Автоматика и телемеханика, № 4, 2019

(Севастопольский государственный университет)

СТАЦИОНАРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕНАДЕЖНОЙ

МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ

С ПОТЕРЯМИ И ВРЕМЕННЫМ РЕЗЕРВОМ¹

Рассматривается ненадежная восстанавливаемая многоканальная си-

стема обслуживания с потерями, в которой во время обслуживания зая-

вок могут происходить отказы каналов, но обслуживание будет продол-

жаться за счет случайного временного резерва. Входящий поток счита-

ется простейшим, а все остальные случайные величины, описывающие

систему, имеют распределения общего вида. Построена полумарковская

модель эволюции системы во времени и найдено стационарное распреде-

ление вложенной цепи Маркова. Получены выражения для определения

стационарных вероятностей и средних стационарных времен пребывания

системы в различных физических состояниях, которые позволяют оце-

нить влияние временного резерва на стационарные характеристики си-

стемы.

Ключевые слова: многоканальная система обслуживания, временной ре-

зерв, полумарковский процесс, стационарное распределение вложенной

цепи Маркова, стационарная вероятность состояний, среднее стационар-

ное время пребывания в состояниях.

DOI: 10.1134/S0005231019040044

1. Введение

Анализу систем массового обслуживания посвящены многочисленные пуб-

ликации. Обзор по ненадежным системам обслуживания можно найти, на-

пример, в [1-3]. Для улучшения показателей функционирования систем с от-

казами возможны различные методы. Так, в [4] исследованы модели с ре-

зервированным обслуживанием запросов разными узлами для кластера од-

ноканальных систем с индивидуальными очередями. Для многоканальных

систем с общей очередью модели систем с резервированным обслуживани-

ем запросов предложены в [5-7]. В [8-11] рассмотрены модели ненадежной

восстанавливаемой системы обслуживания с учетом проведения различных

стратегий технического обслуживания. Еще одним методом повышения на-

дежности технических систем является временное резервирование, когда для

устранения причины отказа система имеет запас времени, в течение которого

она выполняет свои функции (см., например, [12-14]).

Следует отметить, что наиболее полная теория построена для систем об-

служивания, эволюция которых описывается марковскими процессами. Для

¹ Работа выполнена в рамках Государственного задания Минобрнауки Российской Фе-

дерации (№ 1.10513.2018/11.12), при финансовой поддержке Российского фонда фундамен-

тальных исследований (проект № 19-01-00704).

построения моделей таких систем необходимо, чтобы все случайные факто-

ры, влияющие на эволюцию системы во времени, обладали отсутствием по-

следействия, т.е. все случайные времена действия факторов имели бы по-

казательные распределения. Если же некоторые из времен действия факто-

ров имеют произвольные функции распределения, отличные от показатель-

ных, то построение и анализ систем обслуживания значительно усложняет-

ся. Для исследования таких систем, например, в [15, 16] применяется аппа-

рат теории полумарковских процессов с дискретно-непрерывным фазовым

пространством состояний. Этот аппарат используется и в данной статье, по-

скольку предполагается, что входящий в систему обслуживания поток заявок

является простейшим, а все остальные случайные величины, определяющие

эволюцию системы во времени, имеют распределения общего вида. Данная

статья является обобщением на случай многокомпонентной системы постро-

енной в [17] полумарковской модели однолинейной ненадежной восстанавли-

ваемой системы с временным резервом.

2. Постановка задачи

В ненадежную восстанавливаемую N-компонентную систему обслужива-

ния M/G/N/0 поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Вре-

мя α_k обслуживания заявки k-м каналом имеет произвольную функцию рас-

пределения (ФР) F_k(t) = P {α_k ≤ t} с плотностью распределения (ПР) f_k(t),

k = 1,N. Если в момент поступления заявки в систему свободно несколько

работоспособных каналов, то с равной вероятностью она начинает обслужи-

ваться любым из них. В момент обслуживания заявки канал может отказать.

Длительность промежутка времени с момента начала обслуживания заявки

до отказа канала — случайная величина (СВ) γ_k с ФР Φ_k(t) и ПР ϕ_k(t).

Отказ канала обнаруживается мгновенно и сразу начинается его восстанов-

ление, которое длится случайное время σ_k с ФР Ψ_k(t) и ПР ψ_k(t). После

отказа канала обслуживание заявки продолжается за счет временного резер-

ва с учетом времени уже проведенного обслуживания. Наличие временного

резерва для каждого канала может рассматриваться как существование еще

одного канала, который продолжает обслуживание заявки на период восста-

новления неисправного канала (расходуется резервное время) и простаивает

во время исправной работы канала (резервное время не расходуется). Вели-

чина временного резерва — СВ ξ_k с ФР R_k(t) и ПР r_k(t).

Если во время обслуживания заявки за счет резерва происходит восстанов-

ление канала, то ему передается дообслуживание заявки с учетом уже прове-

денного времени обслуживания (в том числе и за счет временного резерва).

Через случайное время γ_k после восстановления канала во время обслужива-

ния все той же заявки вновь может произойти отказ канала. Обслуживание

заявки снова продолжается за счет случайного временного резерва ξ_k. Таким

образом, при обслуживании одной и той же заявки неоднократно может быть

использован временной резерв.

Если во время обслуживания заявки за счет резерва исчерпывается его

объем, то обслуживание заявки прерывается, она теряется и на дообслужи-

вание не возвращается. Следующую заявку на обслуживание канал может

принять после своего восстановления.

Предполагается, что все СВ, описывающие систему, независимы, имеют

конечные математические ожидания Eα_k, Eγ_k, Eξ_k и Eσ_k и дисперсии.

Цель статьи — построить математическую модель функционирования си-

стемы, найти стационарные вероятности пребывания системы в различных

физических состояниях и средние стационарные времена пребывания в этих

состояниях, а также оценить влияние временного резерва на указанные ха-

рактеристики.

3. Полумарковская модель системы

Для построения математической модели используем аппарат теории по-

лумарковских процессов с дискретно-непрерывным множеством состояний

[15, 16]. Пусть (E, ζ) — измеримое пространство: E интерпретируется как

фазовое пространство состояний стохастической системы, ζ — булева ал-

гебра выделенных подмножеств из E, интерпретируемых как совокупность

наблюдаемых подмножеств состояний системы. Полумарковский процесс

(ПМП) S(t) определим с помощью процесса марковского восстановления

{S_n, Θ_n; n ≥ 0}, где {S_n; n ≥ 0} — вложенная цепь Маркова (ВЦМ), Θ_n —

времена пребывания полумарковского процесса в состояниях.

