Автоматика и телемеханика, № 4, 2019

Линейные системы

(b.g.grebenshchikov@yandex.urfu.ru)

(Уральский федеральный университет им. первого Президента России

Б.Н. Ельцына, Екатеринбург)

О СТАБИЛИЗАЦИИ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Рассматривается задача стабилизации совокупности двух линейных

подсистем дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием,

при этом одна из подсистем имеет в правой части экспоненциальный мно-

житель. Получены достаточные условия устойчивости решения данной

системы, на основании которых и производится стабилизация системы.

Ключевые слова: запаздывание, управляемая система, устойчивость, ста-

билизация.

DOI: 10.1134/S0005231019040020

1. Введение

1. Рассмотрим управляемую линейную систему 2m-го порядка с запазды-

ванием

dx(t)/dt = A₁(t)x(t) + B₁(t)x(t - τ) + A₂(t)y(t) + B₂(t)y(t - τ) + D₁u₁(t),

dy(t)/dt = t₀e^t(A₃(t)x(t) + B₃(t)x(t - τ) + A₄(t)y(t) + D₂u₂(t)),

(1.1)

t ≥ 0, t₀ = const, t₀

> 0, τ = const, τ > 0.

Здесь A_i(t), i = 1, . . . , 4; B_j (t), j = 1, 2, 3 — периодические (периода τ) непре-

рывно дифференцируемые матрицы размерности m × m (B₄ ≡ 0), при этом

считаем, что существует матрица A-14(t); x(t), y(t) — m-мерные вектор-

функции времени t, определенные на интервале η ∈ [-τ, 0] начальными

вектор-функциями соответственно φ₁(η), φ₂(η). Отметим, что к системе (1.1)

заменой аргумента t = ln(^θ ) сводится система с линейным запаздыванием_t

(1 - μ)θ, μ = e^-τ [1, c. 99]. Более простые системы с линейным запаздывани-

ем встречаются в теории радиоактивного распада [1, c. 96], в проблемах био-

логии, механики. В частности, данная система может встречаться в случае

исследования процесса колебаний контактного провода при взаимодействии

с двумя движущимися токоприемниками локомотива; один из токоприем-

ников находится впереди (и в непосредственной близости) от эластической

опоры, второй токоприемник (не обязательно такой же конструкции) нахо-

дится сзади (в достаточном удалении) от этой же опоры. Колебания первого

токоприемника описываются однородной подсистемой, аналогичной второй

из подсистем (1.1) [2], колебания второго токоприемника при некоторой до-

статочно большой стреле провеса контактного провода в простейшем случае

описываются неоднородной системой (подобной системе уравнений — аналогу

уравнениям Эйлера [4, c. 95]), модели приведены в [2, 3]. При этом на колеба-

ния второго токоприемника накладываются колебания провода, вызванного

колебаниями полоза первого токоприемника, а также колебания, вызванные

отраженными от опоры волнами ввиду собственных колебаний второго то-

коприемника. Очевидно, что в случае устойчивости процесса колебаний и

при достаточно одинаковых начальных условиях (а именно, расстояние меж-

ду опорами, одна и та же стрела провеса контактного провода, достаточно

большая эластичность в точке закрепления контактного провода) устойчивый

процесс колебаний будет периодическим. В случае неустойчивости, в част-

ности, при достаточно больших скоростях движения локомотива возможен

большой отрыв полоза токоприемника от контактного провода. Поскольку

на железных дорогах нашей страны (ввиду большого перепада температуры

в течение года) применяется так называемая “рессорная” (тяжелая и лег-

кая) подвеска (более подробно в [5]), в случае легкой подвески при достаточ-

но больших скоростях движения локомотива возникают большие колебания

второго токоприемника при воздействии волн, отраженных от “струн”, кото-

рые поддерживают контактный провод в промежутке между опорами. Все

это приводит к тому, что следующим этапом более точной математической

модели этого процесса должны быть аналогичные уравнения уже с перио-

дическими матрицами A_i(t), B_k(t) i, k = 1, 2, 3, 4. Следуя методике исследо-

вания свойств решений более простых систем с постоянным запаздыванием

[4, с. 169], полагаем периодичность матриц A_i(t), B_k(t) (периода τ). Кроме

того, система, рассматриваемая здесь, имеет асимптотические свойства, по-

добно системам, имеющим подсистему с постоянным положительным малым

параметром при производной [6].

