Автоматика и телемеханика, № 3, 2019

Управление в технических системах

А.С. ПЛЯШЕЧНИК, канд. физ.-мат. наук (a_plyashechnik@mail.ru)

(АО «Концерн «Вега», Москва)

ЗАДАЧА УПРОЩЕННОГО ЦЕЛЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ПРИ ГРУППОВОМ ПРОТИВОБОРСТВЕ

ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ¹

Предложен способ упрощенного группового целераспределения, обес-

печивающий не только назначение целей перехватчикам, но и дающий

возможность построить предполагаемые траектории перехвата с учетом

реальных ограничений, выбывания участников и приоритета целей.

Ключевые слова: целераспределение, наведение, управление летательны-

ми аппаратами, выбывание участников, приоритет целей.

DOI: 10.1134/S0005231019030085

1. Введение

Специфической особенностью современного взаимодействия средств напа-

дения и защиты является их групповое применение [1]. В связи с этим весьма

важной является задача оптимизации целераспределения участников группы

защиты, обеспечивающая успех в боестолкновениях летательных аппаратов.

В общем случае решение этой задачи осуществляется в три этапа:

• на первом — оценивается возможность всех участников группы осуществ-

лять перехват, исходя из запасов топлива и расстояний между перехват-

чиками и целями;

• на втором — для всех участников, удовлетворяющих условиям по топли-

ву, решается задача целераспределения, суть которой состоит в назначе-

нии для каждого перехватчика конкретной цели, наилучшей по тому или

иному критерию;

• на третьем — оценивается возможность получения для каждой пары тра-

ектории перехвата, удовлетворяющей ограничениям по скоростям и пере-

грузкам.

Необходимо отметить, что в отечественной литературе вопросам оптими-

зации этих задач уделяется недостаточное внимание. В зарубежной лите-

ратуре рассматривается множество различных подходов к решению задачи

целераспределения, учитывающих:

• тип противника (активный, пассивный);

• способы представления времени (непрерывное, дискретное);

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект № 18-08-01083-а).

123

• тип представления исходных моделей (детерминированные, статистиче-

ские);

• виды используемых функционалов качества;

• способы решения задачи (одношаговые, многошаговые);

• различные наборы ограничений и т.д.

Детальный обзор этих подходов выполнен в [2]. Следует подчеркнуть, что

в большинстве этих подходов построение целераспределения сводится к реше-

нию достаточно сложных математических задач. Наиболее распространенной

среди них является известная задача WTA (Weapon Target Assignment) [3, 4],

представляющая собой достаточно сложную задачу нелинейного целочислен-

ного программирования, коэффициенты которой определяются заданными

вероятностями перехвата. Хотя существуют сложные способы численного по-

иска приближенного решения, способные решить задачу при сотне целей и

перехватчиков, трудоемкость их применения неадекватно возрастает с ро-

стом числа участников. Кроме того, вопрос определения этих вероятностей,

как правило, не обсуждается.

С учетом устойчивой тенденции возрастания количества участников про-

тивоборствующих групп [5], особенно с участием беспилотных летательных

аппаратов, весьма актуальным является использование более простого спо-

соба целераспределения, основанного на минимизации суммы упрощенных

функционалов качества с учетом ограничений на скорости и ускорения. Та-

кой подход позволяет решать задачу минимизации суммарного функционала

качества с высокой скоростью и для достаточно больших групп участников.

Далее задача целераспределения будет рассматриваться в трех различных

постановках:

• целераспределение в стационарных группах нападения и защиты с равно-

значными целями;

• целераспределение при выбывании отдельных участников противобор-

ствующих групп;

• целераспределение с учетом приоритета целей.

2. Общая постановка задачи и схема ее решения

Для групп, состоящих из N произвольно расположенных перехватчиков

и M целей, необходимо назначить каждому n-му (n = 1,N) перехватчику

свою m-ю (m = 1, M) цель, наилучшую по минимуму суммарного функцио-

нала качества:

∑

(1)

I = In,m(n),

n=1

в котором I_n,m представляет собой индивидуальный функционал качества,

соответствующий перехвату n-м перехватчиком m-й цели. Минимизация про-

изводится по всем возможным способам m(n) назначения n-му перехватчику

m-й цели. При этом если перехватчиков больше, чем целей, то каждой цели

должен быть назначен отдельный перехватчик, в противоположном случае

каждому перехватчику должна быть назначена отдельная цель.