Определим фазовое пространство рассматриваемой системы обслужива-

ния и опишем ее физические состояния. Каждый канал может находиться в

следующих состояниях: 1₁ — канал в работоспособном состоянии обслужи-

вает заявку; 1₂ — канал восстанавливается, заявка обслуживается за счет

временного резерва; 2 — канал восстанавливается, заявка не обслуживает-

ся; 0 — канал в работоспособном состоянии ожидает заявку. Физические

состояния всей системы описываются N-мерным вектором d = (d₁, . . . , d_N ),

k-я компонента которого указывает на физическое состояние k-го канала,

т.е. d_k = 0, 1₁, 1₂, 2; k = 1, N . Для того чтобы в моменты изменения физи-

ческих состояний системы она обладала марковским свойством, расширим

фазовое пространство состояний добавлением непрерывных составляющих и

перед вектором d укажем номер i канала, который изменил свое физическое

состояние посл{ним. В результ}е фазовое пространство состояний будет

иметь вид E =

id x z u, i = 1, N

, где x = (x₁, . . . , x_N ) — вектор, координа-

ты которого указывают на время, прошедшее с момента начала обслужи-

вания заявки соответствующим каналом. Очевидно, что x_k = 0, если d_k = 0

или d_k = 2. Кроме того, x_i = 0 в момент принятия к обслуживанию заявки

i-м каналом. Ненулевые координаты вектора z = (z₁, . . . , z_N ) указывают на

оставшееся время до отказа k-го канала, если d_k = 1₁, либо на оставшееся

время резерва, если d_k = 1₂; для остальных физических состояний каналов

соответствующие компоненты равны нулю. Кроме того, в моменты перехода

i-го канала в состояния 1₁ и 1₂ компонента z_i = 0. Ненулевые компоненты

вектора u = (u₁, . . . , u_N ) — оставшиеся времена до восстановления соответ-

ствующих каналов в момент изменения физического состояния i-го канала.

Очевидно, что u_k > 0, если d_k = 1₂, 2, и u_k = 0 для d_k = 1₁, 0.

Временные диаграммы функционирования k-го канала системы представ-

лены на рис. 1 и 2. На рис. 1 рассмотрены случаи, когда при обслуживании

заявки резерв используется дважды, ни разу не используется и обслуживание

Рис. 1. Заявка обслужена.

Рис. 2. Потеря заявки при обслуживании.

завершается за счет временного резерва. На рис. 2 представлен случай, когда

при втором использовании объем резерва исчерпывается и заявка теряется.

Определим времена пребывания системы в состояниях. Для этого введем

обозначения для вектора id x z u: [α_k - x_k]₊ — остаточное время обслужива-

ния заявки k-м каналом при условии, что время обслуживания превысило

величину x_k. Эта СВ имеет ФР

{

}

Fk(xk + t) - Fk(xk)

[α_k - x_k]₊ ≤ t

Fk(xk)

и ПР

f_k(x_k + t)

Fk(xk)

В случае x_k = 0 будем полагать, что [α_k]₊ есть α_k;

(

)

(

)

ω=

∧

u_k

∧

z_k

u_k>0

z_k>0

— минимум положительных компонент вектора id x z u (∧ — знак миниму-

ма); Ω11d,Ωd2 ,Ωd,Ωd —совокупностиномероввектораd,равных11,12,2и0

соответственно; Ω11,12d=Ωd1

^⋃Ω12d ;^d^ — число нулевых компонент вектора d

(число элементов множества Ω0d), т.е. число свободных работоспособных ка-

налов в системе.

С учетом ввееных обозначений время пребывания системы в состоянии

_{=0определяетсяформулой}

id x z u в случае

^d

⎧

β∧γ_i ∧

∧

[α_k - x_k]₊ ∧ ω,

d_i = 1₁,

⎪

k∈Ω11,12

⎨

β∧σ_i ∧ξ_i ∧

∧

[α_k - x_k]₊ ∧ ω, d_i = 1₂,

(1)

Θ_idxzu =

k∈Ω11,12

⎪

⎩

β∧

∧

[α_k - x_k]₊ ∧ ω,

d_i = 0,2.

k∈Ω11,12

Если какое-либо из множеств Ω^md (m = 1₁, 1₂, 0, 2) пустое, то соответствую-



_=0,в(1)

щая составляющая в (1) отсутствует. Так, в случае Ω0d = ∅, т.е.

^d

будет отсутствовать СВ β - время между поступлениями заявок.

Стохастические соотношения (1) означают, что времена пребывания в со-

стояниях ПМП S(t) задаются минимумом СВ, а события переходов ВЦМ из

одного состояния в другие — событиями, которые определяются минимумом

этих величин. Опишем переходные вероятности ВЦМ {S_n; n ≥ 0}. Рассмот-



_{=0.Событияпереходов}

рим, например, состояние id x z u в случае d_i = 1₁,

^d

из этого состояния определяются минимумом β ∧ γ_i ∧

∧

[α_k - x_k]₊ ∧ ω.

k∈Ω11,12d

Если Θ_idxzu = [α_i - x_i]₊, то система переходит в состояние id^′ x^′ z^′ u^′ с

плотностью вероятности

{

}

∏

f_i(x_i + y)

Fk(xk + y)

id x z u → id^′ x^′ z^′ u^′

= e^-λyΦ_i(y)

Fi(xi)

Fk(xk)

k∈Ω11,12d

k=i

где

Φ_i(y) = 1 - Φ_i(y), F_k(y) = 1 - F_k(y), d^′i = 0, d^′k = d_k, k = i, y < ω;

{

1₁,1₂

x_k + y, k ∈ Ω

, k = i,

x^′k =

k ∈ Ω11,12d^,k= ^i,

{

1₁,1₂

z_k - y, k ∈ Ω

, k = i,

z^′k =

k ∈ Ω11,12d^,k= ^i,

{

1₂

u_k - y, k ∈ Ω

^⋃Ω2d,

u^′k =

^⋃Ω2d.

k ∈ Ω12d

Если Θ_idxzu = γ_i, то

{

}

∏

Fk(xk + y)

id x z u → id^′ x^′ z^′ u^′

= e^-λyϕ_i(y)

Fk(xk)

k∈Ω11,12

где

d^′i = 1₂, d^′k = d_k, k = i, y < ω;

