (εΨ) и не содержа-

щие (Φ) параметр ε.

В уравнении (Π.3) функция Φ не содержит линейного члена по w. Да-

лее, справедливы оценки w ∼ ε, β - β^∗ ∼ ε, γ - γ^∗ ∼ ε. Поэтому из (Π.3) при

малых ε = 0 получаем уравнение

Ψ(0, w(h^∗, β, γ), 2π) = 0,

совпадающее с амплитудным уравнением (4), т.е. теорема 1 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. Поперечные колебания стрежня, вызванные крат-

ковременным продольным ударом // ДАН. 2013. Т. 452. № 1. С. 37-41.

Kovaleva A., Manevitch L.I. Autoresonance Versus Localization in Weakly Coupled

Oscillators // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2016. V. 320 (15 Apr. 2016). P. 1-8.

Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина Л.В. Вынужденная синхронизация

двух связанных автоколебательных осцилляторов Ван дер Поля // Нелинейная

динамика. 2011. Т. 7. № 3. С. 411-425.

Rompala K., Rand R., Howland H. Dynamics of Three Coupled Van der Pol

Oscillators with Application to Circadian Rhythms // Communicat. Nonlin. Sci.

Numerical Simulation. 2007. V. 12. No. 5. P. 794-803.

Yakushevich L.V., Gapa S., Awrejcewicz J. Mechanical Analog of the DNA Base Pair

Oscillations // 10th Conf. on Dynamical Systems Theory and Applications. Lodz:

Left Grupa, 2009. P. 879-886.

Кондрашов Р.Е., Морозов А.Д. К исследованию резонансов в системе двух урав-

нений Дюффинга-Ван дер Поля // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6. № 2.

С. 241-254.

Danzl P., Moehlis J. Weakly Coupled Parametrically Forced Oscillator Networks:

Existence, Stability, and Symmetry of Solutions // Nonlinear Dynamics. 2010. V. 59.

Iss. 4. P. 661-680.

Lazarus L., Rand R.H. Dynamics of a System of Two Coupled Oscillators which

are Driven by a Third Oscillator // J. Appl. Nonlin. Dynam. 2014. V. 3. No. 3.

P. 271-282.

Kawamura Y. Collective Phase Dynamics of Globally Coupled Oscillators: Noise-

induced anti-phase Synchronization // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2014.

V. 270 (1 Jun. 2014). P. 20-29.

10.

Peng Du, Michael Y. Li. Impact of Network Connectivity on the Synchronization

and Global Dynamics of Coupled Systems of Differential Equations // Physica D:

Nonlinear Phenomena. 2014. V. 286-287 (15 Oct. 2014). P. 32-42.

11.

Buono P.-L., Chan B.S., Palacios A., et al. Dynamics and Bifurcations in a D_n-

symmetric Hamiltonian Network. Application to Coupled Gyroscopes // Physica D:

Nonlinear Phenomena. 2015. V. 290 (1 Jun. 2014). P. 8-23.

12.

Vu T.L., Turitsyn K. A Framework for Robust Assessment of Power Grid Stability

and Resiliency // IEEE Trans. Automat. Control. 2017. V. 62. No. 3. P. 1165-1177.

13.

Амелина H.O., Ананьевский М.С., Андриевский Б.Р. и др. Проблемы сетевого

управления. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2015.

14.

Тхай В.Н. Модель, содержащая связанные подсистемы // АиТ. 2013. № 6.

С. 32-41.

Tkhai V.N. Model with Coupled Subsystems // Autom. Remote Control. 2013. V. 74.

No. 6. P. 919-931.

15.

Martynyuk A.A., Chernenetskaya L.N., Martynyuk V.A. Weakly Connected

Nonlinear Systems. Boundedness and Stability of Motion. Boca Raton - London -

N.Y.: CRC Press, Taylor and Fransis Group, 2013.

16.

Тхай В.Н. Динамическая модель, содержащая связанные подсистемы // Ана-

литическая механика, устойчивость и управление. Тр. Межд. Четаевской конф.

Т. 1. Аналитическая механика. Казань: Изд-во КНИТУ-КАИ, 2017. С. 320-329.

17.

Тхай В.Н. О поведении периода симметричных периодических движений //

Прикл. матем. и механ. 2012. Т. 76. Вып. 4. C. 616-622.

Tkhai V.N. The Behaviour of the Period of Symmetrical Periodic Motions // J. Appl.

Math. Mech. 2012. V. 76. Iss. 4. P. 446-450.

18. Тхай В.Н. Модель, содержащая связанные подсистемы с различными типами

колебаний //АиТ. 2017. № 4. С. 21-36.

Tkhai V.N. Model Containing Coupled Subsystems with Oscillations of Different

Types // Autom. Remote Control. 2017. V. 78. No. 4. P. 595-607.

19. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

20. Тхай В.Н. Стабилизация колебания в связанной периодической системе // АиТ.

2017. № 11. С. 34-47.

Tkhai V.N. Stabilization of Oscilliaions in a Couple Periodic System // Autom.

Remote Control. 2017. V. 78. No. 11. P. 1967-1977.

21. Тхай В.Н. Колебания, устойчивость и стабилизация в модели, содержащей свя-

занные подсистемы с циклами // АиТ. 2015. № 7. С. 40-51.

Tkhai V.N. Oscillations, Stability and Stabilization in the Model Containing Coupled

Subsystems with Cycles // Autom. Remote Control. 2015. V. 76. No. 7. P. 1169-1178.

22. Тхай В.Н. Стабилизация колебаний автономной системы // АиТ. 2016. № 6.

С. 38-46.

Tkhai V.N. Stabilizing the Oscillations of an Autonomous System // Autom. Remote

Control. 2016. V. 77. No. 6. P. 972-979.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.П. Курдюковым.

Поступила в редакцию 21.11.2017

После доработки 09.08.2018

Принята к публикации 08.11.2018