Поскольку здесь будем интересоваться возможностью стабилизации

неустойчивого решения системы (1.1), то в ней присутствуют управляющие

воздействия u₁(t), u₂(t) — r-мерные вектор-функции времени t; D_j (j = 1, 2) —

постоянные матрицы размерности m × r, 1 ≤ r ≤ m. Поскольку lim e^t = ∞,

t→∞

без ограничения общности считаем, что число t₀ достаточно большое (в даль-

нейшем эта особенность будет существенно использоваться при стабилизации

некоторых подсистем).

Норму вектора w = {w_j }^⊤ (здесь w_j

— компоненты вектора w, ⊤ —

∑

знак транспонирования) определим равенством ∥w∥ =

|w_j |. Очевидно,

j=1

∥{x, y}^⊤∥ = ∥x∥ + ∥y∥. (Норму матрицы D = {d_ij } (i, j = 1, . . . , m) определим

в соответствии с нормой вектора [7, c. 12], именно, ∥D∥ = max

^∑ |d_ij |).

Наряду с данной нормой будем рассматривать норму вектор-функции на

отрезке

(1.2)

∥x∥_τ = max

∥x(t)∥.

t∈[0,τ]

Отметим, что если учесть равенство (1.2), то при такой нормировке получаем

банахово пространство [7, c. 148] (пространство C2m). Определение устойчи-

вости, асимптотической устойчивости в этом пространстве приведены, напри-

мер, в [1, c. 360]. Их будем использовать в дальнейшем. Системы с постоян-

ными матрицами A_i; B_j , i = 1, . . . , 4, j = 1, . . . , 4 изучались ранее автором в

работах [8, 9].

Пусть u₁ = u₂ ≡ 0. Чтобы лучше уяснить особенности данной систе-

мы, перейдем к счетной системе обыкновенных дифференциальных урав-

нений, заданной на конечном промежутке времени [0, τ] [1, с. 103], полагая

xn+1(t) = x(t + nτ), yn+1(t) = y(t + nτ), t ∈ [0,τ], n = -1,0,+1,

В резуль-

тате получаем следующую краевую задачу для счетной системы обыкновен-

ных дифференциальных уравнений:

(1.3)

dxn+1(t)/dt = A₁(t)xn+1(t) + B₁(t)x_n(t) + A₂(t)yn+1(t) + B₂(t)y_n

(t),

(1.4)

ε_ndyn+1(t)/dt = t₀e^t (A₃(t)xn+1(t) + B₃(t)x_n(t) + A₄(t)yn+1

(t)) ,

0 ≤ τ ≤ σ, ε_n = e^-nσ/t₀,

с начальными условиями

xn+1(0) = x_n(τ), yn+1(0) = y_n(τ), n ≥ 0.

При этом учтена периодичность матриц A_j (t), B_k(t). Дальнейшее исследова-

ние (в частности, применение аппарата теории разностных уравнений) поз-

воляет использовать норму вектор-функции, определенную равенством (1.2).

Отметим, что наличие малого параметра ε_n существенно влияет на асимпто-

тическое поведение решения систем (1.3), (1.4). Установим некоторые свой-

ства этой системы.

2. Вывод достаточных условий устойчивости изучаемой системы

Поскольку подсистема (1.4) содержит малый параметр при производной

(при достаточно больших n или при достаточно большом t₀) то следуя идеям,

изложенным для выяснения свойств подобной системы (с постоянным малым

параметром ε при производной) [6], сделаем (учитывая вид подсистемы (1.4))

замену переменной

yn+1(t) = rn+1(t) - A-14(t)xn+1(t) - A-14(t)B₃(t)x_n(t) =

(2.1)

= rn+1(t) + yn+1(t);

здесь

yn+1(t) = -A⁴¹(t)xn+1(t) - A⁴¹(t)B3(t)xn(t)

— “вырожденное” решение (1.4).