{

1₁,1₂

x_k + y, k ∈ Ω

x^′k =

k ∈ Ω11,12d^,

{

1₁,1₂

z_k - y, k ∈ Ω

, k = i,

z^′k =

k ∈ Ω11,12d^,k= ^i,

{

1₂

u_k - y, k ∈ Ω

^⋃Ω2d,

u^′k =

^⋃Ω2d.

k ∈ Ω12d

В случае Θ_idxzu = β имеем

{

}

∏

Fk(xk + y)

id x z u → jd^′ x^′ z^′ u^′



e-λyϕi(y + zi)



^d

Fk(xk)

k∈Ω11,12

где

j ∈ Ω0d, d^′j = 1₁, d^′k = d_k, k = j, y < ω,

z_i > 0;

{

1₁,1₂

x_k + y, k ∈ Ω

x^′k =

k ∈ Ω11,12d^,

⎧

⎨

z_k - y, k ∈ Ω11,12d,k=i,

z^′k =

z_i,

k = i,

⎩

k ∈ Ω11,12d^,

{

1₂

u_k - y, k ∈ Ω

^⋃Ω2d,

u^′k =

^⋃Ω2d.

k ∈ Ω12d

Аналогично выписываются плотности вероятностей переходов в остав-

шиеся состояния.

Очевидно, что в случае пустого подмножества Ω^md (m = 1₁, 1₂, 0, 2) соот-

ветствующий множитель в выра ении для плотности вероятности перехода

=0отсутствуетмножительe-λy_.

отсутствует. Например, в случае

^d

4. Стационарное распределение вложенной цепи Маркова

Стационарное распределение ВЦМ {S_n, n ≥ 0} найдем из системы уравне-

ний

∫

(2)

ρ(B) =

ρ(dx)P (x, B),

где P (x, B) — вероятность перехода из состояния x в множество состояний B;

ρ(·) — стационарное распределение ВЦМ [15, 16].

Прежде чем сформулировать теорему о виде стационарного распределе-

ния, приведем некоторые сведения из теории процессов восстановления [18].

Функционирование k-го канала во время обслуживания заявки описывается

альтернирующим процессом восстановления. Этот процесс образован момен-

тами отказа канала (1₂-восстановлениями) и следующими за ними момен-

тами устранения неисправности (1₁-восстановлениями) при условии, что вре-

менной резерв канала не исчерпывается. Длительность времени между сосед-

ними 1₁-восстановлением и 1₂-восстановлением имеет распределение Φ_k(x), а

между∫12-восстановлением и 11-восстановлением — несобственное распреде-

ление

ψ_k(t)R_k(t)dt. Поток 1₁-восстановлений этого альтернирующего про-

цесса образует простой обрывающийся процесс восстановлени∫я с несобствен-

ным распределением, равным свертке распределений Φ_k(x) и

ψ_k(t)R_k(t)dt.

Обозначим через H(1)k(x) функцию восстановления этого потока, т.е. среднее

число восстановлений работоспособности k-го канала за время x. Плотность

h(1)k(x) =^ddxH(1)k(x) функции восстановления представляется в виде

∑

h(1)k(x) =

(ϕ_k ∗ ψ_kR_k)∗(n)(x),

n=1

∫_x

где (ϕ_k ∗ψ_kR_k)∗(n)(x) — n-кратная свертка функции

ϕk(x - s)ψk(s)Rk(s)ds.

Поток 1₂-восстановлений альтернирующего процесса образует обрываю-

щийся процесс восстановления с запаздыванием, который определяется

∫_x

функциями Φ_k(x) и

Φ_k(x-s)ψ_k(s)R_k(s)ds. Обозначим через H(2)k(x) функ-

цию восстановления этого процесса, т.е. среднее число отказов k-го канала за

время x. Плотность h(2)k(x) этой функции представима в виде

∑[

]

h(2)k(x) =

ϕk ∗ (ϕk ∗ ψkRk)∗(n-1) (x).

n=1

С рассмотренным альтернирующим процессом восстановления связаны

следующие случайные величины. Прямое (остаточное) время восстановле-

ния (перескок) работоспособного канала (или остаточное время наработки на

отказ) определяется как время от момента x до ближайшего момента 1₂-вос-

становления альтернирующего процесса, т.е. до ближайшего отказа канала.

Если в момент x канал находится в работоспособном состоянии, эта СВ имеет

несобственное распределение с плотностью v(11)_k(x, z):

∫x

v(11)_k(x,z) = ϕ_k(x + z) + h(1)k(s)ϕ_k(x + z - s)ds,

∞

∫

v(11)_k(x,z)dz = 1 + H(1)k(x) - H(2)k(x).

Если в момент x канал восстанавливается и обслуживает заявку за счет

резерва, то совместное несобственное распределение оставшегося времени до

конца резерва и конца восстановления канала имеет плотность v(12)_k(x, u, z):

∫x

v(12)_k(x,u,z) = h(2)k(s)ψ_k(x + u - s)r_k(x + z - s)ds;

∫

∞

∫

∞

∫

dz v(12)_k(x, u, z)du = H(2)k(x) - H(1)k(x) - H(2)k(x - s)Ψ_k(s)r_k(s)ds.

Заметим, что

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∫

v(11)_k(x,z)dz + dz v(12)_k(x,u,z)du = 1 - H(2)k(x - s)Ψ_k(s)r_k(s)ds,

∫_x

где

H(2)k(x - s)Ψ_k(s)r_k(s)ds — вероятность обрыва альтернирующего про-

цесса, который не оборвался до момента x.

Теорема 1. Стационарное распределение ВЦМ {S_n,n ≥ 0} ПМП S(t)

определяется выражениями:

∏

(3)

ρ(id x z u) = ρa(x_i, z_i, u_i)

Fk(xk)v(11)_k(xk, zk

)×

k∈Ω11d

k=i

∏

Fk(xk)v(12)_k(xk, zk, uk)

V (2)k(u_k),

k∈Ω12d

k∈Ω2d

k=i

⎧

d_i = 0 или d_i = 1₁, x_i = z_i = 0,

⎪

⎨

Fi(xi)hi1)(xi), di = 11, xi > 0,

a(x_i, z_i, u_i) =

⎪

Fi(xi)hi2)(xi), di = 12,

⎪

⎩

v(2)i(u_i),

d_i = 2,

⎧



_d!

⎪

⎨

ρ₀

d_i = 0,

λ|d|

(



)

ρ₀ = const,

ρ=⎪

_d-1

⎪

⎩ ρ₀

, d_i = 0,

λ|d|-1

∞

∫∞

∫

[

]

(2)

(u) = h(2)k(s)ds ψ_k(y + u)

f_k(y + s)R_k(y) + F_k(y + s)r_k(y)

dy,

∫∞

V (2)k(u) = v(2)k(t)dt =

∫∞

∫

∞

[

]

= h(2)k(s)ds Ψ_k(y + u)

f_k(y + s)R_k(y) + F_k(y + s)r_k(y)

dy.

