Автоматика и телемеханика, № 4, 2019

Управление в технических системах

(ОАО “Бортовые аэронавигационные системы”, Москва),

А.М. БРОННИКОВ, д-р техн. наук (bronnikov_a_m@mail.ru)

(Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана),

А.М. АГЕЕВ, канд. техн. наук (ageev_bbc@mail.ru),

И.Ф. ГАМАЮНОВ, канд. техн. наук (ilyagama@gmail.com)

(ВУНЦ ВВС “Военно-воздушная академия

им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина”, Воронеж)

ИНТЕГРАЦИЯ КОМПЛЕКСА ОБОРУДОВАНИЯ

ВЫБРАННОЙ КОНФИГУРАЦИИ

Ставится и решается задача синтеза динамических, с операторами дис-

кретного сдвига во времени, интеграционных матриц, моделирующих об-

работку данных в интегрированной вычислительной среде создаваемого

комплекса оборудования. Развиваемый подход предусматривает предва-

рительный выбор конфигурации комплекса путем задания пары конфигу-

рационных матриц, моделирующих безынерционные входные и выходные

интерфейсы всех его неоднородных и неуниверсальных компонентов. По-

лучены формульные выражения для полного и суженных множеств инте-

грационных матриц, обеспечивающих при выбранных конфигурационных

матрицах неизменность предписанной комплексу целевой функции. При-

водится методический пример, демонстрирующий методику и эффектив-

ность предлагаемого подхода.

Ключевые слова: комплекс оборудования, управление избыточностью, ре-

конфигурация, целевая функция, передаточная матрица, интеграцион-

ный базис, канонизация матриц, делители нуля, гипотеза Букова.

DOI: 10.1134/S0005231019040068

1. Введение

Избыточность комплекса оборудования (КО) по определению предпола-

гает наличие компонентов, число и возможности которых превышают ми-

нимально необходимые для применения КО по предназначению. При этом

для осуществления тех или иных функций, а также в порядке реагирования

на внешние вызовы КО может принимать соответствующую конфигурацию

(схему или способ объединения компонентов) и изменять цели функциониро-

вания.

Так, в [1] с помощью декомпозиционного метода размещения полюсов ре-

шается задача сохранения заданных характеристик устойчивости воздушно-

го судна при реконфигурации системы управления полетом в условиях воз-

никновения отказов исполнительной подсистемы. Учет перекрестных связей

между каналами управления позволяет полностью компенсировать послед-

ствия отказов исполнительной подсистемы в каждом из каналов управления

105

при соблюдении условий полной управляемости модели движения летатель-

ного аппарата как динамической системы.

Статья [2] посвящена вопросам структурно-функциональной реконфигу-

рации сложных объектов на основе формирования гипермультиграфа макро-

состояний, связывающего текущее и возможные будущие состояния объекта.

Решение строится как оптимальное в некотором смысле управление потоками

информации и отказов.

В [3] приводится описание отказоустойчивой системы с реконфигурацией,

моделируемой в пакете Matlab Simulink + Stateflow. Готовность к работе при

любых отказах или сбоях достигается за счет организации двухканальной

структуры с поблочным дублированием, перекрестными связями и восста-

навливающим органом, выполняющим логическую функцию “И”. Система

остается работоспособной до тех пор, пока одновременно не откажет какая-

либо из определенных пар блоков.

Авторы [4] для управления реконфигурированием перестраиваемой бор-

товой вычислительной системы малых космических аппаратов предлагают

учитывать такие параметры, как накопленная доза ионизирующего излуче-

ния и ее интенсивность, нагрев, частота сбоев и отказов. Устойчивость же

работы системы обеспечивается своевременным переводом элементов в пас-

сивное состояние посредством реконфигурирования.

В [5] для прогнозирования структурной устойчивости автоматизирован-

ных систем управления космическими аппаратами предлагается методика,

включающая три шага: построение схемы функциональной целостности, мо-

делирование различных сценариев, вычисление нечетких значений показате-

лей структурной устойчивости.

Статья [6] содержит основные принципы функционирования мультиагент-

ного диспетчера, используемого в современных и перспективных информаци-

онно-управляющих системах атомных электростанций и авиационных ком-

плексов дальнего радиолокационного обнаружения. При этом предусмотрена

автоматическая подстройка архитектуры вычислителей под решаемую зада-

чу, обеспечивающая высокую скорость при минимальных аппаратурных за-

тратах.

В [7] в качестве базовой подсистемы для соединения всех подсистем авио-

ники рассматривается подсистема цифровой обработки данных, состоящая

из избыточных центральных процессорных блоков, а также сопутствующих

модулей ввода/вывода, соответствующего программного обеспечения, циф-

ровых шин данных и многочисленных удаленных терминалов.

Статья [8] содержит библиографический обзор активных отказоустойчи-

вых систем управления, существующих подходов к детектированию отказов

и диагностике применительно к техническим системам. На основе 376 источ-

ников, датируемых с 1971 г., осуществлен всесторонний анализ исследований

в прошлом, настоящем и сделан прогноз на будущее.

В [9] ставится задача управления избыточностью КО и формулируется ре-

шение этой задачи с помощью программно-аппаратных средств, названных

супервизорами конфигураций. Затем в [10-13] развивается аналитический

подход к формированию множества альтернативных конфигураций избыточ-

106

ных КО, а также анализируется взаимосвязь аналитических решений с су-

первизорами конфигураций КО. Статья [14] посвящена проверке (тестирова-

нию) выбранной конфигурации неоднородного КО на его реализуемость, т.е.

на наличие потенциальной возможности определения такой обработки сигна-

лов в его межкомпонентных связях, при которой комплекс может выполнять

предписанные целевые функции. К особенностям развиваемого подхода сле-

дует отнести: математическую строгость и логическую непротиворечивость,

формализацию описания процессов информационного обмена в КО, а также

получение решений в аналитическом виде.

2. Модель избыточного комплекса

Предметом исследований является система, называемая в дальнейшем

“объект + КО” и включающая:

объект, для которого создается комплекс оборудования и который мо-

жет непосредственно взаимодействовать, причем не единственным образом, с

некоторыми из компонентов этого комплекса (с датчиками и актюаторами);

избыточную совокупность разрозненных¹, не обязательно однородных

(совместимость всех интерфейсов) и универсальных (применимость для лю-

бых функций) компонентов, предназначенных для исполнения разнообраз-

ных частных функций;

интегрированную вычислительную среду (ИВС), на которую возлагается

интеграция (объединение) разрозненных компонентов в комплекс с единой

целью функционирования, что предполагает сбор данных с выходов исполь-

зуемых компонентов реализуемой конфигурации, обработку этих данных в

соответствии с некоторыми правилами и распределение результатов обработ-

ки по входам используемых компонентов.

