Автоматика и телемеханика, № 4, 2019

(Национальный исследовательский университет

“Высшая школа экономики”, Москва;

Центр информационных технологий в проектировании РАН,

Одинцово Московской обл.),

В.Н. ГРИДИН, д-р техн. наук (e-mail info@ditc.ras.ru)

(Центр информационных технологий в проектировании РАН,

Одинцово Московской обл.)

ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ СТРАХОВАНИЯ

В МОДЕЛИ ИНДИВИДУАЛЬНОГО РИСКА

ПРИ ВЕРОЯТНОСТНОМ ОГРАНИЧЕНИИ

НА ВЕЛИЧИНУ ФИНАЛЬНОГО КАПИТАЛА¹

Решена задача оптимального управления риском в статической моде-

ли выбором стратегии страхования рисков клиентов, где целевым функ-

ционалом является так называемый функционал полезности Марковица,

т.е. функционал, зависящий только от среднего значения и стандартного

отклонения финального капитала страховщика после заключения стра-

ховой сделки. Интересы страховщика учтены введением вероятностного

или, точнее, квантильного ограничения (value at risk constraint) на фи-

нальный капитал страховщика, где использовано нормальное распределе-

ние для моделирования распределения суммарного ущерба. Дополнитель-

но наложено ограничение с вероятностью единица на принимаемый им

риск от отдельного страхователя. Оптимальным с точки зрения страхов-

щика оказывается так называемое stop loss страхование. В явной форме

найдены условия отказа от страховой сделки. Приведен пример, иллюст-

рирующий доказанные результаты в случае экспоненциального распреде-

ления страховой выплаты.

Ключевые слова: оптимальное страхование, квантильное ограничение,

функционал полезности типа Марковица.

DOI: 10.1134/S0005231019040081

1. Введение

Объектом исследования в данной статье является так называемая модель

индивидуального риска (или статическая модель страхования), описанная,

например, в [1], где предусмотрена возможность выбора страховщиком функ-

ции дележа риска между ним и каждым страхователем. Критерием опти-

мальности страховщика служит широко известный в финансовой математике

функционал полезности Марковица, а ограничения на допустимые функции

дележа (стратегии страхования) выражаются в следующем: желание иметь

превышение капитала выше заданного уровня отражено в установлении ниж-

ней границы на вероятность этого события (так называемое квантильное или

¹ Работа поддержана Госзаданием 0071-2019-0001 и Российским фондом фундаменталь-

ных исследований (проект № 18-07-00085а).

144

VaR ограничение); желание страховщика не иметь “больших” значений риска

с вероятностью единица в сделке с отдельным клиентом отражено введением

дополнительного ограничения сверху на его ущерб после сделки.

Публикацией, заложившей основы теории дележа риска в страховании,

была статья Эрроу [2], где было показано, что при использовании принци-

па среднего значения для начисления премии оптимальным с точки зрения

страхователя является дележ формы франшиза. В [3] были найдены Парето-

оптимальные дележи между страховщиком и единственным страхователем

и показано, в частности, что максимизация полезности приводит к stop loss

дележу, если решение о выборе функции дележа принимает страховщик, и

к страхованию с франшизой, если выбирающей стороной является страхова-

тель. В близкой постановке эти результаты были модифицированы на случай

принципа среднего значения для вычисления премии в [4].

В [5] были представлены условия на стоимость страхования, при кото-

рых оптимальными оказывались различные типы дележей страхования, та-

кие как франшиза, сострахование и др. Исследование влияния различных

типов функции полезности на уровень франшизы при ограничении свер-

ху на риск страховщика проведено в [6]. Одновременный выбор стратегий

страхования и перестрахования изучен в [7], где целевым функционалом

была ожидаемая полезность финального капитала страховщика. Популяр-

ным направлением исследований в последние годы в статических моделях

стал поиск оптимальных дележей риска при так называемом “Value at Risk”