Доказательство теоремы

приводится в Приложении. Заметим, что

v(2)k(u) — плотность несобственного распределения оставшегося времени до

конца восстановления k-го канала в момент завершения обслуживания заяв-

ки за счет резерва, либо в момент ее потери по причине расходования резерва.

Значение постоянной ρ₀ находится из условия нормировки.

5. Стационарные вероятности состояний

Пусть фазовое пространство состояний E представлено в виде объедине-

⋃

ния непересекающихся подмножеств E = E_i, E_i

^⋂E_j = ∅. Известно, что

i=1

в случае существования единственного распределения ВЦМ {S_n, n ≥ 0} ста-

ционарные вероятности p^∗i пребывания системы в подмножествах состояний

определяются формулами из [15]

⎞-1

∫

⎛∫

p^∗i = lim

P {S(t) ∈ E_i/S(0) = x} = m(x)ρ(dx)^⎝ m(x)ρ(dx)⎠

(4)

t→∞

E_i

i = 1,n,

где m(x) — среднее время пребывания системы в состоянии x ∈ E, ρ(·) —

стационарное распределение вложенной цепи Маркова.

С помощью равенств (4) найдем стационарные вероятности пребывания

рассматриваемой системы обслуживания в различных физических состоя-

ниях. Обозначим через D множество всех физических векторов d, опи-

сываю {их состояния, а через }∗ — некоторое его подмножество. Пусть

E_D∗ =

id x z u, i = 1, N, d ∈ D^∗

— подмножество фазовых состояний си-

стемы, дис

∫

∑

∫

жение для_E

D∗

m(x)ρ(dx) =d∈D∗ E_d m(x)ρ(dx),гдеEd^{—подмножества}

фазовых состояний E с фиксированным вектором состояний d. Заметим, что

это подмножество содержит состояния, в которых свое физическое состояние

последним изменил любой канал. Кроме этого, если некоторая компонента

вектора d равна 1₁, т.е. d_k = 1₁, то E_d содержит как состояния, в которых

x_k = 0, так и состояния, в которых x_k > 0.

∫

При нахождении выражения для

m(x)ρ(dx) учтем, что среднее время

E_d

E[Θ_idxzu] пребывания системы в состоянии id x z u определяется формулами

⎧

∫

⎪

∏

⎪

Fk(xk + t)

e^-λtΦ_i(t)

dt,

⎪

i ∈ Ω11d ^,

⎪

Fk(xk)

⎪

k∈Ω11,12

⎪

∫

⎪

∏

⎨

Fk(xk + t)

e^-λtΨ_i(t)R_i(t)

dt, i ∈ Ω12d^,

(5)

E[Θ_idxzu] =

Fk(xk)

⎪

k∈Ω11,12d

⎪

k=i

⎪

∫

⎪

∏

⎪

Fk(xk + t)

⎪

e^-λt

dt,

i∈Ω0d

^⋃Ω2d,

⎩

Fk(xk)

k∈Ω11,12

(

)

(

)

где ω =

∧

z_k

∧

u_k

. Если какое-либо из подмножеств Ω11d,Ωd2 ,

z_k>0

u_k>0

Ω0d

^⋃Ω2d — пустое, то соответствующее выражение под знаком интеграла в (5)

отсутствует.

В результате преобразований, учитывая вид стационарного распределения

ВЦМ (3) и (5), получаем (см. Приложение), что



∫

_d!

∏

(6)

m(x)ρ(dx) = ρ₀

T(11)

T(12)

T(2)k,

λ|d|

E_d

k∈Ω¹¹

k∈Ω12d

k∈Ω²

где

∫∞

[

]

T(11)_k = Eα_k + F_k(x) H(1)k(x) - H(2)k(x) dx,

∫∞

∫

∞

T(12)_k = h(2)k(s)ds F_k(y + s)Ψ_k(y)R_k(y)dy,

∫

∞

∫

∞

∫

∞

T(2)k = Eσ_k f_k(t)H(2)k(t)dt - h(2)k(s)ds F_k(y + s)Ψ_k(y)R_k(y)dy.

Отметим вероятностный смысл выражений из (6): T(11)_k, T(12)_k, T(2)k —

средние времена пребывания k-го канала соответственно в состояниях 1₁,

1₂, 2 между двумя соседними моментами начала обслуживания заявок, а

∫_∞

f_k(t)H(2)k(t)dt — среднее число отказов этого канала за время обслужива-

ния заявки.

Таким образом, стационарная вероятность p^∗(D^∗) того, что по дискретной

компоненте d система находится в состояниях, принадлежащих подмноже-

ству физических состояний D^∗, определяется формулой

p^∗(D^∗) = lim

P {S(t) ∈ E_D∗ } =

t→∞



∑

^d!

∏

T(11)

T(12)

T(2)k

|d|

(7)

k∈Ω²

d∈D^∗

k∈Ω

k∈Ω12d



∑

_d!

∏

T(11)

T(12)

T⁽²⁾

|d|

k∈Ω²

d∈D

k∈Ω¹¹

k∈Ω

В результате преобразований сумм произведения средних формулу (7) можно

записать в виде



∑

^d!

∏

T(11)

T(12)

T(2)k

|d|

d∈D^∗

k∈Ω

k∈Ω12d

k∈Ω²

(8)

p^∗(D^∗) =

∑

∏(

)

(N - n) !

T(11)_s

+T(12)_s

+T⁽²⁾

N-n

s_i

n=0

{s₁,...,sn} i=1

где {s₁, . . . , s_n} — некоторое сочетание из {1, 2, . . . , N} по n;

∫

∞

[

]

T(11)_s

+T(12)_s

+T(2)s

= Eαsi + Fsi(x) H(1)s(x) - H(2)(x) dx +s

∫∞

+ Eσsi fsi(t)H⁽²⁾(t)dt._s

В частности, пусть n — число занятыхканалов в системе, тогда число

=N-n.ОбозначимчерезD∗

свободных работоспособных каналов равно

^d

множество векторов, число ненулевых компонент которых равно n. Из (8)

вытекает, что стационарная вероятность того, что число занятых каналов в

системе равно n, имеет вид

∑

∏(

)

(N - n) !