Поведение избыточной совокупности разрозненных компонентов и объекта

в терминах систем с дискретным временем τ = 0, 1, 2, . . . в линейном прибли-

жении описывается моделью [10, 12-14]

(1)

y_τ = Dx_τ , xτ+1 = Ax_τ + Bu_τ + Gv_τ , xτ=0 = x₀,

где y_τ - метавектор (составной вектор) выходов всех компонентов на такте τ

размерности m, x_τ - метавектор состояния компонентов и объекта размер-

ности n, u_τ - метавектор входов компонентов для межкомпонентных связей

размерности l, v_τ - метавектор входов компонентов и объекта для внешних

воздействий (внешних входов) размерности k, D - блочная числовая матрица

формирования выходов всех компонентов размеров m × n, A - блочная чис-

ловая матрица собственной динамики компонентов и объекта размеров n × n,

B - блочная числовая матрица эффективности межкомпонентных связей раз-

меров n × l, G - блочная числовая матрица эффективности внешних воздей-

ствий размеров n × k.

Линеаризованная модель функционирования ИВС может быть представ-

лена в форме передаточной матрицы (при нулевых начальных условиях² для

¹ Обособленных или необособленных как в функциональном, так и конструктивном ас-

пектах.

² Отказ от этого предположения требует дополнительных исследований.

107

всех внутренних переменных ИВС)

(2)

u_τ = Q(z)y_τ ,

где z - оператор сдвига во времени на один такт вперед, Q(z) - в общем

случае дробно-рациональная полиномиальная (по оператору z) матрица раз-

меров l × m передаточных функций (передаточная матрица) от метавектора

выходов компонентов y_τ к метавектору их входов для межкомпонентных свя-

зей u_τ , названная конфигурационной матрицей [13].

В свою очередь, конфигурационная матрица имеет структуру:

(3)

Q(z) = C_вхE(z)C_вых,

где C_вх и C_вых - распределительные матрицы размеров l × p и q × m, т.е. мат-

рицы, содержащие бинарные элементы и не более одного единичного элемен-

та в строке, названные интерфейсными матрицами [10], поскольку моделиру-

ют без учета задержек функционирование входных и выходных интерфейсов

всех компонентов за исключением объекта, E(z) - в общем случае дробно-

рациональная полиномиальная матрица размеров p × q, моделирующая об-

работку вычислительными средствами ИВС и задержек всех поступающих

данных и названная интеграционной матрицей [10].

В силу избыточности состава и функциональности компонентов конфигу-

рационная матрица Q(z) допускает варьирование, обусловленное:

выбором различных пар интерфейсных матриц C_вх и C_вых в интересах

адаптации системы в целом к изменяющимся условиям, включая корректи-

ровку возлагаемых на нее задач и парирование отказов или неправильно-

го функционирования различных компонентов, изменяться могут размеры

(p и q) и значения элементов этих матриц;

изменением настроек (значений элементов) интеграционной матрицы E(z)

в силу либо учета ресурсов, возможностей и особенностей вычислительных

средств ИВС, либо удовлетворения дополнительных требований к системе.

При этом в возможностях и ограничениях выбора C_вх и C_вых проявляется

неоднородность компонентов, а настроек E(z) - их неуниверсальность.

Термины “конфигурирование избыточного КО” и “интеграция избыточно-

го КО” будем преимущественно связывать с раздельным определением пары

интерфейсных матриц C_вх, C_вых в первом случае и интеграционной матри-

цы E(z) во втором, хотя указанная грань не всегда обладает достаточной

четкостью. Так, тождественное обнуление элементов E(z) приводит к изме-

нению конфигурации КО.

3. Постановка задачи и используемый аппарат

В качестве формальной функции, отражающей основное содержание

функционирования системы в целом, предложено [10] использовать выбороч-

ную часть ее передаточной матрицы от внешних входов v_τ к выходам y_τ

[

]

(z)

= D(zI_n - A - BQ(z)D)-1G,

W^vy(z) = wviy_j

m×k

108

x + 1

z¹

ном

E_ном

C_вх

C_вых

Рис. 1. Структура системы “объект + КО” с учетом тестовых входа и выхода.

полученной объединением (1)-(3), где wvi (z) - передаточная функция от_y

i-го входа v_i.τ к j-му выходу y_j.τ , I_n - единичная матрица размеров n × n.

Матрицу, формируемую из передаточной матрицы W^vy(z) посредством весо-

вых матриц α размеров k × g и β размеров f × m на ее входе и выходе,

(4)

Φ(z) = W^VY (z) = βW^vy(z)α = βD(zI_n - A - BQ(z)D)-1

Gα

предложено [10] называть целевой функцией КО.

Векторы V_τ и Y_τ , связанные с метавекторами входов v_τ и выходов y_τ ком-

понентов в соответствии с формулами v_τ = αV_τ и Y_τ = βy_τ , будем называть

тестовыми входом и выходом системы. Таким образом, целевая функция (4)

представляет собой передаточную матрицу W^VY (z) от тестового входа V_τ к

тестовому выходу Y_τ .

Целевую функцию удобно связывать с так называемой номинальной кон-

фигурацией КО, когда выполняется равенство

Q_ном(z) = C^номвхE_ном(z)C^номвых,

где все указанные матрицы имеют номинальные значения, при которых

функция (4) принимает значение Φ_треб(z), удовлетворяющее разработчика.

Для знаменателя матричной дроби (4) при номинальной конфигурации ком-

плекса далее используется обозначение

Ω(z) = zI_n - A - BQ_ном(z)D.

Рисунок 1 иллюстрирует структуру системы “объект + КО”, в которой по-

мимо номинальной конфигурации КО, формализуемой матрицей Q_ном, пока-

зана одна из его альтернативных конфигураций, представленная матрицей Q.

С целью упрощения указания на зависимость матриц E, E_ном, Q и Q_ном от

оператора z опущены.

Для обеспечения компактности формул введены [14] определения двух пе-

редаточных матриц для системы “объект + КО” в номинальной конфигура-

ции:

номинальная передаточная матрица по внешнему воздействию

Wvy.ном(z) = DΩ-1(z)G

109

и номинальная передаточная матрица по межкомпонентным связям

Wuy.ном(z) = DΩ-1(z)B.