ограничении, которое означает установление нижней границы на вероят-

ность падения капитала ниже заданного уровня (см.. например, [8]). Но,

как было показано, например, в [9], учет этого ограничения ведет к тому,

что оптимальные стратегии страхования оказываются разрывными функ-

циями. Это означает наличие стимула к искажению действительного зна-

чения ущерба (moral hazard), что неприемлемо в страховой практике на раз-

витых рынках. В [10] было предложено использовать в качестве допусти-

мых функций дележа только неубывающие функции. В [11] авторы усили-

ли это ограничение и дополнительно предположили выпуклость функций,

что исключило из рассмотрения часто используемые в страховой практике

stop loss дележи (см., например, [6, 7]). Чтобы преодолеть эту трудность,

в [12] было рассмотрено другое множество допустимых дележей, где функ-

ции предполагаются возрастающими и вогнутыми. Однако такое ограниче-

ние игнорирует дележи с франшизой, которые также широко распространены

в страховании.

В отличие от упомянутых исследований, в настоящей статье с наложен-

ным VaR ограничением нет apriori предположений на вид функций дележа

(возрастание, вогнутость/выпуклость). Такой анализ стал возможным при

использовании нормальной модели суммарного риска страховщика. С точ-

ки зрения выбора целевого функционала близкая по постановке задача была

исследована в [13] при различных способах начисления премии, основанных

на среднем значении и дисперсии передаваемого риска. Но там инструмен-

том управления риском было перестрахование суммарного риска страховщи-

ка, а не страхование индивидуальных ущербов клиентов и не было введе-

но VaR ограничение на финальный капитал страховщика. Аналогичные по

145

формулировке задачи изучались в рамках теории формирования оптималь-

ных инвестиционных портфелей (см., например, [14]), но в качестве инстру-

мента управления риском использовались пропорции начального капитала,

вкладываемые в различные активы или, другими словами, - лишь линейные

функции дележа риска. Отметим также, что в настоящей статье, в отли-

чие от задач с целевым функционалом типа ожидаемой полезности капитала

страховщика [6, 7, 9], впервые детально исследована ситуация полного отказа

страховщика от сделки. Необходимые и достаточные условия наличия этого

эффекта найдены в явном виде именно в данной статье.

2. Формальное описание модели

Рассматривается модель страхового рынка, состоящего из страховщи-

ка и n клиентов. Потенциальные ущербы (риски) клиентов - независи-

мые неотрицательные случайные величины X_j , j = 1 . . . , n, определенные

на одном вероятностном пространстве (Ω, F, P ). В дальнейшем эта группа

клиентов предполагается однородной: все X_j имеют одинаковое распреде-

= P{X₁ ≤ x}, причем математическое ожидание X²¹ конечно:

EX²¹ < ∞. Отметим характерную особенность функции распределения F₁(x),

а именно скачок в нуле: F₁(0) ∈ (0, 1) - вероятность отсутствия страхового

случая для клиента предполагается ненулевой и, конечно, не равной еди-

нице. Страховщик выбирает функцию дележа страхования I(x) из класса

борелевских функций, определенных на [0, ∞) и удовлетворяющих неравен-

ствам 0 ≤ I(x) ≤ x, которые означают, что возмещение не может быть отри-

цательным и не может превосходить величины ущерба. Случайная величина

(с.в.) I(X_j ) есть возмещаемая j-му клиенту часть ущерба, а суммарный риск

∑_n

страховщика X^I =

I(X_j ).

j=1

Наложим дополнительные ограничения на дележи I(x), которые отража-

ли бы желание страховщика защититься от больших потерь:

(i) риск страховщика после страхования клиента I(X₁) ≤ q почти наверное

(п.н.);

= w + nP - X^I

над заданным уровнем a удовлетворяет неравенству

{

}

(1)

S^I ≥ a

≥ β.