124

Задача будет решаться при условии, что выполняются следующие допу-

щения:

•

целераспределение выполняется на авиационном комплексе радиолокаци-

онного дозора и наведения [1], бортовая радиолокационная система кото-

рого работает в режиме многоцелевого сопровождения с формированием

координат целей и оценок их скоростей и курсов [6];

•

запаса топлива на каждом перехватчике достаточно для выполнения пе-

рехвата;

•

цели не маневрируют и движутся с постоянными, но разными скоростями;

•

траектория каждого перехватчика состоит из двух участков: на первом

выполняется доворот на цель до требуемого угла упреждения с постоян-

ным ускорением, а на втором — прямолинейный полет в упрежденную

точку встречи;

•

все перехватчики, расположенные в пространстве произвольно, имеют раз-

личную начальную скорость;

•

известны максимально допустимые значения скоростей и ускорений пере-

хватчиков;

•

в качестве перехватчиков используются беспилотные летательные аппара-

ты в режиме “камикадзе”.

Решение задачи будет состоять из следующих этапов.

На первом этапе выбирается класс траекторий, с помощью которых пере-

хватчики должны перехватывать цель. На основе этого выбирается инди-

видуальный функционал качества перехвата для выбранного перехватчи-

ка и выбранной цели с учетом ограничений по скорости и ускорению.

На втором этапе задача поиска минимума индивидуального функционала

качества сводится к нескольким задачам минимизации с ограничениями

типа равенств.

На третьем этапе производится назначение целей перехватчикам, обеспе-

чивающее минимум суммарного функционала (1). На этом этапе будут

рассмотрены несколько наиболее востребованных вариантов решения за-

дачи: обычный вариант целераспределения, целераспределение с выбыва-

нием участников, а также целераспределение с учетом приоритета целей.

3. Построение траектории перехвата для отдельной пары перехватчик - цель

Выберем определенный перехватчик и определенную цель (рис. 1).

Пусть в начальный момент перехватчик, находится в точке A и движется

со скоростью V₀, а цель находится в точке B и движется со скоростью V.

Будем строить предполагаемую траекторию перехвата следующим образом:

сначала перехватчик движется с постоянным ускорением J, выполняя до-

ворот на цель, затем в момент времени t, когда перехватчик находится в

точке C, а цель находится в точке D, продолжается его движение с постоян-

ной скоростью в точку встречи E. В качестве индивидуального функционала

в (1) используем соотношение

(2)

I_n,m

= T + K|J|t,

125

V₀

r₀

r₁

Рис. 1. Траектории движения перехватчика и цели.

где T - полное время движения перехватчика по траектории, а второе слагае-

мое учитывает затраты на формирование управляющего сигнала, определяе-

мого ускорением J. Постоянный коэффициент K выбирается из соображений

баланса между временем перехвата и затратами на движение с ускорением.

Условие перехвата в случае, когда перехватчик и цель движутся с по-

стоянной скоростью, заключается в том, что относительная скорость дви-

жения перехватчика направлена по линии визирования. Это означает, что в

момент t окончания действия ускорения относительная скорость движения

-→

должна быть направлена по вектору

CD (рис. 1). Тогда перехватчик и цель

встретятся в точке E. Если обозначить в момент t относительное положение

-→

цели r_t =

CD и скорость перехватчика V_t, то из условия перехвата следу-

ет то, что для некоторого τ ≥ 0 выполнено условие r_t = τ(V_t - V). Видно,

что τ является интервалом времени между моментом окончания действия

ускорения и моментом перехвата. Обозначим положение цели относительно

-→

перехватчика в начальный момент времени:

AB = r₀. Выражая r_t,V_t через

начальные величины, получим

(3)

r₀ + Vt - V₀t - Jt²/2 = τ(V₀

+ Jt - V).

Преобразовав (3), получим

(2τ + t)Jt = 2r₀ + 2(τ + t)(V - V₀).