С понятием “управление избыточностью технической системы” тесно свя-

заны методы решения задач варьирования ее конфигурации. В частности,

это относится к возможностям и ограничениям такого изменения конфигу-

рации КО, при котором целевая функция остается неизменной. В [14] все

матрицы C_вх и C_вых, обеспечивающие потенциальную возможность интегра-

ции комплекса (т.е. определение такой интеграционной матрицы E(z), при

которой указанное требование выполняется), относятся к допустимым. Соот-

ветствующая конфигурация КО тоже называется допустимой.

Там же сформулированы как необходимые и достаточные, так и только

достаточные условия отнесения матриц C_вх и C_вых к допустимым.

В данной статье ставится задача получения формульных выражений для

множеств интеграционных матриц E(z), соответствующих выбранной паре

допустимых альтернативных интерфейсных матриц C_вх, C_вых. Решение по-

лучено как для исходной (полной), так и для редуцированной (упрощенной)

постановок задачи [14].

Такая формулировка задачи отличается от предложенной ранее в [10], где

осуществлялся синтез интеграционной матрицы без независимого предвари-

тельного выбора интерфейсных матриц. Введенная здесь корректировка поз-

воляет разработчику-интегратору КО задавать направление поиска альтер-

нативных конфигураций с учетом различных дополнительных требований и

обстоятельств.

При решении поставленной задачи используется аппарат канонизации

матриц [15], в основе которого лежит модификация алгоритма Гаусса, позво-

ляющая любую матрицу S размеров n × m и ранга r преобразовать в сово-

купность соответствующих ей левого S^L и правого S^R делителей нуля макси-

мального ранга, а также левог

S^L, правог

S^R и сводног

S канонизаторов,

удовлетворяющих равенствам

(5)

S^LS = 0, SS^R = 0,

S^L

S^R = I_r,

S =(S)^∼

S^R

S^L и SSS = S.

В случае отсутствия (равенства нулю) делителей нуля сводный канониза-

то

S уступает место односторонним делителям единицы³ или обратной мат-

рице [15]:

при отсутствии S^L - правому делителю единицы

S^R = S^R, удовлетво-

ряющему равенству

SS^R = I_n,

³ Канонизация матрицы S, у [оторой n ] m и r = n, может быть выполнена комбини-

рованием только столбцов и дает

S^R

. При этом возможное комбинирование строк,

формализуемое в этом случае о[братимой мат]ицей

S^L = P, компенсируется комбинирова-

нием столбцов, приводящим к

S^RP-1

S^R

. В результате сводный канонизатор прини-

мает значение

S =S^RP-1P =S^R.

110

при отсутствии S^R - левому делителю единицы

S^L = S^L, удовлетво-

ряющему равенству

S^LS = I_m,

при отсутствии S^L и S^R - обратной матрице

S =S-1.

Существующая неединственность результатов канонизации не создает

трудностей для их использования. Преимущество данного аппарата поясня-

ется в [14].

4. Интеграционный базис

Введем в рассмотрение вспомогательную виртуальную систему, которую

будем называть базисной. Ее структура показана на рис. 2. Система пред-

ставляет собой последовательность (цепочку) трех динамических блоков (для

отличия от реальной системы метавекторы помечены штрихами и градусом)

с передаточными матрицами:

u^o

x ''

y ''

Y ''

z¹

u ''

Q_ном

Блок 1

Блок 2

Блок 3

Рис. 2. Структура базисной системы.

блок 1, от тестового входа V^′τ к выходам компонентов y^′τ при номинальной

конфигурации КО:

′

(z) = Wvy.ном(z)α,

блок 2, от выходов компонентов y^′τ к их входам для межкомпонентных

связей u^◦τ (соответствует передаточной матрице ИВС по формуле (2)) при

конфигурации КО, для которой определяется интеграционная матрица:

◦

(z) = Q(z),

блок 3, от входов компонентов для межкомпонентных связей u^◦τ к тесто-

вому выходу Y^′′τ при номинальной конфигурации КО:

Wu′Y′ (z) = β

y.ном

(z).

Таким образом, передаточная матрица базисной системы при любых зна-

чениях интерфейсных C_вх, C_вых и интеграционной E(z) матриц определяется

формулой

(6)

Θ(z) = βWuy.ном(z)

Q(z)

Wvy.ном(z)α,

5678

блок 3

блок 2

блок 1

111

а в случае номинальной конфигурации C^номвх, C^номвых и E_ном(z) принимает зна-

чение

(7)

Θ_баз(z) = βWuy.ном(z)Qном(z)Wvy.ном(z)α,

блок 3

блок 2

блок 1

которое будем называть интеграционным базисом.

Принципиальной особенностью базисной системы является присутствие

двух в общем случае различных конфигурационных матриц Q_ном(z) и Q(z),

первая из которых (в блоках 1 и 3) зафиксирована выбором номинальной

конфигурации, а вторая (в блоке 2) варьируется при поиске альтернативной

конфигурации, эквивалентной номинальной по значению целевой функции.

Выбор такой структуры обусловлен последующим использованием базисной

системы.

В отличие от реальной системы, показанной на рис. 1, с ее целевой функ-

цией (4) в базисной системе c соответствующей передаточной матрицей (6)

тестовый вход V^′τ при формировании тестового выхода Y^′′τ дважды проходит

контур DΩ-1(z).

В решаемой задаче формула (7), где номинальное значение Q_ном(z) фигу-

рирует трижды (в каждом из блоков), играет ключевую роль. Все решения

задачи интеграции КО (в полной постановке), включая полученные ранее

условия допустимости конфигурации [14], формируются из интеграционного

базиса (7).

5. Исчерпывающее решение

Результаты по условиям допустимости интерфейсных матриц [14] полу-

чены на основе последовательности решений, представленных в [10, 12, 13].

Однако в отличие от условий допустимости, имеющих вполне лаконичный

вид, получить таким путем формулы для интеграционной матрицы не пред-

ставилось возможным в силу громоздкости промежуточных матричных кон-

струкций. Интуитивно ожидаемые возможности строгих сокращений этих

конструкций пока не проявились.

Поэтому, преследуя, главным образом, прагматические цели, авторы вы-

носят на суд формулировку соответствующей гипотезы и результаты иссле-

дования обеспеченных ею результатов.

Гипотеза Букова. Множество интеграционных матриц E(z), обес-

печивающих значение Φ_треб(z) целевой функции КО, зафиксированное в его

номинальной конфигурации Q_ном(z) и весовых матрицах α, β, а также мно-

жество интеграционных матриц E(z), при которых передаточная мат-

рица базисной системы Θ(z) тождественно равна интеграционному бази-

су Θ_баз(z), совпадают.