Полагаем, что собственные значения λ4j(t) матрицы A₄(t) удовлетворяют

неравенству

(2.2)

Re(λ4j

(t)) < -2γ, γ = const, γ > 0.

Известно [10], что при достаточно малом ε_n фундаментальная матрица

Y (t, s, ε_n) решений однородной системы без запаздывания

(2.3)

ε_ndyn+1(t)/dt = e^tA₄(t)yn+1

(t)

удовлетворяет оценке

{

}

γ(e^t - e^s)

(2.4)

∥Y (t, s, ε_n)∥ ≤

M · exp

M = const, M > 1.

ε_n

Учитывая (1.4), (2.3) и записывая теперь rn+1(t) в интегральной форме, по-

лучаем равенство

∫t

(2.5)

rn+1(t) = Y (t,0,ε_n)rn+1(0) + Y (t,s,ε_n)ε_n (dyn+1

(s)/ds) ds.

Рассмотрим теперь интегральный член в правой части последнего равенства.

Учитывая оценку (2.4) и систему (1.3), получаем для данного интеграла оцен-

ку



∫



Y (t, s, ε_n)ε_n (dyn+1(s)/ds) ds=



(2.6)



= O(ε_n)[∥yn+1∥_τ + ∥y_n∥_τ + ∥xn+1∥_τ + ∥xn+1∥_τ ].

Первый член в правой части равенства (2.5) ввиду оценки (2.4) имеет ин-

тегральную малость [11, c. 259]. Ввиду этих оценок “малости” и подстанов-

ки (2.1) получаем из подсистемы (1.3) асимптотическое равенство

dxn+1(t)/dt = A₁(t)xn+1(t) + B₁(t)x_n(t) -

- A₂(t)A-14(t)A₃(t)xn+1(t) -

[

]

(2.7)

A₂(t)A-14(t)B₃(t) + B₂(t)A-14(t)B₃(t)

x_n(t) -

− B₂(t)A-14(t)B₃(t)xn-1(t) + f₁(yn+1(t),y_n(t),xn+1(y),x_n(t)) +

+ f₂(rn+1(t),r_n(t)).

Здесь f₁(yn+1(t), y_n(t), xn+1(t), x_n(t)) — совокупность членов, обладающих

достаточной малостью ввиду оценки (2.6); f₂(rn+1(t), r_n(t)) = A₂(t)rn+1(t)+

+B₂(t)r_n(t) — совокупность членов, имеющих интегральную малость. Рас-

смотрим теперь “укороченную” систему

dxn+1(t)/dt = A₁(t)xn+1(t) + B₁(t)x_n(t) - A₂(t)A-14(t)A₃(t)xn+1(t) -

- [A₂(t)A-14(t)B₃(t) + B₂(t)A-14(t)B₃(t)]x_n(t) -

(2.8)

- B₂(t)A-14(t)B₃(t)xn-1(t) =

=A₁(t)xn+1(t)

A₁(t)xn+1(t) +B1(t)x_n(t) +B2(t)xn-1(t).

Поскольку

rn+1(0) = yn+1(0) + A-14(0)xn+1(0) + A-14(0)B₃(0)x_n(0),

то имеем асимптотическую оценку

(

{

})

γ(e^t - e^s)

(2.9)

∥rn+1(t)∥ = O exp

[∥y_n∥_τ + ∥x_n∥_τ + ∥xn-1∥_τ

ε_n

Следовательно, в подсистеме (2.7) пренебрегли членами, обладающими той

или иной малостью.

Сформулируем следующую теорему.

Теорема 1. Подсистемой первого приближения для (2.7) (при доста-

точно малых ε_n) является дифференциальное равенство вида

(2.10)

dx0n+1(t)/dt =

(A⁰¹ +B01)x0n+1

(t).