T(11)_s

+T(12)_s

+T⁽²⁾

N-n

s_i

{s₁,...,sn} i=1

p^∗n = P(D^∗n) =

∑

∏(

)

(9)

(N - n) !

T(11)_s

+T(12)_s

+T⁽²⁾

s_i

N-n

n=0

{s₁,...,sn} i=1

n = 0,N.

Отметим, что стационарные вероятности состояний ненадежной системы

обслуживания, в которой отсутствует временной резерв, также находятся

по (9), если полагать, что

∫∞

∫

∞

(10)

T(11)_k = F_k(t)Φ_k(t)dt, T(12)_k = 0, T⁽²⁾

= Eσ_k F_k(t)ϕ_k

(t)dt.

Для однородной системы обслуживания, в которой все каналы описыва-

ются одинаковыми случайными величинами, равенства (9) принимают вид

формул Эрланга

Λⁿ/n!

p^∗n =

∑

Λⁿ/n!

n=0

где

[

]

Λ=λ T(11) +T(12) +T⁽²⁾

⎡

⎤

∞

∫

[

]

∫

= λ^⎣Eα + F(x) H⁽¹⁾(x) - H⁽²⁾(x) dx + Eσ f(t)H⁽²⁾(t)dt⎦ .

В частном случае для однородной системы, когда T(11) = Eα и T(12) =

= T⁽²⁾ = 0, (9) совпадают с известными стационарными вероятностями того,

что в системе M/G/N/0 с абсолютно надежными каналами обслуживанием

занято ровно n каналов [2].

Рассмотрим состояния системы, в которых указана причина занятости ка-

нала. Пусть D^∗klm — подмножество физических состояний, когда в системе

k работоспособных каналов обслуживают заявки, l каналов восстанавлива-

ются и обслуживают заявки за счет резерва, m каналов восстанавливаются и

не обслуживают заявки, т.е. n = k + l + m. В случае однородной системы (9)

принимают вид

[

]_k

[

λT(11)

λT(12)

λT⁽²⁾

p^∗klm

= k^![

]_n .

∑_λ

T(11) + T(12) + T⁽²⁾

n=0

Определим вероятность того, что заявка, принятая к обслуживанию, не

будет потеряна при обслуживании по причине неисправности канала. Для

системы без временного резерва такая вероятность для k-го канала равна

∫∞

P_k = P {α_k < γ_k} = f_k(t)Φ_k(t)dt.

Наличие временного резерва увеличивает эту вероятность до значения

∞

∫∞

∫

(11)

P_k = h(2)k(s)ds r_k(t)Ψ_k(t)F_k

(t + s)dt.

Вероятность того, что поступающая в систему с резервом заявка будет

обслужена, т.е. принята к обслуживанию и не потеряется при обслуживании,

находится по формуле полной вероятности

(12)

(

∑

∏

∑

(N-1)!

P_k +(N-n-1)!

s_i

+Ts2)

P_k

λ^N-n

k=1

n=1

{s₁,...,sn} i=1

k=1

k={s₁,...,sn}

Pобс =

∑

∑ (N-n) !

N -n

∏ (T(11)si + T(12)si + T⁽²⁾)

s_i

n=0

{s₁,...,sn} i=1

Вероятность P_пот потери поступающей в систему заявки равна P_пот = 1 -

-P_обс.

Чтобы оценить влияние наличия резерва на данные характеристики нуж-

но сравнить их с аналогичными, определяемыми по таким же формулам, в

которых следует полагать, что средние времена пребывания канала в различ-

ных состояниях между двумя соседними моментами начала обслуживания

заявок определяются равенствами (10), и заменить P_k н

P_k.

6. Среднее стационарное время пребывания в состояниях

Пусть множество физических состояний системы представимо в виде

D=D₊

^⋃D_-, D+ ⋂D_- = ∅. Обозначим через D′+ множество пограничных

физических состояний, т.е. множество таких векторов d ∈ D₊, для кото-

рых изменение некоторой одной из компонент переводит вектор d в множе-

ство D_-. Для вектора d ∈ D′+ обозначим через G^km(d) множество номеров

его компонент, изменение значения каждой из которых с значения m на k

(m, k = 1₁, 1₂, 2, 0) переводит вектор в множество D_-. Пространство состоя-

ний E разобьем на два непересекающихся подмножества E = ED+

^⋃ED-, где

{

}

ED± =

id x z u, i = 1, N , d ∈ D_±

. Для определения среднего стационарно-

го времени T (ED+ ) пребывания ПМП S(t) в подмножестве состояний ED+

используем равенство из [15]

⎡

⎤-1

∫

⎢

⎥

T (ED+ ) =

m(x)ρ(dx)⎣ ρ(dx)P (x, ED- )⎦

ED+

Теорема 2. Среднее стационарное время пребывания системы в под-

множестве состояний ED+ определяется по формуле



(

)

∑

∏

^d!

(13)

ED+

T(11)

T(12)

T(2)k,

λ|d|

d∈D₊

k∈Ω¹¹

k∈Ω12d

k∈Ω²

⎧

⎪

⎨(



)

∑

_d-1

∑

∏

T(11)

T(12)

T(2)k +

⎪

-1

λ|d|

d∈D′+

⎩

k∈Ω²

m∈G¹¹⁰ (d) k∈Ω¹¹

k∈Ω12d

⎡



⎢

∑

∏

^d

^!

⎢

(t_m)⁰

T(11)

T(12)

T(2)k +

⎣

λ|d|

m∈G⁰²(d)

k∈Ω¹¹

k∈Ω12d

k∈Ω2d

k=m

∑

∏

(t_m)⁰

T(11)

T(12)

T(2)k +

(14)

m∈G⁰¹

(d)

k∈Ω11d

k∈Ω12d

k∈Ω²

k=m

∑

∏

(t_m)12

T(11)

T(12)

T(2)k+

m∈G¹²¹(d)

k∈Ω11d

k∈Ω12d

k∈Ω²

k=m

⎤⎫

⎪

⎬

∑

∏

⎥

(t_m)²

T(11)

T(12)

T(2)k⎥

1₁

⎦⎪

m∈G²¹

(d)

k∈Ω¹¹

k∈Ω12d

k∈Ω2d

⎭

k=m

∫∞

[

]

(t_m)⁰² = f_m(x) H(2)m(x) - H(1)m(x) dx, (t_m)⁰¹

∫∞

[

]

= 1 + f_m(x) H(1)m (x) - H(2)m (x) dx,

∫∞

∫

∞

(t_m)²

1₁

r_m(s)Ψ_m(s)ds h(2)m(y)F_m(s + y)dy,(t_m)11 =₁

∫∞

= f_m(x)H(1)m(x)dx.