Сумма t + τ представляет собой полное время движения T . Тогда

(4)

(2T - t)Jt = 2r₀ + 2T (V - V₀

Потребуем, чтобы скорость перехватчика V_t = V₀ + Jt в момент оконча-

ния действия ускорения не превышала V_max, а его ускорение не превыша-

ло J_max. Из (4) следует, что ограничение |J| ≤ J_max определяет неравенство

(5)

2|r₀ + T (V - V₀)| ≤ t(2T - t)J_max,

а ограничение |V_t| ≤ V_max - неравенство

(6)

|2r₀ + 2VT - V₀t| ≤ (2T - t)V_max

126

при

(7)

T ≥ t,

(8)

t ≥ 0.

Определив Jt из (4) и подставив в (2), получим функцию двух переменных

|r₀ + T (V - V₀)|

I_n,m(T,t) = T + 2K

2T - t

которую требуется минимизировать при ограничениях (5)-(8). В силу моно-

тонной зависимости функционала I_n,m(T, t) от переменной t при фиксиро-

ванном значении T он принимает минимальное значение на границе области,

определяемой неравенствами (5)-(8). В результате задача минимизации раз-

бивается на несколько подзадач, в которых одно или два неравенства (5)-(8)

полагаются равенствами.

Начнем с рассмотрения случая, когда

(6) является равенством, т.е.

|V_t| = V_max. С помощью условия |V₀ + Jt| = V_max функционал (2) можно за-

писать в виде

√

I_n,m = T + K V^2max - V²⁰ - 2(Jt,V₀).

После подстановки Jt из (4) получим

√

4(r₀, V₀) + 4T (V - V₀, V₀)

I_n,m = T + K V^2max - V²⁰ -

2T - t

Перейдем от переменной T к z = 2T - t. Тогда функционал примет вид

√

t+z

4(r₀, V₀)

2t(V - V₀, V₀)

(9)

I_n,m =

+K V^2max-V²⁰-2(V-V₀,V₀)-

а равенство (6) запишется как

(10)

|2r₀ + 2Vz + (V - V₀)t| = zV_max.

Введем обозначения

a = |V - V₀|²; b = 2(V - V₀,V);

(11)

c = |V|² - V ^2max; d = 4(V - V₀,r₀

);

e = 4(V,r₀); f = 4|r₀|²; g = J^2max.

Тогда после возведения (10) в квадрат получим

(12)

at² + btz + cz²

+ dt + ez + f = 0,

а (9) примет вид

√

I_n,m = (t + z)/2 + K

a - c + (d - e)/z + (b - 2a)t/z.

127

Сделаем замену переменных x = 1/z; y = y/z. Тогда задача сводится к ми-

нимизации функционала

√

(13)

I_n,m = (y + 1)/2x + K

a - c + (d - e)x + (b - 2a)y

при ограничении

(14)

G(x, y) = ay² + by + c + dxy + ex + fx²

= 0.

Если ввести множитель Лагранжа λ, то необходимым условием минимума

будет

∂I_n,m(x,y)/∂x = λ∂G(x,y)/∂x;

∂I_n,m(x,y)/∂y = λ∂G(x,y)/∂y.

Обозначим: P = 2ay + b + dx; Q = 2fx + e + dy; H = (d - e)x + (2a - b)y. По-

сле исключения λ и вычисления производных получим уравнение

) (

)

⁽1

K(2a - b)

y+1

K(d - e)

√

H+a-c

Избавившись от корня с помощью возведения в квадрат, получим равенство

K²x⁴((d - e)P - (2a - b)Q)² = (Qx + P(y + 1))²(H + a - c),

которое после упрощения с помощью (14) принимает вид

(15)

K²x⁴((d - e)P - (2a - b)Q)² - (H + b - 2c)²

(H + a - c) = 0.

Тем самым задача минимизации (13) сводится к решению системы урав-

нений (14), (15). Так как коэффициент f = |r₀|² положителен, заменой x =

= (2ξ - dy - e)/2f можно привести (14) к виду ξ² = a₁y² + b₁y + c₁. При

этом (15) можно записать по степеням ξ как

h₀(y)ξ⁶ + h₂(y)ξ⁴ + h₄(y)ξ² + h₆(y) = ξ(h₁(y)ξ⁴ + h₃(y)ξ² + h₅(y)),

где h_k(y) - некоторые многочлены степени k. После возведения в квадрат

останутся только четные степени ξ, которые выражаются через y. В резуль-

тате получится уравнение двенадцатой степени относительно y. Численно

найдем все его действительные корни при помощи известных алгоритмов на-

хождения корней многочленов [7]. Подставим найденные корни в (14) и из

полученного квадратного уравнения найдем действительные значения x, ес-

ли таковые существуют. В результате получим несколько пар значений x, y.