Здесь w - собственный капитал страховщика, q и a - заданные поло-

жительные константы, уровень доверия предполагается достаточно высо-

ким β ∈ (0,5; 1), а страховая премия P вычисляется по формуле сред-

него значения, известного в актуарной литературе (см., например, [1]):

P = (1 + α)EI(X₁), где α > 0 - заданный коэффициент нагрузки страхов-

щика.

Максимизируемым функционалом является функционал полезности типа

Марковица, а именно функционал, линейно зависящий от среднего значения

и стандартного отклонения финального капитала страховщика S^I . Таким об-

разом, исследуемая задача имеет вид

√

(2)

J [I] ≡ ES^I - θ

DS^I

→ max,

146

= min{x,q}, и ограничении (1).

Здесь DS^I - дисперсия финального капитала S^I , θ > 0 - заданный “коэффи-

циент осторожности” страховщика, который желает уменьшить стандартное

отклонение своего финального капитала. Увеличение θ означает уменьшение

меры как положительных, так и отрицательных отклонений S^I от среднего

значения, в то время как увеличение константы a в ограничении (1) означа-

ет повышение нижнего уровня значений S^I с вероятностью β. Считая чис-

ленность группы страхователей n достаточно большой (не менее нескольких

десятков) и n(1 - F₁(0)) > 10, применим достаточно широко используемую в

актуарной математике нормальную модель для аппроксимации распределе-

∑_n

ния суммарного риска X^I =

I(X_j ) (см., например, [1, 14]). Тогда огра-

j=1

ничение (1) переписывается как

}

^{S^I - ES

a - ES^I

⁽a - ESI )

≥

=1-Φ

≥ β,

σ(S^I )

где Φ(x) - функция распределения стандартной нормальной случайной ве-

√

личины, а σ(S^I ) =

DS^I - стандартное отклонение капитала страховщика.

Последнее неравенство эквивалентно неравенству

ES^I - a - x^Nβσ(S^I) ≥ 0,

здесь x^Nβ - квантиль уровня β стандартного нормального распределения. В

результате (2) преобразуется в задачу

(3)

J [I] ≡ w + αnEI(X₁) - θ

√n^√DI(X₁

) → max

при ограничении I ∈ A, т.е.

(4)

0 ≤ I(x) ≤ x ∧ q и

(5)

w + αnEI(X₁) - a - x^Nβ

√n^√DI(X₁

) ≥ 0.

Отметим схожесть выражения для целевого функционала (3) и левой ча-

сти квантильного ограничения (5). Дело в том, что таким ограничение (1)

делает именно использование нормальной аппроксимации для капитала

S^I = w + nP - X^I страховщика после сделки (см. также [8]). Известно,

что квантиль нормального распределения выражается через квантиль стан-

дартного нормального распределения как x_β = x^Nβ σ(S^I ) + ES^I — функция,

линейно зависящая лишь от среднего значения и стандартного отклоне-

ния с.в. S^I . Использование, например, в качестве аппроксимации гамма-

распределения [1] дало бы соотношение, совершенно отличное от (5) и менее

удобное для анализа.

3. Основные результаты

Для анализа задачи (3)-(5) далее понадобится определение [15, гл. 3, с. 119]:

Функционал J[I], определенный на выпуклом множестве, называется сильно

квазивогнутым, если для любых I₁ и I₂ ∈ A, I₁ = I₂, и любого ρ ∈ (0, 1)

выполнено неравенство J[ρI₂ + (1 - ρ)I₁] > min{J[I₁], J[I₂]}. Здесь соотноше-

ние I₁ = I₂ понимается как P {I₁(X₁) = I₂(X₁)} > 0.

147

Лемма. Целевой функционал J[I] в (3) является сильно квазивогнутым.

Доказательство. Обозначим через I_ρ = ρI₂ + (1 - ρ)I₁ и вычислим

производную

J [I_ρ] = αnE[I₂ - I₁] + φ(ρ)ψ(ρ),

dρ

где

φ(ρ) = θ

√n/^√DI_ρ > 0,

ψ(ρ) = - {ρDI₂ - (1 - ρ)DI₁ + (1 - 2ρ)E[I₂ - EI₂][I₁ - EI₁]} .