В случае какого-либо пустого из множеств G^km(d) соответствующие слагае-

мые в (14) следует опустить. Доказательство теоремы 2 приводится в При-

ложении.

Из (13) с учетом того, что (t_m)⁰² + (t_m)⁰

= 1, следует, что среднее время,

1₁

в течение которого заняты n каналов системы, определяется выражением

(15)

T_n = T(E_D∗)=

∑

∏(

)

(N-n) !

T(11)_s

+T(12)_s

+T⁽²⁾

λ^N-n

s_i

{s₁,...,sn} i=1

⎧

⎫

⎨

⎬

[

]

[

]

∑

∏

(N-n) !

s_j

+Ts2)

+(N-n)!

s_j

+Ts2)

λN-n-1

⎩λ^N-n

i=1 j=1

j=1

⎭

{s₁,...,sn}

j=i

где n = 1, N - 1; {s₁, . . . , s_n} — некоторое сочетание из {1, 2, . . . , N} по n.

В частности, среднее время, в течение которого все каналы системы сво-

бодны, равно T₀ = 1/λ, а когда все приборы заняты —

∏[

]

(2)

T(11)_j + T(12)_j + T

j=1

T_N

∏

[

]

(2)

T(11)_j + T(12)_j + T

i=1 j=1

j=i

Для однородной системы формула (15) принимает вид

(2)

T(11) + T(12) + T

T_n =

n + λ[T⁽¹1⁾ + T⁽¹2⁾ + T⁽²⁾]

В качестве частного случая выпишем стационарные характеристики для

системы обслуживания, в которой все случайные величины, ее описываю-

щие, имеют показательные распределения. Пусть время обслуживания заяв-

ки k-м каналом имеет плотность распределения вероятностей f_k(t) = μ_ke-μk t;

время γ_k безотказной работы канала — плотность ϕ_k(t) = η_ke-ηkt; время σ_k

восстановления канала — плотность ψ_k(t) = ν_ke-νkt; резерв времени ξ_k —

плотность r_k(t) = κ_ke-κkt. Тогда в (9) и (15) для определения стационарных

вероятностей и средних стационарных времен пребывания в состояниях вы-

ражения (6) принимают вид

(μ_k + ν_k + κ_k)(ν_k + η_k)

T(11)_k + T(12)_k + T(2)k =

ν_k[μ2k + μ_k(ν_k + η_k + κ_k) + η_kκ_k]

Заметим, что в частном случае, когда в однородной системе отсутствует

временной резерв (κ → ∞), формулы для вычисления финальных вероятно-

стей совпадают с известными формулами из [19]. Для ненадежной системы

без временного резерва вероятность того, что принятая k-м каналом заявка

будет обслужена, равна

μ_k

P_k =

μ_k + η_k

а для системы с временным резервом эта же вероятность принимает значение

μ2k + μ_k(ν_k + η_k + κ_k)

P_k =

μ2k + μ_k(ν_k + η_k + κ_k) + η_kκ_k

7. Численный пример

Рассмотрим пятиканальную систему обслуживания, в которую поступает

простейший поток заявок с интенсивностью λ = 0,5 1/мин. Предполагается,

что времена обслуживания заявок, восстановления каналов и временной ре-

зерв имеют распределения Эрланга второго порядка, а времена безотказной

Таблица 1. Характеристики каналов обслуживания

Вероятность полного

обслуживания принятой заявки

Относительная

Без резерва С резервом

разница, %

1,111

0,909

0,821

0,9125

+11,17

5,714

7,5

1,25

0,8

0,636

0,772

+21,33

1,667

0,714

0,6

0,7133

+18,91

4,444

5,455

1,818

0,69

0,609

0,7163

+17,61

6,667

8,571

1,333

0,833

0,628

0,7072

+12,661

Таблица 2. Стационарные показатели системы

Стационарные вероятности Среднее время пребывания

Состояние

каналов

системы

Все свободны

0,115

0,101

-12,394

Четыре свободных

0,253

0,236

-6,669

1,374

1,401

+1,957

Три свободных

0,276

0,274

-0,69

1,044

1,075

+2,

Два свободных

0,2

0,212

+5,549

0,841

0,871

+3,547

Один свободен

0,109

0,122

+12,053

0,703

0,73

+3,912

Нет свободных

0,047

0,056

+18,83

0,863

0,915

+6,049

работы каналов — распределения Эрланга третьего порядка. Параметры этих

случайных величин и вероятности полного обслуживания заявки каналами

при наличии резерва и без него, приводятся в табл. 1.

Результаты расчетов в системе компьютерной математики Mathcad-15 ста-

ционарных характеристик по формулам (9) и (15) при наличии временного

резерва и без него и результаты сравнения этих характеристик помещены в

табл. 2.

Стационарная вероятность того, что поступающая в систему заявка будет

обслужена, вычисляется по формуле (12) и ее значение равно P_обс = 0,725.

Такая же вероятность для системы без временного резерва равн

P_обс = 0,63.

Таким образом, наличие временного резерва улучшает данную характеристи-

ку системы на 14,958%. Вероятности потери заявки, поступающей в систему

с резервом и без резерва, соответственно равны P_пот = 0,275

P_пот = 0,37.

8. Заключение

С помощью аппарата полумарковских процессов с дискретно-непрерыв-

ным фазовым пространством состояний построена модель эволюции во вре-

мени многоканальной системы массового обслуживания M/G/N/0, в которой

во время обслуживания заявок может произойти отказ канала, но обслужи-

вание некоторое случайное время продолжается за счет резерва. В результате

решения системы интегральных уравнений найдено стационарное распреде-

ление вложенной цепи Маркова, что позволило определить выражения для

расчета стационарных вероятностей пребывания системы в различных фи-

зических состояниях и среднего стационарного времени пребывания в этих

состояниях, а также оценить влияние резерва на вероятность полного об-

служивания заявки. В приведенном численном примере вычислены стацио-

нарные характеристики системы и количественно оценено влияние наличия

резерва на стационарную вероятность полного обслуживания поступающей в

систему заявки.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. В справедливости утверждения тео-

ремы убедимся непосредственной подстановкой выражений (3) в систему ин-

тегральных уравнений (2).