Перейдем обратно к переменным T, t и исключим те значения, которые не

удовлетворяют (5), (7) и (8). Оставшиеся пары занесем в общий список кан-

дидатов на минимум функционала (2).

Перейдем к случаю, когда равенством является (5), т.е. |J| = J_max. Из этого

равенства можно выразить t:

√

4aT² + dT + f

(16)

t=T -

^√T2 -

128

где использованы обозначения (11). Знак перед корнем выбран исходя из

условия t ≤ T . В функционале (2) положим |J| = J_max и подставим в него

найденное выражение для t. В результате функционал качества становится

функцией T :

√

4aT² + dT + f

I_n,m(T) = (KJ_max + 1)T - KJ_max√T2 -

Для определения экстремума возьмем производную dI_n,m(T )/dT , приравняв

ее нулю. Если обозначить

4aT² + dT + f

8aT + 2d

h = 16(1 + 1/KJ_max)², f₁(T) =

f₂(T) =

то после ряда преобразований условие равенства нулю производной опреде-

ляется соотношением

(

)₂

(17)

(16 - h)T²f₁(T ) + f₂(T )²

- f₁(T)(8Tf₂(T) - hf₁(T))²

= 0,

которое после раскрытия скобок приводит к уравнению восьмой степени по

переменной T . Решим его численно. Для каждого полученного T найдем t

из (16). Из всех полученных пар действительных значений (T, t) оставим

только те, которые удовлетворяют (6)-(8). Занесем их в общий список кан-

дидатов на минимум функционала (2).

Пусть теперь равенством является (7), т.е. T = t - ускорение работает все

время движения. Выразим Jt из (4) и подставим в (2):

I_n,m = T + 2K|r₀/T + V - V₀|.

Если перейти к z = 1/T , то в обозначениях (11) получим

√

I_n,m(z) = 1/z + K

fz² + 2dz + 4a.

Уравнение dI_n,m(z)/dz сводится к уравнению шестой степени

(18)

K²z⁴(fz + d)² = fz²

+ 2dz + 4a.

Решим его численно и те корни, для которых выполнены условия (5), (6)

и (8), добавим в общий список кандидатов на минимум функционала (2).

Рассмотрим случай, когда равенством является (8), т.е. t = 0 - ускорение

не включается. В этом случае уравнение (4) практически никогда не будет

выполнено, так как оно требует абсолютно точного перехвата цели без манев-

ра перехватчика. Но здесь удобно поступить следующим образом. Расстоя-

ние до цели в момент T будет |r₀ + (V - V₀)T |. Оно принимает минимальное

√

значение r_min =

f /4 - d²/16a при T_min = -d/4a в обозначениях (11). Ес-

ли T_min ≥ 0 и величина промаха r_min находится в допустимых пределах, то

добавим значение T_min в общий список кандидатов на минимум с соответ-

ствующим значением функционала I_n,m = T_min.

129

Перейдем к рассмотрению случаев, когда из четырех неравенств (5)-(8)

два являются равенствами.

Пусть равенствами являются выражения (5) и (6), т.е. |V_t| = V_max, |J| =

= J_max. Сделаем замену z = 2T - t. Тогда после возведения в квадрат в обо-

значениях (11) равенство (6) примет вид (12), а равенство (5) запишется как

(19)

gt²z² - a(z + t)²

− d(t + z) - f = 0.

Сложив (19) и (12), получим

gt²z² - (c - a)z² + (b - 2a)tz + (e - d)z = 0.

Можно сократить на z, так как z = T + (T - t) ≥ T > 0:

(20)

gt²

z - (c - a)z + (b - 2a)t + (e - d) = 0.

Выразим отсюда z и подставим в (12). Получится уравнение шестой степени

относительно t:

(21)

cp₁(t)² - p₁(t)p₃(t)p₂(t) + p₄(t)p₂(t)²

= 0,

где обозначено

p₁(t) = (b - 2a)t + (e - d); p₂(t) = gt² + (c - a);

p₃(t) = bt + e; p₄(t) = at² + dt + f.

Численно найдем все действительные корни t уравнения (21), затем найдем

соответствующие значения z из (20) и значения T = (z + t)/2. Удовлетворяю-

щие неравенствам (7) и (8) значения занесем в общий список кандидатов на

минимум функционала (2).