Здесь для удобства использованы обозначения I₁ и I₂ для с.в. I₁(X₁) и I₂(X₁)

соответственно. Покажем, что ψ(ρ) убывает на интервале (0, 1). Действи-

тельно, ψ^′(ρ) = -2D(I₂ - I₁) < 0. Последнее неравенство выполняется стро-

го. Действительно, если I₂(X₁) = I₁(X₁) + const п.н., то I₁ и I₂ не могут од-

новременно быть допустимыми дележами, удовлетворяющими неравенствам

0 ≤ I_j(x) ≤ x, j = 1,2 на промежутке [0,∞), поскольку по предположению

F₁(0) = P{X₁ = 0} > 0. Таким образом, функция J [I_ρ] “похожа” на строго

вогнутую функцию: от точки ρ = 0 она возрастает до некоторой точки b, где

ψ(ρ) меняет знак с плюса на минус, а затем убывает до точки ρ = 1 (отрезок

[0, b] или [b, 1] может стягиваться в точку). Таким образом,

J [ρI₂ + (1 - ρ)I₁] > min{J[I₁], J[I₂]} на

(0, 1).

Лемма доказана.

Замечание. Отметим, что лемма, как следует из [15], гарантирует вы-

пуклость множества A допустимых дележей в задаче (3)-(5) (поскольку

функционал в ограничении (5) аналогичен целевому функционалу в (3)) и

единственность решения задачи, если оно существует.

Докажем теперь утверждение о непустоте множества A допустимых деле-

жей и выполнении условия Слейтера (его определение дано, например, в [15]).

Для этого рассмотрим задачу максимизации функционала в ограничении (5)

(6)

J₀[I] ≡ w + αnEI(X₁) - a - x^Nβ

√n^√DI(X₁

) → max,

где максимум берется по множеству дележей {I : 0 ≤ I(x) ≤ x ∧ q}. Всюду

далее будем использовать обозначени

= x∧k.

Утверждение 1. Множество A = ∅ (условие Слейтера выполнено)

тогда и только тогда, когда

√

(7)

w - a ≥ 0(> 0) при α√n - xNβ F1(0)/F¯1

(0) ≤ 0

√

(8)

J₀[I⁰] ≥ 0(> 0) при α√n - xNβ F1(0)/F¯1

(0) > 0,

148

где I⁰(x) - решение задачи (6) - имеет вид кусочно-линейной функции (stop

loss страхование) I⁰(x) = x ∧ (k⁰ ∧ q). Здесь k⁰ - минимальный корень на

промежутке (0, ∞) уравнения

(9)

ψ(k) = 0,

где

√

= xNβ (EI_k(X₁) - k)/

DI_k(X₁) + α√n.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда оптимальный дележ I⁰

(если существует) является ненулевым, т.е. DI⁰(X₁) > 0. Как было отмече-

но в лемме, функционал J₀[I] является сильно квазивогнутым, поэтому [15]

необходимое и достаточное условие оптимальности дележа I⁰ в задаче (6)

есть неравенство

[

]



J₀

ρI⁰ + (1 - ρ) I

≥0

ρ=1

dρ

для любой (допустимой) функции дележа I. После подстановки функциона-

ла (6) и дифференцирования с учетом того, что

[

]



D ρI⁰(X₁) + (1 - ρ) I(X₁)



dρ

ρ=1

{

}

(

)

= 2 DI⁰ - E

I⁰ - EI⁰

(I - EI)

{

[

(

)]

(

)}

=2 E

I⁰

I⁰ - EI⁰

- EI⁰E

I⁰ - I

∫^∞ [

](

)

2 I⁰(x) - EI⁰(X₁)

I⁰(x) - I(x)

dF₁(x),

получаем, что левая часть неравенства равна

∞

∫

√n η (x)⁽I⁰ (x) - I(x)⁾ dF₁ (x) ,

где

√

η(x) = x^Nβ (EI⁰(X₁) - I⁰(x))/

DI⁰(X₁) + α√n.