Предварительно введем обозначения: если z = (z₁, . . . , z_k, . . . , z_N ), то век-

торы (z + t), (z + t)_m, ((z + t), t)_i определяются так:

{

z_k + t, z_k > 0,

[(z + t)]_k =

z_k = 0,

{

z_k + t, z_k > 0, k = m,

[(z + t)_m]_k =

z_k = 0, k = m,

⎧

⎨

z_k + t, z_k > 0, k = i,

[((z + t), t)_i]_k =

z_k = 0, k = i,

⎩

k = i.

Аналогично определяются векторы (x - t), (x - t)_m, (u + t) и (u + t)_m. Рас-

смотрим одно из уравнений системы (2):

∫

ρ(id x z u) =

e^-λtϕ_i(t) ×

∏

[

]

Fj (xj )

ρ id^′(x - t)(z + t)(u + t) dt +

Fj (xj - t)

j∈Ω11,12

∫

∑

e^-λtϕ_m(z_m + t) ×

m∈Ω¹¹

∏

[

]

Fj (xj )

ρ md^′(x - t)((z + t)_m,t)_i(u + t) dt +

Fj (xj - t)

j∈Ω11,12

∫

∑

e^-λtψ_m(u_m + t)r_m(z_m + t) ×

m∈Ω12d

m=i

∏

[

]

Fj (xj )

ρ md^′(x - t)((z + t)_m,t)_i(u + t)_m dt +

Fj (xj - t)

j∈Ω11,12

∫

∑

∏

[

]

Fj (xj )

e^-λt

ρ md^′(x - t)((z + t),t)_i(u + t) dt +

Fj (xj - t)

m∈Ω0d

^⋃ Ω2

j∈Ω11,12

⎧

∏

⎪

Fj (xj )

⎪

ϕm(zm + xmin)e-λxmin

⎪

Fj (xj - xmin)

⎪

j∈Ω11,12

⎪

[

]

⎪

× ρ md^′(x - x_min)((z + x_min)_m,x_min)_i(u + x_min) , x_min = x_m, m ∈ Ω11d ^,

⎨

∏

Fj (xj )

⁺⎪⎪

⎪

ϕi(xmin)e-λxmin

⎪

Fj (xj - xmin)

⎪

j∈Ω11,12d

[

]

⎪

ρ × id^′(x - x_min)_i(z + x_min)(u + x_min) , x_min = x_i,

⎪

⎩

0, x_min = x_m, m ∈ Ω12d,m=i,

где

d_i = 1₂, d^′i = 1₁, d^′k = d_k, k = i;

x_min = Λ xk.

x_k>0

Подставим выражения (3) для стационарного распределения в правую

часть уравнения и учтем тождества

∂

v(11)_k(x_k - t,t) = -h(1)k(x_k - t)ϕ_k(t),

∂t

∂

v(11)_k(x_k - t,z_k + t) = -h(1)k(x_k - t)ϕ_k(z_k + t),

∂t

∂

v(12)_k(x_k - t,z_k + t,u_k + t) = -h(2)k(x_k - t)ψ_k(z_k + t)r_k(z_k + t),

∂t

∂

V (2)k(u_k + t) = -v(2)k(u_k + t),v(11)_k(x_k,0) = h(2)k(x_k),v(11)_k(0,z_k) =

∂t

= ϕ_k(z_k),v(12)_k(0,z_k,u_k) = 0.

В результате преобразований интегральные слагаемые в правой части

уравнения приводятся к виду

⎧

⎪



∫

min

⎨

^d

∂

∏

−ρ₀

Fi(xi)vi11)(xi - t, t)

Fk(xk)v(11)_k(xk - t, zk + t)×

∂t⎪

λ|d|

⎩

k∈Ω¹¹

⎫

⎪

⎬

∏

Fk(xk)v(12)_k(xk - t, zk + t, uk

+ t)e^-λt

V (2)k(u_k + t)

dt =

⎪

k∈Ω12d

k∈Ω2d

⎭

k=i



^d!

∏

=ρ₀

Fi(xi)hi2)(xi)

Fk(xk)v(11)_k(xk, zk)

Fk(xk)v(12)_k(xk, zk, uk) ×

λ|d

k∈Ω¹¹

k∈Ω

k=i



∏

_d

!

V(2)

(u_k) - ρ₀

Fi(xi)vi11)(xi - xmin, xmin) ×

λ|d|

k∈Ω²

∏

Fk(xk)v(11)_k(xk - xmin, zk + xmin) ×

k∈Ω¹¹

∏

Fk(xk)v(12)_k(xk - xmin, zk + xmin, uk + xmin)e-λxmin

V (2)k(u_k + x_min).

k∈Ω12d

k∈Ω²

k=i

Очевидно, что выражение в правой части уравнения совпадает с выраже-

нием стационарного распределения в левой части, задаваемого формулой (3).

Теорема 1 доказана.

∫

Вывод равенства (6). Преобразуем

m(x)ρ(dx) с учетом вида сред-

E_d

него времени пребывания системы в состояниях и стационарного распреде-

ления ВЦМ и тождеств

∞

∫

(1₁)

Fi(xi + t)dxi v_i (xi, zi)dzi = Fi(t)Φi(t) + Φi(t) fi(t + s)H⁽

(s)ds,

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∫

∞

(1₂)

Fi(xi + t)dxi dzi v_i (xi, zi, ui)dui = Ψi(t)Ri(t) fi(t + s)Hⁱ

²⁾(s)ds.

Получаем

∫

∑∫∫∫

[

]

m(x)ρ(dx) =

ρ(id x z u)E

Θ_idxzu

dxdzdu =

i=1

E_d

R^xR^zR^u

⎧



∫

∞

⎨

∫

∞

∫

∞

_d

∏

!

= -ρ₀

e^-λt

Fk(xk + t)dxk v(11)_k(xk, zk)dzk ×

dt ⎩

λ|d|

k∈Ω¹¹

⎫

∞

∫

⎬

∏

(x_k, z_k, u_k)du_k

V(2)

(u_k)du_k dt =

Fk(xk + t)dxk dzk v(12)

⎪

k∈Ω¹²

k∈Ω²

d t



∞

∫

∏

^d!

=ρ₀

Fk(xk)v(11)_k(xk, zk)dxkdzk ×

λ|d|

k∈Ω¹¹

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∏

(x_k, z_k, u_k)dx_kdz_kdu_k

V (2)k(u_k)du_k =

Fk(xk)v(12)

k∈Ω¹²

k∈Ω²

d 0



^d!

∏

=ρ₀

T(11)

T(12)

T(2)k.