Пусть равенствами являются (5) и (7). Тогда после подстановки t = T в (5)

и возведения в квадрат получится уравнение

(22)

gT⁴ - 4aT²

− 2dT - f = 0.

Его решения, удовлетворяющие неравенствам (6) и (8), добавим в общий спи-

сок кандидатов на минимум функционала (2).

Пусть теперь равенствами являются (6) и (7). Подставим t = T в (6) и

возведем в квадрат. В обозначениях (11) получим уравнение

(23)

(a + b + c)T²

+ (e + d)T + f = 0.

Его решения, удовлетворяющие неравенствам (5) и (8), добавим в общий спи-

сок кандидатов на минимум функционала (2).

Вырожденный случай, когда одним из равенств является (8), уже был

рассмотрен ранее.

Теперь найдем глобальный минимум функционала (2). Для всех пар ве-

личин (T, t) из общего списка кандидатов на минимум функционала (2), по-

строенного на предыдущих этапах, вычислим |Jt| с помощью (4) и подставим

полученное значение в (2). Выберем те величины, которые дают минималь-

ное значение. Полученное значение T вместе с соответствующим значением t,

значением функционала I_n,m и вектором J определяют наилучшую траекто-

рию перехвата цели и ее стоимость.

130

4. Формирование целераспределения группы на группу

Решив задачу поиска минимума (2) для одиночного перехватчика и цели,

вернемся к рассмотрению групп перехватчиков и целей. Для каждого пере-

хватчика с номером n и цели с номером m определим наилучшую траекторию

перехвата и соответствующее значение I_n,m функционала (2). Основываясь

на этих данных, приведем решение задачи целераспределения в различных

ее постановках.

Начнем с простейшей задачи, когда число перехватчиков равно числу це-

лей. Будем искать назначение целей перехватчикам, дающее минимальную

суммарную стоимость (1). В результате получаем задачу, известную под на-

званием «задача о назначениях», с матрицей стоимости I_n,m. Способ решения

этой задачи, известный как «венгерский алгоритм» [8], состоит из последова-

тельных итераций, на каждой из которых назначение m(n) меняется так, что

суммарная стоимость выбора уменьшается. В результате получается такой

выбор, который дает минимальное значение суммарной стоимости. Вычисли-

тельная сложность этого алгоритма для квадратной матрицы размера N × N

пропорциональна N³.

В случае, когда N = M, требуется выполнять целераспределение при из-

бытке перехватчиков или целей. Венгерский алгоритм также работает с пря-

моугольной матрицей, определяя наилучшее назначение min(N, m) целей

на min(N, m) перехватчиков. Будем действовать следующим образом. Ес-

ли N < M, то назначаем N целей на N перехватчиков, а остальные цели

не трогаем. Если N > M, найдем такое максимальное число k, что kM ≤ N,

и объединим k копий матрицы I_n,m размера N × M в одну матрицу раз-

мера N × kM. Решив «задачу о назначениях» для этой матрицы, получим

назначение kM перехватчиков на kM целей по k перехватчиков на каждую

цель. Затем еще раз решим «задачу о назначениях» и назначим N - kM

оставшихся перехватчиков на M целей.

Этот способ целераспределения также позволяет учитывать выбывание

целей или перехватчиков. Для этого достаточно просто выполнить заново

всю процедуру целераспределения при выбывании участников. При повтор-

ном выполнении целераспределения новое назначение целей может сильно

отличаться от предыдущего. Если это нежелательно, то можно ввести до-

полнительную коррекцию, умножив величины I_n,m на некоторый множитель,

меньший единицы, для тех пар (n, m), которые были назначены друг другу на

предыдущем шаге. Тем самым ранее назначенные пары перехватчик - цель

получают некоторое преимущество.

Если все перехватчики обладают одинаковыми характеристиками, а среди

целей некоторые считаются более важными, то процедура целераспределения

усложняется, поскольку требуется определение дополнительного наряда пе-

рехватчиков, предназначенных специально для перехвата важных целей.

Назначение конкретного числа перехватчиков, необходимого для перехва-

та важной цели, может быть осуществлено различными способами. Ниже бу-

дет рассмотрен один из самых простых способов решения этой задачи, когда

известны результаты ранжирования целей по степени их важности [9], тре-

буемые вероятности их поражения P_T и соотношение летно-технических ха-

131

П1

Ц1

П2

Ц2

П3

Ц3

П4

Рис. 2. Пример графа целераспределения.