Таким образом, I⁰ (x) является решением задачи максимизации интеграла

∞

∫

(10)

η (x)I(x)dF₁

(x) → max

на множестве измеримых функций {I : 0 ≤ I(x) ≤ x ∧ q}. Условия оптималь-

ности для такого типа задач даются известной леммой Неймана-Пирсона

149

(см. [16] и примеры применения в страховых моделях [4]): функция I⁰ (x)

оптимальна в (10) тогда и только тогда, когда

{

η(x) < 0,

(11)

I⁰(x) =

x ∧ q, η(x) > 0,

с точностью до множества нулевой меры F₁.

Поскольку η(0) > 0, то при возрастании x от нуля значение η (x) убыва-

ет от положительной величины (при этом I⁰ (x) = x в силу (11)). Возможны

два случая. Первый: точка касания k⁰ этой функции оси абсцисс будет та-

кой, что значение функции I⁰(k⁰) = k⁰ останется в пределах допустимого

множества дележей, т.е. k⁰ ≤ q. Тогда функция η (x) не может принимать от-

рицательных значений для x > k⁰, поскольку для таких x (см. (11)) значение

I⁰ (x) = 0, т.е. приходим к противоречию: η (x) > 0. Возрастание η (x) от ну-

ля также исключено, так как для таких x выполнено I⁰ (x) = x, что означает

η (x) < 0. Второй случай: k⁰ > q означает, что функция I⁰(x) = x достигла

в точке x = q верхнего допустимого значения. При увеличении x от точки q

функция η (x) не может возрастать, так как в силу (11) функция I⁰ (x) = x

тогда пересечет верхнюю границу множества допустимых значений. Таким

образом, I⁰(x) = q для x > q. В результате I⁰ (x) = x ∧ (k⁰ ∧ q). Для вычис-

ления точки k⁰ касания оси абсцисс функцией η(x) на интервале (0, ∞) после

подстановки этой функции дележа x ∧ k получим уравнение (9). Поскольку

ψ(0) > 0 (см. (8)) и lim ψ(k) = -∞, то уравнение (9) имеет решение.

k→∞

Теперь рассмотрим случай I⁰ (X₁) = 0 п.н. Применяя правило Лопиталя,

получаем, что предел справа

√

(12)

lim

ψ(k) = α√n - xNβ F1(0)/F¯1

(0).

k→0+0

Действительно, найдем сначала

√

(13)

lim

EI_k(X₁)/

DI_k(X₁

k→0+0

Для этого вычислим, используя правило Лопиталя,

lim

DI_k(X₁)/(EI_k(X₁))² = 1

F₁(0) - 1 = F₁(0)

F₁(0).

k→0+0

√

Поэтому предел

(13)

равен

F₁(0)/F₁(0). Аналогично вычисляя

√

lim

DI_k(X₁), получаем в итоге

(12). В силу убывания функции

k→0+0

√

= xNβ (EI_k(X₁) - x)/

DI_k(X₁) + α√n по x при движении от x = 0

для любого фиксированного k > 0 условие ψ(0 + 0) ≤ 0 означает вы-

рожденность оптимального дележа, т.е. I⁰ (X₁) = 0 п.н. В этом случае

максимум функционала в ограничении (5) равен J₀[I⁰] = w - a и непустота

множества A (выполнение условия Слейтера) эквивалентна неравенству

w - a ≥ 0(> 0) в соотношении (7) утверждения 1. В случае невырожденного

дележа I⁰, т.е. при выполнении неравенства α√n - xN√βF1(0)/F¯1(0) > 0,

имеем, как было показано, соотношение (8). Утверждение 1 доказано.