На формальном языке сказанное эквивалентно предположению, что нели-

нейное матричное основное уравнение интеграции системы “объект + КО” [14]

(8)

βD(zI_n - A - BC_вхE(z)C_выхD)-1Gα = βWvy.ном

(z)α

112

и линейное двустороннее матричное уравнение

(9)

βWuy.ном(z)C_вхE(z)C_выхWvy.ном(z)α = Θ_баз

(z),

получаемое приравниванием формул (6) и (7) базисной системы, имеют иден-

тичные решения относительно матрицы E(z), т.е. эквивалентны при любых

фиксированных значениях остальных матриц.

Обоснование гипотезы дано в Приложении.

На основе этой гипотезы сформулируем теорему 1, дающую решение за-

дачи в ее исходной постановке. Доказательство приведено в Приложении.

Теорема 1. Если справедлива гипотеза Букова и выполнены условия

теоремы 1 из [14] для интерфейсной матрицы C_вх

(10)

βWuy.ном(z)C_вх

^LΘ_баз

(z) = 0

и интерфейсной матрицы C_вых

(11)

Θ_баз(z)C_выхWvy.ном(z)α

= 0,

то множество всех возможных интеграционных матриц E(z), соответ-

ствующих выбранной паре интерфейсных матриц C_вх, C_вых и обеспечива-

ющих значение целевой функции КО, зафиксированное в его номинальной

конфигурации Q_ном(z) и весовых матрицах α и β, определяется формулой

(

)_∼

(

)_∼

(12)

{E(z)}_θ,ϑ =

βWuy.ном(z)C_вх

Θ_баз(z)

C_выхWvy.ном(z)α

+ βWuy.ном(z)C_вх

^Rθ + ϑC_выхWvy.ном(z)α^L,

где θ и ϑ - произвольные матрицы подходящих размеров.

При использовании результата теоремы 1 удобно пользоваться следующи-

ми определениями:

(

{E(z)}_θ,ϑ

βWuy.ном(z)C_вх

)^∼Θ_баз(z)⁽C_выхWvy.ном(z)α)∼

Общее решение

Базовое решение

+ βWuy.ном(z)C_вх

^Rθ

+ ϑC_выхWvy.ном(z)α

Вариация столбцов решения

Вариация строк решения

Если в частном случае номинальные и альтернативные интерфейсные мат-

рицы совпадают, имея значения C_вх и C_вых соответственно, то с учетом под-

становки решения в (9) и регулярности по Нейману сводного канонизатора

(выполнение последнего из равенств (5)) формула (12) приводится к виду

{E(z)}_θ,ϑ = E_ном(z) + βWuy.ном(z)C_вх

^Rθ + ϑC_выхWvy.ном(z)α^L,

совпадающему с результатом [12] с точностью до обозначений.

113

6. Решения при упрощенных условиях

Выполнение упрощенных условий [14] допустимости интерфейсных мат-

риц C_вх и C_вых позволяет получить решения в виде множеств, отличающихся

от (12).

Следствие. Если справедлива гипотеза Букова и выполнены условия

следствия 1 из [14]:

βWuy.ном(z)CвхL = 0, C_выхWvy.ном(z)α^R = 0,

то множество возможных интеграционных матриц, соответствующих

этим условиям и обеспечивающих значение целевой функции КО, зафик-

сированное в его номинальной конфигурации Q_ном(z) и весовых матрицах α

и β, определяется формулой

(

(13)

{E(z)}_θ,ϑ =

βWuy.ном(z)C_вх

)^RΘ_баз(z)⁽C_выхWvy.ном(z)α)L+

+ βWuy.ном(z)C_вх

^Rθ + ϑC_выхWvy.ном(z)α^L,

где θ и ϑ - произвольные матрицы подходящих размеров.

Если же матричные произведения под знаками канонизации обратимы (от-

сутствуют левые и правые делители нуля), то формулы (12) и (13) уступают

место формуле для единственного решения

(

)-1

(

)-1

E(z) =

βWuy.ном(z)C_вх

Θ_баз(z)

C_выхWvy.ном(z)α

При этом равенство E(z) = E_ном(z) соответствует случаю, когда обе матрицы

C_вх и C_вых имеют номинальные значения.

Аналогично формулируется следствие, связанное с выполнением условий

следствия 2 из [14]. Справедливость таких следствий обусловлена указанным

в разделе 3 свойством канонизаторов и не требует специального доказатель-

ства.

Следующая теорема 2 позволяет использовать достаточные условия теоре-

мы 2 из [14] без опоры на сформулированную выше гипотезу. Однако получа-

емые при этом решения задачи являются редуцированными, т.е. упрощенны-

ми, в которых только частично учитывается структура целевой функции (4).

Строгое сопоставление полных и редуцированных решений выходит за рамки

данной статьи.

Теорема 2. Если выполнены условия теоремы 2 из [14]

(14)

BCвхLBQ_ном(z)D = 0, BQ_ном(z)DC_выхD^R

= 0,

то множество интеграционных матриц КО, соответствующих выбранной

паре интерфейсных матриц C_вх, C_вых и обеспечивающих значение целевой

функции КО, зафиксированное в его номинальной конфигурации Q_ном(z) вне

зависимости от весовых матриц α и β, определяется формулой

(15)

{E(z)}_θ,ϑ = (BC_вх)^∼BQ_ном(z)D(C_выхD)^∼ + BCвхRθ + ϑC_выхD^L,

где θ и ϑ - произвольные матрицы подходящих размеров.

114

Доказательство теоремы и пояснение редукции приведены в Приложении.

При использовании результата теоремы 2 можно пользоваться определе-

ниями

{E(z)}_θ,ϑ

= (BC_вх)^∼BQ_ном(z)D(C_выхD)^∼

Общее решение

Базовое решение

+ BCвхRθ

+ ϑC_выхD^L

Вариация столбцов Вариация строк

по аналогии с теоремой 1. Здесь интеграционный базис (7) уступил место

матрице BQ_ном(z)D. Сравнение этой матрицы с (7) показывает потерю (ре-

зультат редукции) в теореме 2 учета внутренних связей интегрируемого КО

как на входе, так и на выходе передаточной матрицы (3), моделирующей

функционирование ИВС.

Базовое решение и структура вариаций в (12), (13) и (15) зависят от реа-

лизуемых процедур канонизации [15], но это не влияет на получаемые мно-

жества решений.