Здесь матрицы A⁰¹,B01 имеют постоянные коэффициенты, при этом

∫

A⁰¹ =

A₁(ξ)dξ,

∫

A₁(ξ) +B1(ξ) +B2(ξ)]dξ.

Доказательство теоремы приведено в Приложении.

Отсюда следуют достаточные условия экспоненциальной устойчивости си-

стемы (1.3), (1.4).

Теорема 2. Для того, чтобы система (1.3), (1.4) была асимптоти-

чески (экспоненциально) устойчива, достаточно, чтобы собственные зна-

чения λ4j(t) матрицы A₄(t) удовлетворяли неравенству (2.2) и подсисте-

ма первого приближения (“укороченная” подсистема) была экспоненциально

устойчива.

Доказательство. Достаточность данных условий следует из устойчи-

вости по первому приближению для систем, аналогичных системе (1.3), (1.4),

доказанных ранее в [9].

3. Построение алгоритма стабилизации

Рассмотрим управляемую систему (1.1). Пусть при U = {u₁, u₂}^⊤ эта си-

стема неустойчива или устойчива, но не асимптотически. Следовательно,

неустойчива соответствующая ей система (1.3), (1.4). Требуется построить

управляющее воздействие U = f(t, x(t), x(t - τ), y(t), y(t - τ)), обеспечиваю-

щее асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1.1) на бес-

конечном промежутке времени.

Для того, чтобы при стабилизации эффективно использовать результаты

предыдущего раздела, рассмотрим вначале поведение собственных значений

матрицы A₄(t). Пусть не выполняется неравенство (2.2). Очевидно, найдутся

такие положительные постоянные σ_j = 0 (j = 1, 2), что справедливо неравен-

ство

(3.1)

-σ₁ ≤ Re(λ4l(t)) ≤ σ₂

l = 1,...,m.

Рассмотрим вспомогательные управляемые системы c “замороженными” ко-

эффициентами

dŷ^j(t)/dt = (A₄(t_j) + σE) ŷ^j(t) + D₂û_j(t_j),

(3.2)

tj+1 = t_j + h, h =

j = 0,1,...,2k + 1

2k + 1

(здесь константа σ > 0 выбирается следующим образом: σ₁ > σ). Очевид-

но, часть этих систем (при условии Re(A₄(t_j ) + σ₂E) ≥ 0) неустойчива (или

устойчива, но не асимптотически) при некоторых t_j. Будем стабилизировать

такие системы (3.2), выбирая управления û_j (t_j) по правилу, приведенному в

[12, с. 96], именно

(3.3)

û_j(t_j) = -D⊤2Γ_j ŷ^j(t_j

где Γ_j удовлетворяют соответственно нелинейным уравнениям [12, с. 97]

(3.4)

Γ_j[A₄(t_j) + σE] + [A₄(t_j) + σ₂E]^⊤Γ_j - 2Γ_jD₂D⊤2Γ_j = -γΓ_j

+ δE.

Здесь γ = const, γ > 0 (ее величиной можно распоряжаться); δ — малая по-

ложительная постоянная (ее введение обусловлено тем, что нелинейное урав-

нение (3.4) будет разрешимо, если ранг матрицы

{

}

D₂,[A₄(t) + σE]D₂,[A₄(t) + σE]²D₂,... ,[A₄(t) + σE]m-1D₂

t ∈ [0,τ]

равен m, т.е. найдется такое положительное σ < σ₁, что системы (3.2) вполне

управляемы). Разрешая уравнение (3.4), вычисляя управление û(t_j ) в со-

ответствии с (3.3), будем далее получать значения периодической стаби-

лизированной матрицы A4s(t_j ) = A₄(t_j ) + σE - D₂D⊤2Γ_j в точках t_j ∈ [0, τ]

(в тех точках t_j , в которых Re(λ4l(t_j )) < -σ, считаем û_j (t_j ) ≡ 0). Рассмот-