150

Теорема. Пусть выполнено условие Слейтера (см. (7)-(8)), тогда за-

дача (3)-(5) имеет единственное решение - stop loss страхование I^∗(x) =

= x ∧ (k^∗ ∧ q). Допустимый дележ I^∗(·) оптимален в (3)-(5) тогда и толь-

ко тогда, когда существует μ ≥ 0:

(14)

μJ₀[I^∗

] = 0,

(15)

I^∗(x) = x ∧ (k^∗

∧ q),

где

(16)

k^∗ = 0, т.е. I^∗(X₁

)=0

п.н.,

при

√

(17)

(1 + μ)α√n - (θ + xNβμ) F1(0)/F¯1

(0) ≤ 0,

иначе k^∗ > 0 - минимальный корень уравнения

(18)

φ(k) = 0,

√

= (θ + x^Nβ μ)(EI_k(X₁) - k)/

DI_k(X₁) + (1 + μ)α√n.

Доказательство. Так же как и в доказательстве утверждения 1, рас-

смотрим случай, когда оптимальный дележ I^∗ (если он существует) является

ненулевым, т.е. DI^∗(X₁) > 0. Поскольку выполнено условие Слейтера и це-

левой функционал J[I], как и функционал J₀[I] в ограничении (5), сильно

квазивогнут, то (см., например, [15, 17]) применима теорема Куна-Таккера.

Согласно этой теореме дележ I^∗(·) ∈ A оптимален в (3)-(5) тогда и только

тогда, когда существует множитель Лагранжа μ ≥ 0 такой, что μJ₀[I^∗] = 0

и I^∗(·) является решением задачи максимизации функции Лагранжа

(19)

L[I, μ] ≡ J[I] + μJ₀[I] → max,

0 ≤ I(x) ≤ x ∧ q.

Аналогично доказательству утверждения 1 необходимое и достаточное

условие оптимальности дележа I^∗ в задаче (19) есть неравенство

L [ρI^∗ + (1 - ρ) I, μ]|ρ=1 ≥ 0

dρ

для любой функции дележа 0 ≤ I(x) ≤ (x ∧ q). При подстановке выражений

для функционалов (3) и (5) после дифференцирования получаем, что левая

часть неравенства равна

∞

∫

√n ξ (x) (I^∗ (x) - I(x)) dF₁ (x) ,

где

√

ξ(x) = (θ + x^Nβ μ)(EI^∗(X₁) - I^∗(x))/

DI^∗(X₁) + (1 + μ)α√n.

151

Вновь используя лемму Неймана-Пирсона, имеем, что оптимальный дележ

определяется как

{

ξ(x) < 0,

(20)

I^∗(x) =

x ∧ q, ξ(x) > 0,

с точностью до множества нулевой меры F₁. Следуя рассуждениям в дока-

зательстве утверждения 1, из (20) получаем I^∗(x) = x ∧ (k^∗ ∧ q), где k^∗ > 0 -

минимальный корень уравнения φ(k) = 0, а выражение для φ(k) определено

в теореме.

Теперь рассмотрим оставшийся вырожденный случай I^∗ (X₁) = 0 п.н. Для

нахождения необходимого и достаточного условия вырожденности оптималь-

ного дележа, т.е. отсутствия страховой сделки, вычислим предел φ(0 + 0).

Функции φ(k) и ψ(k), введенные в теореме и в утверждении 1 соответствен-

но, аналогичны. Поэтому, повторяя рассуждения в доказательстве утвержде-

ния 1, получим, что

√

φ(0 + 0) = (1 + μ)α√n - (θ + xNβμ) F1(0)/F¯1(0)

и условие (17) эквивалентно вырожденности оптимального дележа I^∗(X₁) = 0

п.н. Единственность оптимального дележа в задаче (3)-(5) следует из заме-

чания к лемме. Теорема доказана.

Отметим, что условие (17) в теореме оказывается необходимым и доста-

точным условием отказа страховщика от сделки, когда его возмещение кли-

енту I^∗(X₁) = 0 п.н., как и страховая премия P = (1 + α)EI^∗(X₁) = 0. Далее,

основываясь на теореме, приведем конструктивный способ нахождения опти-

мального дележа I^∗(x) как решение некоторых неравенств и пары уравнений.