7. Пример

В качестве объекта для методического примера рассмотрим описанную

в [14] упрощенную модель продольного движения самолета

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

x1.τ+1

a₁

a₂

x1.τ

g₁

g₂

v1.τ

^[u1.τ ]

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣x2.τ+1

⎦

⎣a3 a4

0⎦

⎣x2.τ

⎦

⎣b1 b2⎦

⎣0

g₃

g₄⎦

⎣v2.τ

⎦,

u2.τ

x3.τ+1

a₂

x3.τ

5 67 8

v3.τ

uτ

5 67 8

xτ+1

xτ

vτ

где x₁ - приращение угла атаки, x₂ - угловая скорость тангажа, x₃ - прира-

щение угла тангажа, u₁ - приращение угла отклонения стабилизатора, u₂ -

приращение угла отклонения переднего горизонтального оперения, v₁, v₂, v₃ -

внешние воздействия (различные комбинации возмущений нормальной силы,

продольного момента и сдвига ветра), a_i, b_i и g_i - известные параметры мо-

дели, отличные от нуля.

Выходом объекта является вектор y_τ , определяемый формулой

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

1.τ

x1.τ

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

y2.τ

x1.τ

x2.τ

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

y3.τ

⎥

⎢

⎥

⎣ x2.τ

⎦

⎢

x2.τ

⎥,

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣ y4.τ

⎦

⎣₀

⎦

x3.τ

⎣ x3.τ

⎦

y5.τ

−1 0 1

x3.τ - x1.τ

xτ

yτ

где y₁ - сигнал датчика угла атаки, y₂ - сигнал датчика угловой скорости

тангажа, y₃ - сигнал угловой скорости тангажа комплексной навигационной

115

Таблица 1. Синтез интеграционной матрицы E(z) по формуле (12) теоремы 1

Вариация строк

значение ϑ для

Интерфейсная

матричный

№

Базовое решение

совпадения с

матрица C_вых

коэффициент

решением [14]

[

]

[

]

a^ж-a4

-a³b1

⎡

⎤

[

]

⎣

⎦

a^ж-a4

-1

-a³b1

-2b1

⎡

⎤

[

]

[

]

⎣

⎦

(a^ж-a4)z-aΣ

z-1

a^ж-a4

a2b1

-a2

⎡

⎤

[

]

[

]

⎣

⎦

(a^ж-a4)z-aΣ

z-1

a^ж-a4

a2b1

-a2

⎡

⎤

[

]

⎢

⎥

[

]

[

]

⎢

⎥

(a^ж-a4)z-aΣ

−1

a^ж-a4

⎢

⎥

⎣

⎦

b1(z-1)

1 -1 0 0

-a³b1

2b1

[

]

[

]

(a^ж-a4)z-a

b1(z-1)

[

]

[

]

(a^ж-a4)z-aΣ (a^ж-a4)(z-1)

a2b1

[

]

[

]

(a^ж-a4)z-aΣ

b1(z-1)

[

]

[

]

(a^ж-a4)z-aΣ

b1(z-1)

⎡

⎤

[

]

⎣

⎦

(a^ж-a4)z-aΣ

-1

b1(z-1)

Ошибочное решение

Значение целевой функции

[

]

[

]

[

]

(a^ж-a4)(z-a1)+a2a3

a3g1

11^∗

z-a^ж

b1(z-a1)

(z-a4)(z-a^ж)

[

]

[

]

[

]

(a^ж-a4)(z-a1)+a2a3

a3g1

12^∗

b1(z-a1)

(z-a4)(z-a^ж)

z-a^ж

⎡

⎤

[

]

[

]

(a^ж-a4)(z-a1)+a2a3

a3g1

13^∗

⎣

⎦

b1(z-a1)

(z-a1)(z-a^ж)

z-a^ж

[

]

[

]

14^∗

[

0 ]

-a³b1

z-a4

^∗В соответствии с [14] условия допустимости конфигурации не выполнены.

116

Таблица 2. Синтез интеграционной матрицы E(z) по формуле (15) теоремы 2

Вариация строк

значение ϑ для

Интерфейсная

матричный

№

Базовое решение

совпадения с

матрица C_вых

коэффициент

решением [14]

[

]

[

]

a^ж-a4

-a³b1

⎡

⎤

[

]

⎣

⎦

a^ж-a4

-1

-a³b1

-2b1

⎡

⎤

[

]

⎣

⎦

a^ж-a4

-a³b1

⎡

⎤

[

]

⎣

⎦

a^ж-a4

-a³b1

⎡

⎤

⎢

⎥

[

]

⎢

⎥

a^ж-a4

⎢

⎥

- 1 0 0]

⎣

⎦

0 a^ж-a4b1

-a³b1

2b1

Ошибочное решение

Значение целевой функции

[

]

[

]

[

]

6^∗

-a³b1

z-a4

[

]

[

]

[

]

7^∗

-a³b1

z-a4

[

]

[

]

[

]

a^ж-a4

g3(z-1)

8^∗

(z-a^ж)(z-1)+a2a3

[

]

[

]

[

]

a^ж-a4

g3(z-1)

9^∗

(z-a^ж)(z-1)+a2a3

⎡

⎤

[

]

[

]

⎣

⎦

a^ж-a4

g3(z-1)

10^∗

(z-a^ж)(z-1)+a2a3

[

]

[

]

[

]

a^ж-a4

a3g1

g1(z-a1)

11^∗

(z-a1)(z-a^ж)-a2a3 (z-a1)(z-a^ж)-a2a3

[

]

[

]

[

]

a^ж-a4

a3g1

g1(z-a1)

12^∗

(z-a1)(z-a^ж)-a2a3 (z-a1)(z-a^ж)-a2a3

⎡

⎤

[

]

[

]

⎦

a^ж-a4

a3g1

g3(z-a1)

13^∗ ⎣

(z-a1)(z-a^ж)-a2a3 (z-a1)(z-a^ж)-a2a3

[

]

[

]

14^∗

[

0 ]

-a³b1

z-a4

^∗В соответствии с [14] достаточные условия допустимости конфигурации не выполнены.

117

системы (КНС), y₄ - сигнал угла тангажа КНС и y₅ - сигнал угла наклона

траектории КНС.