рим теперь вопрос о приближенном вычислении периодической матри-

цы A4s(t) при ∀t ∈ [0, τ]. Очевидно, что в точках множества t_j ∨ t_j имеем

также набор значений периодической вектор-функции -D⊤2Γ(t). Известно

[13, с. 478], что всегда можно подобрать совокупность 2k + 1 коэффициентов

αs0,αs1,... ,α^sk;βs1,βs2,... ,β^sk тригонометрического полинома k-го порядка

(

)

∑

2πjt

⁽ 2πjt⁾

Ĥ_k(t) =α0

α^sj cos

+ βsj sin

j=1

значения которого при t = t_j равны -D⊤2Γ(t_j). При этом справедливы соот-

ношения

∑

αs0 =

Ĥ_k(jh),

2k + 1

j=1

∑

α^si =

Ĥ_k(jh)cos(ω_ij),

2k + 1

(3.5)

j=1

∑

β^sj =

Ĥ_k(jh)sin(ω_ij),

2k + 1

j=1

2πi

ω_ij =

jh,

1≤i≤k.

Вследствие предположений относительно матрицы A₄(t) (она достаточное

число раз дифференцируемая) вектор-функция A4s(t) будет функцией огра-

ниченной вариации, следовательно, справедливы предельные соотношения

∫

lim

αs0 = -

D⊤2Γ(ζ)dζ,

k→∞

∫

(

)

2πi

lim

α^si = -

D⊤2Γ(ζ)cos

ζ dζ,

k→∞

∫

(

)

2πi

lim

β^si = -

D⊤2Γ(ζ)sin

ζ dζ.

k→∞

Очевидно, для больших k полином

Ĥ_k(t) достаточно хорошо приближает

вектор-функцию -D⊤2Γ(t). Критерием этого может быть, в частности, нера-

венство ∥Ĥk(t) -Ĥk-1(t)∥ < ε, ε — достаточно малое положительное число.

Полагаем теперь управление û(t) =Ĥk(t)ŷ(t). Поскольку вещественные

части собственных значений λ_s(t_j ) полученных матриц A4s(t_j), по крайней

мере, удовлетворяют неравенству

Re(λ_ls(t_j )) ≤ -δ(γ), lim^δ(γ) = ∞,

γ→∞

то при достаточно большом k и γ все собственные значения λ4ls(t) исправлен-

ной матрицы A4s(t) = A₄(t) - D₂ Ĥ_k(t) будут удовлетворять оценке

(3.6)

Re(λ4ls(t)) ≤ -

Следовательно, при достаточно малом ε_n имеем оценку (2.9) (γ =σ2 ). При

этом существует матрица A-14s(t).

Рассмотрим теперь управляемую подсистему вида

dxn+1(t)/dt = A₁(t)xn+1(t) + B₁(t)x_n(t) - A₂(t)A-14s(t)xn+1(t) -

- [A₂(t)A-14s (t)B₃(t) + B₂(t)A-14s (t)]x_n(t) -

(3.7)

- B₂(t)A-14s (t)B₃(t)xn-1(t) + D₁u_n(t) =

=A₁(t)xn+1(t)

A1s(t)xn+1(t) +

+ B1s(t)x_n(t) +B2s(t)xn-1(t) + D₁u_n(t).

Если при u_n(t) ≡ 0 решение данной системы асимптотически (экспоненциаль-

но) устойчиво, то асимптотически устойчива и система

(3.8)

dxn+1(t)/dt = A₁(t)xn+1(t) + B₁(t)x_n(t) + A₂(t)yn+1(t) + B₂(t)y_n

(t),

(3.9)

ε_ndyn+1(t)/dt = t₀e^t (A₃(t)xn+1(t) + B₃(t)x_n(t) + A4s(t)yn+1

(t)) ,

0 ≤ t ≤ τ, ε_n = e^-nτ/t₀.