λ|d|

k∈Ω²

k∈Ω¹¹

k∈Ω

Здесь

∫∫∫

dxdzdu =

R^xR^zR^u

∫∞

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∫

∞

= ... dxs1 ...dxsm

dzs1 . . . dzsk

dus1 . . . dusl

x^s1>0...xsm>0

z^s1>0...zsk>0

u^s1>0...usl>0

Равенство (6) доказано.

Доказа∫ельство теоремы

Преобразуем сумму интегралов в

выражении_E

ρ(dx)P (x, ED- ), содержащих ρ(id x z u), i = 1, N , с фикси-

^D+

рованным вектором d ∈ D′+ из пограничного слоя, для которого изменение

m-й компоненты с d_m = 1₁ на d^′m = 0 переводит вектор d в множество D_-,

т.е. m ∈ G011 (d). Из состояния id x z u система переходит в подмножество E_-,

если минимум времен пребывания в этом состоянии достигается на СВ α_m

(если x_m = 0), т.е. Θ_idxzu = α_m или Θ_idxzu = [α_m - x_m]₊ (если x_m > 0). Ве-

роятности этих переходов соответственно равны

∫

∏

Fk(xk + t)

e^-λtf_m(t)Φ_m(t)

Fk(xk)

k∈Ω11,12d

k=m

∫

∏

f_m(x_m + t)

Fk(xk + t)

e^-λt

Φ_m(t)

dt.

Fm(xm)

Fk(xk)

k∈Ω11,12d

k=m

В результате преобразований, аналогичным преобразованиям, которые ис-

пользовались при выводе (6), получаем, что

∑ ∫∫∫

ρ(id x z u)P (id x z u, E_-)dxdzdu =

i=1

R^xR^zR^u

⎧

⎪



∞

∫

⎨

∫

^d!

= -ρ₀

e^-λt

f_m(x_m + t)dx_m v(11)_m(x_m,z_m)dz_m ×

dt ⎪

λ|d|

⎩

∞

∫

∏

Fk(xk + t)dxk v(11)_k(xk, zk)dzk ×

k∈Ω11d

k=m

⎫

⎪

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∫

∞

⎬

∏

(x_k, z_k, u_k)du_k

V(2)

(u_k)du_k

dt =

Fk(xk + t)dxk dzk v(12)

⎪

k∈Ω¹²

k∈Ω²

d t

⎭



^d!

∏

=ρ₀

(t_m)⁰

T(11)

T(12)

T(2)k.

1₁

λ|d|

k∈Ω11d

k∈Ω12d

k∈Ω²

k=m

Таким образом, в правую часть (14) входит сумма слагаемых для всех но-

меров m ∈ G⁰ (d). Аналогичные выкладки проводятся для других компонент₁

векторов из пограничного слоя. Теорема 2 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания.

М.: Наука, 1987.

Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания. М.: Изд-во

РУДН, 1995.

Рыков В.В. Управляемые системы массового обслуживания // Итоги науки и

техн. Сер. вероят., мат. стат., теор. кибернет. 1975. Т. 12. С. 43-153.

Богатырев В.А., Богатырев А.В. Оптимизация резервированного распределе-

ния запросов в кластерных системах реального времени // Информационные

технологии. 2015. Т. 21. № 7. С. 495-502.

Дудин А.Н., Сунь Б. Ненадежная многолинейная система обслуживания

с управляемым широковещательным обслуживанием // АиТ. 2009. № 12.

С. 147-160.

Dudin A.N., Sung V. Unreliable Multi-Server System with Controllable Broadcasting

Service // Autom. Remote Control. 2009. V. 70. No. 12. P. 2073-2084.

Kim C.S., Lee M.H., Dudin A.N., Klimenok V.I. Multi-server Queuing Systems with

Cooperation of the Servers // Ann. Oper. Res. 2008. V. 162. No. 1. P. 57-68.

Богатырев В.А., Сластихин И.А. Эффективность резервированного выполне-

ния запросов в многоканальных системах обслуживания // Науч.-технич. вестн.

информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16. № 2. С. 311-317.

Гришунина Ю.Б. Исследование полумарковской модели технического обслу-

живания с целью оптимального выбора вида ремонта // Надежность. 2010.

№ 2 (33). С. 44-53.

Peschansky A.I., Kovalenko A.I. Semi-Markov Model of a Single-Server Queue with

Losses and Maintenance of an Unreliable Server // Cybern. Syst. Anal. 2015. V. 51.

No. 4. P. 632-643.

10.

Песчанский А.И., Коваленко А.И. Полумарковская модель ненадежной одноли-

нейной системы обслуживания с потерями и различными типами восстановле-

ния // АиТ. 2016. № 11. С. 112-126.

Peschansky A.I., Kovalenko A.I. A Semi-Markov Model for an Unreliable Single-Line

Queueing System with Losses and Different Restoration Types // Autom. Remote

Control. 2016. V. 77. No. 12. P. 2192-2204.

11.

Peschansky A.I., Kovalenko A.I. On a Strategy for the Maintenance of an Unreliable

Channel of a One-Server Loss Queue // Automatic Control and Computer Sciences.

2016. V. 50. No. 6. P. 397-407.

12.

Черкесов Г.Н. Надежность аппаратно-программных комплексов. СПб.: Питер,

2005.

13.

Ushakov I.A. Probabilistic Reliability Models. Wiley, 2012.

14.

Копп В.Я., Обжерин Ю.Е., Песчанский А.И. Стохастические модели автомати-

зированных производственных систем с временным резервированием. Севасто-

поль: Изд-во СевНТУ, 2001.

15.

Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах

надежности систем. К.: Наук. думка, 1982.

16. Корлат А.Н., Кузнецов В.Н., Новиков М.И. и др. Полумарковские модели вос-

станавливаемых систем и систем массового обслуживания. Кишинев: Штиинца,

1991.

17. Песчанский А.И. Полумарковская модель ненадежной восстанавливаемой ре-

зервированной одноканальной системы обслуживания с потерями // Вестн. Са-

мар. гос. техн. ун-та. Сер. Техн. науки. 2017. № 1 (53). С. 31-41.

18. Beichelt F., Franken P. Zuverlässigkeit und Instanphaltung, Mathematische

Methoden. Berlin: VEB Verlag Technik, 1983.

19. Якушев Ю.Ф. Об одной задаче обслуживания потока вызовов ненадежными

приборами // Пробл. передачи информации. 1969. Т. 5. Вып. 4. С. 84-88.

Статья представлена к публикации членом редколлегии В.М. Вишневским.

Поступила в редакцию 01.03.2018

После доработки 13.10.2018

Принята к публикации 08.11.2018