рактеристик (ЛТХ) самолетов и оружия противоборствующих сторон [10, 11],

позволяющие определить вероятность индивидуального поражения P_i важ-

ной цели конкретным перехватчиком.

На первом шаге определяется число k_m перехватчиков, реализующих ве-

роятность P_m поражения важной цели c номером m не меньше требуемой

вероятности P_T,m, из условия

(24)

P_m = 1 - (1 - P_i,m)km ≥ P_T,m,

где P_i,m - вероятность индивидуального поражения цели одним перехватчи-

ком.

В ситуации, когда общее число перехватчиков достаточно, чтобы назна-

чить по k_m перехватчиков для всех важных целей и по одному перехватчику

для остальных целей, задачу можно решить тем же способом, что и в преды-

дущем пункте. Достаточно лишь расширить матрицу I_n,m: для важных целей

вместо одного столбца нужно вставить k_m копий исходного столбца. Реше-

ние «задачи о назначениях» с новой матрицей позволяет получить нужный

результат.

Более сложной является ситуация, когда общее число перехватчиков до-

статочно, чтобы назначить по k_m перехватчиков для всех важных целей, но

оставшихся перехватчиков не хватит на все остальные цели. Нужно миними-

зировать суммарную стоимость (1) так, чтобы для каждой важной цели было

назначено k_m перехватчиков. Эту задачу уже нельзя сформулировать в виде

«задачи о назначениях». Однако ее можно сформулировать в виде более об-

щей задачи нахождения потока минимальной стоимости в графе. Подробное

описание этой задачи и способов ее решения можно найти в [12, 13].

Задача поиска целераспределения в виде задачи нахождения потока мини-

мальной стоимости в графе формулируется следующим образом. Граф целе-

распределения (рис. 2) представляет собой направленный граф, содержащий

по одной вершине для каждого перехватчика и цели, а также две специаль-

ные вершины: исток (И) и сток (С).

От каждого перехватчика n к каждой цели m ведет ребро стоимостью I_n,m

и с единичной пропускной способностью. Из истока к каждому перехватчи-

ку ведет ребро нулевой стоимости и единичной пропускной способности. От

каждой цели к стоку идет ребро. Для обычных целей его стоимость зада-

ется величиной, значительно превышающей максимум величин I_n,m, а его

132

пропускная способность равна единице. Для важных целей стоимость ребра

равна нулю, а пропускная способность равна k_m. Требуется пропустить по-

ток размера N из истока в сток. Решением задачи является величина потока

для каждого ребра. Назначение целей на перехватчики определяется ребра-

ми, ведущими от перехватчиков к целям, для которых величина найденного

потока равна единице.

В заключение перечислим данные, необходимые для использования ал-

горитма. К ним относятся: векторы скорости всех перехватчиков и целей;

векторы относительного положения для каждой пары перехватчик - цель;

максимальные ограничения на величины скорости и ускорения перехватчи-

ков. Эти данные могут быть представлены в любой форме: в декартовых или

полярных координатах, в абсолютных или относительных величинах. Нужно

лишь указать способ вычисления коэффициентов (11).

5. Исследование работоспособности алгоритма целераспределения

Для моделирования использовалась среда Matlab на компьютере с процес-

сором Core I5-4670, 3.40 ГГц с 4Гб оперативной памяти. Исследование рабо-

тоспособности алгоритма проводилось по результатам имитационного моде-

лирования процедуры перехвата целей перехватчиками при следующих усло-

виях:

• все перехватчики обладают достаточным запасом топлива;

• все цели и перехватчики размещены в пространстве случайным образом;

• начальные значения скоростей перехватчиков выбираются случайным об-

разом из диапазона Va,min, . . . , Va,max а для целей из диапазона Vb,min,

...,Vb,max;

• на перехватчики накладываются ограничения по скорости Va,max и уско-

рению J_max.

При выборе назначения для каждой пары перехватчик - цель ищется ми-

нимальное значение I_n,m функционала (2) при ограничениях (5)-(8). Для

этого последовательно решается система (14), (15) и уравнения (17), (18),

(21)-(23); среди всех полученных решений выбирается то, которое обеспечи-

вает минимум функционала (2).