Если же решение системы (3.8), (3.9) неустойчиво, то будем стабилизировать

систему вида

(3.10)

dx0n+1(t)/dt =

(A⁰¹ +B01s)x0n+1(t) + D₁ u_n

(t),

∫

B01s =

A1s(ξ) +B1s(ξ) +B2s(ξ)]dξ.

Проблема стабилизации системы (3.10) решается алгоритмом, аналогичным

примененным при стабилизации системы (3.2), именно, рассматривая нели-

нейное уравнение [12, c. 97]

(3.11)

Γ[A⁰¹ + B01s] + [(A⁰¹ + B01s)Γ]^⊤ - 4ΓD₂D⊤2

Γ = -2γΓ + 2δE

(при условии полной управляемости соответствующей системы), полагая

u_n = -D⊤1Γxn+1(t),

и подставляя данное управление в подсистему (3.10), получаем экспонен-

циальную устойчивость данной системы — системы первого приближения.

В пользу применения такого алгоритма стабилизации говорит такой факт,

что можно задаться достаточно большим числом γ, что гарантирует хоро-

шую отделимость от нуля действительной части собственных чисел матрицы

A⁰¹ + B01s.

Если теперь в исходной управляемой системе считать u₂(t) =Ĥk(t)y(t);

u₁(t) = -D⊤1Γx(t), то получим ввиду доказанной теоремы 1 (а также резуль-

тата, полученного в [9]), что исходная управляемая система (1.1) асимптоти-

чески устойчива. Отметим, что из результатов, полученных в [9], следует, что

данный алгоритм стабилизации применим также и к тем системам, в которых

матрица B₄(t) = O(ε): ε_n — достаточно малое положительное число.

4. Пример

Рассмотрим управляемую систему четвертого порядка с единичным запаз-

дыванием, матрицы A_i(t), B_k(t), D_l определены следующим образом:

)

⁽ 4 sin(2πt)

⁽ 3 0⁾

A₁(t) =

A₂(t) =

(

)

- sin(2πt) - sin(4πt)

-2cos(2πt) + sin(2πt)

A₃(t) =

2sin(2πt) + 2sin²(2πt) - cos(2πt) + 4 cos2(2πt),

)

⁽ -1 - 2cos(2πt) -2 + 2sin(2πt)

(4.1)

A₄(t) =

2 + 2sin(2πt)

-1 + cos(2πt)

)

⁽ 0,1 cos(2πt)

⁽ 0 2⁾

B₁(t) =

B₂(t) =

(

)

-4 + 4sin(2πt)

-1 + 2cos(2πt)

⁽ 0⁾

B₃(t) =

D₁ = D₂ =

-2 + 4cos(2πt)

2 + 2sin(2πt)

Рассмотрим матрицу A₄(t). Ее собственные значения λ⁴¹ = λ⁴² = -1. Таким об-

разом, стабилизация систем (3.2) отпадает (u₂ ≡ 0). Далее, имеем следующие

равенства:

)

⁽ 3sin(2πt)

A₂(t)A-14(t)A₃(t) =

cos(2πt)

(

)

A₂(t)A-14(t)B₃ =

(

)

2 cos(2πt)

B₂(t)A-1(t)A3(t) =

sin(2πt)

(

)

2 cos(2πt)

B₂(t)A-1(t)B3 =

sin(2πt)

)

⁽ 4 0

B₃(t)A-14(t)B₃(t) =

Отсюда получаем (в первом приближении) управляемую подсистему второго

порядка

dx₁(t)/dt = 0,1x₁(t) - 3x₂(t),

(4.2)

dx₂(t)/dt = -x₁(t) + 3x₂

(t) + u(t).

Пусть u₁(t) ≡ 0. Матрица системы первого приближения

)

⁽ 0,1

-3

A_p =

-1

имеет собственные значенияλ1 = -1,24,λ2 = 2,34, т.е. подсистема первого

приближения неустойчива, следовательно, неустойчива и исходная “возму-

щенная” подсистема [11, с. 149]. Рассмотрим управляемую систему (4.2). Оче-

видно, det A_p = 0, следовательно, для нахождения искомого управления u₁(t)

можно решить более простое (по сравнению с (3.11)) линейное уравнение

(4.3)

A_pΓ-12 + Γ-12A⊤2 - 2D₁D⊤1 = -σΓ-12.