Обозначим через I¹(x) оптимальный дележ в задаче (3)-(4) без дополнитель-

ного ограничения (5), т.е. stop loss дележ, который определяется соотноше-

ниями (15)-(18) при μ = 0.

Утверждение 2. Пусть выполнено условие Слейтера. Если J₀[I¹] ≥ 0,

где J₀[I] - функционал в левой части ограничения (5) и I¹(x) - решение зада-

чи (3)-(4), то I^∗(x) = I¹(x). Иначе I^∗(x) = x ∧ (k^∗ ∧ q), где k^∗ определяется

как первая компонента решения (k^∗, μ^∗) системы уравнений и неравенств:

(21)

μ > 0,

(22)

w + αnE{X₁ ∧ (k ∧ q)} - a - x^Nβ

√n^√D{X₁

∧ (k ∧ q)} = 0,

√

(23)

k=0

при

(1 + μ)α√n - (θ + xNβμ) F1(0)/F¯1

(0) ≤ 0,

в противном случае

√

(24)

(θ + x^Nβ μ)(EI_k(X₁) - k)/

DI_k(X₁) + (1 + μ)α

n = 0.

Доказательство. Условие J₀[I¹] ≥ 0 означает, что дележ I¹(x), кото-

рый максимизирует целевой функционал J[I] на множестве более широком,

чем множество допустимых дележей A, оказывается принадлежащим A. Та-

ким образом, I¹(x) есть решение исходной задачи (3)-(5).

152

Если же J₀[I¹] < 0, то необходимо имеем, что в (19) множитель Лагранжа

μ > 0. Тогда для оптимального дележа неравенство (5) обращается в равен-

ство J₀[I^∗] = 0. С учетом того что в теореме найдена форма оптимального

дележа (см. (15)), получаем уравнение (22). Соотношения (23)-(24) уже бы-

ли выведены в теореме. Утверждение 2 доказано.

4. Пример

Рассмотрим численный пример, иллюстрирующий теорему и утвержде-

ние 2 о решении задачи максимизации (3)-(5), когда ущербы клиентов имеют

распределение F₁(x) = p(1 - exp(-0,1x)) + 1 - p, где вероятность страхового

случая p = 0,2. Таким образом, функция распределения страховых выплат [1]

= P{X₁ ≤ x|X₁ > 0} = 1 - exp(-0,1x) - экспоненциальна. Пусть чис-

ленность группы клиентов n = 100, уровень доверия β = 0,95, нижняя гра-

ница приращения капитала страховщика a = 0,7, верхний предел его риска

q = 25, “коэффициент осторожности” в целевом функционале θ = 1,5 и на-

чальный капитал страховщика w = 0. Напомним, что оптимальной стратеги-

ей для страховщика является stop loss стратегия I^∗(x) = x ∧ (k^∗ ∧ q). Резуль-

таты численного расчета собственного уровня удержания страховщика k^∗ ∧ q

и значения целевого функционала J^∗ = J[I^∗] при варьировании коэффици-

ента нагрузки α для начисления премии приведены в таблице.

Таблица

k^∗ ∧ q

J^∗

0,3

∅

0,4

7,4521

6,0215

0,5

14,0097

19,1029

0,6

19,9227

35,4001

0,7

53,3016

Вторая строка таблицы означает, что при низком значении α = 0,3, т.е.

при относительно дешевом страховании, множество допустимых дележей A

√

оказывается пустым в силу того что (см. (7)-(8)) α√n - xN

F₁(0)

F₁(0) =

= 0,2282 > 0 и J₀[I⁰] = -0,2812 < 0. С ростом коэффициента нагрузки α оп-

тимальное значение J^∗ ожидаемо увеличивается, при этом страховщик уве-

личивает уровень собственного удержания k^∗ ∧ q = k^∗. Последняя строка таб-

лицы показывает, что при α = 0,7 достигнута верхняя граница q риска стра-

ховщика. Более точно: уровень k^∗ ∧ q, где k^∗ определяется в теореме, равен

q = 25.