Задачей управления является обеспечение целевой функции, т.е. желаемой

передаточной матрицы от воздействий v₁ и v₂ к угловой скорости тангажа

x₂ = y₂:

[

]

[

]

g₃

(16)

Φ_треб(z) =

wv1y₂ (z) wy22 (z)

z-a^ж

где a^ж - параметр, характеризующий желаемые динамические свойства са-

молета. При этом матрицы α и β имеют значения

⎡

⎤

[

]

⎢

⎥

α=

⎣ 0 1

⎦, β=

Варианты номинальной конфигурации КО определяются значениями мат-

рицы Q_ном(z), выбор которой осуществляется разработчиком (интеграто-

ром) КО. Как показано в [14], такая матрица, обеспечивающая значение (16)

целевой функции при указанных α и β, может быть, но не обязательно, ста-

тической (без оператора z):

[

]

[

]

[

]

-a₃

a^ж - a₄

Q_ном =

b₁

5 67 8

C^номвх

Eном

C^номвых

(17)

⎡

⎤

-a₃

a^ж - a₄

=^⎣ b₁

b₁

⎦_.

В рассматриваемом примере имеют место матричные конструкции:

⎡

⎤

⎡

⎤⎡

⎤

⎢

⎥

-a₃

a^ж - a₄

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

BQ_номD =

b₁

⎦

⎣ b1 b2

⎦⎣

⎢

⎥=

⎢

⎥

⎣

⎦

−1 0 1

⎡

⎤

⎢

⎥

⎣ -a3 aж - a4

⎦,

⎡

⎤

z-a₁

-a₂

⎢

⎥

Ω(z) = zI₃ - A - BQ_номD =

⎣

z-a^ж

⎦,

-a₂

z-1

118

⎡

⎤

⎢

z-a₁

(z - a₁)(z - a^ж)

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

Ω-1(z) =

⎢

⎥^.

⎢

z-a^ж

⎥

⎣

⎦

a₂

(z - a^ж)(z - 1) z - 1

В соответствии с развиваемым подходом альтернативные конфигурации

КО порождаются выбором альтернативных значений интерфейсных матриц

C_вх и C_вых.

Поскольку множество возможных (допустимых) матриц C_вх ограниче-

но тремя вариантами, не приводящими к интересному разнообразию реше-

ний [14], ограничимся рассмотрением только номинального значения C^номвх в

соответствии с (17).

По аналогии с [14] все решения по теореме 1 для фиксированной ин-

терфейсной матрицы C^номвх и различных интерфейсных матриц C_вых (поми-

мо C^номвых) сведены в табл. 1, где использовано дополнительное обозначение

a_Σ = a^ж + a₂a₃ - a₄. В правом столбце таблицы указано значение произволь-

ного сомножителя ϑ, подстановка которого в слагаемое “Вариация строк ре-

шения” формулы (12) дает решение, совпадающее с показанным в [14] реше-

нием, полученным ранее путем подбора.

В табл. 2 аналогично представлены решения по теореме 2.

В обеих таблицах для вариантов, которым соответствует выполнение усло-

вий допустимости конфигурации, решение дает желаемый результат в смысле

значения целевой функции (16). В то же время для вариантов с невыпол-

нением условий допустимости формулы (12) и (15) дают решения, которые

не обеспечивают Φ_треб(z) (варианты 11-14 табл. 1, а также варианты 6-14

табл. 2).

Рассмотрим детально использование только теоремы 1 и только для одного

из варьируемых значений матрицы C_вых.

Матричные конструкции, входящие в (12), имеют вид

⎡

⎤

⎢

⎥

[

]

⎢

⎥

βWuy.ном(z)

⎢

⎥×

⎣

⎦

Блок 3

-1 0 1

⎡

⎤

a₂

⎢

z-a₁

(z - a₁)(z - a^ж)

⎥

⎡

⎤

⎢

⎥

[

]

⎢

⎥

b₁

b₂

⎢

⎥

⎦

⎣ b1 b2

⎢

⎥

z-a^ж

z-a^ж z-a^ж

⎢

⎥

⎣

a₂

⎦

(z - a^ж)(z - 1) z - 1

Ω-1(z)

119

⎡

⎤

a₂

⎡

⎤

⎢

z-a₁

(z - a₁)(z - a^ж)

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

W^v

(z)α

= ⎢

⎥

y.ном

⎢

⎥

⎣

⎦

z-a^ж

⎢

⎥

Блок 1

⎣

⎦

a₂

-1 0 1

(z - a^ж)(z - 1) z - 1

Ω-1(z)

⎡

⎤

g₁

a₂g₃

⎢

z-a₁

(z - a₁) (z - a^ж)

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

z-a^ж

⎥

⎢

⎥

g₁

g₂

⎢

g₃

⎥

⎦

⎣₀

⎦

⎢

⎥

×^⎣ 0

g₃

g₄

⎢

z-a^ж

⎥

⎢

⎥

⎢

a₂g₃

⎥

⎢

⎥

⎢

(z - a^ж) (z - 1)

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

-g₁

a₂g₃ (1 - a₁)

z-a₁

(z - a₁) (z - a^ж) (z - 1)

Интеграционный базис (7) не зависит от выбора интерфейсных матриц

C_вх, C_вых и имеет значение

[

]

b₁

b₂

Θ_баз(z) = βWuy.ном(z)

Q_ном(z)

Wvy.ном(z)α

z-a^ж z-a^ж

блок 3

блок 2

блок 1

блок 3

⎡

⎤

g₁

a₂g₃

⎢

z-a₁

(z - a₁) (z - a^ж)

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎡

⎤

⎢

z-a^ж

⎥

-a₃

a^ж - a₄

⎢

⎥

⎢

g₃

⎥

⎦

⎢

⎥

×^⎣ b₁

b₁

⎢

z-a^ж

⎥

⎢

⎥

⎢

a₂g₃

⎥

⎢

⎥

блок 2

⎢

(z - a^ж)(z - 1)

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

-g₁

a₂g₃ (1 - a₁)

z-a₁

(z - a₁) (z - a^ж) (z - 1)

блок 1

[

]

-a

3g1

g₃ ((a^ж - a₄)z - a_Σ)

(z - a₁)(z - a^ж)(z-a1) (z - aж)2

Использование результатов примера из [14] избавляет от необходимости

проверять здесь допустимость конфигурации КО и позволяет сразу перейти

к синтезу решения.

Номинальное значение интерфейсной матрицы C^номвх, допустимое по опре-

делению, с учетом свойств сводного канонизатора, приведенных в разделе 3,

120

используется при вычислении одного из канонизаторов формулы (12):

[

][

]

b₁

b₂

b₁

βWuy.ном(z)C^номвх =

z-a^ж z-a^ж

z-a^ж

(

(18)

βWuy.ном(z)C^номвх

)^∼ =⁽βWuy.ном(z)C^номвх)-1 =z-aж .

b₁

Здесь в частном случае канонизатор, получаемый обращением скаляра, имеет

единственное значение.