Определив отсюда матрицу Γ-12, найдем далее Γ₂ и вычислим искомое

управление в соответствии с правилом, аналогичным с (3.3). Пусть в (4.3)

σ = 4. Решим данное уравнение с помощью пакета прикладных программ

M AT LAB 7.1. Получаем следующие результаты:

(

)

(

)

0,2674

0,1872

8,73

-7,14

Γ-12 =

Γ₂ =

(4.4)

0,1872

0,229

-7,14

10,2

λ₁(Γ₂) ≈ 2,29, λ₂(Γ₂) ≈ 16,65.

Очевидно, матрица Γ₂ — симметричная, положительно определенная. Управ-

ление, получаемое в соответствии с (3.3), имеет вид u₁(t) = -7,14x₁(t) +

+10,2x₂(t). Полученная “исправленная” матрица A2s = A_p - D₁D⊤1Γ₂ и ее

собственные значения численно равны

(

)

0,1

-3

A2s =

λ₁(A2s) = -2,76, λ₂(A2s) = -6,34.

6,14

-0,2

Очевидно, “исправленная” матрица A2s (благодаря константе σ = 4) имеет

собственные значения λ_l(A2s), расположенные достаточно далеко от нача-

ла координат. Следовательно, “возмущенная” подсистема экспоненциально

устойчива [9], и асимптотически устойчива и исходная система. Стабилизация

завершена.

5. Заключение

Приведенный пример показывает достаточную эффективность разрабо-

танных алгоритмов стабилизации. При этом для вычислений используются

ранее разработанные методы стабилизации систем обыкновенных дифферен-

циальных уравнений и разностных систем.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. Рассмотрим систему (2.8). Разлагая

матрицы A₁(t)

A₁(t),

B₁(t),

B₂(t) в ряды Фурье, имеем равенства

(

∑

⁽ 2πj⁾

⁽ 2πj⁾⁾

A₁(t) = A⁰¹ +

α1j cos

t + βkj sin

j=1

(

∑

⁽ 2πj⁾

⁽ 2πj⁾⁾

(Π.1)

A₁(t)

A⁰¹ +

α1j cos

β1j sin

j=1

(

∑

⁽ 2πj⁾

⁽ 2πj⁾⁾

B_l(t) =B0l +

α^lj cos

β^lj sin

l = 1,2.

j=1

Вследствие предположений относительно матриц A_k(t), B_l(t) (k = 1, . . . , 4;

l = 1,2,3) данные ряды сходятся абсолютно [13, c. 476], следовательно, полу-

чаем асимптотические равенства

(

∑

⁽ 2πj⁾

⁽ 2πj⁾⁾

A₁(t) ≈ A⁰¹ +

α1j cos

t + βkj sin

= A1,N(t),

j=1

(

∑

⁽ 2πj⁾

⁽ 2πj⁾⁾

(Π.2)

A₁(t)

A⁰¹ +

α1j cos

β1j sin

=A¯1,N

(t),

j=1

(

∑

⁽ 2πj⁾

⁽ 2πj⁾⁾

B_l(t) ≈B0l +

α^lj cos

β^lj sin

= B_l,N(t), l = 1,2

j=1

(N — достаточно большое натуральное число). Если теперь подставить вы-

ражения (П.2) в “укороченную” систему (2.8), то, сделав на каждом шаге

замену аргумента t = ε_nϑ, получаем систему с ограниченной правой частью

dxn+1(ϑ)/dϑ = ε_n[A1,N (ε_nϑ)xn+1(ε_nϑ)

A1,N(ε_nϑ)xn+1(ε_nϑ)+

(Π.3)

+B1,N(ε_nϑ)xn+1(ε_nϑ - τ) +B2,N(ε_nϑ)xn+1(ε_n

ϑ - 2τ)].