5. Заключение

В статье предложена новая постановка задачи оптимального дележа рис-

ка между страховщиком и страхователями с целевым функционалом типа

Марковица и дополнительными ограничениями на финальный капитал стра-

ховщика: ограничение сверху на возмещаемый ущерб и квантильное огра-

ничение. Оптимальным для страховщика оказывается stop loss страхование,

153

получены соотношения для нахождения параметра этой функции дележа.

В аналитической форме найдены необходимые и достаточные условия отказа

от страховой сделки. В качестве продолжения данного исследования пред-

ставляется интересным рассмотреть задачу с другим целевым функциона-

лом, в частности задачу минимизации коэффициента вариации. Другое на-

правление — использование вместо нормальной аппроксимации суммарного

ущерба страховщика одного из эллиптических распределений [18], которые

точнее моделируют реальное распределение, когда оно имеет более “тяжелый

хвост” , чем нормальная модель. Свойство эллиптических случайных вели-

чин сохранять тип распределения при линейном преобразовании делает их

удобным инструментом при построении аппроксимации суммарного ущерба

страховщика.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Бауэрс Н., Гербер Х., Джонс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная мате-

матика. М.: Янус-К, 2001.

Arrow K.J. Essays in the Theory of Risk Bearing. Chicago: Wyley & Sons, 1971.

Raviv A. The Design of an Optimal Insurance Policy // Am. Econ. Rev. 1979.

P. 84-96.

Golubin A.Y. Pareto-optimal Insurance Policies in the Models with a Premium Based

on the Actuarial Value // J. Risk Insur. 2006. V. 73. No. 3. P. 469-487.

Blazenko G. Optimal Indemnity Contracts // Insur. Math. Econ. 1985. V. 4.

P. 267-278.

Cummins J., Mahul O. The Demand for Insurance with an Upper Limit on

Coverage // J. Risk Insur. 2004. V. 71 No. 2. P. 253-264.

Голубин А.Ю., Гридин В.Н., Газов А.И. Оптимизация дележа риска в статиче-

ской модели с перестрахованием // АиТ. 2009. № 8. С. 133-144.

Golubin A.Y., Gridin V.N., Gazov A.I. Risk Bearing in a Statical Model with

Reinsurance // Autom. Remote Control. 2009. V. 70. No. 8. P. 1385-1395.

Кибзун А.И., Кан Ю.С. Задачи стохастического программирования с вероят-

ностными критериями. М.: Физматлит, 2009.

Zhou C., Wu C. Optimal Insurance Under the Insurer’s VaR Constraint // GRIR.

2009. V. 34. P. 140-154.

10.

Chi Y., Weng C. Optimal Reinsurance Subject to Vajda Condition // Insur. Math.

Econ. 2013. V. 53. No. 1. P. 179-189.

11.

Cai J., Tan K.S., Weng C., Zhang Y. Optimal Reinsurance under VaR and CTE

Risk Measures // Insur. Math. Econ. 2008. V. 43. No. 1. P. 185-196.

12.

Lu Z.Y., Liu L.P., Meng S.W. Optimal Reinsurance with Concave Ceded Loss

Functions under VaR and CTE Risk Measures // Insur. Math. Econ. 2013. V. 52.

No. 1. P. 46-51.

13.

Chi Y., Zhou M. Optimal Reinsurance Design: A Mean-Variance Approach // NAAJ.

2017. V. 21. No. 1. P. 1-14.

14.

Gaivoronski A., Pflug G. Value at Risk in Portfolio Optimization: Properties and

Computational Approach // J. Risk. 2004. V. 7. No. 2. P. 1-31.

15.

Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.:

Мир, 1982.

16.

Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1964.

154