В случае выбора из числа допустимых конфигураций, имеющихся в [14],

варианта интерфейсной матрицы C_вых, представленной как

⎡

⎤

C_вых3 =^⎣ 0

⎦_,

вычисление другого канонизатора приводит к результату (возможны другие

значения, но на общее решение это не влияет, см. комментарий в конце раз-

дела 6):

⎡

⎤

⎢

z-a^ж

⎥

⎢

⎥

⎢

a₂g

⎥

⎢

⎥

C_вых3Wvy.ном(z)α =

⎢

(z - a^ж) (z - 1)

⎥^,

⎢

⎥

⎣

-g₁

a₂g₃ (1 - a₁)

⎦

z-a₁

(z - a₁) (z - a^ж) (z - 1)

(

(19)

C_вых3Wvy.ном(z)α)∼ =(Cвых3Wvy.ном(z)α)L =

⎡

⎤

1-a

z-a₁

⎢

g₁

-g₁

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦^.

(z - a^ж) (z - 1)

a₂g₃

Базовое решение, относящееся к данной паре интерфейсных матриц C^номвх,

C_вых3 и обусловленное результатами канонизации (18) и (19), принимает зна-

чение

(

)_∼

(

)_∼

βWuy.ном(z)C^номвх

Θ_баз(z)

C_вых3Wvy.ном(z)α

Базовое решение

[

]

z-a

-a₃g₁

g₃ ((a^ж - a₄)z - a_Σ)

b₁

(z - a₁)(z - a^ж)(z-a1) (z - aж)2

⎡

⎤

1-a

z-a₁

[

]

⎢

g₁

-g₁

⎥

(a^ж - a₄)z - a_Σ a₃

⎢

⎥

⎣

⎦⁼

(z - a^ж) (z - 1)

b₁(z - 1)

b₁

a₂g₃

121

Выражения для вариаций столбцов и строк общего решения (12) определя-

ются формулами

βWuy.ном(z)C^номвх

^Rθ

= 0, поскольку βWuy.ном(z)C^номвх

^R =b1

= 0,

z-a^ж

Вариация столбцов решения

⎡

⎤

⎢

z-a^ж

⎥

⎢

⎥

[

]

⎢

a₂g

⎥

z-1

⎢

⎥

ϑC_вых3Wvy.ном(z)α

=ϑ

=ϑ 1

0 .

⎢

(z - a^ж) (z - 1)

⎥

-a₂

⎢

⎥

Вариация строк решения

⎣ -g₁

a₂g₃ (1 - a₁)

⎦

z-a₁

(z - a₁)(z - a^ж)(z - 1)

Анализ таблиц демонстрирует существование двух семейств решений за-

дачи интеграции КО: единственное решение и множество эквивалентных ре-

шений.

Кратко физический смысл различных решений можно пояснить следую-

щим образом. Размеры и структура матрицы C_вых задают используемые вы-

ходы датчиков (столбцы) и каналы обработки информации в ИВС (строки).

Из анализа таблиц следует, что для существования решения в полной и реду-

цированной постановках необходимо использовать как минимум два канала

обработки, а также:

либо сигналы угла атаки y1,τ и угловой скорости тангажа y2.τ и/или y3.τ ,

либо сигналы угловой скорости тангажа y2.τ и/или y3.τ , угла тангажа y4.τ

и угла наклона траектории y5.τ.

Это согласуется с опытом построения контуров управления движением

самолетов.

При этом в полной постановке (табл. 1) существуют дополнительные ре-

шения при использовании

либо сигналов угла атаки y1.τ с сигналом угла тангажа y4.τ или угла на-

клона траектории y5.τ ,

либо сигнала угловой скорости тангажа y2.τ или y3.τ с сигналом угла на-

клона траектории y5.τ .

Такое положение объясняется возможностями дополнительной функцио-

нальной обработки сигналов датчиков со сдвигом вперед (аналог дифферен-

цирования) в вариантах 3, 4 и со сдвигом назад (аналог интегрирования) в

варианте 5.

Множества эквивалентных решений возникают при возможности простого

комбинирования сигналов измерителей (варианты 2 и 10 табл. 1, варианты 2

и 5 табл. 2) либо комбинирования в сочетании с функциональной обработкой

(варианты 3-5 табл. 1).

Другие из рассмотренных комбинаций датчиков не приводят к достиже-

нию цели.

122

8. Заключение

Для практически важной ситуации, когда конфигурация КО, формали-

зуемая интерфейсными матрицами C_вх и C_вых, изменяется по каким-либо

соображениям и удовлетворены условия допустимости этих матриц [14], по-

лучены формульные выражения для полного и усеченных множеств инте-

грационных матриц (правил обработки сигналов межкомпонентных связей)

{E(z)}_θ,ϑ, при которых целевая функция КО принимает предварительно за-

данное значение Φ_треб(z), зафиксированное номинальной конфигурацией КО

и весовыми матрицами α, β. При этом варьирование E(z) путем выбора вхо-

дящих в решение матриц θ и ϑ не влияет на значение целевой функции и

позволяет удовлетворять дополнительные требования к КО.

Основной результат базируется на принятой гипотезе об эквивалентности

относительно искомой интеграционной матрицы E(z) синтезируемой системы

“ ‘объект + КО” и специально введенной базисной системы.

Методический пример на представительном множестве возможных кон-

фигураций подтверждает эффективность полученного решения и иллюстри-

рует его разнообразность. В том числе показано, что при невыполнении усло-

вий допустимости конфигурации результат использования соответствующих

формул ошибочен.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Обоснование гипотезы. В соответствии с [14] необходимым и доста-

точным условием разрешимости основного уравнения (8) избыточного КО

относительно матрицы E(z) является выполнение двух равенств (10) и (11),

которые по своей структуре аналогичны условиям разрешимости двусторон-

него линейного матричного уравнения для неизвестной матрицы E(z) (тео-

рема 1.6 из [15]) при условии, что это уравнение имеет вид (9).

Строгое совпадение условий разрешимости основного уравнения интегра-

ции (8) для синтезируемой системы и уравнения (9) для базисной системы

явилось поводом для отождествления и их решений.