Рассмотрим, например, асимптотическое поведение величины xn+1(ε_nϑ - τ).

Ввиду того, что при достаточно больших t производная x^′(t) существует (и

непрерывна), имеем асимптотическое равенство, подобное [14, с. 281]:

xn+1(ε_nϑ - τ) = xn+1(ε_nϑ) -

-τε_n[(A1,N(ε_nϑ-ζτ)

A1,N(ε_nϑ - ζτ))xn+1(ε_nϑ - ζτ) +

+ B₁(ε_nϑ - ζτ)xn+1(ε_nϑ - τ - ζτ) +

+ B₂(ε_nϑ - ζτ)xn+1(ε_nϑ - 2τ - ζτ)] =

(Π.4)

= xn+1(ε_nϑ) + O(ε_n)[∥x_n(ε_nϑ)∥_τ + ∥xn-1(ε_nϑ)∥_τ

ζ ∈ (0,1).

Такое же асимптотическое равенство можно получить и для xn+1(ε_nϑ - 2τ).

Далее (ввиду произведенной замены аргумента) следует, что все члены в

асимптотических равенствах (П.2), содержащие величины sin(2πjτ )t, cos(2πjτ )t,

1 ≤ j ≤ m имеют весьма малые производные. Как следует теперь из резуль-

татов, полученных ранее в [9], системой первого приближения для “укоро-

ченной” системы при малых ε_n является более простая система (2.10), не

содержащая запаздываний при величине xn+1(t). В самом деле, из (П.4) сле-

дует, что запаздывание у величин xn+1(ε_nϑ - τ), xn+1(ε_nϑ - 2τ) стремится к

нулю при n → ∞. Известно [15], что в случае экспоненциальной устойчивости

системы без запаздывания (с ограниченной правой частью) исходная система

с малым запаздыванием также экспоненциально устойчива. Теорема 1 дока-

зана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

Ockendon J., Tailor A. The Dinamics of a Current Collection System for an Electric

Locomotive // Proc. Roy. Soc. London. 1971. Ser. A, 322. P. 447-468.

Fox L., Mayers D.F., Ockendon J., Tailor A. On a Functional Differential

Equation // J. Math. Appl. 1971. No. 8. P. 271-307.

Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений

с отклоняющимся аргументом. M.: Наука, 1971.

Марквардт И.Г., Власов И.И. Контактная сеть. М.: Транспорт,

1978.

Климушев А.И. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифферен-

циальных уравнений с последействием // Дифференц. уравнения и теория упру-

гости. 1973. Сб. № 211. Урал. политехн. инс-т, Свердловск. С. 30-54.

Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

Гребенщиков Б.Г., Новиков С.И. О неустойчивости некоторой системы с линей-

ным запаздыванием // Изв. ВУЗОВ. Математика. 2010. №2. C. 1-10.

Гребенщиков Б.Г. Об устойчивости по первому приближению одной нестаци-

онарной системы с запаздыванием // Изв. ВУЗОВ. Математика. 2013. № 8.

C. 1-10.

10.

Гребенщиков Б.Г. Об устойчивости нестационарных систем с большим запазды-

ванием // Устойчивость и нелинейные колебания. Межвуз. сб. науч. тр. Сверд-

ловск. 1984. C. 18-29.

11.

Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей

Ляпунова и ее приложение к вопросам устойчивости. M.: Наука, 1966.

12.

Фурасов В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов М.: Наука,

1982.

13.

Фихтенгольц Г.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.3. М.: Нау-

ка, 2002.

14.

Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Вища

шк., 1971.

15.

Репин Ю.М. Об устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргумен-

том // ПММ. 1957. № 21. Bып. 2. С. 153-161.

Статья представлена к публикации членом редколлегии В.И. Васильевым.

Поступила в редакцию 10.05.2016

После доработки 12.04.2018

Принята к публикации 08.11.2018