На основе полученных значений I_n,m выбирается распределение целей по

перехватчикам в соответствии с постановкой задачи. Далее проводится моде-

лирование решения задачи целераспределения в нескольких различных по-

становках.

В самом простом варианте, приведенном на рис. 3, проводилось имитаци-

онное моделирование процедуры перехвата четырех целей четырьмя пере-

хватчиками. Все цели предполагаются равнозначными и выбывания объек-

тов не происходит. Решение получается на основе применения «венгерского

алгоритма» к матрице, составленной из величин I_n,m.

Задано ограничение скорости перехватчиков V_max = 400 (все скорости за-

даны в метрах в секунду), максимальное ускорение перехватчиков J_max =

= 30м/c². Коэффициент K в (2) выбран равным 1/30. Начальные скоро-

сти перехватчиков 283, 283, 283, 250. Начальные скорости целей 177, 164,

133

Ц2

Ц1

Ц3

Ц4

B42

B34

B23

B11

П4

П3

П1

П2

Рис. 3. Вариант группового целераспределения и перехвата.

Ц1

Ц2

П2

П1

П3

Рис. 4. Целераспределение с выбыванием перехватчика.

158, 86. Расстояние между перехватчиками и целями находится в пределах

от 15 до 22 километров.

В результате каждому перехватчику назначена своя цель, а также опреде-

лен вектор управляющего ускорения и время его действия. Построенные на

основе полученного сигнала управления траектории также показаны на ри-

сунке вместе с траекториями движения целей. Видно, что каждый перехват-

чик встречается с назначенной целью в соответствующей точке встречи B_nm.

Времена перехвата (в секундах): t1→1 = 45, t2→3 = 40, t3→4 = 38, t4→2 = 32.

Для оценки быстродействия предложенного алгоритма также проводились

расчеты при большом количестве перехватчиков и целей. Для N = M = 100

выполнение алгоритма занимает около одной секунды.

Геометрические соотношения между целями и перехватчиками для ва-

рианта выбывания перехватчиков в процессе наведения показаны на рис. 4.

В начале перехвата по результатам целераспределения на первую цель были

назначены первый и третий перехватчики, а на вторую цель — второй пере-

хватчик. Через некоторое время после начала перехвата, когда перехватчики

и цели находились в точках, отмеченных звездочками, второй перехватчик

134

Ц1

Ц3

Ц2

П4

П3

П2

П1

Рис. 5. Целераспределение с выбыванием цели.

Ц3

Ц4

Ц1

Ц2

П6

П2

П1

П5

П4

П3

Рис. 6. Целераспределение при наличии приоритетной цели.

выбывает из преследования. После этого повторно выполняется целераспре-

деление и третий перехватчик назначается на вторую цель вместо первой.

Штриховой линией показаны участки предполагаемых траекторий, соответ-

ствующие первоначальному целераспределению, которые не были реализова-

ны из-за выбывания перехватчика.

Другой, более сложный вариант целераспределения при выбывании целей

показан на рис. 5. Первоначальное целераспределение: третий перехватчик —

на первую цель, второй перехватчик — на третью цель, первый и четвертый

перехватчики — на вторую цель. В некоторый момент времени четвертый

перехватчик поражает вторую цель. Положения всех объектов в этот момент

отмечены звездочкой. После повторного выполнения целераспределения тре-

тий и второй перехватчики назначаются на первую цель, а первый и чет-

вертый — на третью. Штриховой линией показаны участки предполагаемых

траекторий, соответствующие первоначальному целераспределению, которые

не были реализованы из-за выбывания цели.

При моделировании перехвата приоритетных целей была задана требуе-

мая вероятность поражения важной цели P_T ≥ 0,9 при вероятности ее по-

135

ражения отдельным перехватчиком P_i = 0,5. Один из вариантов перехвата

приоритетной цели показан на рис. 6. Шесть перехватчиков должны пере-

хватить четыре цели. Цель номер 4 считается важной, и для ее перехвата

в соответствии с формулой (24) требуется четыре перехватчика. Поэтому

в поставленной задаче перехватчиков не хватает для всех целей и задача

решается с помощью алгоритма поиска минимального потока в графе. По

результатам выполнения этого алгоритма применительно к графу, постро-

енному на основе найденных значений I_n,m, получается целераспределение,

представленное на рис. 6.