Важным обстоятельством в базисной системе (6) в контексте решаемой за-

дачи является то, что блок 2 с линейно входящей передаточной матрицей Q(z)

справа и слева взаимодействует с блоками, представляющими выходы и вхо-

ды компонентов КО, функционирующих в замкнутой системе “объект + КО”

при номинальной конфигурации под действием тестовых входов. Это сулит

полноту учета влияния на конфигурационную матрицу в блоке 2 внутренних

связей замкнутой системы, моделируемых блоками 1 и 3 в тестовых условиях

и номинальной конфигурации.

Сказанное соответствует выполнению равенства (9) и заключено в сфор-

мулированной гипотезе.

Доказательство теоремы 1. Опираясь на гипотезу, вместо решения

основного уравнения интеграции системы (8), которое должно было бы дать

решение сформулированной задачи, будем решать уравнение (9). В соответ-

ствии с теоремой 1.7 из [15] все множество решений линейного двустороннего

123

уравнения (9) при выполнении условий его разрешимости (10) и (11) опреде-

ляется формулой (12). Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. Доказательство базируется на редук-

ции (упрощении) решения поставленной задачи, заключающейся в том, что

вместо целевой функции (4) с присущими ей структурными особенностя-

ми [14] рассматривается только ее знаменатель. Очевидно, что при справед-

ливости равенства

BC_вхE(z)C_выхD = BQ_ном(z)D

этот знаменатель остается неизменным при варьировании E(z) и, как след-

ствие, значение целевой функции заведомо сохраняется при любых фиксиро-

ванных сомножителях (числителях) βD слева и Gα справа.

При удовлетворении условий (14) записанное линейное двустороннее урав-

нение разрешимо (теорема 1.6 из [15]) относительно матрицы E(z), а все мно-

жество решений (теорема 1.7 из [15]) определяется формулой (15). Теорема 2

доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ефанов Д.Е. Аналитическая реконфигурация системы управления полетом воз-

душного судна с сохранением заданных характеристик устойчивости // Маши-

ностроение: сетевой электрон. научн. журн. 2017. Т. 5. № 1. С. 23-34.

Павлов А.Н. Постановка и возможные пути решения задач структурно-функ-

циональной реконфигурации сложных объектов // XII Всеросс. сов. по пробле-

мам управления ВСПУ-2014. М.: Изд-во ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2014.

С. 7648-7655.

Федухин А.В., Муха А.А. Имитационное моделирование отказоустойчивой ре-

зервированной двухканальной системы в интегрированной инструментальной

среде MatLAB Simulink // Математические машины и системы. 2011. Т. 1. № 2.

С. 178-181.

Лысенко А.В., Кремез Г.В. Многопроцессорная перестраиваемая бортовая вы-

числительная система с блоком управления реконфигурацией // Современ-

ные проблемы науки и образования. 2012. № 4. URL: https://www.science-

education.ru/ru/article/view?id=6787

Мануйлов Ю.С., Павлов А.Н., Павлов Д.А. Методика прогнозирования струк-

турной устойчивости функционирования автоматизированных систем управле-

ния космическими аппаратами // Тр. Военно-косм. акад. им. А.Ф. Можайского.

2013. № 640. С. 123-128.

Каляев И.А., Мельник Э.В. Реконфигурируемые информационно-управляющие

системы // Матер. пленар. засед. 5-й Российской мультиконф. по проблемам

управления. СПб.: Изд. ЦНИИ «Электроприбор», 2012. С. 36-37.

Sollock P. Reconfigurable Redundancy - The Novel Concept Behind the World’s

First Two-Fault-Tolerant Integrated Avionics System // Avionics, Navigation and

Instrumentation. P. 243-246. URL: https://www.nasa.gov/centres/johnson/pdf/

584731main_Wings-ch4e-pgs242-255.pdf

Zhang Y., Jiang J. Bibliographical Review on Reconfigurable Fault-tolerant Control

Systems // Ann. Rev. Control. 2008. No. 32. P. 229-252.

124

Агеев А.М., Бронников А.М., Буков В.Н., Гамаюнов И.Ф. Супервизорный ме-

тод управления технических систем с избыточностью // Изв. РАН. Теория и

системы управления. 2017. № 3. С. 72-82.

Ageev A.M., Bronnikov A.M., Bukov V.N., Gamayunov I.F. Supervisory Control

Method for Redundant Technical Systems // J. Comput. Syst. Sci. Int. 2017. V. 56.

No. 3. P. 410-419.

10.

Буков В.Н., Бронников А.М., Агеев А.М., Гамаюнов И.Ф. Аналитический под-

ход к формированию конфигураций технических систем // АиТ. 2017. № 9.

С. 67-83.

Bukov V.N., Bronnikov A.M., Ageev A.M., Gamayunov I.F. An Analytic Approach

to Constructing Configurations of Technical Systems // Autom. Remote Control.

2017. V. 78. No. 9. P. 1600-1613.

11.

Буков В.Н., Агеев А.М., Гамаюнов И.Ф., Шурман В.А. Архитектурный облик

комплексов бортового оборудования воздушных судов с позиции реализации

функции необслуживаемости // Мехатроника, автоматика и робототехника: Ма-

тер. междунар. науч.-практ. конф. 2018. № 2. С. 206-210.

12.

Гамаюнов И.Ф. Генерирование альтернативных решений в задаче управления

избыточностью технических комплексов // АиТ. 2018. № 4. С. 92-104.

Gamayunov I.F. Generation of Alternative Solutions in the Redundancy Manage-

ment Problem for Hardware Complexes // Autom. Remote Control. 2018. V. 79.

No. 4. P. 655-664.

13.

Агеев А.М. Конфигурирование избыточных комплексов бортового оборудова-

ния на основе аппарата передаточных матриц // Изв. РАН. Теория и системы

управления. 2018. № 4. C. 175-192.

Ageev A.M. Configuring of Excessive Onboard Equipment Sets // J. Comput. Syst.

Sci. Int. 2018. V. 57. No. 4. P. 640-654.

14.

Буков В.Н., Бронников А.М. Тестирование конфигураций избыточных интегри-

рованных комплексов оборудования // АиТ. 2019. № 2. C. 81-100.

Bukov V.N., Bronnikov A.M. Testing the Configurations of Redundant Integrated

Equipment Complexes // Autom. Remote Control. 2019. V. 80. No. 2. P. 262-277.

15.

Буков В.Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу мат-

ричных систем. Калуга: Изд-во науч. лит-ры. Н.Ф. Бочкаревой, 2006.

Статья представлена к публикации членом редколлегии О.А. Степановым.

Поступила в редакцию 10.09.2017

После доработки 15.10.2018

Принята к публикации 08.11.2018

125