Также проводился расчет целераспределения 30 перехватчиков на 26 це-

лей, из которых 2 цели были важными и на каждую из них требовалось по

4 перехватчика. Тем самым для перехвата всех целей не хватало двух пере-

хватчиков. С такими данными решение задачи целераспределения заняло 5 с

с помощью стандартной функции Graph:minCost, дающей решение задачи о

потоке в графе, из системы вычислений MatLab.

Исследования, проведенные для различного пространственного положе-

ния перехватчиков и целей при различных наборах скоростей, подтвердили

работоспособность предложенного способа целераспределения при бортовых

пеленгах до ±π/2.

При целераспределении по маневрирующим целям необходимо задать вре-

мя жизни гипотез изменения скорости цели (обычно несколько секунд). По

истечении этого интервала необходимо снова решить задачу целераспределе-

ния и сформулировать сопутствующий закон управления. При этом подхо-

де назначение целей может измениться. Также, как и при учете выбывания

участников, можно изменить матрицу I_n,m так, чтобы предпочтение давалось

ранее назначенному распределению целей.

Точный учет ограничений по топливу можно рассматривать как дополни-

тельное ограничение, аналогичное ограничениям по скорости и ускорению,

и вычислять минимум функционала качества с учетом этого ограничения.

При этом можно использовать менее точный, но значительно более простой

метод. После вычисления матрицы I_n,m становятся известными предпола-

гаемые траектории перехвата. Для каждой такой траектории можно найти

расход топлива и, в случае превышения допустимого значения, исключить

этот вариант.

6. Заключение

Полученный алгоритм группового целераспределения подтвердил свою

эффективность в широком поле условий применения. Его достоинством яв-

ляется то, что он позволяет при целераспределении учесть выбывание участ-

ников и важность целей, а также обеспечить не только назначение целей

перехватчикам, но и построить предполагаемые траектории перехвата с уче-

том реальных ограничений. Предложенный алгоритм можно использовать в

комбинации с разными методами наведения. При этом по информационному

обеспечению он не накладывает принципиальных ограничений на возмож-

ность его реализации.

136

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Верба В.С. Авиационные комплексы радиолокационного дозора и наведения.

Принципы построения, проблемы разработки и особенности функционирования.

М.: Радиотехника, 2014.

Верба В.С., Меркулов В.И, Пляшечник А.С. Методы и алгоритмы целераспре-

деления при групповом противоборстве // Информационно-измерительные и

управляющие системы 2018. № 1. Т. 16. C. 3-20.

Ahuja R., Kumar A., Krishna J., Orlin J. Exact and heuristic algorithms for the

weapon — target assignment problem // Oper. Res. 2007. No. 6. P. 1136-1146.

Zhang J., Hu C., Wang X., Yuan D. ACGA algorithm of solving weapon — target

assignment problem // Open J. Appl. Sci. 2012. V. 2. No. 4B. P. 74-77.

Попов И.М., Хамзатов М.М. Война будущего: концептуальные основы и прак-

тические выводы. М.: Кучково поле, 2017.

Авиационные системы радиоуправления: учебник для военных и гражданских

ВУЗов / Под ред. В.И. Меркулова. М.: Изд-во ВВИА им проф. Н.Е. Жуков-

ского, 2008.

Jenkins M.A. Algorithm 493: Zeros of a real polynomial // ACM Transac. Math.

Software. 1975. No. 2. P. 178-189.

Munkres J. Algorithms for assignment and transportation problems // J. Soc. Indust.

Appl. Math. 2000. No. 1. P. 32-38.

Канащенков А.И., Меркулов В.И., Самарин О.Ф. Облик перспективных бор-

товых радиолокационных систем. Возможности и ограничения. М.: ИПРЖР,

2002.

10.

Зуенко Ю.А., Коростелев С.Е. Боевые самолеты России. М.: Элакос, 1994.

11.

Williams M. Superfighters: The Next Generation of Combat Aircraft. AIRTime

Publishing, Incorporated, 2002.

12.

Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.

13.

Gross J.L., Yellen J., Zhang P. Handbook of Graph Theory. CRC Press, 2014.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Е.Я. Рубиновичем.

Поступила в редакцию 12.10.2017

После доработки 21.06.2018

Принята к публикации 08.11.2018

137